高2019届高2016级高三数学一轮复习高考调研新课标作业13

2019届广州市高三年级调研测试 理科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1 14．16 15．11616．27三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(1) 由B A A C B sin sin sin cos cos 222+=-，得B A A B C sin sin sin sin sin 222+=-． ……………………………………………2分 由正弦定理，得ab a b c +=-222，即ab c b a -=-+222， …………………………3分所以2122cos 222-=-=-+=ab ab ab c b a C ． ………………………………………………5分因为0Cπ<<，所以23C π=． ……………………………………………………6分 (2) 因为6A π=，所以6B π=． ……………………………………………………7分所以ABC ∆为等腰三角形，且顶角23C π=． 因为3443sin 212===∆a C ab S ABC ， ………………………………………………8分所以4=a ． ………………………………………………………………9分 在MAC ∆中，24,2,3AC CM C π===， 所以22212cos 164224282AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅=++⨯⨯⨯=． ………11分 解得72=AM ．…………………………………………………………………………12分 18．解：（1）根据图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下417.51622.54027.51232.51837.51042.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 100 2.541516204025123018351040=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3020=． ……………………………………………………………………………1分样本的质量指标平均值为302030.2100=． ……………………………………………2分 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2． ………………………3分 （2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为12，13，16， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为12，13，16． …………4分 随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480．………………………………………5分111(240)6636P X ==⨯=， 12111(300)369P X C ==⨯⨯=，1211115(360)263318P X C ==⨯⨯+⨯=， 12111(420)233P X C ==⨯⨯=，111(480)224P X ==⨯=，…………………………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列为：分所以11511()2403003604204804003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分 19．解：（1）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC AD ∥.因为AD ⊂平面ADE ，BC ⊄平面ADE ，所以BC ∥平面ADE ． ………………………………………………………………1分 同理CF ∥平面ADE ． ……………………………………………………………2分 又因为BC CF C = ，所以平面BCF ∥平面ADE ． …………………………3分 因为BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ． …………………………………4分 （2）法一：因为,CD AD CD DE ⊥⊥，所以ADE ∠是二面角A CD F --的平面角，即60ADE ∠=︒． ………………5分 因为AD DE D = ，所以CD ⊥平面ADE . 因为CD ⊂平面CDEF , 所以平面CDEF ⊥平面ADE .作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF . ………………6分 由2,3AD DE ==, 得1DO =，2EO =．以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(()(),3,1,0,0,1,0,(0,2,0),(3,5,0)A C D E F --，(OB OA AB OA DC =+=+=，……7分设()30G t ，，，15t -≤≤，则()32BE =- ，，，()0BG t = ，，设平面BEG 的法向量为() x y z =，，m ，则由0,0,m BE m BG ⎧=⎨=⎩得320,0,x y ty ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取2,3,,x t y z ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩ 得平面BEG的一个法向量为()2t =-m ， ……………………………8分O MHABCEDFG又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)=n ， ……………………………………9分所以cos ⋅<==，m n m n >m n…………………………10分14，解得12t =或1322t =-（舍去）， ……………………………………………11分 此时14CG CF =，得1342CG CF ==. 即所求线段CF 上的点G 满足32CG =．…………………………………………12分 法二：作BO CF ⊥于点O ，作OH EG ⊥的延长线于点H ，连结BH ．因为,,CD BC CD CF BC CF C ⊥⊥= ，所以CD ⊥平面BCF ， ……………………………………………………………5分BCF ∠为二面角A CD F --的平面角，60BCF ∠=︒． ……………………6分所以CD BO ⊥． 因为CD CF C = ，所以BO ⊥平面CDF ，BO EH ⊥．…7分 因为,OH EH OH BO O ⊥= ， 所以EH ⊥平面BOH ．……8分所以EH BH ⊥，BHO ∠为二面角B EG D --的平面角． ……………………9分 在Rt BCO ∆中，2,60BC BCO =∠=︒，所以1BO CO ==．又因为1cos 4BHO ∠=，所以tan BO BHO OH ∠==OH =．…………10分作EM CF ⊥于M ，则OGH EGM ∆∆ ，3,3EM CD CM DE ====，设OG x =，则OH EM OG EG =，即5x =， …………………11分 解得12x =，即所求线段CF 上的点G 满足32CG =． ………………………12分20．解：（1）依题意有222221,2,331,4c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ………………………………3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………………………………………4分（2）设()1122(,),,A x y B x y ，设1F AB ∆的内切圆半径为r ，1F AB ∆的周长为121248AF AF BF BF a +++==，所以11442F AB S a r r ∆=⨯⋅=．……………………………………………………………5分 解法一：根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，………………6分由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=………………………………………7分 ()22(6)36340m m ∆=++>，m R ∈，由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++，……………………………………8分112121221234F ABS F F y y y y m ∆∴=-=-==+，………10分令t =，则1t ≥，121241313F AB t S t t t∆∴==++． 令1()3f t t t =+，则当1t ≥时，21'()103f t t =->，()f t 单调递增，4()(1)3f t f ∴≥=，13F AB S ∆≤， ……………………………………………………11分即当1,0t m ==时，1F AB S ∆的最大值为3，此时max 34r =．故当直线l 的方程为1x =时，1F AB ∆内切圆半径的最大值为34． ………………12分解法二：当直线l x ⊥轴时，331,,1,,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112132F AB S F F AB ∆==. .……………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=. …………………………………7分 ()()()22222(8)44341214410k k k k ∆=-+-=+>，由韦达定理得221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，………………………………………8分 1121212121()2F AB S F F y y y y k x x ∆∴=-=-=-==……………………………10分令243tk =+，则3t ≥，1103t <≤,1F ABS ∆∴====3<=.综上，当直线l 的方程为1x =时，1F AB S ∆的最大值为3，1F AB ∆内切圆半径的最大值为34． ……………………………12分21．解：(1) ()f x 的定义域为()0,+∞，()233(2)122()1x ax x f x a x x x ---⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭. ………………………………………1分 (i)当0a ≤时，210ax -<恒成立，()0,2x ∈时，'()0f x >，()f x 在()0,2上单调递增；()2,x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在()2,+∞上单调递减； ……………………2分(ii) 当0a >时，由()0f x '=得，1232,x x x ===（舍去）， ①当12x x =，即14a =时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增；……3分 ②当12x x >，即14a >时，x ⎛∈ ⎝或()2,x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，()f x在⎛ ⎝，()2,+∞单调递增；x ⎫∈⎪⎭时，()0f x '<恒成立，()f x在⎫⎪⎭上单调递减；……………4分③当12x x <即104a <<时，x ⎫∈+∞⎪⎭或()0,2x ∈时，()0f x '>恒成立，()f x在(0,2),⎫+∞⎪⎭单调递增；x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<恒成立，()f x在⎛ ⎝上单调递减；……………5分综上，当0a ≤时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； 当14a =时，()f x 单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间； 当14a >时，()f x单调递增区间为⎛ ⎝，()2,+∞，单调递减区间为⎫⎪⎭； 当104a <<时，()f x单调递增区间为(0,2),⎫+∞⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝． …………………………………………………6分(2)由(1)知，当0a <时，()f x 单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,)+∞，又因为()10f a =<， …………………………………7分 取01max{,5}x a =-，令1()2ln f x x x =-，21()f x x =，则12'()10f x x =->在(2,)+∞成立，故1()2ln f x x x =-单调递增，10()52ln 512(2ln 5)1f x ≥-=+->，0002220000011111()(2ln )0f x a x x a x x x x x =-+-≤+-≤-<，（注：此处若写“当x →+∞时，()f x →-∞”也给分） 所以()f x 有两个零点等价于1(2)(22ln 2)04f a =-+>，得188ln 2a >--， 所以1088ln 2a >>--．……………………………………………………………8分当0a =时，21()x f x x-=，只有一个零点，不符合题意；当14a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；………9分当0a >且14a ≠时，()f x 有两个极值，1(2)(22ln 2)04f a =-+>，ln f a a a =-，记()ln g x x x x =-， …………………………………10分'()(1ln )1ln g x x x =+-=，令()ln h x x =+，则()3221122h x x x x '=-+=当14x >时，()0h x '>，'()g x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增； 当104x <<时，()0h x '<，'()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减． 故1()22ln 204g x g ⎛⎫''>=->⎪⎝⎭，()g x 在(0,)+∞单调递增． 0x →时，()0g x →，故ln 0f a a a =+->．……………………11分又1(2)(22ln 2)04f a =-+>，由(1)知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围为1,088ln 2⎛⎫- ⎪-⎝⎭. ……………………………………12分（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．解：(1) 依题意，直线1l的直角坐标方程为3y x =，2l的直角坐标方程为y =．…………………………………………………2分由2sin ρθθ+得2cos 2sin ρθρθ+，因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，………………………………………3分所以22((1)4x y +-=，………………………………………………………4分所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）． ……………………5分（2）联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==， ……………………………6分同理，2OB ρ==……………………………………………………………7分又6AOB π∠=， ………………………………………………………………………8分所以111sin 4222AOBS OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯= …………………9分 即AOB ∆的面积为 ……………………………………………………………10分 23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， ……………………1分 ①当13x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； …………………………2分 ②当123x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； …………………3分 ③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥． …………………………4分综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或． …………………………5分 （2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ……………………………6分 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+，…………………………8分所以113112aa⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a-≤≤，故所求实数a的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．………………………………10分。

