初一上动点动角压轴题

初一数学动角动点压轴题【答案】1. 解：∵∠AOB =35°，∠BOC =90°， ∴∠AOC =35°+90°=125°． ∵OD 是∠AOC 的平分线， ∴∠AOD =12∠AOC =62.5°，∴∠BOD =∠AOD -∠AOB =62.5°-35°=27.5°，即∠BOD 的度数为27.5°．2. 解：∵E 是BC 的中点，BE =3cm ，∴BC =2BE =6cm ， ∵BE =15AC =3cm ， ∴AC =15cm ，∴AB =AC -BC =15-6=9cm ， ∵D 是AB 的中点， ∴BD =12AB =4.5cm ， ∴DE =BD +BE =4.5+3=7.5cm . 即线段DE 的长是7.5cm .3. 解：（1）如图所示：；（2）∵BC =12AB ，AB =12cm ，∴BC =12AB =6cm ，∴AC =AB +BC =18cm ． ∵D 是BC 中点， ∴DC =12BC =3cm ， ∴AD =AC ﹣CD =15cm ．∵E 是AD 中点，∴DE =12AD =7.5cm ；（3）由题意得AP =t ，CQ =2t ， ①当点P 、Q 未相遇前， AP +PQ +CQ =AC t +3+2t =18 解得t =5；②当点P 、Q 相遇后，t +2t ﹣3=18， 解得t =7．答：当t =5s 或t =7s 时，PQ =3cm ．4. 解：（1）图中小于平角的角∠AOD ，∠AOC ，∠AOE ，∠DOC ，∠DOE ，∠DOB ，∠COE ，∠COB ，∠EOB ．（2）∵∠AOC =50°，OD 平分∠AOC ，∴∠DOC =12∠AOC =25°，∠BOC =180°-∠AOC =130°， ∴∠BOD =∠DOC +∠BOC =155°； （3）∵∠DOE =90°，∠DOC =25°， ∴∠COE =∠DOE -∠DOC =90°-25°=65°． 又∵∠BOE =∠BOD -∠DOE =155°-90°=65°， ∴∠COE =∠BOE ，即OE 平分∠BOC ．5. 40°；60°；80°；OE 、OF 分别平分∠AOC 和∠BOD ；20°；40°；120°；OG 平分∠EOF 6. 解：∵∠ABC =30°，∠CBD =80°， ∴∠ABD =∠CBD -∠ABC =80°-30°=50°， ∵BE 是∠ABD 的平分线， ∴∠ABE =12∠ABD =12×50°=25°， ∴∠CBE =∠ABC +∠ABE =30°+25°=55°．7. 解：设BD =xcm ，则AB =3xcm ，CD =4xcm ，AC =6xcm ．∵点E 、点F 分别为AB 、CD 的中点，∴AE =12AB =1.5xcm ，CF =12CD =2xcm ． ∴EF =AC -AE -CF =6x -1.5x -2x =2.5xcm ．∵EF =10cm ，∴2.5x =10，解得：x =4． ∴AB =12cm ，CD =16cm ．8. 解：（1）∵OM 平分∠AOC ，∴∠MOC ＝12∠AOC . 又∵ON 平分∠BOC ， ∴∠NOC ＝12∠BOC . ∴∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝12∠AOC －12∠BOC＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB .＝12×90°＝45°；（2）当∠AOB ＝α，其他条件不变时，∠MON =12α. 理由如下：∵OM 平分∠AOC ，∴∠MOC ＝12∠AOC . 又∵ON 平分∠BOC ， ∴∠NOC ＝12∠BOC .∴∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝12∠AOC －12∠BOC＝12(∠AOC －∠BOC ) ＝12∠AOB =12α．9. 解：（1）∵∠AOB =90°，∠BOC =30°， ∴∠AOC =90°+30°=120°， 又OM 平分∠AOC ， ∴∠MOC =12∠AOC =60°，又∵ON 平分∠BOC ， ∴∠NOC =12∠BOC =15°∴∠MON =∠MOC -∠NOC =45°； （2）∵∠AOB =α，∠BOC =30°， ∴∠AOC =α+30°， 又OM 平分∠AOC ， ∴∠MOC =12∠AOC =α2+15°， 又∵ON 平分∠BOC ， ∴∠NOC =12∠BOC =15° ∴∠MON =∠MOC -∠NOC =α2； （3）∵∠AOB =90°，∠BOC =β， ∴∠AOC =90°+β， 又OM 平分∠AOC ， ∴∠MOC =12∠AOC =β2+45°， 又∵ON 平分∠BOC ， ∴∠NOC =12∠BOC =β2∴∠MON =∠MOC -∠NOC =45°；（4）从（1）（2）（3）的结果可知∠MON =12∠AOB ； （5）①已知线段AB 的长为20，线段BC 的长为10，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，求线段MN 的长；②若把线段AB 的长改为a ，其余条件不变，求线段MN 的长； ③若把线段BC 的长改为b ，其余条件不变，求线段MN 的长； ④从①②③你能发现什么规律． 规律为：MN =12AB ．10. 40° 50°11. 解：（1）①由题意可知：CP =2×1=2cm ，DB =3×1=3cm∵AP =8cm ，AB =12cm ∴PB =AB -AP =4cm∴CD =CP +PB -DB =2+4-3=3cm ②∵AP =8，AB =12， ∴BP =4，AC =8-2t ， ∴DP =4-3t ，∴CD =DP +CP =2t +4-3t =4-t ， ∴AC =2CD ； （2）当t =2时，CP =2×2=4cm ，DB =3×2=6cm ， 当点D 在C 的右边时，如图所示： 由于CD =1cm ， ∴CB =CD +DB =7cm ， ∴AC =AB -CB =5cm ， ∴AP =AC +CP =9cm ，当点D 在C 的左边时，如图所示： ∴AD =AB -DB =6cm ， ∴AP =AD +CD +CP =11cm 综上所述，AP =9或1112. 解：（1）∵｜a ＋4︱＋（b －2）2＝0，∴a +4=0，b -2=0， ∴a =-4，b =2，则点A ，B 在数轴上表示为；（2）当点P 在点B 左侧时， ∵AB =2-（-4）=6，， ∴|PA |-|PB |=1不成立， ∴点P 只能在点B 的右侧，∴x =(−4+2)÷2+1÷2， 解得：x =-0.5； （3）①对，②错. 理由如下：∵M ，N 分别为QA ，QB 的中点， ∴QM =12AQ ，QN =12BQ ， ∴|QM |-|QN | =12AQ −12BQ=12(AQ −BQ ) =12AB =12×[2−(−4)] =3.∴①|QM |-|QN |的值不变； ∵M ，N 分别为QA ，QB 的中点， ∴QM =12AQ ，QN =12BQ ， ∴|QM |+|QN | =12AQ +12BQ=12(AQ +BQ ).∵AQ +BQ 的值不固定，∴②|QM |+|QN |的值不变是错误的. 13. 解：(1)60°， 75°． (2)不变，60°．∵射线OM 平分∠AOC ，射线ON 平分∠BOD ， ∴∠MOC =12∠AOC ，∠DON =12∠DOB ，∴∠MON =∠MOC +∠DON +∠COD =12（∠AOC +∠DOB ）+∠COD = 12(∠AOB -∠COD )+∠COD = 12×(90°-30°)+30°=60°， (3)①当0°＜α≤60°时，∠MON = 12(∠AOB -∠COD )+∠COD =60°， ②当60°＜α＜90°时，∠MON = 12(∠AOB -∠BOC )+12（∠COD -∠BOC ）+∠BOC =60°， ③当α=90°时，点C 在射线OB 上， ∠MON = 12∠AOC +12∠BOD =60°， ④当90°＜α＜180°时，∠MON = 12(90°+∠BOC )+ 12(30°+∠BOC )-∠BOC =60° ⑤当α=180°时，即∠AOC 为平角， ∴∠BOD =∠BOC +∠COD =90°+30°=120°， 点M 在射线OB 上， 又∵ON 平分∠BOD ， ∴∠MON =120°× 12=60°． 点M 在射线BO 上，∠MON =180°-12∠BOD =180°-60°=120°． 故∠MON =60°或120° ， ⑥当180°＜α＜240°时，2∠MOC +2∠DON -∠DOC +∠AOB =360°， ∴∠MOC +∠DON =150°，∴∠MON =∠MOC +∠DON -∠COD =120°， ⑦当α=240°时，即∠BOD 为平角， ∠MOC =12（90°+∠DOC ）=60°， 点N 在射线AO 上，∠MON =∠MOC -∠DOC +90°=120°， 点N 在射线OA 上， ∠MON =∠MOC =60°， 故∠MON =60°或120°， ⑧当240°＜α＜270°时，∠MON =12(∠AOD +DOC )-[12(∠AOD +∠AOB )-∠AOB ]=60°， ⑨当α=270°时，点C 在OB 的反向延长线上，即∠AOC =90°， ∠MON =12∠AOC +90°-12(180°-∠COD )=60°， ⑩当270°＜α＜360°时，∠MON =12(∠AOB +∠AOD )-[12(∠AOD +∠COD )-∠COD ]=60°． ⑪当α=0°或360°时,∠MON =∠COD +12∠BOD =60°， 综上：当0°≤α≤180°时，∠MON =60°， 当α=180°时，∠MON =60°或120° ， 当180°＜α＜240°时，∠MON =120°， 当α=240°时，∠MON =60°或120° ， 当240°＜α≤360时，∠MON =60°. 14. 解：（1）∵线段AC =10厘米，BC =6厘米，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴CM =12AC =5厘米，CN =12BC =3厘米， ∴MN =CM +CN =8厘米；（2）∵点M ，N 分别是AC ，BC 的中点， ∴CM =12AC ，CN =12BC ， ∴MN =CM +CN =12AC +12BC =12a ；（3）①当0＜t ≤5时，C 是线段PQ 的中点，得 10-2t =6-t ，解得t =4；②当5＜t ≤163时，P 为线段CQ 的中点，2t -10=16-3t ，解得t =265； ③当163＜t ≤6时，Q 为线段PC 的中点，6-t =3t -16，解得t =112； ④当6＜t ≤8时，C 为线段PQ 的中点，2t -10=t -6，解得t =4（舍）， 综上所述：t =4或265或112．15. （1）90；（2）（i ）如图①，当直角边ON 在∠AOC 外部时，由直线ON 平分∠AOC ，可得∠BON =30°．因此三角板绕点O 逆时针旋转60°． 此时三角板的运动时间为：t =60°÷15°=4（秒）． （ⅱ）如图③，当直角边ON 在∠AOC 内部时，由直线ON 平分∠AOC ，可得∠CON =30°． 因此三角板绕点O 逆时针旋转240°．此时三角板的运动时间为：t =240°÷15°=16（秒）． ∴当三角板绕点O 运动了4秒或16秒时，直角三角板的直角边ON 所在直线恰好平分∠AOC ．（3）∵三角板绕点O 按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转， ∴第t 秒时，三角板转过的角度为10°t ，当三角板转到如图①所示时，∠AON =∠CON∵∠AON =90°+10°t ，∠CON =∠BOC +∠BON =120°+90°-10°t =210°-10°t ∴90°+10°t =210°-10°t 即t =6；当三角板转到如图②所示时，∠AOC =∠CON =180°-120°=60° ∵∠CON =∠BOC -∠BON =120°-（10°t -90°）=210°-10°t ∴210°-10°t =60° 即t =15；当三角板转到如图③所示时，∠AON =∠CON =12∠AOC =30°， ∵∠CON =∠BON -∠BOC =（10°t -90°）-120°=10°t -210° ∴10°t -210°=30° 即t =24；当三角板转到如图④所示时，∠AON =∠AOC =60° ∵∠AON =10°t -180°-90°=10°t -270° ∴10°t -270°=60° 即t =33．故t 的值为6、15、24、33．16. 解：（1）由题意可得，20t =5t +120 解得t =8，即t =8min 时，射线OC 与OD 重合； （2）由题意得，20t+90=120+5t或20t-90=120+5t，解得，t=2或t=14即当t=2min或t=14min时，射线OC⊥OD；（3）存在，由题意得，120-20t=5t或20t-120=5t+120-20t或20t-120-5t=5t，解得t=4.8或t=487或t=12，即当以OB为角平分线时，t的值为4.8min；当以OC为角平分线时，t的值为487min，当以OD为角平分线时，t的值为12min．17. 解：（1）∵PA=23AB，AB＝30cm，∴PA＝20cm，∵OP＝OA+AP，PA＝15cm，∴OP＝15+20＝35（cm）；（2）∵OA=15cm，AB=30cm，BC＝10cm，∴OC＝15+30+10＝55（cm），由（1）得，OP＝35cm，∴CP＝55-35＝20（cm），∵点P以1cm/s的速度匀速运动，∴t P＝35÷1＝35（秒），∴t Q=35秒，∴点Q的运动速度=2035＝47cm/s.18. 解：（1）9；（2）∠NOC-∠AOM=45°.成立.理由如下：∵∠AON=90°+10t，∴∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t，∵∠AOM=10t，∴∠NOC-∠AOM=45°.（3）依题意可得，∠AOM=10t；∠AOC=45°+12t；∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠AOC，即10t=12（45°+12t），解得t=458（秒）.19. 解：（1）2t，4t；（2）如图，根据题意知：∠AOM=2t，∠BON=4t，0秒≤t≤42秒，①当∠AOB第一次达到60°时，∠AOM+∠BON+60°=∠MON，即2t+4t+60=180，解得：t=20，②当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON-∠MON=60°，即2t+4t-180=60，解得：t=40，故在运动过程中，当∠AOB达到60°时，t值为20或40．（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：①OB平分∠AOM时，∵１２∠AOM=∠BOM，∴t=180-4t，解得：t=36；②OB平分∠MON时，∵∠BOM=１２∠MON，即∠BOM=90°，∴4t=90，解得：t=22.5；③OB平分∠AON时，∵∠BON=１２∠AON，∴4t =12(180−2t )，解得：t =18；综上所述，当t 的值分别为18，22.5，36秒时，射线OB 是由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的其中两条组成的角的平分线.20. (1) ①当点P 在线段AB 上时,由PA =2PB 及AB =60cm ,可得PA =40cm ,OP =60cm ,故点P 的运动时间为60s .当AQ =13AB 时,BQ =40cm ,CQ =50cm ,点Q 的运动速度为5060=56(cm /s ); 当BQ =13AB 时,BQ =20cm ,CQ =30cm ,点Q 的运动速度为3060=12(cm /s ); ②当点P 在线段AB 的延长线上时,由PA =2PB 及AB =60cm ,可得PA =120cm ,OP =140cm , 故点P 的运动时间为140s .当AQ =13AB 时,BQ =40cm ,CQ =50cm ,点Q 的运动速度为50140=514(cm /s ); 当BQ =13AB 时,BQ =20cm ,CQ =30cm ,点Q 的运动速度为30140=314(cm /s ). (2)设运动时间为ts ,则t +3t =90±70,解得t =40或5, 由于点Q 运动到点O 时停止运动,故点Q 最多运动30s ，当点Q 运动30s 到点O 时,PQ =OP =30cm ,接着P 继续运动40s ,则PQ =OP =70cm , 此时t =70s ,故经过5s 或70s ,P ,Q 两点相距70cm . (3)当点P 在点F 左边时,如图 ①; 当点P 在点F 右边时,如图 ②. 设OP =xcm ,20≤x ≤80,则OB -AP =80-(x -20)=(100-x )cm ,EF =OF -OE =(OA +12AB )-OE =(50-x2)cm ,故OB−AP EF=100−x50−x 2=2.21. 9022. 解：（1）∵OE 平分∠AOB ，∴∠BOE =12∠AOB ， 又∠AOB =150°， ∴∠BOE =75°，又∵∠COD =12∠BOD ，且∠BOC =60°，∴∠BOD =23∠BOC =40°，∴∠DOE =∠BOE -∠BOD =75°-40°=35°； （2）由题意可知：∠AOE =15t ，∠BOF =5t ， ∵∠AOB =150°，∠BOC =60°， ∴∠AOC =90°，当OE 在∠AOC 内部时，即t <6， ∠EOC =90°-15t ，∠FOC =60°-5t ， ∵∠EOC =∠FOC ，∴90°-15t =60°-5t ， 解得：t =3，当OE 在∠AOC 外部并没有停止运动且当OF 在∠BOC 内部时，即6< t <10， ∠EOC =15t -90°，∠FOC =60°-5t ， ∵∠EOC =∠FOC ， ∴15t -90°=60°-5t ， 解得：t =7.5，当OE 停止运动且当OF 在∠BOC 内部时，即10< t <12， ∠EOC =60°，∠FOC =60°-5t ， ∵∠EOC =∠FOC ，∴60°=60°-5t ，解得：t =0（舍去）， 当OE 停止运动且当OF 在∠BOC 外部时，即30＞t >12， ∠EOC =60°，∠FOC =5t -60°， ∵∠EOC =∠FOC ， ∴60°=5t -60°，解得：t =24， ∴t =3或t =7.5或t =24；（3）延长AO 到C ，延长BO 到D ，当OM、ON都在∠AOD内，如图4，即0< t<2，∠AOM=15t，∠AON=7.5t，∴∠BON=150°+7.5t，∠BOM=150°+15t，∴2∠BON-∠BOM=2（150°+7.5t）-（150°+15t）=150°，是定值；当t=2时，此时∠BOM=180°不符合要求，舍去；当OM在∠DOC内，ON在∠AOD内，即2< t<4，∠AOM=15t，∠AON=7.5t，∴∠BON=150°+7.5t，∠BOM=360°-（150°+15t），∴2∠BON-∠BOM=2（150°+7.5t）-360°+（150°+15t）=90°+30t，不是定值；当t=4时，此时，∠BON=180°不符合要求，舍去；当OM在∠DOC内，ON在∠DOC内，如图5，即4< t<12，∠AOM=15t，∠AON=7.5t，∴∠BON=360°-（150°+7.5t），∠BOM=360°-（150°+15t），∴2∠BON-∠BOM=2[360°-（150°+7.5t）]-360°+（150°+15t）=210°，是定值；当t=12时，此时，∠AOM=15t=180°，不符合要求，舍去；当OM在∠BOC内，即12< t<14，∠AOM=360°-15t，∠AON=180°-7.5t，∴∠BON=150°-（180°-7.5t），∠BOM=360°-150°-15t，∴2∠BON-∠BOM=2[150°-（180°-7.5t）]-360°+150°+15t=-270°+30t，不是定值；综上，当0< t＜2或4< t＜12时，2∠BON-∠BOM为定值.23. 解：∵C、D两点将线段AB分为三部分，且AC：CD：DB=2：3：4，∴设AC=2x，则CD=3x，DB=4x，∴AB=AC+CD+BD=2x+3x+4x=9x．∵AB的中点为M，BD的中点为N，∴BM=12AB=92x，BN=12BD=2x，∴MN=BM−BN=92x−2x=5，∴x=2（cm），∴AB=9x=9×2=18（cm）．答：AB的长为18cm．【解析】1. 本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．先求出∠AOC的度数，再由角平分线的定义得出∠AOD的度数，根据∠BOD=∠AOD-∠AOB即可得出结论．2. 此题考查的是线段中点定义以及线段的和差计算.通过观察图形结合已知条件找出所求线段和已知线段的关系是关键.根据E是BC的中点以及BE的长，可以求出BC的长和AC的长，继而利用线段的和差求出AB的长，利用D是AB的中点，可求出BD的长，再利用线段和差即可求出线段DE的长.3. 本题考查线段的加减及中点的定义、尺规作图、分类讨论思想的运用．（1）根据题意作出图形即可；（2）根据线段间的和差倍分关系进行解答；（3）需要分类讨论：点P、Q未相遇前和当点P、Q未相遇后两种情况．4. 本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键．（1）根据角的定义即可解决；（2）根据∠BOD=∠DOC+∠BOC，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠DOC和∠BOC即可；（3）根据∠COE=∠DOE-∠DOC和∠BOE=∠BOD-∠DOE分别求得∠COE与∠BOE的度数即可说明．5. 解：∵∠AOC：∠COD：∠BOD=2：3：4，∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∴∠AOC=40°，∠COD=60°，∠BOD=80°，∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠AOE=∠COE=20°，∠BOF=∠DOF=40°，∴∠EOF=180°-20°-40°=120°，∵OG平分∠EOF，∴∠GOF=60°，故答案为：40°；60°；80°；OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD；20°；40°；120°；OG平分∠EOF．根据互补两角的和为180°和角平分线的性质即可求得∠EOF 的大小，即可解题． 本题考查了补角的性质、角平分线平分角的性质，求得∠EOF 是解题的关键．6. 本题考查了角平分线的定义和角的计算，是基础题，熟记概念是解题的关键，易错点在于要先求出∠ABD ．先求出∠ABD ，再根据角平分线的定义求出∠ABE ，然后根据∠CBE =∠ABC +∠ABE 代入数据进行计算即可得解．7. 先设BD =xcm ，由题意得AB =3xcm ，CD =4xcm ，AC =6xcm ，再根据中点的定义，用含x 的式子表示出AE和CF ，再根据EF =AC -AE -CF =2.5x ，且E 、F 之间距离是10cm ，所以2.5x =10，解方程求得x 的值，即可求AB ，CD 的长．本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，注意运用数形结合思想和方程思想．8. 本题考查角平分线的性质，角的计算．（ 1）根据角平分线的性质，可得∠MOC ＝12∠AOC ，∠NOC ＝12∠BOC ，结合∠MON ＝∠MOC －∠NOC ，得到∠MON =12∠AOB ，代入∠AOB = 90°计算即可；（2）根据角平分线的性质，可得∠MOC ＝12∠AOC ，∠NOC ＝12∠BOC ，结合∠MON ＝∠MOC －∠NOC ，得到∠MON =12∠AOB ，代入∠AOB =α即可得到答案．9. 本题考查了学会对角平分线概念的理解，会求角的度数，同时考查了学会归纳总结规律的能力，以及会根据角和线段的紧密联系设计实验的能力．（1）首先根据题中已知的两个角度数，求出角AOC 的度数，然后根据角平分线的定义可知角平分线分成的两个角都等于其大角的一半，分别求出角MOC 和角NOC ，两者之差即为角MON 的度数； （2）（3）的计算方法与（1）一样．（4）通过前三问求出的角MON 的度数可发现其都等于角AOB 度数的一半．（5）模仿线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，也在已知条件中设计两条线段的长，设计两个中点，求中点间的线段长．10. 解：（1）∵OM ，ON 分别是∠AOC 和∠BOC 的角平分线，∴∠COM =12∠AOC =25°，∠CON =12∠BOC =15°， ∴∠MON =∠MOC +∠NOC =40°， 故答案为：40°；（2）∵∠AOB =100°，∠BOC =30°， ∴∠AOC =∠AOB -∠BOC =70°，∵OM ，ON 分别是∠AOC 和∠BOC 的角平分线，∴∠COM =12∠AOC =35°，∠CON =12∠BOC =15°， ∴∠MON =∠MOC +∠NOC =50°， 故答案为：50°；（3）探究一：如图③，当射线OC 位于∠AOB 内部时，∠MON =12∠AOB ， 证明：∵OM ，ON 分别是∠AOC 和∠BOC 的角平分线， ∴∠COM =12∠AOC =25°，∠CON =12∠BOC =15°，∴∠MON =∠MOC +∠NOC =12（∠AOC +∠BOC ）=12∠AOB ；探究二：如图④，当射线OC 位于∠AOB 外部时，∠MON =12∠AOB ， 证明：∵OM ，ON 分别是∠AOC 和∠BOC 的角平分线， ∴∠COM =12∠AOC =25°，∠CON =12∠BOC =15°， ∴∠MON =∠MOC -∠NOC =12（∠AOC -∠BOC ）=12∠AOB ．（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）方法同（1）； （3）方法同（1）．本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，难度中等．11. （1）①先求出PB 、CP 与DB 的长度，然后利用CD =CP +PB -DB 即可求出答案．②用t 表示出AC 、DP 、CD 的长度即可求证AC =2CD ；（2）当t =2时，求出CP 、DB 的长度，由于没有说明D 点在C 点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 本题考查两点间的距离，涉及列代数式，分类讨论的思想，属于中等题型．12. 本题主要考查的是偶次方的非负性，绝对值的非负性，两点间的距离，数轴的有关知识.运用了分类讨论思想.（1）根据非负数的性质求出a 、b 的值即可解决问题；（2）分点P 在点B 的左侧和右侧两种情况，利用|PA |-|PB |=1求解即可；（3）根据M ，N 分别为QA ，QB 的中点，得到QM =12AQ ，QN =12BQ ，进而分别求出|QM |-|QN |和|QM |+|QN |即可求解.13. 【分析】本题考查直角三角形的性质、角平分线的定义、角的计算及旋转的性质．(1)如题图1所示，直接用∠AOB 的度数减去∠COD 的度数，即可得∠BOD 的度数；如题图2所示，由角平分线的定义，可得∠BOC =12∠COD ，再进一步求出∠AOC 的度数；(2)如题图3所示，可得∠MON 等于 12(∠AOB -∠COD )+∠COD ，结果为60°； (3)认真分析三角板的运动过程，明确不同时段图形的变化情况，分别进行计算即可 ． 【解答】（1）∠BOD =90°-∠COD =90°-30°=60°，∠AOC =90°-∠BOC =90°- 12∠COD =90°- 12×30°=75°， 故答案为60°， 75°； （2）见答案； （3）见答案.14. （1）（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t 的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．15. 解：（1）90，故答案为：90； （2）见答案； （3）见答案. 【分析】（1）根据图形即可得到结论；（2）分两种情况：（i ）当直角边ON 在∠AOC 外部时，（ii ）当直角边ON 在∠AOC 内部时，根据题意解答即可；（3）根据已知条件可知，在第t 秒时，三角板转过的角度为10°t ，然后按照OA 、OC 、ON 三条射线构成相等的角分四种情况讨论，即可求出t 的值；本题主要考查角的和、差关系，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量．16. （1）根据题意可得，射线OC 与OD 重合时，20t =5t +120，可得t 的值；（2）根据题意可得，射线OC ⊥OD 时，20t +90=120+5t 或20t -90=120+5t ，可得t 的值；（3）分三种情况，一种是以OB 为角平分线，一种是以OC 为角平分线，一种是以OD 为角平分线，然后分别进行讨论即可解答本题．本题考查角的计算、角平分线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17. 本题主要考查两点间的距离.根据图形，弄清线段之间的和、差关系是解题的关键.（1）根据PA =23AB ，可求出PA 的长，再根据OP ＝OA +AP ，即可求出OP 的长；（2）先求出OC 的长，根据OP 的长，可求出CP 的长，根据点P 运动速度，求出点P 运动时间，即得点Q 运动时间，根据速度＝路程÷时间，即可求出点Q 的速度.18. 【分析】此题主要考查了角的计算，角平分线的定义.关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键.（1）根据旋转的角度及旋转速度即可求出旋转的时间；（2）根据题意得∠AON =90°+10t ，求得∠NOC =90°+10t -45°=45°+10t ，即可得到结论； （3）根据题意得∠AOM =10t ，∠AOB =12t ，求得∠AOC =45°+12t ； 根据角的平分线的定义，列出关于t 的方程，求出t 的值即可. 【解答】解：（1）∵∠DON =90°，∴t =9010=9（秒）， 故答案为9；（2）①见答案； ②见答案； （3）见答案． 19. 【分析】本题主要考查的是角的计算，角平分线的知识，同时还涉及到一元一次方程的应用和分类讨论的思想． （1）∠AOM 的度数等于射线OA 旋转速度乘以旋转时间，∠BON 的度数等于射线OB 旋转速度乘以旋转时间即可；（2）本小题要用分类讨论的思想解题，当∠AOB 第一次达到60°时，∠AOM +∠BON +60°=∠MON ；当∠AOB第11页，共11页第二次达到60°时，∠AOM +∠BON -∠MON =60°，然后分别列出方程求解即可；（3）本小题也要用分类讨论的思想解题，射线OB 是由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况．①OB 平分∠AOM 时，有１２∠AOM =∠BOM ；②OB 平分∠MON 时，有∠BOM =１２∠MON ；③OB 平分∠AON 时，有∠BON =１２∠AON ．然后分别列出方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得，∠MOA 的度数等于射线OA 旋转速度乘以旋转时间，∠NOB 的度数等于射线OB 旋转速度乘以旋转时间∠MOA =2t °，∠NOB =4t ° . 故答案为2t ，4t ； （2）见答案（2）； （3）见答案（3）．20. 本题主要考查了线段的和差，解题的关键是注意分情况讨论.(1)根据PA =2PB ，当P 在AB 上和P 在AB 延长线上时，求出它的运动时间，即是点Q 的运动时间，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，这里的三等分点是两个点，分别是AQ =13AB 时，BQ =13AB 时，由此就可求出它的速度；（2）若点Q 运动速度为3cm /s ，经过多长时间P 、Q 两点相距70cm ，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们直背而行时，此题可设运动时间为t 秒，按速度公式求解即可； （3）借助图形，当成一个静止的线段求解即可.21. 解：（1）根据旋转的性质可知：旋转角为∠MON =90°． 故答案为90．（2）如图3：∠AOM -∠NOC =30°，理由如下： ∵∠AOC +∠BOC =180°， ∠AOC ：∠BOC =1：2， ∴∠AOC +2∠AOC =180°， ∴∠AOC =60°， ∴∠AON +CON =60°，① ∵∠MON =90°，∴∠AOM +∠AON =90°，② ②-①，得∠AOM -∠CON =30°．（3）如图4，当OM 平分∠BOC 时，ON 所在直线平分∠AOC ， ∠BOM =60°，∴三角板绕点O 逆时针旋转60°， 此时t =60÷30=2（秒）； 如图5，当ON 平分∠AOC 时，OM 所在直线平分∠BOC ， ∠CON =30°，∴三角板绕点O 逆时针旋转240°， 此时t =240÷30=8（秒）． 当om 旋转150度时也符合要求，此时旋转了5秒． 答：旋转时间为2秒或5秒或8秒．（1）根据旋转的性质可知，旋转角为∠MON ；（2）如图3，利用平角的定义，结合已知条件：∠AOC ：∠BOC =1：2，求得∠AOC =60°，然后由直角的性质、图中角与角的数量关系推知∠AOM -∠NOC =30°；（3）需要分类讨论：当OM 平分∠BOC 时，旋转角是60°；当ON 平分∠AOC 时，旋转角为240°． 本题综合考查了旋转的性质，角的计算，解决本题的关键是运用分类讨论思想，以防漏解．22. 【试题剖析】【试题解析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的性质，掌握分情况讨论是解题的关键； （1）根据角平分线的性质找到角的关系，即可求解； （2）根据题意分OE 、OF 在不同的位置求解； （3）根据题意分OM 、ON 在不同的位置讨论求解.23. 【试题解析】本题考查的是两点之间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．设AC =2x ，则CD =3x ，DB =4x ，再根据AB 的中点为M ，BD 的中点为N 用x 表示出BM 与BN 的长，根据MN =5cm 求出x 的值即可．。

