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2024北京西城高一（下）期末数 学本试卷共9页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(−，则z 的共轭复数z =A.1+B.1 C .1−+D.1−2. 设向量(1,2)=a ，(,4)x =b ，若⊥a b ，则x =A.2−B.2C.8−D.83. 在ABC △中，2a =，3b =，4cos 5B =，则sin A =A.15 B .25 C .35D.454. 平面向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则⋅=a bA.2−B.0C.1D.25. 已知,αβ是不重合的平面，,m n 是不重合的直线，下列命题中不正确．．．的是 A.若//m α，//m β，则//αβ B.若//m n ，m α⊥，则n α⊥C.若m α⊥，m β⊥，则//αβD.若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知(cos ,sin )P θθ，π[0,]2θ∈，(1,1)A ，则OA OP ⋅的取值范围是A. B.[0,2] C.[ D.7. 如图，已知正六棱锥P ABCDEF −的侧棱长为6，底面边长为3，Q 是底面上一个动点，PQ ≤点Q 所形成区域的面积为A.4πB.5πC.6πD.7π8. 已知函数()sin 2f x x =和()cos 2g x x =，()f x 的图象以每秒π12个单位的速度向左平移，()g x 的图象以每秒π24个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为 A.1秒 B.2秒 C.3秒D.4秒9. 已知函数π()sin()6f x x ω=+(0)ω>，“存在π,[0,]2m n ∈，函数()f x 的图象既关于直线x m =对称，又关于点(,0)n 对称”是“2ω≥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、、逻辑控制、开关电源等领域. 理想方波的解析式为1sin(21)21n n xy a b n ∞=−=+−∑，而在实际应用中多采用近似方波发射信号. 如111()sin sin 3sin 5sin 7357f x x x x x =+++就是一种近似情况，则A.函数()f x 是最小正周期为π的奇函数B.函数()f x 的对称轴为π2π2x k =+()k ∈Z C.函数()f x 在区间π[0,]2上单调递增D.函数()f x 的最大值不大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京西城高一期末考试试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于北京西城区的描述，哪一项是不正确的？A. 西城区是北京市的中心城区之一B. 西城区拥有众多的历史文化遗产C. 西城区是北京市的政治中心D. 西城区是北京市的经济中心2. 在数学中，如果一个数的平方等于它本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 所有选项都是正确的3. 英语中，"The Great Wall" 指的是：A. 长城B. 故宫C. 天安门D. 颐和园4. 根据化学知识，下列哪个元素的原子序数是26？A. 铁（Fe）B. 铜（Cu）C. 锌（Zn）D. 镍（Ni）5. 在物理学中，第一宇宙速度是指：A. 卫星绕地球做圆周运动的最小速度B. 卫星绕地球做椭圆运动的最小速度C. 卫星脱离地球引力的最小速度D. 卫星绕太阳做圆周运动的速度6. 根据历史知识，下列哪一项不是中国古代的四大发明？A. 造纸术B. 印刷术C. 指南针D. 火药7. 在地理学中，地球的自转周期是：A. 24小时B. 365天C. 1年D. 1个月8. 在生物学中，下列哪个不是细胞的基本结构？A. 细胞壁B. 细胞膜C. 细胞核D. 线粒体9. 根据政治学知识，下列哪个国家是联邦制国家？A. 中国B. 美国B. 法国D. 日本10. 在信息技术中，下列哪个是计算机病毒的特点？A. 可以自我复制B. 可以自我修复C. 可以自我升级D. 可以自我删除二、填空题（每空2分，共20分）11. 根据题目1，不正确的描述是______。
12. 根据题目2，可能的数有______。
13. 根据题目3，"The Great Wall" 指的是______。
14. 根据题目4，原子序数为26的元素是______。
15. 根据题目5，第一宇宙速度是指______。
16. 根据题目6，不是中国古代四大发明的是______。
西城区高三统一测试试卷数学2024.4本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U =R ，集合{}{}3,22A x x B x x =<=-≤≤，则U A B =I ð（）A.()2,3 B.()(),22,3-∞-⋃ C.[)2,3 D.][(),22,3-∞-⋃【答案】B【解析】【分析】利用补集和交集运算求解即可.【详解】因为集合{}22B x x =-≤≤，所以{2U B x x =<-ð或}2x >，又集合{}3A x x =<，所以U A B =I ð{2x x <-或}23x <<=()(),22,3∞--⋃.故选：B2.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.2y x x=+ B.cos y x =C.2xy = D.2log y x =【答案】D【解析】【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，当1x =时，112y =+=，当=1x -时，110y =-=，即(1)(1)f f -≠，所以选项A 不满足题意，对于选项B ，因cos y x =在区间()0,∞+上不单调，所以选项B 不满足题意，对于选项C ，因为2x y =图象不关于y 轴对称，所以选项C 不满足题意，对于选项D ，因为2log y x =的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，又22()log log ()f x x x f x -=-==，所以2log y x =为偶函数，当0x >时，22log log y x x ==，又2log y x =在区间()0,∞+上单调递增，所以选项D 满足题意，故选：D.3.622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为A.60- B.15-C.15D.60【答案】D【解析】【分析】写出二项式展开通项，整理后令x 的指数为0，得到相应的项数，然后算出常数项.【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()663166222rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令630r -=，得到2r =所以622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为()226260C -=，故选D 项.【点睛】对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题.4.已知抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，则C 的准线方程是（）A.=1x - B.2x =-C.1y =- D.=2y -【答案】C【解析】【分析】由对称性可得曲线C 方程，求出准线方程即可.【详解】因为抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，所以将,x y 互换后可得抛物线C 方程为24x y =，即242p p =⇒=，所以C 的准线方程为12p y =-=-，故选：C.5.设()11,,2a t b t c t t t t =-=+=+，其中10t -<<，则（）A.b a c <<B.c<a<bC.b<c<aD.c b a<<【答案】C【解析】【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.【详解】由10t -<<，故()1,1t ∈-∞-，故10a t t =->，由对勾函数性质可得()1112b t t =+<-+=-，()20c t t =+<，且()()2222111c t t t t t =⋅+=+=+-≥-，综上所述，有b<c<a .故选：C.6.已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（）A.1- B.1 C.7- D.7【答案】A【解析】【分析】得出()1,3a b -=- 、()2,1c = 后借助向量数量积的坐标运算法则计算即可得.【详解】由图可得()1,3a b -=- ，()2,1c = ，故()()12311c a b ⋅-=⨯+-⨯=- .故选：A.7.已知函数()2,20x x x f x x c ⎧+-<<⎪=⎨≤<⎪⎩，若()f x 存在最小值，则c 的最大值为（）A.116 B.18 C.14 D.12【答案】A【解析】【分析】运用二次函数的性质求得20x -<<的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可.【详解】当20x -<<时，2211()24f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，故当12x =-时，()f x 有最小值为14-；0x c ≤<时，()f x =()0f x <≤，由题意()f x 存在最小值，则14≥-，解得1016c <≤，即c 的最大值为116.故选：A8.在等比数列{}n a 中，00n a >．则“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件的定义判断即可的.