数学建模课数学模型的构建与求解

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一 问题重述和分析

房地产价格问题一直是引起广泛争论的热点问题。关于目前中国的房地产价格，老百姓普遍认为太贵、天价，所以，当地产商华远集团总裁任志强在博鳌论坛上抛出“30年间，和工资收入相比，房子等于没有涨价”的所谓“房价没涨论”后，立即激起舆论围攻。有人号召全国的老百姓联合起来，不买任志强们的房子，让房地产商们的房子闲着、烂着、空置着，看他们能挺到什么时候？看他们还忽悠房价上涨不？高房价厌恶者反对一切看涨。 中国社科院日前日发布2009房地产蓝皮书认为，今年上半年房价总体下行，下半年市场有回暖可能。“回暖”观点一出，毫无疑问地遭到网友一致炮轰，认为其“言过其实”。只有倾听更多理性的声音，才能帮助百姓理性地理解房价、最终准确地判断房价的走势。下文中，我们收集全国房地产的相关数据和长春市房地产的相关数据，分析确定影响房屋销售价格的主要因素，并建立全国房地产价格预测模型。利用本模型对长春市房价做了预测。

二 模型假设与符号说明

影响房价的因素很多，如人口数量、建房成本、GDP、储蓄存款、人均可支配收入、消费者需求因素、房地产的住宅总投资、房地产每年的竣工面积、银行利率、供需关系等因素有关。 1） 假设房价与建房成本、人均GDP、人均储蓄存款、人均可支配收入呈线性关系；

2） 房屋建造成本用全国每年住宅的投资额与房地产竣工面积或者房地产总投资及每年开工面积来衡量；

3） 全国经济发展用人均GDP来衡量；

4） 房价购买能力用人均储蓄存款、人均可支配收入来表示

5） 消费者心理因素如对房价的期望忽略；消费者对房屋无偏好，如无学校、公园等；

6） 假设银行利率每年保持稳定，房屋供需处于平衡状态；

7） 忽略一些配套设施对建房成本的影响，忽略人为的炒作和政府调控。

本文遇到的符号说明

符号 符号表示的意义 符号 符号表示的意义

1ix 第一个自变量，表示第i年的人均可支配收入（元） 1iw, . 自变量 1ix的系数参数

Python⼩⽩的数学建模课-B3.新冠疫情SIS模型

传染病的数学模型是数学建模中的典型问题，常见的传染病模型有 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型。

