高考数学一轮复习9 第9讲 函数与方程
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第9讲 函数与方程
最新考纲
考向预测
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 命题趋势 利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.
核心素养 直观想象、逻辑推理
1．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
(3)存在性定理
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋
bx＋c
(a＞0) 的图象
与x轴
的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点 x1，x2 x1 无
常用结论
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
常见误区
1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(2)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )
(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(易错题)(多选)下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1
C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
解析：选BD.根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1. 函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误．
3．函数f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致范围是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．1e，1和(3，4) D．(4，＋∞)
解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－23＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.
4．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个．
解析：依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
答案：3
5．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞) 4 / 18
函数零点所在区间的判断
(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【解析】 方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．
方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.
【答案】 B
判断函数零点所在区间的方法
方法 解读 适合题型
定理法 利用函数零点的存在性定理进行判断 能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负
图象法 画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 容易画出函数的图象 5 / 18
1．已知实数a>1，0
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：选B.因为a>1，00，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．
2．设函数f(x)＝13x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点
B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点
C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：选D.令f(x)＝0得13x＝ln x.
作出函数y＝13x和y＝ln x的图象，如图，
显然y＝f(x)在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．
函数零点个数的判断
(一题多解)函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋ln x，x>0的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0 【解析】 方法一(方程法)：由f(x)＝0，
得x≤0，x2＋x－2＝0或x>0，－1＋ln x＝0，
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
方法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
【答案】 B
判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1．已知函数f(x)＝x2－2x，x≤0，1＋1x，x>0，则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3 解析：选C.令f(x)＋3x＝0，则x≤0，x2－2x＋3x＝0或x>0，1＋1x＋3x＝0，解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.
2．函数f(x)＝3x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由题意知f(x)单调递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝3＋1－2＝2>0，即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0，1)内连续不断，所以f(x)在区间(0，1)内有一个零点．
3．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象．如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.故选C.
函数零点的应用
(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间12，3上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．2，52 D．2，103
(2)已知函数f(x)＝ex， x≤0，ln x， x>0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．
【解析】 (1)由题意知方程ax＝x2＋1在12，3上有解，即a＝x＋1x在12，3上有解，设t＝x＋1x，x∈12，3，则t的取值范围是2，103.所以实数a的取值范围是2，103.
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.
【答案】 (1)D (2)[－1，＋∞)
根据函数零点的情况求参数有三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
1．函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2)
解析：选C.由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，
