1.5 一元一次不等式与一次函数(1)

一次函数与一元一次不等式的关系一次函数和一元一次不等式是初中数学中比较基础的知识点，两者之间也有着密切的联系。

本文将从定义、性质、图像等方面探讨一次函数和一元一次不等式之间的关系。

一、一次函数的定义一次函数是指形如 $y=kx+b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 都是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。

其中，$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。

二、一元一次不等式的定义一元一次不等式是指形如 $ax+b>0$ 或 $ax+b<0$ 的不等式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$x$ 是变量。

其中，$a$ 表示不等式左侧的系数，$b$ 表示不等式右侧的常数。

三、一次函数的性质1. 斜率为正，则函数是单调递增的；斜率为负，则函数是单调递减的。

2. 截距表示函数与 $y$ 轴的交点，当 $x=0$ 时，$y=b$。

3. 一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。

四、一元一次不等式的性质1. 当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $x>-b/a$；当 $a<0$ 时，不等式的解集为 $x<-b/a$。

2. 如果不等式中的 $<$ 变成了 $leq$ 或 $geq$，则解集不变。

3. 如果不等式中的 $>$ 和 $<$ 交换，不等式的解集也随之交换。

五、一次函数和一元一次不等式的关系1. 一次函数的图像可以用来表示一元一次不等式的解集。

例如，不等式 $2x+3>0$ 的解集可以表示成一次函数 $y=2x+3$ 在$y>0$ 区域的图像。

2. 一元一次不等式的解集也可以用来表示一次函数的定义域或值域。

例如，不等式 $3x-1<5$ 的解集为 $x<2$，则一次函数$y=3x-1$ 的定义域为 $(-infty, 2)$。

3. 一次函数的斜率和截距也可以用来确定一元一次不等式的形式。

一元一次不等式与一次函数【基础知识精讲】1.一元一次不等式与一次函数的关系。

两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。

另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。

事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。

2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。

一次函数y=kx＋b（k≠0）的图像是一条直线，当kx＋b＞0时，表示图像在x轴上方的部分；当kx＋b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图像在x轴下方的部分。

【考点聚焦】本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。

题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。

【典例精析】例1作出函数y=x－3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题：（1）x取哪些值时，y＞0；（2）x取哪些值时，y＜0；（3）x取哪些值时，y＞3。

思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，－3)。

解：由图象可知：（1）当x＞3时，y＞0；（2）当x＜3时，y＜0；（3）当x＞6时，y＞3。

评注：（1）两点确定一条直线。

（2）大于往右看，小于往左看。

【试解相关题】兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。

已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？思路点拨：此题两问均牵扯到不等式问题，但需先列函数关系式。

解：设当时间为x秒时，跑过的路为y米，则y哥哥=4x，y弟弟=3x＋9如图所示，由图象知9秒前弟弟跑在哥哥前面；9秒后，哥哥跑在弟弟前面。

评注：通过以上两例，体会：刻画运动变化的规律需要用函数模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型。

《一元一次不等式与一次函数（1）》教案课题：一元一次不等式与一次函数（1）教材：北师大版八年级下册第二章第五节授课老师：深圳市宝安中学杨子廷一、教学内容分析二、教学目的2、数学思考目标：通过对一次函数与一元一次不等式关系的探究及相关实际问题的解决,体会数形结合的思想。

3、问题解决目标：能利用一次函数与一元一次不等式的内在关系，解决实际问题。

三、教学重点重点：通过观察函数图象解一元一次不等式。

四、教学难点五、教学准备教法分析：基于本节课的内容特点和初二年级学生的年龄特征，遵循“让学生主动积极参与学习，发挥其学习的主体性”的教学理念，我决定采用“启发引导、自主学习、合作探究”的教学模式，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。

六、教学流程框图七、教学过程设计知在周一的“防止踩踏”疏散课上，初一（4）班的同学在警报响起3秒后疏散距离y （米）与时间x （秒）满足关系式是y=2x-5。

1．作函数52-=x y 的图象:解：列表；描点，连线； x 52-=x y2．观察图象回答问题：（1）x 取何值时，y=0？ （2） x 取何值时，y ＞0？ （3）x 取何值时，y ＜0？发现：以（2.5，0）为界，右边函数图象在x 轴的上方，所以当x>2.5时，y>0，左边函数图象在x 轴的下方，所以当x<2.5时，y<0。

为基础，探讨新的内容。

10分钟 2、思考讨论、探索新知问题一：观察你画出52-=x y 的图象，回答下列问题。

（1）x 取何值时，2x －5=0? （2）x 取何值时，2x －5＞0? （3）x 取何值时，2x －5< 0？练习1、如图,是函数y=－2x －6的图象,看图回答下列问题：（1）当x 时,－2x －6 >0； （2）当x 时,－2x －6 < 0；练习2、观察你画出52-=x y 的图象，回答下列问题：x 取何值时, y>3 ? 变式：x 取何值时, y < -2 ?学生求解一元一次方程和不等式，发现x 的取值范围相同，更有的同学直接发现两种情况只是问法不同。

