全国中考数学真题分类汇编专题复习四方程不等式与函数的实际应用题答案不全

2021全国中考真题分类汇编（方程与不等式）----方程与不等式（组）的综合应用（含不定方程）一、选择题1.（2021•重庆市A）若关于x的一元一次不等式组()322225x xa x⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x≥，且关于y的分式方程238211y a yy y+-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A. 5B. 8C. 12D. 152.（2021•重庆市B）关于x的分式方程+1＝的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣23.（2021•山东省聊城市）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（）A. ﹣1≤x＜5B. ﹣1＜x≤1C. ﹣1≤x＜1D. ﹣1＜x≤5二．填空题1.（2021•江苏省苏州市）若2x+y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为．2.（2021•遂宁市）已知关于x，y的二元一次方程组235453x y ax y a+=⎧⎨+=+⎩满足0x y->，则a的取值范围是____．3.（2021•重庆市A）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的115，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_____________．4.（2021•重庆市B）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为元．5.（2021•北京市）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为．三、解答题1.（2021•湖北省荆州市）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0．2.（2021•长沙市）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？2.（2021•河北省）已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个．（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101﹣x＝2x．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A 品牌球最多有几个．3.（2021•四川省成都市）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？4.（2021•四川省广元市）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的23．学校有哪几种购买方案？（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？5.（2021•泸州市）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．6．（2021•四川省眉山市）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？.7.（2021•江苏省无锡市）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？8.（2021•呼和浩特市）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？9.（2021•内蒙古通辽市）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？10.（2021•辽宁省本溪市）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元．（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？11.（2021•湖南省常德市）某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？答案一、选择题1. （2021•重庆市A ）若关于x 的一元一次不等式组()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x ≥，且关于y 的分式方程238211y a y y y +-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A. 5B. 8C. 12D. 15【答案】B【解析】 【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到562a +<解得7a <，再解分式方程得到5=2a y +，根据分式方程的解是正整数，得到5a >-，且5a +是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a 的值，最后求和．【详解】解：()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩①②解不等式①得，6x ≥， 解不等式②得，5+2a x > 不等式组的解集为：6x ≥562a +∴< 7a ∴<解分式方程238211y a y y y+-+=--得 238211y a y y y +--=-- 2(38)2(1)y a y y ∴+--=-整理得5=2a y +， 10,y -≠ 则51,2a +≠ 3,a ∴≠-分式方程的解是正整数，502a +∴> 5a ∴>-，且5a +是2的倍数，57a ∴-<<，且5a +是2的倍数，∴整数a 的值为-1, 1, 3, 5,11358∴-+++=故选：B ．2. （2021•重庆市B ）关于x 的分式方程+1＝的解为正数，且使关于y 的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．﹣5 B ．﹣4 C ．﹣3 D ．﹣2【分析】由关于y 的一元一次不等式组有解得到a 的取值范围，再由关于x 的分式方程+1＝的解为正数得到a 的取值范围，将所得的两个不等式组成不等式组，确定a 的整数解，结论可求．【解答】解：关于x 的分式方程+1＝的解为x ＝． ∵关于x 的分式方程+1＝的解为正数，∴a+4＞0．∴a＞﹣4．∵关于x的分式方程+1＝有可能产生增根2，∴．∴a≠﹣1．解关于y的一元一次不等式组得：．∵关于y的一元一次不等式组有解，∴a﹣2＜0．∴a＜2．综上，﹣4＜a＜2且a≠﹣1．∵a为整数，∴a＝﹣3或﹣2或0或1．∴满足条件的整数a的值之和是：﹣3﹣2+0+1＝﹣5．故选：A．3.（2021•山东省聊城市）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（）A. ﹣1≤x＜5B. ﹣1＜x≤1C. ﹣1≤x＜1D. ﹣1＜x≤5【答案】A【解析】【分析】先求出方程的解，再根据﹣3＜a≤3的范围，即可求解．【详解】解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，∵﹣3＜a≤3，∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，故选A．二．填空题1. （2021•江苏省苏州市）若2x +y ＝1，且0＜y ＜1，则x 的取值范围为 0＜x ＜ ．【分析】由2x +y ＝1得y ＝﹣2x +1，根据k ＝﹣2＜0可得，当y ＝0时，x 取得最大值，当y ＝1时，x 取得最小值，将y ＝0和y ＝1代入解析式，可得答案．【解答】解：由2x +y ＝1得y ＝﹣4x +1，根据0＜y ＜3可知，当y ＝0时，x 取得最大值，当y ＝1时，x 取得最小值，所以0＜x ＜．故答案为：0＜x ＜．2. （2021•遂宁市） 已知关于x ，y 的二元一次方程组235453x y a x y a +=⎧⎨+=+⎩满足0x y ->，则a 的取值范围是____．【答案】1a >．【解析】【分析】根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a 的代数式表示出x y -，再根据0x y ->，即可求得a 的取值范围，本题得以解决．【详解】解：235423x y a x y a +=⎧⎨+=+⎩①②①-②，得33x y a -=-∵0x y ->∴330a ->，解得1a >，故答案为：1a >．3. （2021•重庆市A ）某销售商五月份销售A 、B 、C 三种饮料的数量之比为3：2：4，A 、B 、C 三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A 饮料增加的销售占六月份销售总额的115，B 、C 饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A 饮料单价上调20%且A 饮料的销售额与B 饮料的销售额之比为2：3，则A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_____________． 【答案】910【解析】【分析】设销售A 饮料的数量为3x ，销售B 种饮料的数量2x, 销售C 种饮料的数量4x ，A 种饮料的单价y ． B 、C 两种饮料的单价分别为2y 、y ．六月份A 饮料单价上调20%，总销售额为m ，可求A 饮料销售额为3xy+115m ，B 饮料的销售额为91210xy m +，C 饮料销售额：171420xy m +，可求=15m xy ，六月份A 种预计的销售额4xy ，六月份预计的销售数量103x ，A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比103:3x x 计算即可 【详解】解：某销售商五月份销售A 、B 、C 三种饮料的数量之比为3：2：4，设销售A 饮料的数量为3x ，销售B 种饮料的数量2x, 销售C 种饮料的数量4x ， A 、B 、C 三种饮料的单价之比为1：2：1．,设A 种饮料的单价y ． B 、C 两种饮料的单价分别为2y 、y ．六月份A 饮料单价上调20%后单价为（1+20%）y,总销售额为m ，A 饮料增加的销售占六月份销售总额的115A 饮料销售额为3xy+115m ， A 饮料的销售额与B 饮料的销售额之比为2：3，B 饮料的销售额为31913=215210xy m xy m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ B 饮料的销售额增加部分为3134215xy m xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ∴C 饮料增加的销售额为131342215xy m xy ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴C 饮料销售额：13117134+42215420xy m xy xy xy m ⎡⎤⎛⎫+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴191171315210420xy m xy m xy m m +++++= ∴=15m xy六月份A 种预计的销售额1315415xy xy xy +⨯=， 六月份预计的销售数量()1041+20%y 3xy x ÷= ∴A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比1093:9:10=310x x = 故答案为9104. （2021•重庆市B ）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A ，B ，C 三种盲盒各一个，其中A 盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C 盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A 盒的成本为145元，B 盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C 盒的成本为 155 元．