数值线性代数

数值分析课程实验设计——数值线性代数
实习题
1. 实验目的
本实验的主要目的是进一步加深对数值线性代数的理解，熟悉
常见矩阵分解方法，并在此基础上解决实际问题。

2. 实验内容
本次实验将任务分为两个部分，分别是矩阵分解与求解线性方
程组。

2.1 矩阵分解
首先，我们需要熟悉三种常见的矩阵分解：QR分解、LU分解
和奇异值分解。

我们需要通过Python语言实现这三种分解方法，
并利用这些方法解决实际问题。

2.2 求解线性方程组
其次，我们需要学会用矩阵分解的方法来求解线性方程组。

我
们将通过两个例子来进行说明，并利用Python语言实现这些方法。

3. 实验要求
本次实验要求熟悉矩阵分解的基本方法，在此基础上解决实际问题；能够运用多种方法来求解线性方程组，并分析比较它们的优缺点。

4. 实验总结
本次实验通过矩阵分解和求解线性方程组两个部分的学习，巩固了我们对于数值线性代数的知识，并在实际问题的解决中得到了应用。

感谢老师的指导，我们会在今后的学习中持续探索数值分析方面的知识。

《数值代数》课程设计评分标准 (1)交作业的内容 (1)附录1 论文结构撰写规范 (2)附录2 (2)参考论文1 (2)参考论文2 (13)参考论文3 (16)参考论文4 (21)1. 2-3两天查资料;2. 1-2天论文构思,列出提纲;3. 2-3确定计算方法和计算程序的详细内容和设计步骤；写课程设计报告；论文内容: 问题背景介绍, 建立正确的数学模型, 求解模型的数学原理, 计算过程,编写计算程序, 解释计算结果.论文字数: 1800-2200字. 注: 字数是指正文的字数.标题、摘要、关键字、目录、图表说明、参考文献、程序等不算入字数统计.论文格式: 5号字体,A4版面, 上下左右各留2cm,单倍行距,页面设置选为无网格; 编页码;图形尺寸：长度不超过4cm.一行可以放若干张图. 文稿中数据保留3位小数点.（1）要有勤于思考、刻苦钻研的学习精神和严肃认真、一丝不苟、有错必改、精益求精的工作态度，对有抄袭他人设计论文或找他人代设计、代做论文等行为的弄虚作假者一律按不及格记成绩。

（2）要敢于创新，勇于实践，注意培养创新意识。

（3）掌握课程的基本理论和基本知识，概念清楚，设计计算正确，结构设计合理，实验数据可靠，软件程序运行良好，绘图符合标准，论文撰写规范，答辩中回答问题正确。

附录1 论文结构撰写规范（1）题目、院系、班级、学生姓名。

（2）摘要摘要是论文内容的简短陈述，一般不超过150字。

关键词应为反映论文主题内容的通用技术词汇，一般为4个左右，一定要在摘要中出现。

（3）正文正文应按目录中编排的章节依次撰写，要求计算正确，论述清楚，文字简练通顺，插图简明，书写整洁。

文中图、表及公式不能徒手绘制和书写。

（4）参考文献（资料）参考文献必须是学生在课程设计中真正阅读过和运用过的，文献按照在正文中的出现顺序排列。

各类文献的书写格式如下：a．图书类的参考文献序号作者名·书名·（版次）·出版单位，出版年：引用部分起止页码。

数值线性代数课程设计⾼斯消去法数值线性代数课程设计线性⽅程组的直接解法数理学院 09405011班 0940501120 沈骁摘要：如何利⽤电⼦计算机来快速、有效的求解线性⽅程组的问题是数值线性代数的核⼼问题。

本⽂将主要介绍解线性⽅程组的基本的直接法——⾼斯消去法，平⽅根法，并⽤实例来验证此⽅法的有效性。

关键字：⾼斯消去法，顺序消去法，选主元消去法，平⽅根法，消元过程，回代过程,主元数和乘数引⾔：因为各种各样的科学与⼯程问题往往最终都要归结为⼀个线性⽅程组的求解问题。

