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苏科版七年级下册数学第9章整式乘法与因式分解--多项式的因式分解教案

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多项式的因式分解

【教学目标】

1.会用提公因式、公式法等进行因式分解

2.了解因式分解的一般步骤并在因式分解中，经历观察、探索和作出推断的过程，提高分析能力和解决问题的能力

【知识链接】

因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。

因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。

（一）提公因式法

1、公因式

多项式ma＋mb＋mc中，各项都有一个公共的因式m，称为该多项式的公因式。

一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。

2、提公因式法

由m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，得到ma＋mb＋mc＋=m(a＋b＋c),其中，一个因式是公因式m，另一个因式（a＋b＋c）是ma＋mb＋mc除以m所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（二）公式法

1.平方差公式：))((22bababa

两数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积

2.完全平方公式：2222）（bababa 222-2-）（bababa 两数的平方和加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.

（三）十字相乘法

（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即

将上式反过来，

得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a和b，例如，为了分解因式，就需要找到满足下列条件的a、b；

（2）二次项系数不为1的二次三项式的因式分解

二次三项式中，当时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。

右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为，正好是一次项系数，从而得。

（3）含有两个字母的二次三项式的因式分解 xabxabxaxb2xpxq2axbxc2a12762xx23132272762232xxxxabpabq 如果是形如的形式，则把ab看作一个整体，相当于x，如果是形如，则先写成，把y看作已知数，写成十字相乘的形式是

所以，即右边十字上都要带上字母y，分解的结果也是含有两个字母的两个因式的积。

知识点一：提公因式法（整体思想的运用）

【例题1】分解因式

（1）33xyyx； （2）xxx2718323； （3）112xx；

【变式1】分解因式

（1）18a3bc－45a2b2c2； （2）4xyz－4x2yz－12xy2z；

【变式2】分解因式

（1）3224xyyx； （2）xyyyxx；

【变式3】分解因式

（1）yxyxm2 ； （2） 20am+1b2n+4－12a2m+1bm+2 27622abab27622xxyy27622xyxy·27622322xxyyxyxy

知识点二：公式法

【例题2】分解因式：

(1)9a2－b2； (6)49(x－2)2－25(x－3)2． (5)a2－6a(b－c)＋9(b－c)2；

【变式1】分解因式：

(1)(m－n)2－1； (2) 4x2－(x－y)2；

【变式2】分解因式：

(1)x2－6xy＋9y2； (2)－a2－9b2＋6ab；

【变式3】分解因式：

(1)222)42()2(xxx (2)4(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋(x－y)2 ；

知识点三：十字相乘

【例题3】分解因式：

（1）342xx （2）2286nmnm

【变式1】分解因式：

（1）1272aa (2）22616xxyy

【变式2】分解因式：

（1）36522xyyx （2）3)(4)(2baba

【变式3】分解因式：

（1） （2）

知识点四：分组分解 311102xxxxyy2229100【例题4】分解因式：

（1）x2－x－9y2－3y （2）3266922yxyxyx

【变式1】分解因式：

（1）xy－x－y+1 (2) 7x2－3y+xy－21x

【变式2】分解因式：

(1) x2－y2－z2－2yz (2)2a2-a3 -a

【变式3】分解因式：

（1）165)45(22xxxx (2)4x2+20(x-x2 )+25(1-x)2

知识点五：多种方法的综合应用

【例题5】分解因式：

(1)4x2y2－64x2z2； (2)－3ma3＋6ma2－12ma；

【变式1】分解因式：

(1) 2a2b2－28ab＋98； (2)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)；

【变式2】分解因式：

(1)(4m2＋1)2－16m2； (2) (x2＋2x)2＋2(x2＋2x)＋1．

【当堂练习】

1、把下列各式分解因式

（1）8x－72 （2）a2b－5ab

(3)36(x+y)2 –49(x-y)2 （4）15(a－b)2－3y(b－a)

