面向小批量生产过程的两阶段串联可修系统SPC与维修策略整合优化

面向小批量生产过程的两阶段串联可修系统SPC与维修策略整合优化

仲建兰;马义中

【摘 要】鉴于小批量生产过程生产周期短、产品数目较少,实施统计过程控制中没有足够的样本数据来构造控制图,针对两阶段串联可修系统,研究统计过程控制与维修策略整合的问题.首先,根据t统计量的特性给出EW-MAt-残差t(EWMAtx-te)联合控制图,并分析EWMAtx-te控制图的一些统计属性,应用EWMAtx-te控制图监控系统的质量状态,根据质量状态采取相应的维修策略;其次,采用Markov链构建了统计过程控制与视情维修整合的数学模型;然后,针对具体实例,将构建的模型与不采用统计过程控制监控策略的情形和采用经验法则选取控制图的设计参数模型进行比较分析,结果表明构建的模型在节约成本方面具有明显的优势;最后,运用分式析因设计对过程参数、时间参数和成本参数进行了敏感性分析,验证了所提方法的有效性.

【期刊名称】《计算机集成制造系统》

【年(卷),期】2014(020)008

【总页数】10页(P1959-1968)

【关键词】小批量生产过程;串联可修系统;统计过程控制;EWMAtx-te联合控制图;预防性维修策略

【作 者】仲建兰;马义中

【作者单位】南京理工大学经济管理学院,江苏南京210094;南京理工大学经济管理学院,江苏南京210094 【正文语种】中 文

【中图分类】O213.1

0 引言

随着市场竞争日趋激烈，顾客需求向多样化和个性化方向发展。为了提高对顾客需求的反应速度，企业的生产模式逐渐向多品种、小批量生产方式转变。所谓的小批量生产模式，主要包括以下几种常见情形［1］：①每批产品生产的数目较少；②尽管每批产品生产的数目较大，但生产周期短；③产品的数目较大，但用户要求仅提供所购买的很少几件产品。

为了满足生产需要，近年来关于小批量控制图的研究逐渐受到关注。Hillier［2］首次说明了在生产过程的初始阶段或者小批量生产过程中使用控制图十分必要。对于小批量问题，实施统计过程控制（Statistical Process Control，SPC）的关键在于没有足够的样本数据来构造控制图。小批量控制图的研究主要包括控制图的统计设计和控制图的经济设计两大类。Del Castillo和Montgomery［3-4］研究了不同背景下生产周期长度和初始设置对控制图设计的影响。众多学者［5-8］利用贝叶斯理论，充分利用新产生的样本信息，针对不同情形提出小批量生产过程的贝叶斯控制图。然而，过程失控状态的概率计算和持续贝叶斯更新比较复杂，导致贝叶斯控制图在实际应用中比较困难。t控制图能够很好地减小由于样本量不足造成的总体标准差估计的误差，且计算相对简单。因此，近年来关于t控制图的研究逐渐受到国内外学者的关注和重视。Celano等［9］考虑到小批量过程的有限抽样数目，没有足够的样本数据来构造控制图，提出采用t统计量来解决上述问题，并进一步研究了t控制图的监控性能及其统计属性。Gu等［10］面向多品种小批量生产过程，就均值已知和未知两种情形提出相应的t控制图，并分析其统计属性。面向小批量生产过程控制图的经济设计方面，Ladary［11-12］就有限生产周期的过程，首先提出休哈特P 控制图经济设计的方法。Nenes等［13］研究了小批量生产过程的累积和（CUmulative SUM，CUSUM）控制图的经济设计问题。Ho等［14］通过Markov链的方法构造过程的状态转移矩阵，通过对单件产品成本函数的优化寻找最优的控制图设计参数。张鹏伟等［15］在已有静态控制图的基础上研究了面向小批量生产过程的贝叶斯控制图的经济设计问题。然而，大多数小批量生产过程控制图的设计没有考虑生产率和检测率及批大小的影响。因此，Celano等［16］考虑生产率和检测率对样本容量的影响，研究了CUSUMt控制图的经济性能，并与CUSUM¯X 控制图进行了比较。

