高中数学人教版必修1课时作业：作业27 2.2.13对数与对数运算(第3课时)含解析

《对数与对数运算------换底公式》一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第二章《基本初等函数（I）》中2.2.1节《对数与对数运算》的第三课时，次要内容是探求换底公式并会用其进行简单的证明和计算.在此之前，先生曾经学习过了对数的概念、指数与对数之间的关系，并且利用指数与对数的关系推导出了对数的运算性质，本节课就是在此基础上，探求讨论对数的换底公式.从指数与对数的关系出发，证明对数换底公式，有多种途径，在教学中要让先生去探求，对先生的正确证法要给予肯定；证明得到对数的换底公式以后，要引导先生利用换底公式得到一些常见的结果，并处理一些求值转化的成绩.教学的重点：对数的换底公式的运用.本节内容具有很强的灵活性，换底公式在以后的学习中有着非常重要的运用，对数的运算法则是在同底的基础上，就使得其有很强的局限性，因而利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要.特别是在解决理论成绩，计算具体的对数数值时，换底公式更是不可或缺.因而要反复训练，强化记忆.本节内容由两部分构成，其一探求对数的换底公式并对其进行证明，并在探求过程中学会研讨某些数学成绩的过程与方法；其二利用换底公式去进行具体的求值和运算.本节课内容是表现新课程让先生积极自主探求、合作交流学习方式的良好素材.本节课包含了丰富的数学思想及方法，特别是在探求换底公式的过程中，以特殊例子为引入，然后逐渐的普通化，表现了从特殊到普通和转化的数学思想.本节的实例，可以让先生领会数学知识在理论生活中的运用，从而向先生浸透学好数学、用好数学的思想，能让先生对数学知识的学习产生浓厚的兴味.也能给先生一些科普方面的教育.同时，本节课又教给先生如何利用计算器去算对数的方法，加强了本节课的适用性,也给了先生动手操作的机会.二、目标和目标解析（一）教学目标1．掌握对数的换底公式，并能利用换底公式解决对数成绩.2．在探求换底公式过程中，领会转化与化归和从特殊到普通的数学思想.3．培养先生运用已有知识发现成绩及解决成绩的能力，领会数学知识在理论生活中的运用，进步先生学习数学的热情.（二）教学目标解析1．掌握换底公式指的是：熟记换底公式，能够证明换底公式，并且要鼓励先生尝试不同的方法去证明,拓展思想；对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，这里要求先生能够利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算.2．领会数学思想指的是：经过成绩1、成绩2和成绩3的逐渐的推进和普通化，领会数学从特殊到普通的解决成绩的数学思想方法，同时，利用指数对数的转化或者标题中底数的化归分歧等，加深对转化和化归的理解.3．对于具体的求值成绩，可以运用不同的性质来解决，非常灵活，但不困难，标题做起来非常风趣；经过这部分内容，培养先生的数学能力，感受数学学科的特点.如例2是一道跟历史、科普知识有关的标题，而且还要用到计算器，这些都将吸引先生，并且激发先生学习数学的兴味.三、教学成绩诊断分析（一）成绩诊断分析（1）个别同学在求解时会存在无从下手的感觉，其根本缘由是先生对于利用指数与对数转化探求对数性质的过程理解不深化，教学中以小组合作探求式的学习方式来弥补这一不足.（2）在解决具体成绩时，先生不能选择适当的底数来运用换底公式.出现这一成绩的缘由是：先生对换底公式尚不太熟习，转化的能力也有待进步。

2.2.1 对数与对数运算第一课时 对数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。

〖过程与方法〗 从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。

〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。

教学重难点：指、对数式的互化。

教学过程设计 一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？ 引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。

