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等差数列知识点及类型题一、数列由n a 与n S 的关系求n a由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩。
〖例1〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。
nn n S a a 222,0=+>分析：将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。
二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{1nS }是等差数列； （2）求n a 的表达式。
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1.其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n－p (p ∈R)， 则{a n }的通项公式为________．（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
等差数列及其性质【知识概述】1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示，即*1(,2)n n a a d n N n --=∈≥.2.通项公式：1(1)n a a n d =+-()n N *∈3.前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+= 4.递推公式：+1+n n a a d =()n N *∈5．中项公式：若b a 、、M 成等差数列，则2M +a b =，称M 为b a 、的等差中项， 即+M 2a b =；若数列{}n a 是等差数列，则n 112+(2)n n a a a n -+=≥. 6.等差数列的简单性质：)N (*∈k q p n m 、、、、（1）若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+；（2）2m n p +=,则2m n p a a a +=；（3）112m m m a a a -+=+；2+m m k m k a a a -+=（4）()m n a a m n d =+-;（5）21(21)m m S m a -=-;（6）232,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列.（7）()()n S f n an b f n n ==+⇔是n 的一次函数{}()n S f n n ⎧⎫⇔=⎨⎬⎩⎭成等差数列. （8）数列}{n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+是n 的二次函数且常数项为零.【学前诊断】1．[难度] 易已知等差数列}{n a 中，（1）若12497,1,16a a a a 则==+= ；（2） 若1232,13,a a a =+= 则456a a a ++= .2．[难度] 中已知数列{}n a 是等差数列，（1）若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且k a =13,则k =________________.（2）若公差为-2，且,509741=+++a a a 则=++++99963a a a a .3．[难度] 中已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S（1）若.__________,4,8134111073==-=-+S a a a a a 则（2）若242,10,S S ==6S = .【经典例题】例1．在等差数列{}n a 中，259,33,a a ==求8a .例2．n S 设表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918,240,n S S ==若 430(9)n a n -=>，求n 的值.例3．在等差数列{}n a 中，230,100m m S S ==，3m S 求. 例4．已知数列{}n a 是一个等差数列，且251,5,n a a S ==-为其前n 项和.（1）求 {}n a 的通项n a ；（2）求n S 的最大值及相应的n 值；（3）12+n n T a a a =++….【本课总结】1．有关等差数列的计算问题一般有两种方法：基本量法：一个等差数列可以由首项1a 和公差d 完全确定，而首项1a 和公差d 又可以用其它两个独立的条件取代，因此在等差数列的有关计算中，可以依据方程思想，只要给出两个独立条件，就可以列方程组求出1a d 、，将问题转化为等差数列中的两个基本量1a d 、进行计算，可以说基本量法是万能大法.性质法： 数列简单性质的使用可以简化运算，如果能恰当的使用数列性质，就可以绕开经过首项1a 的独木桥，获得简洁明快的解题方法，解题时需充分关注角标之间的关系，注意挖掘题目中的隐含条件, 隐含条件发掘的越深刻，获得的解题方法就越优秀.2．证明或判断数列为等差数列主要有以下几种方法：①定义法：1n n a a d +-=恒成立{}n a ⇔成等差数列；②通项法：通项公式n a pn q =+是n 的一次函数{}n a ⇔成等差数列；③前n 项和法：前n 项和2n S pn qn =+是n 的二次函数且常数项为零{}n a ⇔成等差数列；④中项法：211n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+{}n a ⇔成等差数列；3．求等差数列前n 项和的最值问题，常用途径有：①二次函数法：用求二次函数最值的方法求n S 的最大值，但要注意*n ∈N ；②图象法：利用二次函数图象的对称性，数形结合求n S 的最值；③通项法：利用等差数列的通项公式，重在考查数列的变化规律，对无穷等差数列{}n a ， 其前n 项和n S 有如下几种情况：（i ）当10,0a d ><时，若满足0n a ≥的最大自然数为N ，则n S 的最大值为N S ； （ii ）当10,0a d <>时，若满足0n a ≤的最大自然数为N ，则n S 的最小值为N S ；（iii ）当10,0a d >>时，n S 无最大值；（iv ）当10,0a d <<时，n S 无最小值.【活学活用】1．[难度] 中等差数列}{n a 中，（1）若,36,31001==a a 则=+983a a ;（2）若262,162a a ==，则10a = ;（3）若,4,126473-=+-=a a a a 则n a = .2. [难度] 中设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，（1）若39S =，636S =，则789a a a ++= ;（2）若102030,100,S S ==则30S ＝ .3. [难度] 难已知数列{}n a 的通项为215n a n =-，前n 项和为n S .（1）当n 为多少时，n S 取最小值、n S 取最小值;（2）求201220T a a a =+++，并求12n n T a a a =+++.。