【详解】设等比数列{}n a 的公比为0q ≠，当001n n a a +>时，即有00n n a q a >⋅，又00n a >，故1q <且0q ≠，当1q <-时，有0002311n n n a q a a +++=>，故不能得到0013n n a a ++>，即“001n n a a +>”不是“0013n n a a ++>”的充分条件；当0013n n a a ++>时，即有0002311n n n a q a a +++=<，即21q <且0q ≠，则001n n a q a +=⋅，当()1,0q ∈-时，由00n a >，故010n a +<，故001n n a a +>，当()0,1q ∈时，0001n n n a q a a +=⋅<，亦可得001n n a a +>，故“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的必要条件；综上所述，“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的必要不充分条件.故选：B.9.关于函数()sin cos2f x x x =+，给出下列三个命题：①()f x 是周期函数；②曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③()f x 在区间[)0,2π上恰有3个零点．其中真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】选项①，根据条件得到()2π()f x f x +=，即可判断出①的正误；选项②，根据条件得出(π)()f x f x -=，根据对称轴的定义，即可得出②的正误；选项③，令()0f x =，直接求出x 的值，即可得出③的正误，从而得出结果.【详解】对于①，因为()sin cos2f x x x =+，所以()2πsin(2π)cos2(2π)sin cos2()f x x x x x f x +=+++=+=，故2πT =，所以选项①正确，对于②，因为(π)sin(π)cos2(π)sin cos2()f x x x x x f x -=-+-=+=，由对称轴的定义知，π2x =为函数()f x 的一条对称轴，所以选项②正确，对于③，因为()2sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令()0f x =，得到22sin sin 10x x -++=，解得1sin 2x =-或sin 1x =，又[)0,2πx ∈，由1sin 2x =-，得到7π6x =或11π6x =，由sin 1x =，得到π2x =，所以选项③正确，故选：D.10.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t （小时）变化的趋势可由函数0.2710.6y t =-近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（）（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈）A.2小时B.0.8小时C.0.5小时D.0.2小时【答案】C【解析】【分析】根据题设得到0.2756t =，两边取对数求解，即可得出结果.【详解】根据题意得0.27110.62t =-，整理得到0.2756t =，两边取以10为底的对数，得到5lg 0.27lg 6t =，即1lg 32lg 20.27lg t --=，又lg20.30,lg30.48≈≈，所以8lg 27t =-，得到827100.5t -=≈，故选：C.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.若复数z 满足(12i)3i z +=+，则z =______【答案】【解析】【分析】利用复数的除法公式计算1i z =-，再计算模长即可.【详解】(12i)3i z +=+，则()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-，故z ==..12.已知(),0,παβ∈．使()()tan tan αβαβ+<-成立的一组,αβ的值为α=__________；β=__________．【答案】①.π3②.π3（答案不唯一）【解析】【分析】任取一组(),0,παβ∈，验证是否满足()()tan tan αβαβ+<-即可得.【详解】取π3αβ==，此时()2πtan tan 03αβ+=<，()tan tan00αβ-==，故()()tan tan αβαβ+<-，符合要求.故答案为：π3；π3（答案不唯一）.13.双曲线22:13y M x -=的渐近线方程为__________；若M 与圆222:()0O x y r r +=>交于,,,A B C D 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则r =__________．【答案】①.y =②.【解析】【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得.【详解】由22:13y M x -=，故其渐近线方程为1y x =±=；令(),A m n ，由题意可得m n =，即有2213m m -=，解得232m =，故222232r m n m ===+，即r =.故答案为：y =14.在数列{}n a 中，122,3a a ==-.数列{}n b 满足()*1n n n b a a n +=-∈N.若{}nb 是公差为1的等差数列，则{}n b 的通项公式为n b =______，n a 的最小值为______.【答案】①.6n -②.13-【解析】【分析】求出等差数列{}n b 的首项，直接求出{}n b 的通项公式即可，利用数列{}n a 的单调性得最小项为6a ，利用累加法即可求解.【详解】由题意1215b a a =-=-，又等差数列{}n b 的公差为1，所以()5116n b n n =-+-⋅=-；故16n n a a n +-=-，所以当6n ≤时，10n n a a +-≤，当6n >时，10n n a a +->，所以123456789a a a a a a a a a >>>>>=<<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又16n n a a n +-=-，所以()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()25432113=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是13-.故答案为：6n -，13-15.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直．点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2,1AB AF ==，给出下列四个结论：①存在点,P Q ，使3PQ =；②存在点,P Q ，使//CQ EP ；③到直线AD 和EF 的距离相等的点P 有无数个；④若PA PE ⊥，则四面体PAQE 体积的最大值为13．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得.【详解】建立如图所示空间直角坐标系A FBD -，则有()0,0,0A 、()1,0,0F 、()0,2,0B 、()0,0,2D 、()0,2,2C 、()1,2,0E ，设()0,,P m n ，(),,0Q s t ，其中0,,2m n t ≤≤，01s ≤≤，对①：(),,PQ s t m n =-- ，则()222PQ s t m n =+-+ ，当1s =，2t n ==，0m =时，有1443PQ =++=，故存在点,P Q ，使3PQ =，故①正确；对②：(),2,2CQ s t =-- ，()1,2,EP m n =-- ，若//CQ EP ，则有()()222s m t sn ⎧-=--⎨=⎩，由0,,2m n t ≤≤，01s ≤≤，故当2sn =时，1s =，2n =，此时有()22m t -=--，即4m t +=，即2m t ==，此时Q 与E 重合，P 与C 重合，故不存在点,P Q ，使//CQ EP ，故②错误；对③：点P 到直线AD 的距离为m ，点P 到直线EF 的距离为，即有m =221m n -=，由0,2m n ≤≤，故其轨迹为双曲线的一部分，即点P 有无数个，故③正确；对④：()0,,AP m n = ，()1,2,EP m n =-- ，由PA PE ⊥，故有()220m m n -+=，则()[]22110,1n m =--∈，又1112122AB AQE FE S S ≤=⨯⨯= 矩形，故11113313P AQE AQE V S n -⨯≤⨯⨯==⨯ ，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式，分别求出高与底面三角形的最大值.三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 为正方形，AB AC ⊥，2AB AC ==，D 为BC 的中点．（1）求证：1//A C 平面1AB D ；（2）若1A C AB ⊥，求二面角11D AB A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3-【解析】【分析】（1）根据线线平行证明面面平行；（2）向量法求二面角.【小问1详解】如图，连接1A B ，设11A B AB E = ，连接DE ．因为在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ABB 是平行四边形，所以E 为1A B 的中点．因为D 为BC 的中点，所以1//DE AC ．又因为1A C ⊄平面1AB D ，DE ⊂平面1AB D ，所以1AC 平面1AB D ．