2012年高考数学 试题解析分项版之专题13 统计--教师版 文

2012高考试题分类汇编:9:统计一、选择题 1.【2012高考新课标文3】在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1【答案】D【解析】根据样子相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1，选D. 2.【2012高考山东文4】 (4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 【答案】D【解析】法一：数据A 的众数为88，中位数为86，数据B 为：84，86，86，88，88，88，90，90，90，90，众数为90，中位数88，显然众数，中位数，平均数不同，只有标准差相同，选D.另法二：设A 样本的数据为变量为X ，B 样本的数据为变量为Y ，则满足2+=X Y ，根据方差公式可得DX X D DY =+=)2(，所以方差相同，标准差也相同，选D. 3.【2012高考四川文3】交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。

假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。

若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ）A 、101B 、808C 、1212D 、2012 【答案】B【解析】根据分层抽样的概念知N432521129612+++=，解得808=N ，故选B 4.【2012高考陕西文3】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，53A ．【答案】A.【解析】根据茎叶图可知样本中共有30个数据，中位数为46，出现次数最多的是45，最大数与最小数的差为68-12=56.故选A.5.【2012高考江西文6】小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为A.30％B.10％C.3％D.不能确定 【答案】C【解析】由图2可知，鸡蛋占食品开支的比例为%105080100403030=++++，结合图1可知小波在一个星期的鸡蛋开支占总开支的比例为%3%10%30=⨯，选C.6.【2012高考湖南文5】设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 【答案】D【解析】由回归方程为y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.7.【2012高考湖北文2】容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为A 0.35B 0.45C 0.55D 0.65 2【答案】B【解析】由频率分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，样本总数为23454220+++++=，故样本数据落在区间[10,40)内频率为90.4520=.故选B. 【点评】本题考查频率分布表的应用，频率的计算.对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本总数与各区间上样本的个数即可，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查. 二、填空题8．【2012高考广东文13由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列） 【答案】1,1,3,3【解析】不妨设1234x x x x ≤≤≤，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，1s ==， 即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，所以43x ≤则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3。

2012高考真题分类汇编：统计1.【2012高考真题上海理17】设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）A ．21ξξD D >B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关【答案】A【解析】由题意可知21ξξE E =，又由题意可知，1ξ的波动性较大，从而有21ξξD D >. 注意：本题也可利用特殊值法。

2.【2012高考真题陕西理6】从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ ） A. x x <甲乙，m甲>m 乙 B. x x <甲乙，m 甲<m 乙 C. x x >甲乙，m 甲>m 乙 D. x x >甲乙，m 甲<m 乙 【答案】B.【解析】根据平均数的概念易计算出乙甲x x <，又2022218=+=甲m ，2923127=+=乙m 故选B.3.【2012高考真题山东理4】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（A ）7 （B ） 9 （C ） 10 （D ）15 【答案】C【解析】从960中用系统抽样抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组号码为9，则第二组为39，公差为30.所以通项为2130)1(309-=-+=n n a n ，由7502130451≤-≤n ，即302125302215≤≤n ，所以25,17,16 =n ，共有1011625=+-人，选C.4.【2012高考真题江西理9】样本（12,,,n x x x ）的平均数为x ，样本（12,,m y y y ）的平均数为()y x y ≠，若样本（12,,,n x x x ，12,,m y y y ）的平均数(1)z ax a y =+-，其中102α<<，则n,m 的大小关系为 A ．n m < B ．n m > C ．n m = D ．不能确定 【答案】A【解析】由题意知样本),,,(11m n y y x x 的平均数为y nm mx n m n n m y m x n z +++=++=，又y x z )1(αα-+=，即n m m n m n +=-+=αα1,。

