整式的乘除讲义整章

整式的乘除（讲义）课前预习1. 整式的分类：___________________________________⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩定义：数字与字母的乘积组成的代数式单项式系数：单项式前面的次数：所有字母的整式定义：几个单项式的和项：组成多项式的每个单项式次数：项的次数2. ________________________________________________叫做同类项；把同类项合并成一项叫做合并同类项；合并同类项时，________________________________________________．3. 乘法分配律：()a b c +=_______________．4. 类比迁移：老师出了一道题，让学生计算52x y x ÷．小聪是这么做的：55232x y x x x x x y x y x x y x x x ⋅⋅⋅⋅⋅÷===⋅ 请你类比小聪的做法计算：22282m n m n ÷．知识点睛1. 单×单：_______乘以________，_________乘以________．2. 单×多：根据________________，转化为单×单．3. 多×多：握手原则．4. 单÷单：系数除以系数，字母除以字母．5. 多÷单：借用乘法分配律．精讲精练1. ①■342xy xy z ⋅=_______； ②2323(2)x y x y ⋅-=_______； ③231(4)2x y y ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭______；④322(3)(2)a a -⋅-； ⑤332(2)(2)x xy xy ⋅-⋅-．2. ①222(53)ab ab a b ⋅+______________________； ②221232ab c ab ab ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭____________________； ③31(2)14a a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭_________________；④222(2)()x y xy -⋅=_________________________； ⑤2222(3)x y z x x y -+-⋅=_________________________．3. 计算：①(34)(34)x y x y +⋅-； ②()(321)m n m n -⋅-+；③(2)(32)m n m n --⋅-； ④2(2)x y -；⑤()()a b c a b c +-⋅-+．4. 计算：①2 56(13)x x x x --+； ②210(23)(42)x x x --+．5. ①2212a b c ab ÷=_____；②3532(3)(0.5)m n m n -÷-=______； ③62(2)()xy xy -÷=______；④22(2)(_______)2a b a -÷=； ⑤4348()()3a b a b ⎡⎤-÷-=⎢⎥⎣⎦___________； ⑥23243(2)(7)14x y xy x y ⋅-÷．6. ①532(46)(2)x x x -÷-=_____________； ②2211322x y xy xy xy ⎛⎫⎛⎫-+÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______________； ③234432214633ab a b a b ab ⎛⎫⎛⎫-+÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________________； ④23222()(2)a b a b ab -÷=_____________； ⑤43522(2)()m n m n mn --÷=________________； ⑥23(____________________)3231a a a ÷=-+-．7. 计算：①423322223(3)(2)(2)4a b ab a b a b a b --⋅---÷；②322()(2)(48)(4)a b a b ab a b ab +-+-÷-；③2222(1)(1)(2)a a a --++；④433222113()(2)22a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+÷--÷⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【参考答案】课前预习1．数字因数，指数和，多项式，次数最高2．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变3．ab +ac4．4n知识点睛1．系数，系数；字母，字母2．乘法分配律精讲精练1. ①248x y z②536x y - ③242x y④818a - ⑤7432x y2. ①10a 2b 3+ 6a 3b 2 ②232213a b c a b - ③4122a a +-④44252x y x y - ⑤3234226x y x y z x y --+3. ①22916x y -②22352m mn m n n ++-- ③2262m mn n -++④2244x xy y -+ ⑤2222a b bc c -+-4. ①32618x x x -+-②2286x x ++ 5. ①2abc②36n ③44 64x y④322a b ⑤66a b -⑥324x y - 6. ①323x x -+②621x y -+- ③22312182a b a b -- ④11b 44- ⑤232m n m --⑥532693a a a +-- 7. ①424a b -②223a ab b +- ③251a --④4361a a ---。

