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空间直线方程两点式

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直线的两点式方程公式

直线的两点式方程公式

直线的两点式方程公式设直线上两点分别为P(x1,y1)和Q(x2,y2)，其中P和Q是任意两点。

我们需要找到一条直线，它经过P点和Q点，并且能够代表直线的位置和方向。

首先，我们可以得到直线上的两个点的斜率，记为m。

斜率表示直线上每增加一个单位的x坐标时，y坐标的变化量。

斜率的计算公式如下：m=(y2-y1)/(x2-x1)接下来，我们需要找到直线上的一个点，并将其用直线方程表示。

我们选取其中一个点P(x1,y1)作为该点，直线方程为：y-y1=m(x-x1)最后，我们可以将直线方程进行整理，以得到两点式方程的标准形式。

将方程进行变形，我们有：y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)(x-x1)将等式两边同时乘以(x2-x1)，然后移动项，可以得到两点式方程的标准形式：(x2-x1)(y-y1)-(y2-y1)(x-x1)=0上述的方程即为直线的两点式方程公式。

在使用两点式方程时，我们首先需要确定直线上的两个点，然后将它们带入方程中计算。

这样我们就可以得到直线的方程，进而得到直线的位置和方向。

举个例子来说明使用两点式方程的方法。

假设有两个点P(2,3)和Q(4,5)，我们要确定这两点所在直线的方程。

首先计算斜率：m=(5-3)/(4-2)=1得到斜率m=1后，将其中一个点P(2,3)代入直线方程中：y-3=1(x-2)展开并整理得到：y-3=x-2移项整理后，得到直线的两点式方程为：x-y+1=0这样我们就得到了经过P(2,3)和Q(4,5)两点的直线的方程。

总结起来，直线的两点式方程公式是（x2-x1)(y-y1)-(y2-y1)(x-x1)=0，通过确定直线上的两个点，计算斜率，并将其中一个点带入方程求解，即可得到直线的方程。

两点式方程可以方便地确定直线的位置和方向。

1.2.2直线方程的两点式

1.2.2直线方程的两点式

过A(-5,0),M 的直线方程 整理得：x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程.
3 1 2 , 2
y0 x5 1 3 0 5 2 2
中点坐标公式：
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2) 且中点M的坐标为(x, y).

y 2x 3
y x 5
5 y x 4
(3)C(-4，-5)，D(0，0)
方法小结 已知两点坐标，求直线方程的方法： • ①用两点式 • ②先求出斜率k，再用点斜式。
探究：已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的 交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程． y 代入两点式方程得 B(0，b) y 0 xa b0 0a l 化简得 A(a，0) x y 1 x a b 截距式方程
2.斜截式：
y=kx+b
说明：
（1）上述方程是由直线l的斜率和它的纵 截距确定的，叫做直线的方程的斜截式。 （2）纵截距可以大于0，也可以等于 0或小于0。
y y1 x x1 x1 x2 , y1 y2 3.两点式： y2 y1 x2 x1
说明：
（1）这个方程是由直线上两点确定； （2）当直线没斜率或斜率为0时，不能 用两点式来表示；
当x=-2时,y=1. 点(-2,1)在直线l上,关于 (1,2)的对称点为(4,3). 那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上.
因此,直线l 1的方程为：
y7 x2 37 42
化简得: 2x + y -11=0
还有其它的方法吗？
∵ l ∥l 1，所以l 与l 1的斜率相同 ∴ kl1=-2 经计算，l 1过点(4,3) 所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4) 化简得： 2x + y -11=0

【初中数学】初中数学直线的方程公式

【初中数学】初中数学直线的方程公式

【初中数学】初中数学直线的方程公式【—直线的方程公式】我们在初中学习的直线的方程包括有平面方程和空间方程两种，相较于空间方程来说，平面方程的运用比较的多。

直线的方程平面方程1、一般式：适用于所有直线ax+by+c=0(其中a、b不同时为0)2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)当k不存在时，直线可表示为x=x03、斜截式：在y轴上截距为b(即过(0，b))，斜率为k的直线由点斜式只须斜截式y=kx+b与点斜式一样，也需要考虑k存不存在4、dT式：呼吸困难用作和任一坐标轴横向的直线知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为bx+ay-ab=0特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=15、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)6、法线式xcosθ+ysinθ-p=0其中p为原点至直线的距离，θ为法线与x轴正方向的夹角7、点方向式(x-x0)/u=(y-y0)/v(u，v不等同于0，即点方向式无法则表示与座标平行的式子)8、点法向式a(x-x0)+b(y-y0)=0空间方程1、通常式ax+bz+c=0,dy+ez+fc=02、点向式：设直线方向向量为(u,v,w)，经过点(x0,y0,z0)(x-x0)/u=(y-y0)/v=(x-x0)/w3、x0y式x=kz+b,y=lz+b总结归纳一共有11个直线的方程公式，要运用好的时候也请大家选择了。

