22.2.5根与系数的关系

《一元二次方程的根与系数的关系》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计的目标是巩固学生对一元二次方程根与系数关系的理解，掌握其基本解法，并能灵活运用该知识解决实际问题。

通过作业练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生的数学应用意识。

二、作业内容本课时的作业内容主要围绕一元二次方程的根与系数的关系展开。

具体包括：1. 复习一元二次方程的标准形式及根的判别式，理解根与系数的关系公式。

2. 练习通过给定的一元二次方程，求其根及利用根与系数的关系求未知数。

3. 掌握利用根与系数的关系解决实际问题的方法，如求解与二次函数图像相关的问题。

4. 强化对一元二次方程根的性质的理解，如根的和等于系数相反数等。

5. 结合实际生活情境，设计应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。

三、作业要求1. 学生在完成作业时，应先复习一元二次方程的相关知识，确保对基础知识有清晰的理解。

2. 在解题过程中，要按照先易后难的顺序进行，确保基础题与难题的平衡。

3. 对于每一个问题，学生都应明确解题思路和步骤，避免直接抄写答案。

4. 对于练习题中出现的错误，学生应及时自我纠正，并回顾相关知识点。

5. 在解决实际问题时，应学会用数学的眼光观察和分析问题，用数学语言准确描述问题情境和解决过程。

四、作业评价作业评价采取老师批阅和学生自评、互评相结合的方式进行。

老师应针对学生完成情况给予评分及评价意见，对于学生存在的问题应及时进行辅导和讲解。

学生自评和互评旨在提高学生的自我反思能力和相互学习意识。

五、作业反馈根据作业的完成情况和批改结果，进行有针对性的反馈：1. 对普遍存在的问题进行课堂讲解和复习。

2. 对个别学生的问题，及时进行个别的辅导和解答。

3. 鼓励学生之间进行交流和讨论，分享解题经验和思路。

4. 定期组织学生进行自我总结和反思，提高学习效率和质量。

六、附加建议为帮助学生更好地掌握本课时的知识，建议家长在孩子完成作业后进行适当的辅导和检查，同时鼓励孩子多进行练习和思考，培养其独立思考和解决问题的能力。

*22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系知识点 1 利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和或两根之积1．［2016·黄冈］若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．－4B ．3C ．－43D.432．［2016·某某］一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根分别为x 1，x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＋x 2＝3D ．x 1x 2＝2知识点 2 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值3．若α，β是一元二次方程x 2＋2x －6＝0的两根，则α2＋β2＝( )A ．－6B ．32C ．16D ．404．［2017·某某］若方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1(1＋x 2)＋x 2的值为________． 知识点 3 已知方程及方程的一个根求方程的另一个根5．［2017·某某］已知关于x 的方程x 2＋x －a ＝0的一个根为2，则另一个根是( )A ．－3B ．－2C ．3D ．66．［2016·潍坊］关于x 的一元二次方程3x 2＋mx －8＝0有一个根是23，求该一元二次方程的另一个根及m 的值．7．若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或28．［教材练习第3(1)题变式］［2017·某某］关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，则n m的值为( )A ．－8B ．8C ．16D ．－169．［2017·某某］定义运算：a ★b ＝a (1－b )．若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，则b ★b －a ★a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关10．［2017·某某］已知方程x 2＋5x ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 12＋x 22＝________．11．［2017·某某］已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 12－x 22＝10，则a ＝________．12．［2017·某某］已知关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)某某数k 的取值X 围；(2)若x 1，x 2满足x 12＋x 22＝16＋x 1x 2，某某数k 的值．13．若a ，b 是方程x 2＋x －2018＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b ＝( )A ．2018B ．2017C ．2016D ．201514．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x －m (2m －3)＝0.(1)证明：无论m 为何值，方程都有两个实数根．(2)是否存在正数m ，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m 的值；若不存在，请说明理由．