第一章：整式的乘除1.1同底数幂的乘法复习回顾：复习七年级上册数学课本中介绍的有关乘方运算知识：探索新知1．利用乘方的意义，计算103×102． 解：103×102=(10×10×10)×(10×10)(幂的意义)=10×10×10×10×10 (乘法的结合律)=105． 2．建立幂的运算法则将上题中的底数改为a ，则有 a 3·a 2＝(aaa)·(aa)＝aaaaa ＝a 5， 即a 3·a 2=a 5=a 3+2． 用字母m ，n 表示正整数，则有即a m ·a n =a m+n ．3．剖析法则思考以下问题：(1)等号左边是什么运算？ (2)等号两边的底数有什么关系？ (3)等号两边的指数有什么关系？(4)公式中的底数a 可以表示什么？ (5)当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？ 请大家试着叙述这个法则：应用提高探讨pn m a a a ⋅⋅等于什么？ 课堂训练(1)-a 2·a 6 (2)(-x)·(-x)3 (3)y m ·y m+1 （4）()3877⨯-（5）()3766⨯- （6）()()435555-⨯⨯- （7）()()b a b a -⋅-2（8）()()b a a b -⋅-2(9)x 5·x 6·x 3 (10)-b 3·b (11)-a·(-a)3 (12)(-a)2·(-a)3·(-a)1.2 幂的乘方与积的乘方（一） 复习回顾复习已学过的幂的意义及幂运算的运算法则 1、幂的意义 2、.nm nmaa a +=⋅（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

探索新知根据已经学习过的知识，回忆并探讨以下实际问题：1． 乙正方体的棱长是 2 cm, 则乙正方体的体积 V 乙 = cm 3 。

第五章 整式的乘除一、幂的运算1.同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+∙+同底数幂的乘法法则可以逆用：即n m n m p a a a a ∙==+如：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⋅==+++434352526617x x x x x x x x x x【例题分析】1、()()________45=-∙-x y y x2、若a m ＝2，a n ＝3，则a m+n =3、若6422=-a ，则a= ；若8)3(327-=⨯n ，则n= .【同类练习】1. ()()()=-⋅-⋅-232x y x y y x2. 若,35,25==n m 那么35++n m 的值为 。

3.已知x m －n ·x 2n+1=x 11，且y m －1·y 4－n =y 7，则m =____，n =____.4. 若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。

2.幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn p a a a a )()(=== 如：23326)4()4(4==【例题分析】1.若2,x a =则3x a =2.计算()[]()[]mnx y y x 2322--=3. 已知63m =，29=n ，求1423++n m 的值。

【同类练习】1.若32=n a ，则n a 6= .2.设4x =8y−1,且9y =27x−1,则x-y 等于 。

3. 若,512=+n a 求36+n a 的值。

3.积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。

积的乘方等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙- 积的乘方法则可以逆用：即()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=,为奇数，1为偶数，11)1(1,11)1(1常见：,n n a a a a a a a a ab b a nnn n n n nn n nn 【例题分析】 1. 计算：()[]()()[]43p pm n n m m n -⋅-⋅-2. 已知332=-b a ，求96b a 的值为 3. 若13310052+++=⨯x x x ， 求x 的值。