【分析】根据题意确定B 盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可．【解答】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A 盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C 盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱； ∴B 盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22﹣2﹣3﹣1﹣1﹣3﹣2＝10（个），∵B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2，∴B 盒中有多接口优盘10×＝5（个），蓝牙耳机有5×＝3（个），迷你音响有10﹣5﹣3＝2（个），设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a 元，b 元，c 元， 由题知：， ∵①×2﹣②得：a +b ＝45，②×2﹣①×3得：b +c ＝55，∴C 盒的成本为：a +3b +2c ＝（a +b ）+（2b +2c ）＝45+55×2＝155（元），故答案为：155．5. （2021•北京市）某企业有A ，B 两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为（4a +1）小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为（2b +3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A ，B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 ．【答案】 ①. 2∶3 ②.12【解析】【分析】设分配到A 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5-x ）吨，依题意可得()41253x x +=-+，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为()()421233m n ++=++，进而求解即可得出答案．【详解】解：设分配到A 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5-x ）吨，依题意可得： ()41253x x +=-+，解得：2x =，∴分配到B 生产线的吨数为5-2=3（吨），∴分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为2∶3；∴第二天开工时，给A 生产线分配了()2m +吨原材料，给B 生产线分配了()3n +吨原材料，∵加工时间相同，∴()()421233m n ++=++， 解得：12m n =， ∴12m n =； 故答案为2:3，12． 三、解答题1.（2021•湖北省荆州市）已知：a 是不等式5（a ﹣2）+8＜6（a ﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x 的方程x 2+2ax +a +1＝0．【分析】解不等式5（a ﹣2）+8＜6（a ﹣1）+7，得a ＞﹣3，所以最小整数解为﹣2，于是将a ＝﹣2代入方程x 2﹣4x ﹣1＝0．利用配方法解方程即可．【解答】解：解不等式5（a ﹣2）+8＜6（a ﹣1）+7，得a ＞﹣3，∴最小整数解为﹣2，将a ＝﹣2代入方程x 2+2ax +a +1＝0，得x 2﹣4x ﹣1＝0，配方，得（x ﹣2）2＝5．直接开平方，得x ﹣2＝±． 解得x 1＝2+，x 2＝2﹣．2. （2021•长沙市） 为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？【答案】（1）一共答对了22道题；（2）至少需答对23道题．2. （2021•河北省）已知训练场球筐中有A 、B 两种品牌的乒乓球共101个，设A 品牌乒乓球有x 个．（1）淇淇说：“筐里B 品牌球是A 品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101﹣x ＝2x ．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A 品牌球最多有几个．【分析】（1）解嘉嘉所列的方程可得出x的值，由x的值不为整数，即可得出淇淇的说法不正确；（2）设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（101﹣x）个，根据B品牌球比A品牌球至少多28个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）嘉嘉所列方程为101﹣x＝2x，解得：x＝33，又∵x为整数，∴x＝33不合题意，∴淇淇的说法不正确．（2）设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（101﹣x）个，依题意得：101﹣x﹣x≥28，解得：x≤36，又∵x为整数，∴x可取的最大值为36．答：A品牌球最多有36个．3.（2021•四川省成都市）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？【分析】（1）每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，根据“每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理”，可列方程，即可解得答案；（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，《条例》施行后，每个A 型点位每天处理生活垃圾37吨，每个B型点位每天处理生活垃圾30吨，根据题意列出不等式：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，可解得y的范围，在求得的范围内取最小正整数值即得到答案．【解答】解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾（x+7）吨，根据题意可得：12（x+7）+10x＝920，解得：x＝38，答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨；（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，由（1）可知：《条例》施行前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则《条例》施行后，每个A型点位每天处理生活垃圾45﹣8＝37（吨），《条例》施行前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则《条例》施行后，每个B 型点位每天处理生活垃圾38﹣8＝30（吨），根据题意可得：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，解得y≥，∵y是正整数，∴符合条件的y的最小值为3，答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．4.（2021•四川省广元市）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的23．学校有哪几种购买方案？（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？【答案】（1）有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；（2）学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场购买花费少．【解析】【分析】（1）设学校购买篮球x 个，购买足球（20-x ）个，根据“学校计划用不超过3550元的总费用购买”和“购买篮球的数量多于购买足球数量的23”列出不等式组，求解即可； （2）设学校购买篮球x 个，购买足球（20-x ）个，分别计算出在甲，乙两商场的费用列出不等式求解即可．【详解】解：（1）设学校购买篮球x 个，购买足球（20-x ）个，根据题意得，200150(20)35502(20)3x x x x +-≤⎧⎪⎨>-⎪⎩解得，811x <≤∵x 是整数，∴x =9，10或11∴20-x =12，10或9故有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；（2）设学校购买篮球x 个，购买足球（20-x ）个，在甲商场花费：[200150(20)500]90%500(452750)x x x +--⨯+=+元；在乙商场花费：[200150(20)2000]80%2000(402800)x x x +--⨯+=+元； ∴要使学校到甲商场花费最少，则有：452750402800x x ++＜解得，10x ＜∵811x <≤，且x 是整数，∴x =9,即：学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场购买花费少．5.（2021•泸州市）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少．【解析】【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得；（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据．【详解】解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意可得：3290 54160x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：2015 xy=⎧⎨=⎩，答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）设安排A型车m辆，B型车n辆，依题意得：20m+15n=190，即3834nm-=，又∵m，n均为正整数，∴82mn=⎧⎨=⎩或56mn=⎧⎨=⎩或210mn=⎧⎨=⎩，∴共有3种运输方案，方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．方案1所需费用：500⨯8+400⨯2=4800(元)；方案2所需费用：500⨯5+400⨯6=4900(元)；方案3所需费用：500⨯2+400⨯10=5000(元)；∵4800＜4900＜5000，∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元．6．（2021•四川省眉山市）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，根据数量＝总价÷单价，结合用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设学校可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球，利用总价＝单价×数量，结合购买足球和篮球的总费用不超过15500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，依题意得：＝2×，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴2x﹣30＝90．答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．（2）设学校可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球，依题意得：90m+60(200﹣m)≤15500，解得：m≤．。