直线的两点式方程

直线的两点式方程
2
1
2
1
截距式
在轴上的截距
��
和在轴上的截距
y kx b
x y
1
a b
适用范围
不垂直于轴的
直线
不垂直于轴的
直线
不垂直于 轴、
轴的直线
不垂直于轴、轴，
且不过原点的直线

直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
注意：
1.两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
2.当1 = 2时直线与轴垂直，其方程为：
新知讲解
y y1
x x1
（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ）

直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
注意：
1.两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
直线在轴上
的截距
的、 各有何意义
新知讲解
直线的截距式方程：
x
y

1.
a
b
直线在轴
上的截距
直线在轴
上的截距
不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．
思考：是不是任何直线
都有截距式方程呢？


截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.

巩固训练
练习2.
典例剖析
例 2⑴ 过点 ( 1,2 ) 并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几
y2 y1 x2 x1
思考：是不是任何直
线都有两点式方程呢？
不是!
新知讲解
y y1
x x1
（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ）

直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
思考：是不是任何直

学直线与方程直线的两点式方程

学直线与方程直线的两点式方程
方向向量性质
对于直线上的任意一点$P(x,y)$，该直线的方向向量可以表示为$(x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$，其中$P(x_{1}, y_{1})$和$P(x_{2}, y_{2})$为直线上的任意两点。
直线的法向量
法向量定义
与直线方向向量垂直的向量称为直线的 法向量。
截距式方程
总结词
截距式方程是根据直线在x轴和y轴上的截距来表示直线的方法。
详细描述
截距式方程通常表示为x/a + y/b = 1，其中a和b分别是直线在x轴和y轴上的截 距。这种方程形式可以表示任何通过原点且与x轴、y轴有特定截距的直线。
03
直线方程的应用
求直线的斜率
定义
直线与x轴夹角的正切值被称为直线的斜率
如果直线与x轴夹角为0度，则直 线的斜率不存在。
直线的斜率可以通过两点式方程 来求解。
02
直线方程的表示
点斜式方程
总结词
点斜式方程是一种表示直线的方法，它给出了直线上任意一 点（x，y）和直线通过的一个特定点（x1，y1）之间的关系 。
详细描述
点斜式方程通常表示为y-y1=k(x-x1)，其中k是直线的斜率， (x1, y1)是直线通过的特定点。这种方程形式可以表示任何通 过点(x1, y1)且斜率为k的直线。
感谢您的观看
THANKS
直线方程的进一步讨论
直线方程的斜率与截距
直线的斜率和截距是直线方程的两个重要参数，它们描述了直线的倾斜程度和在坐标轴上的位置。
直线方程的应用范围
直线方程不仅适用于平面图形，还可以扩展到三维空间中描述空间直线的属性。
05
直线方程的几何意义
直线的方向向量

高等数学7.3直线及其方程

高等数学7.3直线及其方程
— 直线的两点式方程
4
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
平面束
例 12 求过点 (1,2,4) 且与平面 2x 3 y z 4 0 垂直的直线方程. 解 x1 y2 z4 .
2 3 1
例 13 求过点 (3,2,5) 且与平面 x 4z 3 和 2x y 5z 1平行的
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
— 两直线的夹角公式
s1

s2
8
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
即 1 2(2 2 ) 1 0 , 解得 2 ,
由此得到所求平面方程为
3x 2y z 6 0 .
18
平面束

一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
例19
求直线
L:
x

x

y y

z z

1 1

0 0
在平面
x 2 y z 0 的平面方程.
解 设平面方程为 x+2 y-z 6 ( x 2 y+z) 0 ,
即 (1 )x 2(1 ) y ( 1)z 6 0 ,
由于所求平面与平面 x 2 y z 0 垂直，所以
{1 , 2 2, 1} {1, 2, 1} 0 ,

