正三棱锥的内切球与外接球
要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.
请看正三棱锥的定义.
1.底面是正三角形
2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.
由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.
要防止和另外一个概念----正四面体混淆.
正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.
下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.
在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.
这是处理问题的方法之一.
适合这种方法的情况可小结如下：
⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.
⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.
今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.
基本的规律可小结如下：
⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.
⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.
举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.
再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.
下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在线面角和点面距中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗
正四面体外接球和内切球的半径的九种求法
【作者简介】张秀洲（1987.06），江苏滨海人，毕业于湖南师范大学，中学数学一级教师，省先进工作者，州、县优秀班主任，州先进个人，县优秀教师，县优秀教育工作者，县教师培训师团队成员，县“国培计划”(A307)指导教师，吉首大学“国培计划”(B101)指导老师。2016年被花垣县人民政府授予“高考优秀教师”荣誉称号，2013年、2019年被花垣县人民政府记“三等功”。
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。如果一个球与多面体的各面都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球。有关多面体外接球与内切球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。
本文重点研究正四面体外接球和内切球的半径的求法：
正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合．
分析：如图1，因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B，C，D的距离相等，
所以O在平面BCD内的射影O1到点B，C，D的距离也相等．
又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形，
所以O1是△BCD的中心，进而在正四面体ABCD中，有AO1⊥平面BCD，
所以球心O在高线AO1上；
同理：球心O也在其它面的高线上．
又正四面体ABCD中各面上的高都相等，
所以，由OA=OB=OC=OD，得：点O到正四面体各面的距离相等，
所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心．
这样，正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．
已知正四面体ABCD棱长为a，设外接球半径为R，内切球半径为r，球心为O，则正图1四面体的高h是63a，外接球半径是64a即34Rh；内切球半径是612a即14rh．外接球半径是内切球半径的3倍．
正四面体外接球和内切球的半径的求法 曲阜师范大学附中 ２７３１６５ 李凤华 题 已知正四面体ＡＢＣＤ的棱长为ｎ，求其外接球的 半径尺和内切球的半径ｒ． 分析 如图ｌ，因为正四面体 ＡＢＣＤ的外接球的球心０到点日，ｃ， Ｄ的距离相等，所以０在平面ＢＣＤ 内的射影０，到点日，ｃ，Ｄ的距离也Ｂ 相等．又因为在正四面体ＡＢＣＤ中 ＡＢＣＤ是正三角形，所以０ 是 ＡＢＣＤ的中心，进而在正四面体 ＡＢＣＤ中，有ＡＯ。上平面ＢＣＤ，所以 图１ Ｄ 球心０在高线ＡＯ。上；同理：球心０也在其它面的高线上． 又正四面体ＡＢＣＤ中各面上的高都相等，所以，由ＯＡ＝ ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ，得：点０到正四面体各面的距离相等，所 以点０也是正四面体ＡＢＣＤ的内切球的球心．这样，正四 面体的内切球的球心与外接球的球心重合．记正四面体 ＡＢＣＤ的高为ｈ，则ｒ＋Ｒ＝ｈ＝－ ４－０．因此，只要求出ｒ和 Ｊ Ｒ中的一个，便可求出另一个． 解法ｌ（方程思想）如图２， 因为在正四面体ＡＢＣＤ中，ａＢＣＤ 是正三角形，０．是其中心，所以 ０ｌＤ：譬０． 因为Ｏ０ｌ Ｊ－平面ＢＣＤ，０ Ｄ ｃ 平面ＢＣＤ，所以Ｏ０ Ｊ－０ Ｄ．所以， 在ＲｔａＯ０。Ｄ中，由勾股定理，得 ＯＤ ＝ＤＤ ＋ＯｉＤ ，即Ｒ ＝（ 。 解得 ＝ 。，所以ｒ＝ 一 接球的半径和内切球的半径分别为 解法２（几何法）如图３，连 接ＤＯ并延长交平面ＡＢＣ于点Ｇ， 则Ｇ为ＡＡＢＣ的中心． 连结ＤＯ．并延长交ＢＣ于中点 砌 Ｇ，Ｅ三点共线， ＝÷ ＝丽ＥＧ；再连接ＧＤ．，则ＧＯ ／／ＡＤ， 图３ 从而有 Ｏｌ Ｏ＝ ＯｉＧ＝丽ＥＧ：÷，所以ＡＤ， Ｄ。 ３０ Ｏ０。： ｎ． 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为 ｎ和 知识联系：正三角形的内切圆的圆心与外接圆的圆心 重合，半径之比为１ ２；正四面体的内切球的球心与外接 球的球心重合，半径之比１ ３． 解法３（体积法）如图４，记 正四面体ＡＢＣＤ的体积为 ，每个 面的面积为．ｓ，高为ｈ，内切球球心 为０，连结ＤＡ，０日，Ｄｃ，ＯＤ，贝０ ｒ． Ｖ： 洲 ＋ ｃＤ＋ ｃ￡Ｍ＋ ， Ｃ Ｄ 所以÷．ｓ ：４·了１．ｓｒ，从而ｒ＝ 图４ ｛ ＝ ｎ，尺＝寻 ＝ －４－ａ．故所求的外接球的半径和内 切球的半径分别为 ｎ和 ｎ． 方法拓展应用： １．多面体的体积为 ，表面积为Ｓ，利用体积分割法， 可得其内切球的半径为，： ； ２．高为ｈ，各面面积均为Ｓ的棱锥内的任意一点到各 面的距离之和为定值ｈ． 解法４ （补形法）以正四面体的各棱为正方体的面 对角线，将其补形为正方体．由于过不共面的四点有且只 有一个球，所以正四面体的外接球也是正方体的外接球． 设正方体的棱长为 ，则２Ｒ＝ 且ｎ＝ ，所以Ｒ＝ ７ －ａ，从而ｒ＝了１尺＝ ｎ．故所求的外接球的半径和内切 球的半径分别为 ｎ和 ｎ． 解后反思：由此解法知，正方体的内切球也是与正四 面体的各棱都相切的球，易得正方体的内切球的半径为 １ 厅 所以，与正四面体的各棱都相切的球的半径为等ｎ·
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正四面体外接球和内切球的半径的求法
作者：李凤华
来源：《中学数学杂志(高中版)》2008年第01期
题 已知正四面体ABCD的棱长为a，求其外接球的半径R和内切球的半径r.
分析 如图1，因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B，C，D的距离相等，所以O在平面BCD内的射影O1到点B，C，D的距离也相等. 又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形，所以O1是△BCD的中心，进而在正四面体ABCD中,有AO1⊥平面BCD，所以球心O在高线AO1上;同理:球心O也在其它面的高线上. 又正四面体ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD,得:点O到正四面体各面的距离相等，所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心. 这样，正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合. 记正四面体ABCD的高为h，则 . 因此，只要求出r和R中的一个，便可求出另一个.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