专题8 方程（组）不等式（组）和函数的实际应用一次函数求最值，不同于二次函数求最值，它一般分三步：1．根据题目中的等式条件，建立一次函数关系式，确定其增减性；2．根据题目中的不等式条件，列不等式（组），求出自变量的取值范围；3．根据一次函数的增减性，恰当选取自变量的值，求函数的最值。

自我诊断1.某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，设其中甲种商品购进x件（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．①求y与x的函数关系式；②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．自我诊断2紫荆商场销售某品牌保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种汤锅的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元．（销售额=销售量×售价）（1）求紫荆商场9月份销售该品牌汤锅的销售单价；（2）11月11日购物节商场在9月份售价的基础上打折促销（但不亏本），销售的数量y （件）与打折的折数x满足一次函数y=﹣50x+600．问商场打几折时利润最大，最大利润是多少？（3）在（2）的条件下，为保证紫荆商场利润不低于1.5万元，且能够最大限度帮助厂家减少库存，紫荆商场应该在9月份销售价的基础上打几折？跟踪训练11.“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？2.大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒．调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y （个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）每个文具盒的定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润为1200元？（3）若该超市每星期销售这种文具盒的销售量不少于115个，且单件利润不低于4元（x 为整数），当每个文具盒定价多少元时，超市每星期利润最高？最高利润是多少？3.某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务. 已知每台GH型产品由4个G 型装置和3个H型装置配套组成. 工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品.（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置. 请问至少需要补充多少名新工人？4.某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B 型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W 元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？跟踪训练25.某商场秋季计划购进一批进价为每条40元的围巾进行销售根据销售经验，应季销售时，若每条围巾的售价为60元，则可售出400条；若每条围巾的售价每提高1元，销售量相应减少10条．（1）假设每条围巾的售价提高x元，那么销售每条围巾所获得的利润是元，销售量是条（用含x的代数式表示）．（2）设应季销售利润为y元，请写y与x的函数关系式；并求出应季销售利润为8000元时每条围巾的售价．【拓展】：根据销售经验，过季处理时，若每条围巾的售价定为30元亏本销售，可售出50条；若每条围巾的售价每降低1元，销售量相应增加5条，（1）若剩余100条围巾需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金；若使亏损金额最小，每条围巾的售价应是元．（2）若过季需要处理的围巾共m条，且100≤m≤300，过季亏损金额最小是元；（用含m的代数式表示）【延伸】：若商场共购进了500条围巾且销售情况满足上述条件，如果应季销售利润在不低于8000元的条件下：（1）没有售出的围巾共m条，则m的取值范围是：；（2）要使最后的总利润（销售利润=应季销售利润﹣过季亏损金额）最大，则应季销售的售价是元．参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．6.某商场在1月至12月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）的关系大致满足如图的函数，销售成本y2（元/件）与销售月份x（月）满足y2=，月销售量y3（件）与销售月份x（月）满足y3=10x+20．（1）根据图象求出销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（6≤x≤12且x为整数）（2）求出该服装月销售利润W（元）与月份x（月）之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？最大利润是多少？（6≤x≤12且x为整数）7.家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6 kΩ？答案自我诊断1.考点:一次函数的应用．分析:（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由总价=甲单价×甲商品数量+乙单价×乙商品数量，可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可得出结论；（2）①根据利润=甲商品单件利润×数量+乙商品单件利润×数量，即可得出y关于x的函数解析式；②根据总价=甲单价×甲数量+乙单价×乙数量，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据y关于x函数的增减性即可解决最值问题；（3）根据利润=甲单件利润×数量+乙单件利润×数量，可得出y关于x的函数解析式，分x 的系数大于0、小于0以及等于0三种情况考虑即可得出结论．解：（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由已知得：80x+100（200﹣x）=17900，解得：x=105，200﹣x=200﹣105=95（件）．答：购进甲种商品105件，乙种商品95件．（2）①由已知可得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x）=﹣60x+28000（0≤x≤200）．②由已知得：80x+100（200﹣x）≤18000，解得：x≥100，∵y=﹣60x+28000，在x取值范围内单调递减，∴当x=100时，y有最大值，最大值为﹣60×100+28000=22000．故该商场获得的最大利润为22000元．（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x），即y=（a﹣60）x+28000，其中100≤x≤120．①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最大值，即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大．②当a=60时，a﹣60=0，y=28000，即商场应购进甲种商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利都一样．③当60＜x＜70时，a﹣60＞0，y岁x的增大而增大，∴当x=120时，y有最大值，即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大．点评:本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元一次方程；（2）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（3）根据一次函数的系数分类讨论．本题属于中档题，难度不大，但过程比较繁琐，因此再解决该题是一定要细心．自我诊断2考点:二次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用．