三角函数的积化和差与和化积与差化积与和差化积公式

三角恒等变换的和差化积与积化和差三角恒等变换是数学中的重要概念之一，它能够帮助我们简化复杂的三角函数表达式，并且在解题过程中发挥着重要的作用。

其中，和差化积与积化和差是三角恒等变换的两种常见形式。

本文将详细介绍和差化积与积化和差的定义、推导过程以及应用举例，以加深对该概念的理解。

一、和差化积和差化积是指将两个三角函数的和（或差）表示为一个三角函数的积的形式。

具体而言，对于任意实数x和y，和差化积的公式如下：1） sin(x±y) = sinxcosy ± cosxsiny2） cos(x±y) = cosxcosy ∓ sinxsiny3） tan(x±y) = (tanx ± tany) / (1 ∓ tanxtany)其中，“±”代表正负号的两种可能，“∓”则表示正负号的相反情况。

通过和差化积，我们可以将一个复杂的三角函数表达式转化为一个较为简单的形式，从而更方便地进行计算和推导。

例如，当我们需要计算sin75°时，可以利用和差化积将其转化为sin(45°+30°)，然后根据公式sin(x±y) = sinxcosy ± cosxsiny得到：sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°我们知道sin45° = cos45° = √2/2，sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，代入上式得到：sin75° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4这样，我们成功地将sin75°的计算转化为了更简单的形式，并得到了精确的结果。

二、积化和差积化和差是和差化积的逆运算，它将一个三角函数的积表示为一个三角函数的和（或差）。

三角函数和差化积与积化和差公式口诀三角函数是高中数学中的一个重要内容，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

在解决数学问题中，我们常常会用到三角函数的和差化积与积化和差公式，这两个口诀是帮助我们简化计算的重要工具。

三角函数的和差化积公式是指将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的积，从而简化计算过程。

对于正弦函数和余弦函数来说，和差化积公式如下：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB对于正切函数来说，和差化积公式如下：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这两个公式的使用可以大大简化计算过程，特别是在解决三角函数的和差问题时，能够显著提高解题效率。

而积化和差公式则是将两个三角函数的积转化为一个三角函数的和或差，同样也是为了简化计算过程。

对于正弦函数和余弦函数来说，积化和差公式如下：sinAcosB = 1/2 [sin(A + B) + sin(A - B)]cosAsinB = 1/2 [sin(A + B) - sin(A - B)]对于正切函数来说，积化和差公式如下：tanA + tanB = sin(A + B) / (cosAcosB)tanA - tanB = sin(A - B) / (cosAcosB)积化和差公式的使用也能够帮助我们简化计算，特别是在解决三角函数的积问题时，能够提高解题效率。

通过掌握三角函数的和差化积与积化和差公式，我们可以更加灵活地运用三角函数来解决各种问题。

下面我们通过几个例子来说明这两个公式的具体应用。

例1：计算sin75°根据和差化积公式，可以将75°分解为45°+30°，即sin75° = sin(45°+30°)。

和差化积公式：sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]编辑本段推导过程和差化积公式由积化和差公式变形得到，积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。

推导过程：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 把两式相加得到：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 所以，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2同理，把两式相减，得到：cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 把两式相加，得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ 所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 同理，两式相减，得到sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 这样，得到了积化和差的四个公式: sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的α+β设为θ,α-β设为φ, 那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2 把α,β分别用θ,φ表示就可以得到和差化积的四个公式: sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。

三角函数和差化积与积化和差公式口诀三角函数的和差化积公式：sin(a±b)=sinacosb±cosasinbcos(a±b)=cosacosb∓sinasinbtan(a±b)=tanatanb1∓tanatantanbcot(a±b)=cotacotb1∓cotacotbsec(a±b)=secasecb1±tanatanbcosec(a±b)=coseccosecb1±cotacotb这些公式是非常重要的，它们能够将不同角度的三角函数表达式相互转化，方便我们在解题过程中灵活运用。

而如果我们需要将两个三角函数的乘积展开为和差形式，我们可以利用积化和差公式来进行转化：sinacosb=12[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb=12[cos(a-b)-cos(a+b)]tanatanb=1tanatglntanb利用这些公式，我们可以将三角函数的乘积转化为和差形式，从而简化计算过程。

同时，这些公式也可以反过来使用，将和差形式的三角函数表达式转化为乘积形式。

上面提到的公式在解决三角函数相关的问题时非常有用，尤其是在求解实际问题中经常会用到。

因此，熟练掌握这些公式的推导方法和应用技巧是非常重要的。

最后，我们可以用一个口诀来帮助记忆这些重要的公式：“正弦积备要异余弦和商期同基性正切秒余割商第取反”通过这个口诀，我们可以更加方便地记忆三角函数的和差化积与积化和差公式，从而在解决相关问题时能够更加灵活地运用这些公式。