河南省2019届高三一轮复习诊断调研联考上学期联考高三数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2|3327x A x R -=∈≤<，{}|31B x Z x =∈-<<，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32.已知a R ∈，复数()(1)a i i z i-+=，若z z =，则a =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C ︒）的数据，绘制了如图的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．最低气温与最高气温为正相关B ．10月的最高气温不低于5月的最高气温C ．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D ．最低气温低于0C ︒的月份有4个4.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3A π=，23sin 2sin sin cos CA B C=，且6b =，则c =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．65.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．128π平方尺B ．138π平方尺C ．140π平方尺D ．142π平方尺6.定义[]x 表示不超过x 的最大整数，()[]x x x =-，例如[]2.12=，()2.10.1=，执行如图所示的程序框图，若输入的 5.8x =，则输出的z =（ ）A ． 1.4-B ． 2.6-C ． 4.6-D ． 2.8-7.若对于任意x R ∈都有()2()3cos sin f x f x x x +-=-，则函数(2)f x 图象的对称中心为（ ） A ．(,0)4k ππ-（k Z ∈ ） B ．(,0)8k ππ-（k Z ∈）C ．(,0)24k ππ-（k Z ∈ ）D ．(,0)28k ππ-（k Z ∈） 8.设x ，y 满足约束条件20,11,30,x y x y y -≥⎧⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪⎩若z ax y =-+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．2或3-B ．3或2-C ．13-或12D ．13-或29.函数2()()41x x x e e f x x --=-的部分图象大致是（ ）10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．20+B ．20+C ．D ．20+11.过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ，B 两点（A 在B的上方），且l 与准线交于点C ，若4CB BF =u u u r u u u r ，则||||AF BF =（ ） A ．53B ．52C ．3D ．212.已知函数2()ln x f x e x x =++与函数2()2x g x e x ax -=+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞-B ．1(,]e-∞-C ．(,1]-∞-D ．1(,]2-∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，||||AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，||2AB =u u u r，则AB BC ⋅=u u u r u u u r ．14.一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ． 15.若(,0)2πα∈-，1sin()43πα+=-，则sin 2cos()4απα=- ．16.设1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于A ，B ，且(,18)A m 在第一象限，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的实轴长为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列{}n a 的公差不为零，13a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11(1)n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．18.从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）； （2）若要从体重在[60,70)，[70,80)，[]80,90三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70,80)内的概率．19.如图，在三棱台111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，12AB A B =１，1B E ⊥平面ABC ，且90ACB ∠=︒. （1）证明：1//B C 平面1A DE ；（2）若36AC BC ==，1AB C ∆为等边三角形，求四棱锥111A B C ED -的体积．20.如图，椭圆W ：22221y x a b +=（0a b >>）的焦距与椭圆Ω：2214x y +=的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l 经过Ω在y 轴正半轴上的顶点B 且与直线OA （O 为坐标原点）垂直，l 与Ω的另一个交点为C ，l与W 交于M ，N 两点． （1）求W 的标准方程； （2）求||||BC MN ．21.已知函数()ln f x x x =-．（1）若曲线()y f x =在0x x =处的切线经过坐标原点，求0x 及该切线的方程；（2）设()(1)g x e x =-，若函数(),,()(),f x x a F x g x x a ≥⎧=⎨<⎩的值域为R ，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为x t y kt⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为,3x m my k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C ． （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为sin()4πρθ+=Q 为曲线1C 的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最小值．23.选修4-5：不等式选讲 已知()||f x x a =+（a R ∈）．（1）若()|23|f x x ≥+的解集为[]3,1--，求a 的值；（2）若对任意x R ∈，不等式2()||2f x x a a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．河南省2019届高三一轮复习诊断调研联考上学期联考高三数学（文）试题答案一、选择题1-5:BBDCB 6-10:CDABD 11、12：AC 二、填空题13.4- 14.6π 15.73 16.三、解答题17.解：（1）设公差为d ，由25214a a a =，得2111(4)()(13)a d a d a d +=++， 化简得212d a d =，因为0d ≠，13a =，所以6d =， 所以63n a n =-．（2）因为112(1)(63)(63)(1)(369)n n n b n n n --=--+=--，所以222222(3619)(3629)(3639)(3649)(36(21)9)n S n =⨯--⨯-+⨯--⨯-++⨯--…2(36(2)9)n -⨯-，所以222222236(1234(21)(2))n S n n =-+-++--…， 即236(1234(21)2)n S n n =-+++++-+…22(12)3636(2)2n n n n +=-⨯=-+． 18.解：（1）估计该校的100名同学的平均体重为：450.05550.35650.3750.2850.164.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由频率分布直方图可知体重在[60,70)，[70,80)，[]80,90三组内的男生人数分别为30，20，10，故这三组中通过分层抽样所抽取的人数分别为3,2,1．记体重在[60,70)的3人为a ，b ，c ，[70,80)的2人为d ，e ，[]80,90的1人为f ， 则从这6人中抽取2人的所有可能结果为：(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)a f ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c d ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，(,)d f ，(,)e f 共15种，其中体重在[70,80)至少有1人的结果有：(,)a d ，(,)a e ，(,)b d ，(,)b e ，(,)c d ，(,)c e ，(,)d e ，(,)d f ，(,)e f 共9种，故这2人中至少有1人体重在[70,80)内的概率为93155P ==． 19.（1）证明：设1AB 与1A D 相交于F ，连接EF ， 由题意可知，11//AB A B ，11AD A B =， 所以四边形11AA B D 是平行四边形， 从而F 是1AB 的中点． 又E 是AC 的中点， 所以1//EF B C ．又EF ⊂平面1A DE ，1B C ⊄平面1A DE ， 所以1//B C 平面1A DE ．（2）解：易证111////A A B D C E ，111A B C ADE -是三棱柱， 又因为1B E ⊥平面ABC ，所以1B E 是此三棱柱的高， 同理1B E 也是三棱锥1A ADE -的高． 因为36AC BC ==，1AB C ∆为等边三角形，所以3AE =，1DE =，16B E == 又11111111111233A B C ED ABC A B C A ADE V V V S B E S B E S B E ---=-=⋅-⋅=⋅，所以11123132A B C ED V -⨯=⨯⨯=20.解：（1）由题意可得2224,1,a a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩所以224,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故W 的标准方程为22143y x +=．（2）联立22221,431,4y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2236,134,13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴2219y x =，∴13OA k =，易知(0,1)B ，∴l 的方程为31y x =-+．联立2231,1,4y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得237240x x -=，∴0x =或2437，∴24|||0|3737BC =-=， 联立2231,1,43y x y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2311890x x --=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则121831x x +=，12931x x =-，∴120||31MN ==，故||||BC MN =21.解：（1）由已知得1'()1f x x =-（0x >）， 则0000ln 11x x x x -=-，所以0x e =， 所以所求切线方程为1(1)y x e=-． （2）令11'()10x f x x x-=-=>，得1x >；令'()0f x <，得01x <<． 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)1f x f ==，所以()[1,)f x ∈+∞.而()(1)g x e x =-在(,)a -∞上单调递增，所以()(,(1))g x e a ∈-∞-.欲使函数(),,()(),f x x a F x g x x a≥⎧=⎨<⎩的值域为R ，须0a >.①当01a <≤时，只须(1)1e a -≥，即11a e ≥-，所以111a e ≤≤-. ②当1a >时，()[ln ,)f x a a ∈-+∞，()(,(1))g x e a ∈-∞-， 只须ln (1)a a e a -≤-对一切1a >恒成立，即ln (2)0a e a +-≥对一切1a >恒成立， 令()ln (2)x x e x ϕ=+-(1)x >，得1(2)1'()(2)0e x x e x xϕ-+=+-=>， 所以()x ϕ在(1,)+∞上为增函数，所以()(1)20x e ϕϕ>=->，所以ln (1)a a e a -≤-对一切1a >恒成立. 综上所述：11a e ≥-. 22.解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程 1l：(y k x =，①2l：1)3y x k=，② ①⨯②消k 可得：2213x y +=， 因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为2213x y +=（0y ≠）．（2）直线2C 的直角坐标方程为80x y +-=． 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点，由于1C的参数方程为,sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈）， 所以曲线1C上的点,sin )Q αα到直线80x y +-=的距离为|2sin()8|d πα+-==， 所以当sin()13πα+=时，d的最小值为 23.解：（1）()|23|f x x =+，即|||23|x a x +≥+，平方整理得， 223(122)90x a x a +-+-≤，所以3-，1-是方程223(122)90x a x a +-+-=的两根， 所以21224,393,3a a -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩解得0a =． （2）()|||()()|2||f x x a x a x a a +-≥+--=， 因为对任意x R ∈，2()||2f x x a a a +-≥-恒成立，所以22||2a a a ≥-， 当0a ≥时，222a a a ≥-，解得04a ≤≤； 当0a <时，222a a a -≥-，此时满足条件的a 不存在， 综上可得，实数a 的取值范围是[]0,4．。

