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2024年高考数学复习各题型解答方法总结一、选择题解答方法：选择题是高考数学中常见的题型，解答时需要注意以下几点：1. 仔细阅读题目：选择题通常给出了多个选项，要在其中选择正确的答案，所以需要仔细阅读题目，理解题意。
2. 排除法：如果对某个选项确定是错误的，可以直接排除掉，这样可以缩小范围，提高解题效率。
通过排除法，可以找出正确答案。
3. 筛选法：某些选择题的选项中有多个是正确答案，这时可以通过筛选法找出所有正确答案。
首先找出其中一个正确答案，然后再观察其他选项，看是否满足条件，以确定所有正确答案。
4. 推理法：有些选择题需要通过推理来确定答案，需要将题目中给出的条件进行分析，并运用相关知识进行推理，找出正确答案。
二、填空题解答方法：填空题是高考数学中另一种常见的题型，解答时需要注意以下几点：1. 明确题目要求：填空题通常要求填入一个数值，有时也可以是一个表达式。
在填写答案前，要先弄清楚题目要求填什么。
2. 利用已知条件：填空题中常会给出一些已知条件，可以根据这些条件来确定答案。
通过将已知条件代入等式或运用相关关系，可以得到待填空的数值，或者用待填空的变量表达式表示答案。
3. 反推法：有些填空题通过反推法也可以确定答案。
通过比较题目中给出的条件和填空选项的关系，可以反推出待填空的数值或表达式。
4. 多种途径：填空题可以有多种解法，可以多角度思考和尝试。
如果一种方法无法确定答案，可以尝试其他方法，找出最适合的解答途径。
三、解答题解答方法：解答题是高考数学中相对较难的题型，解答时需要注意以下几点：1. 理清思路：解答题一般需要通过一系列的步骤来解决问题，首先要理清思路，明确步骤和方法，避免盲目性解题。
2. 规范书写：解答题需要写清楚解题过程和推理思路，并在重要的步骤和结论处用画线等方式标注出来，以便阅卷人员清晰地看到解题思路。
3. 合理估算：有些解答题中给出的数据量较大，可以通过合理估算或化简计算来简化解答过程，提高解题效率。
高考数学选择题的万能解题方法归纳
1、特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。
2、极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。
极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。
3、剔除法：利用已知条和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。
这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。
4、数形结合法：由
题目条，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。
数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。
5、递推归纳法：通过
题目条进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。
6、顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。
7、逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。
8、正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条的结论，或从反面出发得出结论。
9、特征分析法：对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。
10、估值选择法：有些问题，由于
题目条限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。
专题一 选择、填空题常用的10种解法 抓牢小题，保住基本分才能得高分________________________________________________________________________ 原则与策略：1.基本原则：小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所供应的信息作出推断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排解后求解．解题时应认真审题、深化分析、正确推演运算、谨防疏漏． 题型特点：1.高中低档题，且多数按由易到难的挨次排列.2.留意基本学问、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法机敏多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.方法一 定义法所谓定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简洁地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．[例1] 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1A |＝|F 1F 2|，则C 2的离心率是( )A.56B.23C.25D.45解析：由双曲线C 1的方程可得|F 1F 2|＝216＋9＝10， 由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝216＝8， 由已知可得|F 1A |＝|F 1F 2|＝10， 所以|F 2A |＝|F 1A |－8＝2.设椭圆的长轴长为2a ，则由椭圆的定义可得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝10＋2＝12. 所以椭圆C 2的离心率e ＝2c 2a ＝1012＝56.故选A.答案：A[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要留意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，机敏利用相关的定义求解．如[本例]中依据双曲线的定义和已知条件，分别把A 到两个焦点的距离求出来，然后依据椭圆定义求出其长轴长，最终就可依据离心率的定义求值． [技法体验]1．(2021·广州模拟)假如P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( ) A ．n ＋10 B ．n ＋20 C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A. 答案：A2．(2022·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 解析：借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决．∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8. 答案：(27，8)方法二 特例法特例法，包括特例验证法、特例排解法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排解干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略．[例2] (2022·高考浙江卷)已知实数a ，b ，c ( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 解析：结合特殊值，利用排解法选择答案． 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2>100，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，明显|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立． 综上知，A ，B ，C 均不成立，所以选D. 答案：D[增分有招] 应用特例排解法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排解干扰选项． [技法体验]1．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (12)＝cos 12log 2|12|＝－cos 12，f (－12)＝cos(－12)·log 2|－12|＝－cos 12，所以f (－12)＝f (12)，排解A ，D ；又f (12)＝－cos 12＜0，故排解C.综上，选B. 答案：B2．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最终的结果必定是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，明显，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n ＝3.故选A.答案：A方法三 数形结合法数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．[例3] (2021·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：∵g (x )＝x 2－2x ，a 为实数，∴2g (a )＝2a 2－4a .∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，作出函数f (x )的图象可知，其值域为[－2,6]，∵存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，∴－2≤2a 2－4a ≤6，即－1≤a ≤3， 故选B.答案：B[增分有招] 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如[本例]中求解，可通过作出图象，数形结合求解． [技法体验]1．(2021·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，由于|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，则|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C. 答案：C2．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A ．(14，1)B ．(14，－1)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：如图，由于点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为(14，－1)，选B.答案：B方法四 待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等． [例4] (2021·天津红桥区模拟)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，由于焦点在y 轴上，故选C. 答案：C[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如[本例]中已知椭圆的焦点所在坐标轴，设出标准方程，依据已知列方程求解． [技法体验]1．若等差数列{a n }的前20项的和为100，前45项的和为400，则前65项的和为( ) A ．640 B ．650 C ．660D ．780解析：设等差数列{a n}的公差为d ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a 1＋20×192d ＝10045a 1＋45×442d ＝400⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9245d ＝1445，则前65项的和为65a 1＋65×642d ＝65×9245＋65×642×1445＝780.