2020-2021学年北京交大附中高一(上)期中数学试卷

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注：资料封面，下载即可删除2020-2021学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题2020年11月4日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷18道题，共100分，Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共25题，合计150分，考试时间120分钟 Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分）1．设全集{}2,3,4,5,6,7U =，集合{}2,4,5M =，{}3,5,7N =，则()UN M ⋂=（ ）． A ．{}5B ．{}3,7C ．{}2,3,4,5,7D ．{}2,3,4,6,72．下列函数中，既是奇函数，又是在区间()0,+∞上单调递增的函数为（ ）． A ．1y x -=B ．y x x =C ．y x =-D ．21y x =-3．已知命题:0p x ∀≥，20x ->，则p ⌝是（ ）． A ．0x ∃≥，20x -≤ B ．0x ∃<，20x -≤ C ．0x ∀≥，20x -≤D ．0x ∀≥，20x -<4．不等式2560x x -->的解集为（ ）． A ．{}32x x x ><-或 B ．{}23x x x ><-或 C ．{}61x x x ><-或D ．{}16x x -<<5．函数()35f x x =-的零点所在的区间是（ ）． A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4D ．()4,56．若a b >，则下列不等关系一定成立的是（ ）． A ．1ab> B ．11a b< C ．a b >D ．33a b -<-7．函数2x y x=的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．8．“2x <”是“2x <”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个正的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．0m > B ．0m ≥ C ．1m ≥D ．1m >10．若关于x 的不等式()()2121x x a x -+≥-对于一切()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(],4-∞ B ．[)4,+∞ C ．(],6-∞D ．[)6,+∞二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置） 11．函数()13xf x x-=+的定义域为______．12．若函数()()()2f x x x a =+-是偶函数，则()3f =______．13．奇函数()f x 的定义域为()1,1-，()f x 在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，如图所示，则不等式()f x x <的解集为______．14．已知函数()2f x x =，如果对[]10,1x ∀∈，[]20,1x ∀∈，使得()()12f xg x =成立，请给出一个满足上述条件的函数()g x ，则()g x 的解析式为______． 15．设函数()2,2,x x a x x a f x x ≥⎧=⎨-+<⎩①若x R ∃∈，使得()()11f x f x +=-成立，则实数a 的取值范围是______． ②若函数()f x 为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）16．已知集合{}13A x a x a =-≤≤+，{}22150B x x x =-->． （1）当3a =时，求A B ⋂；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围．17．经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期．该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题．具体如下：年存储成本费T （元）关于每次订货量x （单位）的函数关系为()2bx acT x x=+，其中a 为年需求量，b 为每单位物资的年存储费，c 为每次订货费，某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨每吨存储费为120元年，每次订货费为2500元． （1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？18．已知函数()12f x x x=- （Ⅰ）判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用函数单调性定义证明；（Ⅱ）关于x 的方程()()()0,f x b f x c b c R ++=∈有6个不同的实数根()1,2,3,4,5,6i x i =．则： （1）123456x x x x x x =______．（2）求b ，c 满足的条件．（直接写出答案） Ⅱ卷（共7道题，满分50分）一、选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 19．使不等式101x<<成立的一个充分不必要条件是（ ）． A ．102x << B ．1x > C ．2x >D ．0x <20．若指数函数()xf x a =的图象和函数()()351g x x x =+≥-图象相交，则（ ）． A ．10,2a ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦B ．1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．()10,1,2a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦21．已知函数()141,041341,44345,14x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩对于给定的()01m m R m ∈<<且存在[]00,1x m ∈-，使得()()00f f x x m =+，则m 的最大值为（ ）． A ．13 B ．23 C ．12-D ．34二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分，请把结果填在答题纸上的相应位置）22．设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______．23．自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用． 在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()x x f x ae be -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数2.71828e =…）（1）如果()f x 为单调函数．写出满足条件的一-组值：a =______，b =______． （2）如果()f x 的最小值为2，则a b +的最小值为______．24．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义()1,,0,i i A A i Aϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i A B ϕ⋂=且()1A B ⋃=； ②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋃=+；③设{}*2,A x x n n N ==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，对任意*i N ∈，都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=其中正确结论的序号为______．三、解答题（本小题14分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置） 25．已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈（Ⅰ）若集合{}1,3A =，直接写出小强数学集合S ，T（Ⅱ）若集合{}1234,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+（Ⅲ）若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S ，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值．人大附中2020-2021学年度第一学期高一年级数学期中练习 参考答案和评分标准2020.11.4 阅卷须知：1．评分参考中所注分数，表示考生正确做了该步应得的该步骤分数． 2．其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分． 第Ⅰ卷（共17题，满分100分）一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）注：11题和13题如果未写成区间或者集合形式．三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 16．解：（1）由题可得：{}26A x x =≤≤ {}53B x x x =><-或则{}56A B x x ⋂=<≤（2）因为A B B ⋃=，则A B ⊆， 所以：33a +<-或15a -> 即：6a <-或6a >所以a 的取值范围为()(),66,-∞-⋃+∞ 【注：a 的取值范围写成不等式】 17．解：（1）有题意可得：()120600025002x T x x⨯=+，06000x <≤． 将300x =代入，得()30068000T =． 因此，该化工厂年存储成本费为68000元． （2）因为120600025002x x ⨯+≥， 所以()60000T x ≥，当且仅当500x =，且(]5000,6000∈时，等号成立．因此，每次订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60000元． 18．解： （Ⅰ）证明：任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <， 则()()2121211122f x f x x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭()()12121212121220x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+-=-+>⎢⎥⎣⎦因为120x x <<，所以120x x -<，120x x >，12120x x +>． 所以()()210f x f x -<．即()()12f x f x >． 所以()f x 是()0,+∞上的减函数．【注：没有“任取”或者“∀”，体现任意性词语和符号】 （Ⅱ）（1）18-（2）0b <，0c =Ⅱ卷（共7道题，满分50分)一、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）三、解答题 25．解：（1）根据题意，由{}1,3A =，则{}2,4,6S =，{}0,2T =； （2）由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =， 所以T 中也只包含四个元素， 即{}2131410,,,T x x x x x x =---， 剩下的324321x x x x x x -=-=-， 所以1423x x x x +=+；（3）设{}12,,k A a a a =⋅⋅⋅满足题意，其中12k a a a <<⋅⋅⋅<，则11213223122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<⋅⋅⋅<+<+<+<⋅⋅⋅<+<，21S k ∴≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<⋅⋅⋅<-，T k ∴≥，S T ⋂=∅，31S T S T k ⋃=+≥-， S T ⋃中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，21k S T a ∴⋃≤+，()*31214041k k a k N ∴-≤+≤∈， 1347k ≤，实际上当{}674,675,676,,2020A =⋅⋅⋅时满足题意， 证明如下：设{},1,2,,2020A m m m =++⋅⋅⋅，m N ∈，则{}2,21,22,,4040S m m m =++⋅⋅⋅，{}0,1,2,,2020T m =⋅⋅⋅-， 依题意有20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多， 即{}674,675,676,,2020A =⋅⋅⋅时满足题意， 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347．。

2020-2021学年北京交大附中分校高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知平面向量＝（1，1），＝（1，2），那么•等于（）A．1B．2C．3D．42．（4分）sin35°cos25°+cos35°sin25°的值等于（）A．B．C．D．3．（4分）计算cos69°cos24°+sin69°sin24°的结果是（）A．B．C．D．14．（4分）如果正△ABC的边长为1，那么•等于（）A．B．C．1D．25．（4分）复数z＝i（1﹣i）的模|z|＝（）A．B．2C．1D．46．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝45°，B＝30°（）A．B．C．D．7．（4分）已知△ABC中，∠A＝45°，AB＝2，那么BC等于（）A．B．6C．1D．8．（4分）函数y＝sin x cos x的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．9．（4分）已知复数z满足﹣z＝2i，则z的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i10．（4分）复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.11．（5分）2cos215°﹣1等于．12．（5分）在复数范围内方程x2﹣x+2＝0的解集是．13．（5分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知a＝4，，．14．（5分）已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），cos＜＞＝．15．（5分）再复平面内，复数z＝3+2i与其共轭复数对应的点分别为A，B，O为坐标原点．三、解答题：本大题共4小题，共35分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（8分）已知x+y+4i＝2y+x2i，求实数x，y的值．17．（9分）已知向量＝（2sin x，2sin x），＝（cos x，﹣sin x），求函数f（x）＝•+1．（1）如果f（x）＝，求sin4x的值．（2）如果x∈（0，），求f（x）的取值范围．18．（9分）在△ABC中，cos C＝，c＝8，求：（Ⅰ）b的值；（Ⅱ）角A的大小和△ABC的面积．条件①：a＝7；条件②：cos B＝．19．（9分）在△ABC中，，，BC＝2．（Ⅰ）若，求sin C；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求的取值范围．2020-2021学年北京交大附中分校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知平面向量＝（1，1），＝（1，2），那么•等于（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由题可得＝（1，2）＝4+2＝3，故选：C．2．（4分）sin35°cos25°+cos35°sin25°的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：sin35°cos25°+cos35°sin25°＝sin60°＝．故选：D．3．（4分）计算cos69°cos24°+sin69°sin24°的结果是（）A．B．C．D．1【解答】解：cos69°cos24°+sin69°sin24°＝cos（69°﹣24°）＝cos45°＝．故选：B．4．（4分）如果正△ABC的边长为1，那么•等于（）A．B．C．1D．2【解答】解：∵正△ABC的边长为1，∴•＝||cos A＝1×7×cos60°＝，故选：B．5．（4分）复数z＝i（1﹣i）的模|z|＝（）A．B．2C．1D．4【解答】解：∵z＝i（1﹣i）＝1+i，∴|z|＝．6．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝45°，B＝30°（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理＝＝，得＝，解得：b＝5，故选：B．7．（4分）已知△ABC中，∠A＝45°，AB＝2，那么BC等于（）A．B．6C．1D．【解答】解：在△ABC中，∠A＝45°，AC＝3，所以由余弦定理可得BC²＝AB²+AC²﹣3AB•AC•sin A＝8+9﹣6×2×6×，所以BC＝．故选：D．8．（4分）函数y＝sin x cos x的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【解答】解：由题意，函数f（x）＝sin x cos x＝∴故选：C．9．（4分）已知复数z满足﹣z＝2i，则z的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【解答】解：设z＝a+bi，因为﹣z＝2i，即﹣2bi＝4i，故复数z的虚部为﹣1．故选：A．10．（4分）复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：复数＝＝a+i在复平面上对应的点（a，则实数a的取值范围是（3，+∞），二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.11．（5分）2cos215°﹣1等于．【解答】解：2cos215°﹣2＝cos30°＝，故答案为：．12．（5分）在复数范围内方程x2﹣x+2＝0的解集是{x|x＝，或x＝}．【解答】解：对于方程x2﹣x+2＝7，由于△＝1﹣8＝﹣6＜0，∴它的2个根为＝，故原方程的解集为{x|x＝，或x＝}，故答案为：{x|x＝，或x＝}．13．（5分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知a＝4，，6．【解答】解：∵a＝4，，＝ac sin B＝，∴c＝6．故答案为：7．14．（5分）已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），cos＜＞＝．【解答】解：，所以，，所以＝．故答案为：．15．（5分）再复平面内，复数z＝3+2i与其共轭复数对应的点分别为A，B，O为坐标原点6．【解答】解：复数z＝3+2i在复平面内对应的点为A（2，2）在复平面内对应的点为B（3，故．故答案为：6．三、解答题：本大题共4小题，共35分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（8分）已知x+y+4i＝2y+x2i，求实数x，y的值．【解答】解：由x+y+4i＝2y+x5i，可得．17．（9分）已知向量＝（2sin x，2sin x），＝（cos x，﹣sin x），求函数f（x）＝•+1．（1）如果f（x）＝，求sin4x的值．（2）如果x∈（0，），求f（x）的取值范围．【解答】解：∵＝（2sin x，＝（cos x，∴f（x）＝•+1＝8sin x cos x﹣2sin2x+5＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），（1）∵f（x）＝，∴sin（5x+，∴sin（2x+）＝，∴sin4x＝﹣cos（8x+）＝﹣cos2（5x+2（5x+）]＝﹣1+6×，（2）∵x∈（5，），∴2x+∈（，），∴＜sin（5x+，∴﹣1＜sin（2x+，∴f（x）的取值范围（﹣1，）．18．（9分）在△ABC中，cos C＝，c＝8，求：（Ⅰ）b的值；（Ⅱ）角A的大小和△ABC的面积．条件①：a＝7；条件②：cos B＝．【解答】解：选条件①：（Ⅰ）a＝7时，cos C＝，利用c2＝a2+b7﹣2ab cos C，整理得b2﹣4b﹣15＝0，解得b＝5或﹣5（负值舍去），故：b＝5．（Ⅱ）由于cos C＝，0＜C＜π，所以sin C＝，利用正弦定理，所以，由于c＞a，所以A＝，则．选条件②时，（Ⅰ）cos B＝，所以，cos C＝，所以sin C＝，由正弦定理，整理得，（Ⅱ）cos B＝，所以，cos C＝，所以sin C＝，所以cos A＝﹣cos（B+C）＝＝，由于A∈（0，π），所以A＝．所以．19．（9分）在△ABC中，，，BC＝2．（Ⅰ）若，求sin C；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin＝；（Ⅱ）证明：在△ABC中，由正弦定理得＝，∵BC＝2，sin A＝，∴AB＝＝8sin（；（Ⅲ）∵||＝7，|﹣B），∴•＝||cos B＝4sin（cos B+）+2＝2+2cos2B+7sin2B＝4sin（2B+，∵B∈（，），∴7B+，），∴sin（2B+）∈[﹣1，﹣），则•＝的取值范围是[﹣2．。

