一元一次不等式与一次函数2

一次函数与一元一次不等式的关系一次函数和一元一次不等式是初中数学中比较基础的知识点，两者之间也有着密切的联系。

本文将从定义、性质、图像等方面探讨一次函数和一元一次不等式之间的关系。

一、一次函数的定义一次函数是指形如 $y=kx+b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 都是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。

其中，$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。

二、一元一次不等式的定义一元一次不等式是指形如 $ax+b>0$ 或 $ax+b<0$ 的不等式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$x$ 是变量。

其中，$a$ 表示不等式左侧的系数，$b$ 表示不等式右侧的常数。

三、一次函数的性质1. 斜率为正，则函数是单调递增的；斜率为负，则函数是单调递减的。

2. 截距表示函数与 $y$ 轴的交点，当 $x=0$ 时，$y=b$。

3. 一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。

四、一元一次不等式的性质1. 当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $x>-b/a$；当 $a<0$ 时，不等式的解集为 $x<-b/a$。

2. 如果不等式中的 $<$ 变成了 $leq$ 或 $geq$，则解集不变。

3. 如果不等式中的 $>$ 和 $<$ 交换，不等式的解集也随之交换。

五、一次函数和一元一次不等式的关系1. 一次函数的图像可以用来表示一元一次不等式的解集。

例如，不等式 $2x+3>0$ 的解集可以表示成一次函数 $y=2x+3$ 在$y>0$ 区域的图像。

2. 一元一次不等式的解集也可以用来表示一次函数的定义域或值域。

例如，不等式 $3x-1<5$ 的解集为 $x<2$，则一次函数$y=3x-1$ 的定义域为 $(-infty, 2)$。

3. 一次函数的斜率和截距也可以用来确定一元一次不等式的形式。

一元一次不等式与一次函数（二）授课人：兴化学校夏虹2012.3.12 一、学生知识状况分析学生在前面一学期已经学习过一次函数，会求一次函数的表达式，会画一次函数的图象。

在前面几节课中，相继学习了一元一次不等式概念，如何解一元一次不等式的方法，并且具备解运用函数图像、数形结合解一元一次不等式的基本技能。

在相关知识的学习过程中，学生已经接触一次函数和一元一次不等式解决了一些较为简单的实际问题，感受到了一次函数和一元一次不等式解决问题的必要性和其在生活中的作用；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作探究学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析本课属于八下第一章第五节《一元一次不等式与一次函数》第二课时内容，从属于“数与代数”这一数学学习领域，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的生活经验基础之上，教师应帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

在对一次函数与一元一次不等式进行整合的教学时，我利用学生已掌握的知识，设计有层次、与现实生活有关联的问题，不断深入，力求从题目所提供的图形及已知条件中提取相关信息，结合函数图象的几何意义运用数形结合法来解答问题。

北师大版的数学教学由一系列相互联系而又层层递进的板块组成，因而具体的课堂教学过程也应满足于整个数学教学的远期目标。

教科书基于学生对一元一次不等式和一次函数认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务，因而本节课的教学目标是：1、了解一元一次不等式与一次函数的关系.2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较大小.3、通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识.4、训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.5、体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.在教学的过程中，采取了“二七一”式的教学模式，所谓“271课堂教学模式”，就是在时间分配及内容安排上做到：20%（约10分钟）展示点评，总结升华；70%（约30分钟）读书自学，自主探究，分组合作，讨论解疑；10% （约5分钟）总结反刍，当堂检测。

一元一次不等式与一次函数讲解一元一次不等式与一次函数是数学中非常重要的概念，它们在我们的生活中都有广泛的应用。

本文将从定义、性质、解法等多个方面介绍一元一次不等式与一次函数，帮助读者更加深入地理解这两个概念。

一、一元一次不等式一元一次不等式，简单来说，就是只有一个未知量的一次不等式。

比如：ax + b > c，其中a、b、c是已知实数，x是未知实数。

一元一次不等式常常用于解决一些实际问题，比如数量关系、利润计算等。

一、一元一次不等式的性质1. 对于一元一次不等式ax + b > c，如果a > 0，则当x > (c-b)/a时，不等式成立；如果a < 0，则当x < (c-b)/a时，不等式成立。

