等比等差数列公式总结

数列的等差与等比性质知识点总结数列是由一系列数字按照一定规律排列组成的序列，而等差与等比性质是数列中常见的两种规律。

在数学中，掌握数列的等差与等比性质对于解题和推导数学公式都具有重要意义。

本文将对数列的等差与等比性质进行详细总结。

一、等差数列1. 定义：若数列中相邻两项之差保持不变，则称该数列为等差数列。

2. 通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的差等于公差，即an - an-1 = d。

b) 等差数列的前n项和为Sn = (a1 + an) * n / 2。

c) 等差数列的任意一项可以表示为前一项与公差之和，即an = an-1 + d。

d) 若等差数列的前两项之和等于第三项，即a1 + a2 = a3，则该等差数列为等差数列。

二、等比数列1. 定义：若数列中相邻两项之比保持不变，则称该数列为等比数列。

2. 通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n项的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。

3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的比等于公比，即an / an-1 = r。

b) 等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。

c) 等比数列的任意一项可以表示为前一项与公比之积，即an = an-1 * r。

d) 若等比数列的前两项之积等于第三项，即a1 * a2 = a3，则该等比数列为等比数列。

三、等差与等比的联系与区别1. 联系：等差与等比数列都是按照一定规律排列的数列，且都有其通项公式和前n项和的公式。

2. 区别：a) 等差数列的相邻项之差相等，等比数列的相邻项之比相等。

b) 等差数列的公差为常数d，等比数列的公比为常数r。

c) 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。

等差等比数列公式大全《起点家教班》1、 a n ={()2)1(11≥-=-n s s n s n n 注意：1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥22、 等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）d = m a +(n-m)d ⇒ d=mn a a mn --(重要)3、 若{n a }是等差数列，m+n=p+q 则m a +n a =p a +q a4、 若{n a }是等比数列，m+n=p+q 则m a .n a =p a .q a5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则mn a a mn --=q p a a q p --=d6、 等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211dn n na -+（已知首项和公差） =n d a dn ⎪⎭⎫⎝⎛-+212112（可以求最值问题）7、 等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列其公差是原来公差的m 28、 n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ① 首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ② 首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 9、 在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系：①当n 为奇数时，n s =n.a 21+n , 奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ， 奇s －偶s =d n 2偶奇s s =122+nna a10、若{n a }是等比数列，a,G ,b 成等比数列则G 2=ab(等比中项) 11、若{n a }，{}n b （项数相同）是等比数列则{}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∙⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n n n n b a b a a a a ,,,1,2λ仍是等比数列 12、等比数列单调性的问题①当1a ≥0时，若0＜q ＜1则{n a }是递减数列; q ＞1则{n a }是递增数列 ②当1a ＜0时，若0＜q ＜1则{n a }是递增数列; q ＞1则{n a }是递减数列 13、在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若.,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d 14、在等比数列中抽取新数列：,......,,,321kn k k k a a a a 组成新数列{}nk a ，如果序号...,321k k k 组成数列为{}n k ，且n k 成公差为m 的等差数列，那么数列{}nk a 是以q m 为公比的等比数列15、等比数列的前n 项和n s =()q q a n --111=qqa a n --11。