SPC与设备的维修管理之间有密切的关系［17］，具体来说，应用SPC 揭示过程潜在的质量状态，根据质量状态采取相应的维修策略。Linderman等［18］将SPC和维修策略进行整合，以与质量、维修和检测相关的总成本最小化为目标，以控制图的设计参数和定期维修时间为变量，提出两者的整合模型，证明了整合模型的经济优势。此后，众多学者拓展了Linderman 等的整合模型［19-21］。考虑到维修过程中的设备停止运行，Radhoui等［22］提出了建立缓冲区，并提出质量控制与维修管理的整合模型，以优化缓冲区的大小和预防性维修策略的时间。上述模型仅考虑受控状态和失控状态，忽略了设备完全故障的情形。Panagiotidou 等［23］采用可变参数休哈特控制图监控过程，考虑设备的完全故障，构建了可变参数控制图与预防性维修策略的整合模型。Pandey等［24］结合田口损失函数，提出优化预防性维修时间间隔和控制图设计参数的整合模型。Xiang［25］采用离散时间Markov链的方法，考虑系统的多个劣化状态以及不完备预防性维修，研究了¯X控制图与预防性维修策略的整合优化研究。然而，上述研究仅考虑单个阶段系统的控制图与维修策略整合的模型。Liu等［26］以平均维修成本最小化为目标，结合视情维修研究了两单元串联系统的¯X 控制图的经济设计和经济统计设计问题。在实际应用中，串联系统普遍存在于各个工程技术领域，然而目前对此类模型的研究却很少。

盛天文等［27］为解决寿命型设备在基于可靠度的预防性维修下的经济维修策略问题，提出一种基于可靠性和经济性求解的维修周期和维修时间策略的方法。Bovaird［28］从经济的角度讨论了小批量生产方式和大规模生产方式下最优维修策略的选择等问题。为了满足生产需要，小批量控制图的研究及维修管理逐渐受到重视，然而对小批量生产情形下控制图和维修策略的整合研究却很少。

因为在总体均值和标准差估计方面t控制图比¯X 控制图更稳健［29］，而且t控制图在实际应用中比较简单，所以本文主要针对生产周期短、生产率和检测率有限的情形，考虑采用EWMAt-残差t控制图对过程进行监控，以SPC 和维修成本最小化为目标，讨论面向小批量生产过程的两阶段串联可修系统的EWMAt-残差t

控制图与维修策略的整合优化模型。

1 问题描述及假设

两阶段串联可修系统的生产周期短（长度为H）、产品数目较少（数量为N），产品加工以后单个或成组（批大小为B）置于检测区域以备抽样检测。进一步假设每阶段仅有一台生产设备。变量X 是第一阶段的输出，变量Y 是第二阶段的输出质量特性，一般假定X 和Y 服从正态分布。每隔h小时随机抽取子样本容量为n

的成对样本（xi，yi）。X 与Y 的关系可用线性回归模型表示为［30］

式中：b0为线性回归模型的截距，b1为回归系数，ε为随机误差变量，独立同分布E（ε）=0，Var（ε）=σ2＞0。

假设两阶段串联可修系统仅有受控状态和失控状态两个运行状态（阶段1失控或阶段2失控）。受控状态下，变量，变量。只要系统的分布函数未发生变化，就可以判定设备处于初始的设置状态。 系统始于受控状态，并且方差保持不变。考虑到均值偏移可能发生在生产周期的任一时间内，采用控制图来监控过程（设备状态）。在生产周期结束时，不管过程处于受控状态还是失控状态，无需进行抽样检测，直接实施预防性更换（preventive replacement）。则有（如图1），其中Is 表示总抽样检测的次数。这意味着某一时刻异常因素发生，经过维修后系统恢复到受控状态，生产继续直至整批产品完成；当然，在整个生产周期内异常因素可能不会发生，然而一旦生产周期结束，设备将会被重置。