2012年高考试题解析数学（文科）分项版之专题13 统计--教师版一、选择题:1.（2012年高考新课标全国卷文科3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）12. (2012年高考山东卷文科4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差3．(2012年高考北京卷文科8)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（A ）5（B ）7（C ）9（D ）11 【答案】C【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C. 4. (2012年高考湖南卷文科5)设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg5. (2012年高考湖北卷文科2) 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为( ) A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.656.(2012年高考四川卷文科3)交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.问答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,5,(,),,A B x y x A y B x y A ==∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为（ ）（A ）3 （B ）6 (C) 8 （D ）10【答案】：D【解析】：由题意得，当5x =时，4,3,2,1y =共4中情形；当4x =时，3,2,1y =共3种情形；当3x =时，2,1y =共2种情形；当2x =时，1y =共1种情形，共计10种可能，所以集合B 中的元素个数为10个，故选D.【点评】：本题考查了集合的运算性质，属于中低挡试题，关键在于准确把握试题的条件，正确、合理分类求解.(2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A ）12种 （B ）10种 (C) 9种 （D ）8种【答案】：A【解析】：由题意得，先由甲地选1名教师2名学生，剩余的1名教师2名学生去乙地，则有122412C C =种不同的安排方法，故选A.【点评】：本题考查了排列组合的相关知识，属于中低档试题，准确把握题意是解题的关键.（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题： P 1:|z|=2, P 2:z 2=2i,P 3:z 的共轭复数为1+i, p 4:z 的虚部为-1，其中的真命题为（ ）（A ）p 2,p 3 (B)P 1,P 2 (C)P 2,P 4 (D)P 3,P 4【答案】：C【解析】：由题意得，22(1)112i z i i --===---+，则z =22(1)2z i i =--=， 1z i =-+，复数z 的虚部为1-，所以24,p p 是正确的，故选C.【点评】：本题考查了复数的基本概念和复数运算，正确把握复数的概念和运算方法是解题的关键，属于中低挡试题，解题时需认真、细致.（4）设12F F 是椭圆E ：2222(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， 21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）45【答案】：C【解析】：由题意得（如图所示）0122120F F P MF P ∠=⇒∠ 在直角2MF P ∆中，02sin60PM PF =， 又232F M a c =-，且02tan 6022PM F M a c a c ==⇒-- 所以34c e a ==，故选C. 【点评】：本题考查了圆锥曲线的几何性质——离心率的计算，正确把握条件是解题的关键.（5）已知{}n a 为等比数列，332a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）-5 （D ）-7【答案】：D【解析】：由题意，根据等比数列的性质得56478a a a a ==-，又472a a +=，设47,a a 是方程2280x x --=的两根，则解得44772,4,4; 2.a a a a =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或 解得1107a a +=-，故选D.【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质，属于中低档试题.（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出A,B,则（A ）A+B 为12,,...,n a a a 的和（B ）2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数 （C ）A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【答案】：C【解析】：由题意，根据给定的程序框图可知，此程序框图是计算123,,,,N a a a a 的最大值与最小值的算法框图，A 表示计算123,,,,N a a a a 最大值，B 表示计算123,,,,N a a a a 的最小值，故选C.【点评】：本题考查了程序框图的相关知识，正确理解算法框图是解决此类问题的关键.（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 （B ）9（C ）12 （D ）18【答案】：B【解析】：由题意得，根据三视图的规则，原几何体表示底面为直角边长为腰直角三角形，高为3的三棱锥，所以几何体的体积为11139332V Sh ==⨯⨯=，故选B. 【点评】：本题考查了三视图的相关知识，根据三视图的规则得到原几何体的线面关系及度量关系，从而计算几何体的体积与表面积.（8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，AB =，则C 的实轴长为（A （B ）（C ）4 （D ）8【答案】：C 【解析】：由题意得，设等轴双曲线的方程为22221x y a a-=，又抛物线216y x =的准线方程为4x =-.代入双曲线的方程得2216y a y =-⇒==解得2a =，所以双曲线的实轴长为24a =，故选C.【点评】：本题考查了等轴双曲线与抛物线的相关知识，计算相交弦长，确定圆锥曲线的几何性质.（9）已知ω >0,函数()sin()4f x x πω=+在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则ω的取值范围是 15A.,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13B.,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1C.0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D (].0,2 【答案】：A【解析】：由题意得，函数()sin()4f x x πω=+的单调递减区间为3242x πππω≤+≤, 则544x ππω≤≤，所以544x ππωω≤≤，则5424ππππωω≤≥且，解得1524ω≤≤. 故选A.【点评】：本题考查了三角函数的性质，体现了三角函数性质的整体代换思想，属于中档试题，需细心认真求解.(10) 已知函数f(x)= 1ln(1)x x+-,则y=f(x)的图像大致为【答案】：B【解析】：由题意得，函数()f x 的定义域为10,100,x x x x +>⎧⇒>-≠⎨≠⎩且， 令()()1ln(1)111x g x x x g x x x -'=+-⇒=-=++， 当()100x g x '-<<⇒>，()00x g x '>⇒<，则()f x 在区间()1,0-为单调递增函数，在区间()0,+∞为单调递减函数，所以()f x 的图象大致为B ，故选B.【点评】：本题考查了函数的性质，利用函数的性质选择函数的图象，属于中档试题.（11）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的求面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（ ）(A)6(C)3(D)2 【答案】：A【解析】：由题意得，ABC ∆的边长为1，所以1AO =， 在直角1AOO ∆中，1AO =，所以1OO =，所以三棱锥S ABC -的高h =，所以几何体的体积为211133436V Sh ==⨯⨯=，故选A. 【点评】：本题考查了组合体的性质，根据三棱锥与球的组合体，计算三棱锥的度量关系，本题属于中档试题，需认真把握几何体的线面关系和度量关系.（12）设点P 在曲线y=12e x 上，点 Q 在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为 （A ） 1-ln2 （Bln 2)- （C ）1+ln2 （D【答案】：B【解析】：由题意得，函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称， 又1122x x y e y e '=⇒=，令11ln 2y x '=⇒=，1ln(2)y x y x '=⇒=，令211y x '=⇒=， 则121ln2x x -=-，所以PQln 2)-，故选B.