这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。

能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。

二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =。

其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。

课时作业(二十四) 2.1.2.3 对数与对数运算（第3课时）1.函数f(x)＝23－x在区间(－∞，0)上的单调性是( )A.增函数B.减函数C.常数D.有时是增函数有时是减函数答案 B2.函数y ＝3x 2－1的递减区间为( ) A.(－∞，0] B.[0，＋∞) C.(－∞，－1] D.[1，＋∞)答案 A3.函数y ＝(12)(x ＋3)2的递减区间为( )A.(－∞，－3]B.[－3，＋∞)C.(－∞，3]D.[3，＋∞)答案 B4.要得到函数y ＝8·2－x的图像，只需将函数y ＝(12)x 的图像( )A.向右平移3个单位B.向左平移3个单位C.向右平移8个单位D.向左平移8个单位答案 A5.函数y ＝－(12)x的图像( )A.与函数y ＝(12)x的图像关于y 轴对称B.与函数y ＝(12)x的图像关于坐标原点对称C.与函数y ＝(12)－x的图像关于y 轴对称D.与函数y ＝(12)－x的图像关于坐标原点对称答案 D6.函数y ＝a |x|(a>1)的图像是( )答案 A7.把函数y ＝f(x)的图像向左，向下分别平移2个单位，得到y ＝2x的图像，则f(x)的解析式是( ) A.f(x)＝2x ＋2＋2 B.f(x)＝2x ＋2－2 C.f(x)＝2x －2＋2D.f(x)＝2x －2－2答案 C解析 y ＝2x向上，向右分别平移2个单位得f(x)的图像，所以f(x)＝2x －2＋2.8.若0<a<1，则函数y ＝a x和y ＝(a －1)x 2的图像可能是( )答案 D9.函数y ＝(12)x＋1的图像关于直线y ＝x 对称的图像大致是( )答案 A解析 函数y ＝(12)x＋1的图像如图所示，关于y ＝x 对称的图像大致为A 选项对应图像.10.若函数y ＝a x＋m －1(a ＞0)的图像在第一、三、四象限，则( )A.a ＞1B.a ＞1且m ＜0C.0＜a ＜1且m ＞0D.0＜a ＜1答案 B解析 y ＝a x的图像在一、二象限内，欲使图像在第一、三、四象限内，必须将y ＝a x向下移动，而当0＜a ＜1时，图像向下移动，只能经过第二、三、四象限.只有当a ＞1时，图像向下移动才能经过第一、三、四象限，于是可画出y ＝f(x)＝a x＋m －1(a ＞1)的草图(右图). ∴f(0)＝a 0＋m －1＜0，即m ＜0.11.函数y ＝(12)－3＋4x －x 2的单调增区间是( )A.[1，2]B.[2，3]C.(－∞，2]D.[2，＋∞)答案 D解析 t ＝－3＋4x －x 2的减区间为[2，＋∞)， ∴y ＝(12)t(x)的增区间为[2，＋∞).12.将函数f(x)＝2x的图像向________平移________个单位，就可以得到函数g(x)＝2x －2的图像. 答案 右 213.若函数f(x)＝(12)|x －1|，则f(x)的增区间是________.答案 (－∞，1]14.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a ＞0，且a≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________. 答案 0＜a ＜1215.设a 是实数，f(x)＝a －22x＋1(x∈R ). (1)试证明：对于任意实数a ，f(x)在R 上为增函数； (2)试确定a 的值，使f(x)为奇函数. 解析 (1)设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝(a －22x 1＋1)－(a －22x 2＋1)＝22x 2＋1－22x 1＋1＝2（2x 1－2x 2）（2x 1＋1）（2x 2＋1）.由于指数函数y ＝2x在R 上是增函数，且x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，即2x 1－2x 2<0.又由2x>0，得2x 1＋1>0，2x 2＋1>0，所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2).因为此结论与a 的取值无关，所以对于a 取任意实数，f(x)在R 上为增函数.(2)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即a －22－x ＋1＝－(a －22x ＋1)，变形，得2a ＝2·2x（2－x ＋1）·2x ＋22x ＋1＝2（2x＋1）2x＋1＝2，解得a ＝1，所以，当a ＝1时，f(x)为奇函数. 16.已知函数f(x)＝2x－12x ＋1.(1)求f(x)的定义域和值域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)讨论f(x)的单调性. 解析 (1)f(x)的定义域是R ， 令y ＝2x－12x ＋1，得2x＝－y ＋1y －1.∵2x>0，∴－y ＋1y －1>0，解得－1<y<1.∴f(x)的值域为{y|－1<y<1}.(2)∵f(－x)＝2－x－12－x ＋1＝1－2x1＋2x ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.(3)f(x)＝（2x＋1）－22x ＋1＝1－22x＋1， 设x 1，x 2是在R 上任意两个实数，且x 1<x 2，f(x 1)－f(x 2)＝22x 2＋1－22x 1＋1＝2（2x 1－2x 2）（2x 1＋1）（2x 2＋1），∵x 1<x 2，2x 2>2x 1>0，从而2x 1＋1>0，2x 2＋1>0， 2x 1－2x 2<0，∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2). ∴f(x)为R 上的增函数.1.若a>1，－1<b<0，则函数y ＝a x＋b 的图像一定在( ) A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限答案 A2.函数y ＝2x ＋1的图像是( )答案 A3.设－1<a<－12，则下列关系式中正确的是( )A.2a >(12)a >(0.2)aB.2a >(0.2)a>(12)aC.(12)a >(0.2)a >2aD.(0.2)a>(12)a >2a答案 D4.已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 B解析 作出y ＝(12)x 与y ＝(13)x的图像比较可知.③，④不可能成立.5.已知x ，y ∈R ，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式中正确的是( ) A.x ＋y>0 B.x ＋y<0 C.x －y>0 D.x －y<0答案 A解析 令f(x)＝2x－3－x .因为y ＝2x 为增函数，由y ＝3－x ＝(13)x 为减函数，知y ＝－3－x也是增函数，从而f(x)为增函数.由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－(－y)，可知f(x)>f(－y).又f(x)为增函数，所以x>－y ，故x ＋y>0.故选A.6.函数f(x)＝a x＋b 的图像过点(1，3)，且在y 轴上的截距为2，则f(x)的解析式为________. 答案 f(x)＝2x ＋17.已知奇函数f(x)，偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x(a ＞0且a≠1)，求证：f(2x)＝2f(x)·g(x).证明 ∵f(x)＋g(x)＝a x，①∴f(－x)＋g(－x)＝a －x.∵f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数， ∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x). ∴－f(x)＋g(x)＝a －x.②解由①，②所组成的方程组，得 f(x)＝a x－a －x2，g(x)＝a x＋a －x2.f (x)·g(x)＝a x－a －x2·a x＋a－x2＝a 2x－a－2x4＝12f(2x)，即f(2x)＝2f(x)·g(x)，故原结论成立. 8.已知x∈[－3，2]，求f(x)＝14x －12x ＋1的最小值与最大值.解析 令12x ＝t ，则y ＝t 2－t ＋1.又∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3. ∴14≤2－x≤8，即t∈[14，8]. 又∵y＝t 2－t ＋1的对称轴t ＝12，∴f(x)max ＝64－8＋1＝57，此时x ＝－3； f(x)min ＝14－12＋1＝34，此时x ＝1.。