本⽂在⽐较着⼏个⽅法的基础上，通过⼀道实例来得到最⽅便最有效的⽅法。

基本原理：⼯程计算和科学研究中的许多问题，最终归结为线性代数⽅程组的求解。

求解的⽅法也有很多，如⾼斯消去法（顺序消去法，选主元消去法），平⽅根法。

⾼斯消去法是⽬前求解中⼩规模线性⽅程组最常⽤的⽅法；平⽅根法是求解对称正定线性⽅程组最常⽤的⽅法之⼀。

为了更快速、更⽅便的求解线性⽅程组，下⾯我们⽐较⼀下这⼏种⽅法哪种更好。

⼀、⾼斯（Causs ）消去法就是逐步消去变元的系数，将原⽅程组Ax b =化为系数矩阵为三⾓形的等价⽅程组Ux d =，然后求解系数矩阵为三⾓形的⽅程组⽽得出原⽅程组解的⽅法。

把逐步消元去变元的系数，将⽅程组化为以系数矩阵为三⾓形的等价⽅程组的过程称为⼩院过程；把求系数矩阵为三⾓形的⽅程组解的过程称为回代过程。

最初求解⽅程组的⾼斯消去法也称为顺序消去法，它由消元过程和回代过程组成。

顺序消去法 1．消元过程考虑⼀般⽅程组，为了推导过程⽅便，记系数矩阵A 的元素ij a 为(0)ij a ，右端向量b 的元素i b 记为(0),1i n a +，于是⽅程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=+++=（1.1）成为()()()()()()()()()()()()00011112211100021122222100011221n n n n n n n n nn n nn a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a +++?+++=?+++=+++=假设(0)110a ≠，将第1个⽅程乘以(0)1(0)11()i a a -加到第i 个⽅程(2)i n ≤≤,得到第1个导出⽅程组(0)(0)(0)(0)111122111(1)(1)(1)222221(1)(1)(1)221n n n n n n n nn n nn a x a x a x a a x a x a a x a x a +++?++=?+=??+=其中：(0)(1)(0)(0)11(0)11i ij ij j a a a a a =-，2i n ≤≤，21j n ≤≤+。

高等代数知识体系数值分析与线性代数高等代数是数学的一个重要分支，它涉及一系列抽象的数学概念和理论，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。

在高等代数的学习和应用过程中，数值分析和线性代数是不可或缺的两个方面。

一、数值分析数值分析是研究利用数值方法解决数学问题的学科。

它通过数值计算来近似求解无法用解析方法得到精确解的问题，包括求解非线性方程、数值积分、差分方程等。

数值分析的基本原理和方法是在给定的数学模型基础上，通过离散化、近似计算等手段，得到问题的数值解。

数值分析的核心内容包括插值与逼近、数值积分、常微分方程的数值解法、线性方程组的数值解法等。

插值与逼近用于通过已知数据估计函数的值，数值积分研究如何用数值方法近似计算函数的积分，常微分方程的数值解法是为了解决微分方程的数值解问题，线性方程组的数值解法是为了求解线性方程组的数值解。

二、线性代数线性代数是研究线性方程组、向量空间和线性变换等代数结构的学科。

它是数学中的一个基础学科，也是许多应用学科的重要工具和方法。

线性代数的基本概念包括向量、向量空间、线性方程组、矩阵等。

线性代数的核心内容包括线性方程组的解法、矩阵理论、特征值与特征向量、向量空间与线性映射等。

线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵求逆法等，矩阵理论研究矩阵的性质和运算规律，特征值与特征向量揭示了矩阵的重要性质，向量空间与线性映射研究向量的线性组合和线性映射的性质。

三、高等代数知识体系与应用高等代数知识体系是数值分析和线性代数的有机结合，通过运用高等代数的基本概念、原理和方法，解决实际问题。

数值分析和线性代数在科学与工程计算、数据处理与统计学、优化与控制等领域有广泛的应用。

在科学与工程计算中，数值分析和线性代数被广泛应用于模拟计算、数值模拟和优化计算等领域。

例如，通过数值计算方法求解微分方程、求解大规模线性方程组、优化问题等，可以得到实际问题的数值解。

在数据处理与统计学中，数值分析和线性代数被广泛应用于数据分析、数据挖掘和机器学习等领域。

数值线性代数数值线性代数是一门研究矩阵和向量运算的学科，旨在通过数值方法解决线性代数相关的问题。

它在科学计算、数据科学和工程领域应用广泛。

本文将介绍数值线性代数的基本概念、常见算法和应用领域。

一、矩阵和向量的表示在数值线性代数中，矩阵和向量是最基本的数据结构。

矩阵是一个二维数组，可以用行列式来表示。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11, a12; a21, a22; a31, a32]其中a11、a12等为矩阵中的元素。

