简单几何体的外接球与内切球问题
一、外接球的问题：
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．
（一） 由球的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．
结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 43
例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 .24
例3、在直三棱柱111CBAABC中，4,3,6,41AAAACAB,则直三棱柱111CBAABC的外接球的表面积 .1603
例4、三棱锥A-BCD中，BA⊥AD，BC⊥CD，且AB=1，AD=3，则此三棱锥外接球的体积为 . 43
例5、沿矩形ABCD的对角线AC折起，形成空间四边形ABCD，使得二面角B-AC-D为120°，若AB=2，BC=1，则此时四面体ABCD的外接球的体积为 . 556
（二）构造正方体或长方体确定球心
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．
解惑：同学们在研究空间几何体的外接球与内切球时，常常因缺乏空间想象能力而感到束手无策.事实上，有时无需画出球体，只需找出球心和半径即可，或者画出球的大圆转化为平面几何问题.本文举几个简单的例子，希望给同学们一些帮助。
一、外接球
在考查几何体的外接球时，常常以正方体、长方体、三棱锥为基本模型。
二、内切球
空间几何体的内切球问题，常常转化为球心到平面的距离为球的半径解答。
在高考中，对空间几何体的考查常常与球结合，以几何体的外接球和内切球为载体，考查几何体的三视图，柱、锥、台、球的体积与表面积的计算，考查考生的空间想象能力.有时采用割补法或转化为平面几何问题解答，也可能与正、余弦定理、基本不等式等知识相结合进行考查。
简单几何体的外接球与内切球问题
一、外接球的问题：
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．(外接球心必定在底面多边形外心正上方）
例1、正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点SABCD、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
例2、在三棱锥BCDA中，2,3,4ABCDADBCACBD，则三棱锥BCDA外接球的体积 .
例3、在直三棱柱111CBAABC中，4,3,6,41AAAACAB,则直三棱柱111CBAABC的外接球的表面积 .
例4、三棱锥S_-ABC中，SA⊥面ABC，SA=2。△ABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为 .
二．内切球问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2.将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为SVR3.
例题1.设正方体的棱长为a，求(1）外接球半径（2）内切球半径；（3）与棱相切的球半径。
2.正三棱锥PABC中，各面是边长为a的正三角形， （1）求此三棱锥体积(2)求此三棱锥外接球半径（3）求此三棱锥内切球的半径
解决几何体的外接球与内切球，就这6个题型！
一、外接球的问题
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．
（一） 由球的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．
结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
（二）构造正方体或长方体确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．
途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．
途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．
途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．
（三） 由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
二、内切球问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