题组层级快练（三十）1.已知点A （－1，1），B （2，y ），向量a ＝（1，2），若AB →∥a ，则实数y 的值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8答案 C解析 AB →＝（3，y －1），a ＝（1，2），AB →∥a ，则2×3＝1×（y －1），解得y ＝7，故选C.2.已知M （3，－2），N （－5，－1），且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为（ ）A.（－8，1）B.（－1，－32）C.（1，32）D.（8，－1）答案 B解析 设P （x ，y ），则MP →＝（x －3，y ＋2）.而12MN →＝12（－8，1）＝（－4，12），∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32. ∴P （－1，－32）.故选B.3.如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ） A.e 1与e 1＋e 2 B.e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C.e 1＋e 2与e 1－e 2 D.e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1答案 D解析 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ（e 1＋2e 2），则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ（e 1－e 2），则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12（6e 2＋2e 1），所以两向量是共线向量.4.设向量a ＝（1，－3），b ＝（－2，4），若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为（ ） A.（1，－1） B.（－1，1） C.（－4，6）D.（4，－6）答案 D解析 由题知4a ＝（4，－12），3b －2a ＝（－6，12）－（2，－6）＝（－8，18），由4a ＋（3b －2a ）＋c ＝0，知c ＝（4，－6），选D.5.（2018·河北唐山一模）在△ABC 中，∠B ＝90°，AB →＝（1，－2），AC →＝（3，λ），则λ＝（ ） A.－1 B.1 C.32 D.4答案 A解析 在△ABC 中，∵AB →＝（1，－2），AC →＝（3，λ），∴BC →＝AC →－AB →＝（2，λ＋2）.又∵∠B ＝90°，∴AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即2－2（λ＋2）＝0，解得λ＝－1.故选A. 6.（2018·湖北襄阳模拟）设向量a ＝（m ，2），b ＝（1，m ＋1），且a 与b 的方向相反，则实数m 的值为（ ） A.－2 B.1C.－2或1D.m 的值不存在 答案 A解析 向量a ＝（m ，2），b ＝（1，m ＋1），因为a ∥b ，所以m （m ＋1）＝2×1，解得m ＝－2或1.当m ＝1时，a ＝（1，2），b ＝（1，2），a 与b 的方向相同，舍去；当m ＝－2时，a ＝（－2，2），b ＝（1，－1），a 与b 的方向相反，符合题意.故选A.7.在▱ABCD 中，若AD →＝（3，7），AB →＝（－2，3），对角线交点为O ，则CO →等于（ ） A.（－12，5）B.（－12，－5）C.（12，－5）D.（12，5）答案 B解析 CO →＝－12AC →＝－12（AD →＋AB →）＝－12（1，10）＝（－12，－5）.8.（2018·湖北襄樊一模）已知OA →＝（1，－3），OB →＝（2，－1），OC →＝（k ＋1，k －2），若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是（ ） A.k ＝－2 B.k ＝12C.k ＝1D.k ＝－1 答案 C解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →与AC →共线. 因为AB →＝OB →－OA →＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），AC →＝OC →－OA →＝（k ＋1，k －2）－（1，－3）＝（k ，k ＋1）.所以1×（k ＋1）－2k ＝0，解得k ＝1，故选C.9.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝（3，1），b ＝（1，3）.若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）答案 A解析 由题意知OC →＝（3λ＋μ，λ＋3μ），取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含（1，3），从而选A.10.（2017·安徽合肥一模）已知a ＝（1，3），b ＝（－2，k ），且（a ＋2b ）∥（3a －b ），则实数k ＝________. 答案 －6解析 ∵a ＝（1，3），b ＝（－2，k ），∴a ＋2b ＝（－3，3＋2k ），3a －b ＝（5，9－k ）.∵（a ＋2b ）∥（3a －b ），∴－3（9－k ）－5（3＋2k ）＝0，解得k ＝－6.11.已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A （1，2），B （2，1），C （4，2），则点D 的坐标为________. 答案 （2，4）解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为（x ，y ），则DC →＝（4，2）－（x ，y ）＝（4－x ，2－y ），AB →＝（2，1）－（1，2）＝（1，－1），∴（4－x ，2－y ）＝2（1，－1），即（4－x ，2－y ）＝（2，－2），∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， 故点D 的坐标为（2，4）.12.已知A （－3，0），B （0，3），O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________. 答案 1解析 由题意知OA →＝（－3，0），OB →＝（0，3），则OC →＝（－3λ，3）. 由∠AOC ＝30°知以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°， ∴tan150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.13.（2018·河北联盟二模）已知点A （1，0），B （1，3），点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝________. 答案 1解析 ∵点A （1，0），B （1，3），点C 在第二象限，OC →＝－4OA →＋λOB →，∴C （λ－4，3λ）.∵∠AOC ＝150°，∴∠COx ＝150°，∴tan150°＝3λλ－4＝－33，解得λ＝1.14.已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°.设OC →＝mOA →＋nOB →（m ，n ∈R ），则m n ＝________.答案 3解析 方法一：如图所示，∵OA →·OB →＝0，∴OB →⊥OA →.不妨设|OC →|＝2，过C 作CD →⊥OA →于D ，CE →⊥OB →于E ，则四边形ODCE 是矩形. OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OE →.∵|OC →|＝2，∠COD ＝30°，∴|DC →|＝1，|OD →|＝ 3. 又∵|OB →|＝3，|OA →|＝1， 故OD →＝ 3 OA →，OE →＝33OB →.∴OC →＝ 3 OA →＋33OB →，此时m ＝3，n ＝33.∴m n ＝333＝3.方法二：由OA →·OB →＝0知△AOB 为直角三角形，以OA ，OB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则可知OA →＝（1，0），OB →＝（0，3）.又由OC →＝mOA →＋nOB →，可知OC →＝（m ，3n ），故由tan30°＝3n m ＝33，可知mn＝3. 15.（2018·湖南长沙一模）在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 是矩形内部一点（不含边界），且AP ＝1.若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的取值范围是________. 答案 （1，2]解析 ∵在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A （0，0），B （3，0），D （0，2），∴AP →＝xAB →＋yAD →＝x （3，0）＋y （0，2）＝（3x ，2y ）.∵|AP →|＝1，∴（3x ）2＋（2y ）2＝1.令3x ＝cos θ，2y ＝sin θ，θ∈（0，π2），则3x ＋2y ＝cos θ＋sin θ＝2sin （θ＋π4），∵π4＜θ＋π4＜34π，∴22＜sin （θ＋π4）≤1，1＜3x ＋2y ≤2，即3x ＋2y 的取值范围是（1，2].16.已知A ，B ，C 三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →. （1）求E ，F 的坐标； （2）求证：EF →∥AB →.答案 （1）E （－13，23），F （73，0） （2）略解析 （1）设E ，F 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则依题意，得AC →＝（2，2），BC →＝（－2，3），AB →＝（4，－1）.∴AE →＝13AC →＝（23，23），BF →＝13BC →＝（－23，1）.∴AE →＝（x 1，y 1）－（－1，0）＝（23，23），BF →＝（x 2，y 2）－（3，－1）＝（－23，1）.∴（x 1，y 1）＝（23，23）＋（－1，0）＝（－13，23），（x 2，y 2）＝（－23，1）＋（3，－1）＝（73，0）.∴E 的坐标为（－13，23），F 的坐标为（73，0）.（2）由（1）知（x 1，y 1）＝（－13，23），（x 2，y 2）＝（73，0）.∴EF →＝（x 2，y 2）－（x 1，y 1）＝（83，－23）.又AB →＝（4，－1），∵4×（－23）－（－1）×83＝0，∴EF →∥AB →.17.已知向量a ＝（sin θ，cos θ－2sin θ），b ＝（1，2）. （1）若a ∥b ，求tan θ的值； （2）若|a |＝|b |，0＜θ＜π，求θ的值. 答案 （1）14 （2）π2或3π4解析 （1）因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.（2）由|a |＝|b |知，sin 2θ＋（cos θ－2sin θ）2＝5，所以 1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2（1－cos2θ）＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin （2θ＋π4）＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.18.（2018·潍坊二模）已知向量AB →＝（6，1），BC →＝（x ，y ），CD →＝（－2，－3）. （1）若BC →∥DA →，求x 与y 之间的关系式；（2）在（1）的条件下，若AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积. 答案 （1）x ＋2y ＝0（2）x ＝－6，y ＝3，S 四边形ABCD ＝16解析 （1）∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝（x ＋4，y －2）， ∴DA →＝－AD →＝（－x －4，2－y ）.又BC →∥DA →且BC →＝（x ，y ）， ∴x （2－y ）－y （－x －4）＝0， 即x ＋2y ＝0.①（2）由于AC →＝AB →＋BC →＝（x ＋6，y ＋1）， BD →＝BC →＋CD →＝（x －2，y －3）， 又AC →⊥BD →， ∴AC →·BD →＝0，即（x ＋6）（x －2）＋（y ＋1）（y －3）＝0.② 联立①②，化简得y 2－2y －3＝0. 解得y ＝3或y ＝－1. 故当y ＝3时，x ＝－6，此时AC →＝（0，4），BD →＝（－8，0）， 当y ＝－1时，x ＝2.此时AC →＝（8，0），BD →＝（0，－4）. ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.1.（2018·西安一模）已知向量a ＝（m －1，2），b ＝（3，m ＋4），若a ∥b ，且方向相反，则|b |＝（ ） A. 5 B.10 C.3 5 D.210答案 B思路 本题需要先利用向量共线定理（或利用向量的坐标运算），求出参数m 的值（注意向量a ，b 方向相反），再根据向量模的计算公式进行求解. 解析 方法一：依题意可设a ＝t b （t ＜0），则（m －1，2）＝t （3，m ＋4），所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝3t ，2＝t （m ＋4），解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－2，m ＝－5.