课时作业(二十八) 2.2.2.1 对数函数及其性质（第1课时）1.函数y ＝log (x －1)(3－x)的定义域为( ) A.(1，3) B.(－∞，3) C.(1，2)∪(2，3) D.(－∞，1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －1≠1，3－x>0，得1<x<3且x≠2，故选C.2.log 43，log 34，log 3443的大小顺序是( )A.log 34<log 43<log 3443B.log 34>log 43>log 3443C.log 34>log 3443>log 43D.log 3443>log 34>log 43答案 B解析 ∵log 34>1，0<log 43<1，log 3443<0，∴选B.3.若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A.(0，23)B.(23，＋∞) C.(23，1) D.(0，23)∪(1，＋∞)答案 D解析 ∵log a 23<1＝log a a ，当a>1时，⎩⎪⎨⎪⎧a>1，23<a ，得a>1；当0<a<1时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，23>a ，得0<a<23.综上，选D.4.如图，曲线是对数函数y ＝log a x 的图像，已知a 的取值有43，3，35，110，则相应C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( )A.3，43，110，35B.3，43，35，110C.43，3，35，110D.43，3，110，35答案 B解析 利用例2中关于图像的结论，亦可用特殊值法，例如令x ＝2，则比较log 432，log 32，log 352，log 1102的大小.5.若log a (π－3)<log b (π－3)<0，a ，b 是不等于1的正数，则下列不等式中正确的是( ) A.b>a>1 B.a<b<1 C.a>b>1 D.b<a<1 答案 A解析 ∵0<π－3<1，log a (π－3)<log b (π－3)<0， ∴a ，b ∈(1，＋∞)且b>a ，∴选A.6.设P ＝log 23，Q ＝log 32，R ＝log 2(log 32)，则( ) A.R<Q<P B.P<R<Q C.Q<R<P D.R<P<Q 答案 A解析 P>1，0<Q<1，∵0<log 32<1， ∴log 2(log 32)<0，∴P>Q>R.7.若0<a<1，则函数y ＝log a (x ＋5)的图像不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A解析 ∵y＝log a (x ＋5)过定点(－4，0)且单调递减， ∴不过第一象限，选A. 8.函数y ＝1log 0.5（4x －3）的定义域为( )A.(34，1) B.(34，＋∞)C.(1，＋∞)D.(34，1)∪(1，＋∞) 答案 A9.若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|log 12x ≥12，则∁R A ＝( ) A.(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C.(－∞，0]∪[22，＋∞) D.[22，＋∞) 答案 A10.函数y ＝a x与y ＝－log a x(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图像只可能是( )答案 A11.函数y ＝log a (x －2)＋3(a>0且a≠1)恒过定点______. 答案 (3，3)12.比较大小，用不等号连接起来. (1)log 0.81.5________log 0.82； (2)log 25________log 75； (3)log 34________2； (4)log 35________log 64. 答案 (1)> (2)> (3)< (4)>13.求不等式log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)的解集. 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，－x ＋5>0，2x －1<－x ＋5，得12<x<2.∴不等式的解集为{x|12<x<2}.14.求函数y ＝2－xlg （x ＋3）的定义域.解析 要使函数有意义，必须且只需 ⎩⎪⎨⎪⎧2－x≥0，x ＋3>0，x ＋3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x≤2，x>－3，x ≠－2.∴－3<x<－2或－2<x≤2.∴f(x)的定义域为(－3，－2)∪(－2，2]. ►重点班·选做题15.下列直线是函数y ＝log 2x 和y ＝log 124x 的图像对称轴的为( )A.x ＝1B.x ＝－1C.y ＝1D.y ＝－1答案 D16.若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m，则m ＝______.(lg2≈0.301 0) 答案 155 解析 由10m －1＜2512＜10m，得m －1＜512lg2＜m.∴m －1＜154.112＜m ，∴m ＝155.1.已知f(x)＝1＋lg(x ＋2)，则f －1(1)的值是( ) A.1＋lg3 B.－1 C.1 D.1＋lg2答案 B解析 设f －1(1)＝x ，则f(x)＝1⇒x ＝－1. 2.求下列函数定义域. (1)f(x)＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f(x)＝log (x ＋1)(16－4x).思路 (1)真数要大于0，分式的分母不能为0，(2)底数要大于0且不等于1，真数要大于0.解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，得x>2且x≠3.∴定义域为(2，3)∪(3，＋∞). (2)由⎩⎪⎨⎪⎧16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x<4，x>－1，x ≠0，解得－1<x<0或0<x<4. ∴定义域为(－1，0)∪(0，4).。