等差数列一、 要点梳理1、 等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数角做等差数列的公差2、 通项公式：1(1)n a a n d =+- 或 ()n m a a n m d =+-3、 等差中项：三个数,,a A b 组成等差数列，则A 叫做a b 与的等差中项，此时2A a b =+4、 等差数列前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 5、 等差数列性质：1） 若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+2） 23243,,,m m m m m m mS S S S S S S ---是等差数列6、 等数列的判定：1)定义法：1n n a a d --= 2）通项法：n a pn q =+ （其中,p q 是常数）3）中项公式法：112n n n a a a -+=+ 4）求和公式法：2n S An Bn =+二、习题精练1、（1）求等差数列8 , 5，2，…..,的第20项（2）-401是不是数列-5，-9，-13……,的项？若是，为第几项？2、在等差数列{}n a 中（1）已知1102,3,a d a ==求 （2）已知13,21,2,n a a d n ===求（3）已知1612,27,a a d ==求（4）71,83d a =-=已知，求1a（5）已知36912,27,a a a ==求（6）已知372012,28,a a a ==求3、（1）159...77_______++++=（2）258...29_______++++= 4、(1)120,54,999,n n a a S ===求d 及n(2)1,37,629,3n d n S ===求1n a a 及(3) 151,,15,66n a d S ==-=-求n 及n a (4) 2,15,10n d n a ===-求1a 及n S5、若一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项和为390，求此数列的项数n6、(1)等差数列{}n a 中，85a =,求S 15(2)已知220n S n n =-，求n a 及n S 的最小值7、 已知325n a n =-+，当n S 达最大是，n 的值是多少8、已知等差数列{}n a 中，310S =，630S =，求9S 的值。
等差数列的前项和【知识梳理】．数列的前项和对于数列{}，一般地称＋＋…＋为数列{}的前项和，用表示，即＝＋＋…＋.．等差数列的前项和公式题型一、等差数列前项和的有关计算【例】 ()已知{}为等差数列，为其前项和，若＝，＝，则＝；＝.()在等差数列{}中，已知＝，＝，＝，求和.()[解析]设公差为，则由＝得＋＝＋，所以＝＝，故＝＋＝，＝＋＝.[答案]()[解]由(\\(＝＋(－(，＝＋((－()，))得(\\(＋(－(＝，＋((－()×＝，))解方程组，得(\\(＝，＝))或(\\(＝，＝－.))【类题通法】，，称为等差数列的三个基本量，和都可以用这三个基本量来表示，五个量，，，，中可知三求二，即等差数列的通项公式及前项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．【对点训练】．已知等差数列{}．()＝，＝－，＝－，求和；()＝，＝，求和.解：∵＝＋(－)＝－，∴＝－.又＝＋·＝－，解得＝，＝－(舍)．()由已知，得＝＝＝，解得＝，又∵＝＋(－)＝，∴＝.题型二、已知求通项公式【例】已知数列{}的前项和＝－＋＋.()求{}的通项公式；()判断{}是否为等差数列？[解]()∵＝－＋＋，＝－(－)＋(－)＋∴当≥时，－＝－＋－，∴＝－－＝(－＋＋)－(－＋－)＝－＋.又＝＝，不满足＝－＋，∴数列{}的通项公式是＝(\\(，＝，,－＋，≥.))()由()知，当≥时，－＝[－(＋)＋]－(－＋)＝－，＋但－＝－－＝－≠－，∴{}不满足等差数列的定义，{}不是等差数列．【类题通法】已知数列{}的前项和公式，求通项公式的步骤：()当＝时，＝.()当≥时，根据写出－，化简＝－－.()如果也满足当≥时，＝－－的通项公式，那么数列{}的通项公式为＝－－；的通项公式，那么数列{}的通项公式要分段表示为如果不满足当≥时，＝－－＝(\\(，＝，－－，≥))(如本例)．【对点训练】．已知下面各数列{}的前项和的公式，求{}的通项公式．。
n n n 一、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前 n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结1. 数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2. 等差、等比数列中， a 1 、 a n 、 n 、 d (q ) 、 S n“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3. 求等比数列的前 n 项和时要考虑公比是否等于 1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4. 数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．三、知识内容： 1. 数列⎧a 1 = S 1(n = 1)数列的通项公式： a n = ⎨ ⎩n - Sn -1 (n ≥ 2) 数列的前 n 项和： S n = a 1 + a 2 + a 3 + + a n1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、有穷数列：项数有限的数列．