等差数列等比数列的公式
在等差数列中，每一项与它前一项的差都是相同的。

这个公差可以用一个字母d来表示。

假设第一项为a1，则第n项an可以表示为： an = a1 + (n-1)d
其中，n是数列中的项数。

这个公式可以帮助我们快速地计算等差数列中的任意项。

例如，如果我们知道了一个等差数列的首项和公差，就可以用这个公式来计算数列中的任意项。

另外，我们还可以用等差数列的前n项和公式来计算数列的前n 项之和Sn。

这个公式可以表示为：
Sn = n/2 * [2a1 + (n-1)d]
2. 等比数列公式
在等比数列中，每一项与它前一项的比都是相同的。

这个公比可以用一个字母q来表示。

假设第一项为a1，则第n项an可以表示为： an = a1 * q^(n-1)
其中，n是数列中的项数。

这个公式可以帮助我们快速地计算等比数列中的任意项。

例如，如果我们知道了一个等比数列的首项和公比，就可以用这个公式来计算数列中的任意项。

同样地，我们还可以用等比数列的前n项和公式来计算数列的前n项之和Sn。

这个公式可以表示为：
Sn = a1 * (1-q^n) / (1-q)
其中，n是数列中的项数。

需要注意的是，当公比q等于1时，等比数列就变成了等差数列，此时的前n项和公式与等差数列一样。

等差数列与等比数列的通项公式数列是数学中重要的概念之一，它是按照一定的规律排列的一系列数的集合。

等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们都有各自的通项公式，用于计算数列中任意位置的元素。

一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻的两个数之间的差等于一个常数的数列。

常数d称为等差数列的公差。

假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项（记为aₙ）的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，n代表数列中的位置，aₙ代表第n项的值。

以上公式可以方便地计算等差数列中任意一项的数值。

例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13，首项a₁为1，公差d为3。

要计算第7项的值，可以使用通项公式：a₇ = 1 + (7-1)×3 = 1 + 6×3 = 19因此，该等差数列的第7项为19。

二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻的两个数之间的比等于一个常数的数列。

常数r称为等比数列的公比。

假设等比数列的首项为a₁，公比为r，则第n项（记为aₙ）的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ × r^(n-1)其中，n代表数列中的位置，aₙ代表第n项的值。

以上公式可以方便地计算等比数列中任意一项的数值。

例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32，首项a₁为2，公比r为2。

要计算第6项的值，可以使用通项公式：a₆ = 2 × 2^(6-1) = 2 × 2^5 = 2 × 32 = 64因此，该等比数列的第6项为64。

总结：等差数列和等比数列是数学中常见的数列类型，它们都有各自的通项公式。

等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d 为公差，n为位置；等比数列的通项公式为aₙ = a₁ × r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为位置。

利用这些通项公式，可以轻松计算等差数列和等比数列中任意位置的元素的值。

比较全面的等差等比数列的性质总结
等差等比数列是一种重要的数列，它在数学、物理和经济学中都有重要的应用。

它的性质可以用以下几点来总结：
一．概念：等差等比数列是指数列中各项之差和各项之比都是相同的数列。

二．公式：设等差等比数列{an}的首项a1、公差d、公比q都为实数（q≠1）。

通常记作an=a1qn-1（n>1）。

三．通项公式：设a1和q都是实数，n是正整数，an=a1qn-1，如果p也是实数，则Sn=a1(qn-1-1)/(q-1)。

四．性质：
（1）等差等比数列{an}的各项之差都是一个相同的实数d，即有an+1 – an = d。

（2）等差等比数列{an}的各项之比都是一个相同的实数q，即有an/an-1=q。

（3）等差等比数列{an}的各项之和 (Sn) 可以由下式：Sn = a1(qn-1-1)/(q-1) 求出。

五．特殊情况：
（1）等差数列：若系数q=1，则该等差数列是以实数d为公差的等差数列，公式为：an = a1 + (n-1)d。

（2）等比数列：若系数d=0，则该等比数列是以实数q为公比的等比数列，公式为：an = a1qn-1。

以上就是等差等比数列的基本性质，它具有比较完整的总结和解法，可以为我们省去不少繁琐的推导。

使用这种方法可以大大提高我们在分析数学中等差等比数列问题时的效率。

等差数列等比数列公式汇总等差数列和等比数列都是在数学学习中不可或缺的知识，关于这两者出现的历史和定义，这里就不再赘述了。

本文主要探讨的是两个数列的公式以及在实际运用中的相关知识，旨在为学习者们提供一篇简单易懂的参考文献。

首先介绍的是等差数列的公式：1.项：a1=a2.数：n3.差：d4.公式：an=a1+(n-1)d5.和公式：Sn=n(a1+an)/2可以用等差数列求和公式求出等差数列的总和Sn。

用它来解决一下问题：某等差数列的首项是9，公差是2，求该数列的前20项之和。

解：根据等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2，Sn=20(9+a20)/2即Sn=20(9+9+(20-1)*2)/2=20(27+38)/2=20(65)/2=1300因此，该等差数列的前20项之和为1300。

接下来要介绍的是等比数列的公式。

1.项：a12.比：q3.公式：an=a1q(n-1)4.和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)可以用等比数列求和公式求出等比数列的总和Sn。