答案：D2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则f (π4)的值为( )A. 2 B ．0 C ．1D. 3解析：由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (π6)＝2sin(2×π6＋φ)＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∴f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2cos π6＝3，故选D.答案：D 方法五 估值法估值法就是不需要计算出代数式的精确 数值，通过估量其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要具体的过程，因此可以猜想、合情推理、估算而获得，从而削减运算量．[例5] 若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由指数函数的性质可知y ＝2x在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)；由于sin 2π5∈(0,1)，所以c ＝log 2sin 2π5<0.综上，a >1>b >0>c ，即a >b >c .故选A. 答案：A[增分有招] 估算，省去很多推导过程和比较简单的计算，节省时间，是发觉问题、争辩问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要留意估算也要有依据，如[本例]是依据指数函数与对数函数的单调性估量每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实质就是找一个中间值进行比较． [技法体验]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2解析：由于函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3.对于选项B ，D ，若取φ＝π2，则2x ＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，若取φ＝π12，则2x ＋π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，3π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A.答案：A方法六 反证法反证法是指从命题正面论证比较困难，通过假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立的证明方法．反证法证明问题一般分为三步：(1)反设，即否定结论；(2)归谬，即推导冲突；(3)得结论，即说明命题成立．[例6] 已知x ∈R ，a ＝x 2＋32，b ＝1－3x ，c ＝x 2＋x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．a ，b ，c 至少有一个不小于1B ．a ，b ，c 至多有一个不小于1C ．a ，b ，c 都小于1D ．a ，b ，c 都大于1解析：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3.明显两者冲突，所以假设不成立．故a ，b ，c 至少有一个不小于1.选A. 答案：A[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较便利．其关键是依据假设导出冲突——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实冲突或自相冲突．如[本例]中导出等式的冲突，从而说明假设错误，原命题正确． [技法体验]假如△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，所以A 2＋B 2＋C 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，即π＝3π2－π，明显该等式不成立，所以假设不成立．易知△A 2B 2C 2不是锐角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D. 答案：D 方法七 换元法换元法又称帮助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为生疏的形式，把简单的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．理论依据是等量代换，目的是变换争辩对象，将问题移至新对象的学问背景中去争辩，从而使非标准型问题标准化、简单问题简洁化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． [例7] 已知正数x ，y 满足4y －2yx＝1，则x ＋2y 的最小值为________．解析：由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ×yx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 4y ＝yx ，即x ＝2y 时等号成立.所以x ＋2y 的最小值为2.答案：2[增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换，要依据所求解问题的特征进行合理代换．如[本例]中就是使用常数1的代换，将已知条件改写为“14y ＋12x ＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其开放，通过构造基本不等式的形式求解最值． [技法体验]1．(2022·成都模拟)若函数f (x )＝1＋3x＋a ·9x，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0解析：由题意得1＋3x ＋a ·9x≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＋a ＝0，所以a ＝－49.答案：A2．函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．解析：y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22.∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减，∴t ＝0时，y max ＝1.答案：1 方法八 补集法补集法就是已知问题涉及的类别较多，或直接求解比较麻烦时，可以通过求解该问题的对立大事，求出问题的结果，则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得．该方法在概率、函数性质等问题中应用较多． [例8]某学校为了争辩高中三个班级的数学学习状况，从三个班级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级不来自同一班级的概率为________． 解析：记高一班级中抽取的班级为a 1，高二班级中抽取的班级为b 1，b 2， 高三班级中抽取的班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的全部可能结果为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级不来自同一班级”为大事A ，则大事A 为抽取的两个班级来自同一班级． 由题意，两个班级来自同一班级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种． 所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115. 所以两个班级不来自同一班级的概率为1115.答案：1115[增分有招] 利用补集法求解问题时，肯定要精确 把握所求问题的对立大事．如[本例]中，“两个班级不来自同一班级”的对立大事是“两个班级来自同一班级”，而高一班级只有一个班级，所以两个班级来自同一班级的可能性仅限于来自于高二班级，或来自于高三班级，明显所包含基本大事的个数较少． [技法体验]1．(2022·四川雅安中学月考)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，即(a ＋1)·(a －3)＜0，解得－1＜a ＜3.故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，由于x ∈(1,2)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，明显函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18. 由①可知，a ≥18.(2)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(1)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 方法九 分别参数法分别参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分别参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避开对参数进行分类争辩的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要留意该种方法仅适用于分别参数后能够求解相应函数的最值或值域的状况．[例9] 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________．解析：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－52[增分有招] 分别参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于精确 分别参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分别参数时要留意参数系数的符号是否会发生变化，假如参数的系数符号为负号，则分别参数时应留意不等号的变化，否则就会导致错解． [技法体验]1．(2022·长沙调研)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立， 即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，由于y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.答案：C2．(2022·湖南五校调研)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析：若方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ≥1，故a 的最小值为1. 答案：1 方法十 构造法构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观看，深化的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵格外丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点实行相应的解决方法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来争辩另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等． [例10] 已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定解析：由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.由于x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 由于f (n )<f (m )，所以n <m .故选A. 答案：A[增分有招] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题来解决．如[本例]属于比较两个数值大小的问题，依据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x .[技法体验]1．a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c .答案：A2．如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：6π。
