用类比思想推导圆的面积计算公式

用类比思想推导圆的面积计算公式
中小学数学?小学版2011年第6期
用类比思想推导
圆的面积计算公式
浙江省杭州市萧山区教研室(311201)邵汉民
一
般地,我们把圆面积公式的推导过程定义为转
化的过程,即把圆通过切拼转化为近似的长方形,这种
转化思想的范型来自于平行四边形面积公式的推导.
但当全面回顾了长方形,平行四边形和三角形的面积
公式的推导之后发现,要把曲线图形圆转化为直线图
形是一件不可能完成的操作.
成书于汉代的《九章算术》第一章方田章,主要的
内容是讲述各种面积的计算.其中第32题就是求圆
田面积:
有圆田,周一百八十一步,径六十步三分步之一,
问为田几何?
答日:十一亩九十步十二分步之一
术日:半周半径相乘得积步.
《九章算术》中总结的求圆田面积公式与我们现在
的公式如出一辙,只不过这里的圆周率运用的是它的近似值3.随着圆周率的精确度的提高,应用这个公
式所计算的面积的精确度也随之提高.
这个公式是如何推导的呢?《九章算术》中没有说明.成书年代更早的一本古代天文算书《周髀算经》中有这样一段话:”圆出于方,……”.”圆出于方”这一个
命题给了我们一个新的推导思路.(见图1)
圊
正二十四边形
圆
出一
正十二边形
于
方
正六边形
正方形
贼卿
.
s=号xh
s=皂×h
S=‘
图1
图1中很清晰地表达了规律,从正方形到圆的所
一
5O一
霎
有正多边形的面积计算公式都可以归纳为”半周乘高”.我们猜测《九章算术》中的”半周半径相乘得积步”,可能就是通过这样一种类比的思路得到的.我们
以此为基本思路,展开了圆面积公式的推导.
1.回顾总结推导面积计算公式的方法.
回顾长方形,平行四边形和三角形这三种典型的
直线平面图形的推导过程,总结出用数方格和切拼转化成已知面积公式的图形这两种方法.
2.用单位面积估测圆面积.
教师在两个圆上分别贴一个方格图(如图2),请
学生估计出大致值.
./,f’
IJ
‘\/
图2
用打方格来求圆的面积是一种最原始的方法,在
古埃及的《莱因得纸草书》中就有具体的介绍.它可以比较精确地估计出圆的面积.用数方格的方法估计出
圆的面积,这一个思考过程,既是对原来方法的应用, 也为圆不可能直接转化成直线图形提供了形象的比照,为进一步思考如何求圆的面积指明了方向:化曲为直.
3.体验”圆出于方”.
教师首先用课件演示,发现圆形喷水池的轮廓并
不圆这一现象:
图3
这时,教师用课件从下往上分别演示,其中当演
示到正二十四边形,已经是一个近似的圆了,这时教师把正二十四边形放大,让学生观察到,原来它确实是一个多边形.最后总结:”圆出于方”.
“圆出于方”是古人对圆与正多形关系的一个认
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识,也是对圆进行无限分割的前提.通过本教学环节, 让学生感受到”圆出于方”的变化过程.对推导圆面积公式做足类比与推理的准备.
图4
4.推导圆面积计算公式.
从正方形开始逐步推导出求正多边形的通用公
式,再用无限类比法推导出圆面积公式.既体现了数学的传承现象,也体现了数学创新的过程.下面是具
体的教学实录:
(1)求正方形的面积,要知道什么?
生:正方形的边长.
教师用课件出示公式,并在课件中把正方形按对
角线分成四等分(四个直角三角形).师问:如果已知一
个三角形的面积能够求吗?
生:可以,一个三角形的面积乘4.
教师继续演示:把四个三角形分成两个部分,再拼成一个平行四边形.接着追问:现在你想知道什么就可以求这个正方形的面积.
生:底和高
师追问:底和高分别是原来正方形中的什么?
生:两条边的和与其中一个三角形的高.
师追问:两条边的和刚好是原来周长的多少?
生:原来正方形周长的一半.(可能学生这里不能
想到,那么就由教师直接讲解)
教师在图中演示,并总结得:s=詈×h.
对上述教学过程,用课件形成图5.
正方形
S=
图5
师:如果要你选择求正方形的面积,你喜欢原来的
面积公式,还是现在的?
生:原来的.因为现在的太繁了.
师:是的,如果就是为了求正方形的面积,当然是
原来的公式简便,但是用原来的公式不能推导出求其它几个图形的面积计算公式,但这一个公式却可以,你信不信?让我们再往下看.