用它来解决一下问题：某等比数列的首项是1，公比是2的9次方，求该数列的前10项之和。

解：根据等比数列求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，Sn=1(1-2^10)/(1-2)=1(1023)/(1)=1023因此，该等比数列的前10项之和为1023。

本文介绍了等差数列和等比数列的基本公式以及如何用这些公式解决实际问题。

通过对比可以发现，在求和时，等比数列比等差数列要简单。

熟练掌握等差数列和等比数列的相关知识，会给后期的学习和工作带来诸多便利。

等差数列公式大全
数列公式又称为等差数列公式，它指的是一组以等差数列形式列出来的数列函数。

1.一般项公式：an=a1+(n-1)d。

2.和公式：Sn=n(a1+an)/2。

3.等比数列的一般项公式：an=a1*q^(n-1)。

4.等比数列的和公式：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

5.等比级数的和公式：S=a1/(1-q)。

6.飞利浦及公式：Sn=a1+(n-1)*d+(n-1)*(n-2)*c/2。

7.等差数列的最后一项公式：an=(a1+an-1)/2+d。

8.三项和公式：Sn=a1+an+an-1。

9.等差数列的公差公式：d=[an-a1]/n-1。

10.二项和公式：Sn=a1+an。

11.等差数列的方程：x+a=n(x+d)。

12.栢西秋-埃泽勒等比数列的和公式： Sn=a1*[1-qn+n(1-q)]/ (1-q)^2。

13.等差数列的前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2。

14.亚里士多德等比数列的和公式：Sn=a1(qn-1)/(q-1)。

15.等差数列的最大项公式：an=a1+(n-1)*d。

等差等比数列通项及前N项和公式数列是数学中的一个重要概念，它是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。

在数列中，等差数列和等比数列是最基本的两种形式。

而通项公式和前N项和公式则是用来表示等差数列和等比数列的重要公式。

本文将详细介绍等差数列和等比数列的概念，并给出它们的通项公式和前N 项和公式。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数d，这个常数称为公差。

等差数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d2.前N项和公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，前N项的和为Sn，则等差数列的前N项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2在等差数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。

根据这个公式，我们可以很方便地计算等差数列的前N项和。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数q，这个常数称为公比。

等比数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)2.前N项和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，前N项的和为Sn，则等比数列的前N项和公式为：Sn=(a1*(q^N-1))/(q-1)（当q≠1时）在等比数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。

需要注意的是，当公比q等于1时，等比数列通项公式中含有0的指数项，这时候通项公式的形式为an = a1，等比数列变成了一个常数数列。

三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在数学中有着广泛的应用。

在实际生活中，很多事物的变化规律都可以用等差数列或等比数列来描述。

1.等差数列应用举例：（1）一些数学问题中常常出现等差数列的求和问题，比如计算一些等差数列的前N项和，这在数学竞赛中是经常出现的题型。

数列公式总结数列是离散数学中的一个重要概念，在数学的许多分支中都有应用，如代数、几何、概率等。

数列公式是描述数列的规律的一种方式，它可以帮助我们更好地理解和分析数列的性质。

数列公式总结主要包括等差数列公式、等比数列公式和斐波那契数列公式。

1. 等差数列公式：等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

常用的等差数列公式有：a. 通项公式：第n项的公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。

b. 前n项和公式：前n项和的公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn为前n项的和。

2. 等比数列公式：等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列。

常用的等比数列公式有：a. 通项公式：第n项的公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。

b. 前n项和公式：前n项和的公式为Sn = (a1 * (r^n - 1))/(r -1)，其中Sn为前n项的和。

3. 斐波那契数列公式：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。

斐波那契数列公式如下：a. 通项公式：第n项的公式为Fn = F(n-1) + F(n-2)，其中Fn 为第n项，F(1) = 1，F(2) = 1。

b. 递推公式：通过迭代计算可以求得斐波那契数列的各项。

在使用数列公式时，我们需要注意以下几点：a. 确定数列类型：首先要明确数列是等差数列、等比数列还是斐波那契数列，然后选择相应的公式。

b. 确定已知信息：根据已知条件，确定数列的首项、公差、公比等参数。

c. 应用公式计算：根据所选择的数列公式，将已知参数代入公式中，计算出需要的结果。

总之，数列公式是理解和分析数列的重要工具，掌握常用的数列公式可以帮助我们解决各种数学问题，提高数学思维能力。

等差数列和等比数列公式总结在咱们的数学世界里，有两位“大咖”总是默默无闻却又不可或缺，那就是等差数列和等比数列。

今天就让我们轻松聊聊这两位“数列明星”，说不定还能学到些实用的公式呢！1. 等差数列1.1 什么是等差数列？首先，等差数列就像是一条直线，咱们每走一步，步幅都是一样的。