2. 对于一元一次不等式ax + b < c，如果a > 0，则当x < (c-b)/a时，不等式成立；如果a < 0，则当x > (c-b)/a时，不等式成立。

上述性质可以帮助我们更好地解决一元一次不等式的问题。

二、一次函数一次函数，是指一个函数的自变量只有一个，且函数的表达式是一个一次多项式。

一次函数通常表示成f(x) = kx + b的形式，其中k 和b为常数。

一次函数在实际问题中经常被用到，比如直线运动、物品价格变化等，因为它的表达式简单，易于计算，而且有明确的几何意义。

二、一次函数的性质1. 一次函数的图像是一条直线。

2. 当k > 0时，函数图像单调递增；当k < 0时，函数图像单调递减。

3. 如果k = 0，则函数是一个常函数，图像为一条水平直线；如果b = 0，则函数是一个零函数，图像过原点。

4. 一次函数的x轴截距为-b/k，y轴截距为b。

上述性质有助于我们更好地理解一次函数的性质，同时也为我们解决一些实际问题提供了帮助。

三、一元一次不等式的解法对于一元一次不等式ax + b > c，我们可以通过以下几个步骤来解决：1. 将不等式移项得到ax > c-b。

“一元一次不等式与一次函数（2）”教学设计设计者：深圳实验学校初中部詹欣豪老师一、教材分析本节课是北师大版初中数学八年级下册第二章第五节第二课时的内容，承接第一课时，旨在进一步研究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关联性，并综合运用一次函数与一元一次不等式解决实际问题．本节课既是对前面所学知识的丰富与应用，也是为后续学习反比例函数、二次函数与方程、不等式的知识奠定了重要基础．二、学情分析1．认知基础：学生已经学习了一次函数、一元一次方程、一元一次不等式等内容，具备进一步探索三者联系和解决实际问题的学习经验和心理需求；2．认知障碍：八年级学生处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对于从“数”与“形”两方面理解这三者关系存在一些困难．三、教学目标1．通过具体实例，进一步体会一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的内在联系及解决实际问题中的作用；2．经历“代数法”和“图象法”解决实际问题的过程，感受数形结合、数学建模、分类讨论等思想，培养问题解决能力，积累活动经验；3．通过较优方案选择，体会数学源于生活又服务于生活，感受数学知识和数学方法的辩证统一，发展数学核心素养．四、教学重难点1．教学重点：探究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，会用“代数法”和“图象法”解决实际问题；2．教学难点：分段函数图象的绘制及“图象法”思路的形成．五、教学过程（一）回顾思考，藤蔓之美回顾：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式有什么联系呢？教师引导学生共同得出：当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量的取值范围时，可以用一元一次不等式确定另一个变量的取值范围．设计意图：复习第一课时的内容，从“数”的角度建立了一次函数与一元一次不等式、一元一次方程的内在联系．教师顺势总结：我们所学习的代数内容沿着从“数→式”的脉络，进而发展出方程与不等式，最后以函数的视角统领全局，如同一条渐次生长的藤蔓．设计意图：藤蔓之美，让三个“一次”串珠成线，使得学生不仅拥有了整体观，而且对不同知识的整体一致与和谐美妙有了更深的理解．（二）函数统领，高屋建瓴例1 已知一次函数y =kx +b 的图象经过（0, 4），（3, 0）两点，求不等式kx +b >0的解集．问题1：可以通过待定系数法求出k ，b ，再解一元一次不等式吗？问题2：可以从函数图象来解决问题吗？教师引导：从一次函数的图象上看，y >0表示图象在x 轴上方的部分，这部分上的点的横坐标的范围是x <3，即不等式kx +b >0的解集是x <3．