2023-2024年人教版七年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练(1) ______， ______(1)若点P 到A 、B 两点的距离都相等，请直接写出点P 对应的数(2)数轴上是否存在点P ，使点P 到点A ，点B 的距离之和为10=a b =(1)___________，___________．(2)若在数轴上有两动点、分别从同时出发向右运动，点的速度为2个单位长度/秒，点的速度为1个单位长度秒，当点在点追上了点，求点对应的数为多少？=a c =P Q A B ，P Q P D Q D(1)写出数轴上点B 表示的数 ；(2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为(1)求出线段的长度；(1)点表示的数为________，点|53|-AB A(1)请直接写出a 、b 、c 的值． ______，设点P 运动时间为t 秒．(1)若M ，N ，P 三点同时出发，=a(1)数轴上点B 表示的数是 ；当点P 运动到(1)则______，______． A =a b =(1)A 点所表示的数是___________，C 点所表示的数是___________；(2)若动点P 从点C 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一动点Q 恰好从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设点P 和点Q 在数轴上的点M 相遇，求点M所表示的数是多少？(3)若动点P 从C 点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，另一动点Q 恰好从A 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，是否存在时间t ，使得P ，Q 到原点的距离相等，并求出此时点P 和点Q 所表示的数．13．如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．(1)线段的长为______．(2)当点与点相遇时，求的值．(3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值．(4)当时，直接写出的值．14．如图，在数轴上点A 、C 、B 表示的数分别是、1、12．动点P 从点A 出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点B 匀速运动；同时，点Q 从点B 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点A 匀速运动，设点Q 的运动时间为t 秒．C AB 3AC =11BC =P A AB 3B Q B BA 2A P Q P t AB P Q t P Q 9t 2.5PC QB +=t 8-(1)的长为________；AB(2)当点P与点Q相遇时，求t的值；(1)点A表示的数为___________，点B表示的数为(1)OA=__________cm，OB=__________cm参考答案：。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯动点问题压轴大题一、线段上的动点问题1．(1)如图①，D 是线段AB 上任意一点，M ，N 分别是AD ，DB 的中点，若AB ＝16，求MN 的长．(2)如图②，AB ＝16，点D 是线段AB 上一动点，M ，N 分别是AD ，DB 的中点，能否求出线段MN 的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由．(3)如图③，AB ＝16，点D 运动到线段AB 的延长线上，其他条件不变，能否求出线段MN 的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由．(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？2．如图，已知数轴上A ，B 两点对应的数分别为－2，6，O 为原点，点P 为数轴上的一动点，其对应的数为x.(1)PA ＝______，PB ＝______(用含x 的式子表示)．(2)在数轴上是否存在点P ，使PA ＋PB ＝10？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．(3)点P 以1个单位长度/s 的速度从点O 向右运动，同时点A 以5个单位长度/s 的速度向左运动，点B 以20个单位长度/s 的速度向右运动，在运动过程中，M ，N 分别是AP ，OB 的中点，问：AB －OPMN 的值是否发生变化？请说明理由．3．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．(1)当PB＝2AM时，求x的值．(2)当P在线段AB上运动时，试说明2BM－BP为定值．(3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA ＋PN的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值．4、如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14.动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t s(已知O为原点，以向右为正)．(1)写出数轴上点B表示的数___，点P表示的数____(用含t的代数式表示)；(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q 同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q?(3)若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明变化规律；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；(4)若D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x＋6|＋|x－8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，请说明理由．5、定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB=1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE=15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB=15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P 同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．二、角动的问题1、如图，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC ＝30°，将一直角三角板(∠M ＝30°)的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．(1)将图①中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图②，经过t s 后，OM 恰好平分∠BOC . ①求t 的值；②此时ON 是否平分∠AOC ？请说明理由；(2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图③，那么经过多长时间OC 平分∠MON ？请说明理由；(3)在(2)问的基础上，经过多长时间OC 平分∠MOB ？请画图并说明理由．2、如图，已知∠AOB 内部有三条射线，其中OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC. (1)若∠AOB ＝120°，∠AOC ＝30°，求∠EOF 的度数？(2)若∠AOB ＝α，求∠EOF 的度数(用含α的式子表示)；(3)若将题中的“OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC”改为“∠EOB ＝13∠COB ，∠COF ＝23∠COA ，且∠AOB ＝α，求∠EOF 的度数(用含α的式子表示)． 3、如图，O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ．（1）若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；（2）若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）在（1）的条件下，∠BOC的内部有一射线OG，射线OG将∠BOC分为1：4两部分，求∠DOG的度数．4、一副三角板ABC、DEF，如图（1）放置，（∠D=30°、∠BAC=45°）（1）求∠DBA的度数．（2）若三角板DBE绕B点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM、BN分别平分∠DBA、∠EBC，则∠MBN如何变化？（3）若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？答案线段上的动点问题1．解：(1)MN ＝DM ＋DN ＝12AD ＋12BD ＝12(AD ＋BD)＝12AB ＝8.(2)能．MN ＝DM ＋DN ＝12AD ＋12BD ＝12(AD ＋BD)＝12AB ＝8.(3)能．MN ＝MD －DN ＝12AD －12BD ＝12(AD －BD)＝12AB ＝8.(4)若点D 在线段AB 所在直线上，点M ，N 分别是AD ，DB 的中点，则MN ＝12AB.2．解：(1)|x ＋2|；|x －6| (2)分三种情况：∠当点P 在A ，B 之间时，PA ＋PB ＝8，故舍去； ∠当点P 在B 点右边时，PA ＝x ＋2，PB ＝x －6， 因为(x ＋2)＋(x －6)＝10，所以x ＝7；∠当点P 在A 点左边时，PA ＝－x －2，PB ＝6－x ， 因为(－x －2)＋(6－x)＝10，所以x ＝－3. 综上，当x ＝－3或7时，PA ＋PB ＝10. (3)AB －OPMN 的值不发生变化．理由如下： 设运动时间为t s ，则OP ＝t ，OA ＝5t ＋2，OB ＝20t ＋6，AB ＝OA ＋OB ＝25t ＋8， AB －OP ＝24t ＋8，AP ＝OA ＋OP ＝6t ＋2，AM ＝12AP ＝3t ＋1，OM ＝OA －AM ＝5t ＋2－(3t ＋1)＝2t ＋1，ON ＝12OB ＝10t ＋3， 所以MN ＝OM ＋ON ＝12t ＋4.所以AB －OP MN ＝24t ＋812t ＋4＝2.3．解：(1)当点P 在点B 左边时，PA ＝2x ，PB ＝24－2x ，AM ＝x ，所以24－2x ＝2x ，即x ＝6；当点P 在点B 右边时，PA ＝2x ，PB ＝2x －24，AM ＝x ，所以2x－24＝2x，方程无解．综上可得，x的值为6.(2)当P在线段AB上运动时，BM＝24－x，BP＝24－2x，所以2BM－BP＝2(24－x)－(24－2x)＝24，即2BM－BP为定值．(3)∠正确．当P在AB延长线上运动时，PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x－24，PN＝12PB＝x－12，所以∠MN＝PM－PN＝x－(x－12)＝12.所以MN长度不变，为定值12.∠MA＋PN＝x＋x－12＝2x－12，所以MA＋PN的值是变化的．4、（1）-6；8-5t(2)点Q表示的数为－6－3t，当点P追上点Q时，8－5t＝－6－3t，解得t＝7，∠点P运动7 s时追上点Q；(3)没有变化．分两种情况．∠当点P在A，B两点之间运动时(如答图∠)：变形4答图∠MN＝MP＋NP＝12AP＋12BP＝12(AP＋BP)＝12AB＝7；∠当点P运动到点B的左侧时(如答图∠)：变形4答图∠MN＝MP－NP＝12AP－12BP＝12(AP－BP)＝12AB＝7.综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7；(4)式子|x＋6|＋|x－8|有最小值，最小值为14.提示：当x＞8时，原式＝2x－2＞14，当x＜－6时，原式＝2－2x＞14，当－6≤x≤8时，原式＝x＋6－x＋8＝14，∠|x＋6|＋|x－8|有最小值14.也可通过数形结合，求D到A，B距离之和的最小值来解．5、解：（1）当DP＝2PE时，DP＝DE＝10cm；当2DP＝PE时，DP＝DE＝5cm．综上所述：DP的长为5cm或10cm．（2）∠根据题意得：（1+2）t＝15，解得：t＝5．答：当t＝5秒时，点P与点Q重合．∠（I）点P、Q重合前：当2AP＝PQ时，有t+2t+2t＝15，解得：t＝3；当AP＝2PQ时，有t+t+2t＝15，解得：t＝3.75；（II）点P、Q重合后，当AP＝2PQ时，有t＝2（t﹣5），解得：t＝10；当2AP＝PQ时，有2t＝（t﹣5），解得：t＝﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t＝3秒、3.75秒或10秒时，点P是线段AQ的三等分点．二、角动的问题1、解：（1）∠∠∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，∠∠AOC=30°，∠∠BOC=2∠COM=150°，∠∠COM=75°，∠∠CON=15°，∠∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，解得：t=15°÷3°=5秒；∠是，理由如下：∠∠CON=15°，∠AON=15°，∠ON平分∠AOC；（2）15秒时OC平分∠MON，理由如下：∠∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，∠∠MON=90°，∠∠CON=∠COM=45°，∠三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∠∠AOC﹣∠AON=45°，可得：6t﹣3t=15°，解得：t=5秒；（3）OC平分∠MOB∠∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∠三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∠∠COM为（90°﹣3t），∠∠BOM+∠AON=90°，可得：180°﹣（30°+6t）=（90°﹣3t），解得：t=23.3秒；2、(1)∵OF平分∠AOC，∠∠COF＝12∠AOC＝12×30°＝15°，∠∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝120°－30°＝90°， ∠OE 平分∠BOC ， ∠∠EOC ＝12∠BOC ＝45°， ∠∠EOF ＝∠COF ＋∠EOC ＝60°； (2)∠OF 平分∠AOC ，∠∠COF ＝12∠AOC ，同理∠EOC ＝12∠BOC ， ∠∠EOF ＝∠COF ＋∠EOC ＝12∠AOC ＋12∠BOC ＝12(∠AOC ＋∠BOC) ＝12∠AOB ＝12α；(3)∠∠EOB ＝13∠COB ，∠∠EOC ＝23∠COB ， ∠∠EOF ＝∠EOC ＋∠COF ＝23∠COB ＋23∠COA ＝23∠AOB ＝23α.4、。