分析:（1）根据保温水瓶成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元，可以设出9月份的保温瓶销售单价x元，再用x表示当月的销售数量，从而可以列出相应的方程即可解答本题（也可以设单价和销量两个未知数，列二元一次方程组）；（2）根据题意可以列出销售利润的关系式，将其化为顶点式，即可求得最大利润和此时的打折数；（3）由（2）和题意可以列出相应的关系式，从而可以求得x的范围，结合题意取舍即可．解：（1）设9月份销售价格为每件x元，据题意可得：，解得：x=200．答：9月份每件销售200元．（2）设紫荆商场在11月11日购物节销售该品牌的利润为W元，则：W=200×（﹣50x+600）﹣80（﹣50x+600）（x≥4），=﹣1000×x2+16000x﹣48000=﹣1000（x﹣8）2+16000，当x=8时，最大利润为16000元．答：商场打8折时利润最大，最大利润是16000元；（3）200×（﹣50x+600）﹣80（﹣50x+600）≥15000，解得7≤x≤9．当7≤x≤9时，函数y=﹣50x+600的值随着x的增大而减小，因此当x=7时，利润不低于15000元，且又能够最大限度减少厂家库存．点评:本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，能根据题目的要求，列出相应的表达式，会求函数的最值．跟踪训练答案1.考点：一元二次方程的应用；一次函数的应用．分析：（1）首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率，然后求得4月份的销量即可；（2）设A型车x辆，根据“A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍”列出不等式组，求出x的取值范围；然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可．解：（1）设平均增长率为a，根据题意得：64（1+a）2=100解得：a=0.25=25%或a=﹣2.25四月份的销量为：100•（1+25%）=125（辆）．答：四月份的销量为125辆．（2）设购进A型车x辆，则购进B型车辆，根据题意得：2×≤x≤2.8×解得：30≤x≤35利润W=（700﹣500）x+（1300﹣1000）=50x+9000．∵50＞0，∴W随着x的增大而增大．当x=35时，不是整数，故不符合题意，∴x=34，此时=13（辆）．答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．点评：本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式，这也是本题的难点．2.考点：方程组、不等式、二次函数的应用．分析：（1）根据图象利用待定系数法直接求出函数的解析式即可；（2）根据利润等于每个利润×数量建立方程求出其解就可以了；（3）根据条件先求出售价的取值范围，再表示出利润的解析式，根据函数的性质就可以求出结论．解：（1）设这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式y=kx+b，由题意，得，解得：，则y=﹣10x+300（2）由题意，得（x﹣8）•y=1200，（x﹣8）（﹣10x+300）=1200解得：x1=18，x2=20，答：当定价为18元或20元时，利润为1200元．（3）根据题意得：得：12≤x≤18.5，且x为整数．设每星期所获利润为W元，由题意，得W=（x﹣8）•y=（x﹣8）（﹣10x+300）=﹣10（x2﹣38x+240）=﹣10（x﹣19）2+1210，∵a=﹣10＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴的左边W随x的增大而增大=1200．∴当x=18时，W有最大值，W最大答：每个文具盒的定价是18元时，可获得每星期最高销售利润1200元．3.解：（1）设有x 名工人加工G 型装置， 则有(80―x )名工人加工H 型装置，根据题意，6x 4＝3(80―x )3解得，x ＝32，每天能组装48套GH 型电子产品（2）设招聘a 名新工人加工G 型装置仍设x 名工人加工G 型装置，(80―x )名工人加工H 型装置，根据题意，6x ＋4a 4＝3(80―x )3， x ＝160―2a 5因为80―x ≥120020，即x ≤20160―2a 5≤20，解得a ≥30，至少应招聘30名新工人4.考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设熟练工加工1件A 型服装需要x 小时，加工1件B 型服装需要y 小时，根据“一名熟练工加工1件A 型服装和2件B 型服装需4小时，加工3件A 型服装和1件B 型服装需7小时”，列出方程组，即可解答．（2）当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时，则还可以加工B 型服装（25×8﹣2a ）件．从而得到W=﹣8a+3200，再根据“加工A 型服装数量不少于B 型服装的一半”，得到a ≥50，利用一次函数的性质，即可解答．解：（1）设熟练工加工1件A 型服装需要x 小时，加工1件B 型服装需要y 小时．由题意得：，解得： 答：熟练工加工1件A 型服装需要2小时，加工1件B 型服装需要1小时．（2）当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时，则还可以加工B 型服装（25×8﹣2a ）件．∴W=16a+12（25×8﹣2a ）+800，∴W=﹣8a+3200，又∵a ≥，解得：a ≥50，∵﹣8＜0，∴W随着a的增大则减小，∴当a=50时，W有最大值2800．∵2800＜3000，∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．5.解：（1）每个围巾所获得的利润是（20+x）元，这种围巾的销售量是（400﹣10x）个．（2）设应季销售利润为y元．由题意得：y=（20+x）（400﹣10x）=﹣10x2+200x+8000把y=8000代入，得﹣10x2+200x+8000=8000解得x1=0，x2=20；答：围巾的售价为60元或80元．拓展：（1）设过季处理时亏损金额为y2元，单价降低z元．由题意得：y2=40×100﹣（30﹣z）（50+5z），y2=5（z﹣10）2+2000；z=10时亏损金额最小为2000元，此时售价为30﹣10=20（元/件）（2）y2=40m﹣（30﹣z）（50+5z），y2=5（z﹣10）2+40m﹣2000；延伸：①m的取值范围是：100≤m≤300②因为m=500﹣（400﹣10x）=100+10x，且100≤m≤300所以亏损的最小金额为40（100+10x）﹣2000=2000+400x元设总利润为w，W=（20+x）（400﹣10x）﹣（2000+400x）=﹣10（x+10）2+7000因为0≤x≤20，所以当x=0时，即售价为60元/条，总利润w有最大值6000元．6.解：（1）设销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式为y1=kx+b （6≤x≤12），函数图象过（6，60）、（12，100），则，解得．故销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式y1=x+20 （6≤x≤12且x 为整数）；（2）由题意得w=y1•y3﹣y2•y3即w=（x+20）•（10x+20）﹣x•（10x+20）化简，得w=20x2+240x+400，∵a=20，x=﹣=﹣=﹣6是对称轴，当x＞﹣6时，w随x的增大而增大，=20×122+240×12+400=6160，∴当x=12时，销售量最大，W最大答：12月份利润最大，最大利润是6160元．7.解：（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，∴可设R和t之间的关系式为R=，将（10，6）代入上式中得：6=，即k=60．故当10≤t≤30时，R=；（2）将t=30℃代入上式中得：R=，R=2．∴温度在30℃时，电阻R=2（kΩ）．∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ，∴当t≥30时，R=2+（t﹣30）=t﹣6；（3）把R=6（kΩ），代入R=t﹣6得，t=45（℃），所以，温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ．。