总之，三角函数的和差化积与积化和差公式是解决三角函数问题的关键工具，在解题过程中的灵活运用将能够大大提高我们的解题效率和准确度。

希望大家能够通过学习和练习，熟练掌握这些公式，为解决相关问题打下坚实的基础。

和差化积和积化和差公式
正弦、余弦的和差化积 2
cos 2sin 2sin sin βαβ
αβα-⋅+=+
2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-⋅+=- 2cos 2cos 2cos cos β
αβ
αβα-⋅+=+
2sin 2sin 2cos cos β
αβ
αβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】
仍然要根据证明记忆。

注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。

所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。

是和还是差？
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。

规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。

正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。

但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。

三角函数的和差化积与积化和差的计算三角函数中的和差化积与积化和差是一组常见的基本公式。

它们可以帮助我们快速计算三角函数表达式的简化形式。

本文将介绍三角函数的和差化积与积化和差的计算方法。

1. 两角和差的计算公式设有两个角A和B，则它们的和或差可以表示为以下形式：1）和差的正弦：sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB2）和差的余弦：cos(A ± B) = cosA·cosB ∓ sinA·sinB3）和差的正切：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA·tanB)2. 和差化积的计算公式将两个角的和或差化简为一个角的三角函数，可以使用以下公式：1）正弦的和差化积：sin(A + B) = sinA·cosB + cosA·sinBsin(A - B) = sinA·cosB - cosA·sinB2）余弦的和差化积：cos(A + B) = cosA·cosB - sinA·sinBcos(A - B) = cosA·cosB + sinA·sinB3）正切的和差化积：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA·tanB)tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA·tanB)3. 积化和差的计算公式将一个角的正弦、余弦或正切转化为两个角的和或差形式，可以使用以下公式：1）正弦的积化和差：sinA·sinB = 1/2·[cos(A - B) - cos(A + B)]sinA·cosB = 1/2·[sin(A + B) + sin(A - B)]2）余弦的积化和差：cosA·cosB = 1/2·[cos(A - B) + cos(A + B)]sinA·cosB = 1/2·[sin(A + B) - sin(A - B)]3）正切的积化和差：tanA·tanB = (tanA + tanB) / (1 - tanA·tanB)tanA·tanB = (tanA - tanB) / (1 + tanA·tanB)这些和差化积与积化和差的计算公式在解决三角函数表达式时非常有用。