【点评】：本题考查了互为反函数两函数之间的关系，同时考查了利用导数处理函数的性质，本题有一定的技巧性，属于中高档试题，需要细致审题，认真梳理条件.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知向量a,b 夹角为450，且|a|=1，则|b|= .【答案】：【解析】：由题意得，2222024444cos 45a b a a b b a b b -=-⋅+=-⋅+ ，则2044cos 4510a b b b -⋅+=⇒= 【点评】：本题考查了平面向量的数量积与向量的模的相关知识，属于中低档试题.(14) 设x,y 满足约束条件1,3,0,0,x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z=x-2y 的取值范围为 . 【答案】：[]3,3-【解析】：由题意得，画出实数,x y 满足约束条件所表示的可行域，当取可行域内点()3,0A 时，目标函数2z x y =-取得最大值，最大值为3，当取可行域内点()1,2B 时，目标函数2z x y =-取得最小值，最小值为3-，所以目标函数2z x y =-的取值范围为[]3,3-.【点评】：本题考查了利用线性规划求最值的知识，正确画出可行域，移动目标函数到边界认真计算最值是解题的关键.（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （100，,5），且各个部件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.【答案】：38【解析】：由题意得，三个电子元件的使用寿命服从正态分布2(1000,50)N ，则每个元件的寿命超过1000小时的概率均为12，则元件1和2超过1000小时的概率为1131224-⨯=，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为313428⨯=. 【点评】：本题考查了相互独立事件发生的概率及对立事件的应用，体现了概率的计算方法，认真审题时解好概率问题的关键.（16）数列{}n a 满足1(1)n n n a a ++-=2n-1，则的前60项和为 .【答案】：1830【解析】：由题意，由1(1)21n n n a a n ++-=-,得21(1)21n n n a a n ++=-++=1(1)[(1)21]21n n n a n n ---+-++(1)(21)21n n a n n =-+--++,即2(1)(21)21n n n a a n n ++=--++,也有31(1)(21)23n n n a a n n +++=--+++,两式相加得1232(1)44n n n n n a a a a n ++++++=--++.设k 为整数，则41414243442(1)4(41)41610k k k k k a a a a k k ++++++++=--+++=+, 于是1414604142434400()(1610)1830k k k k k k S aa a a k ++++===+++=+=∑∑. 【点评】：本题考查了数列的求和，采用两项并为一项的形式求解，属于中高档试题，把握数列问题的规律是解题的关键.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边cos 0a C C b c --=.(1) 求A ；(2) 若a=2,△ABC b,c.【命题立意】：本题主要考查了解三角形的相关知识，先利用正弦定理把条件做到边角的统一，得到A 、C 的关系，求解角A ，然后利用三角形的面积公式求解三角形的面积.【点评】：本题主要考查了通过将三角形中边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理与余弦定理，求解三角形中的问题，试题整体上比较稳定，思路比较容易.18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ｉ）看花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n N）的函数解析式.（ＩＩ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，x表示当天的利润（单位：元），求x的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值问题.首先要理解事件的具体情况，然后对事件的情况分析、讨论，并结合概率求解结论，利用期望的数据对解决方案作出合理的预测.【点评】：首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况.（19）（本小题满分12分） 如图，之三棱柱1111,1,2ABC A B C AC BC AA -==中D 是棱1AA 的中点，1,DC BD ⊥ (Ｉ)证明：11DC BC ⊥;（ＩＩ）求二面角11A BD C --的大小.【命题立意】：本题中体现了证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明的基本方法以及求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成.【点评】：该题考查空间内的垂直关系的证明、空间角的计算.考查定理的理解和运用，空间向量的运用.同时也考察了空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解题时要注意法向量的计算和运用这一关键.（20）（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的交点为F ，准线为L ，A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交L 于B ，D 两点.（I ）若90,BFD ABD ∠= 的面积为P 的值及圆F 的方程；（II ）若A ，B,F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点m ，n 距离的比值.【命题意图】：本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离.【点评】：本题考查了抛物线与圆的结合点，并且在第二问中体现了分类讨论的数学思想方法，对学生的深度思维有一定的考查.（21）（本小题满分12分）已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+. （I ） 求()f x 的解析式及单调区间；（II ） 若21(),2f x x ax b ≥++求(1)a b +的最大值. 【命题立意】：本试题考查了导数在研究函数中的运用，求解单调区间，另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的应用.是看导数的符号的实质不变，求解单调区间；第二问中，运用构造函数的思想是一个难点，解决这类问题的关键在于找到函数的导数，利用导数证明，转化为函数的最值问题.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，若CF AB，证明：（I ） CD=BC ；（II ） △BCD ∽△GBD.【命题立意】：利用圆的性质，运用相似三角形与圆、四边形等的性质及关系计算.【点评】：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质.注意把握判定与性质的作用.(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2cos ,(3sin ,x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是=2ρ，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为23π（，）. （I ）求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； （II ） 设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围. 【命题立意】：本题考查曲线的参数方程与极坐标方程与直角坐标的普通方程之间的相互转化，以及极坐标方程的应用.【点评】：本题考查坐标系与参数方程的有关内容，求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解（关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系）.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x) = |x + a| + |x - 2|.(I)当a = -3时，求不等式f(x) ≥3的解集；(II)若f(x)≤|x - 4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围.【命题立意】：求解含有绝对值的不等式，采用零点分段法，去掉绝对值求解，已知不等式的解集中含有字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的范围.【点评】：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性.。

