绝对值化简十种方法

数轴绝对值化简的解题技巧
数轴绝对值化简是一种常见的解题技巧，用于简化含有绝对值符号的数学表达式。

下面是一些常用的数轴绝对值化简的解题技巧：
1. 根据绝对值的定义：
当x≥0时，|x| = x；
当x<0时，|x| = -x。

2. 将绝对值符号内的表达式分成两种情况进行讨论：
情况一：当表达式大于或等于0时，直接去掉绝对值符号。

情况二：当表达式小于0时，将绝对值符号内的表达式取相反数，并去掉绝对值符号。

3. 使用数轴来辅助理解和解题：
a) 在数轴上表示出需要化简的数值或变量的位置。

b) 根据数轴上的标尺，判断该数值或变量是大于等于0还是小于0。

c) 根据判断结果，对应使用绝对值的定义进行化简。

4. 注意符号的变化：
当将绝对值符号内的表达式取相反数时，注意符号的变化。

5. 常用的数轴绝对值化简的例子：
a) |x + 3|，根据数轴和绝对值的定义，可以化简为：
当x + 3 ≥ 0时，|x + 3| = x + 3；
当x + 3 < 0时，|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3。

b) |2x - 5|，根据数轴和绝对值的定义，可以化简为：
当2x - 5 ≥ 0时，|2x - 5| = 2x - 5；
当2x - 5 < 0时，|2x - 5| = -(2x - 5) = -2x + 5。

这些是常用的数轴绝对值化简的解题技巧。

绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+，对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立． 绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．一、绝对值的概念【例1】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；0-（>，=，<）；绝对值的性质及化简【例2】 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ；【例3】 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ．【例4】 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则x = ．二、绝对值的性质【例5】 填空：若a b a b +=+，则a ，b 满足的关系 ．【例6】 填空：若a b a b -=-，则a ，b 满足的关系 ．【例7】 填空：已知a 、b 是有理数，1a ≤，2b ≤，且3a b -=，则a b += ．【例8】 若ab ab <，则下列结论正确的是 ( )A. 00a b <<，B. 00a b ><，C. 00a b <>，D. 0ab <【例9】 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b >C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-【例10】 如果2a ＞2b ，则 ( )A ．a b >B ．a ＞bC ．a b <D a ＜b【例11】 （4级）若a b >且a b <，则下列说法正确的是（ ）A ．a 一定是正数B ．a 一定是负数C ．b 一定是正数D ．b 一定是负数【例12】 下列式子中正确的是 ( )A ．a a >-B ．a a <-C ．a a ≤-D ．a a ≥-【例13】 对于1m -，下列结论正确的是 ( )A ．1||m m -≥B ．1||m m -≤C ．1||1m m --≥D ．1||1m m --≤【例14】 若220x x -+-=，求x 的取值范围．【例16】 下列说法中正确的个数是( )①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大； ②没有最大的非负数，也没有最小的非负数； ③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等； ④只有负数的绝对值等于它的相反数． A ．0 B ．1 C ．2D ．3【例17】 绝对值等于5的整数有 个，绝对值小于5的整数有 个【例18】 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？【例19】 有理数a 与b 满足a b >，则下面哪个答案正确( )A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．无法确定【例20】 已知：52a b ==，，且a b <；则____________a b ==，.【例21】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有【例22】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-=【例23】 如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”）【例24】 如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．【例25】 已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．【例26】 已知a 、b 、c 、d 是有理数，9a b -≤，16c d -≤， 且25a b c d --+=，则b a d c ---= ．【例27】 如果有理数a ，b ，c 满足26a b -≤，7b d -≤，13a b d --=，求2a b b d -+-的值．【例28】 有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且（1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大； （2）d a a c d c -+-=-；（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是【例29】 若a b c d ，，，为互不相等的有理数，且c 最小，a 最大，且a c b c b d a d ---+-=-．请按a b c d，，，从小到大的顺序排列．【例30】 如果1,11,a a a x a =+-=-那么____x a x a +--=。