张喜林制3.3 三角函数的积化和差与和差化积考点知识清单1．积化和差公式：=βαcos cos =βαsin sin =βαcos sin =βαsin cos ,2．和差化积公式：=+y x sin sin =-y x sin sin =+y x cos cos=-y x cos cos要意核心解读1．公式的推导)(,sin cos cos sin )sin(βαβαβαβα++=+S )(,sin cos cos sin )sin(βαβαβαβα--=-S )(,sin sin cos cos )cos(βαβαβαβα+-=+C )(,sin sin cos cos )cos(βαβαβαβα-+=-C ),()(),()(βαβαββα-+-+-+S S s S a),()(),()(βαβαβαβα-+Λ+-+C C C C得,cos sin 2)sin()sin(βαβαβα=-++ ,sin cos 2)sin()(βαβαβα=--+ms ,cos cos 2)cos()cos(βαβαβα=-++ ,sin sin 2)cos()cos(βαβαβα-=--+即)],sin()([.21cos sin βαβαβα-++⋅=m s ① )],sin()([21sin cos βαβαβα--+=m s ② )],cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=③⋅--+-=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα④公式①②③④叫做积化和差公式．其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角a 印，等式右边为它们的和差角， 在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和 差化积．为了用起来方便，在积化和差的公式中，如果令+α,,φβαθβ=-=则⋅-=+=2,2φθβφθα 把这些值代入积化和差的公式①中，就有2cos.2sinφθφθ-+)].22sin()22[sin(21φθφθφθφθ--++-++=⋅+=)sin (sin 21φθ ⋅-+=+∴2cos .2sin 2sin sin φθφθφθ⑤同样可得，,2sin 2cos 2sin sin φθφθφθ-⋅+=-⑥,2cos .2cos 2cos cos φθφθφθ-+=+⑦⋅-⋅+-=-2sin 2sin 2cos cos φθφθφθ⑧公式⑤⑥⑦⑧ⅡLl 做和差化积公式．其特点为：同名函数的和或差才可化积；余弦的和或差化为同名函数之积；正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角p 与妒，等式右边为22φθφθ--+h的形式，2．明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得，进一步明确三角函数中公式虽然多，但都不是孤立的，另外，弄清公式的来源以及公式的内在联系，才能更好地理解和使用它们积化和差与和差化积公式实现了三角函数值和差与积的互化，对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形，都有重要的作用，应用时要注意：(1)只有系数绝对值相同的同名函数的和差，才能直接运用公式化成积的形式；(2)和积互化中系数、角的变化；(3)尽量使两角和（差）出现特殊角，对于特殊角的三角函数应求出其值．典例分类剖析考点1和差化积问题[例1]化下列各式为积的形式：;21cos )1(-x ;cos sin )2(x x + ⋅-βα22sin )3(ms [解析]3cos cos 21cos )1(π-=-x x 23sin23sin 2ππ-⋅+-=x x ⋅-+-=)62sin()62sin(2ππx x(2)解法一：=-+=+)90sin(sin cos sin x x x x ).45cos(2)45cos(.45sin 2 -=-x x解法二：)cos 22sin 22(2cos sin x x x x +⋅=+)sin 22cos 22(2x x +⋅= )45sin sin 5..(cos 2 ⋅+=x co x ).45cos(2 -=x(3)解法一：)sin )(sin sin (sin sin sin 22βαβαβα-+=-2sin2cos22cos2sin2βαβαβαβα-+⋅-+=⋅-+=)sin()sin(βαβα解法二：22cos 122cos 1sin sin 22βαβα---=-)sin()sin()2cos 2(cos 21αβαβαβ-+-=-= ⋅-+=)sin()sin(βαβα1．(1)已知=-=-βαβαsin sin ,21cos cos ,.31-求)sin(βα+的值． (2)把下列各式化为积的形式：;36sin 122sin +① );43cos()43cos(παπα-++② ;15sin 75sin o - ③ .23cos 75cos -④考点2积化和差问题[例2]不查表求下列各式的值．;75sin 30sin 15)1(o ms70cos 50cos 30cos 10cos )2(o 的值； ;140cos 100cos 60cos 20cos )3( +++o⋅++76cos 74cos 72cos)4(πππ [解析] (1)解法一：75sin 15sin 2175sin 0.15sin =si )]7515cos()7515)[cos(21(21 --+-⨯=⋅=--=---=81)210(41)]60cos(90[cos 41解法二：⋅===8130sin 4115cos 15sin 2175sin 30sin 15sino o(2)原式=)]7050cos()7050[cos(21.23.10cos-++)20cos 21.(10cos 43 +-=o 20cos 10cos 4310cos 83+-= )]2010cos()2010[cos(214310cos 83o o o -++⨯+-= )10cos 23(8310cos 83 ++-=o ⋅=++-=16310cos 8316310cos 83 (3)原式=)140cos 100cos 60cos 20(cos 20sin 20sin+++⋅ +∞++⋅= ωω120sin cos 20sin 20cos 20(sin 20sin 1s o o )140cos 20sin o +-<+-+⋅=)80sin 120sin )40sin 80(sin 40[sin 20sin 21)]120sin 1(sin-ω ⋅==⨯=2120sin 220sin 16020sin 21m s (4)原式=)76cos 74cos 72.(cos 7sin 7sinπππππ++)76cos 7sin 74cos 7sin 72cos7.(sin781πππππππ++=in+-+-⋅=)7375(sin )7sin 73[(sin7sin21πππππm s )]75sin 77(sin ππ-⋅-=-=217sin27sinπ2．把下列各式化为和差的形式，;125cos.12sin)1(ππ;55sin 35cos 2)2( ⋅ ⋅+-)cos().cos()3(y x y x 考点3和积互化的应用[例3]求50cos 20sin 50cos 20sin 22++的值．[解析] 解法一：原式=+++-2100cos 120.1co 05cos 20sin o )]30sin(70[sin 21)100cos 0.(211 -++--=o o co4170sin 21)30sin(70sin )2(211-+--⨯-= o⋅=-+-=434170sin 2170sin 211o解法二：原式=50cos 20sin )50cos 20(sin 2-+o)0.70(sin 21)40sin 20(sin 2 si o --+=4170sin 21)10cos 30sin 2(2+-=o o4120cos 2110cos 2+-=4120cos 21220cos 1+-+=4120cos 2120cos 2121+-+=o ⋅=43 3．(1)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足;2B C A =+①⋅-=+B CA cos 2cos 1cos 1②．求2c o s C A -的值．(2)求下列各式的值：;76cos 74cos 72cosπππ++① ++ 49cos .71cos 71cos 2②.49cos 2 考点4恒等式证明[例4]求证：.2cos cos 3cos sin 3sin 333ααααα=+ [解析]左边=αααααα22cos )cos 3(cos sin )sin (sin +++--=αααα4s 21sin )2cos 4s (212co co （αα2cos )2cos..21sin 2cos 21sin .2122αααααco co ++-=ααα22cos 2cos 21cos +ααα2cos 212cos .21+=co )1.