【小问2详解】因为1AB A C ⊥，AB AC ⊥，又1AC AC C ⋂=，1AC ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因1AA ⊂平面11A ACC ，所以1AB AA ⊥．又1AA AC ⊥，所以AB ，AC ，1AA 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()12,0,2B ，()1,1,0D ，()0,2,0C ．所以()12,0,2AB = ，()1,1,0AD = ．设平面1AB D 的法间量为(),,m x y z = ，则100m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2200x z x y +=⎧⎨+=⎩，令=1x -，则1y =，1z =于是()1,1,1m =- ．因为AC ⊥平面11A ABB ，所以()0,2,0AC = 是平面11A ABB 的一个法向量．所以cos ,3m AC m AC m AC⋅== ．由题设，二面角11D AB A --的平面角为钝角，所以二面角11D AB A --的余弦值为3-．17.在ABC 中，tan 2sin a B b A =．（1）求B ∠的大小；（2）若8a =，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：BC ；条件②：2cos 3A =-；条件③：7b =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3B ∠=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）借助正弦定理计算即可得；（2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的ABC .【小问1详解】由tan 2sin a B b A =，得sin 2sin cos a B b A B =，在ABC 中，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A B A B B =，因为sin 0,sin 0A B >>，所以1cos 2B =，又0πB <∠<，所以π3B ∠=；【小问2详解】选条件①：BC ：设BC 边中点为M ，连接AM，则4AM BM ==，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅⋅，即2π21168cos 3AB AB =+-⋅，整理得2450AB AB --=，解得5AB =或1AB =-（舍），所以ABC的面积为11πsin 58sin 223ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯=，选条件③：7b =：在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即222π7816cos3c c =+-⋅，整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =，当3c =时，ABC的面积为11πsin 83sin 223ABC S ac B ==⨯⨯= ．当5c =时，ABC的面积为11πsin 85sin 223ABCS ac B ==⨯⨯=△．不可选条件②，理由如下：若2cos 3A =-，故A为钝角，则5sin 3A ==，则38sin 12152sin 53a Bb A ⨯===，224325b a =>，即b a >，其与A 为钝角矛盾，故不存在这样的ABC .18.10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下：环数6环7环8环9环10环甲的射出频数11102424乙的射出频数32103015丙的射出频数24101826假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立．（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；（2）若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；（3）甲､乙､丙各射击10次，用()1,2,3i X i =分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于a 环的次数，其中{}6,7,8,9a ∈．写出一个a 的值，使()()()321D X D X D X >>．（结论不要求证明）【答案】（1）甲进入决赛，理由见解析（2）13100（3）7a =或8【解析】【分析】（1）分别计算出甲和丙射击成绩的总环数，进行比较即可判断.（2）先根据题中数据，用频率估计概率分别得出甲、乙命中9环的概率和甲、乙命中10环的概率；再根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率公式即可求解.（3）根据题意可知()1,2,3i X i =服从二项分布，利用二项分布求出每一个a 对应的()()()321,,D X D X D X 即可解答.【小问1详解】甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为26471081892610542⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，甲射击成绩的总环数为16171082492410549⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为549542>，所以用样本来估计总体可得甲进入决赛．【小问2详解】根据题中数据：“甲命中9环”的概率可估计为242605=；“甲命中10环”的概率可估计为242605=；“乙命中9环”的概率可估计为301602=；“乙命中10环”的概率可估计为156041=．所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：222221122212121113.5452524100C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问3详解】7a =或8．根据题中数据：当6a =时，在每次射击中，甲击中大于6环的的概率为5960p =；在每次射击中，乙击中大于6环的的概率为5760p =；在每次射击中，丙击中大于6环的的概率为5860p =；由题意可知：15910,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，25710,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，35810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()15915901060603600D X =⨯⨯=，()257317101060603600D X =⨯⨯=，()358211601060603600D X =⨯⨯=，不满足()()()321D X D X D X >>.当7a =时，在每次射击中，甲击中大于7环的的概率为5860p =；在每次射击中，乙击中大于7环的的概率为5560p =；在每次射击中，丙击中大于7环的的概率为5460p =；由题意可知：15810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，25510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，35410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()158211601060603600D X =⨯⨯=，()255527501060603600D X =⨯⨯=，()354632401060603600D X =⨯⨯=，满足()()()321D X D X D X >>.当8a =时，在每次射击中，甲击中大于8环的的概率为4860p =；在每次射击中，乙击中大于8环的的概率为4560p =；在每次射击中，丙击中大于8环的的概率为4460p =；由题意可知：14810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，24510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，34410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()1481257601060603600D X =⨯⨯=，()2451567501060603600D X =⨯⨯=，()3441670401060603600D X =⨯⨯=，满足()()()321D X D X D X >>.当9a =时，在每次射击中，甲击中大于9环的的概率为2460p =；在每次射击中，乙击中大于9环的的概率为1560p =；在每次射击中，丙击中大于9环的的概率为2660p =；由题意可知：12410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，21510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，32610,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()1243686401060603600D X =⨯⨯=，()2154567501060603600D X =⨯⨯=，()3263488401060603600D X =⨯⨯=，不满足()()()321D X D X D X >>.所以7a =或8．19.已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的一个顶点为()2,0A -，离心率为12．（1）求椭圆G 的方程；（2）设O 为原点．