向量是一个一维数组，可以表示为：x = [x1, x2, x3, ..., xn]其中x1、x2等为向量中的元素。

矩阵和向量的运算包括加法、减法、乘法等，这些运算是数值线性代数中的基础。

二、线性方程组的求解线性方程组是数值线性代数中常见的问题，其中包括未知数个数与方程个数相等，且每个方程均为一次方程。

例如：A*x = b其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为已知向量。

求解线性方程组的方法有很多，如高斯消元法、LU分解法、迭代法等。

这些方法可以通过数值计算来近似求解。

三、矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵分解为若干特定形式的矩阵相乘的过程。

常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、奇异值分解等。

矩阵分解可以用于解决线性方程组、最小二乘问题、特征值和特征向量计算等。

四、特征值和特征向量的计算特征值和特征向量是矩阵在变换过程中具有特殊意义的量。

特征向量是指在矩阵变换中仅改变比例而不改变方向的向量，特征值是对应特征向量的比例系数。

计算矩阵的特征值和特征向量可以通过数值方法，如幂法、反迭代法、QR算法等。

五、最小二乘问题的求解最小二乘问题是数值线性代数中的一个重要问题，它是通过最小化观测数据与线性模型预测之间的差异来求解参数的问题。

最小二乘问题可以通过矩阵分解、最小化残差向量等方法求解。

六、应用领域数值线性代数在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。

在物理学中，它可以用于求解量子力学中的薛定谔方程。

数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。

[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。

为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。

这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。

[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。

于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。

该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。

运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。

算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。

[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。

下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。

事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。

于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。

[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。

因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。

因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。

即，从而即A的LU分解是唯一的。

（1）估计5到20阶Hilbert 矩阵的∞数条件数（2）设n n R A ⨯∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=111111111011001，先随机地选取n R x ∈，并计算出x A b n =；然后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组，假定计算解为∧x 。

试对n 从5到30估计计算解∧x 的精度，并且与真实相对误差作比较。

解（1）分析：利用for 使n 从5循环到20，利用()hilb 函数得到Hilbert 矩阵A ；先将算法2.5.1编制成通用的子程序，利用算法2.5.1编成的子程序)(B opt v =，对TA B -=求解，得到∞-1A的一个估计值v v =~；再利用inf),(A norm 得到∞A ；则条件数inf),(1A norm v A A K *==∞∞-。

另，矩阵A 的∞数条件数可由inf),(A cond 直接算出，两者可进行比较。

程序为1 算法2.5.1编成的子程序)(B opt v =function v=opt(B)k=1;n=length(B);x=1./n*ones(n,1); while k==1 w=B*x;v=sign(w); z=B'*v;if norm(z,inf)<=z'*x v=norm(w,1); k=0; elsex=zeros(n,1);[s,t]=max(abs(z)); x(t)=1; k=1; end end end2 问题（1）求解 ex2_1for n=5:20A=hilb(n);B=inv(A.');v=opt(B);K1=v*norm(A,inf);K2=cond(A,inf);disp(['n=',num2str(n)])disp(['估计条件数为',num2str(K1)])disp(['实际条件数为',num2str(K2)])end计算结果为n=5估计条件数为943656实际条件数为943656n=6估计条件数为29070279.0028实际条件数为29070279.0028n=7估计条件数为985194887.5079实际条件数为985194887.5079n=8估计条件数为.7717实际条件数为.7717n=9估计条件数为86.422实际条件数为86.422n=10估计条件数为750.67实际条件数为750.67n=11估计条件数为49344实际条件数为49344Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.547634e-17.> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.547634e-17.> In cond at 47In ex2_1 at 6n=12估计条件数为3.3713e+16实际条件数为3.3713e+16Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 7.847381e-19.Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 7.847381e-19.> In cond at 47In ex2_1 at 6n=13估计条件数为1.5327e+18实际条件数为1.5327e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.246123e-18.> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.246123e-18.> In cond at 47In ex2_1 at 6n=14估计条件数为4.8374e+17实际条件数为4.8374e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 8.491876e-19.> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 8.491876e-19.> In cond at 47In ex2_1 at 6n=15估计条件数为4.9674e+17实际条件数为5.3619e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 9.137489e-19.> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 9.137489e-19.> In cond at 47In ex2_1 at 6n=16估计条件数为8.3166e+17实际条件数为8.3167e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 6.244518e-19.> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 6.244518e-19.> In cond at 47n=17估计条件数为1.093e+18 实际条件数为1.093e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.693737e-19. > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.693737e-19. > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=18估计条件数为2.0651e+18 实际条件数为2.7893e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.264685e-19. > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.264685e-19. > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=19估计条件数为2.9357e+18 实际条件数为2.9357e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.351364e-19. > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.351364e-19. > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=20估计条件数为2.674e+18 实际条件数为6.473e+18结果分析随着矩阵阶数增加，估计值误差开始出现，20,17,16,15=n 时估计条件数与实际值存在误差；且条件数很大，Hilbert 矩阵为病态的。