2020-2021学年北京交大附中分校高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知平面向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(1,2)，那么a ⃗ ⋅b ⃗ 等于( )A. 1B. 2C. 3D. 42. sin35°cos25°+cos35°sin25°的值等于( )A. 14B. 12C. √22 D. √323. 计算cos69°cos24°+sin69°sin24°的结果是( )A. 12B. √22C. √32D. 14. 如果正△ABC 的边长为1，那么AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. −12B. 12C. 1D. 25. 复数z =i(1−i)，则|z|=( )A. 1B. √2C. 2D. 46. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果a =10，A =45°，B =30°，那么b 等于( )A. 5√22B. 5√2C. 10√2D. 20√27. 已知△ABC 中，∠A =45°，AB =2√2，AC =3，那么BC 等于( )A. 2√3B. 6C. 1D. √58. 函数f(x)=sinxcosx 的最小正周期为( )A. 3πB. πC. 2πD. 4π9. 已知复数z 满足z −−z =2i ，则z 的虚部是( )A. −1B. 1C. −iD. i10. 复数ai−1i在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−∞,0)C. (0,+∞)D. (1,+∞)二、单空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. 2cos 215°−1等于______．12. 在复数范围内方程x 2−x +2=0的解集是______．13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，已知a =4，B =π3，S △ABC =6√3，那么c 等于______．14. 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(m,0)(m >0)，cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=______． 15. 再复平面内，复数z =3+2i 与其共轭复数对应的点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则三角形AOB 的面积是______． 三、解答题（本大题共4小题，共35.0分） 16. 已知x +y +4i =2y +x 2i ，求实数x ，y 的值．17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sinx)，b ⃗ =(cosx,−sinx)，求函数f(x)=a ⃗ ⋅b⃗ +1． (1)如果f(x)=12，求sin4x 的值． (2)如果x ∈(0,π2)，求f(x)的取值范围．18. 在△ABC 中，cosC =17，c =8，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： (Ⅰ)b 的值；(Ⅱ)角A 的大小和△ABC 的面积． 条件①：a =7； 条件②：cosB =1114．19. 在△ABC 中，A =π6，B ∈(π2,5π6)，BC =2．(Ⅰ)若B =2π3，求sin C ；(Ⅱ)求证：AB =4sin(5π6−B)； (Ⅲ)求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题可得a⃗⋅b⃗ =(1,1)⋅(1,2)=1+2=3，故选：C．利用平面向量的坐标运算性质代入计算即可．本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量的坐标运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了两角和的正弦公式的简单应用，属于基础题．由已知结合两角和的正弦公式即可求解．【解答】．解：sin35°cos25°+cos35°sin25°=sin60°=√32故选：D．3.【答案】B【解析】解：cos69°cos24°+sin69°sin24°=cos(69°−24°)=cos45°=√2．2故选：B．利用公式cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ，即可得解．本题考查两角和与差的余弦公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题考查了向量的数量积的运算，是一道基础题．根据向量的数量积的运算性质计算即可．解：∵正△ABC 的边长为1，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =1×1×cos60°=12， 故选：B ．5.【答案】B【解析】解：∵z =i(1−i)=1+i ， ∴|z|=√12+12=√2． 故选：B ．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．6.【答案】B【解析】 【试题解析】 【分析】本题考查了正弦定理的应用，考查解三角形问题，是一道基础题． 根据正弦定理直接代入求值即可． 【解答】解：由正弦定理asinA =bsinB =csinC ， 得10sin45∘=bsin30∘，解得：b =5√2， 故选B ．7.【答案】D【解析】解：在△ABC 中，∠A =45°，AB =2√2，AC =3，所以由余弦定理可得BC²=AB²+AC²−2AB ⋅AC ⋅sinA =8+9−2×2√2×3×√22=5，所以BC =√5．由余弦定理即可求解．本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意，函数f(x)=sinxcosx=12sin2x∴T=2π2=π故选：B．先化简函数，再利用周期公式，即可求得结论．本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，属于基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了待定系数法求解复数的应用，考查了复数相等的定义，属于基础题．利用待定系数法设z=a+bi，然后利用复数相等，求出b的值即可得到答案．【解答】解：设z=a+bi，因为z−−z=2i，则有a−bi−(a+bi)=2i，即−2bi=2i，所以b=−1，故复数z的虚部为−1．故选：A．10.【答案】C【解析】解：复数ai−1i =−i(ai−1)−i⋅i=a+i在复平面上对应的点(a,1)位于第一象限，则实数a的取值范围是(0,+∞)，故选：C．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】√32【解析】解：2cos215°−1=cos30°=√32，故答案为：√32．由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果．本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．12.【答案】{x|x=1+√7i2，或x=1−√7i2}【解析】解：对于方程x2−x+2=0，由于△=1−8=−7<0，故它有2个共轭虚根，∴它的2个根为1±√−△i2=1±√7i2，故原方程的解集为{x|x=1+√7i2，或x=1−√7i2}，故答案为：{x|x=1+√7i2，或x=1−√7i2}.由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，求得结果．本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理，属于基础题．13.【答案】6【解析】解：∵a=4，B=π3，S△ABC=6√3=12acsinB=12×4×c×√32，∴c=6．故答案为：6．由已知利用三角形的面积公式即可求c的值．本题主要考查了三角形的面积公式，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】√55【解析】解：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,0)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=m ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m ， 所以cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅m=√55． 故答案为：√55．分别求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，代入公式cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |求解． 本题考查利用数量积求夹角的余弦值，属于基础题．15.【答案】6【解析】解：复数z =3+2i 在复平面内对应的点为A(3,2)，z 的共轭复数z −=3−2i 在复平面内对应的点为B(3,−2)， 故S △AOB =12|AB|×3=12×4×3=6． 故答案为：6．根据已知条件，结合复数的几何含义，以及三角形的面积公式，即可求解． 本题主要考查复数的几何含义，以及三角形的面积公式，属于基础题．16.【答案】解：由x +y +4i =2y +x 2i ，可得{x +y =2yx 2=4，解得x =y =2或x =y =−2．【解析】根据复数的相等可得关于x 、y 的方程组，再求出x ，y ． 本题考查了根据复数的相等求参数的值，考查了方程思想，属于基础题．17.【答案】解：∵a ⃗ =(2sinx,2sinx)，b ⃗ =(cosx,−sinx)，∴f(x)=a ⃗ ⋅b⃗ +1=2sinxcosx −2sin 2x +1=sin2x +co2x =√2sin(2x +π4)， (1)∵f(x)=12，∴√2sin(2x +π4)=12， ∴sin(2x +π4)=√24， ∴sin4x =−cos(4x +π2)=−cos2(2x +π4)=−[1−2sin 2(2x +π4)]=−1+2×12=0， (2)∵x ∈(0,π2)， ∴2x +π4∈(π4,5π4)，∴−√22<sin(2x +π4)<1，∴−1<√2sin(2x +π4)<√2， ∴f(x)的取值范围(−1,√2).【解析】计算向量的数量积，利用二倍角．两角和的正弦函数化简函数f(x)的表达式，得到一个角的一个三角函数的形式；(1)借助诱导公式和二倍角公式，求出sin4x 的值．(2)先求出2x +π4的范围，再根据正弦函数的单调性，求出函数的值域．本题考查了三角函数的二倍角公式，三角函数的化简，向量的数量积，属于中档题．18.【答案】解：选条件①：(Ⅰ)a =7时，cosC =17，c =8， 利用c 2=a 2+b 2−2abcosC ，整理得b 2−2b −15=0，解得b =5或−3(负值舍去)， 故：b =5．(Ⅱ)由于cosC =17，0<C <π， 所以sinC =√1−cos 2C =4√37， 利用正弦定理asinA =csinC ，所以7sinA =4√37sinA =√32，由于c >a ，所以A =π3， 则S △ABC =12absinC =10√3． 选条件②时，(Ⅰ)cosB =1114，所以sinB =√1−cos 2B =5√314， cosC =17，所以sinC =√1−cos 2C =4√37，由正弦定理b sinB =csinC ，整理得5√314=4√37，解得b =5，(Ⅱ)cosB =1114，所以sinB =√1−cos 2B =5√314， cosC =17，所以sinC =√1−cos 2C =4√37，所以cosA =−cos(B +C)=−1114×17+5√314×4√37=12，由于A ∈(0,π)， 所以A =π3．所以S △ABC =12bcsinA =12×5×8×√32=10√3．【解析】选条件①：(Ⅰ)利用余弦定理的应用求出结果；(Ⅱ)利用三角函数关系式的变换，正弦定理和三角形的面积求出结果；选条件②时，(Ⅰ)利用三角函数的角的变换和正弦定理的应用求出结果；(Ⅱ)利用三角函数的角的变换和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)sinC =sin(π−A −B)=sin π6=12；(Ⅱ)证明：在△ABC 中，由正弦定理得ABsinC =BCsinA ， ∵BC =2，sinA =12，B +C =5π6，∴AB =BCsinC sinA=4sin(5π6−B)；(Ⅲ)∵|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4sin(5π6−B)， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =8sin(5π6−B)cosB =8cosB(12cosB +√32sinB)=4sin(2B +π6)+2=2+2cos2B +2√3sin2B =4sin(2B +π6)+2，∵B ∈(π2,5π6)，∴2B +π6∈(7π6,11π6)，∴sin(2B +π6)∈[−1,−12)， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =的取值范围是[−2,0)．【解析】(Ⅰ)由A 与B 的度数求出C 的度数，即可求出sin C 的值； (Ⅱ)由正弦定理列出关系式，根据B 表示出C 代入计算即可得证；(Ⅲ)利用平面向量的数量积运算化简所求的式子，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个叫的正弦函数，由B 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出范围．此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．第11页，共11页。