直线l 与椭圆G 交于,C D 两点（,C D 不是椭圆的顶点），l 与直线2x =交于点E ，直线,AC AD 分别与直线OE 交于点,M N ．求证：=OM ON ．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意，列出方程组计算即可得；（2）设直线l 为y kx m =+，联立椭圆方程可得与横坐标有关韦达定理，借助C 、D 两点坐标可表示出M x 、N x ，计算可得0M N x x +=，即可得解.【小问1详解】由题意可得222212a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆G 的方程为22143x y +=；【小问2详解】由题意可知直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．则()2,2E k m +，直线OE 的方程为2m y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，由()22Δ48430k m =-+>，得2243m k <+，设()()1122,,,C x y D x y ，则21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，直线AC 的方程为()1122y y x x =++，联立直线AC 和OE 得()11222y m x k x x ⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，解得()()11111114244422M kx m y y x m mx k mx k k x y +===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，同理可得()2244N kx m x mx k +=+，所以()()()()()()12211244444M N kx m mx k kx m mx k x x mx k mx k ++++++=⨯++，因为()()()()122144kx m mx k kx m mx k +++++()()221212248kmx x k m x x km =++++()()()22222222412848430434343km m km k m km k k k k -++=-+=+++，所以0M N x x +=，即点M 和点N 关于原点O 对称，所以OM ON =．.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.20.已知函数()()1ln e x f x x ax x a=++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；（2）当1a =-时，讨论()f x 的单调性；（3）若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．【答案】（1）2e 2+（2）单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-（3）1a e =-【解析】【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【小问1详解】当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．【小问2详解】当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0x x -<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．【小问3详解】因为()()1ln e x f x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递增，又12111e 0a f a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e 0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x =-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e =-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.21.对正整数3,6m n ≥≥，设数列{}()12:,,,,0,11,2,,n i A a a a a i n ∈= .B 是m 行n 列的数阵，ij b 表示B 中第i 行第j 列的数，{}()0,11,2,,;1,2,,ij b i m j n ∈== ，且B 同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合{11220i i n in i a b a b a b +++= 或}3,1,2,,i m = 中元素的个数为K ．（1）若111000:1,1,1,0,0,0,101100000111A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求K 的值；（2）若对任意{},1,2,,(),p q n p q B ∈< 中都恰有r 行满足第p 列和第q 列的数均为1．①B 能否满足3m r =？说明理由；②证明：()21424K n n ≥-．【答案】（1）2K =（2）①不满足，理由见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）记1122i i i n in t a b a b a b =+++ ，计算出1t 、2t 、3t 即可得；（2）①由题意可得B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有3m 个，亦可得其为2n rC 个，当3m r =时，可得2C 9n=，此方程无解，故不满足；②满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为2C 23n r K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，亦可得其为()rx n x -，即有()2C 23n r rx n x K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，借助该等式表示出K 后放缩即可得.【小问1详解】记1122i i i n in t a b a b a b =+++ ，则11112123134145156163t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，21212223234245256262t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，31312323334345356360t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，故2K =；【小问2详解】①B 不满足3m r =，理由如下：假设B 满足3m r =，因为B 的每行恰有三个1，故B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有3m 个，另一方面，从B 中任选两列共有2C n 种可能，且对任意两列，都恰有r 行使得这两列的数均为1，故B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有2n rC 个，所以23C n m r =，当3m r =时，得2C 9n =，此方程无解，所以B 不满足3m r =；②由①可得23C nm r =，即2C 3n r m =，下面考虑满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数：对B 中满足0i t ≠和3的m K -行，每行恰有两组(),p q 使1ip iq b b ==且p q a a ≠，所以满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为()2C 223n r m K K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设数列A 中有x 项为1,n x -项为0，满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),p q 的个数为()x n x -，所以满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为()rx n x -，所以()2C 23n r rx n x K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()()222C 33326n rx n x r r K x nx n n -=-=-+-()2222233146426424r n n r n n n n n n ⎛⎫⎛⎫≥-+-=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，关键点在于结合定义，得到满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为2C 23n r K ⎛⎫- ⎪⎝⎭且为()rx n x -.。
2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