并总结：一次函数y =kx +b kx +b =c （一元一次方程） kx +b <c 或kx +b >c （一元一次不等式）对于直线y =kx +b ：① 图象在x 轴的上方部分，表示y >0，即kx +b >0；② 图象与x 轴相交于（x , 0），表示y =0，即kx +b =0；③ 图象在x 轴的下方部分，表示y <0，即kx +b <0．设计意图：以一次函数的图象特点及不等式解集的意义为生长点，以数形结合思想为生长路径，构建了一次函数与一元一次不等式的联系．变式1 如图，直线y =kx +b 的图象经过A （3, 1），B （6, 0）两点，求：（1）直线OA 的解析式；（2）不等式13kx b x +<的解集．有了例1的铺垫，容易联想到从函数图象的视角来看待不等式．这是一个“双函数”的问题，需确定当x 取何值时，直线13y x =的图象在直线y =kx +b 的图象上方．当x >3时，13y x =对应的函数值要比y =kx +b 对应的函数值大．变式2 如图，已知直线1123y x =-+，213y x =，若无论x 取何值，y 都取y 1，y 2中的较小值，求y 的最大值．实际上，这是一个“三函数”的问题，y 是由y 1，y 2产生的新函数，理解题意、数形结合，描绘出y 的函数图象，确定何处取得最值为关键．由图得：y max =1．设计意图：在例1学习的基础上，通过变式及问题串，实现“垂直数学化”，帮助学生进一步强化理解“利用函数图象解不等式”的威力．（三）生活情境，学以致用例 2 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠．该单位选择哪家旅行社支付的费用较少？请大家先猜想一下，你选哪家旅行社？再通过计算验证．教师引导学生分析：首先要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能比较．而且比较情况有三种：等于、大于、小于．解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时, 所需的费用为y1元；选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则：y1=200×0.75x=150x，y2=200×0.8（x–1）=160x–160由y1=y2，得150x=160x–160，解得：x=16；由y1>y2，得150x>160x–160，解得：x<16；由y1<y2，得150x<160x–160，解得：x>16．因为参加旅游的人数为10至25人，所以：当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少．设计意图：让学生经历运用一元一次不等式解决一次函数问题的过程，师生共同梳理解决决策型应用题的步骤及格式规范，起到示范作用．（四）推陈出新，深化理解例 3 小明买了部手机准备入网，咨询了电信公司后，得到了以下两种计费套餐，他该如何选择？解法1：设每月通话时间为x分钟，A套餐每月话费为y A元，B套餐每月话费为y B元，则：y A=0.4x+50，y B=0.6x由y A=y B，得0.4x+50=0.6x，解得：x=250；由y A>y B，得0.4x+50>0.6x，解得：x<250；由y A<y B，得0.4x+50<0.6x，解得：x>250．答：当x=250时，A套餐与B套餐相同；当0≤x<250时，选择B套餐较为省钱；当x>250时，选择A套餐较为省钱．教师整理：在解决这一问题时我们采用了分类讨论的思想．这种利用方程和不等式的思想来解决较优方案问题的方法我们称之为代数法．解法2：由解法1得：y A =0.4x +50，y B =0.6x ，在同一平面直角坐标系中画出函数图象，得：当x =250时，A 套餐与B 套餐相同；当0≤x <250时，选择B 套餐较为省钱；当x >250时，选择A 套餐较为省钱．教师整理：这种利用函数图象来解决较优方案问题的方法我们称之为图象法． 设计意图：对同一问题多种解法的思考，意在激发学生的学习兴趣，开拓学生思路，培养学生发散性思维能力以及勇于创新的精神．变式 小颖也买了部手机准备入网，咨询了电信公司后，得到了两种新的计费套餐，她该如何选择？C 套餐D 套餐 月租费30元 50元 每月免费通话时间50分钟 150分钟 超出后每分钟收费 0.4元 0.4元头脑风暴：结合该背景，思考如下问题：1．服务质量相同，选择套餐的依据是什么？2．每月付费金额与什么有关？3．