2020-2021学年安徽省宿州市十三所重点中学高二(下)期中数学试卷(文科)(附答案详解)
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2020-2021学年安徽省宿州市十三所重点中学高二（下）期中数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 若复数z的共轭复数𝑧−满足(1−𝑖)𝑧−=𝑖，则复数𝑧=( )
A. 12+12𝑖 B. −12+12𝑖 C. 12−12𝑖 D. −12−12𝑖
2. 在对于具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：
x 2 4 5 6 8
y 3 4 4 4 5
由表中数据求得y关于x的回归直线方程，则回归直线必过的点是( )
A. (2,3) B. (4,4) C. (5,4) D. (6,4)
3. 用反证法证明“关于x的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0有两个不相等的实数根时，反设是“关于x的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0( )
A. 有两个相等实数根 B. 无实数根
C. 无实根或有两个相等实数根 D. 只有一个实数根
4. 甲、乙、丙三位同学只有一位同学去过安徽黄山.当他们被问到是否游览过黄山时，丙说：“甲没去过”；乙说：“我去过”；甲说：“丙说的是真话”.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么去过黄山的同学是( )
A. 丙 B. 乙 C. 甲 D. 无法判断
5. 下列说法正确的是( )
A. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
B. 一个人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“恰有一次中靶”互为对立事件
C. 在回归直线方程𝑦̂=−0.5𝑥+2中，当变量x每增加1个单位时，变量𝑦^平均减少0.5个单位
D. 两个分类变量x、y关系越密切，则由观测数据计算得到的𝑥2的观测值越小
6. “𝑥>1”是“log3(𝑥−1)<0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第2页，共16页 7. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦⋅𝐵⋅曼德尔布罗特(𝐵𝑒𝑛𝑜𝑖𝑡 𝐵.𝑀𝑎𝑛𝑑𝑒𝑙𝑏𝑟𝑜𝑡)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.如图按照的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是( )
A. 55 B. 89 C. 144 D. 233
8. 用模型𝑦=𝑐𝑒𝑘𝑥拟合一组数据时，为了求出回归方程，设𝑧=𝑙𝑛𝑦，其变换后得到线性回归方程为𝑧=0.5𝑥+2，则𝑐=( )
A. 0.5 B. 𝑒0.5 C. 2 D. 𝑒2
9. 吃青团是清明时节的习俗之一.这天小亮的妈妈给儿子送来5个青团，其中3个豆沙馅2个蛋黄馅的，小亮随机取出两个青团，若事件𝑀=“取到的两个青团为同一种馅”，事件𝑁=“取到的两个青团都是豆沙馅”，则𝑃(𝑁|𝑀)=( )
A. 14
B.
34
C.
310
D.
110 10. 双曲线𝑥2𝑚−𝑦2𝑛=1(𝑚>0,𝑛>0)离心率为√3，其中一个焦点与抛物线𝑦2=12𝑥的焦点重合，则m的值为( )
A. 3 B. √3 C. 2√3 D. 6
11. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的a的值是( )
A. 2 B. −12 C. −3 D. 13
12. 对集合{𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑘}和常数m，把𝜎2=sin2(𝑎1−𝑚)+sin2(𝑎2−𝑚)+⋯+sin2(𝑎𝑘−𝑚)𝑘定义为集合{𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑘}相对于m的“正弦方差”，则集合{−𝜋6,𝜋2,𝜋6}相对于m的“正弦方差”为( )
A. 32 B. √32 C. 12 D. 与m有关的值
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 第3页，共16页 13. 甲、乙两人独立解答一道趣味题，已知各人答对的概率分别为0.6和0.5，则两人均没有答对的概率为______ ．
14. 已知ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为𝑟(用𝑆△𝐴𝐵𝐶表示△𝐴𝐵𝐶的面积)，则𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑟(𝑎+𝑏+𝑐)；类比这一结论有：若三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷的内切球半径为R，则三棱锥体积𝑉𝐴−𝐵𝐶𝐷=______．
15. 已知复数z，|𝑧|=2√2，且𝑧(1−𝑖)>0(其中i是虚数单位)，则复数𝑧= ______ ．
16. 下面的四个命题中，错误的命题是哪几个？
①向量𝑎⃗ 、𝑏⃗ 、𝑐⃗ ，若𝑎⃗ //𝑏⃗ 且𝑏⃗ //𝑐⃗ ，则𝑎⃗ //𝑐⃗ ；
②向量𝑎⃗ 、𝑏⃗ 、𝑐⃗ ，若𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =𝑐⃗ ⋅𝑏⃗ ，则𝑎⃗ =𝑐⃗ ；
③复数𝑧1，𝑧2，若|𝑧1−𝑧2|=2，则(𝑧1−𝑧2)2=4；
④{𝑎𝑛}是公比为q的等比数列，令𝑏1=𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4，𝑏2=𝑎5+𝑎6+𝑎7+𝑎8，…，𝑏𝑛=𝑎4𝑛−3+𝑎4𝑛−2+𝑎4𝑛−1+𝑎4𝑛.则数列{𝑏𝑛}(𝑛∈𝑁∗)是公比为𝑞4的等比数列．
