最新人教版初中八年级上册数学《角平分线的判定》精品教案

第2课时角平分线的判定一、教学目标（一）知识与技能1.了解角的平分线的判定定理；2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.（二）过程与方法在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；难点：角的平分线的判定.三、教法学法自主探索,合作交流的学习方式.四、教学过程（一）复习、回顾1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．（二）合作探究角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【典型例题】例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．例2. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP 能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定解答，因此要作出点P到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．（三）巩固训练（四）小结请你说说本课的收获与困惑.（五）作业。

八上-角平分线的性质和判定(教案)第一章：角平分线的定义教学目标：1. 理解角平分线的定义。

2. 能够正确地画出角的平分线。

教学内容：1. 引入角平分线的概念，引导学生思考如何将一个角平分成两个相等的角。

2. 讲解角平分线的定义，即从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。

3. 演示如何画出角的平分线，并引导学生尝试自己画出角的平分线。

教学活动：1. 引导学生回顾之前学过的角的概念，引导学生思考如何将一个角平分成两个相等的角。

2. 教师讲解角平分线的定义，并演示如何画出角的平分线。

3. 学生跟随教师的演示，尝试自己画出角的平分线。

第二章：角平分线的性质教学目标：1. 掌握角平分线的性质。

2. 能够运用角平分线的性质解决相关问题。

教学内容：1. 引入角平分线的性质，引导学生思考角平分线与角的关系。

2. 讲解角平分线的性质，即角平分线将角分成两个相等的角，且角平分线与角的两边成等角。

3. 演示如何运用角平分线的性质解决相关问题，并引导学生尝试自己运用角平分线的性质解决问题。

教学活动：1. 引导学生回顾之前学过的角平分线的定义，引导学生思考角平分线与角的关系。

2. 教师讲解角平分线的性质，并演示如何运用角平分线的性质解决相关问题。

3. 学生跟随教师的演示，尝试自己运用角平分线的性质解决问题。

第三章：角平分线的判定教学目标：1. 掌握角平分线的判定方法。

2. 能够运用角平分线的判定方法证明一条线段是角平分线。

教学内容：1. 引入角平分线的判定，引导学生思考如何证明一条线段是角平分线。

2. 讲解角平分线的判定方法，即如果一条线段平分一个角的两边，则这条线段是该角的平分线。

3. 演示如何运用角平分线的判定方法证明一条线段是角平分线，并引导学生尝试自己运用角平分线的判定方法证明一条线段是角平分线。

教学活动：1. 引导学生回顾之前学过的角平分线的性质，引导学生思考如何证明一条线段是角平分线。

2. 教师讲解角平分线的判定方法，并演示如何运用角平分线的判定方法证明一条线段是角平分线。

第2课时角的平分线的判定1.探究并证明角的平分线的判定定理.（难点）2.会判断一个点是否在一个角的平分线上.（重点）一、新课导入【情境导入】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）学习了今天的内容，我们就能很快地解决这个问题了.二、新知探究知识点1角的平分线的判定【提出问题】我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？【学生猜想】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.（也有一部分学生得不到准确答案）教师鼓励学生按照上节课学过的证明命题的步骤，验证一下他的猜想！【学生思考】给学生思考的时间，可同桌之间讨论.提醒应将文字语言转化为数学语言，同时画出图形，找准“已知”和“求证”，并写出证明过程.之后点名一位学生上台板演，对于错误和不完整的地方，其他学生纠正或补充.教师利用多媒体展示如下验证过程：如图，P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE.求证：点P在∠AOB的平分线OC上.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，{PD＝PE，PO＝PO，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOC＝∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线OC上.学生有异议的，及时提出，教师予以纠正.【归纳总结】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.该性质定理的几何语言：∵P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.提醒学生：（1）前提条件：使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部，且该点到角两边的距离相等；（2）定理的作用：角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.【提出问题】现在你能解决集贸市场的问题了吗？【学生回答】教师点名一位学生回答解题过程及依据.教师利用多媒体展示如下作图过程：解：如图，作出公路和铁路相交的角的平分线OC，按照比例尺的比例，在OC上截取OD＝2.5cm.点D的位置即为建集贸市场的位置.知识点2三角形的内角平分线【提出问题】我们知道三角形有三条内角平分线，你会画出它的三条内角平分线吗？动手试一试吧？【实际操作】学生在已经剪好的锐角、直角和钝角三角形卡纸上分别画出它们的三个内角的平分线.之后我们发现：三角形三个内角的平分线交于一点，该交点位于三角形的内部.【提出问题】那么三角形的三条内角平分线的交点到三角形三边的距离有什么特点呢？