数值线性代数线性代数是数学的一个重要分支，它研究向量空间、线性变换和矩阵等代数结构。

而数值线性代数则是将线性代数的理论与计算相结合，通过计算机程序实现对线性代数相关问题的求解。

一、向量与矩阵运算向量和矩阵是数值线性代数中最基本的概念。

向量是一个具有大小和方向的量，通常用一列数进行表示。

矩阵是一个按行和列排列的矩形阵列，其中的元素可以是实数或复数。

在计算中，向量和矩阵的加法、减法、数乘、点乘等运算非常常见，并且可以通过计算机快速实现。

二、线性方程组求解线性方程组是数值线性代数中的一个重要问题。

通过高斯消元法、LU分解法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等方法，可以有效地求解线性方程组的解。

这些方法在实际应用中有着广泛的应用，如工程、金融和科学领域等。

三、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。

在数值线性代数中，求解矩阵的特征值和特征向量对于矩阵的性质和变换具有重要的作用。

通过幂法、QR方法、雅可比方法等，可以高效地求解矩阵的特征值和特征向量。

四、奇异值分解奇异值分解是数值线性代数中的一个重要概念，它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。

奇异值分解在数据压缩、图像处理、信号处理等领域有着广泛的应用，能够提取数据的重要特征并降低数据的维度。

五、最小二乘法最小二乘法是数值线性代数中的一个常见问题，它通过最小化误差的平方和来拟合数据的线性模型。

最小二乘法在数据拟合、统计回归、信号处理等领域有着广泛的应用，能够提高模型的精度和稳定性。

结语数值线性代数作为线性代数与计算相结合的领域，对于现代科学技术和工程领域有着重要的意义。

通过对向量、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、奇异值分解、最小二乘法等问题的研究和求解，可以更有效地解决实际问题，推动科学技术的发展。

希望更多的人能够了解和应用数值线性代数的方法，为科学研究和工程实践提供有力支持。

数学中的数值线性代数数值线性代数是数学中的一个重要分支，它研究使用数值方法解决线性代数问题的理论与算法。

在实际应用中，线性代数的数值计算常常涉及大规模矩阵的运算、线性方程组的求解、特征值问题等。

本文将介绍数值线性代数的基本概念、常用方法和应用领域。

一、数值线性代数的基本概念1. 线性代数的基础知识在介绍数值线性代数之前，我们首先回顾一下线性代数的基础知识。

线性代数主要研究线性方程组、矩阵及其运算、向量空间等内容，这些内容为数值线性代数提供了理论基础。

2. 数值线性代数的定义数值线性代数是研究使用数值方法解决线性代数问题的一个分支。

它利用近似数值计算的方法，通过计算机算法来求解线性代数问题。

二、数值线性代数的常用方法1. 线性方程组的求解线性方程组是数值线性代数中最基本的问题之一。

传统的直接解法包括高斯消元法、LU分解法等，这些方法在一定条件下可以得到精确解。

而迭代法是一种近似解的方法，其中常用的有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、共轭梯度法等。