人教版七年级上册数学期末动点问题压轴题训练1．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，数轴上一动点P对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；(2)当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点P到点A，点B的距离相等．2．如图，已知数轴上的A点对应的数是a，点B对应的数是b，且满足()2510+-=+．||a b(1)求数轴上到点A、点B距离相等的点C对应的数；(2)动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．3．已知M＝（a+18）x3﹣6x2+12x+5是关于x的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c，数轴上有一动点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点C移动，设移动时间为t秒．(1)则a＝___，b＝___，c＝___．(2)当点P运动到点B时，点Q从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴在点O和点C之间往复运动，①求t为何值时，点Q第一次与点P重合？①当点P运动到点C时，点Q的运动停止，求此时点Q一共运动了多少个单位长度，并求出此时点Q在数轴上所表示的有理数．①设点P，Q所对应的数分别是m、n，当6＜t＜8时，|c﹣n|+|b﹣m|＝8，求t的值．4．如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时动点B也从原点出发向数轴正方向运动，2秒后，两点相距16个单位长度．已知动点A、B的速度比为1：3(速度单位：每秒1个单位长度)．(1)动点A的运动速度为每秒______ 个单位长度，动点B的运动速度为______个单位长度．(2)在数轴上标出A、B两点从原点出发运动2秒时的位置；(3)若表示数0的点记为O，A、B两点分别从()2中标出的位置同时向数轴负方向运动，再经过多长时间，A、B两点相距4个单位？5．在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度(1)求出2.5秒钟后动点Q所处的位置表示的数是_______；(2)求出5秒钟后动点Q所处的位置表示的数是_______；(3)数轴上有一个定点A与原点O相距10个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A 重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．6．已知：数轴上点A 、C 对应的数分别为a 、c ，且满足27(1)0a c ++-=，点B 对应的数为3-，(1)求数=a ______，c =______；(2)若动点P 、Q 分别从A 、B 同时出发向右运动，点P 的速度为3个单位长度/秒；点Q 的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间P ，Q 两点的距离为43；(3)在（2）的条件下，若点Q 运动到点C 立刻原速返回，到达点B 后停止运动，点P 运动至点C 处又以原速返回，到达点A 后又折返向C 运动，当点Q 停止运动点P 随之停止运动．求在整个运动过程中，两点P ，Q 同时到达的点在数轴上表示的数．7．已知：ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，a 是最小的合数，b 、c 满足等式：()2560b c -+-=，点P 是ABC 的边上一动点，点P 从点B 开始沿着ABC 的边按BA AC CB →→顺序顺时针移动一周，回到点B 后停止，移动的路径为S ，移动的速度为每秒3个单位长度．如图1所示．(1)试求出ABC 的周长；(2)当点P 移动到AC 边上时，化简：436445S S S -+-+-；(3)如图2所示，若点Q 是ABC 边上一动点，P 、Q 两点分别从B 、C 同时出发，即当点P 开始移动的时候，点Q 从点C 开始沿着ABC 的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当t 为何值时，P ， Q 两点的路径(在三角形边上的距离）相差3？此时点P 在ABC 哪条边上？8．如图，数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，点C 表示数c ，b 是最小的正整数，a ，c 满足()2380a c ++-=．(1)a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____；(2)若动点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 以速度为3个单位长度/秒向右运动；点Q 以速度为1个单位长度/秒向左运动，求经过几秒后P 、Q 两点重合？(3)点A ，B ，C 在数轴上移动，点A 以每秒1个单位长度的速度向左移动，同时点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右移动．设t 秒后，点A ，B ，C 分别移动到点1A ，1B ，1C ，若点1A 与点1B 之间的距离表示为11A B ，点1B 与点1C 之间的距离表示为11B C ，试问311B C ﹣211A B 的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．9．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝10，AD ＝BC ＝6．动点P 从点A 出发，每秒1个单位长度的速度沿A →B 匀速运动，到B 点停止运动；同时点Q 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿C →B →A 匀速运动，到A 点停止运动．设P 点运动的时间为t 秒（t ＞0）．(1)点P 在AB 上运动时，P A ＝______，PB ＝______，点Q 在AB 上运动时，BQ ＝______，QA ＝______（用含t 的代数式表示）； (2)求当t 为何值时，AP ＝BQ ；(3)当P ，Q 两点在运动路线上相距3个单位长度时，请直接写出t 的值．10．如图，点A 表示的数是a ，点B 表示的数是b ，满足210(8)0a b -++=，动点P 从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒，动点P 表示的数是p ．(1)直接写=a ______，b =______，p =______(用含t 的代数式表示)；(2)动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，①问点P 运动多少秒时追上点Q①问点P 运动多少秒时与点Q 相距4个单位长度？并求出此时点P 表示的数；(3)点P 、Q 以（2）中的速度同时分别从点A 、B 向右运动，同时点R 从原点O 以每秒7个单位的速度向右运动，是否存在常数m ，使得23QR OP mOR +-的值为定值，若存在请求出m 值以及这个定值；若不存在，请说明理由．11．已知在数轴上有A ，B 两点，点A 表示的数为8，点B 在A 点的左边，且AB ＝12．若有一动点P 从数轴上点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t 秒．(1)解决问题：①当t ＝1秒时，写出数轴上点B ，P 所表示的数；①若点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，问点P 运动多少秒与Q 相距3个单位长度？ (2)探索问题：若M 为AQ 的中点，N 为BP 的中点．当点P 在P 、Q 上运动过程中，探索线段MN 与线段PQ 的数量关系（写出过程）．12．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为8，0，4-，(1)动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，点P运动________秒追上点R，此时点P在数轴上表示的数是________．(2)若点M以每秒4个单位的速度从A点出发，点N以每秒3个单位的速度运动从B点出发，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，试探究：经过多少秒时，点M、N两点间的距离为5个单位？-，2-，1，3.5及其所对应的点A，B，C，D；13．（1）在数轴上标出数： 4.5（2）A，D两点间的距离=；（3）若动点P、Q分别从B、C同时出发，沿数轴的负方向运动；设P、Q两点的运动时间为t秒，已知点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，问①t为何值时P，Q两点重合？①t为何值时P，Q两点之间的距离为1？14．已知数轴上，M表示－10，点N在点M的右边，且距M点40个单位长度．点P，点Q 是数轴上的动点．(1)直接写出点N所对应的数．(2)若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒向左运动，设点P，Q在数轴上的D点相遇，求点D表示的数．(3)若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发．以3个单位长度/秒向右运动，问经过多少秒时，P，Q两点相距8个单位长度？15．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P为AB的中点，直接写出点P对应的数；(2)数轴的原点右侧有点P，使点P到点A、点B的距离之和为8．请直接写出x的值．x＝；(3)现在点A、点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？16．如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时动点B也从原点出发向数轴正方向运动．3秒后，两点相距12个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：3（速度单位：1个单位长度/秒）．(1)求两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；(2)若A、B两点分别从（1）中标出的位置同时向数轴负方向运动，①问经过几秒钟，原点恰好处于两个动点的正中间；①再经过多长时间，OB＝2OA？17．如图，已知点A ，B ，C 是数轴上三点，点C 对应的数为6，4BC =，12AB =．(1)求点A ，B 对应的数；(2)动点P ，Q 同时从A ，C 出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动，M 为AP 的中点，N 在CQ 上，且13CN CQ =，设运动时间为(0)t t >。

2023-2024学年人教版七年级上册数学期末动角问题压轴题专题训练(1)若，则__________．(2)当线段在线段上运动时，试判断线段请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知(1)若，则 ；10cm AC =EF =cm CD AB EF EF 10cm AC =EF =cm(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由；(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，，求的度数．3．如图甲，已知线段，线段在线段上运动（不与端点、重合），E 、F 分别是、的中点．(1)观察发现：若，则______cm ．(2)拓展探究：当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度，如果变化，请说明理由．(3)迁移应用：对于角，也有和线段类似的规律：如图乙，在同一平面内，已知在内部转动，，分别平分和①若，，求；②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论．CD AB EF EF COD ∠AOB ∠OE OF 、AOC ∠BOD ∠80EOF ∠=︒35COD ∠=︒AOB ∠20cm AB =4cm CD =CD AB A B AC BD 6cm AC =EF =CD AB EF EF COD ∠AOB ∠OE OF AOC ∠BOD∠130AOB ∠=︒20COD ∠=︒EOF ∠EOF ∠AOB ∠COD ∠（1）当时，则线段 ，线段 .（2）用含的代数式表示运动过程中的长.（3）在运动过程中，若的中点为，问的长是否变化？与点的位置是否无关？（4）知识迁移：如图2，已知，过角的内部任一点画射线，若2t =AB =cm CD =cm t AB AB E EC B 120AOD ∠=︒B OB(1)如图1，为直线上的一点，，，直接写出图中一对垂角；(2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数；(3)如图2，为直线上的一点，若，，且射线绕以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，两条射线、同时运动，运动时间为秒，试求当为何值时，和互为垂角？6．如图①，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题：(1)若，求的长；(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变请求出的长度，如果变化，请说明理由；(3)通过类比，我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知在内部转O AB =90AOC ︒∠90EOD ∠=︒O AB =90AOC ︒∠30BOD ∠=︒OC O 9︒OD O 6︒OC OD t ()030t <<t AOC ∠BOD ∠CD AB 10cm AB =2cm CD =E F AC BD 3cm AC =EF CD AB EF EF COD ∠AOB ∠动，和分别平分和，则与、有何数量关系，请直接写出答案．7．如图①，已知线段，线段在线段上运动（点A 不超过点M ，点B 不超过点N ），点C 和点D 分别是，的中点．(1)若，，求的长度；(2)若，线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由；(3)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和．当转动时，是否发生变化？，和三个角有怎样的数量关系，请说明理由．8．已知，为内部的一条射线，.OE OF AOC ∠BOD ∠EOF ∠AOB ∠COD ∠24cm MN =AB MN AM BN 8cm AM =2cm AB =CD 2cm AB a =AB CD CD AOB ∠MON ∠OC OD AOM ∠BON ∠AOB ∠COD ∠AOB ∠COD ∠MON ∠150AOB ∠=︒OC AOB ∠60BOC ∠=︒(1)运动开始前，如图1，∠AOM ＝ °，∠DON ＝ °；(2)旋转过程中，当t 为何值时，射线OB 平分∠AON ？(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON ＝35°？若存在，请求出t 的值；若不存AOC BOD∠∠参考答案：。

初一上线段动点压轴题1．如图，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，F为DE的中点．（1）若AC＝4，BC＝6，求CF的长；（2）若AB＝16CF，求的值．2．已知线段AB，点C在线段BA的延长线上，且AC＝AB，若点D是BC的中点，AD＝3cm，求AB的长？3．点C在线段AB上，BC＝2AC．（1）如图1，P、Q两点同时从C、B出发，分别以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动①在P还未到达A点时，的值为；②当Q在P右侧时（点Q与C不重合），取PQ中点M，CQ的中点N，求的值；（2）若D是直线AB上一点，且|AD﹣BD|＝CD，则的值为．4．如图，数轴上有点A、B两个点，OA＝16，点B所表示的数为20，AC＝6AB．（1）求点C所表示的数；（2）动点P、Q分别自A、B两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，求出线段EF的长度；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别自A、B出发的同时，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3＜t＜时，数轴上的有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段MN 上一点（点T不与点M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．5．已知，如图所示，一条直线上依次有A、B、C三个点．（1）若BC＝10，AC＝3AB，求AB的长；（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD中点，点N为CD中点，求的值；（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP的中点，点F是BC的中点（E，F不重合）．下列结论中：①是定值；②是定值，其中只有一个结论正确，请选择正确结论并求出其值．6．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点C在原点位置，点B表示的数为﹣4，下表中A﹣B，B﹣C，D﹣C，E﹣D，F﹣E的含义为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如B ﹣C为﹣4﹣0＝﹣4．A﹣B B﹣C D﹣C E﹣D F﹣E10﹣4﹣1x2（1）在数轴上表示出A，D两点；（2）当点A与点F的距离为3时，求x的值；（3）当点M以每秒1个单位长度的速度从点B出发向左运动时，同时点N从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，到达点C后立即以同样的速度反方向运动，那么出发秒钟时，点D到点M，点N的距离相等（直接写出答案）．初一上动角问题1．已知∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON 的大小；（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD 内旋转时，求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠B0C在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM＝∠DON．求t的值．2．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，P A、PB与直线MN重合，且三角板P AC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．（1）直接写出∠DPC的度数．（2）如图②，在图①基础上，若三角板P AC的边P A从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当P A转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当PC与PB重合时，求旋转的时间是多少？（3）在（2）的条件下，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请直接写出旋转的时间．3．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如图1，当OB、OC重合时，∠AOE﹣∠BOF＝；（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，当∠COF＝17°时，t＝秒．4．如图1，点O是直线AB上的一点．（1）如图1，当∠AOD是直角，3∠AOC＝∠BOD，求∠COD的度数；（2）在（1）中∠COD绕着点O顺时针旋转（OD与OB重合即停止），如图2，OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD，则在旋转过程中∠EOF的大小是否变化？若不变，求出∠EOF的大小；若改变，说明理由；（3）在（1）中线段OC、OD绕着点O顺时针旋转，速度分别为每秒20°和每秒10°（当OD 与OB重合时旋转都停止），OM、ON分别平分∠BOC、∠BOD，多少秒时∠COM＝∠BON（直接写出答案，不必写出过程）．。

七年级数学上册《动角问题》期末押轴真题训练1.如图1,已知∠ABC =50°，有一个三角板BDE与∠ABC共用一个顶点B,其中∠EBD- =45° .(1)若BD平分∠ABC,求∠EBC的度数；(2)如图2，将三角板绕着点B顺时针旋转a度(0° <a <90° ) ,当AB⊥BD时，求∠EBC的度数.解: (1) ∵BD平分∠ABC,∠ABC= 50°∴∠CBD=∠ABC =25°,∵∠EBD=45°,∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=45° +25° =70°(2)∵ AB⊥BD,∴∠ABD= 90°,∵∠ABC= 50°∴∠DCB=90° - 50° =40°,∵∠EBD=45°，∴∠EBC=45° - 40° =5° .2.将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O.(1)如图1,若∠AOD =35°，求∠BOC的度数.(2)若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA 重合，然后将其绕点O旋转.试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系?请说明理由.解: (1) 若∠AOD= 35° ,∵∠AOB=∠COD= 90°,∴∠BOD=90° - 35° = 55°∴∠BOC=90° -∠BOD=90° -55° =35° ;(2) ∠AOC与∠BOD互补.当∠AOB与∠DOC有重叠部分时,∵∠AOB=∠COD= 90°∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180° .∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC,∴∠AOC+∠BOD= 180°当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时,∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°,又∵∠AOB=∠COD= 90°,∴∠AOC+∠BOD= 180°.4.如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC:∠BOC=1:2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON 在直线AB的下方，且∠MON= 90° .(1)如图1,求∠CON的度数;(2)将图1中的∠MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2，若直线ON恰好平分锐角∠AOC,求∠MON所运动的时间t值;(3)在(2)的条件下，当∠AOC与∠NOC互余时,求出∠BOC 与∠MOC之间的数量关系.解: (1) ∵∠AOC:∠BOC=1: 2,∠AOC+∠MOC= 180°,∴∠AOC==x 180= 60°,∵∠MON= 90°,∴∠AON= 90°,∴∠CON=∠AOC+∠AON=90° +60° = 150(2)由图2题意可知，若直线ON恰好平分锐角∠AOC,①如图(1)所示：ON沿逆时针旋转的度数为60°.∴∠MON所运动的时间t= 60=10 (s) .6②如图(2)所示：∵直线ON恰好平分锐角∠AOC，∴ON沿逆时针旋转的度数为90° +150° = 240°.∠MON所运动的时间 t=240°6°=40 (s) ;②综上所述:∠MON所运动的时间t=40 (s) 或10 (s) .(3)如图②所示：∵∠AOC+∠NOC=90°，OM与OA重合∴∠BOC与∠MOC互补.如图③所示:当ON平分∠AOC时，∠AOC+∠NOC= 90°∴∠NOC=30°，∠ MOC=120°，∠ BOC= 120°∴∠BOC=∠MOC综上所述：∠BOC与∠MOC互补或相等.。

2023-2024学年人教版数学七年级上册期末动点问题压轴题专项训练（五）1．如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C点.（1）求动点A所走过的路程及A、C之间的距离.（2）若C表示的数为1，则点A表示的数为 .2．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

（1）若点P为AB的中点，直接写出点P对应的数；（2）数轴的原点右侧有点P，使点P到点A、点B的距离之和为8。

请直接写出x的值。

x=　。

（3）现在点A、点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P 以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动。

当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为－1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由.（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动.当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？4．如图，在长方形ABCD中，点E是AB边上一个定点，点P是BC边上一个动点，连结EP，将△BEP 沿EP折叠至△B＇EP.（1）若∠AEB ＇比∠BEP 大15°，求∠AEP 的大小.（2）连结PD ，若PD ⊥PE ，请判断∠B ＇PD 和∠CPD 的大小关系，并说明理由.5．已知A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且|2b+20|+|a-20|=0，P 是数轴上的一个动点，0为原点。

（1）在数轴上标出A 、B 的位置，并求出A 、B 之间的距离。

专题16难点探究专题：几何图形中动角问题压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一几何图形中动角定值问题】 (1)【考点二几何图形中动角数量关系问题】 (6)【考点三几何图形中动角求运动时间问题】 (11)【过关检测】 (20)【典型例题】【考点一几何图形中动角定值问题】∠的度数.(1)求MON∠(2)当射线OC在AOB(3)在（2）的条件下，【答案】(1)35︒(2)发生变化，理由见解析【变式训练】1．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点O ，绕着点O 转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题：(1)如图1，当点B 在射线OC 上时，直接写出AOD ∠的度数是____________度；(2)①如图2，当OB 为COD ∠的角平分线时，求出此时AOC ∠的度数；②如图3，当OB 为AOD ∠的角平分线时，求出此时AOC ∠的度数；(3)若OB 只在COD ∠内部旋转，作AOC ∠平分线OE 交AB 于点E ，再作BOD ∠的平分线OF 交CD 于点F ，在转动过程中EOF ∠的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由．【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知三角板中角度的特点是解题的关键．4．（2023秋·湖北武汉∠（本题中的角均为大于平分BOD(1)如图，当OB，OC重合时，求EOF∠的度数；(2)当COD∠从图中所示位置绕点O顺时针旋转∠-∠的值，若不是，请说明理由．定值，求出AOE BOF(3)当COD∠从图中所示位置绕点O顺时针旋转【答案】(1)70︒COD ∠ 从图中所示位置绕点AOC AOB ∴∠=∠ 射线OE 平分12AOE ∴∠=∠AOE BOF ∴∠-∠AOE BOF ∴∠-∠（3）解：当0当80140n ≤<时，如图360AOC AOB ∠=︒-∠BOD BOC ∠=∠+∠ 射线OE 平分AOC ∠360AOC AOB ∠=︒-∠360BOD n ∠=︒-︒-∠ 射线OE 平分AOC ∠12AOE AOC ∴∠=∠=320BOF AOE ∴∠-∠=综上，AOE ∠与BOF ∠110AOE BOF ∠-∠=【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是【考点二几何图形中动角数量关系问题】例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知O 为直线AB 上一点，射线OD 、OC 、OE 位于直线AB 上方，OD 在OE 的左侧，120AOC ∠=︒，80DOE ∠=︒．(1)如图1，当OD 平分AOC ∠时，求EOB ∠的度数；(2)点F 在射线OB 上，若射线OF 绕点O 逆时针旋转n ︒（0180n <<且60n ≠），3FOA AOD ∠=∠．当DOE ∠在AOC ∠内部（图2）和DOE ∠的两边在射线OC 的两侧（图3）时，FOE ∠和EOC ∠的数量关系是否改变，【变式训练】1．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O 在直线AB 上，COD ∠在直线AB 上方，且60COD ∠=︒，射线OE 在COD ∠内部，2AOE DOE ∠=∠．(1)如图1，若OD 是BOC ∠的平分线，求COE ∠的度数；∠的度数；(1)如图，当OB，OC重合时，求EOF(2)当COD∠从图中所示位置绕点O顺时针旋转∠-∠的值，若不是，请说明理由．定值，求出AOE BOF(3)当COD∠从图中所示位置绕点O顺时针旋转【答案】(1)70︒(2)为定值，理由见解析当80140n ≤<时，如图360AOC AOB ∠=︒-∠-BOD BOC COD ∠=∠+∠ 射线OE 平分AOC ∠12602AOE AOC ∴∠=∠=260AOE BOF ∴∠-∠=当140220n ≤<时，如图360AOC AOB n ∠=︒-∠-360BOD n COD ∠=︒-︒-∠ 射线OE 平分AOC ∠，射线12602AOE AOC ∴∠=∠=3202BOF AOE ︒-∴∠-∠=综上，AOE ∠与BOF ∠具有的数量关系为：当110AOE BOF ∠-∠=︒；当【考点三几何图形中动角求运动时间问题】例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，A ，O ，B 三点在一条直线上，且24AOC ∠=°，78BOD ∠=︒，射线OM ，ON 分别平分AOD ∠和BOD ∠．如图2，将射线OA 以每秒8︒的速度绕点O 逆时针旋转一周，同时将COD ∠以每秒6︒的速度绕点O 逆时针旋转，当射线OC 与射线OB 重合时，COD ∠停止运动．设射线OA 的运动时间为t 秒．(1)运动开始前，如图1，DON ∠=______︒，AOM ∠=______︒；(2)旋转过程中，当t 为何值时，射线OD 平分BOM ∠?【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的性质，根据角的关系列方程求解是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O 为直线一直角三角板（30M ∠=︒）的直角顶点放在点O 处，的上方．(1)将图1中的三角板绕点O 以每秒2︒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图BOC ∠．求t 的值；并判断此时ON 是否平分AOC ∠？说明理由；(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 那么经过多长时间OC 平分MON ∠？请说明理由．【答案】(1)152t =；ON 平分AOC ∠，理由见解析(2)t 的值为154或315 2【分析】（1）根据AOC ∠的度数求出COM ∠的度数，根据互余得出根据题意和图形得出90AON BOM ∠+∠=°，CON ∠平分AOC ∠；（2）根据题意和图形得出45CON COM ∠=∠=°，再根据旋转求出结果即可．则12MOC MON ∠=∠=∴60445t -=，∴154t =，∴3152t =,综上所述，满足条件的t 的值为【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问(1)如图1所示，若120AOB ∠=︒，OM 平分AOC ∠，ON 平分AOB ∠(2)如图2所示，AOB ∠是直角，从点O 出发在BOC ∠内引射线OD 平分COD ∠，求BOM ∠的度数；(3)如图3所示，AOB x ∠=︒，射线OP ，射线OQ 分别从OC OB ，出发，并分别以每秒(1)【探索新知】如图1，射线OC 在AOB ∠的内部，图中共有3个角：AOB ∠，AOC ∠是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是AOB ∠的“巧分线”．①一个角的平分线这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）11060602t =+⨯，解得9t =；当MPN QPN ∠=∠时，如图所示：10260t =⨯，解得12t =；当22MPN Q PN ∠=∠时，如图所示：1060260t =+⨯，解得18t =．()1105603t t =+，解得 2.4t =；②当12QPN MPN ∠=∠()1105602t t =+，解得4t =；③当23QPN MPN ∠=∠()2105603t t =+，解得6t =．∴当t 为2.4s 或4s 或6s【过关检测】一、单选题1．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点О在直线AB 上，射线,OC OD 分别在AB 两侧，90COD ∠=︒，OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOD ∠，下列四个结论：①45COE BOF ∠-∠=︒；②EOF ∠为定值；③290BOE AOD ∠-∠=︒；④315AOF EOD ∠+∠=︒．其中正确的结论个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】设BOC α∠=，则180AOC α∠=︒-，90BOD α∠=︒-，可得()()1809090AOC BOD αα∠-∠=︒--︒-=︒，再根据角平分线的定义可得()1452AOC BOD COE BOF ∠︒-∠∠-∠==，故①正确；再由()12EOF COE BOC BOF AOC BOD BOC ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠，可得②正确；再分别求出∠BOE 和AOD ∠，可得③正确；然后求出AOF ∠和EOD ∠，即可求解．【详解】解：设BOC α∠=，则180AOC α∠=︒-，∵90COD ∠=︒，∴90BOD α∠=︒-，∴()()1809090AOC BOD αα∠-∠=︒--︒-=︒，∵OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOD ∠，二、填空题三、解答题5．（2023秋·广东揭阳·七年级统考期末）已知O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠．(1)如图①，若30AOC ∠=︒，求COE ∠，DOB ∠的度数．(1)分别指出图中AON ∠和(2)若68BOC ∠=︒，求CON ∠(3)CON ∠和COM ∠具有怎样的数量关系，并说明理由．由题意∠BOC=3t°，【答案】(1)110、90、55；(2)122AOB CODDOE∠-∠=∠是定值，理由见解析【分析】（1）根据给出的关系，依次求出∠问题提出：(1)若75BOC ∠=︒，求(2)如果75BOC ∠=︒问题解决：(1)如图1，若30AOC ∠=︒，求DOE ∠的度数；(2)将直角三角板绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，写出你的结论，并说明理由；(3)在图1中，30AOC ∠=︒，OP 与OD 的起始位置重合，再将三角板(1)在图1中，若30∠=COE∠=(2)在图1中，设COE(3)在已知条件不变的前提下，当数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出【答案】(1)60︒；30︒αβ-=︒(2)230αβ+=︒，理由见解析(3)230问题实践：①t =_____秒，边CE 落在边BC 上；②当边CD 平分ACB ∠时，t =_______秒；深度探究：(3)如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角尺CDE 绕点C 以每秒15︒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺ABC 也绕点C 以每秒5︒的速度顺时针旋转，当三角尺CDE 的边CD 首次落在直线MN 上时停止旋转，同时三角尺ABC 也停止旋转，求t 为何值时，15BCE ∠=︒．【答案】(1)75︒(2)①5；②10.5(3)3或4.5秒【分析】（1）由180ACB BCE ECD ∠+∠+∠=︒计算即可得到答案；（2）①由（1）得，75BCE ∠=︒，当边CE 落在边BC 上，刚好旋转的度数为BCE ∠的度数，因此75155(s)t =︒÷︒=；②先求出旋转的角度，再根据时间＝路程÷速度，进行计算即可求解；（3）分两种情况：①边BC 与边EC 相遇前；②边BC 与边EC 相遇后，列方程进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：180ACB BCE ECD ∠+∠+∠=︒ ，45ACB ∠= ，60DCE ∠=o ，180180456075BCE ACB DCE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：75︒；（2）解：①由（1）得，75BCE ∠=︒，当边CE 落在边BC 上，刚好旋转的度数为BCE ∠的度数，三角尺CDE 绕点C 逆时针旋转的速度为以每秒15︒，75155(s)t ∴=︒÷︒=，故答案为：5；②当边CD 平分ACB ∠时，画出图如图所示，。