(2cos 21+=ααco ===ααα2cos 2cos 22cos 2132右边． 4．已知,43πβα=+求证：++βα22cos cos ⋅=21cos cos 2βα学业水平测试1．给出下列四个关系式：)];cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+=①=βαcos sin ②6)];sin(βα-21cos cos -=βα③)];cos()cos(βαβα--+ ④[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=其中不正确的个数是( )． 1.A 2.B 3.C 4.Dππ125cos12sin.2的值是( )． 4321.-A 4321.+B 43.C 21.D 5.22cos 5.37cos .3的值是( )． 62623.++A 426.+B )22623(21.+-C )42621(21.++D 4．函数)3cos(sin )(π+=x x x f 的最小正周期为____，最小值为36cos 72cos .5-等于____．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分） 1．已知,cos cos22m =-βα则)sin()sin(βαβα-+等于( )．m A 4. m B 4.- m C . m D -.2．函数)12cos()125sin()(ππ-+=x x x f 是( )． A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的函数，没有奇偶性D ．最小正周期为０的函数，没有奇偶性)4cos()4sin(.3βπαπ++化成和差的结果为( )．)cos(21)sin(21.βαβα-++A )sin(21)cos(21.βαβα-++B )(21)sin(21.βαβα-++ms C )cos(21)cos(21.βαβα-++D 50sin 10sin 70cos 20sin .4+的值是( )．41.A 23.B 21.C 43.Dc 54sin 54cos .5- 化为积的形式是( )．9cos 2.A 9cos 2.-B 9sin .C o D 9sin 2.-160cos 80cos 60cos 40cos .6+++的值是( )．0.A 21.B 1.-C 20cos 221.+D7．设,sin )sin(βαβα--+=ms y 且,0,0πβπα<<<<则y 的值( )． A ．大于0 B ．等于0 C ．小于O D ．符号不能确定15cos 75cos .8-的值是( )． 21.A 21.-B 22.C 22.-D二、填空题（5分×4 =20分）9．有下列关系式：;2sin 8sin 23sin 5sin θθθθ=+① ;sin 4sin 25cos 3cos θθθθ-=-②;sin 4sin 215sin .θθθθ-=-si ③ ;cos 4sin 23cos 5sin θθθθ=+④)].cos()[cos(21sin sin y x y x y x+--= ⑤ 其中正确的序号是 10.已知,32π=+B A 则B A 22cos cos +的值域是 =++ 43sin 73cos 43sin 73cos .1122 x x y sin )6cos(12π-=⋅的最小值为三、解答题（10分×4 =40分）13．求证：(1);)(21sin )(21sin )sin(sin si y x y x y x y nx +-=+- ⋅+-=+++)cos()cos()(2cos 12cos 2cos )2(βαβαβαβα14．在△ABC 中，求证：.2sin 212sin 2sin 2sin 222A CB A -=++⋅⋅2sin 2sin C B15．如果,334)120sin(1)120(1=++-x x ms 求x cos 的值．16．求函数x xxx x x si y 2sin 2cos cos 3cos sin .233++= 的最小值，。

和差化积积化和差万能公式Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】正、余弦和差化积公式指三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。

三角函数和差化积与积化和差公式,倍角公式和差化积sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)积化和差sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]三倍角sin3a=3sina-4sina^3cos3a=4cosa^3-3cosasin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαtan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA ^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tan A^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tan A^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA ^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cos A^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+ 45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)。

是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。

注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。

所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。

(α-β)/2的三角函数名规律为：和化为积时，以cos(α-β)/2的形式出现；反之，以sin(α-β)/2的形式出现。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

如果要使和化为积，那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2，结果应当是一样的，从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2；另一种情况可以类似说明。

余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号 这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如(0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα小于cosβ。

但是这时对应的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，要么就在式子的最前面加上负号。

项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。

正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号 这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。

但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。

万能公式 【词语】：万能公式 【释义】：应用公式sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2} cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2} tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2} 将sinα、cosα、tanα代换成tan（α/2）的式子，这种代换称为万能置换。

创作编号：BG7531400019813488897SX创作者：别如克*正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。