2x−y+m=0
（2022•荆州中考）如图是同一直角坐标系中函数y1＝2x和y2=2
x的图象．观察图象可得不等式2x＞
2
x的解集为
（）
A．﹣1＜x＜1B．x＜﹣1或x＞1C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1
【解析】选D．由图象，函数y1＝2x和y2=2
x的交点横坐标为﹣1，1，
所以当﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即2x＞2 x .
（2022•鄂州中考）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜
0）的图象与直线y=1
3x都经过点A（3，1），当kx+b＜
1
3x时，根据图象可知，x的取值范围是（）
A．x＞3B．x＜3C．x＜1D．x＞1【解析】选A．由图象可得，
当x＞3时，直线y=1
3x在一次函数y＝kx+b的上方，
所以当kx+b＜1
3x时，x的取值范围是x＞3．
二元一次方程组{y =2x +b y =−3x +6
的解是（ ）
A ．{x =2y =0
B ．{x =1y =3
C ．{x =−1y =9
D ．{x =3y =1
【解析】选B ．由图象可得直线l 1和直线l 2交点坐标是（4，5），所以方程组组{y =2x +b y =−3x +6
的解为{x =1y =3． （2022•扬州中考）如图，函数y ＝kx +b （k ＜0）的图象经过点P ，则关于x 的不等式kx +b ＞3的解集为 x ＜
﹣1 ．
【解析】由图象可得，
当x ＝﹣1时，y ＝3，该函数y 随x 的增大而减小，
所以不等式kx +b ＞3的解集为x ＜﹣1，
答案：x ＜﹣1。

（分类）专题复习（四）方程、不等式与函数的实际应用题类型1　多种函数的综合应用类型2　函数与方程或不等式的综合应用类型1　多种函数的综合应用（2019云南）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．（2019十堰）（2019毕节）（2019襄阳）（2019咸宁）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x 天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z=-2x+120.（1）第40天，该厂生产该产品的利润是元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w圆.①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大.最大利润是多少？②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？（2019随州）（2019荆门）（2019黄冈）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红。

经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100），已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p=x+1.（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w’（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？（2019鄂州）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐. 某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条.为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施. 据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条. 设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条.（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生. 为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？解：（1）y＝100+5（80－x）或y＝－5x+500 …………2′（2）由题意，得：W=(x-40)( －5x+500)=-5x2+700x-20000=-5(x-70)2+4500 …………4′∵a=-5<0 ∴w有最大值即当x=70时，w最大值＝4500∴应降价80－70＝10（元）答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元 …………6′（3）由题意，得：-5(x-70)2+4500＝4220+200解得：x1＝66 x2 ＝74 …………8′∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=70，∴当66≤x≤74时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠.…………10′(2019黔东南)某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,某村织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x(元)与该士特产的日销售量y(袋)之间的关系如下表:X(元)152030…y(袋)252010…若日销售量y是销售价x的一次函数,试求:(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式;(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元?每日销售的最大利润是多少元?（2019广西北部湾）（2019天水）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出没见销售价位多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？答案不完整……（2019武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）(1) ①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元(2) 由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值（2019攀枝花）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/干克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量；（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？（2019宿迁）（2019嘉兴）某农作物的生长率 与温度 ()有如下关系：如图 1，当10≤≤25 时可近似用函数p t C t 11505p t =-刻画；当25≤≤37 时可近似用函数 刻画．t 21()0.4160p t h =--+ (1)求 的值． (2)按照经验，该作物提前上市的天数(天)与生长率满足函数关系：h m p 生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数 （天）m 051015①请运用已学的知识，求 关于 的函数表达式；m p ②请用含的代数式表示t m(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为 200元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加 600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本 (元)与大棚温度()之间的关系如图 2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个w t C 最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．x y （2019临沂）汛期到来，山洪暴发，下表记录了某水库20h内水位的变化情况，其中表示时间（单位：h），x表示水位高度（单位：m），当=8（h）时，达到警戒水位，开始开闸放水。

2021年全国中考数学试题分类解析汇编方程、不等式和函数的综合2021年全国中考数学试题分类解析汇编专题24：方程、不等式和函数的综合一、选择题1. （2021福建龙岩4分）下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有【】y=?1x ④y=3x2 ①y=x ②y=－2x＋1 ③ A．1个 B．2个 C．3个【答案】B。

D． 4个【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的性质。

【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质作出判断：①∵y=x 的k＞0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；②∵y=－2x＋1的k＜0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；y=?1x的k＜0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；2 ③∵ ④∵y=3x的a＞0，对称轴为x=0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小。

∴正确的有2个。

故选B。

2. （2021四川广元3分）已知关于x的方程函数y?1?bx(x?1)?(x?b)?222有唯一实数解，且反比例的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【】3x B.y?1x C.y?2x D.y??2xy??A.【答案】D。

【考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。

22【分析】关于x的方程(x?1)?(x?b)?2化成一般形式是：2x2＋（2－2b）x＋（b2－1）=0，∵它有唯一实数解，∴△=（2－2b）2－8（b2－1）=－4（b＋3）（b－1）=0，解得：b=－3或1。

y?1?bx∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，∴1+b＜0。

∴b＜－1。

∴b=－3。

y?1?3xy??2x。

故选D。

∴反比例函数的解析式是，即3. （2021山东菏泽3分）已知二次函数y?ax?bx?c2的图象如图所示，那么一次函数y?bx?c和反比例函数y?ax在同一平面直角坐标系中的图象大致是【】A．B．C．D【答案】C。

【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的图象性质。

方程（组）和不等式的实际应用一、一元一次方程的应用1.（2019∙安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难问题，当地政府决定修建一条高速公路。