【实际操作】学生继续在锐角、直角和钝角三角形卡纸上过交点分别作这三个三角形三边的垂线，并测量每一组垂线段的长度.我们发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.【提出问题】由于作图和测量存在误差，我们仍需来证明一下我们的猜想.教师利用多媒体展示如下验证猜想的题目.例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE.同理PE＝PF.∴PD＝PE＝PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.【提出问题】点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？【学生回答】学生集体回答.（由PD＝PF可知，点P在∠A的平分线上.从而也验证了“三角形的三条角平分线交于一点”这一结论.）知识点3角的平分线的性质定理与判定定理的关系教师利用多媒体展示表格，学生根据表格中的内容，集体回答；教师引导学生观察所填内容，由不同颜色标注的内容可知角平分线的性质定理中的“已知”变成了角平分线的判定定理中的“结论”.角的平分线的性质 角的平分线的判定 图形已知条件∠1＝∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB PD ⊥OA ，PE ⊥OB PD ＝PE 结论PD ＝PE ∠1＝∠2 【归纳总结】点在角的平分线上（角的内部）点到角的 两边的距离相等正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.【跟踪训练】判断，不正确的请说明原因.①如图，若PD ＝PE ，则OC 平分∠AOB .（ ✕ ）因为PD 不垂直OA ，PE 不垂直OB ，即PD ，PE 均不是角平分线上的点到角两边的距离.②如图，若点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，则OC 平分∠AOB .（ ✕ ）因为没有说明PD 与PE 的等量关系，只有PD ＝PE 时，OC 才平分∠AOB .三、课堂小结角的平分线的判定{ 判定定理{内容➡角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上作用➡判定点在平分线上（判定两角相等）三角形的三条角平分线➡交于一点，且该点到三角形三边的距离相等角平分线的性质定理与判定定理的关系四、课堂训练1.如图，P 是△ABC 外部一点，PD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，PE ⊥AC ，交AC的延长线于点E ，PF ⊥BC 于点F ，且PD ＝PE ＝PF .关于点P 有下列三种说法：①点P 在∠DBC 的平分线上；②点P 在∠BCE 的平分线上；③点P 在∠BAC 的平分线上.其中说法正确的个数为（ D ）A.0B.1C.2D.32.如图， 已知D ，E ，F 分别是△ABC 三边上的点，CE ＝BF ，且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等.求证：AD 平分∠BAC .解：如图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N .∵△DCE 的面积与△DBF的面积相等，∴12BF ·DM ＝12CE ·DN .又CE ＝BF ，∴DM ＝DN .∴AD 平分∠BAC .。

12.3 角的平分线的性质教学目标知识与技能1.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质和判定．2.会用尺规作已知角的平分线．3.能利用角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题．过程与方法经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度价值观在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神教学重点角平分线画法、性质和判定．教学难点角的平分线的性质的探究教学准备平分角的仪器(自制)三角尺、多媒体课件等．教学过程（师生活动）设计理念创设情境，导入新课1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？复习旧知识，回忆角的平分线的定义让学生体验利用证明三角形全等的方法来对画法做出说明．要求学生能说明所作的射线是角平分线的理由．探索新知，建立模型探究1.(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。

已知什么？求作什么？【已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线】(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?【以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.】从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画 【分别以点M ，N 为圆心，大于二分之一MN 长为半径画弧，两弧在角的内部交于点C. (4)OC 与简易平分角的仪器中,AE 是同一条射线吗? 【是】 (5)你能说明OC 是∠AOB 的平分线吗? 【提示：利用全等的性质】 探究2. (1)在已画好的角的平分线OC 上任意找一点P,过P 点分别作OA 、OB 的垂线交OA 、O 于M 、N, PM 、PN 的长度是∠AOB 的平分线上一点到∠AOB 两边的距离。

八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定教学设计（新版）新人教版一. 教材分析《角的平分线的性质》是人教版八年级数学上册第12.3节的内容，这部分内容是学生在学习了角的概念、角的运算、垂线的性质等知识的基础上进行学习的。

角的平分线是数学中的一个重要概念，它在几何学习中有着广泛的应用。

本节内容主要介绍了角的平分线的性质，包括角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的平分线垂直于角的对边等。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对角的概念、角的运算、垂线的性质等有一定的了解。