2012年山东文一、选择题（共12小题；共60分）1. 若复数z满足z2−i=11+7i（i为虚数单位），则z为 A. 3+5iB. 3−5iC. −3+5iD. −3−5i2. 已知全集U=0,1,2,3,4，集合A=1,2,3，B=2,4，则∁U A∪B= A. 1,2,3B. 2,3,4C. 0,2,4D. 0,2,3,43. 函数f x=1ln x+1+4−x2的定义域为 A. −2,0∪0,2B. −1,0∪0,2C. −2,2D. −1,24. 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 标准差5. 设命题p:函数y=sin2x的最小正周期为π2；命题q:函数y=cos x的图象关于直线x=π2对称．则下列判断正确的是 A. p为真B. ¬q为假C. p∧q为假D. p∨q为真6. 设变量x,y满足约束条件x+2y≥2,2x+y≤4,4x−y≥−1,则目标函数z=3x−y的取值范围是 A. −32,6 B. −32,−1 C. −1,6 D. −6,327. 执行如图所示的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为 A. 2B. 3C. 4D. 58. 函数y=2sinπx6−π30≤x≤9的最大值与最小值之和为 A. 2−3B. 0C. −1D. −1−39. 圆x+22+y2=4与圆x−22+y−12=9的位置关系为 A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离10. 函数y=cos6x2x−2−x的图象大致为 A. B.C. D.11. 已知双曲线C1:x2a −y2b=1a>0,b>0的离心率为2，若抛物线C2:x2=2py p>0的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 A. x2=833y B. x2=1633y C. x2=8y D. x2=16y12. 设函数f x=1x，g x=−x2+bx．若y=f x的图象与y=g x的图象有且仅有两个不同的公共点A x1,y1，B x2,y2，则下列判断正确的是 A. x1+x2>0,y1+y2>0B. x1+x2>0,y1+y2<0C. x1+x2<0,y1+y2>0D. x1+x2<0,y1+y2<0二、填空题（共4小题；共20分）13. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A−DED1的体积为．14. 如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：∘C）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是20.5,26.5，样本数据的分组为20.5,21.5，21.5,22.5，22.5,23.5，23.5,24.5，24.5,25.5，25.5,26.5．已知样本中平均气温低于22.5 ∘C的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ∘C的城市个数为．15. 若函数f x=a x a>0,且a≠1在−1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g x=1−4m x在0,+∞上是增函数，则a=．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在0,1，此时圆上一点P的位置在0,0，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于2,1时，OP的坐标为．三、解答题（共6小题；共78分）17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B tan A+tan C=tan A tan C．（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．18. 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2．（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．19. 如图，几何体E−ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD,EC⊥BD．（1）求证：BE=DE；（2）若∠BCD=120∘，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．20. 已知等差数列a n的前5项和为105，且a10=2a5．（1）求数列a n的通项公式；（2）对任意m∈N∗，将数列a n中不大于72m的项的个数记为b m．求数列b m的前m项和S m．21. 如图，椭圆M:x2a +y2b=1a>b>0的离心率为32，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设直线l:y=x+m m∈R与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T．求∣PQ∣∣ST∣的最大值及取得最大值时m的值．22. 已知函数f x=ln x+ke x（k为常数，e=2.71828⋯是自然对数的底数），曲线y=f x在点1,f1处的切线与x轴平行．（1）求k的值；（2）求f x的单调区间；（3）设g x=xfʹx，其中fʹx为f x的导函数．证明：对任意x>0，g x<1+e−2．答案第一部分1. A2. C3. B4. D5. C6. A 【解析】画出约束条件x+2y≥2,2x+y≤4,4x−y≥−1表示的可行域如图所示，由目标函数z=3x−y得直线y=3x−z，当直线平移至点A2,0时，目标函数z=3x−y取得最大值为6，当直线平移至点B12,3时，目标函数z=3x−y取得最小值为−32，所以目标函数z=3x−y的取值范围是 −32,6．7. B 【解析】由框图可得，程序运行各次结果分别为P=1，Q=3，n=1；P=5，Q=7，n=2；P=21，Q=15，n=3，此时P>Q，据判断框可知程序结束，故输出n=3．8. A 【解析】因为0≤x≤9，所以0≤πx6≤9π6，−π3≤πx6−π3≤9π6−π3，即−π3≤πx6−π3≤7π6，所以当π6x−π3=−π3时，函数y有最小值，为2sin −π3=−3，当π6x−π3=π2时，函数y有最大值，为2sinπ2=2，所以y的最大值与最小值之和为2−3．9. B 10. D【解析】因为y=f x=cos6x2−2，f−x=cos−6x2−2=−f x，所以函数f x为奇函数，其图象关于原点对称，排除 A；当x从正方向趋近0时，y=f x=cos6x2−2趋近+∞，排除 B；当x趋近+∞时，y=f x=cos6x2x−2−x趋近0，排除 C．11. D 12. B 【解析】由f x=g x得x3−bx2+1=0．因为两个函数图象有且仅有两个不同的公共点，所以不妨设x3−bx2+1=x−x12x−x2．展开看对应项系数得x12x2=−1,2x1x2+x12=0，故x2<0，x1=−2x2>0．于是有x1+x2=−x2>0,y1+y2=11+12=x1+x212<0.第二部分13. 16【解析】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，B1C∥平面A1ADD1，所以E在线段B1C上任何一点到面ADD1的距离都相等，且为1，所以V A−DED1=V E−ADD1=13×12×1×1×1=16．14. 915. 14【解析】若a>1，有a2=4，a−1=m，此时a=2，m=12，此时g x=−x为减函数，不合题意．若0<a<1，有a−1=4，a2=m，故a=14，m=116，检验知符合题意．16. 2−sin2,1−cos2【解析】设A2,0，B2,1，由题意知劣弧长为2，由于圆的半径为1，所以∠ABP=21=2．设P x,y，则x=2−1×cos2−π2=2−sin2，y=1+1×sin2−π2=1−cos2，所以OP的坐标为2−sin2,1−cos2．第三部分17. （1）对已知等式两边同乘以cos A cos C，化简可得：sin A sin C=sin B sin A cos C+cos A sin C=sin B sin A+C=sin2B,再由正弦定理可得：b2=ac,所以a，b，c成等比数列．（2）若a=1，c=2，则b2=ac=2，因此可得出cos B=a2+c2−b2=3,sin B=1−cos B=7 4 ,所以△ABC的面积为S=1ac sin B=1×1×2×7=7 4 .18. （1）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2,红1红3,红1蓝1,红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为P=310．（2）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿,红2绿,红3绿,蓝1绿,蓝2绿,即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为P=8 .19. （1）如图，设BD中点为O，连接OC,OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，又已知CE⊥BD，EC∩CO=C，所以BD⊥平面OCE．所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，所以BE=DE．（2）取AB中点N，连接MN,DM,DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DN⊥AB．由∠BCD=120∘知，∠CBD=30∘，所以∠ABC=60∘+30∘=90∘，即BC⊥AB，所以ND∥BC，因为ND⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以ND∥平面BEC，又ND∩MN=N，所以平面MND∥平面BEC，因为DM⊂平面MND，故DM∥平面BEC．20. （1）设等差数列a n的公差为d．由已知得5a1+10d=105,a1+9d=2a1+4d,解得a1=7，d=7，所以通项公式为a n=7+n−1⋅7=7n.（2）由a n=7n≤72m，得n≤72m−1，即b m=72m−1,所以b m+1m =72m+12m−1=49,故b m是公比为49的等比数列，因此S m=71−49m=749m−1.21. （1）e=ca=32⇒a2−b2a2=34. ⋯⋯①矩形ABCD面积为8，即2a⋅2b=8. ⋯⋯②由①②解得：a=2,b=1,所以椭圆M的标准方程是x2+y2=1.（2）由已知得x2+4y2=4y=x+m⇒5x2+8mx+4m2−4=0,设P x1,y1,Q x2,y2，则x1+x2=−8 m,x1x2=4m2−45,由Δ=64m2−204m2−4>0，得−5<m<5．∣PQ ∣= 2 −8m 2−4⋅4m 2−4=4 25−m 2.当l 过A 点时，m =1，当l 过C 点时，m =−1．（i ）当− <m <−1时，有S −m −1,−1 ,T 2,2+m ，所以∣ST ∣= 2 3+m ,因此∣PQ ∣=45−m 22=4 −42+6−1,其中t =m +3，由此知当1t =34，即t =4,m =−5∈ − 5,−1时，∣PQ∣∣ST∣取得最大值2 55．（ii ）由对称性，可知若1<m < 5，则当m =53时，∣PQ∣∣ST∣取得最大值2 55．（iii ）当−1≤m ≤1时，∣ST ∣=2∣PQ ∣=25−m 2, 由此知，当m =0时，∣PQ∣∣ST∣取得最大值2 55．综上可知，当m =±53和0时，∣PQ∣∣ST∣取得最大值2 55．22. （1）fʹ x =1x−ln x −k e x,由已知可得出fʹ 1 =1−ke=0, 故k =1．（2）由（1）知，fʹ x =1x−ln x −1e x.设k x =1x −ln x −1，则kʹ x =−1x 2−1x<0, 即k x 在 0,+∞ 上是减函数，由k 1 =0知， 当0<x <1时k x >0，从而fʹ x >0，当x>1时k x<0，从而fʹx<0．综上可知，f x的单调递增区间是0,1，单调递减区间是1,+∞．（3）由（2）可知，当x≥1时，g x=xfʹx≤0<1+e−2,故只需证明g x<1+e−2在0<x<1时成立．当0<x<1时，e x>1，且g x>0，所以g x=1−x ln x−xe x<1−x ln x−x.设F x=1−x ln x−x，x∈0,1，则Fʹx=−ln x+2,当x∈0,e−2时，Fʹx>0，当x∈e−2,1时，Fʹx<0，所以当x=e−2时，F x取得最大值F e−2=1+e−2，所以g x<F x≤1+e−2.综上，对任意x>0，g x<1+e−2．。