2023-2024学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，2]C ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3）2．在复平面内，复数z =i−2i的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ，b ∈R ，且a ＞b ，则（ ） A ．1a ＜1bB ．tan a ＞tan bC ．3﹣a ＜2﹣bD ．a |a |＞b |b |4．已知双曲线C 的一个焦点是F 1（0，2），渐近线为y =±√3x ，则C 的方程是（ ） A ．x 2−y 23=1B ．x 23−y 2=1C ．y 2−x 23=1D ．y 23−x 2=15．已知点O （0，0），点P 满足|PO |＝1．若点A （t ，4），其中t ∈R ，则|P A |的最小值为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．26．在△ABC 中，∠B ＝60°，b =√7，a ﹣c ＝2，则△ABC 的面积为（ ） A ．3√32B ．3√34 C ．32D ．347．已知函数f(x)=ln1+x1−x，则（ ） A ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴B ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心C ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴D ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心 8．设a →，b →是非零向量，则“|a →|＜|b →|”是“|a →•b →|＜|b →|2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设{a n }是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ．若存在无穷多个正整数k ，使S k ≤0，则q 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．（0，1）10．如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板A 1B 1C 1D 1E 1F 1．若其中三根柱子AA 1，BB 1，CC 1的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（ ）A ．47mB ．48mC ．49mD ．50m二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2022-2023学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知复数z 满足z ＝1+i ，则在复平面内z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（ ） A ．y =sin(x +π4) B ．y ＝tan x C ．y ＝cos2xD ．y ＝sin2x3．在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．√3D ．2√34．某城市—年中12个月的月平均气温y （单位℃）与月份x （x ＝1，2，3，…，12）的关系可近似地用三角函数y =a +Asin[π6(x −3)](A ＞0)来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则A ＝（ ） A ．5B ．10C ．15D ．205．复数z ＝cos α+i sin α，且z 2为纯虚数，则α可能的取值为（ ） A ．0B ．π4C ．π3D ．π26．已知直线m ，直线n 和平面α，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nD ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4），则cos ∠POQ ＝（ ） A ．√53B ．√55C ．−√53D ．−√558．已知等边△ABC 的边长为4，P 为△ABC 边上的动点，且满足AP →⋅AB →≤12，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．7B ．9C ．10D ．119．已知函数f(x)=2sin(ωx +π3)(ω＞0)，则“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知点A ，点B ，点P 都在单位圆上，且|AB|=√3，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ）A ．[−12，32]B ．[﹣1，3]C ．[﹣2，3]D ．[﹣1，2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则|5z |为 ． 12．（5分）设向量a →=(1，2)，b →=(4，x)，若a →⊥b →，则x ＝ ． 13．（5分）已知圆柱的底面半径为3，体积为32π3的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为 ，圆柱的体积为 ．14．（5分）写出一个同时满足下列两个条件的函数f （x ）＝ ． ①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)； ②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立．15．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段AC 上的动点（包含端点），点E 在线段B 1D 1上，且D 1E =14B 1D 1，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PB 1D 1∥平面C 1BD ； ②存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形； ③若PE ≤5，则点P 轨迹的长度为2√7； ④当AP PC=13时，则平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知π2＜α＜π，sinα=45．（1）求tan α的值； （2）求cos2αcos(α+π4)的值．17．（15分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱DD 1，C 1D 1的中点． （1）证明：A 1B ⊥平面ADC 1B 1； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．18．（15分）已知在△ABC 中，a cos B +b cos A ＝2c cos A ． （1）求A 的大小；（2）若c ＝4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求△ABC 的周长． ①△ABC 的面积为5√3； ②a =√13；③AB 边上的高线CD 长为√32． 19．（15分）已知函数f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1． （1）求f(π6)的值；（2）若函数f （x ）的单调递增区间；（3）若函数f （x ）在区间[0，m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA ＝SD ＝AD ＝2，四边形ABCD 为正方形，E 为AD 的中点，F 为SB 上一点，M 为BC 上一点，且平面EFM ∥平面SCD ． （1）求证：CD ⊥SA ；（2）求证：M 为线段BC 中点，并直接写出M 到平面SCD 的距离； （3）在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，求CN CS；若不存在，说明理由．21．（15分）对于定义在R 上的函数f （x ）和正实数T ，若对任意x ∈R ，有f （x +T ）﹣f （x ）＝T ，则f （x ）为T ﹣阶梯函数．（1）分别判断下列函数是否为1﹣阶梯函数（直接写出结论）： ①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝x +1．（2）若f （x ）＝x +sin x 为T ﹣阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知f （x ）为T ﹣阶梯函数，满足：f （x ）在[T 2，T]上单调递减，且对任意x ∈R ，有f （T ﹣x ）﹣f （x ）＝T ﹣2x ．若函数F （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣b 有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x 1，x 2，x 3，…直接给出一个符合题意的a 的值，并证明：存在b ∈R ，使得F （x ）在[0，2023T ]上有4046个零点，且x 2﹣x 1＝x 3﹣x 2＝…＝x 4046﹣x 4045．2022-2023学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知复数z 满足z ＝1+i ，则在复平面内z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵z ＝1+i ，∴z =1−i ，∴在复平面内z 对应的点（1，﹣1）在第四象限． 故选：D ．2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（ ） A ．y =sin(x +π4) B ．y ＝tan x C ．y ＝cos2xD ．