高中数学北师大版必修四第二章：§5 从力做的功到向量的数量积(一)

北师大版高中数学(必修4)25《从力做的功到向量的数量积》教案从力做的功到向量的数量积（第一课时）●教学目标1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.●教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用●教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解●教学方法启发引导式启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。

●教具准备多媒体辅助教学●教学过程教案设计说明（1）教学理念——以教师为主导，学生为主体教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，因此在教学中不断引导学生去思考，学会去学习。

本节课有较多的概念及性质，尽可能给机会让学生参与，因此在教学过程中设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，增强学生的参与意识，教给了学生获取知识的途径，使学生真正成了教学的主体，通过这样，使学生学有所思，思有所获，产生一种成就感，提高学生的学习兴趣。

（2）教学方法——启发引导式本节课的重点是向量的数量积，围绕这个教学重点，在教学过程中始终贯彻“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维为主攻”，设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，逐步领悟数学知识的本质。

（3）教学手段——多媒体辅助教学为了使所创设的问题情景自然有趣，直观，同时为了增大课程容量，更好的突出重点，突破难点，提高课堂效率，因此在教学中利用多媒体演示，既加强教师、学生、媒体三者互动，发挥学生主体作用，提高了学习效率，同时缩短教师板书时间，保证教学任务的完成。

备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下:两个向量a.与b的向量积是一个新的向量c:(1)c的模等于以a.及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积;(2)c垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a.、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a.与b时,a.按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b，如图8.图8向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ,则|a.×b|=|a||b|sinθ.在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则a×b=0.向量的向量积服从以下运算律:(1)a×b=-b×a;(2)a×(b+c)=a×b+a×c;(3)(m a)×b=m(a×b).二、备用习题1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( )①|a·b|=|a||b⇔|a∥b②a与b反向⇔a·b=-|a||b|③a⊥b⇔|a+b|=|a-b| ④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|A..1B.2C.3D.42.有下列四个命题:①在△ABC中,若AB·BC＞0,则△ABC是锐角三角形;②在△ABC中,若AB·＞0,则△ABC为钝角三角形;③△ABC为直角三角形的充要条件是·=0;④△ABC为斜三角形的充要条件是·BC≠0.其中为真命题的是( )A..①B.②C.③D.④3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为( )3 A..43 B.4 C.42 D.8+24.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a·b)c-(c·a.)b=0;②|a|-|b|＜|a.-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④5.在△A.BC 中,设AB =b ,=c ,则22)(|)||(|c b c b ∙-等于( )A..0B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________.7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求:(1)(a -3b )·(2a +b );(2)|3a -4b |. 9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3144337+.9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos 3π=1.∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21.又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12.∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |c osθ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23c osθ,∴c osθ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147. (设计者：陆萍)。

§2.5从力做的功到向量的数量积1编辑人：李水莲 审阅人：刘建华学习目标 ：1.掌握平面向量的数量积及其性质和运算律，2.掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．І.相关知识1.平面向量的基本定理；II.教材助读1.向量的夹角：如下图，已知两个________向量→a 和→b ，作→→=a OA ，→→=b OB ，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°） 叫做向量→a 与→b 的夹角，记作〈→a ，→b 〉］，［π0∈。

注意：必须把两向量平移到___________。

2.数量积的定义：已知两个非零向量→a 和→b ，它们的夹角为θ，则数量____________叫做→a 与→b 的数量积，记作→a ·→b ，即→a ·→b =|→a ||→b |cos θ. 零向量与任一向量的数量积为0．注意：00=⋅→→a ，→→=⋅00a ，)(=-+。

3.数量积的几何意义：①____________叫做→a 在→b 方向上的投影；|→b |cos 〈→a ，→b 〉叫做→b 在→a 方向上的投影；②→a ·→b的几何意义：→a ·→b 等于|→a |与→b 在→a 方向上的投影____________乘积或等于|→b |与→a 在→b 方向上的投影______________乘积。

3）数量积的物理意义——力作功：一个物体在力F 的作用下产生位移s，那么力F所作的功||||cos=，其中θ是W F sθW_____________F与s的夹角，从而=III.预习自测1.下列命题中是正确的有①设向量a与b不共线，若()()0a b a b=；②a b+⋅-=，则||||⋅=⋅；||||||a b a b③a b a c⋅=⋅⋅=⋅，则b c=；④若()⊥-，则a b a ca b c我的疑惑:探究案I.学始于疑1.若两个不共线的向量起点不同,它们的夹角怎么找?2.向量的夹角与数量积→a·→b的正负有什么关系?II.质疑探究——质疑解疑、合作探究探究点一:由数量积的定义和几何意义,我们可得到哪些性质?它们各有什么作用?设|a|=12,|b|=9,a·b=-542,则a与b的夹角θ为探究点二: 数量积的运算法则（运算律）有哪些?下列叙述不正确的是A. B.向量的数量积满足分C.向量的数量积满足结合律D.a·b是一个实数III.当堂检测1.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为 2．已知向量(3,4),(2,1)a b ==-，如果向量a xb +与b 垂直，则x 的值为（ ）()A 323 ()B 233 ()C 2 ()D 25- 3．平面向量,a b 中，已知(4,3),||1a b =-=，且5a b ⋅=，则向量b =______.4．已知||=||=2，与的夹角为600，则+在上的投影为 。

安边中学 高一 年级 下 学期 数学 学科导学稿 执笔人：王广青 总第 课时 备课组长签字：王广青 包级领导签字： 学生： 上课时间：第17周集体备课 个人空间一、课题：5.1从力的做功到向量的数量积二、学习目标1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；2. 掌握数量积的运算式、模长公式及运算律重点：向量数量积的概念及几何意义难点：向量数量积的运算公式、模长公式及运算律三、教学过程【自主预习】阅读教材91—93页问题1、相关概念1.力F 对物体所做的功：物体在F 作用下产生的位移为S ，若力F 的方向与物体运动的方向成θ角，则力F 对物体所做的功=W _________.2.向量的夹角：已知两个非零向量→a 与→b ，作向量→→==b AC a AB ,则把______叫做→a 与→b 的夹角.两个向量夹角θ的取值范围是_______；当o 0=θ时，→a 与→b ___；当o 180=θ时,→a 与→b ___；当两个向量→a 与→b的夹角=θ______时，就说→a 与→b 垂直，记作______.规定零向量可与任一向量______.3.两个向量的数量积(内积):已知两个向量→a 与→b ，它们的夹角为θ,我们把_____________叫→a 与→b 的数量积（或_____）记作______即→→⋅b a ＝________________。

_______________叫做向量→a 在→b 方向上的投影.规定：零向量与任一向量的数量积为______，即___________.4．向量数量积的几何意义:根据数量积的定义式可知 ，→a 与→b 的数量积等于_____________________ 或 ________________________.5．若→→21e e ，是单位向量，则→→⋅21e e =___________＝__________.6.平面向量数量积的性质：①若→e 是单位向量，则→→→→⋅=⋅e a a e =___________.②⇔⊥→→b a ___________.③当→a与→b同向时，→→⋅ba＝________当→a与→b反向时，→→⋅ba＝________，特别地，→→⋅aa＝__________或=→a___________.④若θ为→a与→b的夹角，则cos=θ___________ （0≠⋅→→ba）⑤对任意两向量→a与→b，有→→⋅ba__→→⋅ba，当且仅当____时等号成立.7. 向量的数量积满足下列运算律：已知向量→a，→b，→c与实数λ①→→⋅ba＝___________；②→→⋅⎪⎭⎫⎝⎛baλ＝___________=___________；③→→→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+cba＝__________ _。