2012年广东理一、选择题（共8小题；共40分）1. 设i为虚数单位，则复数5−6ii= A. 6+5iB. 6−5iC. −6+5iD. −6−5i2. 设集合U=1,2,3,4,5,6，M=1,2,4，则∁U M= A. UB. 1,3,5C. 3,5,6D. 2,4,63. 若向量BA=2,3，CA=4,7，则BC= A. −2,−4B. 3,4C. 6,10D. −6,−104. 下列函数中，在区间0,+∞上为增函数的是 A. y=ln x+2B. y=−x+1C. y=12xD. y=x+1x5. 已知变量x，y满足约束条件y≤2,x+y≥1,x−y≤1,则z=3x+y的最大值为 A. 12B. 11C. 3D. −16. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为 A. 12πB. 45πC. 57πD. 81π7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A. 49B. 13C. 29D. 198. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β=α ⋅ββ⋅β．若平面向量a,b满足a≥b>0，a与b的夹角θ∈0,π4，且a∘b和b∘a都在集合n2n∈Z 中，则a∘b= A. 12B. 1 C. 32D. 52二、填空题（共7小题；共35分）9. 不等式x+2− x ≤1的解集为．10. x2+1x 6的展开式中x3的系数为．（用数字作答）11. 已知递增的等差数列a n满足a1=1,a3=a22−4，则a n=．12. 曲线y=x3−x+3在点1,3处的切线方程为．13. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为．14. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为x=t,y=t t为参数和x=2cosθ,y=2sinθθ为参数，则曲线C1和C2的交点坐标为．15. 如图，圆O的半径为1，A,B,C是圆周上的三点，满足∠ABC=30∘，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=．三、解答题（共6小题；共78分）16. 已知函数f x=2cos ωx+π6（其中ω>0，x∈R）的最小正周期为10π．（1）求ω的值；（2）设α,β∈0,π2，f5α+53π =−65，f5β−56π =1617，求cosα+β的值．17. 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100．（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18. 如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B−PC−A的正切值．19. 设数列a n的前n项和为S n，满足2S n=a n+1−2n+1+1，n∈N∗，且a1,a2+5,a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列a n的通项公式．（3）证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+1a3+⋯+1a n<32．20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a +y2b=1a>b>0的离心率e=23，且椭圆C上的点到点Q0,2的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M m,n，使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B，且△OAB的面积最大?若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．21. 设a<1，集合A=x∈R x>0，B=x∈R2x2−31+a x+6a>0，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数f x=2x3−31+a x2+6ax在D内的极值点．答案第一部分1. D2. C3. A 【解析】BC=BA−CA=−2,−4．4. A5. B6. C7. D 【解析】若个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个为奇数一个为偶数，可分两类：①当个位数为奇数时，则有5×4=20个符合条件的两位数；②当个位数为偶数时，则有5×5=25个符合条件的两位数．其中个位数为0的两位数有5个，故所求概率为P=520+25=19．8. C 【解析】因为a∘b=a ⋅bb⋅b =abcosθ，b∘a=b⋅aa ⋅a=bacosθ，所以 a∘b b∘a=cos2θ．又因为θ∈0,π4，所以cosθ∈22,1， a∘b b∘a=cos2θ∈12,1．又a∘b和b∘a都在集合n2n∈Z 中，所以有 a∘b b∘a=34．而a≥b>0，所以a∘b≥b∘a，从而a∘b=32，b∘a=12．第二部分9. x x≤−1210. 2011. a n=2n−112. y=2x+113. 814. 1,115. 3第三部分16. （1）由2πω=10π，得ω=15.（2）因为f5α+53π =2cos155α+53π +π6=2cos α+π2=−2sinα=−65,f5β−5π =2cos15β−5π +π=2cosβ=1617,所以sinα=35，cosβ=817．∵α,β∈0,π2，所以cosα=1−sin2α=1−32=4,sinβ=2=1−8172=1517.所以cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ=4×8−3×15=−13.17. （1）由频率分布直方图知0.006×3+0.01+x+0.054×10=1,解得x=0.018.（2）由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为0.018+0.006×10×50=12,成绩在90分以上（含90分）的人数为0.006×10×50=3.因此ξ可能取0,1,2三个值．Pξ=0=C92C122=611,Pξ=1=C91⋅C31C122=922,Pξ=2=C32C122=122.ξ的分布列为ξ012P 611922122故Eξ=0×6+1×9+2×1=1.18. （1）∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE ∴PC⊥BD．∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．∵PA∩PC=P，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC．（2）解法一：如图所示，记BD与AC的交点为F，连接EF．由PC⊥平面BDE，BE⊂平面BDE，EF⊂平面BDE，可得PC⊥BE，PC⊥EF．即∠BEF为二面角B−PC−A的平面角．由（1）可得BD⊥AC，所以矩形ABCD为正方形，AB=AD=2，AC=BD=22，FC=BF=2．在Rt△PAC中，PA=1，PC= PA2+AC2=3，sin∠PCA=PAPC =13．在Rt△CEF中，EF=FC sin∠PCA=⋅13=23．由（1）可知BF⊥EF，△BEF为直角三角形，所以tan∠BEF=BFEF=223=3.即二面角B−PC−A的正切值为3．解法二：以A为原点，AB,AD,AP的方向分别作为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，设AB=b，则A0,0,0,B b,0,0,C b,2,0,D0,2,0,P0,0,1．于是PC=b,2,−1,DB=b,−2,0.因为PC⊥DB，所以PC⋅DB=b2−4=0,从而b=2.结合（1）可得DB=2,−2,0是平面APC的法向量．现设n=x,y,z是平面BPC的法向量，则n⊥BC,n⊥PC,即n⋅BC=0,n⋅PC=0.因为BC=0,2,0，PC=2,2,−1，所以2y=0,2x−z=0.取x=1，则z=2,n=1,0,2.令θ= n,DB，则cosθ=n⋅DBn DB=25⋅22=110 sinθ=310 tanθ=3.由图可得二面角B−PC−A的正切值为3．19. （1）因为a1,a2+5,a3成等差数列，所以2a2+5=a1+a3,又2S n=a n+1−2n+1+1,所以2S1=a2−22+1,2S2=a3−23+1,所以2a1=a2−3,由2a2+5=a1+a3,2a1=a2−3,2a1+a2=a3−7,得a1=1,a2=5,a3=19,所以a1=1.（2）因为2S n=a n+1−2n+1+1, ⋯⋯①所以当n≥2时，2S n−1=a n−2n+1, ⋯⋯②①−②得2a n=a n+1−a n−2n+1+2n,所以a n+1=3a n+2n.两边同除以2n+1得a n+1 2n+1=32⋅a n2n+12,所以a n+1 n+1+1=3a nn+1.又由（1）知a2 22+1=32a121+1,所以数列a n2n +1是以32为首项，32为公比的等比数列，所以a nn+1=3⋅3n−1=3n,所以a n=3n−2n,即数列a n的通项公式为a n=3n−2n．（3）当n≥3时，a n=3n−2n=1+2n−2n=1+C n1⋅2+C n2⋅22+⋯+C n n−1⋅2n−1+2n−2n=1+C n1⋅2+C n2⋅22+⋯+C n n−1⋅2n−1>C n2⋅22=2n n−1又因为a2=5>2×2×2−1，所以a n>2n n−1,n≥2；所以1a n <12n n−1=121n−1−1n；所以，当n≥2时，1 1+12+13+⋯+1n<1+121−12+12−13+13−14+⋯+1n−1−1n=1+11−1<3 2 .当n=1时，上式也成立．20. （1）由e=c=2⇒c2=2a2,所以b2=a2−c2=13a2.椭圆方程为x2+3y2=3b2．椭圆上的点P x,y到点Q的距离d= x2+y−22= −2y+12+6+3b2−b≤y≤b．（i）−b≤−1，即b≥1时，d max=6+3b2=3，得b=1；（ii）−b>−1，即b<1时，d max= b2+4b+4=3，得b=1（舍）．所以b=1，故椭圆C的方程为x 23+y2=1．（2）△AOB中，OA=OB=1，则可得S△AOB=1×OA×OB×sin∠AOB=1sin∠AOB≤1,当且仅当∠AOB=90∘时，S△AOB有最大值为12．当∠AOB=90∘时，点O到直线AB的距离为d=1m2+n2=22,即m2+n2=2, ⋯⋯①又M m,n在椭圆上，知m2+3n2=3, ⋯⋯②联立①②可求出m2=32,n2=12,所以M±62,±22.21. （1）对于方程2x2−31+a x+6a=0，判别式Δ=91+a2−48a=3a−33a−1,因为a<1，所以a−3<0，①当13<a<1时，Δ<0，此时B=R，所以D=A；②当a=13时，Δ=0，此时B=x x≠1，所以D=0,1∪1,+∞；③当a<13时，Δ>0，设方程2x2−31+a x+6a=0的两根为x1,x2且x1<x2，则x1=31+a−4,x2=31+a+3a−33a−14,B= x x<x1或x>x2，1）当0<a<13时，x1+x2=321+a>0,x1x2=3a>0,所以x1>0,x2>0，此时，D=0,x1∪x2,+∞=0,31+a−3a−33a−14∪31+a+3a−33a−14,+∞ ;2）当a≤0时，x1x2=3a≤0，所以x1≤0,x2>0，此时，D=x2,+∞=31+a+3a−33a−14,+∞ .（2）首先fʹx=6x2−61+a x+6a=6x−1x−a,a<1,所以函数f x在区间a,1上为减函数，在区间−∞,a和1,+∞上为增函数．①x=1是极值点⇔1∈B⇔13<a<1，②x=a是极值点⇔a∈A,a∈B⇔0<a<1．综上：a≤0时，f x在D内没有极值点；当0<a≤13时，f x在D内有极值点a；当13<a<1时，f x在D内有极值点a和1．。