2. 特征值问题的计算特征值问题是数值线性代数中的另一个重要问题，它在很多领域中都有广泛的应用。

常用的特征值计算方法有幂法、Jacobi方法、QR方法等。

3. 矩阵分解与逆的计算将矩阵分解成特定形式的乘积矩阵，有助于简化问题的求解过程，常用的矩阵分解方法有QR分解、LU分解、SVD分解等。

此外，计算矩阵的逆也是数值线性代数中的一个重要问题，可以利用LU分解、逆的分块等方法进行计算。

三、数值线性代数的应用领域1. 计算机图形学在计算机图形学中，数值线性代数的技术被广泛应用于三维模型的表示与变换、图像处理、光照模型等方面。

例如，通过矩阵的变换可以实现对三维物体的平移、旋转、缩放等操作。

2. 数据挖掘数据挖掘是从大规模数据中寻找潜在模式和知识的过程。

数值线性代数提供了一系列数值计算的方法，可以帮助进行数据预处理、特征选择、聚类分析等操作。

3. 优化问题的求解优化问题在工程设计、经济管理等领域中经常出现，数值线性代数提供了求解优化问题的基本工具。

数值线性代数数值线性代数是线性代数在计算机科学领域中的应用，主要涉及通过数值方法解决线性代数问题。

线性代数作为数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。

在实际应用中，很多问题可以转化为线性代数问题，并且通过数值线性代数方法可以高效地求解。

一、数值线性代数的基本概念1. 向量和矩阵向量是线性代数中的基本概念，可以用来表示空间中的一个点或者一个方向。

矩阵是由若干个向量组成的数据结构，是线性变换的表达方式。

数值线性代数中的基本运算包括向量的加法、乘法，以及矩阵的加法、乘法等。

2. 线性方程组和矩阵求逆线性方程组是数值线性代数中常见的问题，可以表示为Ax=b的形式。

其中，A是一个矩阵，x和b是向量。

求解线性方程组可以通过矩阵求逆的方法来实现，即通过计算A的逆矩阵来求解线性方程组。

然而，矩阵求逆的计算复杂度较高，因此常用的数值方法包括高斯消元法、LU分解法和迭代法等。

3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，可以用来描述矩阵的性质和变换。

特征值表示矩阵在特定方向上的放大或缩小倍数，特征向量表示这个方向。

计算矩阵的特征值和特征向量可以通过特征值分解或者幂迭代等方法来实现。

二、数值线性代数的算法与应用1. 高斯消元法高斯消元法是一种求解线性方程组的常用数值方法。

通过初等变换将线性方程组化为简化行阶梯形，从而求解线性方程组的解。

高斯消元法可以通过列主元素选取来减小误差，并且在计算机中可以采用矩阵形式来表示。

2. LU分解法LU分解法是解决线性方程组的另一种常用数值方法。

通过将矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，可以简化线性方程组的求解过程。

LU分解法可以提高计算效率，并且在矩阵不变时可以重复使用。

3. 迭代法迭代法是一种近似求解线性方程组的数值方法。

通过不断迭代更新解向量，直到满足收敛条件为止。

常用的迭代法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和共轭梯度法等。

数值线性代数自测题1A一、选择题（每小题4分，共40分）1． 设nn R A ⨯∈是对称正定矩阵，且LR A =，其中：L 是下三角矩阵，R 是上三角矩阵，那么_______A ．一定有R L =B ．一定有TR L = C ．一定有*R L =D ．L 和TR 不一定相等。