一元一次不等式与一次函数整理一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。

本文将从概念、性质、解法和应用四个方面来介绍一元一次不等式和一次函数。

一、概念一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，例如：ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数，x、y为自变量和因变量。

二、性质1. 一元一次不等式的解集是一个区间，可以用数轴表示出来。

2. 一次函数的图像是一条直线，斜率k表示函数的增长速度，截距b表示函数的起点。

3. 一元一次不等式和一次函数都具有可加性和可减性，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。

三、解法1. 一元一次不等式的解法有两种：图像法和代数法。

图像法是将不等式转化为数轴上的图形，通过观察图形来确定解集。

代数法是通过移项、化简等代数运算来求解。

2. 一次函数的解法是通过求出函数的斜率和截距，然后画出函数的图像，根据图像来确定函数的性质和解析式。

四、应用1. 一元一次不等式和一次函数在经济学中有着广泛的应用，例如：利润、成本、收益等问题都可以用一次函数来描述。

2. 一元一次不等式和一次函数在物理学中也有着重要的应用，例如：速度、加速度、力等问题都可以用一次函数来描述。

3. 一元一次不等式和一次函数在生活中也有着实际的应用，例如：购物打折、优惠券等问题都可以用一元一次不等式来描述，而房价、工资等问题都可以用一次函数来描述。

一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。

掌握一元一次不等式和一次函数的概念、性质、解法和应用，对于提高数学素养和解决实际问题都有着重要的意义。

1.5 一元一次不等式与一次函数（1）一、预习目标1.一元一次不等式与一次函数的关系.2.画出函数图象，并利用不等关系进行比较.二、预习重点，难点预习重点：一元一次不等式与一次函数的关系.预习难点：画出函数图象，并利用不等关系进行比较三、预习过程复习回顾、一次函数图象如图，则它的解析式是_____________，当x_____________时，y ＝0；当x_____________时，y >0；当y _____________时，x <0。

预习新知：1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.作出函数y =2x －5的图象，观察图象回答下列问题.（1）x 取哪些值时，2x －5=0?（2）x 取哪些值时，2x －5＞0?（3）x 取哪些值时，2x －5＜0?（4）x 取哪些值时，2x －5＞3?（1）当y =0时，2x －5=0,∴x =25,∴当x =25时，2x －5=0.（2）要找2x －5＞0的x 的值，也就是函数值y 大于0时所对应的x 的值，从图象上可知，y ＞0时，图象在x 轴上方，图象上任一点所对应的x 值都满足条件，当y =0时，则有2x －5=0,解得x =25.当x ＞25时，由y =2x －5可知 y ＞0.因此当x ＞25时，2x －5＞0; （3）同理可知，当x ＜25时，有2x －5＜0;（4）要使2x －5＞3,也就是y =2x －5中的y 大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x 轴，这条直线与y =2x －5相交于一点B （4，3），则当x ＞4时，有2x －5＞3.3.试一试如果y =－2x －5,那么当x 取何值时，y ＞0?首先要画出函数y =－2x －5的图象，如图从图象上可知，图象在x 轴上方时，图象上每一点所对应的y 的值都大于0，而每一个y 的值所对应的x 的值都在A 点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x －5=0,得x =－2.5,所以当x 取小于－2.5的值时，y ＞0.三、课堂练习1已知函数y x =-+24（1）画出它的图象；（）求出当时的值；252x y =（3）求出当y ＝2时x 的值； （）当取何值时，，，4000x y y y >=<2.已知y 1=－x +3,y 2=3x －4,当x 取何值时，y 1＞y 2？你是怎样做的？与同伴交流.3.作出函数y 1=2x －4与y 2=－2x +8的图象，并观察图象回答下列问题：（1）x 取何值时，2x －4＞0？（2）x 取何值时，－2x +8＞0?（3）x 取何值时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立？（4）你能求出函数y 1=2x －4，y 2=－2x +8的图象与x 轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.。

一元一次不等式与一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数之间有着密切的联系，这一联系表现在以下几个方面：
一、当令一元一次不等式中等号左边的表达式为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式：
1. 一元一次方程组：
a. 当一元一次方程组中等式左右两边分别为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式。

b. 两个一次方程涉及到同一个未知数时，可以最终得出结果，即将一元一次不等式化简为一次函数的形式。

2. 一元二次不等式：
a. 当一元二次不等式左边为一次函数时，也可以将其化简为一次函数形式。

b. 二次不等式的解也可以表现为一次函数的形式，即分段函数。

二、求解一元一次不等式可以利用一次函数的性质：
1. 关于一元一次方程：
a. 利用一次函数求函数图像实现一元一次方程的求解，从而得到不
等式的解。

b. 利用一次函数的性质验证不等式的正确性，从而得到不等式的解。

2. 关于一元二次方程：
a. 利用一次函数的对称性，判断不等式的大小，从而得到不等式的解。

b. 利用一次函数的单调性，得到不等式上下界，从而得到不等式的解。

综上所述，一元一次不等式与一次函数有着密切的联系，一元一次不
等式可以化简为一次函数形式，求解一元一次不等式也可以利用一次
函数的性质。