其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工。

甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米。

已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？2.（2019∙岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积600多亩．（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的1，求休闲小广场总面积最3多为多少亩？3.（2019∙甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何?译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车?二、二元一次方程组的应用1.（2019∙淄博）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A、B两种产品在欧洲市场热销，今年第一季度这两种产品的销售额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本），其每件产品的成本和售价信息如问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？2.（2019∙百色）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时。

(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米?3.（2019∙广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同。

专题19 应用题（函数、不等式、方程）一．解答题1．（2022·广西梧州）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知3kg 的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成1kg 的龙眼干．(1)若新鲜龙眼售价为12元/kg ，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg?(2)在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg 最多能卖出100kg ，超出部分平均售价是5元/kg ，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．设某果农有akg 新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w 元，请写出w 与a 的函数关系式．【答案】(1)龙眼干的售价应不低于36元/kg (2)11,(100)50361700,(100)50a a w a a ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩【分析】(1)设龙眼干的售价应不低于x 元/kg ，新鲜龙眼共3a 千克，得到总收益为12×3a =36a 元；加工成龙眼干后总收益为ax 元，再根据龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益得到不等式ax ≥36a ，解出即可；(2)设龙眼干的售价为y 元/千克，当100a <千克时求出新鲜龙眼的销售收益为12a 元，龙眼干的销售收益为47150ay 元，根据“龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，且龙眼干的定价取最低整数价格”得到4712150ay a ，解出39y =；然后再当100a ≥千克时同样求出新鲜龙眼收益与龙眼干收益，再相减即可求解． (1)解：设龙眼干的售价应不低于x 元/kg ，设新鲜龙眼共3a 千克，总销售收益为12×3a =36a （元）， 加工成龙眼干后共a 千克，总销售收益为x ×a =ax （元），∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，∴ax ≥36a ，解出：x ≥36，故龙眼干的售价应不低于36元/kg ．(2)解：a 千克的新鲜龙眼一共可以加工成147(16%)3150a a 千克龙眼干，设龙眼干的售价为y 元/千克，则龙眼干的总销售收益为47150ay 元， 当100a ≤千克时，新鲜龙眼的总收益为12a 元，∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，∴4712150ay a ，解出12150180038.34747y 元， 又龙眼干的定价取最低整数价格，∴39y =， ∴龙眼干的销售总收益为476113915050a a ， 此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差61111125050a wa a 元； 当100a >千克时，新鲜龙眼的总收益为121005(100)(5700)a a 元， 龙眼干的总销售收益为61150a 元， 此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差 611361(5700)(700)5050a w a a 元， 故w 与a 的函数关系式为()11,10050361700,(100)50a a w a a ⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用等，本题的关键是读懂题意，明确题中的数量关系，正确列出函数关系式或不等式求解．2．（2022·黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A 、B 两种跳绳．已知购进10根A 种跳绳和5根B 种跳绳共需175元：购进15根A 种跳绳和10根B 种跳绳共需300元．(1)求购进一根A 种跳绳和一根B 种跳绳各需多少元？(2)设购买A 种跳绳m 根，若班级计划购买A 、B 两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？【答案】(1)购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元(2)有三种方案：方案一：购买A 种跳绳23根，B 种跳绳22根；方案二：购买A 种跳绳24根，B 种跳绳21根；方案三：购买A 种跳绳25根，B 种跳绳20根(3)方案三需要费用最少，最少费用是550元【分析】（1）设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元，可列方程组1051751510300x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解方程组即可求得结果；（2）根据题意可列出不等式组()()101545560101545548m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得：2325.4m ≤≤，由此即可确定方案； （3）设购买跳绳所需费用为w 元，根据题意，得()1015455675w m m m =+-=-+，结合函数图像的性质，可知w 随m 的增大而减小，即当25m =时525675550=-⨯+=．(1)解：设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元，根据题意，得1051751510300x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1015x y =⎧⎨=⎩， 答：购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元；(2)根据题意，得()()101545560101545548m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩， 解得2325.4m ≤≤，∵m 为整数，∴m 可取23，24，25．∴有三种方案：方案一：购买A 种跳绳23根，B 种跳绳22根；方案二：购买A 种跳绳24根，B 种跳绳21根；方案三：购买A 种跳绳25根，B 种跳绳20根；(3)设购买跳绳所需费用为w 元，根据题意，得()1015455675w m m m =+-=-+∵50-<，∴w 随m 的增大而减小，∴当25m =时，w 有最小值，即w 525675550=-⨯+=（元）答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．3．（2022·黑龙江牡丹江）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m 的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a （50＜a ＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）m=10；（2）11种；（3）购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双，可获得最大利润【分析】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可．（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答．（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．【详解】解：（1）依题意得，30002400m m20=-，去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100．经检验，m=100是原分式方程的解．∴m=100．（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意得，()()()()240100x16080(200x)21700{240100x16080(200x)22300 -+--≥-+--≤①②，解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，∴不等式组的解集是95≤x≤105．∵x是正整数，105﹣95+1=11，∴共有11种方案．（3）设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，∴当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双．②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样．