对数与对数运算基础达标1． 有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln (ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e＝ln x ，则x ＝e 2，其中正确的是( )．A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0；ln(ln e)＝ln 1＝0，故①、②正确，若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故④错误．答案 C2．在M ＝log (x －3)(x ＋1)中，要使式子有意义，x 的取值范围为( )．A ．(－∞，3]B ．(3,4)∪(4，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(3,4)解析 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，x －3≠1，解得3<x <4或x >4.答案 B3．若log 3(log 2x )＝1，则等于( )．A.13B.123C.122D.133解析 ∵log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝23＝8，则＝18＝122答案 C4．log 6[log 4(log 381)]＝________.解析 原式＝log 6[log 4(log 334)]＝log 6(log 44)＝log 61＝0. 答案 0 5．若2log 3x＝14，则x 等于________． 解析 ∵2log 3x ＝14＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.答案 196．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a2m ＋n的值为________．解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m＝2，a n＝3， ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n＝4×3＝12.答案 12能力提升8．若log x 7y ＝z ，则( )．A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x解析 由log x 7y ＝z ，得x z＝7y ， ∴⎝⎛⎭⎫7y 7＝(x z )7，则y ＝x 7z . 答案 B 9．已知＝49(a ＞0)，则a ＝________.解析 设a ＝x ，则a ＝，又＝49，∴＝，即，∴23x ＝2，解得x ＝3.答案 310．已知log a x＝4，log a y＝5(a>0，且a≠1)，求A＝(x·3x－1y2)12的值．解由log a x＝4，得x＝a4，由log a y＝5，得y＝a5，所以A＝。