(5)4(x＋y)2＋25－20(x＋y) ； （6）822mm

2、计算:7.6×201.7＋4.3×201.7－1.9×201.7=

3、____________。

4、若3a＋b＝50，a－3b＝11，则(2a－b)2－(a＋2b)2＝____________．

5、已知，求证：

【课后作业】

1、把下列各式分解因式

(1)(x2+x+1)2-1 (2)3ax2+6axy+3ay2

(3) (a+b)2-12(a+b)+36 (4)x2＋14－x

(5) a4b4＋4a2b2c＋4c2； (6) kxxxk25632，44421022xxyyxy23022xxyyxyxx267

2、若100x2＋kxy＋49y2可以分解成(10x－7y)2，则k的值为__________________．

3、如果a2－8ab＋16b2＝0，且b＝2.5，那么a＝_______________．

4、分解因式：(a+2)(a－2)+3a= ．

5、把x2+3x+c分解因式得：x2+3x+c=（x+1）（x+2），则c的值为（ ）

A．2 B．3 C．-2 D．-3

6、若4x2－Mxy＋9y2是两数和的平方，则M的值是 （ ）

A．36 B．±36 C．12 D．±12

7、已知，求x与y的值。 xyxyxy314422

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初中数学七年级下册第9章整式乘法与因式分解9.5多项式的因式分解

初中数学七年级下册第9章整式乘法与因式分解9.5多项式的因式分解

9.5多项式的因式分解

教学目标：

1. 知道公因式、因式分解及提公因式法的概念。

2．能用提公因式法进行因式分解（指数是正整数）

3.经历通过单项式乘以多项式探索提公因式法因式分解的过程，体会单项式乘以多项式与提取

公因式之间的联系，发展逆向思维的能力。

教学重点与难点：

重点：多项式因式分解和整式乘法的关系,提公因式法分解因式；

难点：多项式的公因式的确定．

教学过程：

一、情境创设

三八妇女节华地百货搞了大型的促销活动，黄金饰品也不例外，活动价是325元∕克，吸引了

三位妈妈来购买，她们分别买了45克、49克、6克，请你列式算一算，这三位妈妈一共消费了多

少元？

若把数325改为数a,45、49、6分别改为数b,c,d呢？形成等式ab＋ac＋ad=a（b＋c＋d）

二、引导探究

1.公因式的概念

（1）观察多项式ab＋ac＋ad=a（b＋c＋d）左边的每一项，你有什么发现?

突显出多项式各项都含有相同的因式 a，我们称因式a是多项式ab＋ac＋ad的公因式。

（2）填空：

多项式4x+4y的公因式是 ；

的公因式是 ；ayax128

的公因式是 。2223221269bcabacba

你能归纳出找一个多项式各项的公因式的方法吗? （学生归纳总结）

（3）找一个多项式各项的公因式的方法一般分三个步骤：

一看系数：当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；

二看字母：公因式的字母应取多项式中各项都含有的相同字母；

三看指数：相同字母的指数取次数最低的．

学生做一组找公因式的练习

2.因式分解的概念

（1）你能否将以上几个多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式？

（刚开始学，提倡学生将每一项写成公因式与另一个因式乘积的形式，再根据乘法的分配律把公因

式提出来，写在括号的前面）

（2）.形成概念：

像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.（点题……）

（因式分解的结果可以是“单项式乘多项式”或“多项式乘多项式”的形式）。

七年级数学下册 9.5 多项式的因式分解教案 (新版)苏科版

七年级数学下册 9.5 多项式的因式分解教案 (新版)苏科版

1 9．5 多项式的因式分解

教学目标 1．进一步熟悉提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；

2．能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法；

3．知道因式分解的方法步骤以及因式分解最终结果的要求．

教学重点 知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式．

教学难点 能综合运用提公因式法、公式法分解因式．

教学过程（教师） 学生活动 设计思路

一、情境创设

引导学生复习因式分解的概念以及提公因式法分解因式、运用公式法分解因式的方法，通过知识结构图让学生将所学的知识联系起来，为本节课的学习做出充分的准备． 提公因式法ab+ac+ad=a(b+c+d)单项式乘多项式运用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)a2±2ab+b2=(a±b)2乘法公式因式分解整式乘法 2 二、探究活动

（1）师生共同回顾前面所学过的因式分解的方法．

提取公因式法、运用公式法，并说明公因式的确定方法及公式的特征．

（2）整理知识结构图．

提公因式法：关键是确定公因式

因式分解 平方差公式：

运用公式法 a2－b2＝（a＋b）（a－b）

完全平方公式：

a2±2ab＋b2＝（a±b）2

说明：公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式． 观察、思考，并归纳、小结得出提取公因式法、运用公式法，并说明公因式的确定方法及公式的特征． 引导学生回忆多项式的因式分解首先要根据多项式的特点，选择使用恰当的方法去分解，对于有些多项式，有时需同时用到几种不同的方法，才能分解完全． 3 三、例题讲解