2023-2024学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝{x |﹣3≤x ＜0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣2}D ．{﹣2，﹣1}2．命题“∃x 0∈（0，+∞），x 02+1≤2x 0”的否定为（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1＞2x B ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1≤2x C ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1≤2xD ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1＞2x3．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0的两根同号，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤1B ．m ≤0C ．0＜m ≤1D ．0≤m ≤14．已知函数f （x ）={x 2−2x(x ＜1)−x +1(x ≥1)，则f （f （﹣1））的值为（ ）A ．3B ．0C ．﹣1D ．﹣25．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且是奇函数的是（ ） A ．y =√xB ．y ＝x 2C ．y ＝|x |D ．y =x −1x7．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．cb＞caD ．|b |c ＜|a |c8．设f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （0）+f （4）＝（ ） A ．12B ．﹣12C ．13D ．﹣139．已知当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +16＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，8]C ．[8，+∞）D ．（6，+∞）10．（多选）对于全集U 的子集A 定义函数f A （x ）={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)为A 的特征函数，设A ，B 为全集U 的子集，则下列结论中正确的是（ ） A ．若A ⊆B ，则f A （x ）≤f B （x ） B ．f ∁U A （x ）＝1﹣f A （x ）C ．f A ∩B （x ）＝f A （x ）•f B （x ）D ．f A ∪B （x ）＝f A （x ）+f B （x ）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上） 11．函数f(x)=2√x−1的定义域是 ． 12．如图，函数f （x ）的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （x ）≤2的解集为 ．13．定义在R 上的函数f （x ），给出下列三个论断： ①f （x ）在R 上单调递增；②x ＞1；③f （x ）＞f （1）．以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题： ． 14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”．计算方法如表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为 ． 15．设函数f(x)={x 2+4x +3，x ≤0−1x ，x ＞0．给出下列四个结论：①函数f （x ）的值域是R ；②∀x 1，x 2∈（﹣2，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0；③∃x 0＞0，使得f （﹣x 0）＝f （x 0）；④若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的取值范围是（﹣3，+∞）． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设关于x 的不等式|x ﹣a |＜2的解集为A ，不等式x 2﹣x ﹣6＜0的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 17．（12分）已知函数f(x)=2x−3x+1．（1）用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在区间[1，4]上的值域．18．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（1）求f（x）的解析式；（2）若当x∈[﹣3，﹣1]时，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．19．（12分）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：P=3m4x+5(x∈R，0≤x≤8)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m的值及用x表示S；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．20．（12分）已知f（x）是定义域为R的函数，若对任意x1，x2∈R，x1﹣x2∈S，均有f（x1）﹣f（x2）∈S，则称f（x）是S关联．（1）判断和证明函数f（x）＝2x+1是否是[0，+∞）关联？是否是[0，1]关联？（2）若f（x）是{3}关联，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，解不等式：2≤f（x）≤3．2023-2024学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝{x |﹣3≤x ＜0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣2}D ．{﹣2，﹣1}解：集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝{x |﹣3≤x ＜0}，则M ∩N ＝{﹣2，﹣1}． 故选：D ．2．命题“∃x 0∈（0，+∞），x 02+1≤2x 0”的否定为（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1＞2x B ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1≤2x C ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1≤2x D ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1＞2x解：否定：否定量词，否定结论，所以把任意改成存在，x 02+1≤2x 0改为x 2+1＞2x ， 即∀x ∈（0，+∞），x 2+1＞2x 故选：A ．3．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0的两根同号，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤1B ．m ≤0C ．0＜m ≤1D ．0≤m ≤1解：关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零， 则有{Δ=4−4m ≥0m ＞0，解得0＜m ≤1．故选：C ． 4．已知函数f （x ）={x 2−2x(x ＜1)−x +1(x ≥1)，则f （f （﹣1））的值为（ ）A ．3B ．0C ．﹣1D ．﹣2解：因为函数f （x ）={x 2−2x(x ＜1)−x +1(x ≥1)，所以f （﹣1）＝1+2＝3，则f （f （﹣1））＝f （3）＝﹣3+1＝﹣2． 故选：D ．5．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a ＜1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由1a＜1，可得a＞1或a＜0，故由a＞1，能够推出1a ＜1，故a＞1是1a＜1的充分条件，由1a ＜1，不能够推出a＞1，故a＞1是1a＜1的不必要条件，综上所述，a＞1是1a＜1的充分不必要条件，故选：A．6．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且是奇函数的是（）A．y=√x B．y＝x2C．y＝|x|D．y=x−1x 解：对于A，函数y=√x的定义域为[0，+∞），关于原点不对称，故函数y=√x为非奇非偶函数，故A不符题意；对于B，函数y＝f（x）＝x2的定义域为R，因为f（﹣x）＝x2＝f（x），所以函数y＝x2为偶函数，故B不符题意；对于C，函数y＝f（x）＝|x|的定义域为R，因为f（﹣x）＝|x|＝f（x），所以函数y＝|x|为偶函数，故C不符题意；对于D，函数y=f(x)=x−1x的定义域为{x|x≠0}，因为f(−x)=−x+1x=−f(x)，所以函数f（x）为奇函数，又因为函数y=x，y=−1x在区间（0，+∞）上都单调递增，所以函数y=x−1x在区间（0，+∞）上单调递增，故D符合题意．故选：D．7．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．b﹣a＜c+a B．c2＜ab C．cb ＞caD．|b|c＜|a|c解：（法1）根据数轴可得c＜b＜a＜0且|c|＞|b|＞|a|，对于A：因为c＜b，a＜0，所以c+a＜c，b﹣a＞b，则c+a＜c＜b﹣a，即c+a＜b﹣a，故A错误；对于B：因为c＜b＜a＜0，|c|＞|b|＞|a|，所以c2＞b2＞a2，且b2＞ab，所以c2＞b2＞ab，则c2＞ab，故B 错误；对于C ：因为b ＜a ＜0，所以1b＞1a，则cb＜ca，故C 错误；对于D ：因为|b |＞|a |，且c ＜0，所以|b |c ＜|a |c ，故D 正确， （法2）不妨令c ＝﹣5，b ＝﹣4，a ＝﹣1，则c +a ＝﹣6＜b ﹣a ＝﹣3，故A 错误；c 2＝25＞ab ＝4，故B 错误；cb =54＜c a=5，故C 错误；故选：D ．8．设f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （0）+f （4）＝（ ） A ．12B ．﹣12C ．13D ．﹣13解：根据题意，当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （﹣4）＝3×（﹣4）﹣1＝﹣13， 又由f （x ）为R 上的奇函数，则f （0）＝0，f （4）＝13， 则f （0）+f （4）＝13． 故选：C ．9．已知当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +16＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，8]C ．[8，+∞）D ．（6，+∞）解：根据题意当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +16＞0恒成立，则m ＜x 2+16x =x +16x恒成立，只需m ＜（x +16x ）min即可． 易知当x ＞0时，由基本不等式可得需x +16x ≥2√x ⋅16x=8，当且仅当x ＝4时取等号； 所以（x +16x ）min＝8，即m ＜8，所以m 的取值范围是（﹣∞，8）． 故选：A ．10．（多选）对于全集U 的子集A 定义函数f A （x ）={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)为A 的特征函数，设A ，B 为全集U 的子集，则下列结论中正确的是（ ） A ．若A ⊆B ，则f A （x ）≤f B （x ） B ．f ∁U A （x ）＝1﹣f A （x ）C ．f A ∩B （x ）＝f A （x ）•f B （x ）D ．f A ∪B （x ）＝f A （x ）+f B （x ）解：对于A ，∵A ⊆B ，可得x ∈A 则x ∈B ，因为f A （x ）={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)，f B (x)={1，x ∈B 0，x ∈∁U B ，当x ∈A 时，f A （x ）＝f B （x ）＝1，当x ∉A 但x ∈B 时，f A （x ）＝0，f B （x ）＝1，当x∉B，f A（x）＝f B（x）＝0∴f A（x）≤f B（x），故A正确；对于B，f∁U A (x)={1，x∈∁U A0，x∈A，所以f∁U A(x)=1−f A(x)，故B正确；对于C，当x∈A∩B时，f A∩B（x）＝f A（x）＝f B（x）＝1，当x∈A，x∉B时，f A∩B（x）＝f B（x）＝0，f A（x）＝1，当x∉A，x∈B时f A∩B（x）＝f A（x）＝0，f B（x）＝1，当x∉A∪B时，f A∩B（x）＝f A（x）＝f B（x）＝0，以上情况均满足f A∩B（x）＝f A（x）•f B（x），故C正确；对于D，当x∈A∩B时f A∪B（x）＝1，f A（x）+f B（x）＝1+1＝2≠f A∪B（x），故D错误．故选：ABC．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11．函数f(x)=2√x−1的定义域是{x|x＞1}解：要使f（x）=2√x−1有意义，则x﹣1＞0，∴x＞1；∴f（x）的定义域为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．12．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（x）≤2的解集为[1，4]．解：由图象可知，f（x）≤2的解集为[1，4]．故答案为：[1，4]．13．定义在R上的函数f（x），给出下列三个论断：①f（x）在R上单调递增；②x＞1；③f（x）＞f（1）．以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：①②推出③．解：由题意，若f（x）为定义在R上的单调递增函数，根据单调性，可知，当x＞1时，很明显有f（x）＞f（1）成立．故已知①②可以推出③．故答案为：①②推出③．14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”．计算方法如表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为 20m 3 ． 解：设用水量为x 立方米，水价为y 元，则y ={3x ，0≤x ≤1236+6(x −12)，12＜x ≤1872+9(x −18)，x ＞18，整理得y ={3x ，0≤x ≤126x −36，12＜x ≤189x −90，x ＞18当0≤x ≤12时，0≤y ≤36，x ＞18；当0≤x ≤12时，0≤y ≤36；12＜x ≤18 时，36＜y ≤72； 故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米， 令9x ﹣90＝90，则x ＝20（立方米）， 故答案为：20m 3． 15．设函数f(x)={x 2+4x +3，x ≤0−1x ，x ＞0．给出下列四个结论：①函数f （x ）的值域是R ；②∀x 1，x 2∈（﹣2，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0；③∃x 0＞0，使得f （﹣x 0）＝f （x 0）；④若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的取值范围是（﹣3，+∞）． 其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：因为f(x)={x 2+4x +3，x ≤0−1x ，x ＞0，作出函数图像，如图所示：由图像可知f （x ）∈R ，①正确；∀x 1，x 2∈（﹣2，+∞）（x 1≠x 2），f （x ）不具有统一单调性，②错误；作出y =1x ，（x ＜0）的图像，如虚线所示，因为y =1x与f （x ）＝x 2+4x +3，x ≤3有交点，所以∃x 0＞0，使得f （﹣x 0）＝f （x 0），故③正确；由图像易知当x ＞0且f （x ）＝﹣1，解得x ＝1，则若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2＝﹣4，x 3＞1，则x 1+x 2+x 3＞﹣3，④正确． 故答案为：①③④．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设关于x 的不等式|x ﹣a |＜2的解集为A ，不等式x 2﹣x ﹣6＜0的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为A ＝{x ||x ﹣a |＜2}， 所以﹣2＜x ﹣a ＜2，即a ﹣2＜x ＜a +2， 所以A ＝{x |a ﹣2＜x ＜a +2}， 因为x 2﹣x ﹣6＜0，所以（x +2）（x ﹣3）＜0，即﹣2＜x ＜3， 所以B ＝{x |﹣2＜x ＜3}．（2）因为A ⊆B ，且a ﹣2＜a +2恒成立，所以A ≠∅， 所以{a −2≥−2a +2≤3，解得0≤a ≤1，故a 取值范围为[0，1]．17．（12分）已知函数f(x)=2x−3x+1．（1）用函数单调性的定义证明：f （x ）在（﹣1，+∞）上是增函数； （2）求函数f （x ）在区间[1，4]上的值域． 解：（1）任取x 1，x 2∈（﹣1，+∞），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−3x 1+1−2x 2−3x 2+1=(2x 1−3)(x 2+1)−(2x 2−3)(x 1+1)(x 1+1)(x 2+1)=5(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1)，因为x 1，x 2∈（﹣1，+∞），x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，x 1+1＞0，x 2+1＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在（﹣1，+∞）上是增函数． （2）由（1）知f （x ）在区间[1，4]上单调递增， 所以f(x)min =f(1)=−12，f （x ）max ＝f （4）＝1， 所以函数f （x ）在区间[1，4]上的值域为[−12，1]．18．（12分）已知二次函数f （x ）的最小值为1，且f （0）＝f （2）＝3． （1）求f （x ）的解析式；（2）若当x ∈[﹣3，﹣1]时，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +2m +1的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 解：（1）设f （x ）＝a （x ﹣0）（x ﹣2）+3，则f （x ）＝ax 2﹣2ax +3，二次函数f （x ）的最小值为1， ∴12a−4a 24a=3−a =1，∴a ＝2，∴f （x ）＝2x 2﹣4x +3．（2）x ∈[﹣3，﹣1]时，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +2m +1的图象上方， 可得2x 2﹣4x +3＞2x +2m +1恒成立， 即m ＜x 2﹣3x +1在x ∈[﹣3，﹣1]时恒成立． 所以m ＜（x 2﹣3x +1）min ＝f （﹣1）＝5 即m ＜5．19．（12分）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：P =3m4x+5(x ∈R ，0≤x ≤8)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．解：（1）设隔热层厚度x ，依题意，每年的能源消耗费用为：P =3m4x+5，而当x ＝0时，P ＝9， 则3m 5=9，解得m ＝15，显然建造费用为8x ，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为： S =40P +8x =40×454x+5+8x =18004x+5+8x （0≤x ≤8）． （2）由（1）知S =18004x+5+8x =18004x+5+2(4x +5)−10＞2√10004x+2⋅2(4x+5)−10=2×60−10=110，当且仅当18004x+5=2(4x+5)，即x＝6.25时取等号，所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用S取得最小值110万元．20．（12分）已知f（x）是定义域为R的函数，若对任意x1，x2∈R，x1﹣x2∈S，均有f（x1）﹣f（x2）∈S，则称f（x）是S关联．（1）判断和证明函数f（x）＝2x+1是否是[0，+∞）关联？是否是[0，1]关联？（2）若f（x）是{3}关联，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，解不等式：2≤f（x）≤3．解：（1）函数f（x）＝2x+1是[0，+∞）关联，证明如下：证明：任取x1，x2∈R，若x1﹣x2∈[0，+∞），则f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）∈[0，+∞），所以函数f（x）＝2x+1是[0，+∞）关联；函数f（x）＝2x+1不是[0，1]关联，证明如下：证明：若x1﹣x2∈[0，1]，则f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）∈[0，2]，所以函数f（x）＝2x+1不是[0，1]关联．（2）因f（x）是{3}关联，则x1﹣x2＝3，有f（x1）﹣f（x2）＝3，即f（x+3）﹣f（x）＝3，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1∈[﹣1，3），而2≤f（x）≤3，即2≤x2﹣2x≤3，解得1+√3≤x≤3，于是得1+√3≤x＜3，当x+3∈[0，3）时，x∈[﹣3，0），f（x）＝f（x+3）﹣3＝（x+2）2﹣4∈[﹣4，0），不等式无解；当x﹣3∈[0，3）时，x∈[3，6），f（x）＝f（x﹣3）+3＝（x﹣4）2+2∈[2，6），而2≤f（x）≤3，即2≤（x﹣4）2+2≤3，解得3≤x≤5，则有3≤x≤5，当x﹣6∈[0，3）时，x﹣3∈[3，6），x∈[6，9），f（x）＝f（x﹣3）+3＝f（x﹣6）+6＝（x﹣7）2+5∈[5，9），不等式无解，把函数f（x）从x∈[0，3）起每3个单位向右按f（x+3）﹣f（x）＝3变换，图象上升，从x∈[0，3）起每3个单位向左按f（x+3）﹣f（x）＝3变换，图象下降，综上得1+√3≤x≤5，所以不等式2≤f（x）≤3的解集为[1+√3，5]．第11页（共11页）。