2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理一、选择题错误！未指定书签。

．（2012年高考（天津理））在251(2)x x-的二项展开式中,x 的系数为 （ ） A ．10 B ．10- C ．40 D ．40- 错误！未指定书签。

．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种 错误！未指定书签。

．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 （ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种错误！未指定书签。

．（2012年高考（重庆理））812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A ．1635B ．835 C ．435 D ．105错误！未指定书签。

．（2012年高考（四川理））方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有（ ）A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条错误！未指定书签。

．（2012年高考（四川理））7(1)x +的展开式中2x 的系数是 （ ）A ．42B ．35C ．28D ．21 错误！未指定书签。

．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 （ ） A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种 错误！未指定书签。

．（2012年高考（山东理））现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （ ） A ．232 B ．252 C ．472 D ．484 错误！未指定书签。

2012年陕西文一、选择题（共10小题；共50分）1. 集合M=x lg x>0，N=x x2≤4，则M∩N= A. 1,2B. 1,2C. 1,2D. 1,22. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A. y=x+1B. y=−x3C. y=1D. y=x xx3. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 A. 46，45，56B. 46，45，53C. 47，45，56D. 45，47，53为纯虚数"的 4. 设a,b∈R，i是虚数单位，则" ab=0 "是"复数a+biA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入 A. q=NM B. q=MNC. q=NM+ND. q=MM+N6. 已知圆C:x2+y2−4x=0，l是过点P3,0的直线，则 A. l与C相交B. l与C相切C. l与C相离D. 以上三个选项均有可能7. 设向量a=1,cosθ与b=−1,2cosθ垂直，则cos2θ等于 A. 22B. 12C. 0D. −18. 将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 A. B.C. D.9. 设函数f x=2x+ln x，则 A. x=12为f x的极大值点 B. x=12为f x的极小值点C. x=2为f x的极大值点D. x=2为f x的极小值点10. 小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b a<b，其全程的平均时速为v，则 A. a<v<abB. v=abC. ab<v<a+b2D. v=a+b2二、填空题（共7小题；共35分）11. 设函数f x=x,x≥0,12x,x<0,则f f−4=．12. 观察下列不等式：1+122<32，1+122+132<53，1+122+132+142<74，⋯⋯照此规律，第五个不等式为．13. 在△ABC中，角A,B,C所对应的边长分别为a,b,c，若a=2,B=π6,c=23，则b=．14. 如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米．15. 若存在实数x使x−a+x−1 ≤3成立，则实数a的取值范围是．16. 如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF⋅DB=．17. 直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．三、解答题（共6小题；共78分）18. 已知等比数列a n的公比为q=−12．（1）若a3=14，求数列a n的前n项和；（2）证明：对任意k∈N+，a k，a k+2，a k+1成等差数列．19. 函数f x=A sin ωx−π6+1A>0,ω>0的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求函数f x的解析式；（2）设α∈0,π2，则fα2=2，求α的值．20. 直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1，∠CAB=π2．（1）证明：CB1⊥BA1；（2）已知AB=2，BC=5，求三棱锥C1−ABA1的体积．21. 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（2）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．22. 已知椭圆C1:x24+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A,B分别在椭圆C1和C2上，OB=2OA，求直线AB的方程．23. 设函数f x=x n+bx+c n∈N+,b,c∈R．（1）设n≥2，b=1，c=−1，证明：f x在区间12,1内存在唯一的零点；（2）设n为偶数，f−1≤1，f1≤1，求b+3c的最小值和最大值；（3）设n=2，若对任意x1，x2∈−1,1，有f x1−f x2 ≤4，求b的取值范围．答案第一部分1. C2. D3. A 【解析】A 解析：样本中的数据共有30个，中位数为45+472=46．显然样本数据中出现次数最多的是45，故众数为45．极差为68−12=26．故选A．4. B 【解析】ab=0⇔a=0 或b=0，而复数a+bi=a−b i是纯虚数⇔a=0且b≠0．5. D6. A 【解析】依题意，圆C:x−22+y2=4的圆心坐标是C2,0，半径是2，且PC=1<2，即点P3,0位于圆C内，因此直线l与圆C必相交．7. C 【解析】因为a⊥b，所以a⋅b=0，所以−1+2cos2θ=0，所以cos2θ=2cos2θ−1=0．故选C．8. B 9. D 10. A【解析】设甲地到乙地的路程为s，则v=2s sa +sb=2aba+b，然后利用均值不等式及作差法可比较大小．第二部分11. 412. 1+122+132+142+152+162<11613. 2【解析】由余弦定理：b2=a2+c2−2ac⋅cos B=22+232−2⋅2⋅23⋅cosπ6=4．∴b=2．14. 2615. −2,4【解析】在数轴上，x−a表示x对应的点到a对应的点之间的距离，x−1表示x对应的点到1对应的点之间的距离，而这两个距离和的最小值是a−1．要使得不等式x−a+x−1 ≤3成立，只要a−1 ≤3即可．16. 5【解析】由相交弦定理，得DE⋅CE=AE⋅EB=1×5=5．又DE=CE，于是有DE2=5．在Rt△DEB中，有DE2=DF⋅DB=5，即DF⋅DB=5．17. 3第三部分18. （1）由a3=a1q2=14及q=−12，得a1=1，所以数列a n的前n项和S n=1×1− −12n1− −12=2+ −12n−1.（2）对任意k∈N+，2a k+2−a k+a k+1=2a1q k+1−a1q k−1+a1q k=a1q k−12q2−q−1,由q=−12，得2q2−q−1=0,故2a k+2−a k+a k+1=0.所以，对任意k∈N+，a k，a k+2，a k+1成等差数列．19. （1）∵函数f x的最大值为3，∴A+1=3，即A=2．∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T=π，∴ω=2，故函数f x的解析式为y=2sin2x−π+1.（2）∵fα2=2sin α−π6+1=2，∴sin α−π6=12．∵0<α<π2，∴−π6<α−π6<π3，∴α−π6=π6，故α=π3．20. （1）如图，连接AB1，∵ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AC，∵∠CAB=π2，∴AC⊥AB，又∵AB∩AA1=A，∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1．又∵AB=AA1，∴四边形ABB1A1是正方形，∴BA1⊥AB1．又CA∩AB1=A，∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1．（2）∵AB=AA1=2，BC=5，∴AC=A1C1=1．由（1）知，A1C1⊥平面ABA1，所以V C1−ABA1=1S△ABA1⋅A1C1 =1×2×1=2.21. （1）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5+20 100= 1 4,用频率估计概率，得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14．（2）根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75=15 ,用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529．22. （1）由已知可设椭圆C2的方程为y2 2+x2=1a>2,其离心率为32，故a2−4=3 ,则a=4，故椭圆C2的方程为y2 16+x24=1.（2）解法一：A,B两点的坐标分别记为x A,y A,x B,y B．由OB=2OA及（1）知，O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx．将y=kx代入x 24+y2=1中，得1+4k2x2=4,所以x A2=41+4k2;将y=kx代入y 216+x24=1中，得4+k2x2=16,所以x B2=16 4+k2.又由OB=2OA得x B2=4x A2，即16 4+k2=161+4k2.解得k=±1，故直线AB的方程为y=x 或 y=−x.解法二：A,B两点的坐标分别记为x A,y A,x B,y B．由OB=2OA及（1）知，O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx．将y=kx代入x 24+y2=1中，得1+4k2x2=4,所以x A2=42,由OB=2OA，得x B2=162,y B2=16k2 1+4k2,将x B2,y B2代入y216+x24=1中，得4+k21+4k2=1,即4+k2=1+4k2,解得k=±1，故直线AB的方程为y=x 或 y=−x.23. （1）当b=1，c=−1，n≥2时，f x=x n+x−1．∵f12f1=12n−12×1<0，∴f x在12,1内存在零点．又当x∈12,1时，fʹx=nx n−1+1>0，∴f x在12,1上是单调递增的，∴f x在12,1内存在唯一零点．（2）解法一：由题意知−1≤f−1≤1,−1≤f1≤1,即0≤b−c≤2,−2≤b+c≤0.由图象知，b+3c在点0,−2取到最小值−6，在点0,0取到最大值0，∴b+3c的最小值为−6，最大值为0．解法二：由题意知−1≤f1=1+b+c≤1,即−2≤b+c≤0. ⋯⋯①①×2+②得−6≤2b+c+−b+c=b+3c≤0,当b=0，c=−2时，b+3c=−6;当b=c=0时，b+3c=0.所以b+3c的最小值为−6，最大值为0．解法三：由题意知f−1=1−b+c,f1=1+b+c.解得b=f1−f−1,c=f1+f−1−2.故b+3c=2f1+f−1−3.又∵−1≤f−1≤1，−1≤f1≤1．因此−6≤b+3c≤0,当b=0，c=−2时，b+3c=−6；当b=c=0时，b+3c=0，所以b+3c的最小值为−6，最大值为0．（3）当n=2时，f x=x2+bx+c.对任意x1,x2∈−1,1都有f x1−f x2≤4等价于f x在−1,1上的最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论如下：①当b2>1，即 b >2时，M=f1−f−1=2 b >4,与题设矛盾．②当−1≤−b2<0，即0<b≤2时，M=f1−f −b=b+12≤4恒成立．③当0≤−b2≤1，即−2≤b≤0时，M=f−1−f −b=b−12≤4恒成立．综上可知，−2≤b≤2．。