绝对值的化简方法口诀什么是绝对值绝对值化简口诀：绝对值化简口诀是同号得正，异号得负。

绝对值化简步骤：根据数轴从左到右数不断增大的原则，比较绝对值里面字母的大小关系。

根据绝对值里面字母的大小关系计算“和”或“差”为正还是为负。

任何有理数的绝对值都是非负数，也就是说任何有理数的绝对值都大于等于0。

绝对值的化简方法口诀绝对值化简口诀：绝对值化简口诀是同号得正，异号得负。

1、绝对值化简步骤：根据数轴从左到右数不断增大的原则，比较绝对值里面字母的大小关系。

根据绝对值里面字母的大小关系计算“和”或“差”为正还是为负。

2、根据一个正数的绝对值等于它本身，把绝对值里面的代数式直接去掉绝对值符号移出来，根据一个负数的绝对值等于它的相反数，把绝对值里面的代数式去掉绝对值符号再变成它的相反数移出来。

3、绝对值符号全都去掉后，再进行加减运算，得到最简结果。

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。

4、任何有理数的绝对值都是非负数，也就是说任何有理数的绝对值都大于等于0。

当a≥0时，│a│＝a；当a<0时，│a│＝-a；存在│a-b│＝│b-a│。

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

一对相反数的绝对值相等。

什么是绝对值在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

绝对值用“||”来表示。

在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。

在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。

非负数（正数和0,）非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。

互为相反数的两个数的绝对值相等。

a的绝对值用“|a|”表示．读作“a的绝对值”。

实数a的绝对值永远是非负数，即|a|≥0。

互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。

若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值±a，如|x|=3，,则x=±3。

1 绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x xx x ，有|x |<c (0)(0)cx c c c ；|x |>c (0)0(0)(0)xc x c c x cxR c 或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b |>c (c >0)可为ax b >c 或ax b <－c ；|ax b |<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论―a ≤｜x |≤b a ≤x ≤b或－b ≤x ≤－a ‖来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有―单项‖绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