SIS 模型型将⼈群分为 S 类和 I 类，考虑患病者可以治愈⽽变成易感者，但不考虑免疫期。

本⽂详细给出了 SIS 模型的建模、例程、运⾏结果和模型分析，让⼩⽩都能懂。

带你从数模⼩⽩成为国赛达⼈。

1. 疫情传播 SIS 模型

传染病动⼒学是对传染病进⾏定量研究的重要⽅法。它依据种群繁衍迁移的特性、传染病在种群内产⽣及传播的机制、医疗与防控条件等外

部因素，建⽴可以描述传染病动⼒学⾏为的数学模型，通过对模型进⾏定性、定量分析和数值计算，模拟传染病的传播过程，预测传染病的

发展趋势，研究防控策略的作⽤。

1.1 SI 模型

SI 模型把⼈群分为易感者（S类）和患病者（I类）两类，易感者（S类）与患病者（I类）有效接触即被感染，变为患病者，⽆潜伏期、⽆治

愈情况、⽆免疫⼒。

SI 模型适⽤于只有易感者和患病者两类⼈群，且⽆法治愈的疾病。

按照 SI 模型，最终所有⼈都会被传染⽽变成病⼈，这是因为模型中没有考虑病⼈可以治愈。因此只能是健康⼈患病，⽽患病者不能恢复健

康（甚⾄也不会死亡，⽽是不断传播疫情），所以终将全部被传染。

1.2 SIS 模型

SIS 模型将⼈群分为 S 类和 I 类，考虑患病者（I 类）可以治愈⽽变成易感者（S 类），但不考虑免疫期，因此患病者（I 类）治愈变成易感

者以后还可以被感染⽽变成患病者。

SIS 模型适⽤于只有易感者和患病者两类⼈群，可以治愈，但会反复发作的疾病，例如脑炎、细菌性痢疾等治愈后也不具有免疫⼒的传染病。

SIS 模型假设：

1. 考察地区的总⼈数 N 不变，即不考虑⽣死或⼈⼝流动；

2. ⼈群分为易感者（S类）和患病者（I类）两类；

3. 易感者（S类）与患病者（I类）有效接触即被感染，变为患病者；患病者（I类）可被治愈⽽变为易感者，⽆潜伏期、⽆免疫⼒；

课改耥§一　

ＫＥＧＡ１０ＩＡＮＹＡＮ　摹　

构建数学模型　解决实际问题　

建模是一种重要的数学思想方　

法　通过数学建模．可把实际问题进　

行抽象与简化．其关键是通过对实际　

问题的分析．抓住其本质．联想相应　

的数学知识．建立数学表达式．并运　

用其性质找到解决问题的途径　具体　

来看．初中常用的数学模型有如下几　

种类型　

一、构建公式模型求解　

公式是描述数量关系的重要工　

具．在解决一些计算或因式分解等数　学问题时．构建公式模型往往会收到　

意想不到的效果　

侈０　１计算：（１）（一ｍ＋ｎ）（一ｍ—ｎ）；　

（２）（ｘ＋２ｙ－３）（　一２　＋３）；（３）（ｃ计２６—１）　。　分析：（１）一ｍ＋ｎ与一ｍ—ｎ分别　

是一ｍ与ｎ这两个数和与差的形式．　

于是可以运用平方差公式直接计算：　

（２）ｘ＋２，，－３与ｚ＿２，，＋３均是由　、２ｙ、３　

这三项组成的式子．仔细观察联系平　

方差公式的特点也很容易解出：（３）　

（叶２６～１）２可看作是０与２６—１的和平　

方．因此．分两步运用完全平方公式　

就可解出　

建模求解策略：找准多项式特　

点，与平方差公式、完全平方公式对　

照．特征相符合即可套用公式进行直　

接计算，无须繁琐地分步计算、合并　例谈新课改下的初中数学建模策略　

房县回龙乡初级中学何峰　

同类项．浪费时间。　

例２一根芦苇高出水面ｌ尺．　

一阵风吹来．芦苇被吹得贴着水面．　

这时它偏离原来的水平位置有３尺　

远．求芦苇的高度和水的深度。　

建模求解策略：将本例抽象成解　

直角三角形问题．学生的困惑就会烟　

消云散：Ｄ２＋Ｈ２＝（日　）　，其中Ｄ表示　

水平距离．日表示水的深度．ｈ表示　

超出部分　

二、构建方程或不等式模型求解　

方程模型是研究现实世界数量　

关系最基本的数学模型，它可以帮助　

人们从等量关系的角度更准确、清晰　

地认识、描述和把握现实世界。如打　

折销售、分期付款、增长率、储蓄利　

息、工程问题、行程问题、浓度配比等　问题．大多可以抽象成方程模型．通　

实验一： 数学规划模型AMPL求解

一、实验目的

1.熟悉启动AMPL的方法。

2.熟悉SCITE编辑软件的运行。

3.熟悉AMPL基本编程。

4.熟悉AMPL求解数学规划模型的过程。

二、实验原理

1. AMPL的启动与运行

一奶制品加工厂用牛奶生产A1和A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2，且都能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。先加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制，试为该厂制定一个计划，使每天的获利最大。

建模：

决策变量：x1桶牛奶生产A1 ，x2桶牛奶生产A2

目标函数：

约束条件：

AMPL安装与设置（Windows下）：

（1）下载ampl.zip，限制版本，带求解器cplex（解线性规划），minos（解线性或非线性规划，默认求解器）；

（2）把ampl.zip解压至一个目录下，然后找到ampl.exe文件所在的目录，称为ampl根目录，比如C:\ampl；

（3）把ampl根目录设置到Windows路径上，方法：鼠标右击我的电脑---属性—高级---点击环境变量出现环境变量窗口，在图下方的系统变量窗口找到Path变量，把C:\ampl增加在变量值后面（注意前面加分号），如下图； 216472xxzMax12,0xx13100x12128480xx1250xx

AMPL求解过程：

（1）下载文本编辑器Scite.rar并解压到安装目录，双击scite.exe,得到如下界面

（2）建立模型文件：在空白窗口中输入如下代码，语言选项选择AMPL，保存为milk.mod

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