想象一下，你在马路上散步，走一步是1米，接着再走一步，还是1米，依次类推。

这种情况就是等差数列的典型特征！如果首项是a，公差是d，那么等差数列可以表示为：a, a+d, a+2d, a+3d……如此类推。

1.2 等差数列的求和公式要是你有一大堆等差数列的数字，想知道它们加起来是多少，那就得用到求和公式啦！这个公式可简单了。

假设你有n个数，求和公式是：S_n = n/2 × (a + l)，其中l是最后一项。

你还可以把这个公式变形为：S_n = n/2 × (2a + (n1)d)。

简直就是大显身手的好工具呀！例如，1到10的和，数一数，没错就是55，这背后可是有等差数列的功劳呢。

2. 等比数列2.1 什么是等比数列？说到等比数列，它就像是一个蓬勃发展的植物，每一步都在乘以一个固定的数。

比如，你的第一年收入是1000元，第二年你要是涨了个30%，那第二年的收入就是1000× 1.3 = 1300元，接下来再以此类推。

简单来说，如果首项是a，公比是r，那么等比数列就可以表示为：a, ar, ar², ar³……就这样一层层往上叠加。

2.2 等比数列的求和公式等比数列的求和有点儿小复杂，但只要掌握了也没啥好怕的。

求和公式是：S_n =a × (1 r^n) / (1 r)，这里n是项数。

假设你要算从1开始的等比数列，公比是2，想知道前5项的和，那你就可以直接代进去，最后得出结果，噼里啪啦就搞定了，太爽了！3. 生活中的应用3.1 等差数列的应用等差数列不仅仅存在于书本中，它们其实在生活中随处可见。