1．D [解析] ∵方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝－b a ＝43.故选D.2．C3．C [解析] 根据题意，得α＋β＝－2，αβ＝－6，所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－2)2－2×(－6)＝16.故选C.4．5 [解析] 根据题意得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以x 1(1＋x 2)＋x 2＝x 1＋x 1x 2＋x 2＝x 1＋x 2＋x 1x 2＝4＋1＝5.故答案为5.5．A [解析] 设方程的另一个根为t ，根据题意得2＋t ＝－1，解得t ＝－3，即方程的另一个根是－3.故选A.6．解：设方程的另一个根为t .依题意得3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23m －8＝0，解得m ＝10. 又23t ＝－83，所以t ＝－4. 故该一元二次方程的另一个根是－4，m 的值为10.7．[全品导学号：15572076]C [解析] ∵x 1＋x 2＝m ＋6，x 1x 2＝m 2，x 1＋x 2＝x 1x 2， ∴m ＋6＝m 2，解得m 1＝3，m 2＝－2.∵方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(m ＋6)2－4m 2＝－3m 2＋12m ＋36＝0，解得m 1＝6，m 2＝－2，∴m ＝－2.故选C.8．C [解析] ∵关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，∴－m 2＝－1，n 2＝－2， ∴m ＝2，n ＝－4，∴n m ＝(－4)2＝16.故选C.9． A [解析] ∵a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，∴a ＋b ＝1，ab ＝14m . ∴b ★b －a ★a ＝b (1－b )－a (1－a )＝b (a ＋b －b )－a (a ＋b －a )＝ab －ab ＝0.故选A.10．23 [解析] ∵方程x 2＋5x ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝1，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝(－5)2－2×1＝23.故答案为23.11. 214[解析] 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝a ， 由x 12－x 22＝10得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10.∵x 1＋x 2＝5，∴x 1－x 2＝2，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝25－4a ＝4，∴a ＝214. 故答案为214. 12．[解析] (1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝－4k ＋5≥0，解之即可得出实数k 的取值X 围；(2)由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2－1，将其代入x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝16＋x 1x 2中，解之即可得出k 的值．解：(1)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(2k －1)2－4(k 2－1)＝－4k ＋5≥0，解得k ≤54， ∴实数k 的取值X 围为k ≤54. (2)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝1－2k ，x 1x 2＝k 2－1.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16＋x 1x 2，∴(1－2k )2－2(k 2－1)＝16＋(k 2－1)，即k 2－4k －12＝0，解得k ＝－2或k ＝6(不符合题意，舍去)．∴实数k 的值为－2.13．B [解析] ∵a 是方程x 2＋x －2018＝0的根，∴a 2＋a －2018＝0，∴a 2＝－a ＋2018，∴a 2＋2a ＋b ＝－a ＋2018＋2a ＋b ＝2018＋a ＋b .∵a ，b 是方程x 2＋x －2018＝0的两个实数根，∴a ＋b ＝－1，∴a 2＋2a ＋b ＝2018－1＝2017.故选B.14．[解析] (1)求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；(2)根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于26，即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值．解：(1)证明：∵关于x 的方程x 2＋(m －3)x －m (2m －3)＝0的判别式Δ＝(m －3)2＋4m (2m －3)＝9(m －1)2≥0，∴无论m 为何值，方程都有两个实数根．(2)设方程的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－(m －3)，x 1x 2＝－m (2m －3)，令x 12＋x 22＝26，得(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(m －3)2＋2m (2m －3)＝26，整理，得5m 2－12m －17＝0，解这个方程，得m ＝175或m ＝－1. 所以存在正数m ＝175，使方程的两个实数根的平方和等于26.。