课时作业(二十八)1.函数y ＝log (x －1)(3－x)的定义域为( ) A.(1，3) B.(－∞，3) C.(1，2)∪(2，3) D.(－∞，1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －1≠1，3－x>0，得1<x<3且x ≠2，故选C.2.log 43，log 34，log 3443的大小顺序是( )A.log 34<log 43<log 3443B.log 34>log 43>log 3443C.log 34>log 3443>log 43D.log 3443>log 34>log 43答案 B解析 ∵log 34>1，0<log 43<1，log 3443<0，∴选B.3.若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A.(0，23)B.(23，＋∞) C.(23，1) D.(0，23)∪(1，＋∞)答案 D解析 ∵log a 23<1＝log a a ，当a>1时，⎩⎪⎨⎪⎧a>1，23<a ，得a>1；当0<a<1时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，23>a ，得0<a<23.综上，选D.4.如图，曲线是对数函数y ＝log a x 的图像，已知a 的取值有43，3，35，110，则相应C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( )A.3，43，110，35B.3，43，35，110C.43，3，35，110D.43，3，110，35答案 B解析 利用例2中关于图像的结论，亦可用特殊值法，例如令x ＝2，则比较log 432，log 32，log 352，log 1102的大小. 5.若log a (π－3)<log b (π－3)<0，a ，b 是不等于1的正数，则下列不等式中正确的是( ) A.b>a>1 B.a<b<1 C.a>b>1 D.b<a<1 答案 A解析 ∵0<π－3<1，log a (π－3)<log b (π－3)<0， ∴a ，b ∈(1，＋∞)且b>a ，∴选A.6.设P ＝log 23，Q ＝log 32，R ＝log 2(log 32)，则( ) A.R<Q<P B.P<R<Q C.Q<R<P D.R<P<Q 答案 A解析 P>1，0<Q<1，∵0<log 32<1， ∴log 2(log 32)<0，∴P>Q>R.7.若0<a<1，则函数y ＝log a (x ＋5)的图像不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A解析 ∵y ＝log a (x ＋5)过定点(－4，0)且单调递减， ∴不过第一象限，选A. 8.函数y ＝1log 0.5（4x －3）的定义域为( )A.(34，1) B.(34，＋∞)C.(1，＋∞)D.(34，1)∪(1，＋∞) 答案 A9.若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|log 12x ≥12，则∁R A ＝( )A.(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞B.⎝⎛⎭⎫22，＋∞C.(－∞，0]∪[22，＋∞) D.[22，＋∞) 答案 A10.函数y ＝a x 与y ＝－log a x(a>0且a ≠1)在同一坐标系中的图像只可能是( )答案 A11.函数y ＝log a (x －2)＋3(a>0且a ≠1)恒过定点______. 答案 (3，3)12.比较大小，用不等号连接起来. (1)log 0.81.5________log 0.82； (2)log 25________log 75； (3)log 34________2； (4)log 35________log 64. 答案 (1)> (2)> (3)< (4)>13.求不等式log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)的解集. 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，－x ＋5>0，2x －1<－x ＋5，得12<x<2.∴不等式的解集为{x|12<x<2}.14.求函数y ＝2－xlg （x ＋3）的定义域.解析 要使函数有意义，必须且只需 ⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x ＋3>0，x ＋3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x>－3，x ≠－2. ∴－3<x<－2或－2<x ≤2.∴f(x)的定义域为(－3，－2)∪(－2，2]. ►重点班·选做题15.下列直线是函数y ＝log 2x 和y ＝log 124x 的图像对称轴的为( )A.x ＝1B.x ＝－1C.y ＝1D.y ＝－1答案 D16.若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m ，则m ＝______.(lg2≈0.301 0) 答案 155解析 由10m －1＜2512＜10m ，得m －1＜512lg2＜m.∴m －1＜154.112＜m ，∴m ＝155.1.已知f(x)＝1＋lg(x ＋2)，则f －1(1)的值是( )A.1＋lg3B.－1C.1D.1＋lg2答案 B解析 设f －1(1)＝x ，则f(x)＝1⇒x ＝－1.2.求下列函数定义域. (1)f(x)＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f(x)＝log (x ＋1)(16－4x).思路 (1)真数要大于0，分式的分母不能为0，(2)底数要大于0且不等于1，真数要大于0.解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，得x>2且x ≠3.∴定义域为(2，3)∪(3，＋∞). (2)由⎩⎪⎨⎪⎧16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x<4，x>－1，x ≠0，解得－1<x<0或0<x<4. ∴定义域为(－1，0)∪(0，4).。