涉及哪些量？哪些已知？哪些未知？4．怎样用式子来表示每月话费与通话时间的关系？5．怎样求这个数学问题的解？6．解法是否具有多样性？7．用数学知识解决实际问题一般要经历哪几个环节？设计意图：套餐的变更既是知识的巩固又是知识的拓展，它激发了学生思考的欲望，头脑风暴则引导着学生对新问题的自主思考．解法1：设每月通话时间为x 分钟，C 套餐每月话费为y C 元，D 套餐每月话费为y D 元，则：30(050)0.410(50)C x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩， 50(0150)0.410(150)D x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩这两个函数均为分段函数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象：结合图象得：当x =100时，C 套餐与D 套餐相同；当0≤x <100时，选择C 套餐较为省钱；当x >100时，选择D 套餐较为省钱．解法2：由解法1得：30(050)0.410(50)C x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩， 50(0150)0.410(150)D x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩ ① 当0≤x ≤50时，y C <y D ；② 当50<x ≤150时， 由0.4x +10<50，解得：x <100；由0.4x +10=50，解得：x =100；由0.4x +10>50，解得：x >100；③ 当x >150时，由0.4x －10<0.4x +10，得：y D <y C ．综上所述：当x =100时，C 套餐与D 套餐相同；当0≤x <100时，选择C 套餐较为省钱；当x >100时，选择D 套餐较为省钱．教师总结：代数法的优点是准确严密，缺点是分类要求高且运算量大；图象法的优点是直观形象，缺点是画图要求高．就本题而言，图象法更为简便，选择较优方法能让我们节省时间，少犯错．设计意图：本题的两种解法，既是对前面知识的巩固和拓展，又可以检查学生知识的掌握情况，而对解法优劣的判断又可以帮助学生选择较优解法．教师带领学生共同整理问题解决的一般环节：实际问题 理想化问题 寻找变量关系 建立数学模型 纯数学问题 求解数学模型 解释数学结果 反思发散、评价、引申设计意图：本例意在培养学生的“识图”和“释图”能力，将提取的有效信息进行分析、整合、数学化的能力，以及数学建模、数学抽象、数学运算等核心素养．（五）小结反思，布置作业小结清单：1．你在学习过程中获得了哪些知识？感受到了哪些思想方法？2．你在学习过程中碰到哪些困难？有哪些收获？教师与学生共同整理，这节课我们解决了一个问题：怎样选择较优方案；得出了两种方法：代数法和图象法；渗透了多种思想：数形结合思想、函数思想、转化化归思想、分类讨论思想、数学建模思想等．布置作业：1．（基础练习）课本53页习题2.7第1-3题；2．（拓展练习）如果将例3中的A，B，C，D四个套餐共同纳入考虑，又应该如何选择？3．（课题研究）任选一个生活中的选择性问题，以研究报告的形式上交研究成果．要求：①问题是有意义的且自己想解决的；②提供尽可能多的数学方法；③有研究后的思考与体会．设计意图：学生总结收获，有利于学生理清思路、整理经验；教师在学生总结的基础上进一步小结内容，可提纲挈领、升华主题．由浅入深的分层作业，能够强化本节课所学知识，也能尊重个体差异，满足不同程度学生的需求．六、教学反思1．本节课的要让学生体会：刻画运到变化的规律需要用函数模型；刻画变化过程中同类量之间的大小，需要用不等式模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型．解决实际问题时，要合理选择这三种数学模型；2．教学过程中，要让学生在“活动”中学习，在“主动”中体验，在“合作”中发展，在“探究”中创新．在自主学习中探究，在质疑问难中探究，在观察比较中探究，在矛盾冲突中探究，在问题解决中探究，在实践活动中探究；3．教师要注重从学生的生活实际出发，通过设计问题串引导学生思考、促进学生理解，宏观引导，适时点拨，规范演示，及时提炼．。