从而b ＝（3，－1），所以|b |＝10.故选B.方法二：因为a ∥b ，所以（m －1）（m ＋4）－6＝0， 解得m ＝－5或m ＝2.根据向量a ，b 方向相反可知，m ＝－5符合题意. 从而b ＝（3，－1），所以|b |＝10.故选B.2.在平面直角坐标系中，点O （0，0），P （6，8），将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是（ ） A.（－72，－2） B.（－72，2） C.（－46，－2） D.（－46，2）答案 A解析 设OP →与x 轴正半轴的夹角为θ，则cos θ＝35，sin θ＝45，则由三角函数定义，可得OQ→＝（|OP →|cos （θ＋3π4），|OP →|sin （θ＋3π4））.∵|OP →|cos （θ＋3π4）＝62＋82×（cos θcos 3π4－sin θsin 3π4）＝10×[35×（－22）－45×22]＝－72，|OP →|sin （θ＋3π4）＝62＋82×（sin θcos 3π4＋cos θsin 3π4）＝10×[45×（－22）＋35×22]＝－2，∴OQ →＝（－72，－2）， 即点Q 的坐标为（－72，－2）.3.（2018·吉林普通高中二模）在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ，点D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋（1－t ）CB →.若∠ACD ＝60°，则t 的值为（ ） A.3－12 B.3－1 C.3－22D.3＋12答案 A解析 ∵CD →＝tCA →＋（1－t ）CB →，∴A ，B ，D 三点共线.由题意建立如图所示的直角坐标系，设AC ＝BC ＝1，则C （0，0），A （1，0），B （0，1）.直线AB 的方程为x ＋y ＝1，直线CD 的方程为y ＝3x ，联立解得x ＝3－12，y ＝3－32，∴D （3－12，3－32），∴CD →＝（3－12，3－32）.∵CA →＝（1，0），CB →＝（0，1），∴tCA →＋（1－t ）CB →＝（t ，1－t ），∴（3－12，3－32）＝（t ，1－t ），解得t ＝3－12.故选A. 4.与直线3x ＋4y ＋5＝0的方向向量共线的一个单位向量是（ ） A.（3，4）B.（4，－3）C.（35，45）D.（45，－35）答案 D5.若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝（2，－1），则a ＝________. 答案 （－1，1）或（－3，1）解析 设a ＝（x ，y ），∵b ＝（2，－1），则a ＋b ＝（x ＋2，y －1），∵a ＋b 平行于x 轴，∴y －1＝0，y ＝1，故a ＋b ＝（x ＋2，0），又∵|a ＋b |＝1，∴|x ＋2|＝1，∴x ＝－1或x ＝－3，∴a ＝（－1，1）或a ＝（－3，1）.。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设四面体的六条棱的长分别为和a 且长为a的棱异面,则a 的取值范围是（ ）A． B．C．D．（2012重庆文）2．变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是 A. ( 4.5 ,3 ) B. ( 3,6 ) C. ( 9, 2 ) D. ( 6, 4 ) (2004广东理)3．若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ= （A ）35 （B ）45 （C（D ）34二、填空题4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 （ ）A ．球B ．三棱柱C ．正方形D ．圆柱（2012福建理）5．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 .6．一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形， 边长如右图所示，那么该几何体的体积为 ▲ ．7．设两个向量1e 、2e 满足|1e |=2，|2e |=1，1e 与2e 的夹为600，若向量2172e e m +=λ与向量21e e n λ+=的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___ ____.8．函数2log (32)x y -=的定义域是 .9．已知等差数列{a n }中，a 11＝10，则此数列前21项的和S 21＝ ▲ ．10． 某算法的伪代码如右：则输出的结果是 ▲ ．11．函数y =________________________12．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…，叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为 ．13．幂函数()x f 的图象过点()2,2，则其解析式()=x f .14．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足931,,a a a 成等比数列，{}n S 为数列 {}n a 的前n 项和，则67911S S S S --的值是 ▲ .15．已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()l g f x x =．若第4635(),(),()522a fb fc f ===，则将,,a b c 从小到大．．．．排列为 ▲ ．16．若方程232x x =-的实根在区间(),m n 内，且,,1m n Z n m ∈-=，则=+n m ▲ 。

专题层级快练（七十三）1.（2018·重庆一中期中）当曲线y ＝－4－x 2与直线kx －y ＋2k －4＝0有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是（ ） A.（0，34）B.（512，34]C.（34，1]D.（34，＋∞）答案 C解析 曲线y ＝－4－x 2表示圆x 2＋y 2＝4的下半部分，直线kx －y ＋2k －4＝0过定点（－2，－4）.由|2k －4|k 2＋1＝2，解得k ＝34，所以过点（－2，－4）且斜率k ＝34的直线y ＝34x －52与曲线y ＝－4－x 2相切，如图所示.过点（－2，－4）与点（2，0）的直线的斜率为－4－0－2－2＝1.所以曲线y ＝－4－x 2与直线kx －y ＋2k ＝0有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是（34，1].故选C.2.设抛物线x 2＝2py （p ＞0），M 为直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ，记A ，B ，M 的横坐标分别为x A ，x B ，x M ，则（ ） A.x A ＋x B ＝2x M B.x A ·x B ＝x M 2 C.1x A ＋1x B ＝2x M D.以上都不对答案 A解析 由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，所以y ′＝x p ，所以直线MA 的方程为y ＋2p ＝x Ap（x －x M ），直线MB 的方程为y ＋2p ＝x B p （x －x M ），所以x A 22p ＋2p ＝x A p （x A －x M ） ①，x B 22p ＋2p ＝x Bp （x B－x M ） ②，由①②可得x A ＋x B ＝2x M ，故选A.3.（2016·浙江，文）设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 答案 （27，8）解析 由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为（27，8）.4.已知圆C 的半径为2，圆心在直线y ＝－x ＋2上，E （1，1），F （1，－3），若圆上存在点Q ，使|QF|2－|QE|2＝32，则圆心的横坐标a 的取值范围为________. 答案 [－3，1]解析 根据题意，可设圆C 的方程为（x －a ）2＋（y ＋a －2）2＝4，设Q （x ，y ），由|QF|2－|QE|2＝32，得到（x －1）2＋（y ＋3）2－（x －1）2－（y －1）2＝32，得y ＝3，故点Q 在直线y ＝3上，又点Q 在圆（x －a ）2＋（y ＋a －2）2＝4上，所以圆C 与直线y ＝3必须有公共点.因为圆心的纵坐标为－a ＋2，半径为2，所以圆C 与直线y ＝3有公共点的充分条件是1≤－a ＋2≤5，即－3≤a ≤1.所以圆心的横坐标a 的取值范围是[－3，1].5.（2018·江西红色七校二模）已知椭圆的焦点坐标为F 1（－1，0），F 2（1，0），过F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ|＝3. （1）求椭圆的方程；（2）过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，则△F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 答案 （1）x 24＋y 23＝1 （2）存在，最大值为9π16解析 （1）设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），由焦点坐标可得c ＝1，由|PQ|＝3，可得2b 2a ＝3.又a 2－b 2＝1，解得a ＝2，b ＝3， 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），不妨设y 1＞0，y 2＜0.设△F 1MN 的内切圆的半径为R. 则△F 1MN 的周长为4a ＝8，S △F 1MN ＝12（|MN|＋|F 1M|＋|F 1N|）R ＝4R.因此，S △F 1MN 最大，R 就最大，△F 1MN 的内切圆的面积就最大. 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，得（3m 2＋4）y 2＋6my －9＝0， 则y 1＝－3m ＋6m 2＋13m 2＋4，y 2＝－3m －6m 2＋13m 2＋4，则S △F 1MN ＝12|F 1F 2|（y 1－y 2）＝y 1－y 2＝12m 2＋13m 2＋4.令t ＝m 2＋1，t ≥1，则S △F 1MN ＝12m 2＋13m 2＋4＝12t 3t 2＋1＝123t ＋1t. 令f （t ）＝3t ＋1t ，则f ′（t ）＝3－1t2，当t ≥1时，f ′（t ）≥0，f （t ）在[1，＋∞）上单调递增，则f （t ）≥f （1）＝4，S △F 1MN ≤3，且当t ＝1，即m ＝0时，（S △F 1MN ）max ＝3.∵S △F 1MN ＝4R ，∴R max ＝34，这时所求内切圆面积的最大值为916π.故直线l 的方程为x ＝1时，△F 1MN 内切圆的面积取得最大值916π.6.（2018·安徽六安二模）设点P 是圆x 2＋y 2＝4上的任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，动点M 满足 3 PD →＝2MD →，过定点Q （0，2）的直线l 与动点M 的轨迹交于A ，B 两点.（1）求动点M 的轨迹方程；（2）在y 轴上是否存在点E （0，t ），使|EA|＝|EB|？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案 （1）x 24＋y 23＝1 （2）存在，t ∈（－12，0]解析 （1）设点M 的坐标为（x ，y ），点P 的坐标为（x p ，y p ），则点D 的坐标为（x p ，0），由 3 PD →＝2MD →，得⎩⎪⎨⎪⎧x p ＝x ，y p ＝233y.∵点P 在圆上，∴x 2＋（233y ）2＝4，即x 24＋y 23＝1，∴点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，当E 与原点重合，即t ＝0时，满足|EA|＝|EB|.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 24＋y 23＝1，消去y ，得（3＋4k 2）x 2＋16kx ＋4＝0，则由Δ＝（16k ）2－16（3＋4k 2）＞0，得|k|＞12.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3.∵|EA|＝|EB|，∴（EA →＋EB →）·AB →＝0.又EA →＋EB →＝（x 1＋x 2，k （x 1＋x 2）＋4－2t ），AB →＝（x 2－x 1，k （x 2－x 1）），∴（x 2－x 1，k （x 2－x 1））·（x 1＋x 2，k （x 1＋x 2）＋4－2t ）＝0，展开化简，得（1＋k 2）·（x 1＋x 2）＋4k －2kt ＝0，将x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3代入化简，得t ＝－24k 2＋3，又|k|＞12，∴t ＝－24k 2＋3∈（－12，0）.综上，存在符合题意的点E ，且实数t 的取值范围为（－12，0].7.（2018·贵州贵阳考试）已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，准线l 与x 轴的交点为P ，过点P 且斜率为k 的直线m 交抛物线于不同的两点A ，B. （1）若|AF|＋|BF|＝8，求线段AB 的中点Q 到准线的距离；（2）E 上是否存在一点M ，满足PA →＋PB →＝PM →？若存在，求出直线m 的斜率；若不存在，请说明理由.答案 （1）4 （2）不存在解析 （1）由抛物线E 的方程为y 2＝4x ， 可得F （1，0），准线l ：x ＝－1，P （－1，0）.过点A 作AA ′⊥l ，过点B 作BB ′⊥l ，垂足分别为A ′，B ′. 由抛物线的定义得|AF|＝|AA ′|，|BF|＝|BB ′|， ∴由|AF|＋|BF|＝8得|AA ′|＋|BB ′|＝8. 过AB 的中点Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 故QQ ′是直角梯形AA ′B ′B 的中位线， ∴|QQ ′|＝|AA ′|＋|BB ′|2＝82＝4，即线段AB 的中点Q 到准线的距离为4.（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x ，y ），则PA →＋PB →＝（x 1＋1，y 1）＋（x 2＋1，y 2）＝（x 1＋x 2＋2，y 1＋y 2）＝（x ＋1，y ）＝PM →，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋2＝x ＋1，y 1＋y 2＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝x －1，y 1＋y 2＝y. 设直线m 的方程为y ＝k （x ＋1），联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，k ≠0，得k 2x 2＋（2k 2－4）x ＋k 2＝0，∴Δ＝（2k 2－4）2－4k 4＝16－16k 2＞0，x 1＋x 2＝4－2k 2k2.∴4－2k 2k 2＝x －1，∴x ＝4－k 2k2.∴y 1＋y 2＝k （x 1＋x 2）＋2k ＝k·4－2k 2k 2＋2k ＝4k .∴y ＝4k .∴M （4－k 2k 2，4k）.