高考数学的10 种常用解法解数学有两个根本思路：一是直接法；二是接法①充分利用干和支两方面提供的信息，快速、准确地作出判断是解的根本策略。
②解的根本思想是：既要看到通常各常的解思想，原上都可以指的解答；更看到。
根据的特殊性，必定存在着假设干异于常的特殊解法。
我需把两方面有机地合起来，具体具体分析。
1、直接求解法11、如果log7log 3log 2 x0 ，那么x 2 等于〔〕A1B3C3D236942、方程xsin x 的数解的个数〔〕100A 61B 62C 63D 64精1． f(x)=x(sinx+1)+ax 2,f(3)=5, f(－ 3)=() (A) － 5(B) － 1(C)1(D) 无法确定2．假设定在数集R 上的函数 y=f(x+1)－1的反函数是 y=f(x－ 1),且 f(0)=1, f(2001) 的 ( )(A)1(B)2000(C)2001(D)20023.奇函数 f(x) 足： f(x)=f(x+2) ，且当 x∈ (0,1)， f(x)=2 x－ 1, f (log 1 24) 的2〔A 〕1〔 B 〕5〔 C〕5〔 D 〕23 2224244． a>b>c,n∈ N,且11n恒成立， n的最大是〔〕b c aa b c(A)2(B)3(C)4(D)55.如果把 y=f(x) 在 x=a及 x=b 之的一段象近似地看作直的一段，a≤ c≤b，那么 f(c)的近似可表示〔〕1f (a) f (b)(B) f (a) f (b) (C) f (a)c a[ f (b) f (a)] (D) f (a)c a(A)b a b [ f (b) f (a)]2a6．有三个命：①垂直于同一个平面的两条直平行；② 平面的一条斜 l 有且有一个平面与垂直；③异面直a, b 不垂直，那么 a 的任一平面与 b 都不垂直。
其中正确的命的个数 ().1C7．数列 1,1+2,1+2+2 2, ⋯ ,1+2+22+⋯ +2n－1, ⋯的前 99 的和是〔〕〔 A 〕 2100－ 101〔 B〕 299－ 101〔 C〕 2100－ 99〔 D〕 299－ 99精答案： B DACCDA2、特例法把特殊值代入原题或考虑特殊情况、 特殊位置， 从而作出判断的方法称为特例法〔特殊值法〕(1) 、从特殊结构入手3 一个正四面体，各棱长均为2 ，那么对棱的距离为〔〕A 、1B 、1C 、 2D 、222(2)、从特殊数值入手4、 sin xcos x1 x2 ，那么 tan x 的值为〔 〕,54 B 、4 3 3 4A 、或 4C 、D 、33435、△ ABC 中， cosAcosBcosC 的最大值是〔〕3 1 C 、 11A 、3B 、D 、882(3) 、从特殊位置入手6、如图 2，一个正三角形内接于一个边长为 a 的正三角形中，问x 取什么值时，内接正三角形的面积最小〔〕A 、aB 、aC 、aD 、3 a 图 223 427、双曲线 x 2y 2 1的左焦点为 F ，点 P 为左支下半支异于顶点的任意一点，那么直线PF的斜率的变化范围是〔〕A 、 ( ,0)B 、 ( , 1) U (1, )C 、 ( ,0) U (1, )D 、 (1, )(4) 、从变化趋势入手8、用长度分别为 2、3、 4、 5、6〔单位： cm 〕的 5 根细木棍围成一个三角形〔允许连接，但不允许折断〕，能够得到的三角形的最大面积为多少〔〕A 、 8 5 cm 2B 、 610 cm 2 C 、 3 55 cm 2D 、 20 cm 29、 a b1,P lg a lg b ,Q1 lg a lg b , R lgab，那么〔〕22A R P QB P Q RC Q P RD P R Q注：此题也可尝试利用根本不等式进行变换.10、一个 方体共一 点的三个面的面 分 是2, 3,6 ， 个 方体 角 的 是A 2 3B 3 2C 6D 6〔〕精1．假设 04， 〔〕(A) sin 2sin (B) cos2cos (C) tan2 tan (D) cot 2 cot 2．如果函数 y=sin2x+a cos2x 的 象关于直x= － 称，那么 a=()8(A) 2(B) － 2(C)1 (D) － 13. f(x)=x1 +1(x ≥ 1).函数 g(x)的 象沿 x 方向平移 1 个 位后，恰好与f(x) 的象关于直 y=x 称， g(x) 的解析式是〔 〕〔A 〕 x 2+1(x ≥0)(B)(x － 2)2+1(x ≥ 2) (C) x 2+1(x ≥1) (D)(x+2) 2+1(x ≥ 2)4.直三棱柱 ABC — A / B / C / 的体 V ， P 、 Q 分 棱 AA /、 CC /上的点，且 AP=C / Q ，四棱 B — APQC 的体 是〔 〕〔A 〕 1V〔 B 〕 1V〔 C 〕 1V〔D 〕 1V23455．在△ ABC 中， A=2B ， sinBsinC+sin 2B=()(A)sin 2A (B)sin 2B(C)sin 2C(D)sin2B6.假设 (1-2x) 80 12 x 2 8 8128)=a +a x+a +⋯ +a x ,|a |+|a |+ ⋯ +|a|=(〔 A 〕 1〔 B 〕－ 1〔 C 〕 38－ 1〔 D 〕 28－ 17．一个等差数列的前 n 和 48，前2n 和60， 它的前3n 和 〔〕(A) 24(B) 84(C) 72(D) 368．如果等比数列a n 的首 是正数，公比大于1，那么数列 log 1 a n是〔〕3(A) 增的等比数列；(B) 减的等比数列；(C) 增的等差数列；(D) 减的等差数列。
2兀所以，f(x)的最小正周期，最小值为-2x71 JI7_ 5兀 3T123126f(x)2-2<32010年高考数学考点预测解答题的解法在高考数学试卷中，解答题包括计算题、证明题、应用题等。
其基本架构是：给出一定 的题设(即已知条件)，然后提出一定的要求(即要达到的目标)，让考生解答。
考生解答时， 应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算， 最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和经过，有条理、合逻辑、完整地陈述清楚。
纵观近几年高考命题情况，可以发现，主观题在高考卷中的考查呈现以下特点：(1) 对基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合。
(2) 对数学思想和方法的考查，数学思想与方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括， 在高考中，常将它们与数学知识的考查结合进行考查时， 从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。
(3) 对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力， 强调探究性、综合性、应用性，突出数学试题的能力立意，强化对素质教育的正确导向。
(4) 在强调综合性的同时，注重试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层 次的考查。
(5)出现一些背景新颖的创新题、 开放题、富有时代特色的应用题,-、三角与三角函数的综合问题“【例 1】已知函数 f(x)=-2j3sin 2x+sin2x+V3.(i) 求函数f(x )的最小正周期和最小值； (n)在给出的直角坐标系中，画出函数y 二f(x)在区间［0,二］上的图象.命题意图：三角与三角函数的综合问题主要考点是三角变换、图像、 解析式、向量或三角应 用题，重点是三角、向量基本知识的综合应用能力。
数形结合、函数与方程思想、化归转化 的思想是解决三角函数问题时经常使用的基本思想方法。
属于基础题或中档题的层面，高考中一定要尽量拿满分。
【分析及解】(i) f (x) =、3(1 -2sin 2 x) sin 2x = sin 2x ■、3 cos2x = 2sin(2x ■—)并有越演越烈的趋势(n)列表:故画出函数y 二f(x)在区间［0,二］上的图象为评注：三角函数的训练应当立足课本，紧扣高考真题，不需要加深加宽•解答三角函数考题的关键是进行必要的三角恒等变形，其解题通法是：发现差异(角度，函数，运算) ，寻找联系(套用、变用、活用公式，技巧，方法) ，合理转化(由因导果，由果探因)•其解题技巧有：常值代换：特别是用“ 1 ”的代换；项的分拆与角的配凑；化弦(切)法；降次与升次；引入辅助角：asin B +bcos B = . a2 b2sin( 0 +「),这里辅助角所在象限由a、b的符b号确定，「角的值由tan即确定.此类题目的特点是主要考查三角函数的概念、周期性、a单调性、有界性、“五点法”作图，以及求三角函数的最大(最小)值等.跟踪训练1.(本小题满分12分)设函数f(x) = p q，其中向量p = (sinx,cosx • sin x),q =(2 cos x, cos x - si n x) ,x € R.(I )求f (—)的值及函数f (x)的最大值；3(II )求函数f (x)的单调递增区间.二、概率与统计的综合问题【例2】如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3 一共六个数字.质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1,质点P前进一步(如由A到B)；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前两步(如由A到C), 当正方体上底面出现的数字是3,质点P前进三步(如由A到D).在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.(I)求点P恰好返回到A点的概率；(II)在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量E表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求E的数学期望命题意图：概率与统计的综合问题主要考点是概率、分布列、期望，文科重点是概率，理科重点是概率、分布列、期望，考查从摸球、掷骰子、体育活动、射击及生产生活中抽象出的数学模型的能力，分类讨论的思想。