4、无穷数列：项数无限的数列．5、递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列．6、递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列．7、常数列：各项相等的数列．8、摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{a n } 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式．10、数列的递推公式：表示任一项 a n 与它的前一项 a n -1 （或前几项）间的关系的公式．例 1.已知数列{a }的前 n 项和为 S = 2n 2 - n ,求数列{a }的通项公式.当 n = 1时， a 1 = S 1 = 1,当 n ≥ 2 时， a n = 2n 2 - n - 2(n - 1)2 + (n - 1) = 4n - 3 ,经检验 n = 1时 a 1 = 1 也适合 a n = 4n - 3 ,∴ a n = 4n - 3 (n ∈ N + )2. 等差数列等差数列的定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。
(完整版)等差数列知识点总结1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。
2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。
3. 等差数列的前 n 项和公式设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。
4. 判断数列是否为等差数列- 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。
- 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。
5. 求等差数列的公差设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。
6. 求等差数列的项数设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。
7. 求等差数列的首项设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。
8. 求等差数列的末项设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。
9. 等差数列的性质- 等差数列的任意三项成等差数列。
- 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。
- 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。
10. 应用场景等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括：- 数学题中的数列问题，如求和、推导等。
- 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。
- 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。
- 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。
以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。
等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2ba A +=或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1nn S aS a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N，则()2121n n Sn a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．523．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( )A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．53、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ）A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝519、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项题型三、等差数列前n 项和 1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q --+++=，则其前n 项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 （ ）A. ()4321-n nB. ()7321-n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ） A. 0991>+a a B. 0991<+a a C. 0991=+a a D. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。
设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；
设，
，，则有；
(9) 是等差数列的前项和，则；
其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则
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①．为等差数列，公差为；
②．（即
）为等差数列，公差；
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③．（即）为等差数列，公差为.