∵点M 在抛物线上，∴（4k ）2＝4·4－k 2k2，即16k 2＝16k 2－4，此方程无解. ∴不存在满足条件的点M.8.（2018·吉林普通中学第一次调研）如图，已知椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1（0＜b ＜2），点P （0，1）在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－2. （1）求椭圆E 的方程及离心率；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点，是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 答案 （1）x 24＋y 22＝1 e ＝12（2）λ＝1时，定值为－3解析 （1）由已知，点C ，D 的坐标分别为（0，－b ），（0，b ）. 又点P 的坐标为（0，1），且PC →·PD →＝－2，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－2，a 2－b 2＝c 2，解得c ＝1，b ＝ 3.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.因为c ＝1，a ＝2，所以离心率e ＝12.（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，点A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1，得（4k 2＋3）x 2＋8kx －8＝0.其判别式Δ＞0，所以x 1＋x 2＝－8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3.从而OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋（y 1－1）（y 2－1）] ＝（1＋λ）（1＋k 2）x 1x 2＋k （x 1＋x 2）＋1 ＝－8（1＋λ）（1＋k 2）－4k 2＋34k 2＋3＝4－2λ4k 2＋3－2λ－3. 所以当λ＝2时，4－2λ4k 2＋3－2λ－3＝－7，即OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－7为定值.当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 即直线CD.此时OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋2PC →·PD →＝－3－4＝－7. 故存在常数λ＝2，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－7.1.已知抛物线y 2＝2px （p ＞0），O 是坐标原点，F 是抛物线的焦点，P 是抛物线上一点，则使得△POF 是直角三角形的点P 共有（ ） A.0个 B.2个 C.4个 D.6个答案 B解析 当∠OFP 为直角时，作出图形如图所示，过焦点F 作PF ⊥x 轴，交抛物线于点P ，P ′，则△OFP ，△OFP ′都是直角三角形.显然∠POF 不可能为直角.若∠OPF ＝90°，易知F （p 2，0），设P （y 22p，y ），可得OP→＝（y 22p ，y ），FP →＝（y 22p －p 2，y ），∴OP →·FP →＝y 22p （y 22p －p 2）＋y 2＝y 44p 2＋3y 24.∵y 44p 2＞0，3y 24＞0，∴OP →·FP →＞0，∴cos ∠OPF ＞0，∴∠OPF 为锐角，不可能为直角.综上，使得△POF 是直角三角形的点P 有且有2个.2.（2018·江苏盐城中学摸底）命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2外角的平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值.类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0），F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值________. 答案 内角平分线 a解析 ∵F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2外角的平分线的垂线，垂足为M ，∴点F 2关于∠F 1PF 2的外角平分线PM 的对称点Q 在F 1P 的延长线上，|F 1Q|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a （椭圆长轴长），又OM 是△F 2F 1Q 的中位线，故|OM|＝a.不妨设点P 在双曲线右支上，当过F 2作∠F 1PF 2的内角平分线的垂线，垂足为M 时，点F 2关于∠F 1PF 2的内角平分线PM 的对称点Q 在PF 1上，|F 1Q|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又OM 是△F 2F 1Q 的中位线，故|OM|＝a.3.（2018·海南海口三模）已知椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1（a ＞1）的左、右焦点分别为F 1（－c ，0），F 2（c ，0），P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最小值为0. （1）求椭圆C 的方程；（2 ）若动直线l 1，l 2均与椭圆C 相切，且l 1∥l 2，试探究在x 轴上是否存在定点B ，使得点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案 （1）x 22＋y 2＝1 （2）略解析 （1）设P （x ，y ），则有F 1P →＝（x ＋c ，y ），F 2P →＝（x －c ，y ）， PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2＝（a 2－1）x 2a 2＋1－c 2，x ∈[－a ，a]， 由PF 1→·PF 2→的最小值为0，得1－c 2＝0，∴c ＝1，a 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.（2）①当直线l 1，l 2斜率存在时，设其方程分别为y ＝kx ＋m ，y ＝kx ＋n ， 把l 1的方程代入椭圆方程得（1＋2k 2）x 2＋4mkx ＋2m 2－2＝0. ∵直线l 1与椭圆C 相切，Δ＝16k 2m 2－4（1＋2k 2）（2m 2－2）＝0， 化简得m 2＝1＋2k 2，同理，n 2＝1＋2k 2，∴m 2＝n 2.若m ＝n ，则l 1，l 2重合，不合题意，∴m ＝－n. 设在x 轴上存在点B （t ，0），点B 到直线l 1，l 2的距离之积为1， 则|kt ＋m|k 2＋1·|kt －m|k 2＋1＝1，即|k 2t 2－m 2|＝k 2＋1， 把1＋2k 2＝m 2代入并去绝对值，整理得k 2（t 2－3）＝2或k 2（t 2－1）＝0，前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k ∈R 恒成立，则t 2－1＝0，解得t ＝±1.②当直线l 1，l 2斜率不存在时，其方程为x ＝2和x ＝－2，定点（－1，0）或（1，0）到直线l 1，l 2的距离之积为（2＋1）·（2－1）＝1， 综上所述，满足题意的定点B 为（－1，0）和（1，0）.4.（2018·吉林一中二模）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与直线x －2y ＋4＝0相切. （1）求该抛物线的方程；（2）在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，使得1|AM|2＋1|BM|2为定值？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由. 答案 （1）y 2＝8x （2）略解析 （1）联立方程，有⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－22py ＋8p ＝0，由直线与抛物线相切，得Δ＝8p 2－32p ＝0，解得p ＝4.所以抛物线的方程为y 2＝8x.（2）假设存在满足条件的点M （m ，0）（m ＞0）.直线l ：x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝8x ，得y 2－8ty －8m ＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），有y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝－8m. |AM|2＝（x 1－m ）2＋y 12＝（t 2＋1）y 12， |BM|2＝（x 2－m ）2＋y 22＝（t 2＋1）y 22.1|AM|2＋1|BM|2＝1（t 2＋1）y 12＋1（t 2＋1）y 22＝1t 2＋1·y 12＋y 22y 12y 22＝1t 2＋1·4t 2＋m 4m 2， 当m ＝4时，1|AM|2＋1|BM|2为定值，所以M （4，0）.5.（2018·浙江温州第一次考试）如图，动圆C 过点F （1，0），且与直线x ＝－1相切于点P.（1）求圆C 的轨迹Γ的方程；（2）过点F 任作一直线交轨迹Γ于A ，B 两点，设PA ，PF ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：k 1＋k 3k 2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 答案 （1）y 2＝4x （2）定值为2解析 （1）由题意，圆心C 到点F （1，0）的距离与到直线x ＝－1的距离相等. 由抛物线的定义，可知圆心C 的轨迹是以F （1，0）为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线，其中p2＝1，所以p ＝2.故圆心C 的轨迹Γ的方程是y 2＝4x.（2）设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，整理得y 2－4my －4＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 设P （－1，t ），则k 1＝y 1－t x 1－（－1）＝y 1－t my 1＋2，k 3＝y 2－t my 2＋2，k 2＝t －1－1＝－t2.k 1＋k 3＝（y 1－t ）（my 2＋2）＋（y 2－t ）（my 1＋2）（my 1＋2）（my 2＋2）＝2my 1y 2＋（2－tm ）（y 1＋y 2）－4tm 2y 1y 2＋2m （y 1＋y 2）＋4＝2m （－4）＋（2－tm ）·4m －4t m 2（－4）＋2m·4m ＋4＝－4t （m 2＋1）4（m 2＋1）＝－t ，则k 1＋k 3k 2＝－t －t2＝2，故k 1＋k 3k 2为定值，定值为2.。

题组层级快练（六十七）1.抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是（ ）A.2B.1C.12D.14答案 D解析 抛物线标准方程x 2＝2py （p ＞0）中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14，故选D.2.过点P （－2，3）的抛物线的标准方程是（ ） A.y 2＝－92x 或x 2＝43yB.y 2＝92x 或x 2＝43yC.y 2＝92x 或x 2＝－43yD.y 2＝－92x 或x 2＝－43y答案 A解析 设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P （－2，3），解得k ＝－92，m ＝43，∴y 2＝－92x 或x 2＝43y ，选A.3.若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是（0，1），则a ＝（ ） A.1 B.12 C.2 D.14答案 D解析 因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为（0，14a ），则有14a ＝1，a ＝14，故选D.4.若抛物线y 2＝2px 上一点P （2，y 0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ） A.y 2＝4x B.y 2＝6x C.y 2＝8x D.y 2＝10x 答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p2.∵点P （2，y 0）到其准线的距离为4，∴|－p2－2|＝4.∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x.5.已知点A （－2，3）在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A.－43B.－1C.－34D.－12答案 C解析 因为点A 在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点F （2，0），所以k AF ＝3－0－2－2＝－34.6.（2018·衡水中学调研卷）若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为（ ） A.y 2＝4xB.y 2＝36xC.y 2＝4x 或y 2＝36xD.y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P （x 0，±6）.因为P 到抛物线的焦点F （p2，0）的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10 ①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x.7.（2016·课标全国Ⅰ）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B解析 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px （p ＞0），由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A （4p ，22），D （－p 2，5），设O 为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.8.（2018·吉林长春调研测试）已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是（ ） A.355B.2C.115D.3 答案 B解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F （1，0），则动点P 到l 2的距离等于|PF|，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2，故选B.9.点A 是抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6答案 C解析 求抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝b a x ，解得⎩⎨⎧x ＝2pa 2b 2，y ＝2pa b，所以2pa 2b 2＝p 2，c 2＝5a 2，e ＝5，故选C.10.