y ＝sin2x解：y =sin(x +π4)的周期T ＝2π≠π，故A 错误；y ＝f （x ）＝tan x 满足f （﹣x ）＝tan （﹣x ）＝﹣tan x ＝﹣f （x ），即y ＝tan x 为奇函数，故B 错误； y ＝f （x ）＝cos2x 满足f （﹣x ）＝f （x ），即y ＝cos2x 为偶函数，且其周期T =2π2=π，故C 正确； y ＝f （x ）＝sin2x 满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），即y ＝sin2x 为奇函数，故D 错误． 故选：C ．3．在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．√3D ．2√3解：在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3， 由余弦定理可得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ， 所以3＝a 2+b 2﹣ab ＝a 2+4a 2﹣2a 2＝3a 2， 则a ＝1或﹣1（舍去）． 故选：B ．4．某城市—年中12个月的月平均气温y （单位℃）与月份x （x ＝1，2，3，…，12）的关系可近似地用三角函数y =a +Asin[π6(x −3)](A ＞0)来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则A ＝（ ） A ．5B ．10C ．15D ．20解：由题意可知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃， 可得{a +A =28a −A =18，解得a ＝23，A ＝5．故选：A ．5．复数z ＝cos α+i sin α，且z 2为纯虚数，则α可能的取值为（ ） A ．0B ．π4C ．π3D ．π2解：z ＝cos α+i sin α，则z 2＝（cos α+i sin α）2＝cos 2α﹣sin 2α+2sin αcos α＝cos2α+i sin2α， ∵z 2为纯虚数，∴{cos2α=0sin2α≠0，即α=π4+k 2π，k ∈Z ，故α可能的取值为π4．故选：B ．6．已知直线m ，直线n 和平面α，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nD ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α解：若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误；如果m ∥α，n ∥α，那么m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 如果m ⊥α，则m 与平行于α的所有直线垂直，又n ∥α，那么m ⊥n ，故C 正确； 若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α或m ∥α或m 与α相交，故D 错误． 故选：C ．7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4），则cos ∠POQ ＝（ ） A ．√53B ．√55C ．−√53D ．−√55解：∵在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4）， ∴OP →=（1，﹣2），OQ →=（3，4）， ∴cos ∠POQ =OP →⋅OQ →|OP →||OQ|=1×3−2×4√1+(−2)2⋅√3+4=−55√5√55． 故选：D ．8．已知等边△ABC 的边长为4，P 为△ABC 边上的动点，且满足AP →⋅AB →≤12，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．7B ．9C ．10D ．11解：当P 在线段AB 上，则|AP →|≤12|AB →|=3，即线段AB 上有长度为3的线段满足P 点的位置，当P 在AC 上，由于AC →⋅AB →=4×4×cos π3=8＜12，所以线段AC 满足P 点位置， 当P 在BC 上，则AP →=λAB →+μAC →，λ＞0，μ＞0，λ+μ＝1， 所以AP →⋅AB →=λ|AB →|2+μAC →⋅AB →=16λ+8μ＝16λ+8﹣8λ＝8+8λ， 令8+8λ≤12，解得λ≤12，所以线段BC 上远离B 点的一半线段满足P 点位置， 所以P 的轨迹长度为3+4+2＝9． 故选：B ．9．已知函数f(x)=2sin(ωx +π3)(ω＞0)，则“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数， 则f （x ）在对称轴在（0，π3）上，由ωx +π3=k π+π2（k ∈z ）， 解得x =kπω+π6，故0＜kπω+π6＜π3，解得：ω＞12， 而（1，+∞）⫋（12，+∞），故“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”必要不充分条． 故选：B ．10．已知点A ，点B ，点P 都在单位圆上，且|AB|=√3，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ） A ．[−12，32]B ．[﹣1，3]C ．[﹣2，3]D ．[﹣1，2]解：如图，不妨设线段AB 的垂直平分线为y 轴，在单位圆中，由|AB|=√3，可得A （−√32，12），B （√32，12），点P 都在单位圆上，故可设点P （cos α，sin α），α∈[0，2π]， 则PA →=(−√32−cosα，12−sinα)，PB →=(√32−cosα，12−sinα)， 所以PA →⋅PB →=cos 2α−34+14−sin α+sin 2α=12−sin α∈[−12，32]． 故选：A ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则|5z|为 1 ． 解：复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则z ＝3﹣4i ， 故|5z |=5|z|=5√3+(−4)2=1．故答案为：1．12．（5分）设向量a →=(1，2)，b →=(4，x)，若a →⊥b →，则x ＝ ﹣2 ． 解：∵a →⊥b →，∴a →⋅b →=4+2x =0，解得x ＝﹣2． 故答案为：﹣2．13．（5分）已知圆柱的底面半径为3，体积为32π3的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为 2 ，圆柱的体积为 36π ． 解：因为球的体积为32π3，则球半径r 满足43πr 3=32π3，解得r ＝2，又因为球与圆柱的上、下底面相切，所以圆锥的高为2r ＝4， 所以圆柱的体积为V ＝π×32×4＝36π． 故答案为：2；36π．14．（5分）写出一个同时满足下列两个条件的函数f （x ）＝ ﹣cos4x （答案不唯一） ．①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)； ②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立．解：由①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)，可知函数的周期为π2，由②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立，可知函数在x =π4上取到最大值， 则f （x ）＝﹣cos4x 满足题意，一方面根据余弦函数的周期公式，T =2π4=π2，满足条件①； 另一方面，f(π4)=−cosπ=1=f(x)max ，满足条件②． 故答案为：﹣cos4x （答案不唯一）．15．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段AC 上的动点（包含端点），点E 在线段B 1D 1上，且D 1E =14B 1D 1，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PB 1D 1∥平面C 1BD ； ②存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形； ③若PE ≤5，则点P 轨迹的长度为2√7； ④当AP PC=13时，则平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：对于①，当点P 和点A 重合时，平面PB 1D 1∥平面C 1BD ，连接A 1C 1交B 1D 1于点O 1，连接BD 交AC 于点O ，连接C 1D ，C 1B ，C 1O ，AO 1，∵O 1C 1∥PO ，且O 1C 1＝AO ， ∴四边形O 1POC 1平行四边形，∴O 1P ∥C 1O ，∵O 1P ⊄平面C 1BD ，C 1O ⊂平面C 1BD ，∴O 1P ∥平面C 1BD ，∵B 1D 1∥BD ，B 1D 1⊄平面C 1BD ，BD ⊂平面C 1BD ，∴B 1D 1∥平面C 1BD ，又∵B 1D 1∩PO 1＝O 1，B 1D 1，PO 1⊂平面PB 1D 1，∴平面PB 1D 1∥平面C 1BD ；故①正确； 对于②，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由几何关系可知PD 1＝PB 1，要使△PB 1D 1是等腰直角三角形，则PD 1⊥PB 1， 由已知得D 1（0，0，4），B 1（4，4，4），设点P （4﹣a ，a ，0）， 则PD 1→=(a −4，−a ，4)，PB 1→=(a ，4−a ，4)， ∵PD 1⋅PB 1→=0，∴a 2﹣4a +8＝0，此方程无解，则不存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形，故②不正确；对于③，因为D 1E =14B 1D 1=√2，则E （1，1，4），A （4，0，0），C （0，4，0）， 即EA =EC =√26＞5，则P 轨迹是在AC 上的线段，不包括端点A 、C ，如下图所示， 由已知得△EAC 为等腰三角形，则△EAC 底边上的高EH =3√2＜5，随着P 向点C 运动，EP 逐渐减小，故在线段AH 上存在一点P ，使得EP ＝5， 同理可知靠近点C 处也存在一点P ，使得EP ＝5，设线段PE ＝5，由勾股定理可知PH =√7，所以点P 轨迹的长度为2√7，故③正确；对于④，连接BD ，过点P 作BD 的平行线交AB ，AD 于点M ，N ，连接B 1M ，D 1N ， 则MND 1B 1为平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得的截面图形， 由已知得AP =14AC =√2，由△AMN ∽△ABD 可知，MN =2√2，又因为MB 1=ND 1=2√5，且MN ∥B 1D 1， 所以四边形MND 1B 1为等腰梯形，其中梯形的高ℎ=3√2，所以截面面积为12(2√2+4√2)×3√2=18，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知π2＜α＜π，sinα=45．