§2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算第1课时 对 数 课时目标 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算．1．对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________．3．对数与指数的关系若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝____.对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)．4．对数的性质(1)1的对数为____；(2)底的对数为____；(3)零和负数__________．一、选择题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <44．方程3log 2x ＝14的解是( ) A ．x ＝19 B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝95．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( )A ．b ＝a 5cB ．b 5＝a cC ．b ＝5a cD ．b ＝c 5a6．0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．6 B.72C ．8 D.37二、填空题7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝________.8．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.9．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则b a ＝________. 三、解答题10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝11 000；②0.53＝0.125；③(2－1)－1＝2＋1. (2)将下列对数式写成指数式：①log 26＝2.585 0；②log 30.8＝－0.203 1；③lg 3＝0.477 1.11．已知log a x ＝4，log a y ＝5，求A ＝12232x xy ⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣的值．能力提升12．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n 的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．22513．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式：①log 68；②log 62；③log 26.1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a ab ＝b ；(2) log a N a ＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．指数式与对数式的互化§2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算第1课时 对 数知识梳理1．以a 为底N 的对数 x ＝log a N 对数的底数 真数 2.常用对数 自然对数 lg N ln N 3.x N x 4.(1)零 (2)1 (3)没有对数作业设计1．C [①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式．]2．C [∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0，故①正确；∵ln e ＝1，∴ln(ln e)＝0，故②正确；由lg x ＝10，得1010＝x ，故x ≠100，故③错误；由e ＝ln x ，得e e ＝x ，故x ≠e 2，所以④错误．]3．C [由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a >0，a －2>0，a －2≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a <5，a >2，a ≠3⇒2<a <3或3<a <5.]4．A [∵3log 2x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.] 5．A [由log a 5b ＝c ，得a c ＝5b ， ∴b ＝(a c )5＝a 5c .] 6．C [(12)－1＋log 0.54＝(12)－1·(12)12log 4＝2×4＝8.] 7.24解析 由题意得：log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8， ∴128-＝1218＝18＝122＝24. 8．3解析 由题意得：log x 9＝2，∴x 2＝9，∴x ＝±3，又∵x >0，∴x ＝3.9.110解析 依据a x ＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1)，有a ＝102.431 0，b ＝101.431 0，∴b a ＝101.431 0102.431 0＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝110. 10．解 (1)①lg 11 000＝－3；②log 0.50.125＝3； ③log 2－1(2＋1)＝－1.(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3. 11．解 A ＝12x ·(122x y -)16＝51213x y . 又∵x ＝a 4，y ＝a 5，∴A ＝3535aa ＝1.12．C [由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5.∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.] 13．解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝582. ②因为log x 3＝－13，所以13x -＝3，所以x ＝3－3＝127. (2)①log 68＝a . ②由6a ＝8得6a ＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a 3. ③由36a ＝2得32a ＝6，所以log 26＝3a .。

2021年高中数学 2.2.1.2对数的运算课时作业 新人教版必修1一、选择题(每小题6分，共计36分)1．若lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( )A ．a ＋2b －3cB.2ab 3cC.ab 2c3 D ．ab 2－c 3解析：lg x ＝lg a ＋2lgb －3lgc ＝lg ab 2c 3，∴x ＝ab 2c 3.答案：C2．化简：log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132等于( )A ．5B ．4C ．－5D ．－4解析：原式＝log 2(12×23×34×…×3132)＝log 2132＝－5. 答案：C3．若ln x －ln y ＝a ，则ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A.a2B ．aC.3a 2D ．3a解析：ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x2－ln y 2＝3(ln x －ln2－ln y ＋ln2)＝3(ln x －ln y )＝3a .答案：D4．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A.12 B ．9C ．18D ．27解析：由题意得lg4lg3·lg8lg4·lg m lg8＝log 416＝log 442＝2， ∴lg m lg3＝2， 即lg m ＝2lg3＝lg9. ∴m ＝9，选B. 答案：B5．定义新运算“&”与“*”：x &y ＝x y －1，x *y ＝log (x －1)y ，则函数f (x )＝是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案：A6．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48解析：∵2x ＝3，∴x＝log 23. 又log 483＝y ，∴x＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43) ＝log 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22－12log 23＝log 23＋3－log 23＝3.故选A . 答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．|1＋lg 0.001|＋lg 212－4lg 2＋4＋lg 6－lg 0.03＝________.解析：原式＝|1＋lg 10－3|＋lg 22－4lg 2＋4＋lg 6－lg 3100＝|1－3|＋lg 2－22＋lg 6－lg 3＋2＝2＋2－lg 2＋lg 6－lg 3＋2 ＝6＋lg 62×3＝6.答案：68．(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2＋log 23·log 34＝________. 解析：原式＝(lg 5)2－(lg 2)2＋2lg 2＋log 24 ＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＋2 ＝lg 5－lg 2＋2lg 2＋2 ＝lg 5＋lg 2＋2＝3. 答案：39．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg ab )2＝________.解析：由韦达定理，得lg a ＋lg b ＝2，lg a·lg b ＝12，则(lg a b )2＝(lg a －lg b)2＝(lg a ＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×12＝2.答案：2三、解答题(共计40分)10．(10分)计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)log 2748＋log 212－12log 242－1. 解：(1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.(2)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22 ＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝＝－32.11．(15分)计算：(1)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)；(2)lg 5·lg 8 000＋lg 232lg 600－12lg 0.036－12lg 0.1.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54；(2)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3，分母＝(lg6＋2)－lg361 000×110＝lg6＋2－lg6100＝4，∴原式＝34.——能力提升——12．(15分)已知100m＝5,10n＝2.(1)求2m＋n的值；(2)x1、x2、…、x10均为正实数，若函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1)，且f(x1·x2 (x)10)＝2m＋n，求f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x210)的值．解：(1)法一∵100m＝102m＝5，∴102m·10n＝102m＋n＝10，∴2m＋n＝1.法二∵100m＝5，∴2m＝lg5∵10n＝2，∴n＝lg2，∴2m＋n＝lg5＋lg2＝lg10＝1.(2)由对数的运算性质知loga (x1·x2…x10)＝log a x1＋log a x2＋…＋log a x10，logax2＝2log a x且由(1)知2m＋n＝1，∴f(x1x2…x10)＝f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x10)＝1，∴f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x210)＝2[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x10)]＝2×1＝2. 40373 9DB5 鶵l32336 7E50 繐 25361 6311 挑z_$\28487 6F47 潇oG?。