1
q1。
；
a
）设，是等比数列，则也是等比数列。
）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数
）设是正项等比数列，则是等差数列；
）设，
，，则有；
）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则
①．为等比数列，公比为；
②．（即）为
等比数列，公比为；。
第四节 等差数列及前n 项和一、【基础知识】 1． 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2． 等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3． 等差中项如果A ＝2a b+，那么A 叫作a 与b 的等差中项． 4． 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列． 5． 等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝1()2n n a a +或S n ＝na 1＋(1)2n n -d . 6． 等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝2d n 2＋12d a ⎛⎫- ⎪⎝⎭n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7． 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 难点正本 疑点清源 1．等差数列的判断方法(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. 2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n .(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝2n d . 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 3．等差数列与函数在d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，一次项系数为d ；S n 是关于n 的二次函数，二次项系数为d2，且常数项为0.【考点剖析】考点一等差数列基本量的运算1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 【答案】B【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则由45624,48,a a S +=⎧⎨=⎩得1113424,65648,2a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ 即112724,2516,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得d ＝4. 考点二：等差数列的判定与证明例1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝. (1)求证：成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1， 因为S n ≠0，所以－＝2， 又＝＝2， 故是首项为2，公差为2的等差数列．121n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1nS 11n S -11S 11a 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)由(1)可得＝2n ，所以S n ＝. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－＝当n ＝1时，a 1＝不适合上式．故a n ＝【解法技巧】2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件． 考点三：等差数列的性质与应用例2．(1)(2021·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，则S 13＝( ) A ．58 B ．54 C ．56 D ．52(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390 D ．540 (3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，20142008620142008S S -=，则S 2 019＝________. 【答案】(1)D (2)A (3)8 076【解析】(1)∵a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根， ∴a 4＋a 10＝8，∴a 1＋a 13＝8， ∴S 13＝11313()2a a ⨯+＝1382⨯＝52.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， ∴2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.(3)由等差数列的性质可得n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等差数列． 设其公差为d ，则2014200820142008S S-＝6d ＝6，∴d ＝1.1n S 12n12n 12(1)n -112(1)2(1)n n n n n n --=---121,1,21,22(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩故2019120191S S =＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4， ∴S 2 019＝4×2 019＝8 076. 【解题技法】一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．考点四：等差数列前n 项和的最值问题例3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．【答案】49【解析】 法一 通项法 设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15. 由10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩得2150,2(1)0,n n -+≥⎧⎨-+≤⎩解得132≤n ≤152.因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝7(132715)2⨯-⨯+＝49.法二 二次函数法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15. 所以S n ＝(13152)2n n +-＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. 【解题技法】求数列前n 项和的最值的方法(1)通项法：①若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 的值可用不等式组10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩来确定；②若a 1＜0，d＞0，则S n 必有最小值，其n 的值可用不等式组10,0,n n a a +≤⎧⎨≥⎩来确定．(2)二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋(1)2n n - d ＝2d n 2＋12d a ⎛⎫- ⎪⎝⎭n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．(3)不等式组法：借助S n 最大时，有11n n n n S S S S -+≥⎧⎨≥⎩ (n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．