(1+1)维混合KdV方程的精确解
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第39卷第1期 注 為 科 修
Vol. 39 No. 1
2021 年 2 月 JIANGXI SCIENCE
Fl. 2021
doi：10.13990/j. ityl001 -3679.2021.01.005
(1+1)维混合
KdV方程的精确解
翟子璇，李琪
8
(东华理工大学理学院
,330013,南昌
)
摘要：
讨论一类混合KdV方程，通过F-展开法及辅助常微分方程,成功得到该方程的精确解。
关键词:
F-展开法；混合KdV方程;精确解
中图分类号：
0175.29 文献标识码:
A 文章编号：
1001 -3679(2021)01 -022-03
Exact Solutions of Mixed (1+1) - Dimensional KdV Equation
ZHAI Zixuan, LI Qi* *
收稿日期:
2020 -12 -10；修订日期:
2021 -01 -12
作者简介:翟子璇
(1996—),男
，硕士研究生
，研究方向为非线性可积系统及应用。
基金项目：国家自然科学基金
(11561002、
11861006)；江西省教育厅科技项目
(GJJ191419)。
*通信作者:李 琪
(1973—)，女
，博士
，教授
，研究方向为非线性可积系统及应用。
E - mail:qli@ ecut. edu. cn。( School of Science, East China University of Technology, 330013 , Nanchang )
Abstract: The exact solution' of mixed ( 1 + 1) - dimensional KdV equation are obtained by using F
- expansion method and auxiliaie ordinary dVTerentiaO equation .
Key words: F 一
expansion method
； mixed ( 1 + 1) 一
dimensional KdV equation
； exact solutions
0引言
随着人们对自然界更加深入的研究
,许多非
线性现象逐渐进入研究者的视野
,而非线性发展
方程则是对这些现象进行客观描述的有力工具。
因此
，在研究非线性物理现象时
,有关非线性偏微
分方程的求解就显得尤为重要。近些年来，相关
学者们采用了许多行之有效的求解方法
,如齐次
平衡法「I］、
Backlund变换⑶、首次积分法⑷、
F
-展开法⑸等。本文将应用
F-展开法并借助取
定参数的可求解常微分方程研究如下混合
KdV
方程
u, + a。"*
+ %""* + a2u ux +0"*** =0 (1)
其中
：％ f0,a f0,a2 f0,0 > 0。它是描述非
线性晶体传播的方程
u
+ %""*
+ +0u*** = o (2) 的拓展方程。
1 F-展开法
给定一个非线性波动方程
H(
",", =0 (3)
通过行波变换得
X和
t对应的行波变量
E
，假设
"(X,t) = "(g) , = k(X - ct) (4)
其中
％和
C分别为波数和波速。式
(3)经式
(4)行
波约化为
H(", - kc" ,k"
，犷
C"
，犷"
，…
)=0 (5)
假设方程
(3)有解
，形如
"(g = isF( g) (6)
i=Q
其中
n,al ( i = 0,1, •••,")为待定常数
，且
F( g)
满足辅助常微分方程
F'2( g) =%+%F" g) +gF( g) (7)
其中％
,血
,血为参数
，且由式
(7)
可得第
1期翟子璇等
：(1 +1)维混合
KdV方程的精确解
-23 -
'F'F" = q2FF' + 2 汕
F'
'F = qF + 2qF (8)
.F = qF' + 6qF2F
为了平衡式
(5)中的非线性项和最高阶偏导
数项
，通过齐次平衡原则
，可以确定式
(6)中的
n
，再将式
(6)带入式
(5),求得使式
(5)成立的式
(6)中的各待定常数
,从而在形式上得到式
(5)的
F-展开解式
(6)。4 ^/^^(% -c)]
-------- -----------------
，c = a +
exp'2£ (! -c"] - 4qJ
a 6^/3q(21)
2 (1+1)维混合KdV方程的精确解qsecA2 ( 7qA;(% -c))]2
q
(22)
2.1利用
F-展开法求解/ a 6隔
4
u (
!，"=-応_可
u ( !