2020-2021学年北京北方交大附属中学高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（）A. B. C. D..参考答案：A略2. 在上，若，则的范围是（）Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.参考答案：C略3. （5分）函数的周期，振幅，初相分别是（）A．B．C．D．参考答案：C考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：计算题．分析：本题的函数解析式已知，由其形式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期，对照四个选项得出正确选项解答：∵函数∴振幅是2，初相是又x的系数是，故函数的周期是T==4π对照四个选项知应选C故选C点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，解题的关键是理解A，ω，φ的意义，根据解析式及相关公式求出此三个参数的值．本题是基本概念型题．4. 如图是由哪个平面图形旋转得到的（）A. B. C. D.参考答案：D略5. 已知，则的表达式是（）A． B． C． D．参考答案：A6. 若a=2，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a参考答案：A【考点】不等式比较大小．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=2＞20=1，0=logπ1＜b=logπ3＜logππ=1，c=log2sin＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．7. 设集合,则满足的集合B的个数是（）A．1 B.3 C.4 D.8参考答案：C8. 两圆的位置关系是（）A.相交B.外切C.相离D.内切参考答案：B略9. 从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是( )A. 1,2,3,4,5B. 5,16,27,38,49C. 2,4,6,8,10D. 4,13,22,31,40参考答案：D略10. 在中，，则为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数f（x）=，其中a＞0，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是．参考答案：[7，+∞）【考点】函数的值域．【分析】根据指数函数性质可知y=3x+4a，（x＞3）是增函数，其值域y＞27+4a，y=2x+a2（x≤3）也是增函数，其值域y≤9+a2．要使f（x）的值域为R，只需9+a2≥27+4a即可，从而可得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，其中a＞0，令y1=3x+4a，（x＞3）是增函数，其值域y1＞27+4a，y2=2x+a2（x≤3）也是增函数，其值域y2≤9+a2．要使f（x）的值域为R，只需9+a2≥27+4a解得：a≥7或a≤﹣3．∵a＞0，∴实数a的取值范围是[7，+∞）故答案为：[7，+∞）．12. 如果＝，且是第四象限的角，那么＝．参考答案：13. 若函数，求x的取值区间参考答案：由，得，所以x 的取值区间为。

2020-2021学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，共40分）1．（4分）已知集合P＝{x∈R||x|＜2}，Q＝{x∈R|﹣1≤x≤3}，则P∩Q＝（）A．[﹣1，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，3]D．[﹣1，3] 2．（4分）已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c＝0有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c＝0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c＝0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c＝0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c＝0有解3．（4分）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．＜B．a2＞b2C．a|c|＞b|c|D．＞4．（4分）下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．B．C．D．f（x）＝x0，g（x）＝15．（4分）下列函数中，在区间[1，+∞）上为增函数的是（）A．y＝﹣（x﹣1）2B．y＝﹣（x+1）2C．y＝|x﹣1|D．y＝6．（4分）a＞﹣1是关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0有两个负根的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．8．（4分）已知函数f（x）＝|x﹣m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则m的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2] 9．（4分）一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）A．4，6B．3，6C．3，7D．1，710．（4分）设集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义，给出下列三个结论：①存在N*的两个不同子集A，B，使得任意i∈N*都满足φi（A∩B）＝0且φi（A∪B）＝1；②任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A）•φi（B）；③任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∪B）＝φi（A）+φi（B）．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共5小题，共20分）11．（4分）函数f（x）＝的定义域为．12．（4分）方程组的解集中元素的个数为．13．（4分）若不等式x2﹣ax﹣2＜0在x∈（1，2）内恒成立，则a的取值范围是．14．（4分）已知函数y＝f（x），y＝g（x）的对应关系如表：x123f（x）131x123g（x）321则f（g（1））的值为；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值是．15．（4分）对任意的x1＜0＜x2，若函数f（x）＝a|x﹣x1|+b|x﹣x2|的大致图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x轴），试写出a、b应满足的条件．三、解答题（共5小题；共60分）16．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＞0}，．（1）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）若f（x）为偶函数，且a＞0，设，mn＜0，m+n＞0，判断F（m）+F（n）是否大于零，请说明理由．19．（12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t），写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？20．（12分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y＝f（x）的“均值”．（1）判断1是否为函数f（x）＝2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．2020-2021学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，共40分）1．（4分）已知集合P＝{x∈R||x|＜2}，Q＝{x∈R|﹣1≤x≤3}，则P∩Q＝（）A．[﹣1，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，3]D．[﹣1，3]【分析】解关于x的不等式，求出P、Q的交集即可．【解答】解：∵P＝{x∈R，||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，Q＝{x∈R|﹣1≤x≤3}，则P∩Q＝[﹣1，2），故选：A．【点评】本题考查了集合的运算，考查绝对值不等式问题，是一道基础题．2．（4分）已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c＝0有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c＝0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c＝0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c＝0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c＝0有解【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c＝0 有解，则￢p为∀c＞0，方程x2﹣x+c＝0无解．故选：A．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．（4分）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．＜B．a2＞b2C．a|c|＞b|c|D．＞【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】解：若a＞0＞b，则＞，故A错误；取a＝﹣1，b＝﹣2，满足a＞b，但a2＜b2，故B错误；若c＝0，a|c|＝b|c|，故C错误，因为c2+1＞0，a＞b，∴＞，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．4．（4分）下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．B．C．D．f（x）＝x0，g（x）＝1【分析】看两个函数是不是同一个函数，要观察三个方面，A选项，f（x）的定义域{x|x ≠﹣1}，定义域不同，不是同一个函数，选项C是定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数，选项D也是定义域不同，后者是全体实数，后者是不等于0【解答】解：∵对于A选项，f（x）的定义域{x|x≠﹣1}，定义域不同，不是同一个函数，选项C也是定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数，选项D也是定义域不同，后者是全体实数，后者是不等于0，故选：B．【点评】本题考查判断两个函数是不是同一个函数，本题解题的关键是判断两个函数的定义域是否相同，本题是一个基础题．5．（4分）下列函数中，在区间[1，+∞）上为增函数的是（）A．y＝﹣（x﹣1）2B．y＝﹣（x+1）2C．y＝|x﹣1|D．y＝【分析】结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．【解答】解；根据二次函数的性质可知，y＝﹣（x﹣1）2，y＝﹣（x+1）2在区间[1，+∞）上为减函数，A，C不符合题意；根据反比例函数的性质可知，y＝在区间[1，+∞）上为减函数，D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了函数单调性的判断，属于基础试题．6．（4分）a＞﹣1是关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0有两个负根的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0有两个负根，则△＝4﹣4（﹣a+1）≥0，且﹣a+1＞0，解得a范围，即可判断出结论．【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0有两个负根，则△＝4﹣4（﹣a+1）≥0，且﹣a+1＞0，解得：1＞a≥0，∴a＞﹣1是关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0有两个负根的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（4分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．8．（4分）已知函数f（x）＝|x﹣m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则m的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【分析】根据题意，分析可得f（x）在区间（﹣2，﹣1）上递增，将f（x）写成分段函数的形式，分析可得f（x）在区间（m，+∞）上为增函数，据此可得m的取值范围．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝|x﹣m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则f（x）在区间（﹣2，﹣1）上递增，而f（x）＝|x﹣m|＝，在区间（m，+∞）上为增函数，则有m≤﹣2，即m的取值范围为（﹣∞，﹣2]；故选：D．【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．9．（4分）一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）A．4，6B．3，6C．3，7D．1，7【分析】若正确的密码中一定含有数字3，6，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4，6，或3，7不正确．正确的密码中一定含有数字1，7．【解答】解：若正确的密码中一定含有数字3，6，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4，6，或3，7不正确．若正确的密码中一定含有数字1，7，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，根据它们各自的位置均不正确，可得1在第三位置，7在第四位置．故选：D．【点评】本题考查了合情推理，考查了推理能力，属于中档题．10．（4分）设集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义，给出下列三个结论：①存在N*的两个不同子集A，B，使得任意i∈N*都满足φi（A∩B）＝0且φi（A∪B）＝1；②任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A）•φi（B）；③任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∪B）＝φi（A）+φi（B）．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】对题目中给的新定义要充分理解，对于i∈N*，φi（A）＝0或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【解答】解：∵对于i∈N*，定义，∴①例如A＝{正奇数}，B＝{正偶数}，∴A∩B＝∅，A∪B＝N*，∴φi（A∩B）＝0；φi （A∪B）＝1，故①正确；②若φi（A∩B）＝0，则i∉（A∩B），则i∈A且i∉B，或i∈B且i∉A，或i∉A且i∉B；∴φi（A）•φi（B）＝0；若φi（A∩B）＝1，则i∈（A∩B），则i∈A且i∈B；∴φi（A）•φi（B）＝1；∴任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A）•φi（B）；正确，故②正确；③例如：A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，当i＝2时，φi（A∪B）＝1；φi（A）＝1，φi（B）＝1；∴φi（A∪B）≠φi（A）+φi（B）；故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共5小题，共20分）11．（4分）函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：x2﹣2x＞0，解得：x＞2或x＜0，故函数的定义域是（﹣∞，0）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．12．（4分）方程组的解集中元素的个数为2．【分析】通过解方程组得到所求解集和元素个数．【解答】解：解方程组得到：或．所以原方程组解集为{（1，1），（1，﹣1）}，则解集的元素个数为2．故答案是：2．【点评】本题集合的表示方法，考查运算能力，属于基础题．13．（4分）若不等式x2﹣ax﹣2＜0在x∈（1，2）内恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）．【分析】不等式x2﹣ax﹣2＜0在x∈（1，2）内恒成立⇔a＞x﹣在x∈（1，2）内恒成立，令t（x）＝x﹣，x∈（1，2），由函数的单调性求得t（x）的范围得答案．【解答】解：由不等式x2﹣ax﹣2＜0在x∈（1，2）内恒成立，得ax＞x2﹣2，即a＞x﹣在x∈（1，2）内恒成立，令t（x）＝x﹣，x∈（1，2），该函数为增函数，则t（x）＜t（2）＝1．可得a≥1．∴a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查二次函数的性质，考查不等式恒成立问题的求解方法，训练了利用函数单调性求最值，是基础题．14．（4分）已知函数y＝f（x），y＝g（x）的对应关系如表：x123f（x）131x123g（x）321则f（g（1））的值为1；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值是2．【分析】根据题意，对于第一空：由函数y＝f（x）的对应关系求出g（1）的值，结合f （x）的图象可得f（g（1））的值，对于第二空：分别将x＝1，2，3代入f[g（x）]，g[f （x）]，判断出满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x．【解答】解：根据题意，由f（x）的表格可得：g（1）＝3，则f（g（1））＝f（3）＝1，当x＝1时，f[g（1）]＝1，g[f（1）]＝g（1）＝3，不满足f[g（x）]＞g[f（x）]，当x＝2时，f[g（2）]＝f（2）＝3，g[f（2）]＝g（3）＝1，满足f[g（x）]＞g[f（x）]，当x＝3时f[g（3）]＝f（1）＝1，g[f（3）]＝g（1）＝3，不满足f[g（x）]＞g[f（x）]，故满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x的值是2，故答案为1；2．【点评】本题考查函数的表示方法，涉及函数值的计算，属于基础题．15．（4分）对任意的x1＜0＜x2，若函数f（x）＝a|x﹣x1|+b|x﹣x2|的大致图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x轴），试写出a、b应满足的条件a＞0且a+b＝0；（该结论的等价形式都对）．【分析】将f（x）化为分段函数，逐段与图象对应，根据图象在各段上的变化规律：常数函数、正比例函数、常数函数确定解析式的各项系数．找出共同条件．【解答】解：当x≤x1时，f（x）＝﹣a（x﹣x1）﹣b（x﹣x2）＝﹣（a+b）x+（ax1+bx2）由图可知当x1＜0＜x2时，f（x）＝a（x﹣x1）﹣b（x﹣x2）＝（a﹣b）x﹣ax1+bx2由图可知当x≥x2时，f（x）＝a（x﹣x1）+b（x﹣x2）＝（a+b）x﹣（ax1+bx2）由图又可得出①②两式．由①，①′两式可得a＝﹣b＞0，同时使得②，②′成立．故答案为：a＞0且a+b＝0 （或a＝﹣b＞0）【点评】本题考查绝对值函数的图象，以及识图能力、逆向思维能力．三、解答题（共5小题；共60分）16．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＞0}，．（1）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】（1）先化简集合A，B，再根据A∩B＝∅，即可求得a的值．（2）B⊆A，即B是A的子集，即可求得a的取值范围．【解答】解：B＝{x|（x﹣a）[x﹣（a+3）]＜0}＝{x|a＜x＜a+3}，A＝{x|x2﹣4x﹣5＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞5}，（1）要使A∩B＝∅，则需满足下列不等式组，解此不等式组得﹣1≤a≤2，则实数a的取值范围为[﹣1，2]，（2）要使B⊆A，即B是A的子集，则需满足a+3＜﹣1或a＞5，解得a＞5或a＜﹣4，即a的取值范围是{a|a＞5或a＜﹣4}．【点评】本题考查了集合间的关系和运算，深刻理解集合间的关系和运算法则是解决此题的关键．17．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．【分析】（1）由分母1﹣x2≠0，求出函数的定义域{x|x≠±1}；（2）证明：为了便于证明，先整理函数＝＝﹣1，然后利用函数单调性定义证明，设1＜x1＜x2，作差（x1）﹣f（x2）变形，直到容易判断符号为止，从而证明函数单调性．【解答】解：（1）由1﹣x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定义域{x|x≠±1}（2）证明：整理函数＝＝﹣1，设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝∵1＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣x2＜0，1﹣x1＜0，1+x2＞0，1+x1＞0，x2+x1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．【点评】本题考查了分式函数求定义域的方法，利用函数单调性定义证明函数单调性，属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）若f（x）为偶函数，且a＞0，设，mn＜0，m+n＞0，判断F（m）+F（n）是否大于零，请说明理由．【分析】（1）利用f（﹣1）＝0和值域为[0，+∞），结合二次函数的性质可建立方程组求出a，b的值，进而可以求解，（2）由（1）可得函数g（x）解析式，利用已知可得函数的对称轴在区间外，建立不等式即可求解，（3）由已知函数是偶函数可得b＝0，进而可得函数F（x）的解析式，再假设m＞n，由已知可得m＞﹣n＞0，进而可得|m|＞|﹣n|，即可判断F（m）+F（n）与0的关系．【解答】解：（1）由f（﹣1）＝0可得a﹣b+1＝0，又函数的值域为[0，+∞），所以，解得a＝1，b＝2，故函数f（x）的解析式为：f（x）＝x2+2x+1；（2）由（1）可得g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1，对称轴为x＝，因为函数g（x）在区间[﹣2，2]上单调，则有，解得k≥6或k≤﹣2，故k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；（3）大于零，理由如下：因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝ax2+1，则F（x）＝，不妨设m＞n，则n＜0，由m+n＞0得m＞﹣n＞0，所以|m|＞|﹣n|，又a＞0，所以F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣（an2+1）＝a（m2﹣n2）＞0，故F（m）+F（n）大于零．【点评】本题考查了二次函数的解析式与性质，考查了学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．（12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t），写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？【分析】（1）分0＜t≤200和200＜t≤300两种情况，结合一次函数分段写出P＝f（t）；根据二次函数的顶点式来写Q＝g（t）；（2）设纯收益为W，则W＝f（t）﹣g（t），然后分0＜t≤200和200＜t≤300两种情况，并利用配方法来求W的最大值．【解答】解：（1）P＝f（t）＝，Q＝g（t）＝（t﹣150）2+100，0＜t≤300．（2）设纯收益为W，则W＝f（t）﹣g（t），若0＜t≤200，W＝﹣t+300﹣（t﹣150）2﹣100＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣50）2+100，∴当t＝50时，纯收益W最大，为100元/102kg，若200＜t≤300，W＝2t﹣300﹣（t﹣150）2﹣100＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣350）2+100，∴当t＝300时，纯收益W最大，为87.5元/102kg，综上所述，当t＝50，即从2月1日开始的第50天上市，西红柿的纯收益最大．【点评】本题考查分段函数和二次函数的实际应用，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．（12分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y＝f（x）的“均值”．（1）判断1是否为函数f（x）＝2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．【分析】（1）根据均值的定义，要判断1是函数f（x）＝2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，即要验证；（2）函数f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，当a＝0时，f（x）＝﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；当a≠0时，由f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）单调，从而求得实数a的取值范围；（3）根据（1），（2）的结论对于当I＝（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”；当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”，当为半开半闭区间时，函数f（x）不存在均值．【解答】解：（1）对任意的x1∈[﹣1，1]，有﹣x1∈[﹣1，1]，当且仅当x2＝﹣x1时，有，故存在唯一x2∈[﹣1，1]，满足，所以1是函数f（x）＝2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”．（2）当a＝0时，f（x）＝﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；当a≠0时，由f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）单调，故有或，解得a≥1或a＜0或，综上，a的取值范围是或a≥1．（3）①当I＝（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为；②当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③当I＝（a，+∞）或（﹣∞，a）或[a，+∞）或（﹣∞，a]或[a，b）或（a，b]时，函数f（x）不存在“均值”．①当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为；②当且仅当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③当且仅当I形如（a，+∞）、（﹣∞，a）、[a，+∞）、（﹣∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一时，函数f（x）不存在“均值”．【点评】此题是个中档题，考查函数单调性的理解，和学生的阅读能力，以及分析解决问题的能力，其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．。