等比和等差数列公式等比数列和等差数列是数学中常见的数列形式。

它们具有一定的规律性，可以通过公式来求解。

我们来介绍等差数列。

等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

常用的等差数列公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

举个例子，我们来求解一个等差数列的和。

假设一个等差数列的首项为2，公差为3，我们要求前10项的和。

根据等差数列公式，我们可以得到第n项的表达式为an = 2 + (n-1)3。

将n分别代入1到10，得到的数列为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29。

将这些数相加即可得到前10项的和。

接下来，我们来介绍等比数列。

等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。

常用的等比数列公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

举个例子，我们来求解一个等比数列的和。

假设一个等比数列的首项为3，公比为2，我们要求前5项的和。

根据等比数列公式，我们可以得到第n项的表达式为an = 3 * 2^(n-1)。

将n分别代入1到5，得到的数列为3，6，12，24，48。

将这些数相加即可得到前5项的和。

等差数列和等比数列在数学中有着广泛的应用。

在实际问题中，我们经常遇到一些具有规律性的数值序列，通过求解等差数列和等比数列可以帮助我们更好地理解和分析问题。

除了求解数列的和，等差数列和等比数列还可以用于求解其他相关问题。

例如，我们可以通过等差数列的公式来确定数列中的任意一项，或者通过等比数列的公式来确定数列中的公比。

总结起来，等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式。

它们通过公式来描述数列中的规律性，可以用于求解数列的和以及其他相关问题。

熟练掌握等差数列和等比数列的公式和性质，对于解决实际问题和提高数学水平都具有重要的意义。

等差等比数列公式大全等差数列公式1.n个项的等差数列的前n项和公式如下：Sn=(n/2)*(a+l)其中，Sn表示前n项的和，a为首项，l为末项，n为项数。

2.等差数列通项公式如下：an = a + (n-1)d其中，an表示第n项，a为首项，d为公差，n为项数。

3.等差数列求和公式如下：Sn=(n/2)*(2a+(n-1)d)其中，Sn表示前n项的和，a为首项，d为公差，n为项数。

4.等差中项公式如下：a+c=2b其中，a为首项，c为末项，b为中项。

等比数列公式1.等比数列通项公式如下：an = a * r^(n-1)其中，an表示第n项，a为首项，r为公比，n为项数。

2.等比数列求和公式（当公比r不等于1时）如下：Sn=(a*(r^n-1))/(r-1)其中，Sn表示前n项的和，a为首项，r为公比，n为项数。

3.等比数列求和公式（当公比r等于1时）如下：Sn=a*n其中，Sn表示前n项的和，a为首项，n为项数。

4.无穷等比数列的和公式如下：S=a/(1-r)其中，S表示无穷等比数列的和，a为首项，r为公比。

综合应用1.如果已知等差数列的首项a、末项l和项数n，可以通过末项的求和公式反推得到公差d：d=(l-a)/(n-1)2.如果已知等比数列的首项a、末项l和项数n，可以通过末项的求和公式反推得到公比r：r=(l/a)^(1/(n-1))3.如果已知等差数列的和Sn、首项a和项数n，可以通过和的求和公式反推得到末项l：l=a+(n-1)*d4.如果已知等比数列的和Sn、首项a和项数n，可以通过和的求和公式反推得到末项l：l=a*r^(n-1)5.如果已知等差数列的和Sn、首项a和末项l，可以通过和的求和公式反推得到项数n：n=(2Sn-(l-a))/d6.如果已知等比数列的和Sn、首项a和末项l，可以通过和的求和公式反推得到项数n：n = log(l / a) / log(r)以上是常见的等差数列和等比数列的公式，可用于求解相关问题和进行数列的计算。

等比数列等差数列公式等比数列和等差数列是数学中常见的数列形式。

它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。

本文将分别介绍等比数列和等差数列的公式及其应用。

一、等差数列公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。

设等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项。

等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(a + an)其中，Sn表示等差数列的前n项和。

等差数列的公式可以应用于很多实际问题中。

例如，一个人每天存储一定金额的钱，如果知道他存储的第一天的金额和每天存储的增加量，就可以利用等差数列的公式来计算出存储n天后的总金额。

二、等比数列公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = ar^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项。

等比数列的求和公式为：Sn = a(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示等比数列的前n项和。