【意图:我们充分考虑了学生的认知心理,对于原
来的公式与现在的公式,当然是原来的公式更简捷了. 但是数学学习的过程中,为了求出更为一般化的通用公式,往往要改变视角来考虑问题.这是一个很典型
的例子.因此,我们没有很生硬地进行说教,而是让学生通过比较,首先认同原来的公式的优点,然后教师指出推导现在公式的作用,为进一步学习提供了知识的基础和心理的准备】
(2)推导求正六边形的面积计算公式.
师:能求正六边形的面积吗?
生:分一分.
师把正六边形分成六个同样大小的三角形,然后
用课件演示.
师:正六边形变成了什么?
生:平行四边形.
师:要求正六边形的面积,需要知道什么?怎样
求?
生:正六边形的边长和三角形的高.边长乘3再
乘商.
生:也就是s={×h.
这时屏幕上演示成图6.
正六边形
正方形
s=导
图6
(以上步骤视班级情况,如果班级学习能力较强
的,可让学生先独立思考,小组交流后再汇报)
【意图:通过这个环节的教学,让学生体会到求正
方形面积时第二个公式的威力.为后面的学习迁移打好了基础】
(3)迁移得求正十二边形的面积计算公式.
教师指着正十二边形问:那么这个正十二边形的
面积可以怎么求?
生:正十二边形的周长的一半乘一个三角形的高.
教师直接用课件演示并进行验证.
一
5l一
中小学数学?小学版2011年第6期
这时演示成图7.
正十二边形
正六边形
正方形
S=
s=争
图7
(这一步骤也可以由学生先交流,再反馈)
【意图:推导求正十二边形与正二十四边形的面积
公式,教师均让学生先说出公式,然后通过演示切拼的过程来进行验证.这样做既让学生感受到类比思想的威力,也为实现对圆面积公式的推导提供了想象的空间】
(4)迁移得求正二十四边形的面积计算公式.
教学同正十二边形.
(5)类比得圆面积计算公式.
,1
生:也可以是s=×h.二
师追问:为什么?
学生说可以把它切成许多小三角形,再拼成一个
平行四边形.
教师根据学生的回答演示最后得到图1.
(6)推导出圆的面积计算公式.
观察了前述图形,可能会有学生自觉地发现:圆如
果再继续分,就可以变成一个长方形.如果没有学生说,可以引导学生观察.
【意图:如果有学生自觉发现,那么这位学生的观
察能力十分强,在教师没有引导的情况下,通过图形观察,发现了这一变化规律,十分了得.但这并不能代表绝大部分学生的认知水平,因此,还是要继续引导学生观察与想象,为得出圆面积计算公式做足准备,让计算公式呼之欲出l
引导学生观察转化成平行四边形之后的变化情
况.师:请仔细观察,从正方形转化成的平行四边形到用圆转化成的平行四边形相比,有什么变化规律? 生:越来越接近长方形了.
这时教师回到开头的回顾部分,又把学生带到了
推导公式初的时候,并问:你现在知道把圆怎样转化成我们已知的图形了吗?
一
52一
s=曲
[=]+田
s=
二碉
s一出
一
教师根据
9.
o
图8
学生的回答把圆的变化情况演示如图
图9
师:如果看成长方形,那么这里的高与圆的什么相
等?
生:与半径相等
师:那么圆的公式可以变成……
生:=等×r.教师板书:S:×,
学生齐读一遍后问,教师拿出《中国数学史大系》(《九章算术》卷)翻到事先夹着的第466页,读其中的一
段话:”圆田术:半周乘半径.”在公式后面板书:半周
乘半径.并接着说:这是我们的祖先总结出的一个求
圆面积的公式.作为现代的你,对这个公式还想进行
怎样的改进?(如果学生前面已经有了S:7rr,则问
你能知道这两个公式的联系吗?
【意图:教师用古人在算术书的记载来总结前面推
导的成果,既体现了数学的传承现象,也为后面推导圆面积公式打下了基础】
学生边回答教师边写出推导过程:
s=C×r=×r:盯2
.
请学生再读一遍整个过程,然后再请学生读一遍,
要求只读可以成公式的部分.
正如弗赖登塔尔曾经指出的:”没有任何一种数学
思想,是以它被发现时的那个样子公开发表的.一个问题被解决后,相应发展成为一种形式化的技巧,结果就将真实的求解过程丢在一边,使得火热的发明变成了冰冷的美丽.”如何让这一种”冰冷”的美丽在我们的课堂上转变成”火热”的发明,需要我们数学教师”思接千年”,通过数学史料的学习,更好地理解数学本质,丰厚数学知识,寻找数学知识的现实源头与逻辑源头,引导学生在数学的具体源头和抽象形式之间来回穿行, 领悟其间的数学思想方法.。