一元一次不等式与一次函数整理一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。

本文将从概念、性质、解法和应用四个方面来介绍一元一次不等式和一次函数。

一、概念一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，例如：ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数，x、y为自变量和因变量。

二、性质1. 一元一次不等式的解集是一个区间，可以用数轴表示出来。

2. 一次函数的图像是一条直线，斜率k表示函数的增长速度，截距b表示函数的起点。

3. 一元一次不等式和一次函数都具有可加性和可减性，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。

三、解法1. 一元一次不等式的解法有两种：图像法和代数法。

图像法是将不等式转化为数轴上的图形，通过观察图形来确定解集。

代数法是通过移项、化简等代数运算来求解。

2. 一次函数的解法是通过求出函数的斜率和截距，然后画出函数的图像，根据图像来确定函数的性质和解析式。

四、应用1. 一元一次不等式和一次函数在经济学中有着广泛的应用，例如：利润、成本、收益等问题都可以用一次函数来描述。

2. 一元一次不等式和一次函数在物理学中也有着重要的应用，例如：速度、加速度、力等问题都可以用一次函数来描述。

3. 一元一次不等式和一次函数在生活中也有着实际的应用，例如：购物打折、优惠券等问题都可以用一元一次不等式来描述，而房价、工资等问题都可以用一次函数来描述。

一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。

掌握一元一次不等式和一次函数的概念、性质、解法和应用，对于提高数学素养和解决实际问题都有着重要的意义。

知识回顾：1、定义：不等式：一般地用不等号连接的式子叫做不等式。

2、不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

3、解不等式：把不等式变为x>。

或x<a的形式。

一、知识要点:1、一次函数的定义:若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b为常数，kHO）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量）。

当b=0时，y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的解析式：y=kx+b（kH0）注:一次函数的解析式的形式是y=d+b,要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式.一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是经过（0,b）和（-纟，0）两点的一条直线，我们称它为直线ky=kx+b,它可以看作由直线尸kx平移|b|个单位长度得到.（当b〉0时，向上平移；当b〈0时，向下平移）（1）解析式：（k、b是常数，kHO）（2）必过点：和（3）走向：k>0,b=0,图象经过第象限；k<0,b二0,图象经过象限O直线经过第象限O直线经过第象限Z?>0\b<0<O C>直线经过第象限P<0<=>直线经过第象限\b>Q[b<0（4）增减性：k>0,y随x的增而；k<0,y随x增大而（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于轴；|k|越小，图象越接近于轴.（6）图像的平移：上加下减；左加右减将函数y=kx+b图像向上平移3个单位变为,然后再向右平移3个单位变为;将函数y=kx+b图像向下平移3个单位变为然后再向左平移3个单位变为2、一次函数y=kx+b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线, 所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点,.即横坐标或纵坐标为0的点.34、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（设、列、解、答）（1）设：根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）列：将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解：解方程得出未知系数的值；（4）答：将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.二、典型例题：1、若点（inji）在函数y=2x+l的图象上，则2m-n的值2、己知正比例函数y=kx伙工0),点⑵-3)在函数上，则y随x的增大而3、如果一次函数空+3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是4、地面气温是20°C,如果每升高100m，气温下降6°C,则气温t(°C)与高度h(m)的函数关系式是o5、己知一次函数尸kx+b的图象如图所示，则k,b的符号是()(A)k>0,b>0(B)k>0,b<0(C)k<0,b>0(D)k<0,b<06、已知一次函数尸kx+b的图象经过点(-1,-5),且与正比例函数尸**的图象相交于点(2,a),(1)求a的值，(2)k,b的值，(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积。