，")
方程
(1)经式
(4)行波约化为
-
cu + 他"+
uu + + 珈"
=0 (9)
假设式
(9)具有形如式
(6)的解
，利用齐次平
衡原则
，可得
n = 1。故式
(9)的解为
u(g) =%
+ a}F(
g) (10)
其中
F = F( g)满足式
(7)。利用式
(8),由式
(10)可得
u 二
a F (11)
uu = a a
f + a
ff (12)
u u = a a F + 2aaFF + aFF (13)
u = a
f = aq^F + 6ag斗
F
f (14)
将式
(11)〜式
(14)代入式
(9)
，且令
FF(i
=0
，1
，2)的系数为零
，得到关于
a
，a，
k，
c的方
程组
a + aa° + + -c= o (15)
a2a} + 6^/3q = 0 (16)
a a + 2aaa = o (17)
解该方程组得
(18)
令
q。
= 0 ,考虑如下辅助常微分方程⑷
F'2 (g) = qF( g) +q4F( g) (19)
方程式
(19)有如下解
4 £ 应^)
F(g)=」
$p(2£ 辰)-
4q| (20)
'-qzsec/?(極)
0 2
I q
其中
q
，q为实数且
q > 0
，£=±1。
结合式
(4)1式
(10)、式
(18)、式
(20)
，可得
方程
(1)的精确解为2.2解的性质
在式
(21)中选取参数
£
= 1，ao = a 二
a = 0 =】，
q21
4q
鸟二
c =
1
，则
u如图
1所”。
图1 混合KdV方程的精确解
此外，
£ =-1时，有类似的结果。
在式
(22)中选取参数
a = a 二
a =
0 =】，
q2 二
-q斗
==
1
，c = -4,则
u如图
2所示。
图2 混合KdV方程的精确孤立波解
由图
2可知
，u是方程
(1)的单孤子解
。-24 -江西科学
2021年第
39卷
3 结束语
事实上
,F -展开法源于对
Jacobi椭圆函数展
开法切的概括。本文利用
F-展开法及辅助方
程
，求出了一类混合
KdV方程的精确解
，并通过
对方程
(1)和辅助方程取特定参数
，获得了孤立
波解。对于文中所提到的方法，也将在日后的研
究中对其进行更广泛的应用。
参考文献
：
[1] 范恩贵
，张鸿庆.非线性孤子方程的齐次平衡法
[J].物理学报
,1998(3) ：353 -362.
[2] WANGM L. Exact solutions for c oompound KdV 一
Burgers equation'J]. Physics Letters A, 1996, 213
(上接第
7页
)
[28] NORENBERGH, BRIGGS GAD. The surface struc
ture of CeO (110) single crystals studied by STM and
RHEED[J]. SurfScO, 1999, 433/435： 127 -130.
[29] NORENBERG H, BRIGGS GAD. Defect formation
on CeCO (111) surfaces after annealing studied by STM
[J]. SurfScO, 1999, 424： 352 -355.
[30] SHAHEDS M F, HASEGAWA T, SAIUOOY, et al.
STM and XPS study of CeCO (111) reduction by atomic
hydrooen [ J ]. Surf ScC, 2014 : 628 : 30 -35.
[31] 吴少娟.稀土催化材料在汽车尾气净化中的应用
[J].广东化工
,2010,37(8) ：56 -58.
[32] 陈江.稀土在汽车尾气催化剂领域的运用
[J].化工
设计通讯
,2018,44(2) : 55.
[33] 顾永万
,江彩义
，潘再富
,等.
Pd-Rh /AlCeZO催化剂
的制备及性能评价研究
[J].贵金属
,2018,39 (1)： 1-&
[34] ZHAO W, LI J J, HE C, et al. Synthesio of nanosized
Al - HMS and its application in deep oxidation of ben
zene [J]. Catal Today, 2010, 158： 427 -431.
[35] 张雪黎
，罗来涛.稀土催化材料在工业废气、人居环
境净化中的研究与应用综述
[J].气象与减灾研究
，
2004,29(4) ：47 -52.
[36] 潘小江.结合多种光催化产品的开发以提高光催化
技术在室内环境净化中的应用效果
[J].江西化工
，
2005(2) ：18 -21.
[37] 李小丽
，张忠义.纳米催化领主的新材料和新技术
[J].稀土
,2009,30(5) ：90-94.
[38] 周学良.精细化工产品手册-催化剂
'M]北京
:化
学工业出版社
,2002.
[39] LARSSON P 0, ARNEA. Oxides of copper, manga
nese and copper manganese on AL)03 for the ccmbus-
tion of CO, ethyl acetate and ethanol [ J ]. Applied Ca(5/6) : 279 -287.
[3 ]陈登远.
Backlund变换与
n孤子解
[J].数学研究与
评论
,2005(3) ：479 -488.
[4] 李林芳
，舒级
，文慧霞
.(1+1)维
KdV方程的精确行
波解
[J]内江师范学院学报
,2018,33(2):50-53.
[5] ZHOUYB, WANG M L, WANG Y M. Periodic wave
solutions to a soupled KdV equations with variable so-
efficiento [J ]. Physics Letters A, 2003 , 308 ( 1) : 31
-36.
[6 ]刘翠莲.
Chen - Lee - Liu方程的精确解
[J].安徽工
业大学学报
(自然科学版
),2012,29(2) ：176 -179.
[7] LIUS K, FUZ T, LIU S D, et al. Jacobi elliptio
function expansion method and periodio wave solutions
of nonlinear wave equations [ J ]. Physics Letters A,
2001, 289(1/2) : 69 -74.
talysis B： Environmental, 2000 , 24： 175 - 192.
[40] 胡瑞生
，王红宇
,沈岳年.稀土复合氧化物燃烧催化
剂的性能及表征
[J].稀土
,2000,21(5) ：13 -15.
[41] 李云.稀土催化燃烧技术的应用
[J].四川稀土
，
2005(3) ：11 -12.
[42] 王觅堂
，李梅
，柳召刚
，等.稀土在催化燃烧中的应
用研究进展
[J].稀土
,2007,28(5) ：104 - 108.
[43] 于学华
，迟克彬
,王斓懿
，等.
b基、
d基稀土催化剂
催化燃烧柴油炭烟颗粒的研究进展
[J]中国稀土