2024-2025学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(北京卷理1)集合P={x∈Z|0≤x<3}，M={x∈Z|x2<9}，则P∩M=( )A. {1,2}B. {0,1,2}C. {x|0≤x<3}D. {x|0≤x≤3}2.下列函数中，是偶函数且不存在零点的是( )A. y=x2B. y=xC. y=x4(x>0)D. y=|x|+13.定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，则( )A. f(3)<f(2)<f(1)B. f(1)<f(2)<f(3)C. f(2)<f(1)<f(3)D. f(3)<f(1)<f(2)4.已知命题p：∃x0∈R，x20+2x0+a≤0是假命题，则实数a的取值范围是( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. (−∞,1)D. (1,+∞)5.关于函数f(x)=3x+2x−1，下列说法不正确的是( )A. (x)有且仅有一个零点B. f(x)在(−∞,1)，(1,+∞)上单调递减C. f(x)的定义域为{x|x≠1}D. f(x)的图象关于点(1,0)对称6.若关于x的不等式ax−b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式ax+bx−2>0的解集为( )A. {x|x<−2，或x>1}B. {x|1<x<2}C. {x|x<−1，或x>2}D. {x|−2<x<−1}7.如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )A. ab>acB. c(b−a)>0C. cb2<ab2D. ac(a−c)<08.已知a，b∈R，则“1a <1b”是“a>b”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，若不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1,2]恒成立，则实数a的取值范围是( )A. (−∞,1]B. [−1,1]C. (−∞,2]D. [−2,2]10.函数f(x)={x,x ∈P −x,x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集.又规定f(P)={y|y =f(x),x ∈P)，f(M)={y|y =f(x),x ∈M}.下列四个判断其中正确的是( )①若P ∩M =⌀，则f(P)∩f(M)=⌀；②若P ∩M ≠⌀，则f(P)∩f(M)≠⌀；③若P ∪M =R ，则f(P)∪f(M)=R ；④若P ∪M ≠R ，则f(P)∪f(M)≠R ．A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

2020-2021学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（共6小题）.1．设集合M＝{x|x2﹣mx+6＝0，x∈R}，且M∩{2，3}＝M，则实数m的取值范围是．2．设a，b，c为正实数，则的最小值为．3．若函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝，则f[f（x）]＝．4．（8分）若函数y＝f（x）的解析式为，则f（﹣2021）+f（﹣2020）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）＝．5．（8分）所有0到1之间且分母不大于10的最简分数按照从小到大的次序组成一个数列，则的后一项为．6．（8分）已知a，b为正实数，则的取值范围是．二、选择题（共2小题）.7．（8分）已知h＞0，则“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h”且|b﹣1|＜h的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件8．（8分）已知f（x）＝3x2﹣x+4，g（x）为多项式，若f（g（x））＝3x4+18x3+50x2+69x+48，那么g（x）的各项系数和可能为（）A．8B．9C．10D．11三、解答题（共3题，共42分）9．（16分）已知a为一个给定的实数，函数．（1）若a＝1，t为正实数，利用单调性的定义证明：“0＜t≤1”是“函数在区间（0，t]上是严格减函数”的充要条件；（2）若函数，x∈（0，+∞）无最小值，求实数a的取值范围．10．（10分）求证：二次函数y＝x2可以表示为两个在R上严格增的多项式函数的差．11．（16分）若数列{a n}对任意连续三项a i，a i+1，a i+2，均有，则称该数列为“跳跃数列”．（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1，2，3，4，5，…；②等比数列：；（2）跳跃数列{a n}满足对任意正整数n均有，求首项a1的取值范围．参考答案一、填空题（共6小题）.1．设集合M＝{x|x2﹣mx+6＝0，x∈R}，且M∩{2，3}＝M，则实数m的取值范围是．解：因为集合M＝{x|x2﹣mx+6＝0，x∈R}，且M∩{2，3}＝M，所以2∈M，或3∈M或M＝∅，当2∈M时，4﹣2m+6＝0，解得m＝5；当3∈M时，9﹣3m+6＝0，解得m＝5；当M＝∅时，△＝（﹣m）2﹣24＜0，解得，所以实数m的取值范围为．故答案为：．2．设a，b，c为正实数，则的最小值为．解：设a+b＝u，b+c＝v，c+a＝t，则u＞0，v＞0，t＞0，则a+b+c＝（u+v+t），a＝（u﹣v+t），b＝（u+v﹣t），c＝（﹣u+v+t），＝++，＝（+++++﹣3）＝[（+）+（+）+（+）﹣3]≥（2+2+2﹣3）＝，当且仅当u＝v＝t，即a＝b＝c时取得等号，则≥．所以的最小值为：．故答案为：．3．若函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝，则f[f（x）]＝1．解：若x为有理数，则f（x）＝1，所以f（f（x））＝f（1）＝1，若x是无理数，则f（x）＝0，则f（f（x））＝f（0）＝1，故答案为：1．4．（8分）若函数y＝f（x）的解析式为，则f（﹣2021）+f（﹣2020）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）＝4044．解：因为＝，所以f（﹣x）+f（x）＝+＝2，则f（﹣2021）+f（﹣2020）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）＝2021×2+2＝4044．故答案为：40445．（8分）所有0到1之间且分母不大于10的最简分数按照从小到大的次序组成一个数列，则的后一项为．解：结合题意，把[0，1]分成10份，则＝＝0.6，＝0.7，故所求的数在（0.6，0.7）之间，＝，＝≈0.667＞＝0.625故所求的数在（0.6，0.625）之间，而＜，不合题意，故分母小于7时均不合题意，故的后一项是，故答案为：．6．（8分）已知a，b为正实数，则的取值范围是[，1）．解：＝，令＝x＞0，f（x）＝，则f′（x）＝＝，令5x﹣2﹣1＞0，化为：17x2﹣10x﹣7＞0，解得x＞1．∴0＜x＜1时，函数f（x）单调递减，x＞1时，函数f（x）单调递增．又f（0）＝，f（1）＝，x→+∞时，f（x）→1．∴f（x）∈[，1）．∴的取值范围是[，1）．二、选择题（每小题8分，共16分）7．（8分）已知h＞0，则“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h”且|b﹣1|＜h的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：由|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h得|a﹣b|＝|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|＜2h，所以“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h”的必要条件；不妨令h＝1，a＝0.5，b＝﹣0.3，|a﹣1|＝0.5＜1，而|b﹣1|＝1.3＞1，因而“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h”的充分条件．故选：B．8．（8分）已知f（x）＝3x2﹣x+4，g（x）为多项式，若f（g（x））＝3x4+18x3+50x2+69x+48，那么g（x）的各项系数和可能为（）A．8B．9C．10D．11解：由题意得g（x）的表达式是二次式，设g（x）＝ax2+bx+c，∴f（g（x））＝3（ax2+bx+c）2﹣（ax2+bx+c）+4＝3a2x4+6abx3+（3b2+6ac﹣a2）x2+（6bc﹣b）x+3c2﹣c+4＝3x4+18x3+50x2+69x+48，∴，解得，∴a+b+c＝8．故选：A．三、解答题（共3题，共42分）9．（16分）已知a为一个给定的实数，函数．（1）若a＝1，t为正实数，利用单调性的定义证明：“0＜t≤1”是“函数在区间（0，t]上是严格减函数”的充要条件；（2）若函数，x∈（0，+∞）无最小值，求实数a的取值范围．【解答】证明：（1）a＝1时，y＝f（x）＝x+，（充分性）：若0＜t≤1，设0＜x1＜x2≤t≤1，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝（x1﹣x2）•＞0，所以f（x1）＞f（x2），故函数在区间（0，t]上是严格减函数，（必要性）：若函数在区间（0，t]上是严格减函数，设0＜x1＜x2≤t，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝（x1﹣x2）•＞0，因为x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以x1x2﹣1＜0，所以0＜t≤1，故“0＜t≤1”是“函数在区间（0，t]上是严格减函数”的充要条件；（2）若函数，x∈（0，+∞）无最小值，当a＞0时，根据对勾函数的性质知，函数在x＝时取得最小值，不符合题意；当a≤0时，f（x）＝x+在∈（0，+∞）上单调递增，没有最小值，符合题意．故a≤0．10．（10分）求证：二次函数y＝x2可以表示为两个在R上严格增的多项式函数的差．【解答】证明：∵g（x）＝x3+x2+x+是在R上严格增的多项式函数，且k（x）＝x3+x+也是在R上严格增的多项式函数，显然，二次函数y＝x2＝g（x）﹣k（x），∴二次函数y＝x2可以表示为两个在R上严格增的多项式函数的差．11．（16分）若数列{a n}对任意连续三项a i，a i+1，a i+2，均有，则称该数列为“跳跃数列”．（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1，2，3，4，5，…；②等比数列：；（2）跳跃数列{a n}满足对任意正整数n均有，求首项a1的取值范围．解：（1）根据“跳跃数列”的定义，得：①等差数列：1，2，3，4，5，…不是跳跃数列；②等比数列：1，﹣，，﹣，，…是跳跃数列．（2）a n+1﹣a n＝（19﹣﹣5a n），a n+2﹣a n+1＝（﹣5a n﹣19）（19﹣﹣5a n），a n+2﹣a n＝（a n﹣2）（a n﹣3）（19﹣﹣5a n），①若a n+1＞a n，则a n+1＞a n+2＞a n，此时a n∈（，2）；②若a n+1＜a n，则a n+1＜a n+2＜a n，此时a n∈（3，）；若a n∈（，2），则a n+1＝∈（3，），∴a n∈（﹣2，2），若a n∈（3，），则a n+1＝∈（﹣2，2），∴a n∈（3，），∴a1∈（﹣2，2）∪（3，），此时对任何正整数n，均有a1∈（﹣2，2）∪（3，）．。