③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，∴当x=95时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．4．（2022·福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．【答案】(1)购买绿萝38盆，吊兰8盆(2)369元【分析】（1）设购买绿萝x 盆，购买吊兰y 盆，根据题意建立方程组4696390x y x y +=⎧⎨+=⎩，解方程组即可得到答案；（2）设购买绿萝x 盆，购买吊兰y 盆，总费用为z ，得到关于z 的一次函数3414z y =-+，再建立关于y 的不等式组，解出y 的取值范围，从而求得z 的最小值．(1)设购买绿萝x 盆，购买吊兰y 盆∵计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆∴46x y +=∵采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆9元，吊兰每盆6元∴96390x y +=得方程组4696390x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程组得388x y =⎧⎨=⎩∵38>2×8，符合题意∴购买绿萝38盆，吊兰8盆；(2)设购买绿萝x 盆，购买吊兰吊y 盆，总费用为z∴46x y +=，96z x y =+∴4143z y =-∵总费用要低于过390元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍∴41433902y x y -<⎧⎨≥⎩将46x y =-代入不等式组得4143390462y y y -<⎧⎨-≥⎩∴4683y <≤∴y 的最大值为15 ∵3414z y =-+为一次函数，随y 值增大而减小∴15y =时，z 最小∴4631x y =-=∴96369z x y =+=元故购买两种绿植最少花费为369元．【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数、不等式组的性质，解题的关键是数量掌握二元一次方程组、一次函数、不等式组的相关知识．5．（2022·湖北恩施）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？【答案】(1)甲种客车每辆200元，乙种客车每辆300元(2)租用甲种客车5辆，乙种客车3辆，租车费用最低为1900元【分析】（1）可设甲种客车每辆x 元，乙种客车每辆y 元，根据等量关系：一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元，列出方程组求解即可；（2）设租车费用为w 元，租用甲种客车a 辆，根据题意列出不等式组，求出a 的取值范围，进而列出w 关于a 的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可．(1)解：设甲种客车每辆x 元，乙种客车每辆y 元，依题意知，500231300x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，解得200300x y =⎧⎨=⎩， 答：甲种客车每辆200元，乙种客车每辆300元；(2)解：设租车费用为w 元，租用甲种客车a 辆，则乙种客车()8a - 辆，()15258150a a +-≥，解得：5a ≤，()20030081002400w a a a =+-=-+，1000-<，w ∴随a 的增大而减小， a 取整数，a ∴最大为5，5a ∴=时，费用最低为100524001900-⨯+=（元)，853-=（辆)．答：租用甲种客车5辆，乙种客车3辆，租车费用最低为1900元．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．6．（2022·广西梧州）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知3kg 的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成1kg 的龙眼干．(1)若新鲜龙眼售价为12元/kg ，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg?(2)在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg 最多能卖出100kg ，超出部分平均售价是5元/kg ，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．设某果农有akg 新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w 元，请写出w 与a 的函数关系式．【答案】(1)龙眼干的售价应不低于36元/kg (2)11,(100)50361700,(100)50a a w a a ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 【分析】(1)设龙眼干的售价应不低于x 元/kg ，新鲜龙眼共3a 千克，得到总收益为12×3a =36a 元；加工成龙眼干后总收益为ax 元，再根据龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益得到不等式ax ≥36a ，解出即可；(2)设龙眼干的售价为y 元/千克，当100a <千克时求出新鲜龙眼的销售收益为12a 元，龙眼干的销售收益为47150ay 元，根据“龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，且龙眼干的定价取最低整数价格”得到4712150ay a ，解出39y =；然后再当100a ≥千克时同样求出新鲜龙眼收益与龙眼干收益，再相减即可求解． (1)解：设龙眼干的售价应不低于x 元/kg ，设新鲜龙眼共3a 千克，总销售收益为12×3a =36a （元）， 加工成龙眼干后共a 千克，总销售收益为x ×a =ax （元），∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，∴ax ≥36a ，解出：x ≥36，故龙眼干的售价应不低于36元/kg ．(2)解：a 千克的新鲜龙眼一共可以加工成147(16%)3150a a 千克龙眼干，设龙眼干的售价为y 元/千克，则龙眼干的总销售收益为47150ay 元， 当100a ≤千克时，新鲜龙眼的总收益为12a 元，∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益， ∴4712150ay a ，解出12150180038.34747y 元， 又龙眼干的定价取最低整数价格，∴39y =， ∴龙眼干的销售总收益为476113915050a a ， 此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差61111125050a wa a 元； 当100a >千克时，新鲜龙眼的总收益为121005(100)(5700)a a 元，龙眼干的总销售收益为61150a 元， 此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差611361(5700)(700)5050a w a a 元， 故w 与a 的函数关系式为()11,10050361700,(100)50a a w a a ⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用等，本题的关键是读懂题意，明确题中的数量关系，正确列出函数关系式或不等式求解．7．（2022·黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A 、B 两种跳绳．已知购进10根A 种跳绳和5根B 种跳绳共需175元：购进15根A 种跳绳和10根B 种跳绳共需300元．(1)求购进一根A 种跳绳和一根B 种跳绳各需多少元？(2)设购买A 种跳绳m 根，若班级计划购买A 、B 两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？【答案】(1)购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元(2)有三种方案：方案一：购买A 种跳绳23根，B 种跳绳22根；方案二：购买A 种跳绳24根，B 种跳绳21根；方案三：购买A 种跳绳25根，B 种跳绳20根(3)方案三需要费用最少，最少费用是550元【分析】（1）设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元，可列方程组1051751510300x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解方程组即可求得结果；（2）根据题意可列出不等式组()()101545560101545548m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得：2325.4m ≤≤，由此即可确定方案； （3）设购买跳绳所需费用为w 元，根据题意，得()1015455675w m m m =+-=-+，结合函数图像的性质，可知w 随m 的增大而减小，即当25m =时525675550=-⨯+=．(1)解：设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元，根据题意，得1051751510300x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1015x y =⎧⎨=⎩， 答：购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元；(2)根据题意，得()()101545560101545548m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得2325.4m ≤≤，∵m 为整数，∴m 可取23，24，25．∴有三种方案：方案一：购买A 种跳绳23根，B 种跳绳22根；方案二：购买A 种跳绳24根，B 种跳绳21根；方案三：购买A 种跳绳25根，B 种跳绳20根；(3)设购买跳绳所需费用为w 元，根据题意，得()1015455675w m m m =+-=-+∵50-<，∴w 随m 的增大而减小，∴当25m =时，w 有最小值，即w 525675550=-⨯+=（元）答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．8．