（2013·课标全国Ⅱ，理）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（ ） A.y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C.y 2＝4x 或y 2＝16x D.y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 方法一：设点M 的坐标为（x 0，y 0），由抛物线的定义，得|MF|＝x 0＋p 2＝5，则x 0＝5－p 2. 又点F 的坐标为（p 2，0），所以以MF 为直径的圆的方程为（x －x 0）（x －p2）＋（y －y 0）y＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即y 022－4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由y 02＝2px 0，得16＝2p （5－p2），解之得p ＝2或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.故选C.方法二：由已知得抛物线的焦点F （p 2，0），设点A （0，2），抛物线上点M （x 0，y 0），则AF→＝（p 2，－2），AM →＝（y 022p，y 0－2）.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 02－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M （8p，4）.由抛物线定义可知：|MF|＝8p ＋p2＝5.又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，故选C.11.（2018·合肥质检）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为（ ） A.± 3 B.±1 C.±34D.±33答案 A解析 设M （x M ，y M ），由抛物线定义可得|MF|＝x M ＋p 2＝2p ，解得x M ＝3p2，代入抛物线方程可得y M ＝±3p ，则直线MF 的斜率为y M x M －p 2＝±3pp ＝±3，选项A 正确.12.（2018·太原一模）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝（ ）A.0B.1C.2D.2p 答案 A解析 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），F （p 2，0），则（x 1－p 2，y 1）＋（x 2－p2，y 2）＋（x 3－p 2，y 3）＝（0，0），故y 1＋y 2＋y 3＝0.∵1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p（y 22－y 12）y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 12p ，∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝2（y 1＋y 2＋y 3）2p＝0.13.（2018·河南新乡第一次调研）经过抛物线y 2＝8x 的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半径为________. 答案 3解析 圆心是x ＝1与抛物线的交点.r ＝1＋2＝3.14.（2018·福建闽侯三中期中）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°（O 为坐标原点）时，|PF|＝________. 答案 43解析 设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233.设P （x 0，y 0），则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF|＝|PA|＝y 0＋1＝43.15.已知定点Q （2，－1），F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，动点P 为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P 的坐标为________. 答案 （14，－1）解析 设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即D ，P ，Q 三点共线时|PQ|＋|PF|最小.将Q （2，－1）的纵坐标代入y 2＝4x 得x ＝14，故P 的坐标为（14，－1）.16.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米. 答案 2 6解析 建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为x 2＝－2py （p ＞0），由点（2，－2）在抛物线上，可得p ＝1，则抛物线方程为x 2＝－2y. 当y ＝－3时，x ＝±6， 所以水面宽为2 6 米.17.抛物线y 2＝2px （p ＞0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程. 答案 y 2＝4x解析 设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ； 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为（8p ，－4p ）.∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝513， ∴⎝⎛⎭⎫p24＋p 2＋（64p 2＋16p 2）＝325. ∴p ＝2，∴所求的抛物线方程为y 2＝4x.18.（2018·上海春季高考题）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC ⊥AB 于C ，AB ＝3米，OC ＝4.5米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）. 答案 （1）14（2）9.59°解析 （1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为y 轴，建系.∴B （1.5，－4.5）. 设抛物线方程为x 2＝－2py. 点B （1.5，－4.5）在抛物线上. ∴p ＝14.∴焦点到准线距离为14.（2）如图，C 为DE 中点，OC ∥SD ，∴O 为SE 中点.SC ⊥DE ，OC ＝4.5，∴SE ＝2OC ＝9. DE ＝AB ＝3，∴CE ＝1.5.∴sin ∠CSE ＝CE SE ＝1.59≈0.167.∴∠SCE ≈9.59°.∴圆锥的母线与轴的夹角约为9.59°.1.抛物线y ＝4x 2关于直线x －y ＝0对称的抛物线的准线方程是（ ） A.y ＝－1 B.y ＝－116C.x ＝－1D.x ＝－116答案 D解析 抛物线x 2＝14y 的准线方程为y ＝－116，关于x ＝y 对称的准线方程x ＝－116为所求.2.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A.172B.3C. 5D.92 答案 A解析 抛物线y 2＝2x 的焦点为F （12，0），准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点（0，2）的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点（0，2）的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F 到点（0，2）的距离，因此所求的最小值等于（12）2＋（－2）2＝172，选A. 3.抛物线y ＝4ax 2（a ≠0）的焦点坐标是（ ） A.（0，a ） B.（a ，0） C.（0，116a ）D.（116a，0） 答案 C解析 抛物线方程化标准方程为x 2＝14a y ，焦点在y 轴上，焦点为（0，116a）.4.已知点A （－2，3）在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A.12B.23C.34D.43答案 D解析 先确定切线的方程，再联立方程组求解.抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A （－2，3）在准线上，所以－p2＝－2，即p＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F （2，0）.设切线方程为y －3＝k （x ＋2），代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0（k ≠0）①.由于Δ＝1－4×k 8·（2k ＋3）＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为（8，8），所以直线BF 的斜率为86＝43.5.（2018·海口一模）过点F （0，3）且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为（ ） A.y 2＝12x B.y 2＝－12x C.x 2＝－12y D.x 2＝12y答案 D6.（2018·湖北黄冈中学检测）若坐标原点到抛物线y ＝mx 2的准线的距离为2，则实数m ＝（ ） A.8 B.±8 C.±14D.±18答案 D解析 x 2＝1m y ，故由题意可得14|m|＝2，所以m ＝±18.7.（2018·江西吉安一中期中）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，其上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）满足|AF|－|BF|＝2，则y 1＋x 12－y 2－x 22＝（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 答案 D解析 ∵|AF|－|BF|＝2，∴y 1＋1－（y 2＋1）＝2，∴y 1－y 2＝2，所以y 1＋x 12－y 2－x 22＝5（y 1－y 2）＝10，故选D.8.（2018·云南昆明适应性检测）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A ，B 在C 上，且点F 是△AOB 的重心，则cos ∠AFB 为（ ） A.－35B.－78C.－1112D.－2325答案 D解析 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由重心坐标公式得x 1＋x 23＝p2，y 1＋y 2＝0，故A ，B关于x 轴对称，则x 1＝x 2＝34p ，所以|AF|＝|BF|＝34p ＋p 2＝54p ，|AB|2＝6p 2，所以由余弦定理可得cos ∠AFB ＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22|AF||BF|＝－2325，故选D.9.（2018·湖南郴州第二次质检）已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px （p ＞0）上，则这个正三角形的边长为（ ） A.23p B.2p C.43p D.4p答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px 关于x 轴对称，∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px （p ＞0）上，则A ，B 关于x 轴对称，如图所示，∴直线OA 的倾斜角为30°，斜率为33，∴直线OA 的方程为y ＝33x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，y 2＝2px ，得⎩⎨⎧x ＝6p ，y ＝23p ，∴A （6p ，23p ），则B （6p ，－23p ），∴|AB|＝43p ，∴这个正三角形的边长为43p.故选C.10.（2016·浙江，理）若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________. 答案 9解析 由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），准线为x ＝－1，设点M 的坐标为（x ，y ），则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9.11.在抛物线y 2＝4x 上找一点M ，使|MA|＋|MF|最小，其中A （3，2），F （1，0），求M 点的坐标及此时的最小值. 答案 M （1，2），最小值为4解析 如图点A 在抛物线y 2＝4x 的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为M 到抛物线的准线的距离.过A 作抛物线准线的垂线交抛物线于M 1，垂足为B ， 则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M 在M 1的位置时等号成立. 此时M 1点的坐标为（1，2）.12.（2018·黑龙江大庆一模）已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线y 2＝4x 的准线相切，则m＝________. 答案 34解析 圆x 2＋y 2＋mx －14＝0圆心为（－m2，0），半径r ＝m 2＋12，抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1.由|－m 2＋1|＝m 2＋12，得m ＝34.13.一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形的面积为363，则a ＝________. 答案 ±2 3解析 设正三角形边长为x ，则363＝12x 2sin60°.∴x ＝12.当a ＞0时，将（63，6）代入 y 2＝ax 得a ＝2 3.当a ＜0时，将（－63，6）代入 y 2＝ax 得a ＝－23，故a ＝±2 3.14.已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________. 答案 2解析 y ＝ax 2－1变形为x 2＝1a （y ＋1），此抛物线焦点坐标为（0，14a －1），由题意14a －1＝0，∴a ＝14.∴抛物线为y ＝14x 2－1，令y ＝0，得x ＝±2，如图.顶点A （0，－1），|BC|＝4. ∴S △ABC ＝12|BC|·|AF|＝12×4×1＝2.15.（2017·湖北恩施一中开学考）长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值是________.答案 34解析 设抛物线y 2＝x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B ，M 在l 上的射影分别为点C ，D ，N ，连接AC ，BD ，MN ，如图.由梯形的中位线定理，可得|MN|＝12（|AC|＋|BD|）.连接AF ，BF ，根据抛物线的定义得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|.根据平面几何知识，可得|AF|＋|BF|≥|AB|，当且仅当点F 在AB 上时取等号，∴|AC|＋|BD|≥|AB|＝2，∴|MN|＝12（|AC|＋|BD|）≥12|AB|＝1. 设点M 的横坐标为a ，抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14，则 |MN|＝a ＋14≥1，解得a ≥34. 因此，当且仅当线段AB 为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点M 到y 轴的距离最小，为34. 16.过点M （2，－2p ）作抛物线x 2＝2py （p ＞0）的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，求抛物线方程.答案 x 2＝2y 或x 2＝4y解析 x 2＝2py 变形为y ＝12px 2，∴y ′＝x p.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴y ′|x ＝x 1＝x 1p. ∴切线AM 方程为y －y 1＝x 1p（x －x 1）. 即y ＝x 1p x －x 122p .同理BM 方程为y ＝x 2p x －x 222p. 又（2，－2p ）在两条直线上，∴－2p ＝2x 1p －x 122p ，－2p ＝2x 2p －x 222p. ∴x 1，x 2是方程x 22p －2x p－2p ＝0的两根. 即x 2－4x －4p 2＝0.∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.∴y 1＋y 2＝12p（x 12＋x 22） ＝12p [（x 1＋x 2）2－2x 1x 2]＝12p（16＋8p 2）. 又∵线段AB 中点纵坐标为6，∴y 1＋y 2＝12，即12p（16＋8p 2）＝12.解得p＝1或p＝2.∴抛物线方程为x2＝2y或x2＝4y.。