2.2 等差数列 基础练一、单选题1．已知等差数列{}n a 满足： 31313,33a a ==，则7a =（ ）A ．19B ．20C ．21D ．22 2．在等差数列{a n }中，a 3=5，a 10=19，则a 51的值为（ ）A ．99B ．49C ．101D ．102 3．如果三个数2a ，3，a ﹣6成等差，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．3D ．44．数列{}n a 中，22a =，60a =，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则4a 等于（ ）A ．12B ．13C ．14D ．165．数列{}n a 中，115a =，()*1332n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（ ）A ．2122,a aB ．2223,a aC ．2324,a aD ．2425,a a 6．等差数列{}n a 的首项为70，公差为-9，则这个数列中绝对值最小的一项是（ ）A ．8aB ．9aC ．10aD ．11a二、填空题7．数列{}n a 的递推公式为()1*13,2,n n a a a n N +=⎧⎪⎨=-∈⎪⎩则这个数列的通项公式为_______. 8．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有200项，则它们的公共项的个数有________． 9．已知数列{}n a 是等差数列，且610a =，则使12a a 最小的公差d =______.三、解答题10．已知数列1230,,,a a a ，其中1210,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；101120,,,a a a 是公差为d 的等差数列；202130,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0d ≠）． （1）若2030a =，求公差d ； （2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围．2.3 等差数列的前n 项和基础练一、单选题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，410S =，则6S 等于（ ） A ．12B ．18C ．24D ．422．等差数列{}n a 中，160S >，170S <，当其前n 项和取得最大值时，n =（ ）A ．16B ．8C ．9D ．173．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，286a a +=-，则n S 的最小值等于（ ） A ．-34 B ．-36 C ．-6 D ．6 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若100910072S S -=，则2016S =（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．2017 5．已知等差数列{}n a 的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为（ ）A ．100B ．120C ．390D ．540 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19二、填空题7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若10m a =，21110m S -=，则正整数m =________． 8．等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是n S ，n T ，若312n n S n T n +=，则1111a b =_______. 9．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差d >0，则使得前n 项和n S 取得最小值时的正整数n 的值是______.三、解答题10．等差数列{}n a 中，已知7178,28a a =-=-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值.参考答案11．【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，133d 10a a -==2,则73413821a a d =+=+= 故选C 2．【答案】C【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则d =103103a a --=2，∴a 51=a 10+41d =19+82=101 故选C 3．【答案】D【解析】∵三个数2a ，3，a ﹣6成等差， ∴2a +a ﹣6=6， 解得a =4． 故选D ． 4．【答案】A【解析】由于11n a +为等差数列，故4261112111a a a =++++，即411421133a =+=+，解得412a =. 故选A 5．【答案】C【解析】123n n a a +-=，则247215(1)33n na n -⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭．11145470(452)(472)03322n n a a n n n +∴<⇒--<⇒<<，∴n =23．则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是23a 和24a ，故选C 6．【答案】B【解析】依题意有979n a n =-+，数列为递减的等差数列，89107,2,11a a a ==-=-，故第9项的绝对值最小， 故选B . 7．【答案】52n a n =- 【解析】由题，数列{}n a 是以3为首项，公差为2-的等差数列.故()32152n a n n =--=-. 故填52n a n =- 8．【答案】50【解析】设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n }，则a 1＝11. ∵ 数列5，8，11，…与3，7，11，…的公差分别为3和4， ∴ {a n }的公差d ＝3×4＝12， ∴ a n ＝11＋12(n －1)＝12n －1.又5，8，11，…与3，7，11，…的第200项分别为602和799， ∴ a n ＝12n －1≤602，即n ≤50.25.又n ∈N *，∴ 两数列有50个相同的项． 故填50 9．【答案】94【解析】由题,可得162651054104a a d da a d d =-=-⎧⎨=-=-⎩, ()()22129510510420901002044a a d d d d d ⎛⎫∴=--=-+=-- ⎪⎝⎭∴当94d =时,12a a 取得最小值故填9410．【答案】（1）2；（2）15[,)2+∞．【解析】（1）由题意可得1010a =，20101030a d =+=，所以2d =．（2）由题可得()()223020101010a a d d dd =+=++≠，即230131024a d ⎡⎤⎛⎫=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当()(),00,d ∈-∞⋃+∞时，3015,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．参考答案21．【答案】B【解析】由于{}n a 是等差数列，故24264,,S S S S S --成等差数列，所以()422642S S S S S -=+-，即()62104410S -=+-，解得618S =. 故选B.2．【答案】B【解析】()()116168916802a a S a a ⨯+==+>，890a a ∴+>.又179170S a =<，890,0,a a >⎧∴⎨<⎩∴前8项之和最大. 故选B 3．