第151讲整式的乘除法专题一、知识框架二、本节重点1.幂的乘法运算：（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘底数不变指数相加.（注意当底数互为相反数时要化成同底数幂，再运用同底数幂乘法法则进行运算）.表示：m n m na a a+⋅=（,m n都是整数）（2）幂的乘方：幂的乘方，底数不变指数相乘.表示：()n m mna a=（,m n都是整数）；逆运算：()()n mmn m na a a==（3）积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.表示：()n n nab a b=（n是整数）；逆运用：()nn na b ab=2.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减.表示：m n m na a a-÷=（0,,a m n≠都是整数）.3.整式的乘法运算：（1）单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.（3）多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4.整式的除法运算：（1）单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；（2）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数.三、学生笔记四、经典题型题型一：幂的乘法运算1. 计算（1）()()()3225a a a a -⋅-⋅-⋅ （2）()()()24s t t s s t -⋅-⋅-（3）()()3224233a b ab ⋅- （4）()()()()32232228x y x x y +⨯-⨯-（5）()()2003200231515530.12522135⎛⎫⎛⎫⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6）()()23m n x y y x ⎡⎤⎡⎤-⋅-⎣⎦⎣⎦2. （1）如果1128164n n ⋅⋅=，则_________n =.（2）已知()()535,7x y x y +=+=，则()812x y +的值为_____________. （3）已知333,2m n a b ==，求()()332242m n m n m n a b a b a b +-⋅⋅⋅的值_________________. 3. 若()22nab -与29m a b -互为相反数，求m n 的值.4. （1）已知31416181,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系____________________.（2）比较5554443333,4,5的大小______________________.题型二：同底数幂的除法5. （1）()()()()33323423a a a a ⎡⎤⋅-÷÷⎢⎥⎣⎦（2）1381x =6. 用科学记数法表示下列各数：（1）0.0000512（2）-0.00000717. 计算：（用科学记数法表示结果）（1）()()479101810⨯÷-⨯ （2）()()347210210---⨯÷-⨯8. 若34,97x y ==，则23x y -的值____________.9. 已知()321x x +-=，整数x 的值为________________.10. 计算21103,105αβ--==，求6210αβ+的值.题型三：整式的乘法运算11. （1）()()3252345a a a a -+-⋅-（2）()()2221354a b ab a b a ab b ⎡⎤+--⎣⎦（3）()()()3121x x x x +---+ （4）()()()()221124x x x x -+---12. （1）已知56x y +=，求2530x xy y ++的值.（2）已知+5,6x y xy ==，求22x y xy +的值.13. ()()222762x xy y x y x y A x y B -----=-+++.求__________,___________A B ==.14. 若多项式28x px ++和多项式23x x q -+的乘积中不含3x 和2x 项，求p 和q 的值.15. 先化简，再求值：()()()()122322x y x y x y x y ----+，其中22,5x y =-=.题型四：整式的除法运算16. （1）()35223123a b c a b -÷- （2）232443232113248a b c ab c a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷÷-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦17. 化简求值：()()()2544545x y y x y x ⎡⎤+-+÷-⎣⎦，其中1,3x y =-=.18. 若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 值有___________个. 19. 若13x x+=，则2421x x x ++的值为_______________.。

第一章整式的乘除（二）一、整式的乘法1. 单项式与单项式相乘：法则：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)= [(-5)×(-4)×(-1)]·(a2·a)·(b2·b2)·c=-30a3b4c2.单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．用字母表示：a(b+c+d)= ab + ac + ad例：= (-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=3.多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．用字母表示：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd例：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb二、乘法公式1. 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

（a＋b）（a－b）＝a2－b2例：①(x-4)(x+4) = ( )2 - ( )2 =________；②(-m+n )( m+n ) = ( ) ( )=___________________；③=( ) ( )=___________；④(2a+b+3)(2a+b-3) =( )2-( )2=______________= ；⑤(2a—b+3)(2a+b-3)=（）（）=( )2-( )2⑥ ( m +n )( m -n )( m 2+n 2 ) =( )( m 2+n 2 ) = ( )2 -( )2 =_______； ⑦ (x +3y )( ) = 9y 2-x 22. 完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）们的 积的2倍。

整式的乘除讲义知识总结：1、知识框图单项式式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、同底数幂的乘法1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作a n，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，a n的结果叫做幂。

2、底数相同的幂叫做同底数幂。

3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：a m﹒a n=a m+n。

4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m﹒a n。

5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

二、幂的乘方1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。

（a m）n表示n个a m相乘。

2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（a m）n =a mn。

3、此法则也可以逆用，即：a mn =（a m）n=（a n）m。

三、积的乘方1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。

即（ab）n=a n b n。

3、此法则也可以逆用，即：a n b n =（ab）n。

四、三种“幂的运算法则”异同点1、共同点：（1）法则中的底数不变，只对指数做运算。

（2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

（3）对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。

2、不同点：（1）同底数幂相乘是指数相加。

（2）幂的乘方是指数相乘。

（3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。

五、同底数幂的除法1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m ÷a n =a m-n（a ≠0）。

2、此法则也可以逆用，即：a m-n = a m ÷a n（a ≠0）。

七年级数学整式的乘法(学生讲义)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第2章：整式的乘除与因式分解一、基础知识1.同底数幂的乘法：m n m n=，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底a a a+数不变，指数相加。

2.幂的乘方：()m n mn=，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数a a相乘。

3.积的乘方：()n n n=，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个ab a b因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

4.整式的乘法：（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x (y－2)+ (y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。