方程的根与系数之间的关系方程的根与系数之间的关系是数学中一个重要的概念，它揭示了方程中各个元素之间的内在联系。

当我们研究一个多项式方程时，通常会关注它的根，也就是方程等号两边相等的情况。

根据代数基本定理，一个n次多项式方程一定有n个复数根，包括重根。

这些根与方程的系数之间存在着一定的关系，可以通过系数来推断根的性质。

我们来看一元一次方程的情况。

一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为实数系数。

根据一元一次方程的解法，可以得出方程的根为-x/b。

可以看出，根与系数之间的关系很简单，即根是系数的函数。

当系数变化时，根也会相应变化。

接着，我们来看一元二次方程的情况。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数系数。

根据韦达定理，可以得出方程的两个根分别为(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

从这个式子可以看出，根与系数之间的关系更为复杂。

首先，根的符号取决于b的正负号，其次根的大小取决于b^2-4ac的大小。

系数a的变化会影响根的正负性质，系数b的变化会影响根的大小，系数c的变化会影响根的具体数值。

因此，通过观察系数的变化，我们可以推断方程的根的性质。

除了一元二次方程外，更高次的多项式方程也存在类似的关系。

例如，一元三次方程和一元四次方程的根与系数之间的关系也可以通过公式来表达。

在实际应用中，通过研究方程的根与系数之间的关系，可以帮助我们更好地理解方程的性质，从而更有效地解决问题。

总的来说，方程的根与系数之间存在着密切的联系，通过研究这种关系，我们可以深入理解方程的本质。

系数的变化会直接影响根的性质，从而影响方程的解的情况。

因此，在解决数学问题时，我们可以通过观察方程的系数来推断方程的根的情况，从而更好地解决问题。

这种关系不仅存在于数学中，也可以应用到物理、工程等领域，帮助我们更深入地理解自然界的规律。

通过研究方程的根与系数之间的关系，我们可以更好地认识数学的魅力，拓展我们的思维，提高解决问题的能力。

22.2.4 根与系数的关系（课案：教师用）一、教学目标:1.知识与技能:掌握一元二次方程的根与系数之间的关系以及根的判别式的综合运用。

2.过程与方法:经历由公式法推导一元二次方程根与系数的过程，理解一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用此关系解题。

3.情感、态度与价值观：在由公式法推导一元二次方程根与系数的关系的过程中，发展观察、分析、发现问题的能力。

二、学情分析：三、教学重点：根与系数的关系的应用难点：根与系数的关系和根的判别式的综合应用突破难点的关键：鼓励学生动手操作，主动探索和讨论交流。

突破方法：通过活动一中的复习引入得出一元二次方程的根与系数的关系，通过例1运用根与系数的关系解题突出本课的重点。

通过例2运用根据系数的关系求待定系数的值，突破本课的难点，通过跟踪训练加强根与系数的应用的理解。

四、教学方法：采用“探究──发现——应用”的教学过程，鼓励学生动脑、动口、动手参与教学活动，感悟知识的形成过程，充分调动学生学习的积极性、主动性。

学习方法：合作交流性学习，探究性学习，概括性学习等方法 五、教师的准备：制作活动一、活动二、活动三中问题的幻灯片学生的准备：复习一元二次方程的求根公式，及一元二次方程的解法。

六、教学过程【课前预习】课本P40~P41【课内探究】复习引入：方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式aacb b x 242-±-=。

问题：解方程求出两个解1x 、2x ，并计算两个解的和与积，填入下表（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律?写出你的结论.分析：这是一道探究一元二次方程根与系数关系的问题，探究性问题为学生提供了广阔的思维空间，有利于调动学生的创新意识和探究兴趣，成为近几年中考的热点题型之一。

首先要根据题意求出已知方程的解，再根据得出的规律，【解】（1）3， 3- 0， 29-；32， 0， 32， 0； 2， 1， 3， 2； b a -， ca. （2）已知：1x 和2x 是方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根，那么，12b x x a +=-， 12cx x a⋅=. 【点评】探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的题型，探究性问题一般分为三类：1、条件探究型题；2、结论探究型题；3、探究存在型题。