但是，学生对角的平分线的性质的理解可能还不够深入，需要通过实例来帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.理解角的平分线的性质，能够运用角的平分线解决一些几何问题。

2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决问题的能力。

四. 教学重难点1.角的平分线的性质的理解和运用。

2.角的平分线与垂线的性质的联系和区别。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式来学习和理解角的平分线的性质。

六. 教学准备1.准备相关的几何图形和实例。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式引导学生回顾角的概念、角的运算、垂线的性质等知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）利用多媒体展示角的平分线的定义和性质，引导学生观察和思考，通过实例来帮助学生理解和掌握角的平分线的性质。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些有关角的平分线的问题，学生通过合作解决问题，巩固对角的平分线的性质的理解和运用。

4.巩固（10分钟）教师给出一些有关角的平分线的问题，学生独立解答，教师进行讲解和指导，帮助学生巩固对角的平分线的性质的理解和运用。

5.拓展（10分钟）教师给出一些有关角的平分线和垂线的性质的问题，学生进行思考和讨论，通过实例来理解角的平分线和垂线的性质的联系和区别。

八上-角平分线的性质和判定(教案)一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握角平分线的性质和判定方法；2. 过程与方法：培养学生利用角平分线解决实际问题的能力；3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

二、教学内容：1. 角平分线的定义：介绍角平分线的概念，即从一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等的角的线段；2. 角平分线的性质：探讨角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质；3. 角平分线的判定：学习如何判断一条线段是角平分线的方法。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：角平分线的性质和判定方法；2. 教学难点：角平分线的判定方法的灵活运用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索角平分线的性质和判定方法；2. 利用多媒体课件，直观展示角平分线的性质和判定过程；3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。

五、教学过程：1. 导入新课：通过复习上一个章节的知识，引入本节课的主题——角平分线的性质和判定；2. 探索角平分线的性质：引导学生通过画图、观察、推理等方式，发现角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质；3. 学习角平分线的判定方法：讲解如何通过已知条件判断一条线段是角平分线；4. 巩固知识：通过例题和练习题，让学生加深对角平分线性质和判定方法的理解；5. 拓展与应用：引导学生运用角平分线的性质和判定方法解决实际问题；6. 总结与反思：对本节课的知识进行归纳总结，强调重点和难点；7. 布置作业：布置一些有关角平分线的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，评估学生对角平分线性质和判定方法的掌握程度；3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、沟通交流等能力。

七、教学反思：1. 反思教学内容：检查教学内容是否符合学生认知水平，是否需要调整；2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果；3. 反思教学评价：分析教学评价结果，找出学生掌握不足的地方，为下一步教学提供参考。

人教版数学八年级上册《角平分线的判定》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册《角平分线的判定》是初中数学的重要内容，主要让学生了解角平分线的性质和判定方法。

本节内容是在学生学习了角的概念、垂线的性质等知识的基础上进行学习的，为后续学习几何中的线段和平面的位置关系打下基础。

本节课的主要内容包括角平分线的定义、判定定理及其应用。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对角、线段等基本几何概念有了一定的了解。

但是，对于角平分线的性质和判定方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例和操作来加深理解。

此外，学生可能对几何图形的直观感知能力较强，但对于用数学语言来描述和证明几何性质的能力还需加强。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解角平分线的定义，掌握角平分线的判定方法，能运用角平分线的性质解决一些简单的问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。

四. 教学重难点1.重点：角平分线的定义，角平分线的判定方法。

2.难点：角平分线性质的证明，角平分线在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生观察、操作、猜想、验证，培养学生的思维能力。

3.小组合作学习：鼓励学生之间相互讨论、交流，提高学生的合作意识。

六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规、多媒体设备。

2.学具：学生用三角板、直尺、圆规。

3.教学素材：角平分线的实例、图片、动画等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的角平分线的实例，如钟表指针、蝴蝶翅膀等，引导学生观察并思考：这些实例中有什么共同特点？从而引出本节课的主题——角平分线。

2.呈现（10分钟）（1）介绍角平分线的定义：角平分线是指从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。