等比数列的公式也有很多实际应用。

例如，一个细菌每分钟分裂一次，如果知道初始细菌数量和分裂倍数，就可以利用等比数列的公式来计算出n分钟后的细菌数量。

总结：等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，它们都有相应的通项公式和求和公式。

这些公式在实际生活中有着广泛的应用，可以帮助我们解决很多问题。

在应用等差数列和等比数列的公式时，我们需要根据具体情况确定数列的首项、公差或公比，并利用公式计算出数列的任意项或前n项和。

熟练掌握这些公式，可以帮助我们更好地理解和应用数列的相关知识。

一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n qa q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G ,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2nd S S =-奇偶 （二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q aqa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知c b a 1,1,1成等差数列，求证：（1）c ba b a c a c b +++,,成等差数列； （2）2,2,2bc b b a ---成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b bc a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac bac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=+++=++++=⇒=+⇒=+（Ⅱ）设数列),1(2,1,}{2-==n n n n a n S a S n a 且满足项和为的前 （1）求证：}{n a 是等差数列； （2）若数列:}{满足n b62)12(531321+=-+++++n n n a b n b b b 求证：{n b }是等比数列.[解析]（1）⎩⎨⎧-+=-=++)1)(1(2)1(211n n n n a n S a n S②－①得,1)1(1)1(211+=-⇒--+=++n n n n n na a n na a n a:,32,32,1,11321用数学归纳法证明猜想得令得令-===∴=-==n a a n a a n n1）当;,3221,3121,121结论正确时-⨯==-⨯=-==a a n 2）,32,)2(-=≥=k a k k n k 即时结论正确假设)1)(12(1321)32(1)1(,121--=+-=+-=+=-+=∴+k k k k k k ka a k k n k k 时当 .,3)1(212,21结论正确-+=-=∴≥+k k a k k 由1）、2）知，,32,-=∈*n a N n n 时当① ②.2}{,2,2,,26)1(4),2(2,2)12()52(2)32(2)12(2,6)32(262)2(;2}{,2)32()12(1111111的等比数列是公比为即时当也适合而时当设的等差数列是公差为即n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b N n b n b n n n T T b n n n a T a n n a a =∴=∈∴=+-⨯=≥=∴⨯-=---=-=-≥∴+-=+==---=-∴+*+-+++[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.[例2]解答下述问题：（Ⅰ）等差数列的前n 项和为),(,,Q P QPS P Q S S Q P n ≠==若 求).,(表示用Q P S Q P +[解析]选择公式""2bn an S n +=做比较好，但也可以考虑用性质完成.[解法一]设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∴+=bQ aQ QP bP aP PQbn an S n 222,①－②得：,],)()[(22Q P b Q P a Q P PQ P Q ≠++-=-.)(])()[(,)(,2PQQ P b Q P a Q P S PQQP b Q P a Q P QP +-=+++=∴+-=++∴≠+[解法二]不妨设P Q Q Q P a a a S S QPP Q Q P +++=-=-∴>++ 21, .)(,2))((2))((211PQQ P S S QP Q P a a Q P Q P Q P a a Q P Q P Q P Q P P Q +-=∴+-=++⋅+-=+-=++++（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2128，求项数n.①②[解析]设公比为2421281024,142531==-n n a a a a a a a q)1(24211=⋅⇒-n qa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321==∴==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n qa a a a a nn n n 得代入得将而（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列求数列.}{项和的前n k n[解析],,,,171251751a a a a a a ⋅=∴成等比数列.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121--=---⨯=-⋅=-+=-+=⋅=⋅=∴=+==∴=∴≠=-⇒+⋅=+⇒---n n S n k k d k d d k a a d a a a da a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.①②①，②[解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列复习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为（ ） （A ）21（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列（C ）z y x 1,1,1成等差数列 （D ）zy x 1,1,1成等比数列7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为（ ）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为（ ）（A ）97 （B ）78 （C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（ ）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是( ) A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n ab aD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q = 14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n n a S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}n b a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。

等差数列和等比数列的公式总结1. 什么是等差数列？等差数列，顾名思义，就是每个数之间的差都是一样的。

想象一下，你在逛超市，发现有一款零食，价格每次涨一块钱。

第一天10块，第二天11块，第三天12块……你能想到这个规律吗？每天都在加一块，这就是等差数列的魅力！简单来说，如果我们把这个序列写出来，就可以看到：10, 11, 12, 13，依此类推。

这里面，1110=1，1211=1，这个“1”就是我们说的公差。

1.1 等差数列的通项公式好啦，讲到这里，肯定有人好奇，等差数列的通项公式是啥？其实，它特别简单。

我们用字母来表示，假设第一项是 ( a_1 )，公差是 ( d )，那么第 ( n ) 项可以用这个公式表示：。

a_n = a_1 + (n1) times d 。

举个例子，如果第一项是2，公差是3，那么想要知道第5项是多少呢？只要把公式代进去：。

a_5 = 2 + (51) times 3 = 2 + 12 = 14 。

哎呀，14块钱的零食又来了，想想都馋！1.2 等差数列的求和公式说到求和，等差数列也有它的独门秘籍。

假如你想要把前 ( n ) 项的和加起来，别着急，有个公式可以帮你轻松搞定：。

S_n = frac{n{2 times (a_1 + a_n) 。

或者，你也可以用这个公式：S_n = frac{n{2 times (2a_1 + (n1)d) 。

别看公式长得有点吓人，其实运用起来还真不难！想象一下，你在计算一堆零食的总价，第一天买了10块，第二天11块，第三天12块，……，总共买了5天的，怎么算呢？我们先算出第5项是14，然后带入公式：。

S_5 = frac{5{2 times (10 + 14) = frac{5{2 times 24 = 60 。

哎哟，60块钱的零食，真是爽到飞起！2. 什么是等比数列？再来聊聊等比数列。

这种数列可有意思了！它的特点是每个数之间的比是固定的。

想象你正在进行一个小投资，第一年投100块，第二年收益翻倍，结果是200块，第三年又翻倍成400块……这就是等比数列！用数字来表示就是：100, 200, 400，瞧，翻得飞起。