8-7空间直线及其方程

8-7空间直线及其方程

3
12
解 先求过点 M ，且与已知平面平行的平面方程，
过点 M ，且与已知平面平行的 平面方程为 3x 4 y z 1 0，
M M1
再求已知直线与辅助平面的交点，
x 3t 1
已知直线的参数方程为

y

t

3
，故交点 M1 为
z 2t
(41, 37 , 32).
取 s n1 n 2 1 1 1 {4, 1, 3}，
2 1 3
因为直线的方向向量为 s {4, 1, 3}，
且过点 ( 5 , 2 , 0)，
33
所以其对称式方程为
x5 y2 3 3
z，
4 1 3

x


5 3

4t
参数方程为

y
s 1 3 2 74,2,1，
2 1 10
平面 的法向量为 n 4,2,1，所以 s 与 n 平行，
从而直线 L 垂直于平面 ． 应选 C．
例8 求过点 (1,0,4)，且与平面 3x 4 y z 10 0平行，
又与直线 x 1 y 3 z 相交的直线方程．
z

A1 A2
x x

B1 B2
y y

C1z C2z
D1 D2
0 0
.
1
空间直线的一般式(交面式)方程
2
注意 空间直线的一般式方程不唯一 o L
y
x
2. 空间直线的对称式(点向式、标准式)方程
且与设非直零线向L量过点s M0m( x, n0 ,,
y0 , z0 )，

2.2.2直线的两点式方程

2.2.2直线的两点式方程
y l
P1(x1，y1)
P2(x2，y2)
k
x2 x1
代入y y0 k ( x x0 )得
x
y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
y y1 x x1 两点式： ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
说明：
5. 求直线 l : 3x 5 y 15 0的斜率以 及它在y轴上的截距。
解：将直线的一般式方程化为斜截
3 式： y x 3 ，它的斜率 3 5
为：
5
，它在y轴上的截距是3
6、设直线l 的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6， 根据下列条件确定m的值： （1） l 在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
y－0
=
x－（－5） 0－（－5）
2－0
∴AC的方程为2x－5y+10=0
法二：（用斜截式求BC所在直线方程）
k BC 2 ( 3) 5 03 3
由斜截式得：y
5 x2 3
即： 5x+3y-6=0
这就是直线BC的方程
（用截距式求直线AC的方程）
直线AC的横、纵截距分别是－5,2
这个方程是由直线上两点确定；叫两点式.
记忆特点：
左边全为y，右边全为x 两边的分母全为常数 分子，分母中的减数相同
三、直线的两点 式方程的应用
是不是已知任一直线中的两点就能用两 y y1 y2 y1 点式 x x x x 写出直线方程呢？
不是!
1
2
1
当x1 ＝x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式方程.(因为 x1 ＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义)

直线的两点式方程公式

直线的两点式方程公式

直线的两点式方程公式直线是数学中最基础的几何实体之一。

它可以用来概括几何实体的基本特征，也可以用来推导几何实体的结构。

人们有时会用几何体的方程来描述和解释特定的几何实体，而直线的两点式方程就是这样一种方程式。

两点式方程是一种用来描述直线形状的方程式，它通常由一条直线所经过的两个点的坐标确定。

其中，两个点是直线上同侧两个不同的点，经过这两个点的直线被称为“两点式直线”。

要求出两点式方程，首先应先确定两个点的坐标。

设这两个点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则两点式方程的一般形式为：y y1 = (y2 y1) / (x2 x1) x x1由于y1 y2可以写成(y2 y1) / (x2 x1)的倒数，因此上式可以简化为：(y-y1) / (x-x1) = (y2 y1) / (x2 x1)由于一条直线的斜率是唯一的，因此从上式可以知道，这条直线的斜率为(y2 y1) / (x2 x1)。

而将斜率代入上式，可以得到完整的两点式方程：y y1 = (y2 y1) / (x2 x1) (x x1)由这个式子，可以知道任意一点（x,y）都在这条直线上，只要满足两点式的要求即可。

此外，从两点式方程中可以计算出某条直线两个点的横纵坐标，只要给出一点和直线的斜率即可，这在几何实体的描述中也非常有用。

另外，两点式方程也可以用来表示某个平面上两个点之间的距离。

若已知两点的坐标，可以用两点式方程计算出它们之间的距离：d =[(x2 x1)2 + (y2 y1)2]由于两点式方程可以表示出直线的形状，和计算两点之间的距离，因此它在数学中的应用非常广泛，是日常生活中非常实用的一种数学工具。