2019年5月武昌区高2019届高2016级高三年级调研考试理科数学及参考答案一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.复数z= 在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知非空集合A={x|m-l≤x≤2m},B={x|x2 -3x-4<0},且A B,则实数m的取值范围是A.[-1,0]B.[-1,2]C.[0,2]D.[1,2]3.已知a=, b=, c=,则a,b,c的大小关系是A. a>b>cB.b>a>cC. b>c>aD.c>b>a4.两对夫妻排成一排照相,仅有一对夫妻相邻的概率为A. B. C. D.5.如图,某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为A. B. C. D.36.(2-x)(l+x)5展开式中x2的系数为A.15B.16C.24D.327.一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去, 各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂的只数为A. 36B.216C. 46 656D. 55 9868.已知F1,F2分别为双曲线C: =1（a>0,b>0)的左,右焦点,点P是C右支上一点,若=0,且,则C的离心率为A.5B.4C.D.9.将函数的图像向左平移2个单位,得到函数y=g(x)的图像,当时,g(x)的最小值为A. B.0 C. D.10.已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球D的球面上,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD=AB=2,则球O的表面积为A. B. C. D.11.已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点,且∠AOB= ,若(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为A.[一2,2]B.(1, ]C.[1, ]D.[1,2]12.已知A,B是函数f(x)= 图象上不同的两点,若函数y=f(x)在点A、B处的切线重合,则实数口的取值范围是A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数(0,1)xy a a a a =->≠的图象可能是（2012四川文） [答案]C[解析]采用特殊值验证法. 函数(0,1)xy a a a a =->≠恒过(1,0),只有C 选项符合. 2．对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是（ ）A.“bc ac >”是“b a >”的必要条件B.“bc ac =”是“b a =”的必要条件C.“bc ac >”是“b a >”的充分条件D.“bc ac =”是“b a =”的充分条件（2005）3．设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是（ ）(A)a b = (B)2a b =(C)//a b (D)a b -与b 垂直（2010安徽文3)4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（2006江苏）5．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>， D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，（2007山东文7）6．若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan6a π的值为（ ） A ．0 B ．．1 D（2011山东理3） 7．已知321,,ααα是三个相互平行的平面．平面21,αα之间的距离为1d ，平面32,αα之间的距离为2d ．直线l 与分别321,,ααα相交于321,,P P P 那么“3221P P P P =”是“21d d =”的条件.（选择填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也 不必要”之一）二、填空题8． 三棱锥V-ABC 的三条侧棱两两垂直，M 为底面△ABC 上的一点，且M 到三个侧面的距离分别为2cm 、3cm 、6cm ，则点M 到棱锥顶点V 的距离为 .9．cos20cos40cos80︒-︒-︒的值为_______________.10．已知向量(cos ,sin )(0)OA λαλαλ=≠，(sin ,cos )OB ββ=-，其中O 为坐标原点，若||2||BA OB ≥对任意实数α、β都成立，则实数λ的取值范围是 ▲ .11．已知()f x 为偶函数，0x >时()2xf x x =-；则0x <时()f x =___ ▲ ．12．复数2i1iz =-(i 为虚数单位)的实部是 ★ .13．一个调查机构就某地居民的月收入调查 了10000人，将所得数据分成如下六组：[1000,1500), [1500,2000), [2000,2500), [2500,3000), [3000,3500), [3500,4000),（第12题元)相应的频率分布直方图如图所示．若按月 收入将这10000人也分成上述六组，并通 过分层抽样抽出100人作进一步调查，则[3000,3500)这一组中应抽出 人．14． 若346n nA C =，则n 的值为 ▲ ．15．函数f(x)的定义域为(a,b)，导函数f '(x)在(a,b) 的图象如图示，则函数f(x)在(a,b)内极小值点的 个数为_____________.16．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆222 1 (1)x y a a+=>上，其中0 1A （，）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ▲ ．17．若,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，则222()a b a b x y x y ++≥+，当且仅当a b x y=时取“＝”，利用以上结论，则函数291(),(0,)122f x x x x =+∈-取得最小值时x 的值为 .（18．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+,若存在两项,m n a a 使得1144,a m n=+则的最小值为 .19．在ABC ∆中，如果4:3:2::=c b a ，那么C cos = ▲20．设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x =++, 若()1f x a ≥+对一切．．0x ≥成立,则a 的取值范围为 ▲ ．21． 若一组数据1x ，2x ，3x ，…，10x 的方差为2，则13(2)x -，23(2)x -，…，103(2)x -的方差为 ▲ ．第1022．（2013年高考浙江卷（文））从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于_________.23．设p ：实数x 满足22430,0,x ax a a -+<<其中q ：实数x 满足2280,x x +->且p q ⌝⌝是的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为____________。

单元检测十三推理与证明、算法、复数考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是()A．1 B．－1C. 2 D．－ 22．用反证法证明命题：“已知a，b，c，d∈R，若a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时应假设()A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0D．a，b，c，d中至多有一个负数3．执行如图所示的程序框图，若输出的值是13，则判断框内应为()A．k＜6? B．k≤6?C．k＜7? D．k≤7?4．观察下列等式23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19,53＝21＋23＋25＋27＋29，…，类比上面各式将m3分拆所得到的等式右边的最后一个数是109，则正整数m等于()A ．9B ．10C ．11D ．125．(2017·衡水联考)欧拉在1748年给出了著名公式e i θ＝cos θ＋isin θ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.718 28…，根据欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ，任何一个复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，都可以表示成z ＝r e i θ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z 1＝2eπi 3，z 2＝eπi2，则复数z ＝z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．(2018·安徽十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，满足x 2＋y 2≤1，x ≥0，y ≥0的点P (x ，y )的集合对应的平面图形的面积为π4；类似地，在空间直角坐标系Oxyz 中，满足x 2＋y 2＋z 2≤1，x ≥0，y ≥0，z ≥0的点P (x ，y ，z )的集合对应的空间几何体的体积为( ) A.π8 B.π6 C.π4 D.π37．下列程序语句是求函数y ＝|x －4|＋1的函数值，则①处为( )A ．y ＝3－xB ．y ＝x －5C ．y ＝5－xD ．y ＝x －38．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥09．定义运算a *b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则⎝⎛⎭⎫sin 5π12*⎝⎛⎭⎫cos 5π12的值为( )A.2－34B.2＋34C.14D.3410．(2017·福州模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.141 59…，若令3110<π<4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为( ) A.227 B.6320 C.7825D.1093511．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如10≡4(mod 6)．如图所示的程序框图的算法源于我国古代的“中国剩余定理”．执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．17B ．16C ．15D ．1312．小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)．小明依次共答了10道题，设正确率依次相应为a 1，a 2，a 3，…，a 10.现有三种说法：①若a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 10，则必是第一题答错，其余题均答对； ②若a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 10，则必是第一题答对，其余题均答错； ③有可能a 5＝2a 10. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．0 C ．3 D ．2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是____________．14．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18＝______，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为_______________________． 15．凸函数的性质定理如下：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．16．如图，n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号a ij (1≤i ≤n,1≤j ≤n ，i ，j ∈N *)表示位于第i 行第j 列的数，已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q ，若a 11＝12，a 24＝1，a 32＝14，则a ij ＝________.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n …a n 1 a n 2 a n 3 … a nn三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i ，i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R ，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3 的值．