（1）求tan α的值； （2）求cos2αcos(α+π4)的值．解：（1）因为sin 2α+cos 2α＝1，sinα=45， 所以cos 2α=925， 又因为π2＜α＜π， 所以cosα=−35． 所以tanα=sinαcosα=−43； （2）cos2αcos(α+π4)=22√22(cosα−sinα)=√2(cosα+sinα)=√25． 17．（15分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱DD 1，C 1D 1的中点． （1）证明：A 1B ⊥平面ADC 1B 1； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．证明：（1）由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的结构特征，可得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥A 1B ， ∵A 1ABB 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1，又∵B 1C 1∩AB 1＝B 1，∴A 1B ⊥平面ADC 1B 1． （2）设AB 1∩A 1B ＝O ，连接OE ，∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体，∴B 1A ∥C 1D ，且B 1A ＝C 1D ， ∴B 1O ∥C 1D ，且B 1O =12C 1D ，∵E ，F 分别DD 1，C 1D 1的中点，∴EF ∥C 1D ，且EF =12C 1D ， ∴EF ∥B 1O ，且EF ＝B 1O ，∴四边形B 1OEF 为平行四边形，∴B 1F ∥OE ， 又∵B 1F ⊄平面A 1BE ，OE ⊂平面A 1BE ， ∴B 1F ∥平面A 1BE ．18．（15分）已知在△ABC 中，a cos B +b cos A ＝2c cos A ． （1）求A 的大小；（2）若c ＝4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求△ABC 的周长． ①△ABC 的面积为5√3； ②a =√13；③AB 边上的高线CD 长为√32． 解：（1）由正弦定理asinA=bsinB=c sinC，得sin A cos B +sin B cos A ＝2sin C cos A ，所以sin （A +B ）＝2sin C cos A ，因为A +B +C ＝π，所以sin （A +B ）＝sin C ，所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为C ∈（0，π），sin C ≠0，所以2cos A ＝1，即cosA =12， 又因为A ∈（0，π），所以A =π3；（2）选择①：因为S △ABC =5√3，即12bcsinA =5√3，即12×b ×4×√32=5√3，所以b ＝5， 又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即a 2=25+16−2×5×4×12， 所以a =√21，所以△ABC 的周长为9+√21； 选择②： 因为a =√13，又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即13＝b 2+16﹣2×b ×4×12， 所以b ＝1或3，因为△ABC 存在且唯一，所以舍去； 选择③：因为AB 边上的高线CD 长为√32，即bsinA =√32，所以b ＝1， 又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即a 2=1+16−2×1×4×12， 所以a =√13，所以△ABC 的周长为5+√13． 19．（15分）已知函数f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1． （1）求f(π6)的值；（2）若函数f （x ）的单调递增区间；（3）若函数f （x ）在区间[0，m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围． 解：（1）f （x ）=√32sin2x −12cos2x +cos2x =√32sin2x +12cos2x ＝sin （2x +π6），所以f （π6）＝sin （2•π6+π6）＝sin π2=1；（2）由（1）可得，单调递增满足−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π，k ∈Z ， 解得：−π3+k π≤x ≤π6+k π，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间为[−π3+k π，π6+k π]，k ∈Z ；（3）x ∈[0，m ]，可得2x +π6∈[π6，2m +π6]，由题意可得2m +π6∈[2π，3π），解得11π12≤m ＜17π12， 即m ∈[11π12，17π12）．20．（15分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA ＝SD ＝AD ＝2，四边形ABCD 为正方形，E 为AD 的中点，F 为SB 上一点，M 为BC 上一点，且平面EFM ∥平面SCD ． （1）求证：CD ⊥SA ；（2）求证：M 为线段BC 中点，并直接写出M 到平面SCD 的距离； （3）在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，求CN CS；若不存在，说明理由．证明：（1）因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ，因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面SAD ，又SA ⊂平面SAD ，所以CD ⊥SA ；（2）因为平面EFM ∥平面SCD ，平面EFM ∩平面ABCD ＝EM ， 平面SCD ∩平面ABCD ＝CD ，所以CD ∥EM ， 又因为E 为AD 的中点，所以M 为线段BC 中点； 由（1）知，CD ⊥平面SAD ，又CD ⊂平面SCD ，所以平面SCD ⊥平面SAD ，所以点E 到平面SCD 的距离等于点E 到SD 的距离， 因为SA ＝SD ＝AD ＝2，所以△SAD 为正三角形，又E 为AD 的中点， 所以点E 到SD 的距离为√32，因为平面EFM ∥平面SCD ， 所以点M 到平面SCD 的距离为√32； 解：（3）存在，当N 为SC 中点时，平面DMN ⊥平面ABCD ，证明如下： 连接EC ，DM 交于点O ，连接SE ，因为ED∥CM，并且ED＝CM，所以四边形EMCD为平行四边形，所以EO＝CO，又因为N为SC中点，所以NO∥SE，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，又SE⊂平面SAD，由已知SE⊥AD，所以SE⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD，所以存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，CNCS=12．21．（15分）对于定义在R上的函数f（x）和正实数T，若对任意x∈R，有f（x+T）﹣f（x）＝T，则f（x）为T﹣阶梯函数．（1）分别判断下列函数是否为1﹣阶梯函数（直接写出结论）：①f（x）＝x2；②f（x）＝x+1．（2）若f（x）＝x+sin x为T﹣阶梯函数，求T的所有可能取值；（3）已知f（x）为T﹣阶梯函数，满足：f（x）在[T2，T]上单调递减，且对任意x∈R，有f（T﹣x）﹣f（x）＝T﹣2x．若函数F（x）＝f（x）﹣ax﹣b有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在b∈R，使得F（x）在[0，2023T]上有4046个零点，且x2﹣x1＝x3﹣x2＝…＝x4046﹣x4045．解：（1）①因为f（x）＝x2，所以f（x+1）﹣f（x）＝（x+1）2﹣x2＝2x+1≠1，所以f（x）＝x2不是1﹣阶梯函数；②因为f（x）＝x+1，所以f（x+1）﹣f（x）＝（x+1）+1﹣（x+1）＝1，所以f（x）＝x+1是1﹣阶梯函数；（2）因为f（x）为T﹣阶梯函数，所以对任意x∈R有：f（x+T）﹣f（x）＝[x+T+sin（x+T）]﹣（x+sin x）＝sin（x+T）﹣sin x+T，所以，对任意x∈R，sin（x+T）＝sin x，因为y＝sin x是最小正周期为2π的周期函数，又因为T＞0，所以T＝2kπ，k∈N*；（3）a＝1．证明：函数F（x）＝f（x）﹣x﹣b，则有：F（x+T）＝f（x+T）﹣（x+T）﹣b＝f（x）+T﹣（x+T）﹣b＝f（x）﹣x﹣b＝F（x），F（T﹣x）＝f（T﹣x）﹣（T﹣x）﹣b＝f（x）+T﹣2x﹣（T﹣x）﹣b＝f（x）﹣x﹣b＝F（x）．取b=f(3T4)−3T4，则有：F(3T4)=f(3T4)−3T4−b=0，F(T4)=F(T−T4)=F(3T4)=0，由于f（x）在[T2，T]上单调递减，因此F（x）＝f（x）﹣x﹣b在[T2，T]上单调递减，结合F（T﹣x）＝F（x），则有：F（x）在[0，T2]上有唯一零点T4，在[T2，T]上有唯一零点3T4．又由于F（x+T）＝F（x），则对任意k∈Z，有：F(T4+kT)=F(T4)=0，F(3T4+kT)=F(3T4)=0，因此，对任意m∈Z，F（x）在[mT，（m+1）T]上有且仅有两个零点：mT+T4，mT+3T4．综上所述，存在b=f(3T4)−3T4，使得F（x）在[0，2023T]上有4046个零点：x1=T4，x2=3T4，x3=5T4，x4=7T4， (x4045)8089T4，x4046=8091T4，其中，x2−x1=x3−x2=⋯=x4046−x4045=T 2．。