课时作业(二十七) 2.2.1.3 对数与对数运算（第3课时）1.log 49343等于( ) A.7 B.2 C.23 D.32答案 D解析 log 49343＝lg343lg49＝3lg72lg7＝32.2.log 29×log 34＝( ) A.14 B.12 C.2 D.4答案 D解析 log 29×log 34＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.3.log 89log 23＝( ) A.23 B.32 C.1 D.2答案 A解析 原式＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2lg3lg2＝23，故选A.4.log 2353可以化简为( ) A.log 25 B.log 52 C.log 85 D.log 2125答案 A5.若log 23·log 3m ＝12，则m ＝( )A.2B. 2C.4D.1 答案 B解析 ∵log 23·log 3m ＝log 2m ＝12，∴m ＝212＝2，故选B.6.若f(e x)＝x ，则f(5)等于( ) A.log 5e B.ln5 C.e 5D.5e答案 B7.已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36＝( ) A.a ＋b aB.a ＋bb C.aa ＋bD.b a ＋b答案 B8.设a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A.a －2 B.5a －2 C.3a －(1＋a)2D.3a －a 2－1答案 A解析 原式＝3log 32－2(1＋log 32)＝a －2. 9.log 24＋log 33＝________. 答案 92解析 原式＝log 24log 22＋log 3312＝212＋12＝92.10.2513log 527＋4log 1258＝________.答案 2 30411.若a>0，a 23＝49，则log 23a ＝________.答案 312.若4a ＝25b＝10，则1a ＋1b ＝________.答案 213.（log 32）2－log 34＋1＋log 94＝________. 答案 114.若log a b ·log b c ·log c 3＝2，则a 的值为________.答案 315.计算下列各式的值.(1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)； (2)log 2732·log 6427＋log 92·log 427.解析 (1)原式＝(log 32＋12log 32)×(12log 23＋13log 23)＝32log 32×56log 23＝54.(2)原式＝53log 32×36log 23＋12log 32×12log 2332＝56＋12log 32×34log 23＝56＋38＝2924. ►重点班·选做题16.已知2x＝3，log 483＝y ，求x ＋2y 的值.解析 ∵x＝log 23，y ＝12(log 28－log 23)，∴x ＋2y ＝log 23＋3－log 23＝3. 17.已知log 142＝a ，用a 表示log27.解析 方法一：∵log 142＝a ，∴log 214＝1a .∴1＋log 27＝1a .∴log 27＝1a －1.∴log 27＝log 27log 22＝log 272.∴log 27＝2log 27＝2(1a －1)＝2（1－a ）a .方法二：log 142＝log 22log 214＝2log 27＋2＝a ，∴2＝a(log 27＋2)，即log 27＝2（1－a ）a .方法三：log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22)＝2(1a －1)＝2（1－a ）a .1.若2.5x ＝1 000，0.25y＝1 000，则1x －1y ＝( )A.13B.3C.－13D.－3答案 A解析 ∵x＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，∴1x ＝log 1 0002.5，1y ＝log 1 0000.25.∴1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13，故选A. 2.log 43·log 13432＝________.答案 －58解析 原式＝log 43·(－14log 332)＝－14×log 432＝－14×log 2225＝－14×52＝－58. 3.lg9＝a ，10b＝5，用a ，b 表示log 3645为________. 答案a ＋ba －2b ＋2解析 由已知b ＝lg5，则log 3645＝lg45lg36＝lg5＋lg9lg4＋lg9＝a ＋b a ＋2lg2＝a ＋b a ＋2（1－b ）＝a ＋ba －2b ＋2.4.已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg5＝________.(用p ，q 表示) 答案q p ＋q解析 方法一：lg5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝qp ＋q .方法二：⎩⎪⎨⎪⎧lg2lg6＝p ，lg5lg6＝q ⇒⎩⎪⎨⎪⎧1－lg5＝plg6，lg5＝qlg6⇒lg5＝qp ＋q .5.计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258).解析 方法一：原式＝(log 253＋log 225log 24＋log 25log 28)(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125)＝(3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22)(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55)＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二：原式＝(lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8)(lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125)＝(3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2)(lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5)＝(13lg53lg2)(3lg2lg5)＝13.6.已知lg 87＝a ，lg 5049＝b ，用a ，b 表示lg2，lg7.解析 ∵lg 87＝a ，∴3lg2－lg7＝a.① ∵lg 5049＝b ，∴2－lg2－2lg7＝b.②由①②可得lg2＝2a －b ＋27，lg7＝6－a －3b7.。