总之，通过熟练使用两点式方程，我们就可以在几何实体的描述和解释中更加有效地表示直线的形状，也可以计算出某个平面上两个点之间的距离。

高等数学-空间直线及其方程

高等数学-空间直线及其方程

的夹角的正弦。
i jk
解：L的一个方向向量
S2
1
0 1, 2,2
中法向量 n 1,1,1
011
则它们的夹角正弦为：
sin 11 1 2 1 2 1 111 12 22 22 3 3
例8：求过直线 L :
x 1 y 1 z 1 1 1 2
与平面
: x y 3z 15 0 的交点，且求垂直直线于与此平平面面交的点坐
向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
于已知直线，
所以，当已知直线L上一点 r
M0
(x,
y,
z)
和它的一方向向量 S m, n, p,直线L的位置就完全
确定了。
建立直线 L 的对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
高等数学(下)
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z o x
L 1 y 2
通过空间直线L的平面有无穷多个，其中任意两个
平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线
r uuuuuur S / / M0M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
空间直线的两点式方程：x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p

直线的两点式方程 课件

直线的两点式方程 课件

1．已知 A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．
解析：(1)∵BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)， ∴由两点式得－y－2－－－4 4＝x0－ －55， 即 2x＋5y＋10＝0. 故 BC 边的方程为 2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
解得ab11＝＝43，，
a2＝152， b2＝92，
所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0
或 15x＋8y－36＝0.
(2)设直线 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)， 由题意知，ab＝12，34a＋b2＝1， 消去 b，得 a2－6a＋8＝0， 解得ab11＝＝43，， ab22＝ ＝26， ， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0.
[错因与防范] 本题易误认为截距是正值导致漏解．直线 y＝kx＋b 在 y 轴上的截距是直线与 y 轴交点的纵坐标，不是直线与 y 轴的交点到原点 的距离，截距的值可能是正数，也可能是零或者负数．
用截距式方程解决问题的优点及注意事项： (1)由截距式方程可直接确定直线与 x 轴和 y 轴的交点的坐标，因此用截 距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题 时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时， 两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中 要注意分类讨论．
探究二 利用截距式求直线方程
[典例 2] (1)过点 A(1,2)，且在 x 轴上的截距和在 y 轴上的纵截距相等 的直线方程是____________． [解析] 分两种情形：若直线过原点，则方程为 y＝2x；若直线不过原 点，则可设直线的方程为ax＋ya＝1，将(1,2)代入，得 a＝3，则直线的方 程为 x＋y＝3. [答案] x＋y＝3 或 y＝2x

直线的两点式、截距式、一般式

直线的两点式、截距式、一般式
5 3
由点斜式得y 2 5 3 ( x 0).
3
பைடு நூலகம்
B
直线AC过A（ 5， 0），C（0， 2）两点，由截距式得
x 5 y 2 1整理得
2 x 5 y 10 0这就是直线AC的方程。
例2:三角形的顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 求这个三角形三边所在的直线方程. 变1:求三角形边AB的中线所在的直线方 程. 变式2:过C点的直线将△ABC面积两等 分,求该直线所在的直线方程. 变3：过P（3,0）作直线l，使它被两条 直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段 AB恰好被P点平分，求直线l的方程
综合应用
已知直线l： 5ax 5 y a 3 0 1、求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限 2、为使直线不经过第二象限，求a的取值范围
变：已知（k 1) x-（k-1)y-2k=0为直线l的方程， 定点坐标
求证：不论k为何实数，直线l必过定点，并求出
例5、求过点A（4,2），且在两坐标 轴上的截距相等的直线l的方程
Y 0 3 0

X ( 5 ) 3 ( 5 )
, 整理得
2 C
3 x 8 y 15 0, 就是直线AB的方程。 直线BC过C（0， 2）， 斜率是k 整理得 5 x 3 y 6 0这就是直线BC的方程。
2 ( 2 ) 0 3
A -5 3 X
,
变1：
1、已知直线l1 : 2 x (m 1) y 4 0与直线 l2 : mx 3 y 2 0平行，求m的值 2、当a为何值时，直线l1 : (a 2) x (1 a) y 1 0 与直线l2： (a 1) x (2a 3) y 2 0互相垂直