“10＋7”小题提速保分练(一)一、选择题1．已知集合P ＝{x |x 2≥9}，Q ＝{x |x >2}，则P ∩Q ＝( ) A ．{x |x ≥3} B ．{x |x >2} C ．{x |2<x <3}D ．{x |2<x ≤3}解析：选A 由题意得P ＝{x |x ≤－3或x ≥3}，又Q ＝{x |x >2}，所以P ∩Q ＝{x |x ≥3}． 2．“α>π3”是“sin α>32”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 充分性：当α>π3时，比如α＝π，此时sin π＝0，显然不满足sin α>32，充分性不具备；必要性：当sin α>32时，比如α＝－3π2，此时sin ⎝⎛⎭⎫－3π2＝1，但不满足α>π3，必要性不具备．所以“α>π3”是“sin α>32”的既不充分也不必要条件．3．设m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ⊥n解析：选C 对于A ，若m ∥α，n ∥α，m ，n 还可能相交或异面，故A 是错误的；对于B ，若m ∥α，n ∥α，m ，n 可能是平行的，故B 是错误的；对于C ，若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，显然C 是正确的；对于D ，若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，显然D 是错误的．4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.212 B ．26C.23D ． 2解析：选B 由三视图易知该几何体为三棱锥，则该几何体的体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×2＝26. 5．已知y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D ∵y ＝f (x )＋x 是偶函数， ∴f (x )＋x ＝f (－x )－x .当x ＝2时，f (2)＋2＝f (－2)－2，又f (2)＝1， ∴f (－2)＝5.6．在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．45 B ．42 C ．21D ．84 解析：选A 由题意得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，a 2＝7， 又a 1＝3，所以公差d ＝a 2－a 1＝4.所以a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 2＋a 3)＋6d ＝21＋24＝45.7．由函数y ＝cos 2x 的图象通过平移变换得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，这个变换可以是( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：选B 因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，所以可以由函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 8．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3，x ＋y >a 表示一个三角形内部的区域，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，34 B ．⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析：选C 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3表示的平面区域如图中阴影部分所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋y ＝3，解得x ＝y ＝34，即A ⎝⎛⎭⎫34，34， 因为x ＋y >a 表示直线的右上方部分，由图可知，若不等式组构成三角形，则点A 在x ＋y ＝a 的右上方即可．又A ⎝⎛⎭⎫34，34，所以34＋34>a ，即a <32. 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，32. 9．若|a |＝|b |＝|c |＝2，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的取值范围是( ) A ．[0,22＋2] B ．[0,2] C ．[22－2,22＋2]D ．[22－2,2]解析：选D 如图所示，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→＝a ＋b ， ∵(a －c )·(b －c )≤0， ∴点C 在劣弧AB 上运动，∵|a ＋b －c |表示C ，D 两点间的距离|CD |.∴|CD |的最大值是|BD |＝2，|CD |最小值为|OD |－2＝22－2.10．已知F 1，F 2为椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝45°，则该椭圆与双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.24B ．22C ．1D ． 2解析：选B 如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝45°， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos 45°，化简得，(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，即2－2e 21＋2＋2e 22＝4， 又∵2－2e 21＋2＋2e 22≥222－2e 1e 2＝22e 1e 2，∴22e 1e 2≤4，即e 1e 2≥22，∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22. 二、填空题11．已知复数z ＝1＋a ii (a ∈R ，i 为虚数单位)的实部为1，则a ＝________，|z |＝________.解析：z ＝1＋a i i ＝(1＋a i )(－i )－i2＝a －i ，因为复数z 的实部为1，所以a ＝1，|z |＝a 2＋1＝2.答案：1212．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是________；若X 表示摸出黑球的个数，则E (X )＝________.解析：从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是P ＝C 12C 13C 25＝35；X 的可能取值为0,1,2.所以P (X ＝0)＝C 23C 25＝310，P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝610，P (X ＝2)＝C 22C 25＝110，所以E (X )＝0×310＋1×610＋2×110＝45. 答案：35 4513．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n的展开式各项系数之和为64，则n ＝________；展开式中的常数项为________．解析：令x ＝1，得2n ＝64，所以n ＝6.所以⎝⎛⎭⎫3x －1x 6的通项公式为 T r ＋1＝C r 6(3x )6－r⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 6(－1)r 36－r x 3－r ，令r ＝3，得展开式中的常数项为C 36(－1)336－3＝－540. 答案：6 －54014．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝______；若f ()f (a )＝1，则实数a 的值为________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，∴f ⎝⎛⎭⎫23＝2－1＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝f (1)＝2. 由f (f (a ))＝1，可知当a ＜23时，f (f (a ))＝f (3a －1)＝3(3a －1)－1＝1，解得a ＝59；当a ≥1时，2a ＞1，f (f (a ))＝1，不成立； 当23≤a <1时，f (f (a ))＝f (3a －1)＝23a －1＝1， 解得a ＝13(舍去)．综上，a ＝59.答案：25915．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则向量a 与b 的夹角为________．解析：∵(a －b )⊥(3a ＋2b )， ∴(a －b )·(3a ＋2b )＝0， 即3a 2－2b 2－a ·b ＝0， 即a ·b ＝3a 2－2b 2＝23b 2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝23b 2223|b |2＝22，即〈a ，b 〉＝π4.答案：π416．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________． 解析：由正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn 可得， 22mn ＋6≤2m ＋n ＋6＝mn ， 即22mn ＋6≤mn ，令2mn ＝t ，则不等式可化为2t ＋6≤t 22，即t 2－4t －12≥0，解得t ≤－2(舍去)或t ≥6.即2mn ≥6，mn ≥18，∴mn 的最小值是18. 答案：1817．当1≤x ≤3时，|3a ＋2b |－|a －2b |≤|a |·⎝⎛⎭⎫x ＋m x ＋1对任意实数a ，b 都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，不等式显然成立； 当a ≠0时，⎪⎪⎪⎪3＋2b a －⎪⎪⎪⎪1－2b a ≤x ＋mx＋1， 而⎪⎪⎪⎪3＋2b a －⎪⎪⎪⎪1－2b a ≤⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫3＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫1－2b a ＝4，∴x ＋mx＋1≥4，即m ≥3x －x 2.当1≤x ≤3时，3x －x 2≤3×32－94＝94，∴m ≥94.答案：⎣⎡⎭⎫94，＋∞“10＋7”小题提速保分练(二)一、选择题1．已知集合A ＝{x |0<x <5}，B ＝{x |x 2－2x －8<0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2,4) B ．(4,5) C ．(－2,5)D ．(0,4)解析：选D 由已知得B ＝{x |－2<x <4}，又A ＝{x |0<x <5}，所以A ∩B ＝(0,4)． 2．已知复数z 满足z (1＋i)＝2－i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为( ) A ．－32iB ．32iC ．－32D ．32解析：选C 因为z ＝2－i 1＋i ＝(2－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－3i 2＝12－32i ，所以复数z 的虚部为－32.3．已知直线l ，m 与平面α，β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中正确的是( ) A ．若l ∥m ，则α∥β B ．若l ⊥m ，则α⊥β C ．若l ⊥β，则α⊥βD ．若α⊥β，则m ⊥α解析：选C 对于选项A ，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A 错误；对于选项B ，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B 错误；对于选项C ，因为l ⊂α，l ⊥β，所以α⊥β，所以选项C 正确；对于选项D ，直线m 还有可能和平面α平行，所以选项D 错误，故选C.4．使得⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析：选B ⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式的通项为 T r ＋1＝3n －rC r n xn －rx32-r ＝3n －rC r n x25-n r ，令n －52r ＝0，得n ＝52r ，又n ∈N *，∴当r ＝2时，n 的值最小，即n min ＝5.5．记S n 为数列{a n }的前n 项和．