角平分线的判定教案【篇一：角平分线的性质与判定教学设计】角平分线的性质与判定教学设计教材：人教版教材八年级（上）11.3. 执教：【教学目标】1．使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理，并会用两个定理解决有关简单问题．2．通过引导学生参与实验、观察、比较、猜想、论证的过程，使学生体验定理的发现及证明的过程，提高思维能力．【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理的探索与应用．【教学难点】角平分线判定定理的证明与应用【教学方法】启发探究式．【教学过程】一、复习引入： 1．角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线．数学语言：如图1，∵ oc是∠aob的平分线， 1∴∠1=∠2（或∠aob=2∠1=2∠2或∠1=∠2= ∠aob）．图122．角平分线的画法：你能用什么方法作出∠aob的平分线oc？（可由学生任选方法画出oc）．可以用量角器量或用折纸的方法3．如果手头只有圆规和直尺，纸又不能折该怎么办呢？如图2，是一个角平分仪，其中om=on,md=nd。

将点o放在角的顶点,om和on沿着角的两边放下,沿od画一条射线oe,oe就是角平分线，你能说明它的道理吗?4．学生通过角平分仪的演示，小组合作想出尺规作角平分线的方法。

5. 平分平角∠aob1）通过上面的步骤，得到射线oc以后，把它反向延长得到直线cd，直线cd与直线ab是什么关系？2）结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。

6. 创设探究角平分线性质的情境：（拼法1）（拼法2）（拼法3）选择第一种拼法提出问题：（1） p是∠doe平分线上一点，pd、pe与∠doe的边有怎样的位置关系？（2）点p到∠doe两边的距离可以用哪些线段来表示？（3）pd、pe有怎样的数量关系？二、探究新知：（一）探索并证明角平分线的性质定理： 1．实验与猜想：引导学生任意画出一个角的平分线，并在角平分线上任取一点，作出到角两边的距离．通过度量、观察并比较，猜想它们有怎样的数量关系？引导学生用语言阐述自己的观点，得出猜想：命题1 在角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等． 2．证明与应用：（学生独立书写过程）已知：如图4，oc是∠aob的平分线，p为oc上任意一点，pd⊥oa于d，pe⊥ob于e．求证：pd＝pe．(证明过程略)图4由此得到：定理1 在角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．（角平分线的性质定理）数学语言：如图4，∵ p是∠aob的平分线oc上一点， pd⊥oa于d，pe⊥ob于e，∴ pd＝pe．练习（1）判断正误，并说明理由：①如图5，②如图6，∵ p是∠aob的平分线∵ pd⊥oa于d，oc上任意一点， pe⊥ob于e，∴ pd＝pe．∴ pd＝pe．图5 图6图7 定理1说明：“在角平分线上的点”都具有“到角的两边距离相等”的性质，即角平分线上没有不具备此性质的点．那么，反过来会怎么样呢？(引出逆命题)（二）探索并证明角平分线的判定定理： 1、写出逆命题命题2 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 2．证明与应用：（学生自己完成）已知：如图8， pd⊥oa于d，pe⊥ob于e，pd＝pe．求证：点p在∠aob的平分线上．（证明过程略）图8由此得到：定理2 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（角平分线的判定定理）数学语言：如图8，∵ pd⊥oa于d，pe⊥ob于e，pd＝pe，∴点p在∠aob的平分线上．练习1、如图9，已知△abc中，d是bc上一点，且de⊥ab，df⊥ac，de=df 求证：∠1＝∠2图92、如图 10，在直线l上找出一点p，使得p到∠aob的两边oa、ob 的距离相等定理2说明：具有“到角的两边距离相等”性质的点，无一例外都在“角的平分线上”（不会漏掉一个具有这样性质的点）．师生共同小结两个定理的区别与联系：两个定理互为逆定理．它们的应用不同，定理1用于证明两条线段相等，定理2用于证明两个角相等．三、综合应用：已知：如图11，∠1＝∠2，cd⊥ab于d，be⊥ac于e，be、cd交于点o．求证：oc=ob．证明：∵∠1＝∠2，cd⊥ab，be⊥ac，∴ oe=od（角平分线上的点到角两边的距离相等）．在△eoc和△dob中，∠3＝∠4（对顶角相等）， oe=od（已证），∴ oc=ob（全等三角形对应边相等）．题目拓展若∠1＝∠2与oc=ob互换，怎么证明？四、师生共同总结：图111．通过本节课的实验、观察、比较、猜想、论证，得出了角平分线的性质定理和判定定理．并学会了运用在角平分线上任意选取一点的方法证明角平分线性质定理．2．我们知道了能够运用角平分线的性质定理和判定定理证明两条线段相等或两个角相等．3．通过把实际问题转化为数学问题，可以培养我们应用数学的意识．【篇二：角平分线教案设计】人教版八年级上册第十二章12.3角平分线的性质一、教材分析：本节课主要探究角平分线的性质与判定，而角平分线的性质对学生后期的三角形的全等起到很重要的作用，学生可以利用角平分线的性质和判定探索问题中的线段的数量关系与三角形全等的证明，实现承上启下的作用。