7年级期末冲刺压轴题：动点问题【例1】如图，点A从原点出发沿数轴向右运动，同时，点B也从原点出发沿数轴向左运动3秒后，两点相距18个单位长度，已知点B的速度是点A的速度的5倍（速度单位：单位长度/秒）。

（1）求点A、B的运动速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向右运动，几秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间？（3）当A、B两点从（2）中的位置继续以原来的速度沿数轴向右运动的同时，另一点C从原点位置也向A点运动，当遇到A点后立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到B点追上A点时，C点立即停止运动。

若点C一直以10个单位/秒的速度匀速运动，那么点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少单位长度？【解析】（1）设A的速度为x，则B的速度为5x，3秒A、B的运动路程之和为18：3x+3×5x=18，解得：x=1，即A的速度为1，B的速度为5；（2）A、B在（1）中的位置为运动3秒时的位置，所以A表示的数为3，B表示的数为-15.设t秒后，原点处在点A、点B的正中间，根据“移动公式”、“中点公式”（详见7年级培优：数轴上的动点），t秒后，A表示的数为：3+t，B表示的数为：-15+5t，所以：[(3+t)+（-15+5t）]/2=0解得：t=2（秒）;（3）A、B在（2）中的位置为运动2秒时的位置，所以A表示的数为3+2×1=5，B 表示的数为-15+5×2=-5.只要求出C的运动时间就能求得C的运动路程；而C的运动时间就是B追上A的时间。

A、B的路程差为：5-（-5）=10根据“追及公式”（7年级培优：数轴上的动点），B追上A的时间为：10÷（5-1）=2.5（秒）∴C的运动路程为：2.5×10=25（个单位长度）【例2】已知数轴上两个点A、B表示的数分别为-3，9.（1）点C从原点O出发向右运动，经过3秒后，点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，求点C的运动速度；（2）点D以1个单位长度/秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以5个单位长度/秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以20个单位长度/秒的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是PD、OD的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由。

七上期末复习（压轴题）---动角问题训练一、解答题1.一副直角三角尺按如图①所示的方式摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB.现将三角尺DFE绕点F顺时针旋转(当点D落在射线FB上时停止旋转)．(1)当∠AFD=________゜时，DF//AC；当∠AFD=________゜时，DF丄AB．(2)在旋转过程中，DF与交于点P，如图②.若△AFP有两个内角相等，求∠APD的度数．(3)当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图③.若∠AFM=2∠BMN，比较∠FMN与∠FNM的度数，并说明理由．2.已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．(1)如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD.则∠MON的大小为______；(2)如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.求∠MON的大小；(3)在(2)的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．3.如图1，OC是∠AOB内的一条射线，(1)将OB、OA向∠AOB内部翻折，使射线OA、OB都与射线OC重合；折痕分别为OE、OF，∠EOF=25°，求∠AOB的度数；(2)如图2，∠MON=20°，OC是∠MON内部的一条射线，第一次操作分为两个步骤：第一步：将OC沿OM向∠MON外部翻折，得到OM1，第二步：将OC沿ON 向∠MON外部翻折，得到ON1；第二次操作也分为两个步骤：第一步：将OC沿OM1向∠MON外部翻折，得到OM2；第二步：将OC沿ON1向∠MON外部翻折，得到ON2；…依此类推，在第______ 次操作的第______ 步恰好第一次形成一个周角，并求∠MOC的度数．4.已知：点O为直线AB上一点，∠COD=90°，射线OE平分∠AOD．(1)如图①所示，若∠COE=20°，则∠BOD=______°.(2)若将∠COD绕点O旋转至图②的位置，试判断∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由；(3)若将∠COD绕点O旋转至图③的位置，∠BOD和∠COE的数量关系是否发生变化？并请说明理由．(4)若将∠COD绕点O旋转至图④的位置，继续探究∠BOD和∠COE的数量关系，请直接写出∠BOD和∠COE之间的数量关系：______．5.如图①，已知线段AB=20cm，CD=2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．(1)若AC=4cm，则EF=______cm．(2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，则∠EOF、∠AOB和∠COD有何关系，请直接写出______．6.已知∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．(1)如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD.当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；(2)如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；(3)在(2)的条件下，若∠AOB=10°，当∠B0C在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度∠DON.求t的值．逆时针旋转t秒时，∠AOM=237.如图1，已知∠AOC=m°，∠BOC=n°且m、n满足等式|3m−420|+(2n−40)2=0，射线OP从OB处绕点0以4度/秒的速度逆时针旋转．(1)试求∠AOB的度数；(2)如图1，当射线OP从OB处绕点O开始逆时针旋转，同时射线OQ从OA处以1度/秒的速度绕点0顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得∠POQ=10°；(3)如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O开始逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线OE处(OE在∠DOC的内部)时，且∠COE∠DOE+∠BOC =45，试求x．8.已知∠AOB=110°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．(1)如图①，当OB、OC重合时，求∠AOE−∠BOF的值；(2)当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒(0<t<10)；在旋转过程中∠AOE−∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．9.已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF.设CE=a，CF=b．(1)如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；(2)当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；(3)如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°，∠DOE=80°．10.(1)如图，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；(2)点F在射线OB上，①若射线OF绕点O逆时针旋转n°(0<n<180且n≠60)，∠FOA=3∠AOD，请判断∠FOE和∠EOC的数量关系并说明理由；②若射线OF绕点O顺时针旋转n°(0<n<180)，∠FOA=2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOH=∠AOC时，则n=____．11.如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，−6，∠DCE=90°(C与O重合，D点在数轴的正半轴上)(1)如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF=______；(2)如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t(0<t<3)个单位后，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF=α．①当t=1时，α=______；②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；(3)如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t(0<t<3)个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF=α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t(0<t<3)个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1=β，若α与β满足|α−β|= 20°，请直接写出t的值为_______．12.如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)如图2，将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使边OM在∠BOC的内部且OM恰好平分∠BOC，此时∠AOM的度数是多少？(2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；(3)将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，求此时三角板绕点O旋转的时间是多少？13.一副三角尺按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒4°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t．(1)当t=5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是______度；(2)当t=______秒时，边PB平分∠CPD；(3)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒1°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．①当t为何值时，边PB平分∠CPD；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．(1)如图1，若∠AOM=30°，求∠CON的度数；(2)在图1中，若∠AOM=a，直接写出∠CON的度数(用含a的代数式表示)；(3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方．①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②当∠AOC=3∠BON时，求∠AOM的度数．15.小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F.求证：∠CFE=∠CEF；【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；【探究廷伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M.试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．。

七年级上册数学动点问题压轴题一、数轴上的动点问题。

1. 已知数轴上A、B两点对应的数分别为 1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数。

解析：因为点P到点A、点B的距离相等，所以PA = PB。

根据数轴上两点间的距离公式d=| a b|（d为两点间距离，a、b为两点对应的数），则| x-(-1)|=| x 3|，即| x + 1|=| x-3|。

当x≥3时，x + 1=x 3，方程无解。

当-1时，x + 1=-(x 3)，x+1=-x + 3，2x=2，解得x = 1。

当x≤-1时，-(x + 1)=-(x 3)，方程无解。

所以点P对应的数为1。

（2）数轴上是否存在点P，使PA+PB = 5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。

解析：根据距离公式PA=| x+1|，PB=| x 3|，则| x + 1|+| x-3| = 5。

当x≥3时，x + 1+x 3=5，2x-2 = 5，2x=7，解得x=(7)/(2)。

当-1时，x + 1-(x 3)=5，x + 1-x + 3=5，4 = 5，方程无解。

当x≤-1时，-(x + 1)-(x 3)=5，-x-1-x + 3 = 5，-2x+2 = 5，-2x=3，解得x=-(3)/(2)。

所以存在点P，x=(7)/(2)或x =-(3)/(2)。

2. 点A在数轴上对应的数为 2，点B对应的数为1，点P在数轴上对应的数为x。

（1）若点P到点A、点B的距离之和为5，求x的值。

解析：由题意得| x-(-2)|+| x 1|=5，即| x + 2|+| x-1| = 5。

当x≥1时，x + 2+x 1=5，2x+1 = 5，2x = 4，解得x = 2。

当-2时，x + 2-(x 1)=5，x + 2-x + 1=5，3 = 5，方程无解。

当x≤-2时，-(x + 2)-(x 1)=5，-x-2-x + 1 = 5，-2x-1 = 5，-2x = 6，解得x=-3。

数轴上的动点问题目录解题知识必备..................................................................................................................................................1压轴题型讲练.. (2)类型一、点的运动时间问题 (2)类型二、单点的规律运动问题 (5)类型三、定值问题 (6)类型四、双点往返运动问题 (10)类型五、数轴的折叠问题................................................................................................................................15压轴能力测评（11题）.. (20)1.数轴：规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴。