2012·大纲全国卷(文科数学)1．[2012·全国卷] 已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆C D ．A ⊆D1．B [解析] 本小题主要考查特殊四边形的定义．解题的突破口为正确理解四种特殊四边形的定义及区别．因为正方形是邻边相等的矩形，故选B.2．[2012·全国卷] 函数y ＝x ＋1(x ≥－1)的反函数为( ) A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1)2．A [解析] 本小题主要考查求反函数的方法．解题的突破口为原函数与反函数定义域与值域的关系和反解x 的表达式．由y ＝x ＋1得y 2＝x ＋1，即x ＝y 2－1，交换x 和y 得y ＝x 2－1，又原函数的值域为y ≥0，所以反函数的定义域为x ≥0，故选A.3．[2012·全国卷] 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π33．C [解析] 本小题主要考查三角函数的性质．解题的突破口为正余弦函数的振幅式在对称轴处取得最值．∵f (x )＝sinx ＋φ3为偶函数，有x ＝0时f (x )取得最值，即φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈)，由于φ∈[0,2π]，所以k ＝0时，φ＝3π2符合，故选C.4．[2012·全国卷] 已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin2α＝( )A ．－2425B ．－1225C.1225D.24254．A [解析] 由α为第二象限角及sin α＝35得cos α＝－45，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425，故选A.5．[2012·全国卷] 椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 28＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 212＋y 24＝15．C [解析] 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质．解题的突破口为焦距准线与abc 的关系．∵焦距为4，一条准线为x ＝－4，∴c ＝2，a 2c ＝4，∴a 2＝8，b 2＝4，故选C.6．[2012·全国卷] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D.12n －16．B [解析] 本小题主要考查数列前n 项和S n 与通项a n 的关系，解题的突破口是用a n 表示S n .由S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )得S n ＋1＝32S n ，所以{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B.7．[2012·全国卷] 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种7．C [解析] 本小题主要考查有限制条件下的排列问题，解题的突破口为优限法，即优先考虑受限元素和受限位置，合理分步完成．第一步，先将甲选手排好有C 14＝4种不同方法，第二步排其余5名选手，没有限制，有A 55＝120种不同的方法，两步完成，故共有4×120＝480种不同的方法，故选C.8．[2012·全国卷] 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．18．D [解析] 本小题主要考查正四棱柱的性质以及直线到平面的距离的概念．解题的突破口为直线到平面的距离的转化．由已知可得AC 1＝4，取AC 与BD 的中点O ，连OE ，显然有AC 1∥OE 且平面ACC 1A 1⊥平面BED ，∴AC 1与平面BED 的距离即为AC 1与OE 的距离，又∵AB ＝2，CC 1＝22，∴AC ＝22，CC 1＝AC ，∴平面AA 1C 1为正方形，∴AC 1与平面BED 的距离为14CA 1＝1，故选D.9．[2012·全国卷] △ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝，CA →＝，＝0，||＝1，||＝2，则AD→＝( )A.13－13B.23－23C.35－35D.45－459．D [解析] 本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用和作为基底去表示向量AD→. 易知⊥，|AB |＝5，用等面积法求得|CD |＝255，∵AD ＝AC 2－CD 2＝455，AB ＝5，∴AD →＝45AB →＝45(－)，故选D.10．[2012·全国卷] 已知F 1F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35 C.34 D.4510．C [解析] 本小题主要考查双曲线的定义及余弦定理的应用，解题的突破口为运用双曲线的定义求出PF 1和PF 2的长，再用余弦定理即可求．由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422·(42)·(22)＝34，故选C.11．[2012·全国卷] 已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x11．D [解析] 本小题主要考查对数与指数的大小比较，解题的突破口为寻找中间量作比较．x ＝lnπ>lne ＝1,0<log 52<log 42＝log 4412＝12，1＝e 0>e －12＝1e >14＝12，∴y <z <x ，故选D.12．[2012·全国卷] 正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )A ．8B ．6C ．4D ．312．B [解析] 本小题主要考查反射原理及三角形相似知识的应用，解题的突破口为确定反射后点P 的位置．结合点EF 的位置进行作图推理，利用反射过程中平行直线及相似三角形作图可得点P 回到E 点时与正方形的边碰撞次数为6次，故选B.13．[2012·全国卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中x 2的系数为________．13．7 [解析] 本小题主要考查二项式定理中通项公式的应用，解题的突破口是写出并化简通项公式．T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝2－r C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝2⇒r ＝3，∴x 2的系数为2－3C 38＝7，故填7.14．[2012·全国卷] 若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．14．－1 [解析] 本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口为正确作出可行域和平移目标函数曲线．利用不等式组，作出可行域图略，可知可行域表示的为三角形，当过点(3,0)时，目标函数值最大，当过点(0,1)时，目标函数值最小，为－1，故填－1.15．[2012·全国卷] 当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________. 15.5π6[解析] 本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突破口为化为振幅式并注意定义域．函数可化为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，由x ∈[0,2π)得x －π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，5π3，∴x －π3＝π2，即x ＝5π6时，函数有最大值2，故填5π6.16．[2012·全国卷] 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 分别为BB 1CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为________．16.35 [解析] 本小题主要考查正方体中异面直线所成的角的求解，解题的突破口是化异面为共面，即平移直线或找平行线．连结DF ，显然有DF ∥AE ，所以∠DFD 1为所求异面直线所成角或其补角．设正方体棱长为1，则DF ＝ FD 1＝52，由余弦定理可求得∠DFD 1的余弦值为35，故填3517．[2012·全国卷] △ABC 中，内角ABC 成等差数列，其对边abc 满足2b 2＝3ac ，求A .17．解：由ABC 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°得B ＝60°，A ＋C ＝120°. 由2b 2＝3ac 及正弦定理得 2sin 2B ＝3sin A sin C ， 故sin A sin C ＝12.cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12，即cos A cos C －12＝－12，cos A cos C ＝0，cos A ＝0或cos C ＝0， 所以A ＝90°或A ＝30°.18．[2012·全国卷] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．18．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n >1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1， a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.19．[2012·全国卷] 如图1－1，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．图1－119．解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝23，EC＝233，FC＝2，从而PCFC＝6，ACEC＝ 6.