“对于任意正整数n ，均有a n >0”是“{S n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵“a n ＞0”⇒“数列{S n }是递增数列”， ∴“a n ＞0”是“数列{S n }是递增数列”的充分条件．当数列{a n }为－1,0,1,2,3,4，…，显然数列{S n }是递增数列，但是a n 不一定大于零，还有可能小于等于零，∴“数列{S n }是递增数列”不能推出“a n ＞0”， ∴“a n ＞0”不是“数列{S n }为递增数列”的必要条件．∴“对于任意正整数n ，a n ＞0”是“数列{S n }为递增数列”的充分不必要条件． 6．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≥0，3x －4y ＋8≥0，2x －y －8≤0，则|x －y |的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D ．8解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，|x －y |＝2·|x －y |2＝2·|x －y |12＋(－1)2的几何意义为表示区域内的点到直线x －y ＝0的距离的2倍，由图可知点A (4,0)到直线x －y ＝0距离最大，所以|x －y |的最大值为2·|4－0|2＝4.7．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( )A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种解析：选B 此人从A 到B ，路程最短的走法应走2纵3横，将纵用0表示，横用1表示，则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有C 25＝10种．8．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (2,0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若|BF |＝52，则S △BCF S △ACF＝( )A.56 B ．1430C.1516D ．1522解析：选D 如图，抛物线的准线方程为l ：x ＝－1， 分别过A ，B 作准线l 的垂线AM ，BN ， 则|BN |＝|BF |＝52，∴点B 的横坐标为32，不妨设B ⎝⎛⎭⎫32，－6，则直线AB 的方程为y ＝26x －46，联立方程组⎩⎨⎧y ＝26x －46，y 2＝4x .得6x 2－25x ＋24＝0，设点A 的横坐标为x 0，则x 0＋32＝256，解得x 0＝83.∴|AM |＝x 0＋1＝113，∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BN ||AM |＝1522. 9．已知a 为正常数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，x 2－3ax ＋2a 2＋1，x <a ，若存在θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，满足f (sin θ)＝f (cos θ)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．⎝⎛⎭⎫12，22解析：选D 设g (x )＝x 2－ax ＋1，则其关于直线x ＝a 对称的曲线为g (－x ＋2a )，g (－x ＋2a )＝(－x ＋2a )2－a (－x ＋2a )＋1＝x 2－3ax ＋2a 2＋1， 所以函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，且在[a ，＋∞)上为增函数． 所以a ＝sin θ＋cos θ2＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. 所以a ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫12，22. 10．已知x ，y 均为非负实数，且x ＋y ≤1，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤23，4 B ．[1,4] C ．[2,4] D ．[2,9]解析：选A 设1－(x ＋y )2＝z ，则问题等价于x ＋y ＋2z ＝1，满足x ，y ，z ≥0，求4(x 2＋y 2＋z 2)的取值范围．设点A ⎝⎛⎭⎫0，0，12，B (1,0,0)，C (0，1,0)， 所以点P (x ，y ，z )可视为长方体的一个三角截面ABC 上的一个点，则|OP |2＝x 2＋y 2＋z 2，于是问题可以转化为先求|OP |的取值范围． 显然|OP |≤1，设点O 到平面ABC 的距离为h ， 则V O -ABC ＝V A -OBC ，所以13×12×2×32×h ＝13×12×1×1×12，解得h ＝66，所以66≤|OP |≤1， 所以|OP |2∈⎣⎡⎦⎤16，1，即4(x 2＋y 2＋z 2) ∈⎣⎡⎦⎤23，4. 故答案为A. 二、填空题 11．双曲线x 2－y 23＝1的离心率是__________，渐近线方程为____________． 解析：因为a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2，渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .答案：2 y ＝±3x12．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则m 的值为________；动直线l 被圆x 2＋2x ＋y 2－24＝0截得弦长的最小值为____________．解析：由题意得m ＝1m ，解得m ＝±1.当m ＝1时，两直线重合，所以m ＝1舍去， 故m ＝－1.因为圆的方程为x 2＋2x ＋y 2－24＝0， 所以(x ＋1)2＋y 2＝25，所以它表示圆心为C (－1,0)，半径为5的圆． 由于直线l ：mx －y －1＝0过定点P (0，－1)， 所以过点P 且与PC 垂直的弦的弦长最短．且最短弦长为252－(2)2＝223. 答案：－1 22313．已知随机变量X 的分布列如下表：X a 2 3 4 P13b1614若E (X )＝2，则a ＝解析：因为13＋b ＋16＋14＝1，所以b ＝14，所以E (X )＝a ×13＋2×14＋3×16＋4×14＝2，解得a ＝0.所以D (X )＝(0－2)2×13＋(2－2)2×14＋(3－2)2×16＋(4－2)2×14＝52.答案：05214．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为________，该三棱锥的外接球体积为________．解析：由三视图可得几何体的直观图为如图所示的三棱锥P -ABC ， 所以该三棱锥的表面积S ＝2×12×2×2＋12×23×5＋12×23×1＝4＋15＋ 3.设△ABC 的外接圆半径为r ，三棱锥的外接球半径为R ，则2r ＝23sin 120°＝4，所以r ＝2，所以R ＝r 2＋⎝⎛⎭⎫PA 22＝5，所以该三棱锥的外接球体积V ＝43×π×(5)3＝2053π.答案：4＋15＋32053π 15．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 1＋⎝⎛⎭⎫a 222＋⎝⎛⎭⎫a 333＋…＋ ⎝⎛⎭⎫a n n n ＝________. 解析：设a n ＝2＋(n －1)d ，所以a 2nn ＝[2＋(n －1)d ]2n ＝d 2n 2＋(4d －2d 2)n ＋(d －2)2n.由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 为等差数列，所以其通项是一个关于n 的一次函数， 所以(d －2)2＝0，∴d ＝2.所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴a n n ＝2nn＝2.所以a 1＋⎝⎛⎭⎫a 222＋⎝⎛⎭⎫a 333＋…＋⎝⎛⎭⎫a n n n ＝21＋22＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－216．已知实数a ，b ，c 满足：a ＋b ＋c ＝－2，abc ＝－4.则|a |＋|b |＋|c |的最小值为________． 解析：不妨设a 是a ，b ，c 中的最小者，即a ≤b ，a ≤c . 由题设知a <0，且b ＋c ＝－2－a ，bc ＝－4a .于是b ，c 是一元二次方程x 2＋(2＋a )x －4a ＝0的两实根，Δ＝(2＋a )2＋4×4a ≥0，a 3＋4a 2＋4a ＋16≤0， 所以(a 2＋4)(a ＋4)≤0，所以a ≤－4.因为abc <0，所以a ，b ，c 为全小于0或一负二正．①若a ，b ，c 为全小于0，则a ＋b ＋c <a ≤－4，这与a ＋b ＋c ＝－2矛盾． ②若a ，b ，c 为一负二正，设a <0，b >0，c >0， 则|a |＋|b |＋|c |＝－a ＋b ＋c ＝－2a －2≥8－2＝6，当a ＝－4，b ＝c ＝1时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6. 答案：617.已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BB 1C 1C 中心，F 在棱AD 上运动，正方体表面上有一点P 满足D 1P ―→＝xD 1F ―→＋yD 1E ―→(x ≥0，y ≥0)，则所有满足条件的P 点构成图形的面积为________．解析：∵D 1P ―→＝xD 1F ―→＋yD 1E ―→(x ≥0，y ≥0)， ∴D 1，E ，F ，P 四点共面．设D 1，E ，F ，P 四点确定的平面为α， 则α与平面BCC 1B 1的交线与D 1F 平行．①当F 与D 重合时，取BC 的中点M ，连接EM ，DM ， 则EM ∥D 1F ，此时P 的轨迹为折线D 1-D -M -E . ②当F 与A 重合时，EB ∥D 1F ， 此时P 的轨迹为折线D 1-A -B -E .∴当F 在棱AD 上运动时，符合条件的P 点在正方体表面围成的图形为Rt △D 1AD ，直角梯形ABMD ，Rt △BME .∴S ＝12×1×1＋12×⎝⎛⎭⎫12＋1×1＋12×12×12＝118. 答案：118“10＋7”小题提速保分练(三)一、选择题1．定义集合A ＝{x |f (x )＝2x －1}，B ＝{y |y ＝log 2(2x ＋2)}，则A ∩∁R B ＝( ) A ．(1，＋∞) B ．[0,1] C ．[0,1)D ．[0,2)解析：选B 由2x －1≥0得x ≥0，即A ＝[0，＋∞)．因为2x >0，所以2x ＋2>2，所以log 2(2x ＋2)>1，即B ＝(1，＋∞)， 所以A ∩∁R B ＝[0,1]，故选B.2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A a 2＋b 2<c 2⇒C 为钝角⇒△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形，则当A 为钝角时，有b 2＋c 2<a 2，不能推出a 2＋b 2<c 2，故选A.3．已知复数2－b i1＋2i 的实部与虚部互为相反数，则实数b 等于( )A ．2B ．23C ．－2D ．－23解析：D2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2－4i －b i －2b 5＝2－2b 5－4＋b 5i ，由题设可得2－2b5＋⎝⎛⎭⎫－4＋b 5＝0，解得b ＝－23，故选D.4．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题不正确的是( )A ．平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，且两平面间的距离为33B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P -A 1B 1C 1的体积不变 C ．