【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ， ∵286a a +=-， ∴1286a d +=-， 又111a =-，∴2d =， ∴n S ()112n n dna -=+()111n n n =-+-212n n =-()2636n =--，∴当6n =时，n S 有最小值636S =-， 故选B ． 4．【答案】C【解析】由100910072S S -=，得100810092a a +=，∴120161008100920162016()2016()201622a a a a S ⋅+⋅+===．故选C. 5．【答案】A【解析】∵等差数列{}n a 的前10项和为30，它的前30项和为210， 由等差数列的性质得：S 10,S 20−S 10,S 30−S 20成等差数列， ∴2(S 20−30)=30+(210−S 20)， 解得前20项和S 20=100. 故选A. 6．【答案】C【解析】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零. 又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<，()()1181891018902a a S a a +==+>，故选C. 7．【答案】6【解析】因为{}n a 是等差数列，所以12121(21)(21)10(21)1102m m m a a S m m a m --+=⨯-=-=-=， 解得6m =．故填6 8．【答案】3221【解析】∵12121(21)()(21)2(21)22n nn n n a a n a S n a ---+-⋅===-，∴2121(21)(21)n n n n n n a n a S b n b T ---==-， ∴1121112132113222121a S b T ⨯+===⨯． 故填3221．9．【答案】6或7【解析】]由59a a =且0d >得，50a <，90a >且590a a +=，即12120a d +=，即160a d +=，即70a =，故67S S =且最小.故填6或7 10．【答案】（1）26n a n =-+；（2）6【解析】（1）设首项为1a ，公差为d .因为7178,28a a =-=-，所以1168,1628,a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得14,2a d ==-，所以()1126n a a n d n =+-=-+.（2）由（1）可得225255()24n S n n n =-+=--+，所以当n =2或3时，n S 取得最大值.()22max 2253356n S =-+⨯=-+⨯=.。
等差数列的3考点单元测试——求项、求和及判定一、选择题1．(2018·厦门一中测试)已知数列{a n }中，a 2＝32，a 5＝98，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，则 a 7＝( ) A.109 B.1110 C.1211D.1312 解析：选D 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的公差为d ， 则1a 5－1＝1a 2－1＋3d ，即198－1＝132－1＋3d ，解得d ＝2， 所以1a 7－1＝1a 2－1＋5d ＝12，解得a 7＝1312. 2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤解析：选A 依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a 1＝4，则a 5＝2.由等差数列的性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．3．(2018·银川一中月考)在等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d ≠0，前n 项和为S n (n ∈N *)，有下列命题： ①若S 3＝S 11，则必有S 14＝0；②若S 3＝S 11，则必有S 7是S n 中的最大项；③若S 7>S 8，则必有S 8>S 9；④若S 7>S 8，则必有S 6>S 9.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选D 对于①，若S 11－S 3＝4(a 1＋a 14)＝0，即a 1＋a 14＝0，则S 14＝14a 1＋a 142＝0，所以①正确；对于②，当S 3＝S 11时，易知a 7＋a 8＝0，又a 1>0，d ≠0，所以a 7>0>a 8，故S 7是S n 中的最大项，所以②正确；对于③，若S 7>S 8，则a 8<0，那么d <0，可知a 9<0，此时S 9－S 8<0，即S 8>S 9，所以③正确； 对于④，若S 7>S 8，则a 8<0，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0，即S 6>S 9，所以④正确．故选D.4．(2018·大同模拟)在等差数列{}a n 中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87，则此数列前20项的和等于( )A ．290B ．300C ．580D ．600解析：选B 由a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝3，得a 2＝1.由a 18＋a 19＋a 20＝3a 19＝87，得a 19＝29，所以S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 2＋a 19)＝300.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9＝18，a n －4＝30(n >9)，若S n ＝336，则n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：选D 因为{a n }是等差数列，所以S 9＝9a 5＝18，a 5＝2， S n ＝n a 1＋a n2＝n a 5＋a n －42＝n2×32＝16n ＝336， 解得n ＝21.6．设{a n }是等差数列，d 是其公差，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．当n ＝6或n ＝7时S n 取得最大值解析：选C 由S 5<S 6，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5<a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6，即a 6>0.同理由S 7>S 8，得a 8<0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0，∴B 正确；∵d ＝a 7－a 6<0，∴A 正确；而C 选项，S 9>S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，可得2(a 7＋a 8)>0，由结论a 7＝0，a 8<0，知C 选项错误；∵S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，∴结合等差数列前n 项和的函数特性可知D 正确．故选C.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，则( )A ．|a 7|>|a 8|B ．|a 7|<|a 8|C ．|a 7|＝|a 8|D ．|a 7|＝0解析：选B 因为(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，所以(a 6＋a 7＋a 8)(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)<0，因为{a n }为等差数列，所以a 6＋a 7＋a 8＝3a 7，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)，所以a 7(a 7＋a 8)<0，所以a 7与(a 7＋a 8)异号．