课时作业(二十六) 2.2.1.2 对数与对数运算（第2课时）1.log 35－log 345＝( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2答案 D2.若lgx ＝lga ＋2lgb －3lgc ，则x ＝( ) A.a ＋2b －3c B.2ab 3cC.ab 2c 3 D.ab 2－c 3答案 C3.当a>0，a ≠1时，下列说法正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A.①与② B.②与④ C.② D.①②③④答案 C4.lg(100x)比lg x100大( )A.200B.104C.4D.1104 答案 C5.已知|lga|＝lgb(a>0，b>0)，那么( ) A.a ＝b B.a ＝b 或ab ＝1 C.a ＝±b D.ab ＝1答案 B6.已知2log 6x ＝1－log 63，则x 的值是( ) A. 3 B. 2 C.2或－ 2 D.3或 2答案 B7.设方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lgx ＋lg2·lg3＝0的两根为x 1，x 2，那么x 1·x 2的值为( ) A.lg2·lg3B.lg2＋lg3C.16D.－6答案 C解析 设lgx ＝t ，则t 2＋(lg2＋lg3)t ＋lg2lg3＝0.据⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝lgx 1，t 2＝lgx 2，又t 1＋t 2＝－lg2－lg3＝lgx 1＋lgx 2，∴x 1x 2＝16.8.已知log 32＝a ，log 35＝b ，则log 310等于( ) A.a ＋b B.a －b C.ab D.a b答案 A解析 log 310＝log 3(2×5)＝log 32＋log 35.9.已知lga ＝2.431 0，lgb ＝1.431 0，则ba 等于( )A.1100B.110C.10D.100答案 B解析 b a ＝101.431102.431＝10－1＝110，故选B.10.已知2x＝3，log 25＝y ，则x ＋y 等于( ) A.log 215 B.log 253C.log 235D.log 310答案 A解析 由已知x ＝log 23，x ＋y ＝log 23＋log 25＝log 215. 11.log 2322－log 22＝________. 答案 5解析 原式＝log 23222＝log 232＝5.12.(1)2log 510＋log 50.25＝________. 答案 2(2)log 2149＋log 213－log 217＝________. 答案 1解析 原式＝log 2149×37＝1.(3)lg75－lg5－lg3＋lg2＝________. 答案 1解析 原式＝lg 75×25×3＝1.13.求值：lg2.5－lg 58＋lg 12＝________.答案 lg214.(1)若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg 23＝________.答案 a －b解析 原式＝lg2－lg3＝a －b.(2)(log 3312)2＋log 0.2514＋9log 55－log 31＝______.答案234解析 原式＝(12)2＋log 0.250.25＋9log 5512－0＝14＋1＋92＝234.15.若ln x －ln y ＝a ，则ln(x 2)3－ln(y 2)3等于________.答案 3a 16.计算.(1)lg 37＋lg70－lg3；(2)lg 22＋lg5lg20－1；(3)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.答案 (1)1 (2)0 (3)3解析 (3)原式＝2(lg5＋lg2)＋lg5(lg5＋2lg2)＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3. 17.若lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b )2的值等于( )A.2B.12C.4D.14答案 A解析 ∵lga ＋lgb ＝2，lga ·lgb ＝12，∴(lg a b )2＝(lga －lgb)2＝(lga ＋lgb)2－4lga ·lgb ＝2.►重点班·选做题18.已知log a 2＝m ，log a 3＝n. (1)求a2m －n的值； (2)求log a 18.解析 (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m＝2，a n＝3. ∴a2m －n＝a 2m ÷a n ＝(a m )2÷a n ＝22÷3＝43.(2)log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n.log 618＋2log 62的结果是( ) A.－2 B.2 C. 2 D.log 62答案 B解析 原式＝log 618＋log 62＝log 636＝2.。