2． 已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123422221，则1A =___________． A ．8B ．7C ．６D ．５3． 已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=40300063123060011283123210A则Ａ是___________．Ａ．不可约的 Ｂ．可约的Ｃ．不可约对角占优的 Ｄ．严格对角占优的 4． 数值计算的直接法，是指＿＿＿＿．Ａ．采取逐次逼近的方法来逼近问题的精确解的一类算法．Ｂ．根据问题固有的属性，经有限步迭代就可得到精确解的算法． Ｃ．在没有误差的情况下可在有限步得到计算问题的精确解的算法． Ｄ．通过观察可得到问题的精确解的算法．5． 求解线性方程组的一类最基本的直接算法——Gauss 消去法是目前求解中小规模线性方程组的最常用的方法，它一般用于系数矩阵_______的线性方程组. A ．稀疏 Ｂ．稠密 Ｃ．对称正定 Ｄ．严格对角占优或不可约 6． 求解线性方程组b Ax =的单步线性定常迭代法：g Mx xk k +=+)()1(收敛的充分必要条件是＿＿＿＿． Ａ．1)(1<=-A A A κ Ｂ．1)(<A ρＣ．1)(<M ρＤ．]),([)(b A rank A rank =7． 求解线性方程组b Ax =的正交化算法，＿＿＿＿． Ａ．要求方程组必须是矛盾方程 Ｂ．首先要保证方程组有解 Ｃ．要求方程组系数矩阵对称正定 Ｄ．通常限定Ａ是列满秩的． 8． 求解线性方程组的共轭梯度法，适用于＿＿＿＿．Ａ．稀疏方程组 Ｂ．稠密方程组 Ｃ．非奇异方程组 Ｄ．正定方程组9． 计算一个矩阵的特征值和对应特征向量的幂法可以求出＿＿＿＿＿．Ａ．模最大的特征值和对应的特征向量Ｂ．任意一个指定的特征值和对应的特征向量 Ｃ．模最小的特征值和对应的特征向量 Ｄ．全部特征值和对应的特征向量10． 计算矩阵特征值及特征向量的ＱＲ方法是自电子计算机问世以来矩阵计算的重大进展之一，它是目前计算一般矩阵的＿＿＿＿行之有效的方法之一．Ａ．模最大特征值及对应的特征向量 Ｂ．模最小特征值及对应的特征向量 Ｃ． 全部特征值及对应特征向量 Ｄ．非零特征值及对应的特征向量二、计算题（每空８分，共２４分）11． 构造Gauss 变换L ，使TT L )00,0,3,0,1()12,9,6,3,0,1(=. 12． 设T x )4,3,6,4,0,1(=．求一个Householder 变换和一个正数α使THx )0,0,6,4,,1(α=．13． 给出求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+1221122321321321x x x x x x x x x的Jacobi 迭代算法的分量形式． 三、综合题（共３６分）14． （７分）用列主元Gauss 消１法解矩阵方程：B AX =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113312121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=354604B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323122211211x x x x x x X ． 15． （７分）设nn A ⨯∈R 对称正定．试证：求方程组b Ax =的解等价于求二次泛函xb Ax x x T T -=21)(ϕ的极小点。

- 1 -第三章上机习题用你所熟悉的的计算机语言编制利用QR 分解求解线性方程组和线性最小二乘问题的通用子程序，并用你编制的子程序完成下面的计算任务： （1）求解第一章上机习题中的三个线性方程组，并将所得的计算结果与前面的结果相比较，说明各方法的优劣；（2）求一个二次多项式+bt+c y=at 2，使得在残向量的2范数下最小的意义下拟合表3.2中的数据；（3）在房产估价的线性模型111122110x a x a x a x y ++++=中，1121,,,a a a 分别表示税、浴室数目、占地面积、车库数目、房屋数目、居室数目、房龄、建筑类型、户型及壁炉数目，y 代表房屋价格。

现根据表3.3和表3.4给出的28组数据，求出模型中参数的最小二乘结果。

（表3.3和表3.4见课本P99-100） 解 分析：（1）计算一个Householder 变换H ：由于TTvv I ww I H β-=-=2，则计算一个Householder 变换H 等价于计算相应的v 、β。

其中)/(2,||||12v v e x x v T=-=β。

在实际计算中，为避免出现两个相近的数出现的情形，当01>x 时，令212221||||)(-x x x x v n +++= ；为便于储存，将v 规格化为1/v v v =，相应的，β变为)/(221v v v T=β 为防止溢出现象，用∞||||/x x 代替 （2）QR 分解：利用Householder 变换逐步将n m A n m ≥⨯,转化为上三角矩阵A H H H n n 11 -=Λ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0R Q A ，其中n H H H Q 21=，:),:1(n R Λ=。

在实际计算中，从n j :1=，若m j <，依次计算)),:((j m j A x =对应的)1()1()~(+-⨯+-k m k m j H即对应的j v ，j β，将)1:2(+-j m v j 储存到),:1(j m j A +，j β储存到)(j d ，迭代结束后再次计算Q ，有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-~001j j j H I H ，n H H H Q 21=（m n =时1-21n H H H Q =） （3）求解线性方程组b Ax =或最小二乘问题的步骤为i 计算A 的QR 分解；ii 计算b Q c T11=，其中):1(:,1n Q Q = iii 利用回代法求解上三角方程组1c Rx =（4）对第一章第一个线性方程组，由于R 的结果最后一行为零，故使用前代法时不计最后一行，而用运行结果计算84x 。