绝对值的化简提高版（优）1：条件型绝对值化简2：按绝对值零点分段化简 3：分式绝对值按符号化简1. 条件型绝对值化简【例1】 已知15x <≤，化简15x x -+-【巩固】 若0a <，化简a a --.【巩固】 已知3x <-，化简321x +-+.【例2】 如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--.【例3】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值.【巩固】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【例4】 已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--=【巩固】abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e-+-+-+-的最大值是 ．【巩固】 a 、b 、c 分别是一个三位数的百、十、个位上的数字，且a b c ＃，则a b b c c a -+-+-可能取得的最大值是多少？【例5】 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的最小值为【例6】 已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．【例7】 若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ．【巩固】 满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（ ）A ． 0ab <B ． 0ab >C ． 0a b +>D ． 0a b +<【例8】 若a b c d ，，，为互不相等的有理数，且1a c b c d b -=-=-=，求a d -．【巩固】 已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---．a-ba+b【巩固】 数a b ，在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--【巩固】 实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-【例9】 若a b <-且0ab>，化简a b a b ab -+++.【巩固】 若a b <，求15b a a b -+---的值.【例10】 若0a <，0ab <，那么15b a a b -+---等于 ．【巩固】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．【巩固】 若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ．【例11】 设2020A x b x x b =-+----，其中020b x <≤≤，试证明A 必有最小值【巩固】 若0x <，化简23x xx x---．【例12】 已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--．2.绝对值零点分段化简【例13】化简：3x-【巩固】12x x+++【巩固】化简523x x++-．3. 分式型绝对值化简按符号化简【例14】若a b c，，均为非零的有理数，求a b ca b c++的值【巩固】若0abc<，求a b ca b c+-的值．【例15】 已知a b c abc x a b c abc=+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值【例16】 已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值【例17】 若0a >，则_____aa=；若0a <，则_____a a =.【巩固】 当3m ≠-时，化简33m m ++【例18】 若01a <<，21b -<<-，则1212a b a ba b a b-++-+-++的值是（ ） A ．0 B ．1- C ．3- D ．4-【巩固】 下列可能正确的是（ ）A ．1a ba b+= B ．2a b c a b c ++=C ．3c da b a b c d+++= D ．4a b c d a b c d a b c d abcd +++++++=【例19】 如果20a b +=，则12a ab b-+-等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【例20】 如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．3【巩固】 如果0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，求200220032004()()()a b ca b c-+的值．【例21】 若a ，b ，c 均不为零，求a b ca b c ++.【巩固】 若a ，b ，c 均不为零，且0a b c ++=，求a b c abc++.【例22】 a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c a a bb cc a++的值等于多少？【例23】 三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++， 求321ax bx cx +++的值.【巩固】 设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||a b c x a b c =++，111111()()()y a b c b c a c a b=+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______．【例24】 有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式20042007x x -+的值为多少？【巩固】 有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式19992000x x -+的值为多少？【巩固】 若0a b c ++=，0abc >，则b c c a a ba b c+++++= ．【巩固】 已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()()()()()()()a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．【巩固】 a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab aca b b c c a ab ac-----++----的值．【例25】 若有理数m 、n 、p 满足1m n p mnp++=，求23mnpmnp的值．【例26】 有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd=-，求a b c d abcd+++的值．【例27】 如果12x <<，求代数式2121x x x x xx---+--的值．1. 当1x =-时，则22x x -++= ．2.已知有理数a b c ，，满足1a b c a b c ++=，则abcabc=（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不能确定3. 已知0ab ≠，求a bab+的值 4. 若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++------- 的值．5. 若0a <，试化简233a a a a--．6. 化简：212x x ---练习27.已知a是非零有理数，求2323a a aa a a++的值.8.已知0abc≠，求ab ac bcab ac bc++的值．9.已知0ab≠，求a ba b--的值．。

绝对值化简的解题技巧
绝对值化简技巧：a≥0时，│a│=a；a≤0时，│a│=-a。

绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负号。

化简绝对值的技巧
1.判断绝对值符号里式子的正负
2.如果是正数则将绝对值符号改为括号，绝对值符号前的正负号不变
如果是负数则将绝对值符号改为括号，绝对值符号前的正负号改变
3.去括号
4.合并同类项
绝对值的化简方法
绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。

绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：
│a│=a（a为正值，即a≥0时）
│a│=-a（a为负值，即a≤0时）
简化方法没有什么特别的地方。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

绝对值的化简方法口诀绝对值是一个数距离零点的距离，它可以用来表示一个数的大小，无论这个数是正数、负数还是零。

在数学中，我们经常会遇到需要对绝对值进行化简的情况，下面我将为大家介绍一些化简绝对值的方法，并总结成口诀，希望能帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、绝对值的定义。