（2022·黑龙江牡丹江）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m 的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a （50＜a ＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）m =10；（2）11种；（3）购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双，可获得最大利润【分析】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可．（2）设购进甲种运动鞋x 双，表示出乙种运动鞋（200﹣x ）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答．（3）设总利润为W ，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．【详解】解：（1）依题意得，30002400m m 20=-，去分母得，3000（m ﹣20）=2400m ，解得m =100．经检验，m =100是原分式方程的解．∴m =100．（2）设购进甲种运动鞋x 双，则乙种运动鞋（200﹣x ）双，根据题意得，()()()()240100x 16080(200x)21700{240100x 16080(200x)22300-+--≥-+--≤①②， 解不等式①得，x ≥95，解不等式②得，x ≤105，∴不等式组的解集是95≤x ≤105．∵x 是正整数，105﹣95+1=11，∴共有11种方案．（3）设总利润为W ，则W =（140﹣a ）x +80（200﹣x ）=（60﹣a ）x +16000（95≤x ≤105），①当50＜a ＜60时，60﹣a ＞0，W 随x 的增大而增大，∴当x =105时，W 有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双．②当a =60时，60﹣a =0，W =16000，（2）中所有方案获利都一样．③当60＜a ＜70时，60﹣a ＜0，W 随x 的增大而减小，∴当x =95时，W 有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．9．（2022·福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．【答案】(1)购买绿萝38盆，吊兰8盆(2)369元【分析】（1）设购买绿萝x 盆，购买吊兰y 盆，根据题意建立方程组4696390x y x y +=⎧⎨+=⎩，解方程组即可得到答案；（2）设购买绿萝x 盆，购买吊兰y 盆，总费用为z ，得到关于z 的一次函数3414z y =-+，再建立关于y 的不等式组，解出y 的取值范围，从而求得z 的最小值．(1)设购买绿萝x 盆，购买吊兰y 盆∵计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆∴46x y +=∵采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆9元，吊兰每盆6元∴96390x y +=得方程组4696390x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程组得388x y =⎧⎨=⎩ ∵38>2×8，符合题意∴购买绿萝38盆，吊兰8盆；(2)设购买绿萝x 盆，购买吊兰吊y 盆，总费用为z∴46x y +=，96z x y =+∴4143z y =-∵总费用要低于过390元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍∴41433902y x y-<⎧⎨≥⎩ 将46x y =-代入不等式组得4143390462y y y -<⎧⎨-≥⎩∴4683y <≤ ∴y 的最大值为15∵3414z y =-+为一次函数，随y 值增大而减小∴15y =时，z 最小∴4631x y =-=∴96369z x y =+=元故购买两种绿植最少花费为369元．【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数、不等式组的性质，解题的关键是数量掌握二元一次方程组、一次函数、不等式组的相关知识．10．（2022·湖北恩施）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？【答案】(1)甲种客车每辆200元，乙种客车每辆300元(2)租用甲种客车5辆，乙种客车3辆，租车费用最低为1900元【分析】（1）可设甲种客车每辆x 元，乙种客车每辆y 元，根据等量关系：一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元，列出方程组求解即可；（2）设租车费用为w 元，租用甲种客车a 辆，根据题意列出不等式组，求出a 的取值范围，进而列出w 关于a 的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可．(1)解：设甲种客车每辆x 元，乙种客车每辆y 元，依题意知，500231300x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，解得200300x y =⎧⎨=⎩ ， 答：甲种客车每辆200元，乙种客车每辆300元；(2)解：设租车费用为w 元，租用甲种客车a 辆，则乙种客车()8a - 辆，()15258150a a +-≥，解得：5a ≤，()20030081002400w a a a =+-=-+，1000-<，w ∴随a 的增大而减小， a 取整数，a ∴最大为5，5a ∴=时，费用最低为100524001900-⨯+=（元)，853-=（辆)．答：租用甲种客车5辆，乙种客车3辆，租车费用最低为1900元．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．11．（2022·广西河池）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元．(1)桂花树和芒果树的单价各是多少元？(2)若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为n ，总费用为w 元，求w 关于n 的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？【答案】(1)桂花树单价90元/棵，芒果树的单价50元/棵；(2)()4030003560w n n =+≤≤；当购买35棵挂花树，25棵芒果树时，费用最低，最低费用为4400元．【分析】（1）设桂花树单价x 元/棵，芒果树的单价y 元/棵，根据桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元，列出二元一次方程组解出即可；（2）设购买挂花树n 棵，则芒果树为()60n -棵，根据题意求出w 关于n 的函数关系式，然后根据桂花树不少于35棵求出n 的取值范围，再根据n 是正整数确定出购买方案及最低费用．(1)解：设桂花树单价x 元/棵，芒果树的单价y 元/棵，根据题意得：4032370x y x y =+⎧⎨+=⎩， 解得：9050x y =⎧⎨=⎩， 答：桂花树单价90元/棵，芒果树的单价50元/棵；(2)设购买桂花树的棵数为n ，则购买芒果树的棵数为()60n -棵，根据题意得()()9050604030003560w n n n n =+-=+≤≤，400>，∴w 随n 的增大而增大，∴当35n =时，=4035+3000=4400w ⨯最小元，此时()60=603525n --=，∴当购买35棵挂花树，25棵芒果树时，费用最低，最低费用为4400元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．12．（2022·辽宁锦州）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(3)设该玩具日销售利润为w 元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)2100y x =-+；(2)40元或20元；(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x 元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案； （3）根据题意，列出w 与x 的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．(1)解：由图可知，设一次函数的解析式为y kx b =+，把点（25，50）和点（35，30）代入，得25503530k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2100k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为2100y x =-+；(2)解：根据题意，设当天玩具的销售单价是x 元，则(10)(2100)600x x -⨯-+=，解得：140x =，220x =，∴当天玩具的销售单价是40元或20元；(3)解：根据题意，则(10)(2100)w x x =-⨯-+，整理得：22(30)800w x =--+；∵20-<，∴当30x =时，w 有最大值，最大值为800；∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．13．（2022·内蒙古呼和浩特）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？【答案】(1)去年每吨土豆的平均价格是2200元(2)应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元【分析】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x 元，则第一次采购的平均价格为（x +200）元，第二次采购的平均价格为（x -200）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；（2）先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．(1)设去年每吨土豆的平均价格是x 元， 由题意得，3000005000002200200x x ⨯=+- ， 解得：2200x =，经检验：2200x =是原分式方程的解，且符合题意，答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；(2)由（1）得，今年的土豆数为：30000033752400⨯=(吨)， 设应将m 吨土豆加工成薯片，则应将（375－m ）吨加工成淀粉， 由题意得，()237533756058m m m m ≥--+≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 解得：150175m ≤≤，。