2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度3.任何有理数都可以用数轴上的点表示.4.数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.5.数轴上两点间的距离如图，A 、B 表示的数为a 、b ，则A 与B 间的距离AB=|a －b|；当a ，b 的大小已知时，“大减小（右减左）”，不知大小时，“绝对值”（两数差的绝对值）.6.数轴上两点间中点表示的数如图，C 是AB 的中点，则C 表示的数x=2a b +；理由：AC=BC ，则x －a=b －x ，∴x=2a b +.7.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.例：P从A出发，以2个单位/秒速度向右运动，t秒后达到的点表示的数为：a+2t.数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系.类型一、点的运动时间问题例1．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P 从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．(1)数轴上点B表示的数是_______，点P表示的数是_______(用含t的代数式表示)；(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？【答案】(1)―4；6―6t．(2)当点P运动5秒时，点P与点Q相遇．【分析】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据题意得出各线段之间的等量关系是解题关键．（1）由题意知OA=6，OB=AB―OA=10―6=4，因为B点在原点左边，从而得出数轴上点B表示的数；动点P从点A出发沿数轴向左匀速运动，根据题意则得出点P表示的数；（2）设P点运动t秒时追上点Q，根据题意列方程6t=10+4t，解得t值．【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，∴OA=6，则OB=AB―OA=10―6=4，又∵点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为―4；点P运动t秒的长度为6t，∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6―6t．（2）设点P运动t秒时追上点Q，根据题意，得6t=10+4t，解得：t=5，答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇．变式1-1．已知数轴上有三个点A，B，C，点A表示的数是8，点B到点A的距离为12，点C到A点的距离为7．(1)点B表示的数为 ；(2)点C表示的数为 ；(3)若点A在点B右侧，动点R从点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点P从点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点P，R同时出发，点R运动多少秒时追上点P？【答案】(1)20或―4(2)1或15(3)5秒或19秒【分析】（1）分点B在点A的左边和右边两种情况求解即可；（2）分点C在点A的左边和右边两种情况求解即可；（3）分点C表示1和15两种情况，然后分别求出路程差，再根据路程差列方程求解即可．【详解】（1）解：当点B在点A的左边，点B表示的数为8―12=―4；当点B在点A的右边，点B表示的数为8+12=20；综上，点B表示的数为20或―4．故答案为：20或―4．（2）解：当点C在点A的左边，点C表示的数为8―7=1；当点C在点A的右边，点C表示的数为8+7=15；综上，点C表示的数为1或15．故答案为：1或15．（3）解：设点R运动a秒时追上点P，当C表示1时，则BC的距离为1―(―4)=5，则有2a―a=5，解得：a=5；当C表示15时，则BC的距离为15―(―4)=19，则有2a―a=19，解得：a=19综上，点R运动多少秒时追上点P所需时间为5秒或19秒．答：点R运动5秒或19秒时追上点P．【点睛】本题主要考查了在数轴上表示数、数轴上的动点问题等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．变式1-2．已知a、b为常数，且满足|a―12|+(b+20)2=0，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．(1)求a 、b 的值；(2)请用含t 的代数式表示点E 在数轴上对应的数为：______；点F 在数轴上对应的数为：______；(3)当E 、F 相遇后，点E 继续保持向左运动，点F 在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E 、F 之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t 的值．【答案】(1)a =12，b =―20(2)12―6t ，2t ―20(3)154,133，272，292【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，（1）根据绝对值和平方式的非负性得出a 和b 的值即可；（2）根据点的运动得出代数式即可；（3）分四种不同情况进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可．解题的关键是要运用分类讨论的思想．【详解】（1）解： ∵|a ―12|+(b +20)2=0，|a ―12|≥0，(b +20)2≥0，∴a ―12=0，b +20=0，∴a =12，b =―20；（2）解：由题意可知，E 点对应的数为：12―6t ，F 对应的数为―20+2t =2t ―20，故答案为：12―6t ，2t ―20；（3）解：在相遇前：t =[20―(―12)―2]÷(2+6)=154，设t ′时E 、F 相遇，即12―6t ′=2t ′―20；解得t ′=4，①当E 点在F 点左侧时，且F 点没动时，由题意可得，6(t ―4)=2，解得：t =133，②当E 点在F 点左侧时，且F 点已动时，6×(t ―4)―2×5×(t ―4―4)=2，解得：t =272，③当点E 在点F 右侧时，由题意2×5×(t ―4―4)―6×(t ―4)=2，解得：t =292，综上所述，符合条件的t 的值为：154,133，272，292．类型二、单点的规律运动问题例2．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，x n 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论（1）x 3=3；（2）x 5=1；（3）x 76>x 77；（4）x 103<x 104；（5）x 2018<x 2019其中，正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】机器人每5秒完成一个循环，每个循环前进1步，n÷5的整数值即前进的步数，余数是1，总步数加1，是2加2，是3加3，是4加2．【详解】依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5秒对应的数是1，2，3，2，1；根据此规律即可推导判断：（1）和（2），显然正确；（3）中，76÷5=15……1，故x76=15+1=16，77÷5=15……2，故x77=15+2=17，16＜17，故错误；（4）中，103÷5=20……3，故x103=20+3=23，104÷5=20……4，故x104=20+2=22，23＞22，故错误；（5）中，2018÷5=403……3，故x2018=403+3=406，2019÷5=403……4，故错误．故选：B ．【点睛】本题考查的是归纳探索能力，确定循环次数和第n 次的对应数字是解题的关键．变式2-1．一动点p 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进5个单位，后退3个单位的程序运动，已知p 每秒前进或后退1个单位．设x n 表示第n 秒点p 在数轴的位置所对应的数，如x 4=4,x 5=5,x 6=4，则x 2019为（ ）A ．504B ．505C ．506D ．507【答案】D【分析】先解出点P 每8秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导出答案．【详解】解：依题意得，点P 每8秒完成一组前进和后退，前8个对应的数是1、2、3、4、5、4、3、2；9∼16对应的数是3、4、5、6、7、6、5、4；∵2019=8×252+3，故x 2019=252×2+3=507．故选：D ．【点睛】此题主要考查了数轴上点对应数字的规律探索，弄清题中的基本循环规律是解本题的关键．变式2-2．如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O 点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A 1，第2次移动到A 2，第3次移动到A 3，……，第n 次移动到A n ，则△O A 2A 2019的面积是（ ）A ．504B ．10092C ．20112D ．505【答案】B【分析】根据图可得移动4次完成一个循环，观察图形得出OA4n=2n ，处在数轴上的点为A4n 和A4n-1.由OA2016=1008，推出OA2019=1009，由此即可解决问题．【详解】解： 观察图形可知： OA4n=2n ，且点A4n 和点A4n-1在数轴上，又2016=504×4，∴A2016在数轴上，且OA2016=1008，∵2019=505×4-1，∴点A2019在数轴上，OA2019=1009，∴△OA2A2019的面积=12×1009×1=10092，故选：B ．【点睛】本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．类型三、定值问题例3．如图：在数轴上A 点表示数―3，B 点表示数1，C 点表示数9．(1)若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则点B 与______表示的点重合；(2)若点A 、点B 和点C 分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t 秒钟过后，A ，B ，C 三点中恰有一点为另外两点的中点，求t 值；②当点C 在B 点右侧时，是否存在常数m ，使mBC ―2AB 的值为定值，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)5；(2)① t =1或4或16；②存在，m =―23．【分析】（1）求出AC 的长度和中点，然后求出中点到点B 的距离即中点到点B 的重合点的距离，即可求得点B 的重合点；（2）①分别以A、B、C为中点，列出方程求解即可；②使mBC―2AB的值为定值，列出等式中的含t项合并为0，从而求出m的值．【详解】（1）AC=9―(―3)=12，12÷2=6，∴AC的中点表示的数为：9―6=3，∵3―1=2，点B的重合点为3+2=5，故答案为：5；（2）解：①由题意可知，t秒时，点A所在的数为：―3―2t，点B所在的数为：1―t，点C所在的数为：9―4t，（1）若B为AC中点，，则1―t=(―3―2t)+(9―4t)2解得t=1；（2）若C为AB中点，，则9―4t=(―3―2t)+(1―t)2解得t=4；（3）若A为BC中点，，则―3―2t=1―t+9―4t2解得t=16；综上，当t=1或4或16时，A、B C②假设存在．∵C在B右侧，B在A右侧，∴BC=9―4t―(1―t)=8―3t，AB=1―t―(―3―2t)=t+4，∴mBC―2AB=m(8―3t)―2(t+4)=8m―8―(3m+2)t，当3m+2=0即m=―2时，3mBC―2AB=8×―8=―40，为定值，3使mBC―2AB的值为定值．故存在常数m=―23【点睛】此题考查了数轴上两点间距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是能用两点间的距离公式列出方程．变式3-1．若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，我们把A、B两点之间的距离表示为AB，记AB=|a―b|，且a，b满足|a―1|+(b+2)2=0．(1)a=；b=；线段AB的长=；(2)点C在数轴上对应的数是c，且c与b互为相反数，在数轴上是否存在点P，使得PA+PB=PC?若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；(3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点A和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，t秒钟后，若点A和点C之间的距离表示为AC，点A和点B之间的距离表示为AB，那么AB―AC的值是否随着时间t的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出AB―AC的值．【答案】(1)1，―2，3；(2)―3或―1；(3)AB―AC的值不随着时间t的变化而变化，值为2．【分析】（1）根据绝对值及平方的非负性，求出a，b的值，从而求出线段AB的长；（2）设P对应的数为y，再由PA+PB=PC，可得出点P对应的数；（3）根据A，B，C的运动情况即可确定AB，AC的变化情况，即可确定AB―AC的值．【详解】（1）∵|a―1|+(b+2)2=0，∴a―1=0，b+2=0，解得：a=1，b=―2，∴线段AB的长为：1―(―2)=3，故答案为：1，―2，3；（2）由（1）得：b=―2，∴c=2，设P对应的数为y，由图知：①P在A右侧时，不可能存在P点；②P在B左侧时，1―y―2―y=2―y，解得: y=―3，③当P在A、B中间时，3=2―y，解得: y=―1，故点P对应的数是―3或―1；（3）AB―AC的值不随着时间t的变化而变化，理由如下：t秒钟后，A点位置为：1+4t，∴B点的位置为: ―2―t，C点的位置为: 2+9t，∴AB=1+4t―(―2―t)=5t+3AC=2+9t―(1+4t)=5t+1，∴AB–AC=5t+3―(5t+1)=2，∴AB―AC的值不随着时间t的变化而变化，值为2．【点睛】此题考查了非负数的应用，数轴的应用，数轴上的距离，理解数轴上点的距离是解题的关键．变式3-2．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4cm到达A点，再向右移动5cm到达B点，然后再向右移动3cm到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上标出A、B、C三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______．(2)把点A到点C的距离记为AC，则AB=_____cm，AC=______cm；(3)若点A从（1）中的位置沿数轴以每秒1cm匀速向右运动，经过多少秒使AC=3cm？【答案】(1)―4，1，4(2)5，8(3)5或11【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上两点间距离，数轴上动点问题．（1）根据题意利用观察即可得到本题答案；（2）根据题意利用两点间距离即可得到；（3）分情况讨论当点A在点C的左侧时和当点A在点C的右侧时，分别列式即可得到本题答案．【详解】（1）解：由题意得：A点对应的数为―4，B点对应的数为1，点C对应的数为4，点A，B，C在数轴上表示如图：A表示的数为―4，B表示的数为1，C表示的数为4，故答案为：―4，1，4；（2）解：∵A点对应的数为―4，B点对应的数为1，点C对应的数为4，∴AB=1―(―4)=5cm，AC=4―(―4)=8cm，故答案为：5，8；（3）解∶①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，由题意得：8―x=3，解得：x=5；②当点A在点C的右侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，由题意得：x―8=3，解得：x=11，综上，经过5或11秒后点A到点C的距离为3cm．类型四、双点往返运动问题例4．如图，数轴上点A表示的数为―10，点B表示的数为20．点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点P出发的同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设P、Q 两点运动的时间为t秒(t>0)．(1)点P表示的数为________，点Q表示的数为________．（用含t的代数式表示）(2)当t=3，t=12时，分别求线段PQ的长．(3)当PQ=5时，求所有符合条件的t的值．(4)若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，以原速度沿数轴的负方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，当PQ=8时，直接写出t的值．【答案】(1)t，―10+2t；(2)当t=3时，PQ=7；当t=12时，PQ=2；(3)t=5或t=15；(4)t=2或t=58．3【分析】本题主要考查了两点间的距离，数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是熟记两点间的距离公式，找到等量关系．（1）根据点的运动方向列代数式即可求解；（2）先根据两点间的距离公式求出PQ，再把t值代入求解；（3）根据两点间的距离公式列方程求解；（4）根据t的取值范围，分类讨论，列方程求解．【详解】（1）解：点P表示的数为t，点Q表示的数为―10+2t，故答案为：t，―10+2t；（2）PQ=|t―(―10+2t)|=|10―t|，当t=3时，PQ=|10―3|=7，当t=12时，PQ=|10―12|=2；（3）由题意得：|10―t|=5，解得：t=5或t=15；（4）当0≤t≤15时，PQ=|10―t|=8，解得：t=2或t=18（不符合题意，舍去），当15<t≤30时，PQ=|t―[20―2(t―15)]|=|t―(50―2t)|=8，或t=14（不符合题意，舍去），解得：t=583综上所述，t =2或t =583．变式4-1．如图，O 是数轴的原点，A 、B 是数轴上的两个点，A 点对应的数是―1，B 点对应的数是8，C 是线段AB 上一点，满足AC BC =54．(1)求C 点对应的数；(2)动点M 从A 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M 到达C 点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B 点后停止．在点M 从A 点出发的同时，动点N 从B 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A 点后停止．设点N 的运动时间为t 秒．①当MN =4时，求t 的值；②在点M ，N 出发的同时，点P 从C 点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P 与点M 相遇后，点P 立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P 与点N 相遇后，点P 又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A 点后停止．当PM =2PN 时，请直接写出t 的值．【答案】(1)4(2)①53或173；②t 的值为73或197或5.5【分析】（1）根据A 点，B 点对应的数，得到AB =9，根据AC 与BC 的比值，得到AC =5，BC =4，得到C 点对应的数是8―4=4；（2）①当M 、N 未相遇， M 表示的数是―1+2t ， N 表示的数是8―t ，得到8―t ―(―1+2t)=4，解得t =53；当M 、N 相遇后，M 在BC 上运动，M 表示的数是4+2t ―52―2=2t ―5， N 表示的数是8―t ，得到2t ―5―(8―t)=4，解得t =173；②当P 与M 还未第一次相遇时，P 表示的数是4―3t ，M 表示的数是―1+2t ，N 表示的数是8―t ，得到4―3t ―(―1+2t)=2[8―t ―(4―3t)]，解得t =―13，此种情况不存在；当P 与M 第一次相遇后，相遇后P 掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N 前，P 表示的数是(4―3×1)+3(t ―1)=3t ―2，得到3t ―2―(―1+2t)=2[8―t ―(3t ―2)]，解得t =73；当P 与N 相遇后，未与M 第二次相遇时，P 表示的数是(8―2.5)―3(t ―2.5)=13―3t ，13―3t ―4=2[8―t ―(13―3t)]，解得t =197；当P 与M 在点C 处第二次相遇后直到到达A 点前，P 表示的数是13―3t ， M表示的数是4，得到4―(13―3t)=2[8―t ―(13―3t)]，解得t =1，根据2.5<t ≤4.5，得到这种情况不存在；当P 运动到A 后，若N 为PM 的中点，此时PM =2PN ，―1+(2t ―5)=2(8―t)，解得t =5.5．本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键．【详解】（1）∵A 点对应的数是―1，B 点对应的数是8，∴AB =8+1=9，∵AC BC =54，∴AC =5，BC =4，∴C 点对应的数是8―BC =8―4=4，答：C 点对应的数是4；（2）①∵运动t 秒时，MN =4当M 、N 未相遇，则M 在AC 上运动，M 表示的数是―1+2t ，N 在BC 上运动，N 表示的数是8―t ，∴8―t ―(―1+2t)=4，解得t =53，当M 、N 相遇后，M 在BC 上运动，M 表示的数是4+2t ―52―2=2t ―5，N 在AC 上运动，N 表示的数是8―t ，∴2t ―5―(8―t)=4，解得t =173，综上所述，t 的值为53或173；②当P 与M 还未第一次相遇时，4―3t ，M 表示的数是―1+2t ，N 表示的数是8―t ，∵PM =2PN∴4―3t ―(―1+2t)=2[8―t ―(4―3t)]，解得t =―13（舍去），此种情况不存在，由已知得，P 与M 在t =1时第一次相遇，相遇后P 掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N 前，P 表示的数是(4―3×1)+3(t ―1)=3t ―2，∴3t ―2―(―1+2t)=2[8―t ―(3t ―2)]，解得t =73，由已知可知，当P 与M 在表示1的点处相遇，此时N 运动到表示7的点处，再经过7―13+1=1.5秒，即t =2.5时，P 与N 相遇，此时M 正好运动到C ，P 与N 相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M 第二次相遇，此时P 表示的数是(8―2.5)―3(t ―2.5)=13―3t ，∴13―3t ―4=2[8―t ―(13―3t)]，解得t =197，当P 与M 在点C 处第二次相遇后直到到达A 点前，P 表示的数是13―3t ，M 在C 点处，M 表示的数是4，次情况2.5<t ≤4.5，∴4―(13―3t)=2[8―t ―(13―3t)]，解得t =1，不合，∴这种情况不存在，当P 运动到A 后，若N 为PM 的中点，此时PM =2PN ，∴―1+(2t ―5)=2(8―t)，解得t =5.5，综上所述，t 的值为73，或197，或5.5．变式4-2．已知数轴上有A 、B 、C 三个点，分别表示有理数―24、―10、10，动点P 从A 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C 移动，设移动时间为t 秒．若用PA ，PB ，PC 分别表示点P 与点A 、点B 、点C 的距离，试回答以下问题．(1)当点P 运动10秒时，PA =______，PB =______，PC =______；(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示P到点A、点B、点C的距离：PA=______，PB=______，PC=______；(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？(4)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由．【答案】(1)10，4，24；(2)t，|―14+t|，|―34+t|；(3)―7；(4)―5，―1，2.5，4.5．【分析】（1）根据题意求得t=10时，P点的位置，进而求得两点距离；（2）先表示出P点的位置表示的数，进而求得两点距离；（3）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可；（4）分Q点到达C点之前，和Q点到达C点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可；此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．【详解】（1）∵A、B、C三个点，分别表示有理数―24、―10、10，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，∴t=10时，P点表示的数为―24+10=―14，∴当P点运动10秒时，PA=|―14―(―24)|=10，PB=|―14―(―10)|=4，PC=|―14―10|=24，故答案为：10，4，24；（2）依题意，当P点运动了t秒时，则PA=t，点P表示的数为―24+t，∴PB=|―24+t―(―10)|=|―14+t|，PC=|―24+t―10|=|―34+t|，故答案为：t，|―14+t|，|―34+t|；（3）∵PA=PC，∴t=|―34+t|，即t=―34+t或―t=―34+t，解得：t=17，∴点P表示的数为―24+17=―7；（4）根据题意，设经过x秒后P、Q两点之间的距离为4个单位长度，P点运动到C点需要的时间为：20÷1=20（秒）①当Q点未到达C点，此时AQ =3x ，BP =x ，则Q 点表示的数为―24+3x ，点P 表示的数为―10+x ，则PQ =|―10+x ―(―24+3x)|=|14―2x|=4，即14―2x =4或14―2x =―4，解得：x =5或x =9，∴点表示的数为―5或―1；②当Q 点从C 点返回后，此时AQ =AC ―QC =|34―(3x ―34)|=|68―3x|，BP =x ，则Q 点表示的数为―24+68―3x =―3x +44，点P 表示的数为―10+x ，则PQ =|―10+x ―(―3x +44)|=|4x ―54|=4，即4x ―54=4或4x ―54=―4，解得x =292或x =252，∴点P 表示的数为4.5或2.5，综上所述，点P 表示的数为―5，―1，2.5，4.5．类型五、数轴的折叠问题例5．综合与探究数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：(1)平移运动一机器人从原点O 开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ．(2)翻折变换①若折叠数轴所在纸条，表示―1的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合．②若数轴上D 、E 两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D 在E 的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示，E点表示．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是―17、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点M′落在点N的右边，并且线段M′N的长度为3，请直接写出点P表示的数．【答案】(1)―3；1012(2)①―3；②―1011；1013；③―3【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键．（1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题．（2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题．【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知，它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：―1；它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1；它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：―2；它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2；它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：―3；它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；…，由此可见，它跳完第2n次时，落在数轴上的点表示的数是n，它跳完第(2n―1)次时，落在数轴上的点表示的数是―n；当2n―1=5，即n=3时，―n=―3，所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是―3；当2n=2024，即n=1012时，可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012；故答案为：―3，1012．（2）①由表示―1的点与表示3的点重合可知，―1+3=1，2则折点所表示的数为1．因为5―1=1―(―3)，所以表示5的点与表示―3的点重合．故答案为：―3．②因为折痕与①的折痕相同，所以这次折叠的折点所表示的数也为1．又因为2024÷2=1012，1+1012=1013，1―1012=―1011，所以点D表示的数为―1011，点E表示的数为1013．故答案为：―1011，1013．③由折叠可知，MP=M′P，因为点M、N表示的数分别是―17、8，所以MN=8―(―17)=25．又因为点M′落在点N的右边，并且线段M′N的长度为3，所以MM′=25+3=28．因为28÷2=14，―17+14=―3，所以点P表示的数为―3．故答案为：―3．变式5-1．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示―10，点B 表示10，点C表示17，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距27个单位长度．动点P，Q同时出发，点P从点A出发，以2个单位长度／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1个单位长度／秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，问：(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？(2)当P，Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？(3)当P，O两点在“折线数轴”上相距的长度与Q，B两点在“折线数轴”上相距的长度相等时，t的值为（直接写出结果）．【答案】(1)18.5秒(2)143(3)3或6或9或18【分析】本题考查了数轴上两点之间距离，一元一次方程与路程问题的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．，分段求出每段折线上的时间再求和即可；（1）根据时间＝路程速度（2）P、Q两点相遇时，所用时间相等，根据等量关系建立一元一次方程；（3）根据P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等可以判断时间相等，根据等量关系建立一元一次方程，同时需要分情况讨论，即虽然PO=OP，但PO和OP不是同一条射线．【详解】（1）解：点P 从点 A 运动至 C 点需要的时间为：t=10÷2+10÷1+(17―10)÷2=18.5（秒）．答：点P 从点 A 运动至 C 点需要的时间是18.5 秒；（2）解：由题可知，P，Q 两点相遇在线段OB上于M 处，设OM=x，则10÷2+x÷1=7÷1+(10―x)÷2，解得：x=143．∴OM=143表示P，Q 两点相遇在线段OB上于M 处，即相遇点M 所对应的数是143．（3）解：P、O 两点在数轴上相距的长度与Q、B 两点在数轴上相距的长度相等有 4 种可能：①当动点Q 在CB上，动点P在AO上时，则：7―t=10―2t，解得：t=3；②当动点Q 在CB上，动点P在OB上时，则：7―t=(t―5)×1，解得：t=6；③当动点Q 在BO上，动点P 在OB上时，则：2(t―7)=(t―5)×1，解得：t=9；④当动点Q 在OA上，动点P 在BC上时，则：(t―7―5)×1=2(t―5―10)，解得：t=18．综上所述：t 的值为 3 或 6 或9或18．故答案为： 3 或 6 或9或18．变式5-2．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示―9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为AD=45．素材2 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度．问题解决：探索1 ：动点P从点A运动至点B需要多少时间？探索2 ：动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；探索3 ：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足PB+PC=16时，求动点P运动的时间．【答案】探索1：P从点A运动至点B的时间为16.5秒；探索2：P表示的数为4t―54；探索3：动点P运动的时间是14.5秒或20.5秒．【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识．探索1：根据时间=路程÷速度，即可求解；探索2：由探索1可得P在BC段运动时间为：(t―16.5)秒，进而得到BP=4t―66，结合点B表示12，即可求解；探索3：分两种情况：①当P在BO上时，②当P在CD上时，根据线段的和差以及时间=路程÷速度，即可求解．【详解】解：探索1：∵点A表示―9，点B表示12，∴OA=9，OB=12，∵P在AO段初始速度为2个单位长度/秒，P在OB段速度为初始速度的一半，∴P在OB段速度为1个单位长度/秒，∴P从点A运动至点B的时间为：92+121=16.5（秒）；探索2：∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在BC段速度为初始速度的两倍，∴P在BC段速度为4个单位长度/秒，由探索1可得：P在BC段运动时间为：(t―16.5)秒，∴BP=4(t―16.5)=4t―66，∵点B表示12，∴P表示的数为：12+(4t―66)=4t―54；探索3：设t秒后PB+PC=16，①当P在BO上时，∵PB+PC=16，∴PB+(PB+BC)=16，∵BC=12，∴PB=2，∴PO=OB―BP=12―2=10，∵OA=9，∴t=92+101=4.5+10=14.5（秒）；②当P在CD上时，。