北京交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}{}1,2,3,12,A B x x x Z ==-<<∈，则A B ⋃=（）A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}2．命题“∀2R,0x x x ∈+≥ ”的否定是（）A ．∀2R,0x x x ∈+< B ．∀2R,0x x x ∈+≤ C ．∃2000R,0x x x ∈+≥ D ．∃2000R,0x x x ∈+< 3．在下列四个函数中，在(0,)+∞ 上为增函数的是（）A ．()3f x =B ．()23f x x x=-C ．()221x f x x -=+D ．()f x x=-4．若函数3()f x x =(x R ∈)，则函数()y f x =-在其定义域上是A ．单调递减的偶函数B ．单调递减的奇函数C ．单调递增的偶函数D ．单调递增的奇函数5．下列命题中，正确的是（）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若ac ＞bc ，则a ＞bC ．若22a b c c ＜，则a ＜b D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d6．已知不等式250ax x b -+>的解集为{}32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集为（）A ．1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭B ．1|2x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>-⎬⎭C ．{}32x x -<<D ．{|3x x <-或}2x >7．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b ()0a b <<，其全程的平均速度为v ，则（）A ．2a b v +=B ．v =C ．a v <<D 2a b v +<<9．设函数()22,2,2x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若()()121f a f a +≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞ B ．(,2]-∞C ．[]2, 6D ．[2,)+∞10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题11．函数y =的定义域是___________.12．若函数2()23=++f x x ax 在区间[]4,6- 上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．13．设()21M a a =-，()()13N a a =+-，则M ，N 的大小关系为___________．14．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x 吨，已知每次的运费为4万元，一年总的库存费用为4x 万元，为了使总运费与总库存费用之和最小，则x 的值是________．三、双空题15．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．四、解答题16．已知集合{}2230,R A x x x x =--≤∈，()(){}330,R B x x m x m x ⎡⎤⎡⎤=---+≥∈⎣⎦⎣⎦.(1)求集合A ，B(2)若[]1,3A B = ，求实数m 的值；(3)若()R A B ⊆ð，求实数m 的取值范围.17．已知函数()223mx f x x n+=+是奇函数，且()523f =.(1)求实数m 和n 的值；(2)用单调性定义证明函数()f x 在区间(],1-∞-上是增函数；(3)求函数()f x 在区间[]2,1--上的最值，并指出最值点.18．某工厂生产某种产品的固定成本为3万元，该工厂每生产100台该产品的生产成本为1万元，设该产品的产量为x （单位：百台），其总成本为()g x （单位：万元）（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入()r x （单位：万元）满足()20.5710.5,0713.5,7x x x r x x ⎧-+-≤≤=⎨>⎩.设工厂利润为()f x （利润=销售收入-总成本），假定该产品产销平衡，根据上述信息求下列问题：(1)求()f x 的解析式(2)要使工厂有盈利，产量x 应控制在什么范围内？(3)工厂生产多少台产品时，盈利最大？19．已知函数2()1f x ax bx =++（a ，b 为实数）x ∈R .（1）若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[)0,∞+，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，当[]2,2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）若()f x 为偶函数，且0a >，设(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩，0mn <，0m n +>，判断()()F m F n +是否大于零，请说明理由.20．设集合{}12,,...,n S A A A =，若集合S 中的元素同时满足以下条件：①{}1,2,...,i n ∀∈，i A 恰好都含有3个元素；②{},1,2,...,i j n ∀∈，i j ≠，i j A A 为单元素集合；③12...n A A A =∅ 则称集合S 为“优选集”．(1)判断集合()(){}1,2,3,2,4,5P =，()()(){}1,2,3,1,4,5,2,5,7Q =是否为“优选集”；(2)证明：若集合S 为“优选集”，则1x A ∀∈，x 至多属于S 中的三个集合；(3)若集合S 为“优选集”，求集合S 的元素个数的最大值．参考答案：1．C【分析】首先用列举法表示集合B ，再根据并集的定义计算可得；【详解】解：因为{}{}12,0,1B x x x Z =-<<∈=，{}1,2,3A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=故选：C 2．D【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以命题“∀2R,0x x x ∈+≥ ”的否定是∃2000R,0x x x ∈+< ，故选：D 3．C【分析】根据函数的单调性确定正确答案.【详解】A 选项，()3f x =是常数函数，不符合题意.B 选项，()23f x x x =-的开口向上，对称轴为32x =，所以在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，不符合题意.C 选项，()()2142242111x x f x x x x +--===-+++，在(0,)+∞ 上为增函数，符合题意.D 选项，当0x >时，()f x x x =-=-，在(0,)+∞ 上递减，不符合题意.故选：C 4．B【详解】本题考查函数的奇偶性和单调性.33()()f x x x -=-=-,定义域为;R 因为记3()(),g x f x x =-=-则33()()()g x x x g x -=--==-，所以函数33()()f x x x -=-=-是奇函数；设1212,,;x R x R x x ∈∈<333322131221212121()()()()()g x g x x x x x x x x x x x -=---=-=-++22112123()[(+)]24x x x x x =-+，1221,0,x x x x ∴- 又221123(+)024x x x +>所以12()(),g x g x >则函数33()()f x x x -=-=-在定义域R 上是减函数.故选B 5．C【分析】通过举反例判断选项A,D ，利用不等式的性质判断选项B,C 的真假.【详解】解：令a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣1，d ＝﹣5，显然A 、D 不成立，对于B ：若c ＜0，显然不成立，对于C ：由c 2＞0，得a ＜b ，故C 正确，故选：C ．6．A【分析】根据不等式的解集求得,a b ，进而求得正确答案.【详解】由于不等式250ax x b -+>的解集为{}32x x -<<-，所以()()053232a a ba⎧⎪<⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-⨯-⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>，即226510,6510x x x x --->++<，()()31210x x ++<，解得1123x -<<-，所以不等式250bx x a -+>的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选：A 7．A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.8．C【分析】根据平均速度的知识求得v ，结合基本不等式求得正确答案.【详解】设甲乙两地距离为S ，则22Sabv S S a b a b==++，其中0a b <<，所以22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫ ⎪+⎝⎭=<=++，2ab v a b =<+2a b +>v <由于22ab abv a a b b b=>=++，综上所述，a v <<故选：C 9．B【分析】判断出()f x 的单调性，由此化简不等式()()121f a f a +≥-，从而求得a 的取值范围.【详解】画出()f x 的图象如下图所示，结合图象可知()f x 在R 上递增，由()()121f a f a +≥-得121a a +≥-，解得2a ≤.故选：B10．D【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ，∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误；对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确故选D ．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.11．(,0][2,)-∞+∞ 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数y =220x x -≥，即(2)0x x -≥，解得0x ≤或2x ≥，即函数的定义域为(,0][2,)-∞+∞ .故答案为：(,0][2,)-∞+∞ .12．6a ≤-或4a ≥【分析】根据二次函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】二次函数2()23=++f x x ax 的开口向上，对称轴为x a =-，由于()f x 在区间[]4,6- 上是单调函数，所以4a -≤-或6a -≥，解得6a ≤-或4a ≥.故答案为：6a ≤-或4a ≥13．M N>【分析】利用差比较法确定正确答案.【详解】()222222330M N a a a a a -=----=+>，所以M N >.故答案为：M N >14．20【分析】利用基本不等式研究总运费与总库存费用之和，由此确定正确答案.【详解】总运费与总库存费用之和4001600444160x x x x ⨯+=+≥=，当且仅当16004,20x x x==时等号成立.故答案为：2015．612【详解】试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为a b c 、、，则*2,,,c a b c a b c >>>∈N .①max 846a b b >>>⇒=，②min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理,题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.16．(1)[]1,3A =-，(][),33,B m m =-∞-⋃++∞(2)2m =-(3)02m <<【分析】（1）解不等式求得集合,A B .（2）根据A B ⋂求得m .（3）根据()R A B ⊆ð列不等式，由此求得m 的取值范围.【详解】（1）()()223310x x x x --=-+≤，解得13x -≤≤，所以[]1,3A =-.()()330x m x m ---+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得3x m ≤-或3x m ≥+，所以(][),33,B m m =-∞-⋃++∞.（2）若[]1,3A B = ，则31312m m m -<-+=⇒=-，.（3）()R 3,3B m m =-+ð，若()R A B ⊆ð，则3133m m -<-⎧⎨+>⎩，解得02m <<.17．(1)2,0m n ==(2)证明详见解析(3)最小值点为2-，最小值为53-；最大值点为1-，最大值为43-【分析】（1）根据函数的奇偶性以及()523f =求得,m n .（2）根据函数单调性的定义进行证明.（3）根据函数的单调性求得函数()f x 在区间[]2,1--上的最值.【详解】（1）依题意，函数()223mx f x x n+=+是奇函数，由30x n +≠得3nx ≠-，奇函数的定义域关于原点对称，所以0n =.()223mx f x x+=，由()523f =得42215,2633m m m ++===.则()2223x f x x+=，()()2223x f x f x x +-=-=-，()f x 是奇函数，符合题意.（2）由（1）得()2223x f x x+=，任取()()221212121222221,33x x x x f x f x x x ++<≤--=-()()121212123x x x x x x --=⨯，其中12121210,0,0x x x x x x ->-<>，所以()()()()12120,f x f x f x f x -<<，所以()f x 在区间(],1-∞-上是增函数.（3）由（2）可知，函数()f x 在区间[]2,1--上递增，所以，最小值点为2-，最小值为()825263f +-==--；最大值点为1-，最大值为()224133f +-==--.18．(1)()f x 20.5613.5,0710.5,7x x x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩(2)()3,10.5(3)当生产6百台时，盈利最大【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求得正确答案.（2）由()0f x >求得x 的范围.（3）结合二次函数的性质、函数的单调性求得正确答案.【详解】（1）()3g x x =+，()f x ()()20.5613.5,0710.5,7x x x r x g x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨->⎩.（2）当07x ≤≤时，由20.5613.50x x -+->，得()()21227390x x x x -+=--<，解得37x <≤.当7x >时，由10.50x ->，解得710.5x <<.所以x 应控制的范围是()3,10.5.（3）当07x ≤≤时，()20.5613.5f x x x =-+-，开口向下，对称轴为6x =，所以当6x =时，()f x 取得最大值为()6183613.5 4.5f =-+-=.当7x >时，10.5 3.5x -<，所以当生产6百台时，盈利最大.19．（1）2()(1)f x x =+;（2）(,2][6,)-∞-+∞ ;（3）证明见解析【解析】（1）由题得10a b -+=①，240a b -=②，解方程即得解；（2）由题得222k -- 或222k - ,解不等式得解；（3）先求出()F x 的解析式，再求出()22()()F m F n a m n +=-即得证.【详解】解:(1)(1)0f -= ,10a b ∴-+=①又函数()f x 的值域为[0,)+∞,0a ∴≠.由22424b a b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,知2404a b a -=,即240a b -=②.解①②,得1a =,2b =.22()21(1)f x x x x ∴=++=+.(2)由(1)得22222(2)()()21(2)1124k k g x f x kx x x kx x k x x --⎛⎫=-=++-=+-+=++- ⎪⎝⎭.∵当[2,2]x ∈-时,()()g x f x kx =-是单调函数,222k -∴- 或222k - ,即2k - 或6k ,故实数k 的取值范围为(,2][6,)-∞-+∞ .(3)()()F m F n +大于零.理由如下:()f x 为偶函数,2()1f x ax =+,()221,0,()1,0.ax x F x ax x ⎧+>⎪∴=⎨-+<⎪⎩不妨设m n >,则0n <.由0m n +>,得0m n >->,||||m n ∴>-.又0a >,()()()2222()()()()110F m F n f m f n an an a m n ∴+=-=+-+=->,()()F m F n ∴+大于零.【点睛】关键点睛：第（1）题，利用值域的性质列方程求解；第（2）题利用二次函数的性质进行求解；第（3）题的解题的关键在于利用函数的奇偶性进行转化，得出()()()()F m F n f m f n +=-进而求解；本题难度属于中档题20．(1)P 不是“优选集”，Q 是“优选集”；(2)证明过程见详解；(3)7【分析】（1）根据“优选集”的定义判断即可；（2）先取{}1234567,,,,,,S A A A A A A A =，其中()1,,A x y z =，()2,,A x a b =，()3,,A x c d =，()4,,A y a c =，()5,,A y b d =，()6,,A z a d =，()7,,A z b c =，可得1x A ∀∈，x 可以属于S 中的三个集合，再用反证法证明不存在1x A ∈，使得x 可以属于S 中的四个集合即可；（3）结合（2）可知S 中的元素个数可以为7，再用反证法证明不存在8A S ∈即可．【详解】（1）对于集合()(){}1,2,3,2,4,5P =，满足条件①：()1,2,3和()2,4,5恰好都含有3个元素；满足条件②：()()1,2,32,4,5⋂为单元素集合；但不满足条件③：()()1,2,32,4,5⋂≠∅，则P 不是“优选集”；对于集合()()(){}1,2,3,1,4,5,2,5,7Q =，满足条件①：()1,2,3，()1,4,5和()2,5,7恰好都含有3个元素；满足条件②：()()1,2,31,4,5⋂，()()1,4,52,5,7⋂，()()1,2,32,5,7⋂为单元素集合；满足条件③：()()()1,2,31,4,52,5,7=⋂⋂∅．所以集合Q 是“优选集”．（2）由集合S 为“优选集”，结合（1）显然1x A ∀∈，x 可以属于S 中的零个集合，一个集合，两个集合，取集合{}1234567,,,,,,S A A A A A A A =，其中()1,,A x y z =，()2,,A x a b =，()3,,A x c d =，()4,,A y a c =，()5,,A y b d =，()6,,A z a d =，()7,,A z b c =，此时1x A ∀∈，x 可以属于S 中的两个集合，三个集合，假设存在1x A ∈，使得x 可以属于S 中的四个集合，即1234x A A A B ∈⋂⋂⋂，其中{}4,,B x e f =，为了满足条件③，显然还存在5B S ∈，为了满足条件②，5B 中的元素必须在1A ，2A ，3A ，4B 中除x 外的另外两个元素中各选一个，此时5B 中有4个元素，显然不满足条件①，因此假设不成立，故若集合S 为“优选集”，则1x A ∀∈，x 至多属于S 中的三个集合；（3）结合（2）有集合{}1234567,,,,,,S A A A A A A A =，其中()1,,A x y z =，()2,,A x a b =，()3,,A x c d =，()4,,A y a c =，()5,,A y b d =，()6,,A z a d =，()7,,A z b c =，此时S 的元素个数为7，假设存在8A S ∈，则可得8A 中必有元素y 或z ，不妨令8y A ∈，要使81A A ⋂，82A A ⋂，83A A ⋂都为单元素集合，则()8,,A y a c =或()8,,A y a d =或()8,,A y b c =或()8,,A y b d =，当()8,,A y a c =时，()4,,y a c A =，舍去；当()8,,A y a d =时，()6,,y a d A ⋂不是单元素集合，舍去；当()8,,A y b c =时，()7,,y b c A ⋂不是单元素集合，舍去；当()8,,A y b d =时，()5,,y b d A ⋂不是单元素集合，舍去，因此假设不成立，故集合S 的元素个数的最大值为7．【点睛】小问（2）的关键是先举例得到1x A ∀∈，x 可以属于S 中的三个集合，再用反证法证明不存在1x A ∈，使得x 可以属于S 中的四个集合；小问（3）的关键先得到S 中的元素个．数可以为7，再用反证法证明不存在8A S。