与12条棱都相切的球的体积为23π D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是△AB 1C 外接圆的圆周上任意一点，则|MN |的最小值是3－22解析：选D 平面ACB 1与平面A 1C 1D 都垂直于BD 1，且将BD 1三等分，故A 正确；由于AB ∥平面A 1B 1C 1D 1，所以动点P 到平面A 1B 1C 1D 1的距离是定值，所以四面体P -A 1B 1C 1的体积不变，故B 正确；与12条棱都相切的球即为以正方体的中心为球心，22为半径的球，所以体积为23π，故C 正确；对于选项D ，设内切球的球心为O ，则|MN |≥||OM |－|ON ||＝32－12，当且仅当O ，M ，N 三点共线时取“＝”，而32－12>32－22，故D 错误． 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]，|cos x |，x ∈(π，2π]，若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[1,2]C ．(0,1]D ．(1,2)解析：选A 函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内有4个不同的零点，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝m 在[0,2π]上有4个不同的交点，画出图象如图所示，结合图象可得0<m <1.6．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，过点P 向x 轴作垂线，垂足为H ，若|PH |＝a ，则双曲线的离心率为( )A ．52B ．32C ．5＋12D ．6＋12解析：选C 由题意可得点P 的坐标为(b ，a )， 又点P 在双曲线上，故有b 2a 2－a 2b 2＝1，即b 2a 2＝c 2b 2，所以b 2＝ac ，即c 2－ac －a 2＝0，所以e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(负值舍去)． 7．已知3tan α2＋tan 2α2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝( )A.43 B ．－43C ．－23D ．－3 解析：选B 由3tan α2＋tan 2α2＝1，得tan α21－tan 2α2＝13， 所以tan α＝23.①由sin β＝3sin(2α＋β)，得sin [(α＋β)－α]＝3sin [(α＋β)＋α]，展开并整理得，2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α， 所以tan(α＋β)＝－2tan α，②由①②得tan(α＋β)＝－43.8．已知x ，y ∈R ，则(x ＋y )2＋⎝⎛⎭⎫x －2y 2的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．1 解析：选C 构造函数y 1＝x ，y 2＝－2x ，则(x ，x )与⎝⎛⎭⎫－y ，2y 两点分别在两个函数图象上，故所求可看作(x ，x )与⎝⎛⎭⎫－y ，2y 两点之间距离的平方． 令⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y ＝－2x⇒x 2＋mx ＋2＝0⇒Δ＝m 2－8＝0⇒m ＝±22， 所以y ＝x ±22是与y 1＝x 平行的y 2＝－2x 的切线，故两平行直线的最小距离为d ＝2，所以(x ＋y )2＋⎝⎛⎭⎫x －2y 2的最小值为4. 9．若x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且sin 2x ＝6 tan(x －y )cos 2x ，则x ＋y 的取值不可能是( ) A.π6 B ．π4C.2π3D ．3π4解析：选C 由题意知，tan 2x ＝6tan(x －y )， 则tan(x ＋y )＝tan [2x －(x －y )] ＝tan 2x －tan (x －y )1＋tan 2x ·tan (x －y )＝5tan (x －y )1＋6tan 2(x －y ).令tan(x －y )＝t (t ≠0)，则tan(x ＋y )＝5t1＋6t 2. 令g (t )＝5t1＋6t 2(t ≠0)，则g ′(t )＝5－30t 2(1＋6t 2)2，由g ′(t )>0，得－66<t <0或0<t <66； 由g ′(t )<0，得t >66或t <－66， 所以g (t )在⎝⎛⎭⎫－∞，－66，⎝⎛⎭⎫66，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－66，0，⎝⎛⎭⎫0，66上单调递增．结合函数图象可得g (t )＝tan(x ＋y )∈⎣⎡⎭⎫－526，0∪⎝⎛⎦⎤0，526，故选C.10．在平面α内，已知AB ⊥BC ，过直线AB ，BC 分别作平面β，γ，使锐二面角α -AB -β为π3，锐二面角α -BC -γ为π3，则平面β与平面γ所成的锐二面角的余弦值为( )A.14 B ．34C.12D ．34解析：选A cos θ＝cos 60°cos 60°＝14.二、填空题11.⎝⎛⎭⎫x －12x 6展开式中的常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x －12x 6展开式的通项公式T r ＋1＝ C r 6(x )6－r·⎝⎛⎭⎫－12x r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－12r x 6-3r2，令6－3r ＝0，得r ＝2， 所以常数项为T 3＝C 26⎝⎛⎭⎫－122＝154. 答案：15412．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是________，体积是________．解析：由三视图可得该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱和两个半径为1的半球组成的，且球截面与圆柱的上、下底面完全重合，所以该几何体的表面积为2π×1×2＋4π×12＝8π，体积为43π×13＋π×12×2＝103π.答案：8π103π 13．若直线x ＝π6是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象的一条对称轴，则函数f (x )的最小正周期是________；函数f (x )的最大值是________．解析：由题设可知f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3， 即a ＝32＋a ·⎝⎛⎭⎫－12，解得a ＝33， 所以f (x )＝sin 2x ＋33cos 2x ＝23⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＝233sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则函数f (x )的最小正周期T ＝π，f (x )max ＝233. 答案：π23314．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，则a 1a 2a 3·…·a 15＝________；设b n ＝(－1)n a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 2 018＝________.解析：因为a n ＋2＝1＋a n ＋11－a n ＋1＝1＋1＋a n 1－a n 1－1＋a n 1－a n＝2－2a n ＝－1a n，所以a n ＋2a n ＝－1，a n ＋4＝－1a n ＋2＝a n ， 即数列{a n }是周期为4的周期数列，易得a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，所以a 1a 2a 3·…·a 15＝(a 1a 2a 3a 4)3a 1a 2a 3＝3.S 2 018＝504(－a 1＋a 2－a 3＋a 4)－a 1＋a 2＝504×⎝⎛⎭⎫－2－3＋12＋13－2－3＝－2 105. 答案：3 －2 10515．已知整数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≥4，x －2y ＋8>0，则2x ＋y 的最大值是________，x 2＋y 2的最小值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示的整数点．作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A 时，取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋8＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8.但x ，y 为整数，所以最大值取不到，再向左下方平移直线，当该直线经过点(7,7)时，2x ＋y 取得最大值，最大值为21.x 2＋y 2的最小值即为可行域中的点到原点最小距离的平方，即原点到直线x ＋y －4＝0距离的平方，所以x 2＋y 2的最小值是8.答案：21 816．已知|a |＝|b |＝1，向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值为________． 解析：法一：|c －(a ＋b )|＝|a －b |⇒⎪⎪⎪⎪c 2－(a ＋b )2＝⎪⎪⎪⎪a －b 2，其几何意义可以理解为，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，取AB 中点为D ，所以c 2的终点C 在以D 为圆心，以⎪⎪⎪⎪a －b 2＝|AD |为半径的圆上运动，所以|c |的最大值就是2(|OD ―→|＋|AD ―→|)．又因为|OD ―→|2＋|AD ―→|2＝1，所以|OD ―→|＋|AD ―→|≤2， 当且仅当|OD ―→|＝|AD ―→|＝22，即a ⊥b 时取等号，所以|c |max ＝2 2.法二：因为|c |－|a ＋b |≤|c －(a ＋b )|＝|a －b |， 所以|c |≤|a －b |＋|a ＋b |≤ 2 |a －b |2＋|a ＋b |2＝ 22|a |2＋2|b |2≤22，当且仅当a ⊥b 时取等号，所以|c |max ＝2 2. 答案：2 217．已知函数f (x )＝x 2－x －4xx －1(x <0)，g (x )＝x 2＋bx －2(x >0)，b ∈R .若f (x )图象上存在A ，B 两个不同的点与g (x )图象上A ′，B ′两点关于y 轴对称，则b 的取值范围为________．解析：f (x )＝x 2－x －4xx －1(x <0)的图象关于y 轴对称的图象对应的函数的解析式为h (x )＝x 2＋x －4xx ＋1(x >0)，所以f (x )图象上存在A ，B 两个不同的点与g (x )图象上A ′，B ′两点关于y 轴对称，当且仅当方程x 2＋x －4xx ＋1＝x 2＋bx －2有两个不同的正根，即(1－b )x 2－(b＋1)x ＋2＝0有两个不同的正根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(b ＋1)]2－8(1－b )>0，1－b >0，1＋b >0，解得－5＋42<b <1. 答案：(－5＋42，1)“10＋7”小题提速保分练(四)一、选择题1．已知集合A ＝{x |y ＝－x 2＋x ＋2，x ∈R }，B ＝{x |ln x <1，x ∈R }，则A ∩B ＝( ) A ．[－1,2] B ．(0,2] C ．[1,2]D ．[1，e]解析：选B 由－x 2＋x ＋2≥0，得－1≤x ≤2， 所以A ＝[－1,2]．由ln x <1，得0<x <e ，所以B ＝(0，e)． 所以A ∩B ＝(0,2]．2．