18．(12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且当0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a >c .19．(12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．20.(12分)设集合A 由全体二元有序实数组组成，在A 上定义一个运算，记为⊙，对于A 中的任意两个元素α＝(a ，b )，β＝(c ，d )，规定：α⊙β＝(ad ＋bc ，bd －ac )． (1)计算：(2,3)⊙(－1,4)；(2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律，并给出证明； (3)若I ∈A ，且对∀α∈A ，都有I ⊙α＝α，求元素I .21．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx (a <b <c )在x ＝1处取得极值，且在函数f (x )图象上的一点处的切线的斜率为－a . (1)求证：0≤ba<1；(2)若f (x )在区间(s ，t )上为增函数，求证：－2<s <t ≤1.22．(12分)(2018·大庆模拟)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)．(1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *恒成立？证明你的结论．答案精析1．B [因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ， 所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1,2a )．又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.]2．C [“a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定为“a ，b ，c ，d 全都大于等于0”，故应假设a ，b ，c ，d 全都大于等于0.]3．A [依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k ＝1，c ＝2，a ＝1，b ＝2；进行第二次循环时，k ＝2，c ＝3，a ＝2，b ＝3；进行第三次循环时，k ＝3，c ＝5，a ＝3，b ＝5；进行第四次循环时，k ＝4，c ＝8，a ＝5，b ＝8；进行第五次循环时，k ＝5，c ＝13，a ＝8，b ＝13；进行第六次循环时，k ＝6，因此当输出的值是13时，判断框内应为k ＜6？.] 4．B [由题意可得，第n 个等式的左边是m 3，右边是m 个连续奇数的和，且m ＝n ＋1. 设第n 个等式的最后一个数为a n ， 则有a 2－a 1＝11－5＝6＝1×2＋4， a 3－a 2＝19－11＝8＝2×2＋4， a 4－a 3＝29－19＝10＝3×2＋4， …，a n －a n －1＝(n －1)×2＋4，以上(n －1)个式子相加可得a n －a 1＝2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋4(n －1)＝n 2＋3n －4， 故a n ＝n 2＋3n ＋1，令n 2＋3n ＋1＝109， 解得n ＝9(n ＝－12舍去)．故m ＝10.] 5．D [因为z 1＝2e πi 3＝2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3 ＝1＋3i ，z 2＝eπi 2＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋3i i ＝(1＋3i )(－i )i (－i )＝3－i.复数z 在复平面内对应的点为Z (3，－1)，点Z 在第四象限，故选D.]6．B [所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一卦限的部分，体积为18×43π×13＝π6，故选B.]7．C [由题意知y ＝|x －4|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥4，5－x ，x <4，故选C.]8．D [要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1≥0， 只要证(a 2－1)(b 2－1)≥0.]9．C [由题意，得该程序框图的功能是求函数S ＝a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab ，a ≥b ，b 2，a <b 的值，因为π4<5π12<π2，所以sin5π12>cos 5π12， 则⎝⎛⎭⎫sin 5π12*⎝⎛⎭⎫cos 5π12＝sin 5π12cos 5π12＝12sin 5π6 ＝12sin π6＝14.] 10．A [由题意知，第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的不足近似值，即4715<π<165，第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即4715<π<6320，第四次用“调日法”后得11035＝227是π的更为精确的过剩近似值，即4715<π<227，故选A.]11．A [当n >10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数为17.]12．C [对于①，若第一题答对，则a 1＝1，a 1≥a 2，与题意不符，所以第一题答错，若剩余的9道题有答错的，不妨设第k (k ≥2)道题答错，则a k ≤a k －1，与题意不符，所以剩余的题均答对，①正确；对于②，若第一道题答错，则a 1＝0，a 1≤a 2，与题意不符，所以第一题答对，若剩余的9道题有答对的，不妨设第k (k ≥2)道题答对，则a k ≥a k －1，与题意不符，所以剩余的题均答错，②正确；对于③，设前5道题答对x 道题，后5道题答对y 道题，则由a 5＝2a 10得x5＝2·x ＋y 10，解得y ＝0，即当后5道题均答错时，a 5＝2a 10，③正确．综上所述，正确结论的个数为3，故选C.] 13．1＋2i 或－1－2i解析 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 所以其平方根是1＋2i 或－1－2i.14．3 S n＝⎩⎨⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数解析 由等和数列的定义，a n ＋a n ＋1＝5，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ∈N *)，故a 18＝3.当n 为偶数时，S n ＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝52n －12.15.332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 且A ，B ，C ∈(0，π)， ∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.16.j 2i 解析 设第i 行公差为d i ，∵a 21＝12q ，∴a 22＝a 21＋d 2＝12q ＋d 2，∴a 24＝a 21＋3d 2＝q2＋3d 2＝1，∴d 2＝13－q 6，又∵a 32＝a 22q ＝⎝⎛⎭⎫q 2＋d 2q ＝14， ∴⎝⎛⎭⎫q 2＋13－q 6q ＝14，∴q ＝12(舍负)． ∴d 2＝13－q 6＝14，∴a 22＝a 21＋d 2＝12q ＋d 2＝12，又∵a 22＝a 12q ，∴a 12＝12q ＝1，∴d 1＝12，又∵a 31＝12q 2＝18，∴d 3＝18，猜想：d i ＝12i ，又∵a i 1＝12q i －1＝12i ，∴a ij ＝12i ＋(j －1)12i ＝j2i .17．解 (1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，所以t ＝sin 2x －3cos 2x ，又t ＝0，所以sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3.因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)由(1)知，t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－π2＝14， 所以－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝14，即cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝－14， 所以cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78. 18．证明 (1)因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， 所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， 因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根， 又x 1x 2＝c a ，所以x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ， 所以1a 是f (x )＝0的另一个根，即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由当0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0，与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， 所以1a ≥c ，又因为1a ≠c ，所以1a>c .19．(1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2(n ∈N *)， S n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)．(2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋2(n ∈N *)．假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．20．解 (1)(2,3)⊙(－1,4)＝(2×4＋3×(－1)，3×4－2×(－1))＝(5,14)．(2)交换律：α⊙β＝β⊙α.证明如下：设α＝(a ，b )，β＝(c ，d )，则α⊙β＝(ad ＋bc ，bd －ac )，β⊙α＝(c ，d )⊙(a ，b )＝(cb ＋da ，db －ca )＝(ad ＋bc ，bd －ac )．∴α⊙β＝β⊙α.(3)设A 中的元素I ＝(x ，y )，α＝(a ，b )，由题意得(x ，y )⊙(a ，b )＝(a ，b )，即(bx ＋ay ，by －ax )＝(a ，b )．则⎩⎪⎨⎪⎧ bx ＋ay ＝a ，－ax ＋by ＝b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧bx ＋a (y －1)＝0，－ax ＋b (y －1)＝0， 对任意a ，b ∈R 恒成立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， ∴当对∀α∈A 都有I ⊙α＝α成立时，I ＝(0,1)．21．证明 (1)由f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ， 得f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c .∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝a ＋b ＋c ＝0.又a <b <c ，∴a <0，c >0，b <－a －b ，∴b a >－12，且b a<1. ∵函数f (x )图象上的一点处的切线的斜率为－a ，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝－a 有实数根，∴Δ＝b 2－4a (a ＋c )≥0，即b 2－4a (－b )≥0，整理得⎝⎛⎭⎫b a 2＋4·b a≥0， 解得b a ≥0或b a≤－4. 综上，可得0≤b a<1.则f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ≥0在区间(s ，t )上恒成立．∵a <0，c >0，∴b 2－4ac >0，故方程f ′(x )＝0必有两个不相等的实数根，设这两个实数根为x 1，x 2，且x 1<x 2.∵二次函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a， 由(1)得－12<－b 2a≤0， 而f ′(1)＝a ＋b ＋c ＝0，∴x 2＝1.又f ′(－2)＝4a －2b ＋c ＝4a －2b －a －b＝3(a －b )<0，∴x 1>－2.∴若f ′(x )≥0在区间(s ，t )上恒成立，则有x 1≤s <t ≤x 2，∴－2<s <t ≤1.22．解 (1)由题意得a 2＝2，a 3＝2＋1.因为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.所以猜想a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明上式成立．当n ＝1时，结论显然成立．假设当n ＝k (n ∈N *)时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝a 2k －2a k ＋2＋1＝(a k －1)2＋1＋1 ＝(k －1)＋1＋1＝(k ＋1)－1＋1，即当n ＝k ＋1时结论也成立．综上可知a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)设f (x )＝(x －1)2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝(c －1)2＋1－1，解得c ＝14. 下面用数学归纳法证明命题a 2n <14<a 2n ＋1<1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立． 假设当n ＝k (n ∈N *)时结论成立，即a 2k <14<a 2k ＋1<1.从而14＝f ⎝⎛⎭⎫14>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2， 即1>14>a 2k ＋2>a 2. 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得14＝f ⎝⎛⎭⎫14<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1， 故14<a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．综上可知，存在c ＝14，使a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *恒成立．。