北京交大附中2020-2021学年第一学期期中练习高二数学一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 01．过点(2,1)-且倾角为60︒的直线方程为（ ）A 10y --=B 330y --=C 10y -+=D 330y -++=02．点(1,2)P -到直线86150x y -+=的距离为（ ）A ．2B ．72C ．12D ．103．设(2,1,3)a x =，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则（ ）A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =04．若圆220x y Dx Ey F ++++=关于直线1:40l x y -+=和直线2:30l x y +=都对称，则D E +的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．405．下列直线方程，满足“与直线y x =平行，且与圆22610x y x +-+=相切”的是（ ）A ．10x y -+=B ．70x y +-=C ．10x y ++=D ．70x y -+=06．圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4420C x y x y +-+-=的位置关系是（ ）A ．外切B ．相交C ．内切D ．相离07．设椭圆的标准方程为22135x y k k+=--，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是（ ）A ．34k <<B ．45k <<C ．3k >D ．35k <<08．已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ，若5AB =，则12AF BF -=（ ）A ．3B ．8C ．13D ．1609．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率的直线上，12PF F ∆是等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．1410．如果对于空间任意(2)n n ≥条直线总存在一个平面α，使得这n 条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n （ ）A ．最大值为3B ．最大值为4C ．最大值为5D ．不存在最大值二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）11．已知直线1:210l x y ++=与直线2:420l x ay +-=垂直，那么1l 与2l 的交点坐标是____． 12．已知过(2,)A a -，(,10)B a 两点的直线与直线210x y -+=平行，则a 的值为____． 13．已知=a，(=-b ，则•+=a b b ____．14．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,0,2)D ，则直线OB 与平面ABD 所成角的为____．15．设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于,A B 两点，且弦AB的长为，则实数m 的值为____．16．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是____． 三、解答题（本大题共5小题，共50分）17．以点P 为圆心的圆经过点(1,1)A -和(1,3)B ．线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且4CD =． （1）求直线AB 和CD 的方程； （2）求圆P 的方程．18．已知椭圆C 的中心在坐标原点，右顶点为(2,0)A ，离心率为12e =，F 为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C 于,P Q 两点（不同于点A ）． （1）求椭圆C 的方程； （2）当247PQ =时，求直线PQ 的方程及QPA 的面积； （3）设线段PQ 的中点为M ，若直线OM 的斜率为1-，求直线PQ 的方程．19．在如图所示的几何中，四边形ABCD 是正方形，平面ADFE ⊥平面ABCD ，AE AD ⊥，EF AD ∥，且6AB =，AE =3EF =． （1）求证：EA ⊥底面ABCD ；（2）若AC 与BD 交于点O ，求证：EO ∥平面FCD ； （3）求二面角A FD B --的余弦值；（4）求平面ABE 和平面FCD 所成角的余弦值．BACDEFO20．如图，,A B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个顶点，AB =，直线AB 的斜率为12-，M 是椭圆C 长轴上的一个动点，设点(,0)M m ． （1）求椭圆的方程；（2）设直线:2l x y m =-+与,x y 轴分别交于点,M N ，与椭圆相交于,C D ，证明：OCM ∆的面积等于ODN ∆的面积；（3）在（2）的条件下证明：22CM MD +为定值． 21．已知点(0,4)A ，圆22:4O x y +=，点P 圆O 上运动． （1）如果OAP ∆是等腰三角形，求点P 的坐标；（2）如果直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ，且2236AP AQ +=，求直线AP 的方程．。

北京市高一上学期期中考试数学试题含答案考试范围：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX题号----- --- 总分得分第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2,请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1.设集合/= {见。

2,0}, B = {2,4},若4nB = {2},则实数a的值为( □A. 2B. ±2C. A/2D. ±A/22.计算log2V访的结果是O3 「「4 c _3A 4DA. §B・％ C. 一5 D. *3.下列函数中，是偶函数的是(□A. /(%) = -B. /(%) = IgxC. /(%) = e x - e^xD. /(%) = |x| X4.函数/•(%)=婕+% — 4的零点所在的区间是()A. (0Z1)B. (1 匚 2)C. (213)D. (3 二 4)5.已知f(x + l) =疝，则函数f(x)的大致图像是( 口6. g 6rZlog25nbZlog35Dc01og32,则。

二的大小关系为()A. aucZbB. aJbZcC. b% 二 cD. c二。

二b7.已知XC[1,2]二/—恒成立，则实数。

的取值范围是()A. [1^ + 00)B. (1,+8)C. (—8,1]D. (—8,1)8.设函数f(x) = 1 + [划一％,其中国表示不超过x的最大整数，若函数y = loga”的图象与函数/• (%)的图象恰有3个交点，则实数a的取值范闱是()A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4) O O ••■■••••■■••••■■••••■■••然••■■••••■■••••■■••••■■••O O••■•■••■•■••■■•■■••■•■•O•■••■••■••■•摒•■••■••■••■•O•■••■••■••■•O•■••■••■••■••■••■••■••■•O•■••■••■••■••■••■••■••■•O•■•■••■••■••■•O•■第n卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题9.计算：e lnl Z10.已知集合/= {x|x > 1}, B = {x\x > d］,若A之B,则实数a的取值范围是.11.函数/1 (x) = log a(a - a x) (0 < a < 1)的定义域为.12.己知/(')匚，则/丁(—切= ______________________________ ；若/(、)= —1,则I一X十1, X > 1X =二13.已知函数f(x) = a/ —2% —2在区间［1,+8)上不单调，则实数。