人教版七年级上册数学期末动点问题压轴题1．如图，在数轴上，点A 表示的数是－4，点B 表示的数是6，点C 到点A 和点B 的距离相等，动点P 从点B 沿B —A —B 运动，P 回到点B 时运动停止，当点P 在原点左边时，速度是每秒2个单位，当点P 在原点右边时，速度是每秒1.5个单位，每当点P 走到点C 时，都要停顿1秒，设点P 出发t 秒时，点P 表示的数是x ．（1）在图中标出点C ，点C 所表示的数是 ．（2）当t ＝4.5时，x ＝ ；当t ＝7时，x ＝ ． （3）当t ＝ 时，x ＝3．（4）当t 满足 时，1x =；当t 满足 时，25x <≤．2．()1在数轴上标出数 4.5,2,1,3.5--所对应的点A B C D ，，，；()2,C D 两点间距离=____；,B C 两点间距离=；()3数轴上有两点M N ，，点M 对应的数为a ，点N 对应的数为b ，那么M N ，两点之间的距离=；()4若动点,P Q 分别从点,B C 同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P 的速度是每秒1个单位长度，点Q 的速度是每秒2个单位长度，设运动时间为t ，问： ①t 为何值时,P Q 两点重合？①t 为何值时,P Q 两点之间的距离为1？3．已知在数轴l 上，一动点Q 从原点O 出发，沿直线l 以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度（1）求出5秒钟后动点Q 所处的位置；（2）如果在数轴l 上还有一个定点A ，且A 与原点O 相距10个单位长度，问：动点Q 从原点出发，可能与点A 重合吗？若能，则第一次与点A 重合需多长时间？若不能，请说明理由．4．如图，在数轴上有A 、B 、C 这三个点．回答：（1）A 、B 、C 这三个点表示的数各是多少？（2）A 、B 两点间的距离是多少？A 、C 两点间的距离是多少？（3）若将点A 向右移动5个单位后，则A 、B 、C 这三个点所表示的数谁最大？ （4）应怎样移动点B 的位置，使点B 到点A 和点C 的距离相等？5．已知数轴上，M 表示－10，点N 在点M 的右边，且距M 点40个单位长度，点P ，点Q 是数轴上的动点．（1）直接写出点N 所对应的数；（2）若点P 从点M 出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q 从点N 出发，以3个单位长度/秒向左运动，设点P 、Q 在数轴上的D 点相遇，求点D 的表示的数；（3）若点P 从点M 出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q 从点N 出发，以3个单位长度/秒向右运动，问经过多少秒时，P ，Q 两点重合？6．已知A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且点B 距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点B 先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A ，P 是数轴上的一个动点． (1)在数轴上标出A 、B 的位置，并求出A 、B 之间的距离；(2)已知线段OB 上有点C 且6BC =，当数轴上有点P 满足2PB PC =时，求P 点对应的数；(3)动点P 从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点P 能移动到与A 或B 重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合7．如图，在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，且a 、b 满足212(6)0a b ++-=．()1求A 、B 两点之间的距离；()2点C 、D 在线段AB 上，AC 为14个单位长度，BD 为8个单位长度，求线段CD 的长；()3在()2的条件下，动点P 以3个单位长度/秒的速度从A 点出发沿正方向运动，同时点Q 以2个单位长度/秒的速度从D 点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P 、点Q 到点C 的距离相等．8．一条直线流水线上有5个机器人，它们站的位置在数轴上依次用点12345,,,,A A A A A 表示，如图所示．（1）站在点_____上的机器人表示的数的绝对值最大，站在点_____和点______，点______和点_____上的机器人到原点的距离相等；（2）怎样移动点3A ，使它先到达点2A ，再到达点5A ？请用文字语言说明． （3）若原点是零件供应点，则5个机器人到达供应点取货的总路程是多少？9．如图，数轴的单位长度为1,点,A D 表示的数互为相反数．（1）直接写出：点B 表示的数是_____，点C 表示的数是_____．（2）如果数轴上点P 到点,B C 的距离和等于5,则点P 表示的数是 ．（3）数轴上动点M 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时另一动点N 从点C 出发以每秒2个单位长度的速度也向左运动．运动x 秒后,M N 两点间的距离为1,求出x 的值．10．如图，点A 、B 是数轴上的两个点，它们分别表示的数是2-和1． 点A 与点B 之间的距离表示为AB ．（1）AB= ．（2）点P 是数轴上A 点右侧的一个动点，它表示的数是x ，满足217x x ++-=，求x 的值． （3）点C 为6． 若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：BC AB -的值是否随着运动时间t （秒）的变化而改变？ 若变化，请说明理由；若不变，请求其值．11．如图，已知点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且a ，b 满足()220400a b ++-=. （1）求点A 与点B 在数轴上对应的数a 和b ；（2）现动点P 从点A 出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q 从点B 出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P 的运动时间为t 秒. ① 若点P 和点Q 相遇于点C , 求点C 在数轴上表示的数； ① 当点P 和点Q 相距15个单位长度时，直接写出t 的值.12．已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1、3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ． （1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数．（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离比为1：3？求x 的值．（3）当点P 以每分钟1个单位长的速度从坐标原点O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到A 、B 两点的距离相等？13．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且22AB =，动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为()0t t >秒．（1）数轴上点B 表示的数是___________；点P 表示的数是___________(用含t 的代数式表示)（2）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P Q 、同时出发，问多少秒时P Q 、之间的距离恰好等于2？（3）若M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．14．如图，在数轴上点A 表示的数a 、点B 表示数b ，a 、b 满足2|40|(8)0a b -++=，点O 是数轴原点．（1）点A 表示的数为_________，点B 表示的数为________，线段AB 的长为________．（2）若点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，请在数轴上找一点C ，使2AC BC =，则点C 在数轴上表示的数为_________．（3）现有动点P 、Q 都从B 点出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点A 移动；当点P 移动到O 点时，点Q 才从B 点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P 到达A 点时，点Q 就停止移动，设点P 移动的时间为t 秒，问：当t 为多少时，P 、Q 两点相距4个单位长度？35．如图，已知数轴上依次有三点 A 、B 、C ，点 B 对应的数是100-，且点 B 到点A 、C 的距离均为600.(1)写出点A 所对应的数；(2)若动点P 、Q 分别从B 、C 两点同时向右运动，点 P 、Q 的速度分别为 10 单位长度每秒、5单位长度每秒，问多少秒时点P 与点Q 重合；(3)若动点P 、Q 分别从A 、C 两点相向而行，点P 运动20秒后，点Q 开始运动，点P 、Q 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，问点 P 运动多少秒时P ，Q 两点的距离为200.16．已知A ，B 在数轴上对应的数分别用a 、b 表示，且480b a ++-=，P 是数轴上的一个动点． （1）在数轴上标出A ，B 的位置，并求出A ，B 两点之间的距离．（2）若PB 表示点P 与点B 之间的距离，P A 表示点P 与点A 之间的距离，当P 点满足2PB PA =时，直接写出点P 对应的数．（3）动点P 从点B 开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…①在这个移动过程中，点P 和与A 能重合吗？若能，请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由．①写出点P 移动第n （n 是自然数）次后所对应的数．17．如图，已知点A 、B 分别为数轴上的两点，点A 对应的数是20-，点B 对应的数是80．现在有一动点P 从A 点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时另一动点Q 从点B 出发以每秒2个单位长度的速度向左运动．（1）与A 、B 两点距离相等的点C 所对应的数是_________．（2）两动点P 、Q 相遇时所用时间为________秒；此时两动点所对应的数是_________． （3）动点P 所对应的数是22时，此时动点Q 所对应的数是_________． （4）当动点P 运动25秒钟时，动点P 与动点Q 之的距离是________单位长度． （5）经过________秒钟，两动点P 、Q 在数轴上相距40个单位长度．18．如图，已知数轴上的点A 表示的数为6，点B 表示的数为4-，点C 是AB 的中点，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x 秒（0x >）．（1）点C 表示的数是_________；x =_______秒时，点P 到达点A ． （2）运动过程中点P 表示的数是_________（用含x 的代数式表示） （3）当x 为多少秒时，点P ，点C 之间的距离为2个单位长度？19．点、、A B C 在数轴上表示的数是a b c ，，，且满足()23270a b ++-=，多项式32321c x y cx xy +-+-是五次四项式．（1）a 的值为 ，b 的值为 ，c 的值为 ．、是数轴上的两个动点，点P以每秒3个单位的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以（2）已知点P Q每秒7个单位的速度向左运动：①若点P从点A出发，点P和点Q经过t秒后，在数轴上的点D处相遇，求t的值和点D所表示的数；①若点P先从点C出发，运动到点A处，点Q再出发，则点P运动几秒后两点之间的距离为5个单位长度？20．已知：2++-++=且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数.a b c|1|(5)|2|0（1）求点A与点C的距离；（2）若甲、乙两个动点分别从A、B两点同时出发，沿数轴正方向运动，它们的速度分别是2和1（单位长度/秒），求甲追上乙时所用的时间；（3）在（2）的条件下，甲动点向数轴正方向运动，乙动点向数轴负方向运动.当甲动点开始运动时，丙动点以4个单位长度/秒的速度和甲动点同时从点A向数轴正方向运动，当丙动点遇到乙动点时立即返回向数轴负方向运动，当遇到甲动点时也马上返回，如此往复直到甲乙两动点相遇则停止运动，设甲乙两动点在点D处相遇，求从开始到停止运动，丙动点走的总路程以及点D对应的数字.答案1．（1）1；（2）34，4-；（3）2或12；（4）t 103≤t≤133或293≤t≤323或t=112或t=172；2833t ＜＜或344033t ＜＜． 2．（2）2.5,3；（3）a b -（4）①3s ；①2或4 3．（1）－2 ；（2）能，95s 或105s4．（1）A ：－6，B ：1，C ：4；（2）AB 距离为7，AC 距离为10；（3）C ；（4）向左移动2个单位 5．（1）30；（2）15；（3）20秒6．（1）A 、B 位置见解析，A 、B 之间距离为30；（2）2或-6；（3）第20次P 与A 重合；点P 与点B 不重合．2．()118AB =；()2 4CD =；()3经过185或10秒，点P 、点Q 到点C 的距离相等． 8．（1）12534,,,,A A A A A ；（2）将点3A 向左移动2个单位长度到达点2A ，再向右移动6个单位长度到达点5A ；（3）5个机器人到达供应点取货的总路程是12．9．（1）-1，2；（2）2-或3；（3）2或4 10．（1）3.（2）存在．x 的值为3.(3)不变，为2. 11．（1）20a =-，40b =；（2）①20； ①7.5t =或12.5秒 12．（1）点P 表示的数为1；（2）x=-3或x=0；（3）同时出发415分钟或223分钟后P 点到A 、B 两点的距离相等．13．（1）14-，85t -；（2）2.5秒或3秒；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为11，图形见解析． 14．（1）40，8-， 48；（2）8或56-；（3）当t 为4秒、10秒和14秒时，P 、Q 两点相距4个单位长度．15．（1）700-；（2）120秒；（3）运动73.3或100秒时PQ 距离为200.16．（1）数轴表示见解析，A ，B 两点之间的距离为12；（2）P 对应的数是4或20；（3）①点P 第12次移动后，能够与点A 重合；说明见解析；①()41nn -+-⋅ 17．（1）30；（2）20,40；（3）52；（4）25；（5）12或28． 18．（1）1，5；（2）-4+2x ；（3）72x =秒或32x =秒19．（1）a 的值为-3，b 的值为27，c 的值为-6；（2）①t 的值为3，点D 所表示的数是6；①点P 运动3．5秒或4．5秒后两点之间的距离为5个单位长度20．（1）1；（2）甲追上乙时所用的时间为6秒；（3）丙动点运动的总路程为8个单位长度，点D 对应的数是3.。