角的平分线的性质（一）教学目标1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．2．会用尺规作一个已知角的平分线．教学重点利用尺规作已知角的平分线．教学难点角的平分线的作图方法的提炼．教学过程Ⅰ．知识回顾问题1：三角形中有哪些重要线段．问题2：你能作出这些线段吗？Ⅱ．合作探究思考：右图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．看看条件够不够在△ABC和△ADC．因为所以△ABC≌△ADC（SSS）．所以∠CAD=∠CAB．即射线AC就是∠DAB的平分线．这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法。

作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB2内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．议一议：MN的长”这个条件行吗？1．在上面作法的第二步中，去掉“大于122．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？总结：MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所1．去掉“大于12以就找不到角的平分线．MN的长为半径画两弧，两弧的交点2．若分别以M、N为圆心，大于12可能在∠AOB 的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．思考如图，任意画一角∠BAC，做出∠BAC的角平分线AP，在AP上任取一点O，过点O画出OA,OB的垂线，分别记垂足为E,D。

第2课时角的平分线的判定【知识与技能】1.掌握角的平分线的判定.2.会利用三角形角平分线的性质.【过程与方法】通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力.【情感态度】锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.【教学重点】角平分线的判定.【教学难点】三角形的内角平分线的应用.一、情境导入，初步认识问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上.二、思考探究，获取新知三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA 的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数.【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB 的度数即可，在△ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC的度数.解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD,∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4.∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A=125°.【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质.例2如图①,D、E、F是△ABC的三条边上的点，且CE=BF,S△DCE =S△DBF，求证：AD平分∠BAC.【分析】由已知条件可知△DCE和△DBF的两底CE=BF,且它们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M和N，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分∠BAC.【证明】如图②，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N.∵S△DCE =S△DBF,即12CE·DN=12BF·DM.又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D在∠BAC的平分线上，即AD 平分∠BAC.例3 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D是AC上一点，且AE⊥BD并交BD的延长线于点E，又AE=12BD.求证：BD是∠ABC的平分线.【分析】要证明BD是∠ABC的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE、BC交于F，根据条件证明△ABE≌△FBE即可.【证明】延长AE、BC交于点F.∵AE⊥BD,∠ACB=90°,∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°,即∠2=∠FAC.在△BDC与△AFC中，290FAC BC ACBCD ACF ∠=∠=∠=∠=︒⎧⎪⎨⎪⎩, ∴△BDC ≌△AFC(ASA), ∴BD=AF. 又∵AE=12BD,∴AE=12AF, ∴AE=EF.在△ABE 和△FBE 中，90AE EFAEB FEB BE BE =∠=∠=︒=⎧⎪⎨⎪⎩, ∴△ABE ≌△FBE(SAS).∴∠1=∠2. 即BD 是∠ABC 的平分线.例4 (青海西宁中考)八年级（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示），设计了如下方案：方案一：∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 置于射线OA,OB 之间.移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN,过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.方案二：∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P 介于射线OA ，OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M ，N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.（1）方案一、方案二是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由； （2）方案一中，在PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM ⊥OA,PN ⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.解：（1）方案一不可行，理由:缺少三角形全等的条件.方案二可行. 证明：在△OPM 和△OPN 中，,,,PM PN OP OP OM ON ===⎧⎪⎨⎪⎩∴△OPM ≌△OPN(SSS). ∴∠AOP=∠BOP.∴OP是∠AOB的平分线.（2）此方案可行.理由：∵PM=PN,且PM⊥OA,PN⊥OB,∴P在∠AOB的角平分线上，∴OP是∠AOB的平分线.三、运用新知，深化理解1.如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF=________.第1题图第2题图2.如图，以△ABC的两边AB,AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE,CD交于点O，求证：OA平分∠DOE.【答案】1.150°2.证明：过点A分别作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N.∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE,∴△DAC≌△BAE，∴DC=BE,又∵S△DAC =S△BAE,∴AM=AN.又∵AM⊥DC,AN⊥BE,∴OA平分∠DOE.四、师生互动，课堂小结1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个，且一定在三角形的内部.2.证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点也在第三条直线上.3.在三角形内部，要找一点到三边距离相等时，只要作出两个角的角平分线，其交点即是.4.角平分线的判定与性质的关系：由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的，即在三角形内，到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.1.布置作业：从教材“习题12.3”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学应重视以下几点；1.努力体现数学与生活的联系，从实际中学习新知，使学生认识这种学习方法.2.课堂中，可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛，教师依据具体情形予以点评指点，查漏补缺，使学生全方位从本质上理解知识.作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。