又公差d >0，所以a 7<0，a 8>0，且|a 7|<|a 8|，故选B.二、填空题8．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n 1＋3a n，a 1＝2，则a 20＝________. 解析：由a n ＋1＝a n 1＋3a n ，a 1＝2，可得1a n ＋1－1a n ＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，3为公差的等差数列． 所以1a n ＝12＋3(n －1)，即a n ＝26n －5， 所以a 20＝2115. 答案：21159．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，则数列{a n }的通项公式为________．解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，∴a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 12＝12，公差d ＝12的等差数列， 故a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝12n ， 即a n ＝n ·2n －1.答案：a n ＝n ·2n －110．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8，则λ＝________.解析：当S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8时， 由等差数列的性质得：S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列， ∴2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，∴2(3S 4－S 4)＝S 4＋(λ·3S 4－3S 4)，解得λ＝2.答案：2三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12.(1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？ S n 最大值是多少？解：(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，解得d ＝0或d ＝2a 1.当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a n ＝6， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30；当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25.(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0， 由(1)知a n ＝2n －1，∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ，S n ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值，最大值为25.12．(2018·沈阳质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－5，d ＝2，故a n ＝2n －7(n ∈N *)．(2)由a n ＝2n －7<0，得n <72，即n ≤3， 所以当n ≤3时，a n ＝2n －7<0，当n ≥4时，a n ＝2n －7>0. 由(1)知S n ＝n 2－6n ，所以当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；当n ≥4时， T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.故T 5＝13，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4. 13．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＝a n －1＋2n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明数列{a n －2n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，求b n 的前n 项和S n . 解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1＋3＝a n －1＋2n －2n －1＋3， ∴a n －2n －(a n －1－2n －1)＝3.又a 1＝4，∴a 1－2＝2，故数列{a n －2n }是以2为首项，3为公差的等差数列， ∴a n －2n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，∴a n ＝2n ＋3n －1.(2)b n ＝a n 2n ＝2n ＋3n －12n ＝1＋3n －12n ， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋3n －12n ＝n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋522＋…＋3n －12n ， 令T n ＝22＋522＋…＋3n －12n ， ① 则12T n ＝222＋523＋…＋3n －12n ＋1， ② ①－②得，12T n ＝1＋322＋323＋…＋32n －3n －12n ＋1， ＝1＋3×14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－3n －12n ＋1＝52－3n ＋52n ＋1， ∴S n ＝n ＋5－3n ＋52n .已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)求实数λ使⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列，并由此求出a n 与S n ；(3)求n 的所有取值，使S n a n ∈N *，说明你的理由． 解：(1)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a 2＝2×3＋22－1＝9，a 3＝2×9＋23－1＝25. (2)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a n ＋1－1＝2(a n －1)＋2n ＋1， ∴a n ＋1－12n ＋1－a n －12n ＝1，故λ＝－1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 成等差数列，且首项为a 1－12＝1，公差d ＝1. ∴a n －12n ＝n ，即a n ＝n ·2n ＋1.∴S n ＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n )＋n ，设T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 则2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2，∴S n ＝T n ＋n ＝(n －1)·2n ＋1＋2＋n .(3)S n a n ＝n －1·2n ＋1＋n ＋2n ·2n ＋1＝2＋n －2n ＋1n ·2n ＋1， 结合y ＝2x 及y ＝12x 的图象可知2n >n 2恒成立， ∴2n ＋1>n ，即n －2n ＋1<0，∵n ·2n ＋1>0，∴S n a n <2.当n ＝1时，S n a n ＝S 1a 1＝1∈N *；当n ≥2时，∵a n >0且{a n }为递增数列， ∴S n >0且S n >a n ，∴S n a n >1，即1<S n a n <2，∴当n ≥2时，S n a n ∉N *. 综上可得n ＝1.。