“cos 2α＝12”是“α＝k π＋π6(k ∈Z )”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由cos 2α＝12，可得2α＝π3＋2k π或2α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，即α＝π6＋k π或α＝－π6＋k π，k ∈Z ，所以cos 2α＝12是α＝π6＋k π，k ∈Z 成立的必要不充分条件，故选B.3．复数z ＝2＋ii 5－1在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由题意可得z ＝2＋i i 5－1＝2＋i i －1＝(2＋i )(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－3i 2＝－12－32i ，对应点为⎝⎛⎭⎫－12，－32，所以复数z 在复平面内对应的点在第三象限，选C. 4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.83 B ．8 C.203D ．6解析：选A 如图所示，在棱长为2的正方体中，题中的三视图对应的几何体为四棱锥P -ADC 1B 1，其中P 为棱A 1D 1的中点，则该几何体的体积V P -ADC 1B 1＝2V P -DB 1C 1＝2V D -PB 1C 1＝2×13×S △PB 1C 1×DD 1＝83.5．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.2027 B ．827 C.727D ．127解析：选C ∵变量ξ～B (2，p )，且P (ξ≥1)＝59，∴P (ξ≥1)＝1－P (ξ<1)＝1－C 02p 0(1－p )2＝59，∴p ＝13，∴P (η≥2)＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－C 03×⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫233－C 13×⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫232＝1－827－1227＝727，故选C.6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m＝( )A ．7B ．5C ．4D ．1解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x －y ＝0，平移该直线，当直线经过点A 时，z ＝x －y 取得最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝－x ＋m 可得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫m ＋13，2m －13， 所以m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.7．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选A 若二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则n＝20，⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x 20展开式的通项公式T r ＋1＝C r 20(3x )20－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝(3)20－r ·C r20x 420-3r， 展开式的有理项满足20－43r ＝k (k ∈Z )，则r MOD3＝0(0≤r ≤20，r ∈Z )，所以r 可能的取值为0,3,6,9,12,15,18，共有7个，故选A.8．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆交渐近线y ＝ba x 于点P (P 在第一象限)，PF 1交双曲线左支于Q ，若Q 是线段PF 1的中点，则该双曲线的离心率为( )A. 3 B ． 5 C.5＋1D ．5－1解析：选C 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝b ax ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ，所以点P 的坐标为(a ，b )，又双曲线的左焦点坐标为F 1(－c,0)， 则PF 1的中点坐标Q ⎝⎛⎭⎫a －c 2，b 2.因为点Q 在双曲线上，所以(a －c )24a 2－b 24b 2＝1，整理可得c 2－2ac －4a 2＝0，即e 2－2e －4＝0， 解得e ＝5＋1(负值舍去)．9．设函数f (x )＝min{|x －2|，x 2，|x ＋2|}，其中min{x ，y ，z }表示x ，y ，z 中的最小者．下列说法错误的是( )A ．函数f (x )为偶函数B ．若x ∈[1，＋∞)时，有f (x －2)≤f (x )C ．若x ∈R 时，f (f (x ))≤f (x )D ．若x ∈[－4,4]时，|f (x )－2|≥f (x )解析：选D 结合新定义的运算作出函数f (x )的图象如图1中实线部分所示，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋2|，x <－1，x 2，－1≤x ≤1，|x －2|，x >1.观察函数图象可知函数图象关于y 轴对称，则函数f (x )为偶函数，选项A 的说法正确；对于选项B ，若x ∈[1,3]，则x －2∈[－1,1]，此时f (x －2)＝(x －2)2，若x ∈(3，＋∞)，则x －2∈(1，＋∞)，此时f (x －2)＝|(x －2)－2|＝|x －4|， 如图2所示，观察可得，恒有f (x －2)≤f (x )，选项B 的说法正确；对于选项C ，由于函数为偶函数，故只需考查x ≥0时不等式是否成立即可， 若x ∈[0,1]，则f (x )∈[0,1]，此时f (f (x ))＝f (x 2)＝x 4， 若x ∈(1,3)，则f (x )∈[0,1]，此时f (f (x ))＝f (|x －2|)＝(x －2)2，若x ∈[3，＋∞)，则f (x )≥1，此时f (f (x ))＝f (|x －2|)＝|x －4|，如图3所示，观察可得，恒有f (f (x ))≤f (x )，选项C 的说法正确；对于选项D ，若x ＝－4，则f (x )＝f (－4)＝2，|f (x )－2|＝|2－2|＝0， 不满足|f (x )－2|≥f (x )，选项D 的说法错误．本题选择D 选项．10．已知点P 为棱长是2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球O 球面上的动点，点M 为B 1C 1的中点，若满足DP ⊥BM ，则B 1P 与平面CDP 所成角的正切值的最小值是( )A.16 B ．55 C.14－25D ．147解析：选C 如图所示，取E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点， 易知BM ⊥平面CDEF ， 则点P 在平面CDEF 内． 又点P 在内切球O 球面上，则点P 为球O 球面与平面CDEF 的交线所成的圆O 1上．作B 1H ⊥平面CDEF 于点H ，点P 为圆O 1上的点，则∠HPB 1为B 1P 与平面CDP 所成角，tan ∠HPB 1＝HB 1HP，其中HB 1为定值， 则满足题意时，HP 有最大值即可． 设圆O 1的半径为r ，则HP max ＝HO 1＋r ，由V B 1-CDF ＝V D -B 1FC ，即13×⎝⎛⎭⎫12×2×5×B 1H ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×1×2，解得B 1H ＝25. 因为OO 1为△B 1HD 的中位线， 所以OO 1＝12B 1H ＝15.在Rt △POO 1中，由勾股定理可得r ＝O 1P ＝OP 2－OO 21＝ 12－15＝25，在Rt △B 1HD 中，由勾股定理可得HD ＝B 1D 2－HB 21＝12－45＝2145，所以HO 1＝12HD ＝145，则HP max ＝HO 1＋r ＝145＋25， 综上可得，B 1P 与平面CDP 所成角的正切值的最小值是HB 1HP max ＝25145＋25＝14－25.二、填空题11．设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2－a ＝0，直线l 2：2x ＋(a ＋2)y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________，若l 1∥l 2，则实数a 的值为________．解析：若l 1⊥l 2，则2(a ＋1)＋3(a ＋2)＝0， 整理可得5a ＋8＝0， 解得a ＝－85.因为a ＝－2时，l 1与l 2不平行．若l 1∥l 2，则a ＋12＝3a ＋2 ≠2－a 1，解得a ＝－4.答案：－85－412．已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，则 f ⎝⎛⎭⎫π6＝________，该函数的最小正周期为________.解析：由题意可得f (x )＝1＋cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32＝12cos 2x ＋12⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3 ＝34cos 2x －34sin 2x ＝32⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π6－sin 2x sin π6＝32cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝32cos π2＝0， 函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.答案：0 π13．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则a 3－r ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 的最大项是第k 项，则k ＝_______.解析：等比数列前n 项和公式具有特征S n ＝aq r －a ， 据此可知r ＝－1，则S n ＝3n －1， 所以a 3＝S 3－S 2＝(33－1)－(32－1)＝18， 故a 3－r ＝19.令a n ＝n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n，则a n ＋1a n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n . 由a n ＋1a n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n >1，可得n 2<10，由a n ＋1a n＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n <1，可得n 2>10，所以数列中的项满足a 1<a 2<a 3<a 4， 且a 4>a 5>a 6>a 7>a 8>…，则k ＝4. 答案：19 414. 在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若甲同学物理、化学至少选一门，则甲的不同的选法种数为________，乙、丙两名同学都不选物理的概率是________．解析：由题意可知，甲的不同的选法种数为总的选法除去甲不选择物理、化学的选法，即C 37－C 35＝35－10＝25.乙不选择物理的概率为P ＝C 36C 37＝2035＝47，则乙、丙两名同学都不选物理的概率P ＝⎝⎛⎭⎫472＝1649. 答案：25164915．