八上-角平分线的性质和判定(教案)一、教学目标：知识与技能：1. 理解角平分线的定义；2. 掌握角平分线的性质和判定方法；3. 学会运用角平分线解决实际问题。

过程与方法：1. 通过观察和操作，培养学生的空间想象能力；2. 运用几何画板或实物模型，引导学生探究角平分线的性质和判定；3. 培养学生的逻辑思维和推理能力。

情感态度价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心；2. 培养学生的团队合作和交流能力；3. 让学生感受数学在生活中的应用，提高学生的实践能力。

二、教学重点与难点：重点：1. 角平分线的性质和判定方法；2. 运用角平分线解决实际问题。

难点：1. 角平分线的判定方法；2. 运用角平分线解决复杂几何问题。

三、教学准备：教师准备：1. 教学PPT或教案；2. 几何画板或实物模型；3. 练习题和答案。

学生准备：1. 学习角平分线的定义和相关知识；2. 准备好笔记本，记录重点内容和解答过程。

四、教学过程：1. 引入：通过一个生活中的实例，如剪刀的剪切角，引入角平分线的概念。

2. 讲解：讲解角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的小角的线段。

3. 探究：引导学生利用几何画板或实物模型，探究角平分线的性质和判定方法。

4. 练习：给出一些练习题，让学生运用角平分线的性质和判定方法进行解答。

五、课后作业：1. 完成练习题，巩固角平分线的性质和判定方法；注意：教师在教学过程中要关注学生的学习情况，及时进行反馈和解答疑问。

在课后作业的布置上，要根据学生的实际情况，适当增加一些拓展题，提高学生的思维能力。

六、教学评估：1. 课堂讲解：观察学生对角平分线性质和判定方法的理解程度，以及他们能否在实际问题中正确运用这些知识。

2. 练习题解答：评估学生在练习题中的表现，检查他们对角平分线性质和判定方法的掌握情况。

七、教学反思：在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和练习题的正确率。

角的平分线的性质人教版数学八年级上册教案角平分线是指从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全一样的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。

以下是我整理的角的平分线的心质人教版数学八年级上册教案，欢送大家借鉴与参考!12.3角的平分线的性质教案一、创设情景，明确目标1.不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么方法?2.假如前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢?二、自主学习，指向目标学习至此：请完成《学生用书》相应局部.用尺规作确定角的平分线的方法活动一：教材P48思索展示点评：相等的边有哪些?图形中隐含的条件是什么?作确定角的平分线的方法?为什么要用“大于MN的一半为半径画弧”?小组探讨：平分角的仪器的原理依据是什么?反思小结：理论依据是三角形全等的判定“SSS”.针对训练：见《学生用书》相应局部角平分线的性质与证明活动二：同学们结合折纸活动，猜测一下角平分线有怎样的性质呢?猜测：角平分线上的点到角的两边的距离相等.展示点评：请同学们证明上述猜测(写出确定、求证)：通过证明我们得出角平分线性质：________.用数学语言翻译描述上述性质：小组探讨：第一次对折可以得到什么结论?其次次为什么要折出一个直角?角平分线的性质内容?确定和求证分别是什么?如何证明?如何用几何语言表达?根本图形是什么?反思小结：角平分线上的点到角两边的距离相等.针对训练：见《学生用书》相应局部角平分线的运用活动三：如图，OC平分∠AOB，点P为OC上随意一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，猜测PD与PE 的数量关系，并证明.展示点评：由角平分线可以得到哪些角相等?由垂直可以得到哪些角相等?由图形可挖掘什么条件?由三角形全等可以得到什么结论?如何写证明过程?小组探讨：此题有哪些不同的证明方法，哪种方法更简便?反思小结：用角平分线的性质证明线段相等比用全等三角形证明线段相等更便利.针对训练：见《学生用书》相应局部四、总结梳理，内化目标本节课学习了那些学问?有哪些运用?1.角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.五、达标检测，反思目标1.三角形中，到三边距离相等的点是( C )A.三条高线交点B.三条中线交点C.三条角平分线交点D.三边垂直平分线交点12.3角平分线的性质：测试一、填空题(每题3分，共30分)1.到一个角的两边距离相等的点都在_________.2.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，那么M到OB的距离为_________.3.如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，那么∠DOC=_________.12.3角的平分线的性质：精选练习7.确定Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，假设BC=32，且BD：CD=9：7，那么D到AB边的距离为( )A.18B.16C.14D. 128.如图6，AE⊥BC于E，CA为∠BAE的角平分线，AD=AE，连结CD，那么以下结论不正确的选项是( )A.CD=CEB.∠AC D= ∠ACEC.∠CDA =90°D.∠BCD=∠ACD9.在△ABC中，∠B=∠ACB，CD是∠ACB的角平分线，确定∠ADC=105°，那么∠A的度数为( )A.40°B.36°C.70°D.60°10.在以下结论中，不正确的选项是( )A.平面内到角的两边的距离相等的点必须在角平分线上B.角平分线上任一点到角的两边的距离必须相等C.一个角只有一条角平分线D.角的平分线有时是直线，有时是线段角的平分线的性质人教版数学八年级上册教案。

