江苏省连云港市赣榆县海头高级中学高二下学期期中考试数学理试题

学必求其心得，业必贵于专精

2012-2013学年江苏省连云港市赣榆县海头高级中学高二(下）期中数学试卷（理科）

一、填空题：（本大题共16小题,每小题5分,共80分)

1．（5分）已知a、b∈R,i是虚数单位，若（a+2i）i=b+i,则a+b的值是

﹣1 ． 考点: 复数相等的充要条件．

专题： 计算题．

分析： 先进行复数的乘法运算，把等式的左边写成x+yi的标准形式，根据两个复数相等的充要条件，得到实部和实部相等，虚部和虚部相等，解出a和b的值，得到结果． 解答: 解:∵(a+2i）i=b+i， ∴﹣2+ai=b+i, ∴b=﹣2,a=1， ∴a+b=﹣1, 故答案为：﹣1． 点评： 本题考查复数的乘法运算,考查复数相等的充要条件，是一个基础题，若出现则是一个必得分的题目． 2．（5分）用排列数表示18×17×16×…×9×8= ．

考点： 排列及排列数公式．

专题: 计算题；概率与统计．

分析： 直接利用排列数的定义进行化简．

解答： 解：18×17×16×…×9×8=． 故答案为． 点评: 本题考查了排列及排列数公式，是基础的概念题．

3．(5分）（3b+2a)6的展开式中的第3项为 4860a2b4 结果化到最简）

考二项式定理． 学必求其心得，业必贵于专精

点：

专题： 计算题；概率与统计．

分析： 利用二项展开式的通项Tr+1=•36﹣r•2rb6﹣r•ar即可求得（3b+2a）6的展开式中的第3项．

解答： 解：设（3b+2a)6的展开式通项为Tr+1,

则Tr+1=•36﹣r•2rb6﹣r•ar，

令r=2,得T3=•36﹣2•22•a2b4

=15×4×81•a2b4

=4860a2b4．

故答案为:4860a2b4．

点评： 本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．

4．（5分）已知向量与垂直,则实数k的值为

﹣5 ．

考点: 向量的数量积判断向量的共线与垂直．

专题: 计算题．

分析： 利用向量的垂直的充要条件列出方程，解方程求出值．

解解：因为与垂直， 学必求其心得，业必贵于专精

答： ∴，

所以﹣1+k+6=0,

∴k=﹣5．

故答案为﹣5．

点评: 本题考查两个向量垂直的充要条件条件:它们的数量积为0．

5．(5分）6个同学排成一排，甲、乙不能站在一起，不同的排法有

1440 种．

考点： 排列、组合及简单计数问题．

专题: 计算题．

分析： 先排其余4名同学，再把甲、乙查到刚才产生的5个空位中，由分步计数原理可得．

解答： 解：插空法，先排其余4名同学共=24中方法，

再把甲、乙查到刚才产生的5个空位中，共=60种方法,

由分步计数原理知总的方法种数为：24×60=1440，

故答案为:1440

点评： 本题考查排列组合及简单的计数问题，插空法是解决问题的关键，属中档题．

6．（5分）0，1，3，4四个数可组成 18 不同的无重复数字的四位数． 学必求其心得，业必贵于专精

考点： 排列、组合及简单计数问题．

专题： 计算题；概率与统计．

分析： 先对4个数字全排列共=24种，去掉其中0在首位的共=6种，即可得答案．

解答： 解：间接法：先对4个数字全排列共=24种，

去掉其中0在首位的共=6种,

故总共组成的无重复数字的四位数有24﹣6=18个，

故答案为：18

点评: 本题考查排列组合及简单的计数问题，间接法是解决问题的捷径，属中档题．

7．（5分）英文字母3个C和4个D排成一排，共有 35 种不同的排法．（用数字作答）

考点： 计数原理的应用．

专题： 计算题．

分析： 根据含有重复元素的排列数的计算方法可得，英文字母3个C和4个D排成一排，所有的排列数有 个．

解解:根据含有重复元素的排列数的计算方法可得，英文字母3个学必求其心得，业必贵于专精

答： C和4个D排成一排，共有=35种方法,

故答案为 35．

点评： 本题主要考查含有重复元素的排列的排列数的计算方法，属于中档题．

8．（5分）用数学归纳法证1﹣+﹣+L+﹣=的过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为 ．

考点： 数学归纳法．

专题： 计算题．

分析: 本题考查的知识点是数学归纳法的过程及步骤,观察到“=（n∈N*）”左边是从1开始到n结束,但每个n值对应 ﹣两项,则当n=k到n=k+1时，左边应增加两项,即