例1 把下列各式分解因式．

（1）18a2－50；

（2）2x2y－8xy＋8y；

（3）a2（x－y）－b2（x－y）． 发表意见，表达观点，相互补充．

苏科版数学七年级下册 第9章《整式乘法与因式分解》单元检测卷

苏科版数学七年级下册 第9章《整式乘法与因式分解》单元检测卷

苏科版数学七下第9章《整式乘法与因式分解》单元检测卷

一．选择题（共8小题）

1．下列运算正确的是（ ）

A．3a+2b＝5ab B．﹣8a2÷（4a）＝2a

C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．4a3•3a2＝12a3

2．下列从左到右的变形中属于因式分解的是（ ）

A．8xy2＝2y•4xy B．m2﹣m﹣2＝m（m﹣1）﹣2

C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2

3．下列各式中，能应用平方差公式进行计算的是（ ）

A．（a+b）（a+b） B．（2a﹣b）（﹣2a+3b）

C．（a﹣3）（3﹣a） D．（x+2y）（x﹣2y）

4．一个正方形的边长增加1cm，它的面积就增加13cm2，这个正方形的边长是（ ）

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm

5．代数式49m2+km+1是一个完全平方式，则常数k的值为（ ）

A．7 B．±7 C．14 D．±14

6．若m+n＝3，mn＝2，则m2+n2等于（ ）

A．7 B．5 C．1 D．﹣1

7．在乘法公式的学习中，我们常采用构造几何图形的方法研究问题，如图，边长为（b+2）的正方形，剪去一个边长为b的正方形之后剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这个长方形的长是（ ）

A．b+4 B．b+2 C．2b+2 D．4b+4

8．若（3x+2）（3x+a）的化简结果中不含x的一次项，则常数a的值为（ ）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2

二．填空题（共7小题）

9．把（a﹣2b）+（a2﹣4b2）因式分解的结果是 ． 10．计算20212﹣2019×2023的结果是 ．

11．已知a2n＝4，b2n＝9，则an•bn的值为 ．

12．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝18，ab＝12，则阴影部分的面积为 ．

苏科版数学七年级下册第9章《整式乘法与因式分解》单元测试4

苏科版数学七年级下册第9章《整式乘法与因式分解》单元测试4

第九章从面积到乘法公式综合测试题（A）

(满分120分，时间100分钟)

一、选择题（每题3分，满分30分）

1．计算8a3b3·(-2ab)3的结果是（ ）

(A)0 (B)-16a6b6 (C)-64 a6b6 (D) -16a4b6

2.下列各式计算正确的是（ ）

(A)a3+a3=a6 (B)(3x)2=6x2 (C)(x+y) 2= x2+y2 (D)(-x-y)(y-x)=x2-y2

3.下列各式可以用平方差公式计算的是（ ）

(A)(-a+4c)(a-4c) (B)(x-2y)(2x+y) (C)(-3a-1)(1-3a) (D)(-0.5x-y)(0.5x+y)

4.方程(3x-2)(x-6)=3x(x-4)的解为（ ）

(A)-3 (B)1.5 (C)-1.5 (D)3

5.多项式x3y2 -2x2y3+4xy4z的公因式是（ ）

(A)xy2 (B) 4xy (C)xy2z (D)xyz

6.下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ）

(A)x2-4x+4 (B)1+4x2 (C)4y2+4y-1 (D)x2+xy+y2

7.计算2m2-m(2m-5n)-n(5m-n)的结果是（ ）

(A)-n2 (B)n2 (C)-10mn+n2 (D)10mn+n2

8.如果(x+a)(x+b)的积中不含x的一次项，那么a、b一定是（ ）

(A)ab=1 (B)a+b=0 (C)a=0或b=0 (D)ab=0

9.如果(ax-b)(x-3)=x2-9,那么（ ）

(A)a=1，b=3 (B) a=-1，b=-3 (C) a=1，b=-3 (D) a=-1，b=3

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