函数的概念基础过关练题组一 函数的概念及其表示 1.函数y =f (x )的图象与直线x =a (a ∈R)的交点 ( )A.至多有一个B.至少有一个C.有且仅有一个D.有两个以上2.下列各图中,可表示函数y =f (x )的图象的是 ( )3.(2021北京交大附中高一上期中)下面四组函数中,f (x )与g (x )表示同一个函数的是 ( )A.f (x )=x 2-1x +1,g (x )=x -1B.f (x )=|x |,g (x )={x ,x ≥0-x ,x <0C.f (x )=√x 2,g (x )=(√x )2D.f (x )=x 0,g (x )=1题组二 函数的定义域与区间表示4.(2020北京西城高一上期末)函数y =√x +1x -1的定义域是( ) A.[0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.[0,1)∪(1,+∞) 5.(2020河南洛阳一高高一上月考)函数f (x )=√1-2x 的定义域为M ,g (x )=√x +1 的定义域为N ,则M ∩N =( )A.[-1,+∞)B.[-1,12)C.(-1,12)D.(-∞,12)6.若周长为定值a 的矩形,它的面积S 是这个矩形的一边长x 的函数,则这个函数的定义域是 ( )A.(a ,+∞)B.(x 2,+∞)C.(x 2,x ) D .(0,x2) 题组三 函数值及函数的值域7.(2021北京八中高一上期中)若f (x )=1-x1+x ,则f (0)= ( )A.1B.12C.0D.-18.(2021河北张家口一中高一上期中)若集合A={x|y=√x-1},B={y|y=√x-1},则()A.A=BB.A∩B=⌀C.A∩B=AD.A∪B=A9.(2019浙江温州十校高一上期末)已知函数f(x)=1x2+2,则f(x)的值域是()A.(-∞,12] B.[12,+∞)C.(0,12] D.(0,+∞)10.(2020北京丰台高一上期中联考)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的值域为.11.(2021北京房山高一上期中)已知函数f(x)=√x+1+1x,则f(x)的定义域是,f(1)=.12.已知函数f(x)=x2+x-1.(1)求f(2),f(1x);(2)若f(x)=5,求x的值.能力提升练题组一函数的概念及其应用1.(2021北京丰台高一上期中,)在下列四组函数中,表示同一个函数的是()A.y=1,y=xxB.y=√x-1·√x+1,y=√x2-1C.y=x,y=√x33 D.y=|x|,y=(√x)22.(多选)(2021浙江杭州高级中学高一上期中,)下列对应关系f,能构成从集合M到集合N的函数的是()A.M={12,1,32},N={-6,-3,1},f(12)=-6,f(1)=-3,f(32)=1B.M=N={x|x≥-1},f(x)=2x+1C.M=N={1,2,3},f(x)=2x+1D.M=Z,N={-1,1},f(x)={-1,x为奇数1,x为偶数3.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)若集合A={0,1,3,m},B={1,4,a4,a2+3a},其中m∈N*,a∈N*,f:x→y=3x+1,x∈A,y∈B是从定义域A到值域B的一个函数,则m+a=.题组二函数的定义域与区间表示4.(2019山东泰安一中高一上检测,)函数f(x)=√x-3|x+1|-5的定义域为()A.[3,+∞)B.[3,4)∪(4,+∞)C.(3,+∞)D.[3,4)5.(2020河南南阳一中高一上月考,)已知函数f(x-2)的定义域为[0,2],则函数f(2x-1)的定义域为()A.[-2,0]B.[-1,3]C.[32,52] D.[-12,12]6.(2020吉林长春第二中学高一期中,)已知f(x)的定义域为[-2,2],且函数g(x)=x(x-1)√2x+1,则g(x)的定义域为()A.(-12,3] B.(-1,+∞)C.(-12,0)∪(0,3)D.(-12,3)7.(2020甘肃兰州一中高一月考,)若函数f(x)=x√xx2-xx+2的定义域为R,则实数m的取值范围是()A.[0,8)B.(8,+∞)C.(0,8)D.(-∞,0)∪(8,+∞)8.()已知函数y=√xx+1(a<0,且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.题组三函数值及函数的值域9.()已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),且f(1)=2,则f(-3)等于()A.2B.3C.6D.910.(多选)()下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是()A.f(x)=x-|x|B.f(x)=x+1C.f(x)=-xD.f(x)=x211.(多选)()若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数y=x2,x∈[1,2]与函数y=x2,x∈[-2,-1]为“同族函数”,下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是()A.f(x)=1x2B.f(x)=|x|C.f(x)=1xD.f(x)=|x-1|12.(2019湖南长沙长郡中学高一上第一次模块检测,)函数y=2-√-x2+4x的值域是.13.(2021浙江杭州高级中学高一上期中,)求下列两个函数的值域.(1)y=2x2-x+1x2-x+1;(2)y=x+√2x+1.答案全解全析 基础过关练1.A 由函数的定义可知,若函数y =f (x )在x =a 处有意义,则函数图象与直线x =a 有一个交点;若函数y =f (x )在x =a 处无意义,则函数图象与直线x =a 没有交点,故函数图象与直线x =a 至多有一个交点.2.D 由函数的定义可知,对定义域内的任意一个变量x ,都存在唯一确定的函数值y 与之对应.A 中,当x =0时,有两个y 与x 对应;B 中,当x >0时,有两个y 与x 对应;C 中,当x =0时,有两个y 与x 对应;D 中,对任意x 都只有唯一确定的y 与之对应.故选D .3.B 选项A 中两个函数定义域不同,前者是{x |x ≠-1},后者是全体实数,故不是同一个函数;选项C 中两个函数定义域不同,前者是全体实数,后者是非负数,故不是同一个函数;选项D 中两个函数定义域不同,前者是{x |x ≠0},后者是全体实数,故不是同一个函数;选项B 中两个函数的定义域和对应关系都相同,是同一个函数.故选B .4.D 依题意,{x ≥0,x -1≠0,解得x ≥0且x ≠1,即函数的定义域为[0,1)∪(1,+∞),故选D .5.B 要使函数f (x )=√1-2x有意义,则1-2x >0,解得x <12,所以M ={x |x <12}, 要使函数g (x )=√x +1有意义,则x +1≥0,解得x ≥-1,所以N ={x |x ≥-1}, 因此M ∩N ={x |-1≤x <12},故选B.6.D 依题意知,矩形的一边长为x ,则该边的邻边长为x -2x 2=x 2-x ,由{x >0,x 2-x >0得0<x <x2,故这个函数的定义域是(0,x2).7.A ∵f (x )=1-x 1+x,∴f (0)=1-01+0=1.故选A .8.C 由x -1≥0得x ≥1,∴A ={x |y =√x -1}=[1,+∞).由x -1≥0得√x -1≥0,∴B ={y |y =√x -1}=[0,+∞).故A ⫋B ,从而A ∩B =A ,故选C .9.C 由于x 2≥0,所以x 2+2≥2,所以0<1x 2+2≤12,故选C . 10.答案 [-4,3]解析 由题图易知函数的值域为[-4,3]. 11.答案 [-1,0)∪(0,+∞);√2+1 解析 由题意得,{x +1≥0,x ≠0,解得x ≥-1且x ≠0,所以f (x )的定义域是[-1,0)∪(0,+∞).f (1)=√1+1+11=√2+1.12.解析 (1)f (2)=22+2-1=5,f (1x )=(1x )2+1x -1=1+x -x 2x 2.(2)∵f (x )=x 2+x -1=5,∴x 2+x -6=0,解得x =2或x =-3.能力提升练1.C 函数y =1的定义域为R,而函数y =x x的定义域为{x |x ≠0},这两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除A;函数y =√x -1·√x +1的定义域为{x |x ≥1},而函数y =√x 2-1的定义域为{x |x ≥1或x ≤-1},这两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除B;函数y =x 与函数y =√x 33=x 具有相同的定义域、对应关系,故是同一个函数,C 正确;函数y =|x |的定义域为R,而函数y =(√x )2的定义域为{x |x ≥0},这两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除D .故选C .解题模板 判断两个函数是不是同一个函数,要观察两个方面,一是两个函数的定义域是否相同,二是两个函数的对应关系是否相同.2.ABD 由函数的定义知,A 正确;B 中,任取x ∈M ,都有x ≥-1,从而2x +1≥-1,因此集合M 中的每一个元素在集合N 中都有唯一的元素与之对应,故B 正确;C 中,取x =3∈M ,f (x )=2×3+1=7∉N ,故C 不正确;D 中,M =Z,N ={-1,1},当x 为奇数时,f (x )=-1,当x 为偶数时,f (x )=1,满足函数的定义,故D 正确.故选ABD . 3.答案 7解析 ∵A ={0,1,3,m },B ={1,4,a 4,a 2+3a },m ∈N *,a ∈N *,f :x →y =3x +1, ∴f (0)=1,f (1)=4,f (3)=10,f (m )=3m +1. 当a 4=10时,a =±√104,不满足a ∈N *, 当a 2+3a =10时,a =2或a =-5(舍去),故a =2. 因此f (m )=3m +1=a 4=16,∴m =5, 从而m +a =7,故答案为7.4.B 要使函数f (x )有意义,需满足{x -3≥0,|x +1|-5≠0,即{x ≥3,x ≠4且x ≠-6.因此函数f (x )的定义域为{x |x ≥3,且x ≠4}.故选B .5.D ∵函数f (x -2)的定义域为[0,2],即0≤x ≤2,∴-2≤x -2≤0, 即函数f (x )的定义域为[-2,0]. 则-2≤2x -1≤0,∴-12≤x ≤12.故函数f (2x -1)的定义域为[-12,12].故选D . 6.A 要使函数g (x )=√2x +1有意义,需满足{-2≤x -1≤2,2x +1>0,即{-1≤x ≤3,x >-12,∴-12<x ≤3.因此函数g (x )的定义域为(-12,3],故选A .7.A ∵函数f (x )的定义域为R,∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R . ①当m =0时,2>0恒成立,满足题意; ②当m ≠0时,则{x >0,x =x 2-8x <0,解得0<m <8.综上可得,实数m 的取值范围是[0,8). 故选A .8.解析 要使函数y =√xx +1(a <0,且a 为常数)有意义,需满足ax +1≥0. 又∵a <0,∴x ≤-1x,∴函数y =√xx +1(a <0,且a 为常数)的定义域为(-∞,-1x].∵函数y =√xx +1(a <0,且a 为常数)在区间(-∞,1]上有意义, ∴(-∞,1]⊆(-∞,-1x ], ∴-1x ≥1,∴-1≤a <0.故实数a 的取值范围是[-1,0).9.C 解法一:定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R), 令x =y =0,得f (0)=f (0)+f (0)+0, 解得f (0)=0;令x =1,y =-1,得f (0)=f (1)+f (-1)-2, 解得f (-1)=0;令x =y =-1,得f (-2)=f (-1)+f (-1)+2=2; 令x =-2,y =-1,得f (-3)=f (-2)+f (-1)+4=6.解法二:因为f (1)=2,所以f (2)=f (1+1)=f (1)+f (1)+2×1×1=6, 所以f (3)=f (1+2)=f (1)+f (2)+2×1×2=12.令x =y =0,得f (0)=f (0)+f (0)+0,即f (0)=0,所以f (0)=f [3+(-3)]=f (3)+f (-3)+2×3×(-3)=0,所以f (-3)=6. 10.AC 在A 中,f (2x )=2x -|2x |=2(x -|x |)=2f (x ),满足f (2x )=2f (x ),选项A 正确; 在B 中,f (2x )=2x +1,2f (x )=2(x +1)=2x +2,不满足f (2x )=2f (x ),选项B 错误; 在C 中,f (2x )=-2x =2(-x )=2f (x ),满足f (2x )=2f (x ),选项C 正确; 在D 中,f (2x )=(2x )2=4x 2,2f (x )=2x 2,不满足f (2x )=2f (x ),选项D 错误. 故选AC .11.ABD 在选项A 中,当x ∈(-1,0)和x ∈(0,1)时,f (x )=1x 2的值域都是(1,+∞),所以可构造“同族函数”,A 正确;在选项B 中,当x ∈(-1,0)和x ∈(0,1)时,f (x )=|x |的值域都是(0,1),所以可构造“同族函数”,B 正确;在选项C 中,对任意x 1≠x 2,都有1x 1≠1x 2,因此定义域不同时函数的值域一定不相同,故不可能成为“同族函数”,所以C 错误;在选项D 中,当x ∈[0,1]和x ∈[1,2]时,f (x )=|x -1|的值域都是[0,1],所以可构造“同族函数”,D 正确.故选ABD . 12.答案 [0,2]解析 ∵-x 2+4x =-(x -2)2+4≤4,且-x 2+4x ≥0,∴0≤-x 2+4x ≤4,∴0≤√-x 2+4x ≤2,∴-2≤-√-x 2+4x ≤0,∴0≤2-√-x 2+4x ≤2,故函数y =2-√-x 2+4x 的值域是[0,2]. 13.解析 (1)易知函数的定义域为R . 由y =2x 2-x +1x 2-x +1得(y -2)x 2-(y -1)x +y -1=0,当y =2时,x =1,故y =2是值域中的值; 当y ≠2时,Δ=[-(y -1)]2-4×(y -2)(y -1)≥0, 化简得(y -1)(3y -7)≤0,解得1≤y ≤73.故函数y =2x 2-x +1x 2-x +1的值域为[1,73].(2)令t =√2x +1,则t ≥0,x =x 2-12,则y =x 2-12+t =12(t 2+2t )-12=12(t +1)2-1(t ≥0).由函数y =12(t +1)2-1(t ≥0)得y ≥-12, 故函数y =x +√2x +1的值域为[-12,+∞).解题模板 二次分式函数的值域的求法——判别式法:将二次分式函数去分母后,构成一个关于x 的一元二次方程,依题意此方程有实数解,从而使其判别式非负.解题时还要注意两点:一是分母为0的x 的值要单独考虑,二是x 的二次项系数为0要单独考虑.。