因为PCFC＝ACEC，∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，由此知PC⊥EF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.BC 与平面PAB 内两条相交直线PA ，AG 都垂直，故BC ⊥平面PAB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝PA 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，AD 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.方法二：(1)以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (22，0,0)，D (2，b,0)，其中b >0，则P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎪⎫423，0，23，B (2，－b,0)．于是PC →＝(22，0，－2)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，b ，23，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－b ，23，从而PC →·BE →＝0，PC →·DE →＝0，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE . 又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE . (2)AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0)．设＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量，则·AP →＝0，·AB →＝0， 即2z ＝0且2x －by ＝0， 令x ＝b ，则＝(b ，2，0)．设＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则 ·PC →＝0，·BE →＝0， 即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0， 令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b ，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2b，2.因为面PAB ⊥面PBC ，故·＝0，即b －2b ＝0，故b ＝2，于是＝(1，－1，2)，DP→＝(－2，－2，2)，cos 〈，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12，〈，DP →〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成的角和〈，DP →〉互余， 故PD 与平面PBC 所成的角为30°.20．[2012·全国卷] 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．20．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16， P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A ) ＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A ) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36，P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P (B 2)＝0.42＝0.16，P (A 2)＝0.62＝0.36.C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2)＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2)＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.21．[2012·全国卷] 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，若过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的直线l 与x 轴的交点在曲线y ＝f (x )上，求a 的值．21．解：(1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1.①当a ≥1时， f ′(x )≥0，且仅当a ＝1，x ＝－1时，f ′(x )＝0，所以f (x )是上的增函数；②当a <1时，f ′(x )＝0有两个根x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a .当x ∈(－∞，－1－1－a )时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x ∈(－1－1－a ，－1＋1－a )时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x ∈(－1＋1－a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．(2)由题设知，x 1，x 2为方程f ′(x )＝0的两个根，故有a <1，x 21＝－2x 1－a ，x 22＝－2x 2－a .因此f (x 1)＝13x 31＋x 21＋ax 1 ＝13x 1(－2x 1－a )＋x 21＋ax 1 ＝13x 21＋23ax 1＝13(－2x 1－a )＋23ax 1 ＝23(a －1)x 1－a 3. 同理，f (x 2)＝23(a －1)x 2－a 3. 因此直线l 的方程为y ＝23(a －1)x －a 3. 设l 与x 轴的交点为(x 0,0)，得x 0＝a 2(a －1)， f (x 0)＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2(a －1)3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2(a －1)2＋a 22(a －1)＝a 224(a －1)3(12a 2－17a ＋6)． 由题设知，点(x 0,0)在曲线y ＝f (x )上，故f (x 0)＝0，解得a ＝0或a ＝23或a ＝34.22．[2012·全国卷] 已知抛物线C ：y ＝(x ＋1)2与圆M ：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝r 2(r >0)有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线为同一直线l .(1)求r ；(2)设mn 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，mn 的交点为D ，求D 到l 的距离．22．解：(1)设A (x 0，(x 0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y ′＝2(x ＋1)．故l 的斜率k ＝2(x 0＋1)．当x 0＝1时，不合题意，所以x 0≠1.圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，MA 的斜率k ′＝(x 0＋1)2－12x 0－1. 由l ⊥MA 知k ·k ′＝－1，即2(x 0＋1)· (x 0＋1)2－12x 0－1＝－1， 解得x 0＝0，故A (0,1)，r ＝|MA |＝(1－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝52， 即r ＝52. (2)设(t ，(t ＋1)2)为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t ＋1)2＝2(t ＋1)(x －t )， 即y ＝2(t ＋1)x －t 2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M 到该切线的距离为52，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪2(t ＋1)×1－12－t 2＋1[2(t ＋1)]2＋(－1)2＝52， 化简得t 2(t 2－4t －6)＝0，解得t 0＝0，t 1＝2＋10，t 2＝2－10. 抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①y ＝2(t 1＋1)x －t 21＋1，②y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③②－③得x ＝t 1＋t 22＝2. 将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)．所以D 到l 的距离d ＝|2×2－(－1)＋1|22＋(－1)2＝655.。

2012年高考试题解析数学（文科）分项版之专题13 统计--教师版一、选择题:1.（2012年高考新课标全国卷文科3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）12.(2012年高考某某卷文科4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差3．(2012年高考卷文科8)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（A ）5（B ）7（C ）9（D ）11 【答案】C【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C. 4. (2012年高考某某卷文科5)设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg5. (2012年高考某某卷文科2) 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为( ) A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.656.(2012年高考某某卷文科3)交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。