错误的命题是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知复数𝑧=1+𝑏𝑖(𝑏∈𝑅,i是虚数单位)，且(2+𝑖)⋅𝑧为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若𝜔=𝑧2+𝑖，求复数𝜔的模|𝜔|．
18. 近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心.某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码x 1 2 3 4 5
交易额𝑦/亿元 7 16 20 27 30 第4页，共16页 (1)根据上表数据，计算y与x的线性相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱.(已知：0.75≤|𝑟|≤1，则认为y与x线性相关性很强：0.3≤|𝑟|<0.75，则认为y与x线性相关性一般；|𝑟|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱.)
(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测2021年该网站“双11”当天的交易额．
参考数据：√3340≈57.8，
参考公式：𝑎̂=𝑦−−𝑏̂𝑥−，∑𝑥𝑖5𝑖=1𝑦𝑖=357，∑𝑥𝑖25𝑖=1=55，∑𝑦𝑖25𝑖=1=2334，𝑟=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥−𝑦−√∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑥−2√∑𝑦𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑦−2，𝑏̂=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥−𝑦−∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑥−2．
19. 设非等腰△𝐴𝐵𝐶的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，用分析法证明：1𝑎−𝑏+1𝑐−𝑏=3𝑎−𝑏+𝑐．
20. 新型冠状病毒肺炎潜伏期基本上认为是2～14天，由于个人体质原因或其它流行病学调查原因，个别患者潜伏期超过了14天，但实际临床工作中认为14天为最长潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期(单位：天) [0,2] (2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14]
人数 60 180 360 260 120 15 5 第5页，共16页 (1)为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关？
潜伏期
年龄(岁) 不超过6天 超过6天 总计
50(含50) 100
50以下 55
总计 200
(2)若采用分层抽样的方法，从上述抽出的潜伏期不超过6天和潜伏期超过6天的200人中再抽出5人进行跟踪调查，然后从这5人中任意选取2人，求这2人的潜伏期都超过6天的概率．
附：
𝑃(𝐾2≥𝑘) 0.05 0.025 0.010
k 3.841 5.024 6.635
𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．
21. 若椭圆的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，点A、B分别是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上不同于点A和B的任意一点.若直PA与PB的斜率都存在，分别记为𝑘𝑃𝐴，𝑘𝑃𝐵，那么𝑘𝑃𝐴与𝑘𝑃𝐵之积是与点P无关的定值−𝑏2𝑎2.试对双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．
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22. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥2−3𝑥．
(1)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在(1,𝑓(1))处的切线方程；
(2)函数𝑓(𝑥)在区间[0,2]上是否存在极值？试说明理由；
(3)当𝑥≥1时，关于x的不等式𝑓(𝑥)≥𝑎𝑥恒成立，求实数a的取值范围．
第7页，共16页 答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由(1−𝑖)𝑧−=𝑖，得𝑧−=𝑖1−𝑖=𝑖(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=−1+𝑖12+(−1)2=−12+12𝑖，
则𝑧=−12−12𝑖．
故选：D．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得𝑧−，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意可得：𝑥−=15(2+4+5+6+8)=5，𝑦−=15(3+4+4+4+5)=4，
所以回归直线必过的点是(5,4)．
故选：C．
求出样本中心坐标，即可得到结果．
本题考查回归直线方程以及性质的应用，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：用反证法证明命题“关于x的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0有两个不相等的实数根时”，假设正确的是：关于x的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0无实根或有两个相等实数根．
故选：C．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
本题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
4.【答案】A