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且∠A ＝60°，若AO ―→＝αAB ―→＋βAC ―→(α，β∈R )，则α＋β的最大值为__________．解析：设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 因为AO ―→＝αAB ―→＋βAC ―→，所以AB ―→·AO ―→＝α|AB ―→|2＋βAB ―→·AC ―→， AC ―→·AO ―→＝αAB ―→·AC ―→＋β|AC ―→|2， 所以12c 2＝c 2α＋12bcβ，12b 2＝12bcα＋b 2β，解得 ⎩⎨⎧α＝23－b 3c，β＝23－c3b ，所以α＋β＝43－13⎝⎛⎭⎫b c ＋c b ≤43－23b c ·c b ＝23. 所以α＋β的最大值为23.答案：2316．若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2＝1，则z 的最小值是________． 解析：由x ＋2y ＋3z ＝1，得x ＝1－2y －3z ， 所以(1－2y －3z )2＋4y 2＋9z 2＝1， 整理可得4y 2＋(6z －2)y ＋(9z 2－3z )＝0，满足题意时上述关于y 的一元二次方程有实数根， 则Δ＝(6z －2)2－16(9z 2－3z )≥0，解得－19≤z ≤13，所以z 的最小值是－19.答案：－1917．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1x －1－a －4x ＋a ＋1有两个零点，则实数a 的值是________．解析：函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1x －1－a －4x ＋a ＋1有两个零点， 即⎪⎪⎪⎪1x －1－a ＝4x －a －1有两个不等实根，即1x －1－a ＝4x －a －1≥0 ① 或1x －1－a ＝－4x ＋a ＋1≤0， ②由①可得1x －1－4x ＋1＝0，解得x ＝0或54，当x ＝0时，a ≤－1；当x ＝54时，a ≤4，当a ＝4时，由①可得x ＝54；由②可得x ＝2，符合题意； 当－1<a <4时，由①可得x ＝54；由②可得4x 2－(5＋2a )x ＋2a ＋2＝0有两个相等的实根， 即Δ＝(5＋2a )2－4×4(2a ＋2)＝0， 解得a ＝－12或a ＝72，符合题意．当a ≤－1时，由①可得x ＝0或x ＝54.由②可得x ＝5＋2a ＋4a 2－12a －78，故f (x )有三个零点，不符合题意，舍去． 综上，a ＝－12或a ＝72或a ＝4.答案：－12或72或4“10＋7”小题提速保分练(五)一、选择题1．已知i是虚数单位，则2i1－i＝()A．1＋i B．－1＋i C．1－i D．－1－i解析：选B2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－1＋i.2．已知集合M＝{x|x2＋x－12≤0}，N＝{y|y＝3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为() A．(0,3] B．[－4,3]C．[－4,0) D．[－4,0]解析：选D易得M＝[－4,3]，N＝(0,3]，则{x|x∈M且x∉N}＝[－4,0]，故选D.3．若α，β，γ为不同的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若a∥β，a∥b，则b∥βC．若a∥α，b∥α，c⊥a，c⊥b，则c⊥αD．若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b解析：选Dα⊥γ，β⊥γ⇒α∥β或α与β相交，故A不正确；若a∥β，a∥b，则b与β可能有两种位置关系：b⊂β或b∥β，故B不正确；当a，b，c共面时，满足a∥α，b∥α，c⊥a，c⊥b，则c∥α，故C不正确．故选D.4．如图所示，某多面体的正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A．2 2 B．10C．2 3 D．13解析：选C由三视图可知该多面体的直观图为如图所示的四棱锥P-ABCD，补形成正方体，由图可知最长棱PD的长度为2 3.5．若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a0＋a1＋a3＋a5＝()A．122 B．123C．243 D．244解析：选B记f(x)＝(1＋2x)5，则a0＝f(0)＝1, 又f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a5＝35，f(－1)＝a0－a1＋a2－…－a5＝(－1)5＝－1，两式相减得a1＋a3＋a5＝122，所以a 0＋a 1＋a 3＋a 5＝123，故选B.6．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( ) A ．若d <0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 解析：选C 由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 是关于n 的二次函数，定义域为N *，所以当d <0时，S n 有最大值，反之也成立，故A 、B 正确；由于S n ＋1>S n ⇔a n ＋1>0，即若数列{S n }是递增数列，则a n >0(n ≥2)，并不能说明a 1>0也成立，如数列－1,1，3,5，…，所以C 不正确；对于D ，显然a 1＝S 1>0，若公差d <0，由S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 可知，存在n ∈N *，有S n <0，与对任意n ∈N *，均有S n >0矛盾，所以d ≥0，从而a n >0(n ∈N *)，所以数列{S n }是递增数列，故D 正确．7．已知O 为三角形ABC 内一点，且满足OA ―→＋λOB ―→＋(λ－1)OC ―→＝0，若△OAB 的面积与△OAC 的面积的比值为13，则λ的值为( )A.32 B ．2 C.13D ．12解析：选A 如图，设BC 的中点为E ，连接OE ，直线AO 与BC 相交于点F ，由OA ―→＋λOB ―→＋(λ－1)OC ―→＝0，可知(OA ―→－OC ―→)＋λ(OB ―→＋OC ―→)＝0，CA ―→＝－2λOE ―→，则CA ―→∥OE ―→，因为△OAB 的面积与△OAC的面积的比值为13，所以BC ＝4BF ，又BC ＝2BE ，所以BE ＝2BF ，从而CF ＝3EF ，AC ―→＝3OE ―→，所以2λ＝3，λ＝32.8．已知0<x <y,2<x 2＋y <52，则下列不正确的是( )A ．sin x 2<sin ⎝⎛⎭⎫52－y B ．sin x 2>sin(2－y ) C ．sin(2－x 2)<sin yD ．sin x 2<cos(y －1)解析：选C 易得x 2＋x <x 2＋y <52，所以0<x <11－12<1.2， 又可得2<x 2＋y <y 2＋y ，所以y >1， 又y <52，所以1<y <52.由x 2＋y <52，得0<x 2<52－y <32<π2，所以sin x 2<sin ⎝⎛⎭⎫52－y ，故A 正确； 由2<x 2＋y ，得π2>1.44>x 2>2－y >－12>－π2，所以sin x 2>sin(2－y )，故B 正确； 对于C ，取2－x 2＝π2，则π2<y <1＋π2，sin(2－x 2)<sin y ，显然不成立，所以C 不正确； 由x 2＋y <52，得0<x 2<52－y <π2＋1－y <π2，所以sin x 2<sin ⎝⎛⎭⎫π2＋1－y ＝cos(y －1)，故D 正确．9．甲、乙两人玩一种游戏，甲、乙两人分别在两张纸片上各写一个数字，分别记为a ，b ，其中a ，b 必须是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素，如果a ，b 满足|a －b |≤1，我们就称两人是“友好对”，现在任意找两人玩这种游戏，则他们是“友好对”的概率为( )A.718 B ．29C.518D ．49解析：选D 这是一个古典概型，共有36个基本事件，“友好对”的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，所以所求概率为1636＝49.10．过点P (－3,0)作直线(a ＋2b )x －(a ＋b )y －3a －4b ＝0(a ，b 不同时为零)的垂线，垂足为M ，已知点N (2,3)，则|MN |的取值范围是( )A ．(5－5，5＋5)B ．[5－5，5＋5)C ．[5＋5，＋∞)D ．[5－5，5＋ 5 ]解析：选D 由直线(a ＋2b )x －(a ＋b )y －3a －4b ＝0(a ，b 不同时为零)化为a (x －y －3)＋b (2x －y －4)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3＝0，2x －y －4＝0，解得x ＝1，y ＝－2， ∴直线经过定点Q (1，－2)．∵△P Q M 为直角三角形，斜边为P Q ， ∴点M 在以P Q 为直径的圆上运动， 可得圆心为(－1，－1)，半径为12|P Q |＝5，则|MN |max ＝(2＋1)2＋(3＋1)2＋5＝5＋5； |MN |min ＝5－5，∴|MN |的取值范围是[5－5，5＋ 5 ]． 二、填空题11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，则圆心C 的坐标为________；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________．解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9，所以圆心为C (－1，－3)，半径r ＝3，圆中过原点最短的弦所在的直线即为过原点且与CO (O 为原点)垂直的直线，因为k CO ＝0＋30＋1＝3，所以该直线方程为y ＝－33x .答案：(－1，－3) y ＝－33x 12．已知单调递减的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，则公比q ＝________，通项公式为a n ＝________.解析：由题设可知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，又a 2＋a 3＋a 4＝28，所以a 3＝8，a 3q ＋a 3＋a 3q ＝28，所以8q ＋8＋8q ＝28，解得q ＝2或q ＝12.因为{a n }单调递减，且a 3>0，所以q ＝12，从而a n ＝a 3q n －3＝8·⎝⎛⎭⎫12n －3＝26－n . 答案：1226－n13．已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12，x ∈R ，则函数f (x )的最小值为________，函数f (x )的递增区间为________．解析：f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， 当2x －π6＝3π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝5π6＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，为－2.由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . 答案：－2 ⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z 14．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少有1个小球，共有________种不同的方法．若要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有________种不同的方法．解析：每个盒子非空，则共有C 28＝28种方法；。