12.3 角平分线的性质和判定教学目标1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点)2．掌握角平分线的判定定理．(重点)3．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点)教学过程一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？导学一：作已知角的平分线（重点掌握）目标：平分∠AOB.作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点1的长作为半径画弧，两弧在∠AOB 的内（2）分别以点和点为圆心，大于2部交于点C；（3）画射线OC，射线OC 即为所求．导学二：角平分线的性质【探究】角平分的性质（1）请用尺规作图作出图中∠AOB 的平分线OC；（2）在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，垂足分别为D，E，测量PD，PE 的长度并作比较，你得到什么结论？（3）通过（2）中的测量，你猜想角的平分线具有什么样的性质？试证明。

角平分线的性质：角的平分线上的点到的距离。

二、考点题型探究点一：角平分线的作法例题1： 如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M.若∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数．探究点二：角平分线的性质【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等例题2：如图：在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF.求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB.【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用例题3：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )A．6 B．5 C．4 D．3【类型三】角平分线的性质与全等三角形综合例题4：如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.导学三：角平分线的判定一、情境导入【探究】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？试利用三角形全等证明.证明过程：角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的二、考点题型探究点一：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定例题1：如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC 的平分线．【类型二】角平分线性质和判定的综合例题2：如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题例题3：如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．探究点二：三角形的内角平分线【类型一】利用角平分线的判定求角的度数例题4：在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为( )A．110°B．120°C．130°D．140°【类型二】三角形内角平分线的应用例题5：已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地点有几处？(2)你能画出塔台的位置吗？四、巩固练习题组一：角平分线性质的运用1．在三角形内部，到三角形三边的距离相等的点是（）A．三条高的交点B．三条中线的交点C．三角角平分线的交点D．不能确定2．已知在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，AB=5cm，CD=2cm，则△ ABD的面积等于．3．如图12.3-5，在△ ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB，并交BC 于D，DE⊥AB 于E，若AB=6cm，求△DEB 的周长．题组二：角平分线的判定1．如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC．求证：AM平分∠DAB．2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC，点C 恰好落在AB 的中点D 处，则∠A 的度数是五、综合训练1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点2．如图，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA=PB ，则∠1与∠2的大小是（ ）A ． ∠1=∠2B ． ∠1＞∠2C ． ∠1＜∠2D ． 无法确定第2题图 第3题图 第4题图3. 如图，在Rt △ABC 的斜边BC 上截取CD=CA ，过点D 作DE ⊥BC ，交AB 于E ，则下列结论一定正确的是（ ）A ． A E=BEB ． D B=DEC ． A E=BD D ．∠BCE=∠ACE4. 如图，△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（ ）A ． 110°B ． 120°C ． 130°D ． 140°5. 如图，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，有下列四个结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.7．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，21∠∠，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，BAC B∶∶AC=3 cm，求BE的长．。