2024届北京市西城区普通中学数学高一下期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．圆221:1O x y +=与圆222:30O x y +--+=的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（ ） A ．255B ．375C ．250D ．2003．若角α的终边过点(1,2)-，则sin2α=( ) A ．45B ．2-5C ．25D ．45-4．已知直线l 经过点(1,2)P -，且倾斜角为45，则直线l 的方程为（ ） A ．30x y --= B ．10x y --= C ．30x y -+=D ．30x y +-=5．已知正实数x y 、满足224x y +=，则的最大值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．946．在某次测量中得到A 样本数据如下：43,50,45,55,60，若B 样本数据恰好是A 样本每个数都增加5得到，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数B ．中位数C ．方差D ．平均数7．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数.有下列结论： ①函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的图象关于直线512x π=对称；③函数()f x 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④函数()f x 在7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示，甲、乙的平均数分别为为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．22x x s s >>甲乙甲乙，B ．22x x s s ><甲乙甲乙，C ．22x x s s 甲乙甲乙，D ．22x x s s <<甲乙甲乙，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届北京市西城35中数学高一下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知扇形的面积为210cm ，半径为4cm ，则扇形的圆心角的弧度数为 A ．54B ．32C ．34D ．122．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<-B ．22ac bc >C ．11a b< D ．1b a< 3．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移π8个单位，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．3π4B ．π4C ．π3D ．π64．已知(4-2),b (cos ,sin )a ，αα==且a b ⊥，则33sin cos sin cos αααα+-为（ ） A ．2B ．95C ．3D ．355．如图所示，PA 垂直于以AB 为直径的圆O 所在的平面，C 为圆上异于A B ，的任一点，则下列关系中不正确的是（ ）A ．PA BC ⊥B ．BC ⊥平面PAC C ．AC PB ⊥D ．PC BC ⊥6．函数的图象可由函数的图象（ ）A ．向左平移个单位长度得到B ．向左平移个单位长度得到C ．向右平移个单位长度得到D ．向右平移个单位长度得到7．若0a b <<，则下列不等式不成立的是（ ） A ．11a b> B ．2ab b < C ．222a b ab +> D ．22a b <8．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+9．函数()32cos4f x x =-的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．510．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） A ．7B ．10C ．13D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024北京西城高三二模数 学2024.5本试卷共 6 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是,1)-，则⋅=z z （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（2）已知向量,a b 满足(4,3)=a ，2(10,5)-=-a b ，则（A ）0+=a b （B ）0=⋅a b （C ）||||>a b （D ）//a b（3）已知集合{}1,0,1=-A ，{|}>=x x c B ．若{}0,1=A B I ，则c 的最小值是（A ）1（B ）0（C ）1-（D ）2-（4）设443243210(21)-=++++x a x a x a x a x a ，则1234+++=a a a a （A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（5）已知,R R ∈∈a b ．则“1>ab ”是“222+>a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22:1+=C mx ny 的焦点在y 轴上，且C 的离心率为2，则（A ）30-=m n （B ）30-=m n （C ）30+=m n （D ）30+=m n （7）将函数()tan =f x x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()=g x （A ）1tan -x （B ）1tan --x （C ）tan (1)--x （D ）tan (1)-+x （8）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF ，其中面ABCD 为正方形．若6cm =AB ，3cm =EF ，且EF 与面ABCD 的距离为2cm ，则该楔体形构件的体积为（A ）318cm （B ）324cm （C ）330cm （D ）348cm （9）已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，1233,2==a S ．若对任意正整数n ，都有(1)0--⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（A ）(3,1)-（B ）[2,1)-（C ）3(3,)2-（D ）3[2,)2-（10）一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
西城高二数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求f(1)的值。
A. 1B. -1C. 3D. -3答案：A2. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 29答案：C3. 若直线l的方程为y=2x+3，直线m的方程为y=-x+1，求两直线的交点坐标。
A. (-2, -1)B. (-1, 1)C. (1, 3)D. (2, 5)答案：C4. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，判断三角形ABC的形状。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B5. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的值域为。
A. [-1, 1]B. [0, 1]C. [-√2, √2]D. [1, √2]答案：C6. 已知复数z = 2 + 3i，求其共轭复数的模。
A. √13B. √17C. √23D. √29答案：A7. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，若双曲线的一条渐近线方程为y = 2x，则a和b的关系为。
A. a = 2bB. b = 2aC. a = b/2D. b = a/2答案：C8. 已知向量a = (3, -2)，向量b = (-1, 2)，求向量a和向量b的数量积。
A. -1B. 1C. -7D. 7答案：C9. 已知圆的方程为(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9，求圆心到直线x + y - 3 = 0的距离。
A. √2B. 2√2C. √5D. 2√5答案：C10. 已知抛物线y^2 = 4x的焦点坐标为。
A. (1, 0)B. (0, 1)C. (-1, 0)D. (0, -1)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的表达式。