高等数学下第八章8.6 空间直线及其方程

高等数学下第八章8.6 空间直线及其方程

垂
直的直线方程.
解: 取已知平面的法向量 n (2, 3, 1)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
x 1 y 2 z 4 2 3 1
3. 相关的几个问题
(1) 过直线
L:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
的平面束 方程
1 ( A1x B1 y C1z D1) 2 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
ns L
平面 的法向量为 n ( A, B ,C )
则直线与平面夹角 满足
︿
sin cos( s , n )
sn
Am Bn C p
sn
m2 n2 p2 A2 B2 C2
特别有:
(1) L
s // n
(2) L //
sn
ABC mn p Am BnC p 0
例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面
求出已知直线的方向向量
取所求平面的法向量
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
51
50
50
例6.
求过直线L:
x5y z 0 xz40
且与平面
x 4y
8z
12 0 夹成 角的平面方程.
提示: 过直线 L 的平面束方程
设直线上的动点为 M (x, y, z)
s
则
M (x, y, z)
故有
x x0 y y0 z z0
m
n
p
M 0 (x0 , y0 , z0 )

第七章空间解析几何第7节直线及其方程

第七章空间解析几何第7节直线及其方程

投影直线为
小结
空间平面
一般形式 (三元一次方程) Ax+By+Cz+D=0. 法点式 n M 0 M 0
x y z 1. 截距式 p q r
空间直线
交面式 (一般形式)： 三元一次方程组. x x0 y y 0 z z 0 对称式: s M 0 M 0, 即 m n p 参数形式:
x3 y 3 z 故直线方程为 . 2 2 2
例6. 求直线 l1: x+y1=0, y+z+1=0, 在平面 : 2x+y+2z = 0 上的投影直线的方程. 解：直线l1的方向
s1 1 1 0 i j k =(1, 1, 1). 0 1 1
i
j
k
再求 l1 与 的交点M0(x0, y0, z0). 即联立求解
即
x 1 y z 1 . 1 4 1
l1
M1
n
M0

思想：
求直线与 交点M0； 求直线上平面 外一点M1 ； 求过 M1 垂直于 的直线 l2 ; 求 l2 与 的交点M2 ；
求过M0，M2 的投影直线方程.
事实上，我们利用了直线的另外一种表达式 两点式
x 0 y 1 z 2 t. 2 1 2
设 l2 与 交点为M2(x2, y2, z2)，则相应参数 t 满足
22t +1+t+2(2+2t )=0 1 t 3 2 4 4 ). 得交点 M2(x2, y2, z2) ( , , 3 3 3 所求直线方程为 x 1 y 0 z 1 , 2 4 4 1 0 1 3 3 3

直线的两点式方程

直线的两点式方程
标轴重合的直线．
若点P1 (x1 , y1 ),P2( x2 , y2)中有x1 ＝x2,或 y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么?
当x1 ＝x2 时方程为： x ＝x１ 当 y1= y2时方程为： y = y１
四、直线的截距式 方程
例2:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的 交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程．
直线方程
二元一次方程
即：对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0
(A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？
（1）当B
0时，方程可变形为
y


A B
x
C B
它表示过点(0, C )，斜率为 A 的直线.
B
B
（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不
为零,于是方程可化为 x C ，它表示一条与 y 轴平
解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:
y0 xa, b0 0a
即 x y 1.
ab
所以直线l 的方程为：x y 1. ab
截距式直线方程:
x a

y b

1.
直线与 x 轴的交点(a, o)的横坐标 a 叫做 直线在 x 轴上的截距
直线与 y 轴的交点(0, b)的纵坐标 b 叫做 直线在 y 轴上的截距
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?
注意：
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 ②截距可是正数,负数和零
举例
例3: ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距 相等的直线有几条?
解: ⑴ 两条
设:直线的方程为: x y 1

空间的直线方程

空间的直线方程

03
通过求解这个空间曲线方程，可以得到电路中电流的分布情况，从而为电路设 计和优化提供依据。
2023
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REPORTING
空间中直线的重要工具。
解析几何中的计算
02
利用空间直线方程，可以进行各种计算，例如求点到直线的距
离、求直线之间的交点等。
解析几何中的图形变换
03
通过空间直线方程，可以实现三维空间中的图形变换，例如平
移、旋转等。
在物理学中的应用
01
02
03
物理学的运动学
在物理学中，空间直线方 程可以用于描述物体的运 动轨迹，例如自由落体运 动、抛物线运动等。
通过求解这个平面方程，可以得到视平线的位置和方向，从而为 绘制建筑物的透视效果图提供参考。
实例三：求解某电路中的电流路径
01
在电路分析中，电流路径的求解是一个重要的问题。电流路径可以用空间中的 一条曲线来表示，该曲线的方程可以通过电路中的电压、电阻、电容等参数来 求解。
02
设电路中的电压源为$U(x, y, z)$，电阻为$R(x, y, z)$，电感为$L(x, y, z)$等，则 电流路径的方程可以表示为一个偏微分方程。通过求解这个偏微分方程，可以得到 电流路径的空间曲线方程。
也可以表示为参数方程形式
$x = x_0 + dx cdot t, y = y_0 + dy cdot t, z = z_0 + dz cdot t$，其中$t$ 为参数。
已知两点求直线方程
计算两点之间的向量差
$vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$。