每个阶段仅存在一个异常因素，且异常因素只出现在每次抽样区间内。假设异常因素出现的时间服从相互独立的参数为νi 的指数分布。由于指数分布的无记忆性，在连续的抽样区间（ih，（i+1）h）（其中i=1，2，…，Is）内第j（j=1，2）个阶段，异常因素发生的概率为γj=1-e-νjh。

若阶段1发生异常因素，则引起变量X 的均值由μX 偏移至μX+δ1σX（δ1≠0），且变量Y 的均值由μY 偏移至μY+b1δ1σX；若阶段2 的异常因素发生，则引起均值由μY 偏移至μY+δ2σY（δ2≠0）。

如果控制图发出信号，表示相应的阶段发生故障，则系统处于失控状态，此时修理工立即对故障阶段进行修理，其余阶段停止工作。然后系统停止工作，立即接受异常因素的检测。如果是误报信号，则实施补偿性维修（compensatory

maintenance）；如果是正确报警信号，则实施预防性维修（preventive

maintenance）。维修结束后，系统“恢复如新”，继续工作。

考虑到有限的生产率和检测率，为避免检测区域的延迟并保持固定的抽样间隔，子样本容量不能超过nmax［16］，即

式中：rPR 表示生产率，rI 表示检测率，［x］表示不超过x 的整数。 2 EWMAtX-te 联合控制图

监控两阶段串联系统的SPC 方法之一是基于回归残差的选控技术［31］，选控的关键是通过回归移除上一阶段对下一阶段的影响。阶段1可以直接通过变量X 进行监控，阶段2可以通过选控值（残差e）进行监控，即

因为EWMA 控制图同时考虑了当前样本和之前样本，能够快速检测出过程的较小均值偏移，所以本文主要讨论EWMAtX-te 联合控制图。首先，构造t统计量。对于阶段1，子样本为｛Xi，1，Xi，2，…，Xi，n｝，i=1，2，…，Is，则样本均值和标准差表示为

每一次抽样，统计量TXi表示为

式中MX 为阶段1 的目标值。过程受控时，TXi～FX，t（·｜n-1），其中FX，t（·｜n-1）表示自由度为n-1学生氏t分布的累计分布函数；异常因素发生时，引起变量X 的均值由μX 偏移至μX+δ1σX（δ1≠0），则

式中服从标准正态分布，V=服从分布。TXi～GX，t（·｜n，其中表示自由度为n-1，非中心参数为的非中心学生氏t分布的累计分布函数。

其次，构造EWMAtX 的统计量。根据文献［29］，EWMAtX 控制图的统计量为

可以看出，EWMAtX 控制图对较小波动的灵敏度主要受平滑参数λ1的影响，λ1越接近1，之前样本对EWMAtX 控制图的影响越小。EWMAtX控制图的控制限为

式中：L1为控制限参数，（υ表示统计量TXi的自由度）。由此可以看出，对于EWMAtX 控制图，样本大小n≥4。

对于阶段2，子样本为｛Yi，1，Yi，2，…，Yi，n｝，i=1，2，…，Is。根据文献［32］，有

其中σ的无偏估计

则有服从t分布，即

则EWMAte 控制图的统计量为

EWMAte 控制图的控制限为

式 中：L2为控制限参 数。由此可以看出，对于EWMAte 控制图，样本大小n≥5。

采用Markov链的方法，结合文献［9，13］的结论，可得EWMAtX-te 联合控制图的如下统计属性：

（1）第一类错误和第二类错误

由于抽样的随机性，控制图不可避免地会出现误报（第一类）和漏报（第二类）两类错误。样本i（i=1，2，…，Is）时，阶段1犯第一类错误的概率（误报率）

阶段2犯第一类错误的概率（误报率）

其中p0，m+1和分别表示阶段1和阶段2受控情形下状态0转移至吸收态m+1的转移概率。则过程受控时至少有一个控制图发出误报信号的概率为