解答: 解：当n=k到n=k+1时，

左边增加了两项 ，

减少了一项 ，

左边所增加的项为 ．

故答案为．

点评： 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为:设P（n)是关于自然数n的命题,若1）（奠基) P（n）在n=1学必求其心得，业必贵于专精

时成立；2）（归纳） 在P（k）(k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1)成立，则P（n）对一切自然数n都成立．

9．（5分）已知：（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2(x﹣1）2++an（x﹣1）n，（n≥2，n∈N*)，当n=5时，a0+a1+a2+a3+a4+a5的值为 243 ．

考点： 二项式定理的应用．

专题： 计算题．

分析： 当n=5时,令x=2，则由已知等式可得 35=a0+a1+a2+a3+a4+a5，由此可得答案．

解答: 解：当n=5时，令x=2，则由已知等式可得

35=a0+a1+a2+a3+a4+a5，

即 a0+a1+a2+a3+a4+a5 =243，

故答案为 243．

点评： 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．

10．（5分）已知复数z满足｜z+2﹣2i｜=1，i为虚数单位，则｜z｜的最大值为 ．

考点： 复数求模． 学必求其心得，业必贵于专精

专题： 计算题．

分析： 由复数模的几何意义可得复数z在复平面内位于以(﹣2，2）为圆心，以1为半径的圆周上,所以｜z|的最大值为圆心到原点的距离加半径．

解答： 解：由｜z+2﹣2i｜=1,可知

复数z在复平面内位于以(﹣2，2)为圆心,以1为半径的圆周上,

由（﹣2，2）到坐标原点的距离为,所以｜z|的最大值为． 故答案为．

点评： 本题考查了复数模的几何意义,考查了两点间的距离公式，是基础题．

11．（5分)若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a,b，c，则三角形的面积S=r(a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=

R（S1+S2+S3+S4） ．

考点: 类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题： 压轴题；规律型．

分析: 根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立学必求其心得，业必贵于专精

体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

解答: 解：设四面体的内切球的球心为O，

则球心O到四个面的距离都是R，

所以四面体的体积等于以O为顶点，

分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．

故答案为:R（S1+S2+S3+S4）．

点评： 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(或猜想）．

12．（5分）233﹣1除以9以后的余数为 7 ．

考点： 二项式定理的应用．

专题： 计算题． 学必求其心得，业必贵于专精

分析： 把所给的式子化为（9﹣1）11﹣1,按照二项式定理展开，可得它除以9的余数．

解答: 解:由于233﹣1=811﹣1=(9﹣1）11﹣1 =+++…++﹣1，

由于前11项都有因数9,故所给的式子故除以9的余数即为

﹣1=﹣2 除以9的余数,

故所给的式子除以9的余数为 7,

故答案为 7．

点评： 本题主要考查二项式定理的应用，把所给的式子化为(9﹣1）11﹣1,是解题的关键，体现了转化的数学而思想,

属于中档题．

13．（5分）已知正数x，y满足2x+y﹣2=0，则的最小值为 ．

考点： 基本不等式．

专题： 计算题．

分析: 由正数x，y满足2x+y﹣2=0可得x，故===，由基本不等式可得结论．

解答： 解：∵正数x，y满足2x+y﹣2=0，∴2x+y=2，即x

∴=== 学必求其心得，业必贵于专精 =，由基本不等式可得 = 当且仅当，即x=y=时取等号， 故的最小值为： 故答案为：

点评： 本题为基本不等式求最值的问题，把原式变形得到x是解决问题的关键，属基础题．

14．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 ．

考点： 二面角的平面角及求法；用空间向量求平面间的夹角．

专题： 计算题；压轴题；数形结合．

分析： 由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．

解答： 解:由题意画出图形如图：

因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB,CF=2FC1，

延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所