3.2.2 直线的两点式方程

3.2.2 直线的两点式方程

梳理
名称 已知条件
在x，y轴上的 截距分别为a， 截距式 b且a≠0， b≠0
示意图
方程 使用范围
_ax_＋__by_＝__1_
斜率存在且 不为0，不
过原点
知识点三 线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中
x＝x1＋2 x2， 点，则y＝y1＋2 y2.
[思考辨析 判断正误] 1.不经过原点的直线都可以用方程ax＋by＝1 表示.( × )
2.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y －y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( √ ) 3.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( √ )
－y＝a， 又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3， ∴l的方程为x－y－3＝0. 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
方法二 由题意知直线的斜率一定存在. 设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)， 当 x＝0 时，y＝2－5k，当 y＝0 时，x＝5－2k. 根据题意得 2－5k＝－5－2k，解方程得 k＝25或 1. 当 k＝25时，直线方程为 y－2＝25(x－5)，即 2x－5y＝0； 当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0. 综上，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
解析 当过原点时，有一条符合题意；
当与坐标轴截距为正数时，有一条；
当与坐标轴截距互为相反数且不为0时，有一条，共3条.
补例2.直线l经过点P(3, 2),且与x,y轴的正半轴交于A,B两点， 求 ABC面积最小值以及此时l的方程。
S 12, l方程：2x 3y 12 0 min

直线的两点式方程 课件

直线的两点式方程 课件

坐标为(x，y)，则有中点坐标公式：
x1＋x2
x＝_____2______，
y1＋y2
y＝_____2______.
思考 1：若直线 l 上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，满足 x1＝x2 或 y1＝y2 时， 直线 l 的方程是什么？
[提示] 当 x1＝x2 时，直线 l 平行于 y 轴，此时的直线方程为 x－x1＝0 或 x＝x1；当 y1＝y2 时，直线 l 平行于 x 轴，此时的直线方程为 y－y1＝0 或 y ＝y1.
解得ab＝ ＝66， 或ab＝ ＝2－，2. 所以所求直线的方程为6x＋6y＝1 或2x＋－y2＝1， 化简得直线 l 的方程为 x＋y＝6 或 x－y＝2， 即直线 l 的方程为 x＋y－6＝0 或 x－y－2＝0， 综上，直线 l 的方程为 x－2y＝0， x＋y－6＝0， x－y－2＝0.
[规律方法] 用截距式方程解决问题的优点及注意事项 1由截距式方程可直接确定直线与 x 轴和 y 轴的交点的坐标，因此用截 距式画直线比较方便. 2在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题 时，经常使用截距式. 3当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两 个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分 类讨论.
[规律方法] 直线方程的选择技巧 1已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由 其他条件确定直线的斜率. 2若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线 的一个点或者截距. 3若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的 交点，就用截距式方程. 4不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情 况下的直线要单独讨论解决.
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空间直线方程两点式
空间直线方程两点式是一种用于描述空间直线的方程式，它可以用来描述一条直线上任意两点之间的关系。

它的一般形式为：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)，其中x1,y1,z1和x2,y2,z2分别是直线上的两个不同的点的坐标。

空间直线方程两点式可以用来求解空间直线上任意一点的坐标，只要知道直线上两点的坐标，就可以求出任意一点的坐标。

此外，它还可以用来求解空间直线的斜率，只要知道直线上两点的坐标，就可以求出斜率。

空间直线方程两点式还可以用来求解空间直线的垂直距离，只要知道直线上两点的坐标，就可以求出垂直距离。

此外，它还可以用来求解空间直线的垂直交点，只要知道直线上两点的坐标，就可以求出垂直交点的坐标。

空间直线方程两点式是一种非常有用的方程式，它可以用来求解空间直线上任意一点的坐标、斜率、垂直距离和垂直交点，因此它在几何学中有着重要的应用。