12．3角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定教学内容第2课时角的平分线的判定课时1核心素养目标1.会用数学的眼光观察现实世界：用生活情境导入，提高学生的分析问题和用数学语言总结生活问题的能力，让学生体会数学的应用价值，体会角的平分线的判定在实际生活中的意义.2.会用数学的思维思考现实世界：用生活情境导入，提高学生的分析问题和用数学语言总结生活问题的能力，让学生体会数学的应用价值，培养类比、分类讨论的数学思维.3.会用数学的语言表示现实世界：通过对角的平分线的判定定理的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.知识目标1.探索并证明角的平分线的判定定理.2.能用角的平分线的判定定理解决简单问题.教学重点探索并证明角的平分线的判定定理性质．教学难点准确理解和应用角的平分线的判定定理.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知一、创设情境，导入新知教师叙述：如图，要在S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，这个风筝主题公园应建于何处？师生活动：教师分析，把题干解读成数学语言(在∠AOB内是否存在点P，过点P作OA、OB的垂线并交OA、OB于点D、E，使得DP = EP ?)，学生独立思考.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：角平分线的判定探究新知：角的平分线的判定.设计意图：用生活情境导入，提高学生的分析问题和用数学语言总结生活问题的能力，建立数学模型，让学生体会数学的应用价值.设计意图：回扣导入知识，让学生做到学以致用，同时体会角的平分线的判定定理的作用：判断点是否在角的平分线上.师生活动：教师提问：角的平分线的性质是?学生回答：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.教师提问：那么角的内部到角的两边距离相等的点，是否在角平分线上呢?学生独立思考并得出猜想：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.证一证：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD = PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：作射线OP.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO =∠PEO = 90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP = OP (公共边)，PD = PE (已知)，∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL).∴∠AOP =∠BOP (全等三角形的对应角相等).∴点P在∠AOB的平分线上.师生活动：学生独立完成证明过程，教师进行定义总结：角的平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.老师强调：角的内部指的是位置关系；距离相等指的数量关系.几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，∴点P在∠AOB的平分线上.回顾导入：如图，要在S区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且S离公路与铁路交叉处距离为500 m，这个风筝主题公园应建在何处?师生活动：学生独立思考并解答问题，教师板书总结.变式1：如图，S区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点A，B，C，如果要在△ABC区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处?师生活动：教师分析：由上题可知到AB，AC距离相等的点在∠BAC的角平分线上，则到BA，BC距离相等的点在∠ABC的角平分线上，它们交于一点P.那么这一点P是否到三边的距离都相等呢？师生活动：教师帮助学生分析题干理清思路，把问题实际应用题转化为数学中证明题：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD = PE. 同理，PE = PF.∴PD = PE = PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立完成证明过程.可总结出：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等设计意图：学生通过变式训练学会举一反三，巩固角的平分线的判定定理，引出角的内心的概念.变式2：如图，S区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点A，B，C，如果要在△ABC区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处?师生活动：学生独立思考，回答问题.(△ABC的三条内角平分线交点处.)变式3：如果要在△ABC区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？(画出所有点)师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立解答并画图.例1如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD. 求证：AD是∠BAC的外角平分线.师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立完成证明过程.练习：1. (西安阶段)如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，AC，BC的距离相等，即OF = OE = OD，若∠BAC = 100°，则∠BOC的度数是( )A.140°B. 130°C. 120°D. 110°师生活动：学生独立思考，并完成该题.设计意图：引导出变式3：若将题目条件换成△ABC 区域外，那么风筝主题公园应建在何处?顺势探究外心的概念.设计意图：培养学生举一反三的发散性思维，探究外心的概念.设计意图：巩固角的平分线的判定定理，考查学生应用角的平分线的判定定理解题的能力.设计意图：复习巩固本节课的知识点，考查学生对本节课的掌握情况.BACODEF三、当堂练习，巩固所学练习：2.完成下表：师生活动：学生独立思考并回答，教师翻动PPT.三、当堂练习，巩固所学1. (西安期中)如图，若∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P，若∠BAC =62°，∠PAC等于_______°.2. (泰州校考) 如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P. 按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置?在图上标出它的位置. (尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程).3.(河源校考) 如图，AD = BD，∠CAD + ∠CBD =180°，求证：CD平分∠ACB.设计意图：考查学生对角的平分线判定定理的掌握.设计意图：考查学生运用角的平分线判定定理进行尺规作图的能力.设计意图：考查学生综合运用角的平分线判定定理三角形全等的判定定理，完成简单证明的能力.ABCD板书设计角的平分线的判定1.角的平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.2.作用：判断一个点是否在角的平分线上.3.推论：三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等.课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。