首先，我们需要明确绝对值的定义：对于任意实数a，其绝对值记作|a|，它有以下几条性质：1. 当a≥0时，|a|=a；2. 当a<0时，|a|=-a。

基于这个定义，我们可以得出绝对值的化简方法。

二、绝对值的化简方法口诀。

1. 当绝对值内部是一个非负数时，去掉绝对值符号；2. 当绝对值内部是一个负数时，去掉负号，取相反数。

口诀解释：首先，我们来看第一条。

如果绝对值内部是一个非负数，根据绝对值的定义，绝对值就等于这个非负数本身。

因此，我们可以直接去掉绝对值符号，得到化简后的结果。

举例说明：|5|=5，|7|=7，|0|=0。

接下来，我们来看第二条。

如果绝对值内部是一个负数，根据绝对值的定义，绝对值等于这个负数的相反数。

所以，我们去掉负号，然后取这个数的相反数，得到化简后的结果。

举例说明：|-3|=3，|-6|=6，|-8|=8。

三、绝对值的化简实例。

现在，让我们通过一些具体的实例来练习绝对值的化简。

例1，化简|3|。

根据口诀，3是一个非负数，所以|3|=3。

例2，化简|-5|。

根据口诀，-5是一个负数，所以|-5|=5。

例3，化简|2x-1|。

根据口诀，2x-1可能是非负数，也可能是负数，所以我们需要分情况讨论：当2x-1≥0时，|2x-1|=2x-1；当2x-1<0时，|2x-1|=-(2x-1)。

四、绝对值的化简练习。

现在，让我们来做一些练习，加深对绝对值的化简方法的理解。

练习1，化简|4|。

练习2，化简|-7|。

练习3，化简|3x+2|。

练习4，化简|-2y+5|。

练习5，化简|2z-3|。

五、总结。

通过本文的介绍和练习，相信大家对绝对值的化简方法有了更深入的理解。

绝对值的化简方法口诀
绝对值的化简方法口诀:同号得正，异号得负。

绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：│a│=a(a为正值即a〉=0时）；│a│=-a（a为负值即a 《=0时）。

绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“||”来表示。

|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。

绝对值化简步骤：
（1）先根据数轴“从左到右数增大”的原则比较绝对值里面字母的大小关系；
（2）再根据绝对值里面字母的大小关系计算“和”或“差”为正还是为负；
（3）然后根据“一个整数的绝对值等于它本身”把绝对值里面的代数式直接去掉绝对值符号移出来，根据“一个负数的绝对值等于它的相反数”把绝对值里面的代数式去掉绝对值符号再变成它的相反数移出来；
（4）最后，绝对值符号全都去掉了之后，再进行加减运算（有的可能需要先去括号再运算），得到最简结果。

绝对值的化简方法口诀绝对值是我们在数学学习中经常遇到的一个概念，它在代数运算中起着非常重要的作用。

在解决数学问题的过程中，我们经常需要对绝对值进行化简，因此掌握绝对值的化简方法是非常重要的。

下面我将为大家总结一些绝对值化简的口诀，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、绝对值的定义。

首先，我们来回顾一下绝对值的定义。

对于任意实数a，它的绝对值记作|a|，它的定义如下：①当a≥0时，|a|=a；②当a<0时，|a|=-a。

二、绝对值的化简口诀。

1. |a|+|b|≥|a+b|。

这个口诀告诉我们，两个绝对值的和，至少不小于这两个数的和的绝对值。

例如，|3|+|(-2)|≥|3+(-2)|，即3+2≥|1|，3+2≥1。

2. |a|+|b|≤|a-b|。

这个口诀告诉我们，两个绝对值的和，至多不大于这两个数的差的绝对值。

例如，|3|+|(-2)|≤|3-(-2)|，即3+2≤|5|，3+2≤5。

3. |a-b|≤|a|+|b|。

这个口诀告诉我们，两个数的差的绝对值，至多不大于这两个数的绝对值的和。

例如，|3-(-2)|≤|3|+|(-2)|，即5≤3+2，5≤5。

4. |a|+|b|+|c|≥|a+b+c|。

这个口诀告诉我们，三个绝对值的和，至少不小于这三个数的和的绝对值。

例如，|3|+|(-2)|+|4|≥|3+(-2)+4|，即3+2+4≥|5|，9≥5。

5. |a|+|b|+|c|≤|a+b|+|b+c|+|c+a|。

这个口诀告诉我们，三个绝对值的和，至多不大于这三个数的绝对值的和。

例如，|3|+|(-2)|+|4|≤|3+(-2)|+|(-2)+4|+|4+3|，即3+2+4≤5+6+7，9≤18。

6. |a||b|≥|ab|。

这个口诀告诉我们，两个绝对值的乘积，至少不小于这两个数的乘积的绝对值。

例如，|3||(-2)|≥|3(-2)|，即32≥|6|，6≥6。

7. |a||b|≤|a||b|。