几何中动角问题的两种考法类型一、判断角的数量之间的关系例．如图所示 O 是直线AB 上的一点 COD ∠是直角 OE 平分BOC ∠．（1）如图① 若28AOC ∠=︒ 求DOE ∠的度数；（2）在图① 若AOC α∠= 直接写出DOE ∠的度数_________（用含a 的代数式表示）； （3）将图①中的COD ∠绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置．①探究AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系 写出你的结论 并说明理由；②在AOC ∠的内部有一条射线OF 满足42AOC AOF BOE AOF ∠-∠=∠+∠ 试确定AOF ∠与DOE ∠的度数之间的关系 说明理由．【答案】（1）14°；（2）2α；（3）①∠AOC ＝2∠DOE ；（2）2∠DOE −52∠AOF ＝90°【详解】解：（1）∠∠COD 是直角 OE 平分∠BOC ∠AOC ＝28° ∠∠BOC ＝180°−∠AOC ＝152° ∠COE ＝12∠BOC ∠COD ＝90°． ∠∠COE ＝76° ∠DOE ＝∠COD −∠COE ＝90°−76°＝14°．即∠DOE ＝14°； （2）∠∠COD 是直角 OE 平分∠BOC ∠AOC ＝a ∠∠DOE ＝90°−1802α︒-＝2α．故答案是：2α； （3）①∠AOC ＝2∠DOE ． 理由：∠OE 平分∠BOC ∠∠BOC ＝2∠COE ．∠∠COD 是直角 ∠AOC ＋∠BOC ＝180° ∠∠DOE ＋∠COE ＝90° ∠AOC ＋2∠COE ＝180°． ∠∠AOC ＋2（90°−∠DOE ）＝180°． 化简 得∠AOC ＝2∠DOE ； ②2∠DOE −52∠AOF ＝90°．理由：∠42AOC AOF BOE AOF ∠-∠=∠+∠∠2∠AOF＋∠BOE＝12（∠AOC−∠AOF）∠2∠AOF＋∠BOE＝12∠AOC−12∠AOF．又∠∠AOC＝2∠DOE∠52∠AOF＝∠DOE−∠BOE∠52∠AOF＝∠DOB．∠∠DOB＋∠BOC＝90° ∠AOC＋∠BOC＝180° ∠AOC＝2∠DOE．∠52∠AOF＋180°−∠AOC＝90°．∠52∠AOF＋180°−2∠DOE＝90°．化简得2∠DOE−52∠AOF＝90°．【变式训练1】已知∠AOB＝∠COD＝90° OE平分∠BOC．(1)如图若∠AOC＝30° 则∠DOE的度数是______；（直接写出答案）(2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角” 猜想∠DOE与∠AOC的关系并说明理由；(3)若∠AOC是钝角请先画出图形再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程将结论直接写在你画的图的下面）【答案】(1)60°；(2)1=452DOE AOC︒+∠∠理由见解析(3)∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°【解析】(1)解：∠∠AOB=90° ∠AOC=30° ∠∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°∠OE平分∠BOC∠∠COE=∠BOE=30°∠∠COD=90° ∠∠DOE=∠COD-∠COE=60° 故答案为：60°(2)解：1=452DOE AOC︒+∠∠理由如下：∠∠AOB =90° ∠∠BOC =∠AOB -∠AOC =90°-∠AOC ∠OE 平分∠BOC ∠()1190=4522COE BOE AOC AOC ∠=∠=︒-︒-∠∠ ∠∠COD =90° ∠119045=4522DOE COD COE AOC AOC ∠=∠-∠=︒-︒+︒+∠∠(3)：如图3-1所示 当OD 在∠AOB 内部时 ∠OE 平分∠BOC ∠∠BOC =2∠BOE =2∠COE ∠∠AOB =∠COD =90°∠∠AOC =∠AOB +∠BOC =90°+2∠COE ∠DOE =∠COD -∠COE =90°-∠COE ∠∠AOC +2∠DOE =90°+2∠COE +180°-2∠COE =270°；如图3-2所示 当OD 在∠AOB 外部时同理可以求出∠AOC =∠AOB +∠BOC =90°+2∠COE ∠DOE =∠COD +∠COE =90°+∠COE ∠2∠DOE -∠AOC = 180°+2∠COE -90°-2∠COE =90°；如图3-3所示 当OD 在∠AOB 外部时同理可以求出∠AOC =360°-∠AOB -∠BOC =270°-2∠COE ∠DOE =90°+∠COE ∠∠AOC +2∠DOE =270°-2∠COE +180°+2∠COE =450°；如图3-4所示 当OD 在∠AOB 外部时同理可以求出∠AOC =270°-2∠COE ∠DOE =90°-∠COE ∠∠AOC -2∠DOE =90°； 综上所述 ∠AOC +2∠DOE =270°或2∠DOE -∠AOC =90°或∠AOC +2∠DOE =450°或∠AOC -2∠DOE =90°．【变式训练2】如图 以直线AB 上一点O 为端点作射线OC 使70BOC ∠=︒ 将一个直角三角形的直角顶点放在点O 处．（注：90DOE ∠=︒）（1）如图① 若直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OB 上 则COE ∠=________︒； （2）如图② 将直角三角板DOE 转到如图位置 当OC 恰好平分DOE ∠时 求BOD ∠的度数；（3）如图③ 将直角三角板DOE 绕点O 转动 如果OD 始终在BOC ∠的内部 直接写出BOD ∠和COE ∠的数量关系_________．【答案】（1）20；（2）25°；（3）∠COE -∠BOD=20°【详解】解：（1）如图① ∠COE=∠DOE -∠BOC=90°-70°=20° 故答案为：20；（2）如图② ∠OC 平分∠EOD ∠DOE=90° ∠∠COD=12∠DOE=45° ∠∠BOC=70° ∠∠BOD=∠BOC -∠COD=25°； （3）∠COE -∠BOD=20°理由是：如图③ ∠∠BOD+∠COD=∠BOC=70° ∠COE+∠COD=∠DOE=90°∠（∠COE+∠COD ）-（∠BOD+∠COD ）=∠COE+∠COD -∠BOD -∠COD=∠COE -∠BOD=90°-70°=20° 即∠COE -∠BOD=20°．【变式训练3】已知100AOB ∠=︒ 40COD ∠=︒ OE OF 分别平分AOD ∠ BOD ∠．(1)如图1 当OA OC 重合时 EOF ∠= 度；(2)若将COD ∠的从图1的位置绕点O 顺时针旋转 旋转角AOC α∠= 满足090α︒<<︒且40≠︒α．①如图2 用等式表示BOF ∠与COE ∠之间的数量关系 并说明理由；②在COD ∠旋转过程中 请用等式表示∠BOE 与COF ∠之间的数量关系 并直接写出答案． 【答案】(1)50；(2)①90COE BOF ∠∠+=︒；②40α<︒时 150COF BOE α∠∠=+︒+；4090α︒<<︒时 30COF BOE α∠=-∠-︒【解析】(1)OA OC 重合40AOD COD ∴∠=∠=︒ 10040140BOD AOB COD ∠=∠+∠=︒+︒=︒OE 平分AOD ∠ OF 平分BOD ∠11402022EOD AOD ∴∠=∠=⨯︒=︒ 111407022DOF BOD ∠=∠=⨯︒=︒ 702050EOF DOF EOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；(2)①90COE BOF ∠∠+=︒；理由如下： OE 平分AOD ∠ OF 平分BOD ∠111(40)20222EOD AOE AOD αα∴∠=∠=∠=︒+=︒+ 1111()(10040)702222BOF BOD AOB COD ααα∠=∠=∠+∠+=︒+︒+=︒+11202022COE AOE AOC ααα∴∠=∠-∠=︒+-=︒-1170209022BOF COE αα∴∠+∠=︒++︒-=︒；②由①得：1202EOD AOE α∠=∠=︒+ 1702DOF BOF α∠=∠=︒+当40AOC ∠<︒时 如图2所示：1170403022COF DOF COD αα∠=∠-∠=︒+-︒=︒+1110040(20)12022BOE BOD EOD AOB COD EOD αααα∠=∠-∠=∠+∠+-∠=︒+︒+-︒+=︒+111203015022BOE COF AOC ααα∴∠+∠-∠=︒++︒+-=︒ ∠150COF BOE α∠∠=+︒+当4090AOC ︒<∠<︒时 如图3所示：11(360140)4015022COF DOF DOC αα∠=∠+∠=︒-︒-+︒=︒-11140(20)12022BOE BOD DOE ααα∠=∠-∠=︒+-︒+=︒+11150(120)3022COF AOC BOE ααα∴∠+∠-∠=︒-+-︒+=︒；∠30COF BOE α∠=-∠-︒综上所述 40α<︒时 150COF BOE α∠∠=+︒+；4090α︒<<︒时30COF BOE α∠=-∠-︒【变式训练4】如图 已知150AOB ∠= 将一个直角三角形纸片(90D ∠=)的一个顶点放在点O 处 现将三角形纸片绕点O 任意转动 OM 平分斜边OC 与OA 的夹角 ON 平分BOD ∠.（1）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB ∠的内部) 若30COD ∠= 则MON ∠=_______；（2）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB ∠的内部) 若射线OD 恰好平分MON ∠ 若8MON COD ∠=∠ 求COD ∠的度数;（3）将三角形纸片绕点O 从OC 与OA 重合位置逆时针转到OD 与OA 重合的位置 猜想在转动过程中COD ∠和MON ∠的数量关系？并说明理由.【答案】（1）90︒；（2）COD=10∠︒；（3）1752MON COD ∠=∠+︒ 证明见解析【详解】解：（1）∠OM 平分斜边OC 与OA 的夹角 ON 平分BOD ∠． ∠OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD∠设11,22AOM MOC AOC x BON DON BOD y ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠2,2AOC x BOD y ∠=∠= 30MON MOC COD DON x y ∠=∠+∠+∠=+︒+ ∠2302150AOB AOC BOD COD x y ∠=∠+∠+∠=+︒+=︒ ∠60x y +=︒ ∠3090MON x y ∠=+︒+=︒ 故答案为: 90︒ （2）∠8MON COD ∠=∠ ∠设=,8COD a MON a ∠∠=∠射线OD 恰好平方MON ∠ ∠14,2DOM DON MON a ∠=∠=∠=∠43,COM DOM COD a a a ∠=∠-∠=-=∠OM 平分斜边OC 与OA 的夹角 ON 平分BOD ∠．∠OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD∠113,422AOM MOC AOC a BON DON BOD a ∠=∠=∠=∠=∠=∠= ∠6,8AOC a BOD a ∠=∠=∠68150AOB AOC BOD COD a a a ∠=∠+∠+∠=++=︒ ∠=10a ︒ ∠COD=10∠︒(3) 1752MON AOC ∠=∠+︒,证明如下：当OC 与OA 重合时 设∠COD=x,则150150BOD AOB COD COD x ∠=∠-∠=︒-∠=︒-∠ON 平分∠BOD∠117522DON BOD x ∠=∠=︒-∠MON COD DON ∠=∠+∠ 1752x x =+︒- 1752x =︒+ ∠1752MON COD ∠=︒+∠当OC 在OA 的左侧时设∠AOD=a ∠AOC=b 则∠BOD=∠AOB -∠AOD=150°-a ∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b∠ON 平分∠BOD ∠117522DON BOD a ∠=∠=︒-∠OM 平分∠AOC ∠1122AOM COM AOC b ∠=∠=∠=∠∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON 117522b a a =++︒- 117522b a =++︒ 1752COD =∠+︒当OD 与OA 重合时 ∠ON 平分∠AOB ∠1752AON AOB ∠=∠=︒∠OM 平分∠AOC ∠12MON AOC ∠=∠ ∠MON MOD AON ∠=∠+∠ 1752AOC =∠+︒综上所述 1752MON AOC ∠=∠+︒类型二、定值问题例．已知将一副三角尺（直角三角尺OAB 和OCD ）的两个顶点重合于点O 90AOB ∠=︒30COD ∠=︒（1）如图1 将三角尺COD 绕点O 逆时针方向转动 当OB 恰好平分COD ∠时 求AOC ∠的度数；（2）如图2 当三角尺OCD 摆放在AOB ∠内部时 作射线OM 平分AOC ∠ 射线ON 平分BOD ∠ 如果三角尺OCD 在AOB ∠内绕点O 任意转动 MON ∠的度数是否发生变化？如果不变 求其值；如果变化 说明理由．【答案】（1） 75COB ∠=︒；（2）不变．60MON ∠=︒ 【详解】解：（1）OB 平分COD ∠ 11301522COB COD ∴∠=∠=⨯︒=︒901575AOC AOB COB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；图1 图2 （2）不变．OM 平分AOC ∠ ON 平分BOD ∠12NOD BOD ∴∠=∠ 12COM AOC ∠=∠122MON NOD COD COM BOD AOC COD 1∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠()12BOD AOC COD =∠+∠+∠ ()12AOB COD COD =∠-∠+∠()1903030602=⨯︒-︒+︒=︒ 【变式训练1】如图 两条直线AB 、CD 相交于点O 且∠AOC=90° 射线OM 从OB 开始绕O 点逆时针方向旋转 速度为15°/s 射线ON 同时从OD 开始绕O 点顺时针方向旋转 速度为12°/s ．两条射线OM 、ON 同时运动 运动时间为t 秒．（本题出现的角均小于平角）（1）当t=2时 ∠MON 的度数为 ∠BON 的度数为 ；∠MOC 的度数为 （2）当0＜t ＜12时 若∠AOM=3∠AON -60° 试求出t 的值；（3）当0＜t ＜6时 探究72COM BON MON∠+∠∠的值 问：t 满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？【答案】（1）144° 114° 60°；（2）t 的值为107秒或10秒；（3）当0＜t ＜103时 72COM BON MON ∠+∠∠的值不是定值；当103＜t ＜6时 72COM BON MON ∠+∠∠的值是3． 【详解】（1）由题意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114° ∠MOC=∠BOC -∠BOM=90°-2×15°=60°故答案为：144° 114° 60°；（2）当ON 与OA 重合时 t=90÷12=7.5（s ） 当OM 与OA 重合时 t=180°÷15=12（s ） ①如图所示 当0＜t≤7.5时 ∠AON=90°-12t° ∠AOM=180°-15t°由∠AOM=3∠AON -60° 可得180-15t=3（90-12t ）-60解得t=107②如图所示 当7.5＜t ＜12时 ∠AON=12t°-90° ∠AOM=180°-15t°由∠AOM=3∠AON-60° 可得180-15t=3（12t-90）-60 解得t=10 综上t的值为107秒或10秒；（3）当∠MON=180°时∠BOM+∠BOD+∠DON=180° ∠15t+90+12t=180 解得t=10 3①如图所示当0＜t＜103时∠COM=90°-15t° ∠BON=90°+12t°∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°∠()()790152901272810811590129027t tCOM BON tMON t t t︒-︒+︒+︒∠+∠︒-︒==∠︒+︒+︒︒+︒（不是定值）②如图所示当103＜t＜6时∠COM=90°-15t° ∠BON=90°+12t°∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°∠()()79015290127227027t tCOM BONMON t︒-︒+︒+︒∠+∠=∠︒-︒=3（定值）综上所述当0＜t＜103时72COM BONMON∠+∠∠的值不是定值；当103＜t＜6时72COM BON MON∠+∠∠的值是3． 【变式训练2】已知将一副三角板（90,30AOB COD ∠=︒∠=︒）如图1摆放 点O 、A 、C 在一条直线上．将直角三角板OCD 绕点O 逆时针方向转动 变化摆放如图位置．（1）如图1 当点O 、A 、C 在同一条直线上时 BOD ∠=_______度；如图2 若要OB 恰好平分COD ∠ 则AOC ∠=_______度；（2）如图3 当三角板OCD 摆放在AOB ∠内部时 作射线OM 平分AOC ∠ 射线ON 平分BOD ∠ 如果三角板OCD 在AOB ∠内绕点O 任意转动 MON ∠的度数是否发生变化？如果不变 求其值；如果变化 说明理由．（3）当三角板OCD 从图1的位置开始 绕点O 逆时针方向旋转一周 保持射线OM 平分AOC ∠、射线ON 平分BOD ∠（180,180AOC BOD ∠≤︒∠≤︒） 在旋转过程中 （2）中的结论是否保持不变？如果保持不变 请说明理由；如果变化 请说明变化的情况和结果（即旋转角度a 在什么范围内时MON ∠的度数是多少）．【答案】（1）60 75；（2）60MON ∠=︒ 理由见详解；（3）①当0180α︒<<︒时 60MON ∠=︒；②当180α=︒时 60MON ∠=︒或120° ③当180240α︒<<︒时 120MON ∠=︒；④当240α=︒时 120MON ∠=︒或60°；⑤当240360α︒<<︒时 60MON ∠=︒【详解】解：（1）由题意得：30,90COD AOB ∠=︒∠=︒ ∠60BOD AOB COD ∠=∠-∠=︒ ∠OB 恰好平分COD ∠ ∠1152BOC COD ∠=∠=︒ ∠75AOC AOB BOC ∠=∠-∠=︒；故答案为60 75；（2）MON ∠的度数不发生变化 理由如下： ∠射线OM 平分AOC ∠ 射线ON 平分BOD ∠ ∠11,22MOC AOC NOD BOD ∠=∠∠=∠ ∠30,90COD AOB ∠=︒∠=︒ ∠9060AOC BOD COD ∠+∠=︒-∠=︒∠30MOC NOD ∠+∠=︒ ∠60MON MOC NOD COD ∠=∠+∠+∠=︒；（3）设旋转角度为α 根据题意可得：30,90COD AOB ∠=︒∠=︒∠射线OM 平分AOC ∠ 射线ON 平分BOD ∠ ∠11,22MOC AOC NOD BOD ∠=∠∠=∠①当0180α︒<<︒时 如图所示：∠()()1190306022MON MOC NOD BOC BOC BOC BOC ∠=∠+∠-∠=︒+∠+︒+∠-∠=︒ ②当180α=︒时 即AOC ∠为平角 可分为：当点M 在OB 上 如图所示：∠120MOD BOC COD ∠=∠+∠=︒ ∠1602MON MOD ∠=∠=︒； 当点M 在BO 的延长线时 如图所示：∠180120MON BON ∠=︒-∠=︒；③当180240α︒<<︒时 如图所示：∠360AOC CON BON AOB ∠+∠+∠+∠=︒∠()2303090360MOD CON CON ∠+︒+∠+∠+︒+︒=︒ 解得：90MOD CON ∠+∠=︒ ∠9030120MON MOD CON DOC ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒；④当240α=︒时 则180BOD ∠=︒ 如图所示：∠当ON 平分在∠BOD 的左边时 则60MON ∠=︒ 当ON 平分在∠BOD 的右边时 则120MON ∠=︒；⑤当240360α︒<<︒时 如图所示：∠30,90MOD COM AON BON ∠=∠-︒∠=∠-︒∠()()()1130906022MON AOD AON MOD AOD AOD AOD ∠=∠-∠+∠=︒-∠+︒-∠+∠=︒． 类型三、求值问题例.如图1 O 为直线AB 上一点 过点O 作射线OC 30AOC ∠=︒ 将一直角三角板（30M ∠=︒）的直角顶点放在点O 处 一边ON 在射线OA 上 另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180︒．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3︒的速度沿顺时针方向旋转．如图2 经过t 秒后 AON ∠=______度（用含t 的式子表示） 若OM 恰好平分BOC ∠ 则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上 若三角板在转动的同时 射线OC 也绕O 点以每秒6︒的速度沿顺时针方向旋转 如图3 经过t 秒后 AOC ∠=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON ∠ 求t 为多少秒？（3）若（2）问的条件不变 那么经过秒OC 平分BOM ∠？（直接写结果）【答案】（1）3t 5；（2）306t + 5；（3）经过703秒OC 平分BOM ∠ 【解析】（1）3AON t ∠= ∠30AOC ∠=︒ ∠150BOC ∠=︒∠OM 平分BOC ∠ 90MON ∠=︒ ∠75COM ∠=° ∠15CON ∠=︒∠301515AON AOC CON ∠=∠-∠=-=°°° 解得：1535t =÷=°°秒（2）()306AOC t ∠=+度 ∠90MON ∠=︒ OC 平分MON ∠ ∠45CON COM ∠=∠=°∠45AOC AON CON ∠-∠=∠=° ∠306345t t +-=解得：5t =秒（3）如图：∠90AON BOM ∠+∠=° BOC COM ∠=∠由题可设AON ∠为3t AOC ∠为()306t +° ∠()19032COM BOC t ∠=∠=-°∠180BOC AOC ∠+∠=︒ ()()130********t t ++-= 解得：703t =秒 答：经过703秒OC 平分BOM ∠．【变式训练1】如图 将一副直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．（1）若∠DCE ＝35° ∠ACB ＝ ；若∠ACB ＝140° 则∠DCE ＝ ；（2）猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何特殊关系 并说明理由；（3）若保持三角尺BCE 不动 三角尺ACD 的CD 边与CB 边重合 然后将三角尺ACD 绕点C 按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD ．设∠BCD ＝α（0°＜α＜90°）①∠ACB 能否是∠DCE 的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．②三角尺ACD 转动中 ∠BCD 每秒转动3° 当∠DCE ＝21°时 转动了多少秒？【答案】（1）∠ACB ＝145°；∠DCE ＝40°；（2）∠ACB +∠DCE ＝180°或互补 理由见解析；（3）①能；理由见解析 α＝54°；②23秒【详解】解：（1）∠∠ACD ＝∠ECB ＝90° ∠DCE ＝35° ∠∠ACB ＝180°﹣35°＝145°． ∠∠ACD ＝∠ECB ＝90° ∠ACB ＝140° ∠∠DCE ＝180°﹣140°＝40°．故答案为：145° 40°；（2）∠ACB +∠DCE ＝180°或互补 理由：∠∠ACE +∠ECD +∠DCB +∠ECD ＝180．∠∠ACE +∠ECD +∠DCB ＝∠ACB ∠∠ACB +∠DCE ＝180° 即∠ACB 与∠DCE 互补．（3）①当∠ACB 是∠DCE 的4倍 ∠设∠ACB ＝4x ∠DCE ＝x∠∠ACB +∠DCE ＝180° ∠4x +x ＝180°解得：x ＝36° ∠α＝90°﹣36°＝54°；②设当∠DCE ＝21°时 转动了t 秒 ∠∠BCD +∠DCE ＝90° ∠3t +21＝90 t ＝23° 答：当∠DCE ＝21°时 转动了23秒．【变式训练2】如图（1） ∠BOC 和∠AOB 都是锐角 射线OB 在∠AOC 内部 AOB α∠= BOC β∠=．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2） OM 平分∠BOC ON 平分∠AOC 填空：①当40α=︒ 70β=︒时 COM ∠=______ CON ∠=______ MON ∠=______； ②MON ∠=______（用含有α或β的代数式表示）．(2)如图（3） P 为∠AOB 内任意一点 直线PQ 过点O 点Q 在∠AOB 外部：①当OM 平分∠POB ON 平分∠POA ∠MON 的度数为______；②当OM 平分∠QOB ON 平分∠QOA ∠MON 的度数为______；（∠MON 的度数用含有α或β的代数式表示）(3)如图（4） 当40α=︒ 70β=︒时 射线OP 从OC 处以5°/分的速度绕点O 开始逆时针旋转一周 同时射线OQ 从OB 处以相同的速度绕点O 逆时针也旋转一周 OM 平分∠POQ ON 平分∠POA 那么多少分钟时 ∠MON 的度数是40°？【答案】(1)135,55,20,2︒︒︒α；(2)12α 11802α︒-；(3)48分钟时 ∠MON 的度数是40° 【解析】(1)① OM 平分∠BOC ON 平分∠AOC当40α=︒ 70β=︒时 COM ∠=113522BOC ∠=β=︒ CON ∠=()111()55222AOC AOB BOC ∠=∠+∠=α+β=︒ MON ∠=()11120222CON COM αββα∠-=+-==︒ ②MON ∠()111222CON COM =∠-=α+β-β=α 故答案为：135,55,20,2︒︒︒α (2)①OM 平分∠POB ON 平分∠POA ∴()12MON POB POA ∠=∠+∠ 1122AOB =∠=α ②OM 平分∠QOB ON 平分∠QOA ∴()12MON BOQ QOA ∠=∠+∠()1136018022AOB =︒-∠=︒-α故答案为：12α 11802α︒- (3)根据题意POQ BOC ∠=∠=βOM 平分∠POQ 113522POM POQ ∴∠=∠=β=︒ 如图 当OP 在AOB ∠的外部时MON 的度数是40°MON PON POM ∠=∠+5PON ∴∠=︒ON 平分∠POA 210POA PON ∴∠=∠=︒ 120POC ∴∠=︒ 则OP 旋转了360120240︒-︒=︒240548∴÷=分 即48分钟时 ∠MON 的度数是40°如图 OP 在AOB ∠的内部时MON POM PON ∠=∠-∠ 即4035PON ︒=︒-∠ 5PON ∴∠=-︒此情况不存在 综上所述 48分钟时 ∠MON 的度数是40°【变式训练3】如图1 点A 、O 、B 依次在直线MN 上 现将射线OA 绕点O 沿顺时针方向以每秒2︒的速度旋转 同时射线OB 绕点O 沿逆时针方向以每秒4︒的速度旋转 如图2 设旋转时间为(090)t t <<．（1）用含t 的代数式表示：MOA ∠=_______︒ MOB ∠=_______︒．（2）在运动过程中 当60AOB ∠=︒时 求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t 使得直线OB 平分由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的任意两条射线组成的角（大于0︒而小于180︒）？【答案】（1）2t 1804t -；（2）当60AOB ∠=︒时 20t =或40或80；（3）存在 当直线OB 平分由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的任意两条射线组成的角时 18t =或36或54或72．【解析】（1）由题意得：射线OA 的运动路程为2t ︒ 射线OB 的运动路程为4t ︒ ∠2MOA t ∠=︒当045t <<时 1804MOB t ∠=︒-︒ 当4590t <<时 4180MOB t ∠=︒-︒ ∠1804MOB t ∠=︒-︒；故答案为2t 1804t -；（2）由题意可得射线OA 与射线OB 相遇的时间为：24180t t ︒+︒=︒ 解得：30t = ∠当射线OA 与射线OB 相遇前 60AOB ∠=︒时 如图所示：∠2604180t t ︒+︒+︒=︒ 解得：20t =当射线OA 与射线OB 相遇后 且射线OB 还没有过直线MN 时 60AOB ∠=︒ 如图所示：2604180t t ︒-︒+︒=︒ 解得：40t =当射线OB 过了直线MN 时 60AOB ∠=︒ 如图所示：2418060360t t ︒+︒-︒+︒=︒ 解得：80t =综上所述：当60AOB ∠=︒时 20t =或40或80；（3）存在 理由如下：由2MOA t ∠=︒ 1804MOB t ∠=︒-︒ 4NOB t ∠=︒ 则可分：①若直线OB 平分AON ∠时 如图所示：∠12BON AON ∠=∠ 1802AON t ∠=︒-︒ ∠490t t ︒=︒-︒ 解得：18t =； 若直线OB 平分AOM ∠时 如图所示：∠12BOM AOM ∠=∠ ∠1804t t ︒-︒=︒ 解得：36t =； ②若直线OB 平分AON ∠时 如图所示：∠12BOM CON AON ∠=∠=∠ ∠418090t t ︒-︒=︒-︒ 解得：54t =； 若直线OB 平分AOM ∠时 如图所示：∠12BON COM AOM ∠=∠=∠ 3604BON t ∠=︒-︒ ∠3604t t ︒-︒=︒ 解得：72t =；综上所述：当直线OB 平分由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的任意两条射线组成的角时 18t =或36或54或72．课后训练1．如图1 点O 为直线AB 上一点 过点O 作射线OC 使120BOC ∠=︒．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处 一直角边OM 在射线OB 上 另一直角边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2 使边OM 在BOC ∠的内部 且恰好平分BOC ∠．问：此时直线ON 是否平分AOC ∠？请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周 在旋转过程中 第n 秒时 直线ON 恰好平分AOC ∠ 则n 的值为______（点接写结果）(3)若图1中的三角板绕点O 旋转至图3 使ON 在AOC ∠的内部时 AOM NOC ∠-∠的度数是多少？【答案】(1)平分 理由见解析；(2)10或40；(3)30°【解析】(1)解：（1）直线ON 平分∠AOC ．理由：设ON 的反向延长线为OD∠OM 平分∠BOC ∠∠MOC ＝∠MOB又∠OM∠ON∠∠MOD＝∠MON＝90° ∠∠COD＝∠BON又∠∠AOD＝∠BON（对顶角相等）∠∠COD＝∠AOD∠OD平分∠AOC即直线ON平分∠AOC；(2)解：由（1）得∠BOM＝60°时直线ON恰好平分AOC即旋转60°时ON平分∠AOC再旋转180°即旋转240°时ON平分∠AOC由题意得6n＝60°或6n＝240°∠n＝10或40；故答案为：10或40；(3)解：∠∠MON＝90° ∠AOC＝60°∠∠AOM＝90°﹣∠AON∠NOC＝60°﹣∠AON∠∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．2．如图所示OA OB OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线且∠FOA＝20°∠AOB＝60° ∠BOC＝10° 以O为端点作射线OP OQ分别与射线OF OC重合．射线OP 从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转转速为1度/秒射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止射线OP旋转至与射线OE重合时停止）两条射线同时开始旋转（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）．(1)直接写出射线OP停止运动时的时间．(2)当射线OP平分∠AOC时直接写山它的旋转时间．(3)若射线OQ的转速为3度/秒当∠POQ＝70°时直接写出射线OP的旋转时间．(4)若∠POA＝2∠POB时射线OQ旋转到的位置恰好将∠AOB分成度数比为1：2的两个角直接写出射线OQ的旋转速度．【答案】(1)180s；(2)55s；(3)3s或70s；(4)5()/6s︒或0.5/s︒或5()/14s︒或3()/14s︒．【解析】(1)∠EOF=180° 射线OP的速度为1°/s 则时间为180÷1=180s；(2)∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°当射线OP平分时∠AOC∠AOP=∠POC=12∠AOC=35°此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55° ∠旋转的时间为：55÷1=55s．(3)∠FOC=∠FOA+∠AOB+∠BOC=90°设射线OP旋转的时间为t秒由题意可得：t+3t=90+70或t+3t=90-70 解得：t=5或t=40射线OQ旋转至射线OF重合时停止∠.射线OQ最多旋转30秒当射线OQ旋转30秒与射线OF重合停止此时∠POQ=∠FOP=30°之后射线OP继续旋转703040 1/ss︒︒︒-=则∠POQ=∠FOP=70° 此时t=70s 故答案为：5s或70s．(4)①当射线OP在∠AOB内部时∠POA=2∠POB∠AOB=60°∠∠POA=40° ∠FOP=60°故射线OP旋转的时间为60s若13AOQ AOB∠=∠则∠BOQ=40° ∠COQ=50°∠此时射线OQ的旋转速度为：50÷60=56（°/s)若13BOQ AOB∠=∠时则∠BOQ=20° ∠COQ=30°∴此时射线OQ的旋转速度为30÷60=12（°/s）；②当射线OP在∠EOB内部时∠PDA=2∠POB∠AOB=60°∴∠POA=120° ∠FOP=140°故射线OP旋转时间为140秒若13AOQ AOB ∠=∠时 则∠BOQ =40° ∠COQ =50° ∠此时射线OQ 的旋转速度为：50÷140=514（°/s) 若13BOQ AOB ∠=∠时 则∠BOQ =20° ∠COQ =30° ∴此时旋转速度为：30÷140=314（°/s) 综上 符合条件的旋转速度为5()/6s ︒或0.5/s ︒或5()/14s ︒或3()/14s ︒． 3．已知O 是直线AB 上的一点 ∠COD 是直角 OE 平分∠BOC ．(1)如图1 若∠AOC =48° 求∠DOE 的度数；(2)如图1 若∠AOC =α 则∠DOE 的度数为 (用含有α的式子表示)；(3)将图1中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置 试探究∠DOE 和∠AOC 度数之间的关系 写出你的结论 并说明理由．(4)将图1中的∠DOC 绕顶点O 逆时针旋转至图3的位置 其它条件不变 若∠AOC =α 则∠DOE 的度数为 (用含有α的式子表示) 不必说明理由．【答案】(1)24°；(2)12α；(3)∠DOE =12∠AOC 理由见解析；(4)180 °-12α 【解析】(1)∠∠AOC +∠BOC =∠AOB =180°∠∠BOC =180°-∠AOC =180°-48° = 132°∠OE 平分∠BOC∠∠COE =12∠BOC = 66°又∠∠COD 是直角∠∠COD = 90°∠∠DOE =∠COD -∠COE = 90°- 66°= 24°(2)由（1）得 12DOE COD BOC ∠=∠-∠ 190(180),2DOE AOC ︒︒∴∠=--∠11.22DOE AOC α∴∠=∠= 故答案为：12α (3)答：∠DOE =12∠AOC ．理由如下:∠∠AOC +∠BOC =∠AOB =180°∠∠BOC =180°-∠AOC∠OE 平分∠BOC∠∠COE =12∠BOC =12 (180°-∠AOC )= 90°-12∠AOC又∠∠COD 是直角∠∠COD = 90°∠∠DOE =∠COD -∠COE = 90°-(90°-12∠AOC )=12∠AOC∠∠DOE =12∠AOC (4)OE 平分BOC ∠ 1180180222AOC COE BOC α︒︒-∠-∴∠=∠== COD ∠是直角90,COD ︒∴∠=180********DOE COD COE αα︒︒︒-∴∠=∠+∠=+=- 故答案为：11802α︒-； 4．如图1 O 为直线AB 上一点 过点O 作射线OC 30AOC ∠=︒ 将一直角三角板（30M ∠=︒）的直角顶点放在点O 处 一边ON 在射线OA 上 另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180︒．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3︒的速度沿顺时针方向旋转．如图2 经过t 秒后 AON ∠=______度（用含t 的式子表示） 若OM 恰好平分BOC ∠ 则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上 若三角板在转动的同时 射线OC 也绕O 点以每秒6︒的速度沿顺时针方向旋转 如图3 经过t 秒后 AOC ∠=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON ∠ 求t 为多少秒？（3）若（2）问的条件不变 那么经过秒OC 平分BOM ∠？（直接写结果）【答案】（1）3t 5；（2）306t + 5；（3）经过703秒OC 平分BOM ∠ 【详解】（1）3AON t ∠=∠30AOC ∠=︒ ∠150BOC ∠=︒∠OM 平分BOC ∠ 90MON ∠=︒∠75COM ∠=° ∠15CON ∠=︒ ∠301515AON AOC CON ∠=∠-∠=-=°°°解得：1535t =÷=°°秒（2）()306AOC t ∠=+度 ∠90MON ∠=︒ OC 平分MON ∠∠45CON COM ∠=∠=° ∠45AOC AON CON ∠-∠=∠=° ∠306345t t +-=解得：5t =秒 （3）如图：∠90AON BOM ∠+∠=° BOC COM ∠=∠由题可设AON ∠为3t AOC ∠为()306t +° ∠()19032COM BOC t ∠=∠=-° ∠180BOC AOC ∠+∠=︒()()130********t t ++-= 解得：703t =秒 答：经过703秒OC 平分BOM ∠．5．已知:AOB ∠和COD ∠是直角．（1）如图 当射线OB 在COD ∠内部时 请探究AOD ∠和BOC ∠之间的关系；（2）如图2 当射线,OA 射线OB 都在COD ∠外部时 过点О作射线OE 射线OF 满足13BOE BOC ∠=∠ 23DOF AOD ∠=∠ 求EOF ∠的度数．（3）如图3 在（2）的条件下 在平面内是否存在射线OG 使得:2:3GOF GOE ∠∠= 若不存在 请说明理由 若存在 求出GOF ∠的度数．【答案】（1）180AOD BOC ∠+∠=︒ 详见解析；（2）150；（3）GOF ∠的度数是60︒或84【详解】解：（1）180AOD BOC ∠+∠=︒证明：AOB ∠和COD ∠是直角90AOB COD ∴∠=∠=︒BOD BOC COD ∠+∠=∠90BOD BOC ∴∠=︒-∠同理：90AOC BOC ∠=︒-∠9090180AOD AOB BOD BOC BOC ∴∠=∠+∠=︒+︒-∠=-∠180AOD BOC ∴∠+∠=︒；（2）解：设BOE α∠= 则3BOC α∠=BOE EOC BOC ∠+∠=∠2EOC BOC BOE α∴∠=∠-∠=360AOD COD BOC AOB ∠+∠+∠+∠=︒360AOD COD BOC AOB ∴∠=︒-∠-∠-∠360903901803a α=︒-︒--︒=︒-23DOF AOD ∠=∠ 21803103(22DOF a a ∴∠=︒-=︒-） (1118036033AOF AOD a a ∴∠=∠=-=︒-） 9060150EOF BOE AOB AOF a α∴∠=∠+∠+∠=+︒+︒-=︒答：EOF ∠的度数是150；（3）①如图 当射线OG 在EOF ∠内部时:2:3GOF GOE ∠∠=222150602355GOF EOF EOF ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒+②如图 当射线OG 在EOF ∠外部时:2:3GOF GOE ∠∠=()()222352360360150210845GOF EOF ︒∴∠=∠=+-︒-︒=⨯︒=︒综上所述GOF∠的度数是60︒或84︒．6.已知O为直线AB上的一点∠COE＝90° 射线OF平分∠AOE．（1）在图1中当∠COF＝36°时则∠BOE＝当∠COF＝m°时则∠BOE＝；以此判断∠COF和∠BOE之间的数量关系是；（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置试问（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化请你加以证明；若发生变化请你说明理由；（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）不发生变化理由见解析；（3）∠BOE+2∠COF=360° 理由见解析【解析】（1）∠∠COE＝90° ∠COF＝36°∠∠EOF=90°-36°=54°∠OF平分∠AOE∠∠AOE=2∠EOF =108°∠∠BOE=180°-108°=72°；同理可求∠BOE=2m°；由第一和第二空可知：∠BOE=2∠COF．故答案为：72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）∠BOE=2∠COF不会变化其证明过程是：设∠AOC=x° 则∠AOE=(90-x)°∠OF平分∠AOE∠∠EOF=∠AOF=12∠AOE=(45-12x)°∠∠COF=∠COE-∠EOF=90°-(45-12x)°=(45+12x)°∠BOE=180°-∠AOE=180°-(90-x)°=(90+x)° ∠∠BOE=2∠COF．（3）∠BOE+2∠COF=360° 其理由是：设∠AOC=x° 则∠AOE=∠AOC-∠COE=(x-90)°．∠OF平分∠AOE∠∠AOF=∠EOF=12∠AOE=(12x-45)°∠∠COF=∠AOC-∠AOF=x°-(12x-45)°=(12x+45)° ∠BOE=180°-∠AOE=180°-(x-90)°=(270-x)°∠∠BOE+2∠COF=(270°-x)°+2(12x+45)°=360°．故答案为：（1）72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）不发生变化理由见解析；（3）∠BOE+2∠COF=360°。

人教版七年级数学上册期末压轴题专项突破数轴动点类和角度的旋转数轴动点：1．点A，B为数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，a3＝﹣8．（1）求A，B两点之间的距离；（2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数记为x，试猜想当x满足什么条件时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由；（3）若P，Q为数轴上的两个动点（Q点在P点右侧），P，Q两点之间的距离为m，当点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4时，m的值为．2．已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．（1）填空：abc0，a+b0：（填“＞”，“＝”或“＜”）（2）若a＝﹣2且点B到点A，C的距离相等，①当b2＝16时，求c的值；②P是数轴上B，C两点之间的一个动点，设点P表示的数为x，当P点在运动过程中，bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|的值保持不变，则b的值为．3．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B 的“好点”．（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；（2）①若点P运动到原点O时，此时点P关于A→B的“好点”（填是或者不是）；②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间；（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．4．如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A 出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C 出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q 到点B的距离相等；（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．5．如图所示，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．（1）点B表示的数是，并在数轴上将点B表示出来．（2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度？（3）在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P 到点A的距离的2倍？6．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示是﹣3，已知A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．（1）如果点A表示的数﹣3，将点A向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是．A、B两点间的距离是．（2）如果点A表示的数3，将点A向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，那么终点B表示的数是．A、B两点间的距离是．（3）如果点A表示的数x，将点A向右移动p个单位长度，再向左移动n个单位长度，那么请你猜想终点B表示的数是．A、B两点间的距离是．7．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．8．阅读下面的材料：如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：（2）点C到点A的距离CA＝cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为；（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为；（用代数式表示）（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm 的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．角度的旋转：9．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE（图中所说的角都是小于平角的角）．（1）如图1，若∠COF＝58°，求∠BOE的度数；（2）将∠COE绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置时，若∠COF＝m°，求∠BOE的度数（用含字母m的代数式表示）．10．如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD．（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数．（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数．（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由．11．已知∠AOB＝90°，OC是一条可以绕点O转动的射线，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC．（1）当射线OC转动到∠AOB的内部时，如图1，求∠MON的度数．（2）当射线OC转动到∠AOB的外时（90°＜∠BOC＜∠180°），如图2，∠MON的大小是否发生变化？变或者不变均说明理由．12．如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM 与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．求t的值；并判断此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由．13．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝120°，∠BOC＝∠AOD．（1）求∠AOD的度数；（2）若射线OB绕点O以每秒旋转20°的速度顺时针旋转，同时射线OC以每秒旋转15°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜6），试求当∠BOC＝20°时t的值；（3）若∠AOB绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时∠COD绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜18），OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，在旋转的过程中，∠MON的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由．14．已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．15．已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF＝45°．（1）如图1．将顶点C和顶点D重合．保持三角板ABC不动，将三角板DEF 绕点C旋转，当CF平分∠ACB时，求∠ACE的度数；（2）在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACE与∠BCF有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；（3）如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF 绕点C旋转．当CA落在∠DCF内部时，直接写出∠ACD与∠BCF之间的数量关系．16．已知：O为直线AB上的一点，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON 表示正东方向（即AB⊥MN），射线OC，射线OE的方向如各图所示．（1）如图1所示，当∠COE＝90°时：①若∠AOE＝20°，则射线OE的方向是．②∠AOE与∠CON的关系为．③∠AOC与∠EON的关系为．（2）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图2的位置，另一条射线OF恰好平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°．①若∠AOF＝24°，则∠EOF＝度．②若∠AOF＝β，则∠CON＝（用含β的代数式表示）．（3）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°，则∠CON与∠AOF之间存在怎样的数量关系，并说明理由．参考答案数轴动点1．解：（1）∵a3＝﹣8．∴a＝﹣2，∴AB＝|3﹣（﹣2）|＝5；（2）点C到A的距离为|x+2|，点C到B的距离为|x﹣3|，∴点C到A点的距离与点C到B点的距离之和为|x+2|+|x﹣3|，当距离之和|x+2|+|x﹣3|的值最小，﹣2＜x＜3，此时的最小值为3﹣（﹣2）＝5，∴当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5；（3）设点P所表示的数为x，∵PQ＝m，Q点在P点右侧，∴点Q所表示的数为x+m，∴PA＝|x+2|，QB＝|x+m﹣3|∴点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和为：PA+QB＝|x+2|+|x+m﹣3| 当x在﹣2与3﹣m之间时，|x+2|+|x+m﹣3|最小，最小值为|﹣2﹣（3﹣m）|＝4，①﹣2﹣（3﹣m）＝4，解得，m＝9，②（3﹣m）﹣（﹣2）＝4时，解得，m＝1，故答案为：1或9．2．解：（1）由a，b，c．在数轴上的位置可知，a＜0，0＜b＜c，∴abc＜0，a+b＞0，故答案为：＜＞，（2）①b2＝16，b＞0，∴b＝4，∵a＝﹣2，BC＝AB，∴c﹣4＝4﹣（﹣2），∴c＝10；②设点P表示的数为x，点P在BC上，因此b＜x＜c，∴bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|＝bx+cx+c﹣x﹣10x﹣10a＝（b+c﹣10﹣1）x+c﹣10a，∵结果与x无关，∴b+c＝11，又∵c﹣b＝b+2，即，c＝2b+2，∴b＝3，故答案为：3．3．解：（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，∵点P到点A、点B的距离相等，∴P为AB的中点，∴BP＝PA＝AB＝6，∴点P表示的数是﹣2；（2）①当点P运动到原点O时，PA＝8，PB＝4，∵PA≠3PB，∴点P不是关于A→B的“好点”；故答案为：不是；②根据题意可知：设点P运动的时间为t秒，PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，∴t+8＝3|4﹣t|，解得t＝1或t＝10，所以点P的运动时间为1秒或10秒；（3）根据题意可知：设点P表示的数为n，PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，分五种情况进行讨论：①当点A是关于P→B的“好点”时，|PA|＝3|AB|，即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；②当点A是关于B→P的“好点”时，|AB|＝3|AP|，即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；③当点P是关于A→B的“好点”时，|PA|＝3|PB|，即﹣n﹣8＝3（4﹣n）或n+8＝3（4﹣n），解得n＝10或1（不符合题意，舍去）；④当点P是关于B→A的“好点”时，|PB|＝3|AP|，即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；⑤当点B是关于P→A的“好点”时，|PB|＝3|AB|，即4﹣n＝36，解得n＝﹣32．综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．4．解：（1）根据题意得2t+t＝28，解得t＝，∴AM＝＞10，∴M在O的右侧，且OM＝﹣10＝，∴当t＝时，P、Q两点相遇，相遇点M所对应的数是；（2）由题意得，t的值大于0且小于7．若点P在点O的左边，则10﹣2t＝7﹣t，解得t＝3．若点P在点O的右边，则2t﹣10＝7﹣t，解得t＝．综上所述，t的值为3或时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）∵N是AP的中点，∴AN＝PN＝AP＝t，∴CN＝AC﹣AN＝28﹣t，PC＝28﹣AP＝28﹣2t，2CN﹣PC＝2（28﹣t）﹣（28﹣2t）＝28．5．解：（1）10﹣4＝6，∵点B位于点A的左侧，∴点B表示的数是﹣6，故答案为：﹣6．在数轴上将点B表示如图所示：（2）设经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度，∴2t+2＝10或2t﹣2＝10∴t＝4或t＝6∴经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；（3）设经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，∴2（10﹣2t）＝10﹣t或2（2t﹣10）＝10﹣t∴t＝或t＝6∴经过秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．6．解：（1）∵﹣3+5＝2，∴B表示的数为2，A、B两点间的距离为2﹣（﹣3）＝5，故答案为：2，5；（2）∵3﹣3+6＝6，∴B表示的数为6，A、B两点间的距离为6﹣3＝3，故答案为：6，3；（3）根据题意，点B表示的数为x+p﹣n，A、B两点间的距离为|x+p﹣n﹣x|＝|p﹣n|，故答案为：x+p﹣n，|p﹣n|．7．解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒），（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x．则10÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2，解得x＝．故相遇点M所对应的数是．（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2．②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5．③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11．④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17．综上所述：t的值为2、6.5、11或17．8．解：（1）如图所示：（2）CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）；设D表示的数为a，∵AD＝4，∴|﹣1﹣a|＝4，解得：a＝﹣5或3，∴点D表示的数为﹣5或3；故答案为：5，﹣5或3；（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；故答案为：﹣1+x；（4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：根据题意得：CA＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AB＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝2+3t，∴CA﹣AB＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3，∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化．角度的旋转9．解：（1）∵∠COE是直角，∠COF＝58°，∴∠EOF＝90°﹣58°＝32°．∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝64°，∴∠BOE＝180°﹣64°＝116°．答：∠BOE的度数为116°；（2）∵∠COF＝m°，∴∠EOF＝m°﹣90°．又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝2m°﹣180°，∴∠BOE＝180°﹣（2m°﹣180°）＝360°﹣2m°．答：∠BOE的度数为360°﹣2m°．10．解：（1）∵∠AOC＝90°，∠BOD＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°；（2）设∠COD＝x°，则∠BOC＝100°﹣x°，∵∠AOC＝110°，∴∠AOB＝110°﹣（100°﹣x°）＝x°+10°，∵∠AOD＝∠BOC+70°，∴100°+10°+x°＝100°﹣x°+70°，解得：x＝30即，∠COD＝30°；（3）当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余；理由是：要使∠AOD与∠BOC互余，即∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC＝90°，即∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠AOC＝∠BOD＝α，∴∠AOC＝∠BOD＝45°，即α＝45°，∴当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余．11．解：（1）如图1所示：∵ON平分∠AOC，∴∠CON＝，又∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝，又∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠MON＝∠CON+∠COM＝＝＝45°；（2）∠MON的大小不变，如图2所示，理由如下：∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝，又∵ON平分∠AOC，∴∠AON＝，又∵∠MON＝∠AON+∠AOM，∴∠MON＝＝＝＝45°．12．解：（1）旋转前∠MOC＝90°﹣∠AOC＝60°，当OM平分∠BOC时，，3t＝75°﹣60°，t＝5s，结论：ON平分∠AOC，理由：∵∠CON＝90°﹣∠MOC，∠AOC＝180°﹣∠BOC＝2（90°﹣∠MOC），∴∠AOC＝2∠CON，∴ON平分∠AOC（2）∠MOC＝∠AOM﹣∠AOC＝（3t+90°）﹣（30°+6t）＝60°﹣3t若OC平分∠MON则，∴60°﹣3t＝45°，∴t＝5．13．解：如图所示：（1）设∠AOD＝5x°，∵∠BOC＝∠AOD∴∠BOC＝•5x°＝3x°又∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠DOC+∠BOC，∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠DOC，∴∠AOC+∠BOD＝∠AOD+∠BOC，又∵∠AOC＝∠BOD＝120°，∴5x+3x＝240解得：x＝30°∴∠AOD＝150°；（2）∵∠AOD＝150°，∠BOC＝∠AOD，∴∠BOC＝90°，①若线段OB、OC重合前相差20°，则有：20t+15t+20＝90，解得：t＝2，②若线段OB、OC重合后相差20°，则有：20t+15t﹣90＝20解得：，又∵0＜t＜6，∴t＝2或t＝；（3）∠MON的度数不会发生改变，∠MON＝30°，理由如下：∵旋转t秒后，∠AOD＝150°﹣5t°，∠AOC＝120°﹣5t°，∠BOD＝120°﹣5t°∵OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD∴∠AOM＝∠AOC＝，∠DON＝＝∴∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON＝150°﹣5t°﹣﹣＝30°．14．解：（1）①∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝60°+90°＝150°；②∠BOC﹣∠AOD＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°；故答案为：150°、30°；（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，①0＜n°≤150°时，如图4，射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧，∵∠BOF＝[90°﹣（n﹣60°）]＝（150﹣n）°，∠BOE＝（90﹣n）°＝（180﹣n）°，∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；②150°＜n°≤180°时，如图5，射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧，∵°，∠BOE＝（90﹣n）°＝（180﹣n）°，∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝15°；③180°＜n°≤330°时，如图6，射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧，∵°，°，∴∠EOF＝∠DOF+∠COD+∠COE＝165°；④330°＜n°≤360°时，如图7，射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧，∵∠DOF＝[360﹣（n﹣150）]°＝（510﹣n）°，°，∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；综上，∠EOF＝15°或165°．15．解：（1）∵CF平分∠ACB，∴∠BCF＝∠ACF＝∠ACB＝×90°＝45°，∴∠ACE＝∠ECF﹣∠ACF＝90°﹣45°＝45°；（2）∠ACE＝∠BCF，∵∠BCF+∠ACF＝90°＝∠ACE+ACF，∴∠ACE＝∠BCF；（3）∠BCF﹣∠ACD＝45°，∵∠ACF+∠BCF＝90°，∠ACD+∠ACF＝∠DCF＝45°，∴（∠ACF+∠BCF）﹣（∠ACD+∠ACF）＝90°﹣45°，即：∠BCF﹣∠ACD＝45°．16．解：（1）如图1①由方位角的表示方法得，射线OE的方向是北偏东20°，故答案为：北偏东20°；②∵∠AOE+∠EON＝∠CON+∠EON＝90°，∴∠AOE＝∠CON；故答案为：∠AOE＝∠CON；③∵∠AOE+∠EON＝∠CON+∠BOC，∴∠EON＝∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC+∠EON＝180°，故答案为：∠AOC+∠EON＝180°，（2）如图2，①∵∠COE＝90°．∴∠AOC+∠AOE＝90°＝∠AOE+∠EOM，∴∠AOC＝∠EOM，∵OF恰好平分∠COM，∴∠MOF＝∠OCF，即：∠MOE+∠EOF＝∠AOC+∠AOF，∴∠EOF＝∠AOF＝24°故答案为：24°②∵∠CON+∠AOC＝90°＝∠AOC+∠AOE，∴∠CON＝∠AOE，∵∠EOF＝∠AOF＝β，∴∠CON＝2∠AOF＝2β；故答案为：2β．（3）如图3，由同角的余角相等可得∠COM＝∠BOE，∴∠CON＝∠AOE，∵OF平分∠COM，∴∠COF＝∠MOF，∴∠CON＝∠AOE＝2∠COF+2∠AOC＝2∠AOF，∴∠CON＝2∠AOF．。

人教版七年级数学上册期末动点问题压轴题专题练习-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足︱a+3︱+︱c-5 ︱=0（1）a=，b=，c=．（2）如果点P表示的数为x，当P点到B、C两点的距离之和为8时，x=（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB=，BC=．（用含t的代数式表示）（4）3BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值。

2．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4|+（b-3）2=0．（1）则a=，b=；并将这两个数在数轴上所对应的点A，B表示出来；（2）数轴上在B点右边有一点C到A、B两点的距离和为11，若点C的数轴上所对应的数为x，求x的值；（3）若点A，点B同时沿数轴向正方向运动，点A运动的速度为2单位/秒，点B运动的速度为1单位/秒，若|AB|=4，求运动时间t的值．3．已知数轴上有A，B两点，分别代表-40，20，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，B两点同时出发，其中甲以1个单位长度/秒的速度向右运动，到达点B处时运动停止．乙以4个单位长度/秒的速度向左运动．（1）A，B两点间的距离为个单位长度；乙到达A点时一共运动了秒．（2）甲、乙在数轴上运动，经过多少秒相遇？（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．4．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+(c−6)2=0．（1）a＝，b＝，c＝；（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则数轴上折痕所表示的数为，点B与数表示的点重合，原点与数表示的点重合；（3）动点P、Q同时从原点出发，点P向负半轴运动，点Q向正半轴运动，点Q的速度是点P 速度的3倍，2秒钟后，点P到达点A．①点P的速度是每秒▲ 个单位长度，点Q的速度是每秒▲ 个单位长度；②经过几秒钟，点P与点Q相距12个单位长度．5．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，可以看到终点表示的数是-2．已知点A，B是数轴上的点，完成下列各题．（1）若点A表示数-2，将A点向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，此时A，B两点间的距离是．（2）若点A表示数3，将A点向左移动6个单位长度，再向右移动5个单位长度后到达点B；此时A，B两点间的距离是．（3）若A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动t个单位长度后到达终点B6．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b−3|=0；（1）点A表示的数为；点B表示的数为；（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动：同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后(忽略球的大小，可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)①当t=1时，甲小球到原点的距离=；乙小球到原点的距离=；当t=3时，甲小球到原点的距离=；乙小球到原点的距离=②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由.若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．7．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为3，BC＝2，AB＝6．（1）则点A对应的数是、点B对应的数是；（2）动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M在线段AP上，且AM＝MP，N在线段CQ上，且CN=14CQ，设运动时间为t（t＞0）．①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）；②猜想MQ的长度是否与t无关为定值，若为定值请求出该定值，若不为定值请说明理由；③探究t为何值时，OM＝2BN．8．数轴上点A表示的有理数为20，点B表示的有理数为﹣10，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动，到达点B后立即返回，返回过程中的速度是每秒2个单位长度，运动至点A停止，设运动时间为t（单位：秒）．（1）当t＝5时，点P表示的有理数为．（2）在点P往左运动的过程中，点P表示的有理数为（用含t的代数式表示）．（3）当点P与原点距离5个单位长度时，t的值为．9．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−20，B点对应的数为100．（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？10．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作|a-b|或|b-a|，我们把数轴上两点的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为-10，0，12.（1）直接写出结果，OA＝，AB＝．（2）设点P在数轴上对应的数为x．①若点P为线段AB的中点，则x＝．②若点P为线段AB上的一个动点，则|x+10|+|x-12|的化简结果是．（3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B 出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM=ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由.11．如图．数轴上A．B两点对应的有理数分别为-10和20．点P从点O出发．以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从点A出发，以每秒2个单位长度的速发沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒。