2018-2019学年高二数学上册基础巩固检测试题28

永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ）A ．50x -<<或5x >B ．5x <-或5x >C ．55x -<<D ．5x <-或05x <<2． 抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．33． 已知函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，则a 的值等于（ ） A ．8B ．1C ．5D ．﹣14． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假5． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜06． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也非必要条件7． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=18． 线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A ．AB ⊂αB ．AB ⊄αC ．由线段AB 的长短而定D ．以上都不对9． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．210．已知函数，函数，其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设复数z 满足z （1+i ）=2（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣iD ．﹣1+i12．已知α，β为锐角△ABC 的两个内角，x ∈R ，f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，则关于x 的不等式f （2x ﹣1）﹣f （x+1）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）B ．（，2）C ．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D ．（﹣，2）二、填空题13．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）．①设A ，B 为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P 的轨迹为双曲线；②设A ，B 为两个定点，若动点P 满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线﹣=1与椭圆有相同的焦点．14．对于集合M ，定义函数对于两个集合A ，B ，定义集合A △B={x|f A （x ）fB （x ）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为 ．15．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ=5，则点（4，）到直线l 的距离为 ．16．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .17．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________． 18．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B为 .三、解答题19．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女总计（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．附：K2=P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.63520．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．21．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中.k R ∈ （1）当3k =时，求函数()f x 在[]0,5上的值域； （2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.22．如图，M 、N 是焦点为F 的抛物线y 2=2px （p ＞0）上两个不同的点，且线段MN 中点A 的横坐标为，（1）求|MF|+|NF|的值；（2）若p=2，直线MN 与x 轴交于点B 点，求点B 横坐标的取值范围．23．（本小题满分12分）已知平面向量(1,)a x =，(23,)b x x =+-，()x R ∈. （1）若//a b ，求||a b -；（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.24．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.12． 【答案】A【解析】解：由，得3x 2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直线4x+3y ﹣8=0与抛物线y=﹣x 2无交点．设与直线4x+3y ﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0联立，得3x 2﹣4x ﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m ）=16+12m=0，得m=﹣．所以与直线4x+3y ﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x 2相切的直线方程为4x+3y ﹣=0．所以抛物线y=﹣x 2上的一点到直线4x+3y ﹣8=0的距离的最小值是=．故选：A ．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．3． 【答案】B【解析】解：∵函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，令3x+2=2，解得x=0，∴a=2×0+1=1．故选：B．4．【答案】B【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．5．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x﹣1|无解，∵﹣|x﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x﹣1|≤1，∴﹣m≤0或﹣m＞1，解得m≥0或m＞﹣1故选：A．6．【答案】A【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∴A=，∴sinA=，当sinA=，∴A=或A=，故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，故选：A7．【答案】C【解析】解：如图，++（）．故选C．8．【答案】A【解析】解：∵线段AB在平面α内，∴直线AB上所有的点都在平面α内，∴直线AB与平面α的位置关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α故选A．【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．9．【答案】D【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1．下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2．故选；D．10．【答案】D【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h （x ）的图象如图：当x ≤0时，h （x ）=2+x+x 2=（x+）2+≥，当x ＞2时，h （x ）=x 2﹣5x+8=（x ﹣）2+≥，故当=时，h （x ）=，有两个交点，当=2时，h （x ）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，即h （x ）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b ∈（，4），故选：D ．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．11．【答案】A【解析】解：∵z （1+i ）=2，∴z===1﹣i ．故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．12．【答案】B【解析】解：∵α，β为锐角△ABC 的两个内角，可得α+β＞90°，cos β=sin （90°﹣β）＜sin α，同理cos α＜sin β，∴f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；故选：B．二、填空题13．【答案】②③．【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．故正确的命题为②③．故答案为：②③．【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．14．【答案】{1，6，10，12}．【解析】解：要使f A（x）f B（x）=﹣1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，所以A△B={1，6，10，12}．故答案为{1，6，10，12}．【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．15．【答案】3．【解析】解：直线l的方程为ρcosθ=5，化为x=5．点（4，）化为． ∴点到直线l 的距离d=5﹣2=3．故答案为：3．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．16．【答案】1 【解析】试题分析：两直线垂直满足()02-12=⨯+⨯a ，解得1=a ，故填：1. 考点：直线垂直【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，当两直线垂直时，需满足02121=+b b a a ，当两直线平行时，需满足01221=-b a b a 且1221c b c b ≠，或是212121c c b b a a ≠=，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直121-=k k ，两直线平行时，21k k =，21b b ≠.117．【答案】2 【解析】18．【答案】4π 【解析】考点：正弦定理．【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K2的观测值为：k==≈3.030．∵3.030＜3.841，∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图中可知：“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，其中a i（i=1，2，3）表示男性，b j （j=1，2）表示女性．设A表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A包括7个基本事件：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．∴P（A）=．【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD又OC=OB，所以△BOD≌△COD∴∠OCD=∠OBD=90°即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…（其他方法亦可）21．【答案】（1）[]1,21;（2）2k ≥.【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得()'f x =()()31x x k --，再分1k ≤和1k >两种情况进行讨论；试题解析：（1）解：3k = 时，()32691f x x x x =-++则()()()23129313f x x x x x =-+=--' 令0f x '=得121,3x x ==列表由上表知函数()f x 的值域为[]1,21（2）方法一：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增 所以()()()min 31113132f x f k k ==-+++= 即53k =（舍） ②当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增所以()()()322min 313132f x f k k k k k ==-+++= 化简得：32340k k -+= 即()()2120k k +-=所以1k =-或2k =（舍）注：也可令()3234g k k k =-+则()()23632g k k k k k =='-- 对()()1,2,0k g k ∀∈'≤()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减所以()02g k <<不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥方法二：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意 …………8分 ②当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增所以()()min 23f x f <=不符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增 所以()()()min 23f x f k f =<=不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥ 22．【答案】【解析】解：（1）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=8﹣p ，|MF|=x 1+，|NF|=x 2+， ∴|MF|+|NF|=x 1+x 2+p=8；（2）p=2时，y 2=4x ，若直线MN 斜率不存在，则B （3，0）；若直线MN 斜率存在，设A （3，t ）（t ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则代入利用点差法，可得y 12﹣y 22=4（x 1﹣x 2）∴k MN =，∴直线MN 的方程为y ﹣t=（x ﹣3），∴B 的横坐标为x=3﹣，直线MN 代入y 2=4x ，可得y 2﹣2ty+2t 2﹣12=0△＞0可得0＜t 2＜12，∴x=3﹣∈（﹣3，3），∴点B 横坐标的取值范围是（﹣3，3）． 【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．【答案】（1）2或2）(1,0)(0,3)-．【解析】试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量,a b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且,a b 不共线，由此可得范围．试题解析：（1）由//a b ，得0x =或2x =-， 当0x =时，(2,0)a b -=-，||2a b -=， 当2x =-时，(2,4)a b -=-，||25a b -=.（2）与夹角为锐角，0a b ∙>，2230x x -++>，13x -<<，又因为0x =时，//a b ， 所以的取值范围是(1,0)(0,3)-.考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．【名师点睛】由向量的数量积cos a b a b θ⋅=可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos 0θ>，但当cos 0θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是0a b a b⋅>且,a b 不同向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是0a b a b⋅<且,a b 不反向．24．【答案】【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．。

第二讲证明不等式的基本方法单元检测(A)一、选择题(本大题共8小题，每小题7分，共56分)1a的最大值为()．A．10 B．11 C．12 D．132．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应为()．A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°3．在△ABC中三边长为a，b，c，若1a ，1b，1c成等差数列，则b所对的角是()．A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定4．设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，则x，y的大小关系是()．A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．不确定5．若a，b，c，d，x，y是正实数，且P Q，则()．A．P＝Q B．P≥QC．P≤Q D．P＞Q6．已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1．则ac＋bd 的范围为( )．A ．[－1,1]B ．[－1,2)C ．(－1,3]D ．(1,2]7．已知a ＞b ＞c ＞0，A ＝a 2a b 2b c 2c ，B ＝a b ＋c b c ＋a c a ＋b ，则A 与B 的大小关系是( )．A ．A ＞B B ．A ＜BC ．A ＝BD ．不确定8．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0且abc ＞0，则111a b c＋＋的值( )．A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正负不能确定 .二、填空题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)9．设a ，b c a ，b ，c 的大小顺序是________．10．如果>，则实数a ，b 应满足的条件是__________．三、解答题(本大题共2小题，每小题14分，共28分)11．已知a ＞b ＞0，试比较2222a b a b－＋与a b a b －＋的大小．12．已知a ＞b ＞0n ∈N ，且n ＞1)．参考答案1. 答案：C2. 答案：B3. 答案：A解析：∵1a ，1b ，1c成等差数列，∴211a c b a c ac ＋＝＋＝.∴2ac b a c＝＋. 由余弦定理得222222224cos 22a c a c a c b a c B ac ac ()＋－＋－＋＝＝222242212a c ac ac a c ac a c ()≥()－＋＝－＋. 又∵(a ＋c )2＞2ac ，∴22<1aca c ()＋，从而cos B ＞0. 4. 答案：A解析：x －y ＝m 4－m 3n －n 3m ＋n 4 ＝m 3(m －n )－n 3(m －n )＝(m －n )(m 3－n 3) ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)＞0. 5. 答案：C解析：Q≥P .6. 答案：A解析：因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤222222221222a cb d a bcd ＋＋＋＋＋＋＝＝．所以－1≤ac ＋bd ≤1．7. 答案：A解析：∵a ＞b ＞c ＞0，∴A ＞0，B ＞0.∴a a b b c cb c c a a b A a a b b c c B a a b b c c＝＝a a －b a a －c b b －c b b －a c c －a c c －b ＝a ba cb ca ab bc c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭－－－.∵a ＞b ＞0，∴>1a b，a －b ＞0，∴>1a ba b ⎛⎫ ⎪⎝⎭－.同理>1b cb c ⎛⎫ ⎪⎝⎭－，>1a ca c ⎛⎫ ⎪⎝⎭－.∴>1A B，∴A ＞B ． 8. 答案：B解析：∵a ＋b ＋c ＝0且abc ＞0，∴a ，b ，c 中必有一个正数两个负数．不妨设a ＜0，b ＜0，c ＞0，则111bc ac ab a b c abc ＋＋＋＋＝＝2222<0c a b ab ab c ab a b a b ab abc abc abc abc()()-＋＋－－＋－－＝＝＝ 9. 答案：a ＞b ＞c解析：a b －，而2288＝＋＝＋∴a －b ＞0，即a ＞b. 同理可得b ＞c.∴a ＞b ＞c. 10. 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b解析：若，则a＋，即2())>0a b－，∴有a≠b，且a≥0，b≥0.11.解：∵a＞b＞0，∴2222>0,>0a b a ba b a b－－＋＋.又∵22222222a ba b a ba ba b a b a ba b()()()()－－＋＋＝－＋－＋222a ba b()＋＝＋222222221>1a b ab aba b a b＋＋＝＝＋＋＋，∴2222>a b a ba b a b－－＋＋.12.证明：不成立，那么≤而n n⇒≤a≤b，这与已知条件a＞b＞0矛盾，所以假设不成立．因此，原不等式成立．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

北师大版高中数学必修五第一学期期末考试高二文科数学试题一、选择题（每题5分，共70分）1．若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列命题中为真的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．非pD ．以上都不对2．与命题“若m ∈M ，则n ∉M ”等价的命题( ) A ．若m ∉M ，则n ∉M B ．若n ∉M ，则m ∈M C ．若m ∉M ，则n ∈MD ．若n ∈M ，则m ∉M3．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 B ．对任意x ∈R ，使得x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．不存在x ∈R ，使得x 2<04．“3πα=”是“212sin =α”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n s ，若854,18S a a 则-=等于（ ） A ．18B ．36C ．54 D ．726．若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则b a -的值是（ ） A.－10 B.－14 C. 10 D. 147．已知a>0,b>0,且2是2a 与b 的等差中项,则错误！未找到引用源。

的最小值为( ) A.错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．2 D ．48．已知△ABC ，,30,320=∠=⋅>-->--BAC AC AB 错误！未找到引用源。

, 则△ABC 的面积为（ ）A.1B.2C.3D.49．若抛物线2ax y =的焦点为)1,0(F ，则a 的值为( ) A ．41B ．4C ．21D ．2 10．函数()3ln f x x x =+的单调递减区间是（ ）A ． ),1(e eB ． )1,0(eC ．)1,(e -∞D ． ),1(+∞e11．函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导，其图像如图所示．记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≤的解集为（ ）A ．[－13，1]∪[2，3） B ．[－1，12]∪[43，83]C ．[－32，12]∪[1，2）D ．（－32，－13]∪[12，43]∪[43，3）12．若,a b ,l 表示不同的直线，βα,表示两个不同的平面，给出如下四组命题： ①“直线,a b 为异面直线”的充分非必要条件是“直线,a b 不相交”； ②“l ⊥α”的充要条件是“直线l 垂直于平面α内的无数多条直线”；③“l ∥α”的充分非必要条件是“l 上存在两点到α的距离相等”． ④“α∥β”的必要非充分条件是“存在,l α⊂m α⊂且l ∥β,m ∥β”． 其中正确的命题是（ ） A ．④ B ．③④C ．①②D ．②13．过原点的直线l 与双曲线221y x -=有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A.(11)-，B ．(1)(1)--+，，∞∞C ．(10)(01)-，， D ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．设1F ，2F 是双曲线12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使0)(22=⋅+P F OF OP （O 为坐标原点），且||3||21PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．212+ B.12+ C.213+ D.13+二、填空题（每题5分，共20分） 15．设函数12y x =,则导函数'y =． 16．已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时函数()f x 的极值为712-，则(2)f =．17．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线方程为22213x y m m -=+的焦距为6，则实数m=___________18．椭圆2214x y +=的弦AB 的中点为1(1,)2P ，则弦AB 所在直线的方程是．三、解答题（满分60分）19．（10分）某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间，油漆时间及有关数据如下： 工艺要求 产品甲 产品乙 生产能力/ （台/天） 制白坯时间/天 6 12 120 油漆时间/天 8 4 64 单位利润/元2024问该公司如何合理安排这两种产品的生产，以利用有限的能力获得最大利润． 20．（12分）在锐角△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 所对应的边长，且b=2asinB ． （1）求角A 的大小；（2）若b=1，且△ABC 的面积为433，求a 的值． 21．（12分）已知数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和是n S ，且点(),2n n a S 在函数2y x x =+的图像上．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设121,2n n n nb T b b b S ==+++，求n T ．22．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F(1,0)．(1)求此椭圆的方程；(2)若过点F 且倾斜角为π4的直线与此椭圆相交于A 、B 两点，求|AB|的值．23．（14分）已知函数2()l n 20)f x a x a x=+-> (． （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x=的单调区间；（2）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（3）记()()()g xf x x b b =+-∈R ．当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围．高二文科数学参考答案及评分标准一、选择题（每题5分，共70分） 1-7. BDADDAB 8-14AABAABD 二、填空题（每题5分，共20分）15.1212x - 16. 5317.218.220x y +-=三、解答题（共60分）19．（10分）甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获得最大利润272元 【解析】设x y ，分别为甲、乙两种柜的日产量，可将此题归纳为如下线性规划模型max 2024f x y =+，其中612120084610x y x x y y +⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≤≥≤≥．由图及下表：------4分()x y ， 2024f x y =+(010)，240 (00)， 0 (80)，160 (48)，272则显然最大值272f =．---------8分答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获得最大利润272元．----10分 20（12分）1Q 3Q2(48)Q ，试题解析：解：由2sin b a B =及正弦定理得sin sin 1sin 2sin 2a B a B Ab a B ===3分 又A 为锐角，所以6A π=6分（2）由△ABC 的面积为433得 133sin 24bc A =8分 又 1b =，6A π=，∴c =33212336sin 233==π11分由余弦定理得222232cos 1(33)2133192a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯= ∴19a =14分 21.（12分）【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意：22n n n S a a =+得21112n n n S a a +++=+，21112a a a =+221112n n n n n a a a a a +++∴=-+-，11a = 即22110n n n n a a a a ++---=所以()()1110n n n n a a a a +++⋅--= 3分0n a >11n n a a +∴-= 所以 n a n = 6分 （Ⅱ）()12n n n S +=()11111n b n n n n ∴==-++ 9分 所以 11111111223111n n T nn n n =-+-++-=-=+++ 12分 22.（12分）【解】 (1)由c a ＝22，c ＝1得a ＝2，b ＝1，∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.---------5分(2)由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43.∴|AB|＝2|x 1－x 2|＝423.-------7分 23（14分）【解析】（Ⅰ）直线2y x =+的斜率为1． 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为22()af x x x'=-+，所以22(1)111a f '=-+=-，所以1a =． 所以2()ln 2f x x x =+-．22()x f x x-'=．由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<．所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2)． ---4分（Ⅱ）2222()a ax f x x x x -'=-+=， 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得20x a <<． 所以()f x 在区间2(, )a +∞上单调递增，在区间2(0, )a 上单调递减．所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2()y f a=．因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立， 所以2()2(1)f a a>-即可．则22ln 22(1)2a a a a+->-．由2ln a a a >解得20a e <<． 所以a 的取值范围是2(0, )e． ------4分（Ⅲ）依题得2()ln 2g x x x b x =++--，则222()x x g x x +-'=．由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<．所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数．又因为函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0, (1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩≥≥ 解得211b e e<+-≤． 所以b 的取值范围是2(1,1]e e+-．-------6分。

2018-2019学年高二数学上学期阶段性测试试题 理一．选择题（每小题5分，共60分）1．命题“∀x ∈（0，1），x 2-x ＜0”的否定是（ ）A ．∃x 0∉（0，1），0020≥-x xB ． ∃x 0∈（0，1），0020≥-x x C ．∀x 0∉（0，1），0020<-x x D ． ∀x 0∈（0，1），0020≥-x x2．椭圆22149x y +=的焦距是( )A ． 5B ．4C ．25D ．213 3．把28化为二进制数为（ ）A ．(2)11000B ．(2)11100C ．(2)11001D ．(2)10100 4．甲、乙两位同学连续五次数学检测成绩用茎叶图表示 如图所示，甲、乙两人这五次考试的平均数分别为乙甲x x ,；方差分别是22,s s 甲乙，则有( )A ．22,x x s s >>甲乙甲乙B ．22,x x s s ><甲乙甲乙C ．22,x x s s <>甲乙甲乙D ．22,x x s s <<乙甲甲乙5．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是红球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”6．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88， 则判断框内应填入的条件是( )A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7?7．银川市食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度如下表．由最小二乘法得到回归方程13.103.1ˆ+=x y，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推测该数据为( )． A ．6.8 B ．6.28C ． 6.5D ．6.18．南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率的值在3.1415926与3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平，我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及内切圆随机投掷豆子，在正方形中的400颗豆子中，落在圆内的有316颗，则估算圆周率的值为（ ） A ．3.13B ．3.14C ．3.15D ．3.169．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD是边长为1的正方形，12AA =， 011120A AB A AD ∠=∠=， 则线段1AC 的长为（ ） A ．2B ．1C ．2D ．310．将参加清华大学夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数分别为A ．26, 16, 8B ．25，16，9C ．25，17，8D ．24，17，911．已知以圆4)1(:22=+-y x C 的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2=8y 上任意一点，BM 与直线2-=y 垂直，垂足为M ，则||||AB BM -的最大值为( ) A ．1B ．2C ．1-D ．812．已知F 1，F 2分别是双曲线2222C 1x y a b-=：的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( ) A ．3B ．3C ．2D ．2二、填空题（每小题5分，共20分）13．抛物线24y x =的焦点坐标为 ．14．已知向量)1,1,0(-=a ，)0,2,3(=b ，若11||=+b a λ，则=λ__________． 15．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的 平均成绩的概率为 ．16．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 具有相同的焦点F 1、F 2，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1、e 2，若321π=∠PF F ，则2221e e +的最小值为__________．三．解答题（共70分，解答应写清文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知命题:p 方程：22129x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 双曲线2215y x m-=的离心率6,22e ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，若“q p ∧”为假命题，“q p ∨”为真命题，求m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）某车间为了给贫困山区的孩子们赶制一批爱心电子产品，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：经统计发现零件个数x 与加工时间y 具有线性相关关系 (1)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^， (2)试预测加工10个零件需要多少时间．[利用公式：2121ˆ-=--=--=∑∑xn xyx n y x bni ini i i ，---=x b y aˆ] 19．（本小题满分12分）银川一中从高二年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40,50)，[50,60)，[90,100)后得到如图的频率分布直方图．(1)求图中实数a 的值；(2)试估计我校高二年级在这次数学考试 的平均分;(3)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100) 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名零件的个数x /个 2 3 4 5 加工的时间y /h2.5344．5学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率． 20．（本小题满分12分）（1）设关于x 的一元二次方程,0222=+-a bx x 若a 是从4,3,2,1这四个数中任取的一个数，b 是从3,2,1这三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率．（2）王小一和王小二约定周天下午在银川大阅城四楼运动街区见面，约定5:00—6:00见面，先到的等另一人半小时，没来就可以先走了，假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等，求他们两个能相遇的概率有多大？ 21．（本小题满分12分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC ∥AB ，BC ⊥CD ，EA ⊥ED ，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD ⊥平面ADE ；（2）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （3）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，若存在，求出CF CE的值．22．（本小题满分12分）已知点P 是圆1F ：8)1(22=++y x 上任意一点，点2F 与点1F 关于原点对称，线段2PF 的垂直平分线与1PF 交于M 点． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点)31,0(G 的动直线l 与点M 的轨迹交于B A ,两点，在y 轴上是否存在定点Q 使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．高二阶段性测试数学（理科）参考答案一．选择题1-5 BCBBD 6-10 BDDAC 11．A 12．C 二．填空题 13．（0，116） 14． 1 15． 45 16． 2+32三．解答题17．若p 真，则有9-m>2m>0即0<m<3 ．．．．．．3分若真，则有m>0且，解得 ．．．．．．6分因为“p q ∧”为真命题，“p q ∨”为真命题，则p ，q 一真一假。

北师大版高中数学必修五高二上学期期中考试试题一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( )A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项2、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 2＋ab ＋b 2＝c 2，则角C 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.π2 3、已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则sinA ＝( )A ．23 B ．21C ．43D ．34、下列结论正确的是（）A ．若ac>bc ，则a>bB ．若a 2>b 2，则a>bC ．若a>b,c<0，则 a+c<b+cD ．若a <b ，则a<b 5、在等差数列{a n }中，a 6＝2，a 8＝4，则a 10+a 4＝ ( )A ．9B ．10C ．6D ．86、已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧y ≤2xy ≥－2x.x ≤3则z ＝x －2y 的最小值是（ ）A.-9B.15C.0D.以上答案都不正确7、已知等比数列{a n }的首项为151，前4项的和是1，则数列的公比为（ ） A ．3 B ．2 C ．21D ．2 8、（文）在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 （理）在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 9、(文)若2()1f x x ax =-+能取到负值，则a 的范围是（）A.2a ≠±B.－2<a<2C.a>2或a<－2D.1<a<3（理）不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(,2)-∞B ．(,2)-∞⋃(2,)+∞C ．(2,)+∞D ．(0,2)10、 (文)已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．51<<xB ．135<<xC ．50<<xD ．513<<x（理）设ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,则下列命题中①若B A sin sin >,则b a >; ②若2c ab >,则3π>C ;③若c b a 2>+,则3π<C ; ④若ab c b a 2)(>+,则2π>C ;则其中真命题为( )A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④二、填空题(每小题5分,共25分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上)11、数列1，12，14，18，116，…的一个通项公式为________．12、已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么对应三边之比a ∶b ∶c 等于。

太仓市第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={y|y=2x}，则A B（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1） D．（1，2）2．已知复合命题p∧（￢q）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∨q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）3．设命题p：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y轴对称；命题q：函数y=|2x﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）A．p为假B．￢q为真C．p∨q为真 D．p∧q为假4．是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于（）A．667B．668C．669D．6705．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）6．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（）A．B．C．D．7．如图所示，程序执行后的输出结果为（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．28． 已知双曲线的渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．（，+∞）B ．（1，）C ．（2．+∞）D ．（1，2）9． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1410．已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个11．已知函数f （x ）=a x ﹣1+log a x 在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a ，则实数a 为（ ）A ．B ．C ．2D ．412．方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（ ） A ．两个点 B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线二、填空题13．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>xxe xf e （其中为自然对数的底数）的解集为 . 14．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为 ．15．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若2810810=-S S ，则2016S 的值等于 .【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.16．方程（x+y ﹣1）=0所表示的曲线是 ．17．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B为 .18．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f （x ）=k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题19．已知曲线21()f x e x ax=+（0x ≠，0a ≠）在1x =处的切线与直线2(1)20160e x y --+=平行．（1）讨论()y f x =的单调性；（2）若()ln kf s t t ≥在(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈上恒成立，求实数的取值范围．20．（本题12分）正项数列{}n a 满足2(21)20n n a n a n ---=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前项和为n T .21．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°． （1）求∠BDA 的大小 （2）求BC 的长．22．数列{a n }满足a 1=，a n ∈（﹣，），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *）．（Ⅰ）证明数列{tan 2a n }是等差数列，并求数列{tan 2a n }的前n 项和；（Ⅱ）求正整数m ，使得11sina 1•sina 2•…•sina m =1．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．（1）若不等式1()21(0)2f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；（2）若不等式()2|23|2yyaf x x ≤+++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．24．已知函数f（x）=，求不等式f（x）＜4的解集．太仓市第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：集合A={x|y=ln（x﹣1）}=（1，+∞），集合B={y|y=2x}=（0，+∞）则A∪B=（0，+∞）故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．【答案】B【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，可推出￢p为假命题，q为假命题，故为真命题的是p∨q，故选：B．【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．3．【答案】C【解析】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，当x=0时，y=sin=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，故命题p为假命题；函数y=|2x﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．故命题q为假命题；则￢q为真命题；p∨q为假命题；p∧q为假命题，故只有C判断错误，故选：C4．【答案】C【解析】由已知，由得，故选C答案：C5．【答案】B【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜，解得：φ=，即有：f（x）=2sin（2x+）．由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，故f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．6．【答案】A【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．故选：A．【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．7．【答案】B【解析】解：执行程序框图，可得n=5，s=0满足条件s＜15，s=5，n=4满足条件s＜15，s=9，n=3满足条件s＜15，s=12，n=2满足条件s＜15，s=14，n=1满足条件s＜15，s=15，n=0不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．故选：B．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n的值是解题的关键，属于基础题．8．【答案】C【解析】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．9．【答案】A【解析】考点：得出数列的性质及前项和．【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“10a>，0d<”判断前项和的符号问题是解答的关键．10．【答案】B【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C；∴A⊆B∩C={0，2}∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素，故最多有4个子集．故选：B．11．【答案】A【解析】解：分两类讨论，过程如下：①当a ＞1时，函数y=a x ﹣1 和y=log a x 在[1，2]上都是增函数， ∴f （x ）=ax ﹣1+log a x在[1，2]上递增，∴f （x ）max +f （x ）min =f （2）+f （1）=a+log a 2+1=a ，∴log a 2=﹣1，得a=，舍去；②当0＜a ＜1时，函数y=a x ﹣1 和y=log a x 在[1，2]上都是减函数， ∴f （x ）=ax ﹣1+log a x在[1，2]上递减，∴f （x ）max +f （x ）min =f （2）+f （1）=a+log a 2+1=a ，∴log a 2=﹣1，得a=，符合题意； 故选A ．12．【答案】B【解析】解：方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0则x 2﹣4=0并且y 2﹣4=0，即，解得：，，，，得到4个点． 故选：B ．【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．二、填空题13．【答案】),0(+∞ 【解析】考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不等式进行变形,可得()()01>-'+x f x f ,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以xe ,即()()0>-'+xxxe xf e x f e ,因此构造函数()()xxe xf e xg -=,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可以构造满足前提的特殊函数,比如令()4=x f 也可以求解.114．【答案】 ．【解析】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin （43°﹣13°）=sin30°=，故答案为．15．【答案】2016-16．【答案】 两条射线和一个圆 ．【解析】解：由题意可得x 2+y 2﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分．由方程（x+y ﹣1）=0，可得x+y ﹣1=0，或 x 2+y 2=4，故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆，故答案为：两条射线和一个圆．【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．17．【答案】4π 【解析】考点：正弦定理．【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.18．【答案】 （0，1） ．【解析】解：画出函数f （x ）的图象，如图示：令y=k ，由图象可以读出：0＜k ＜1时，y=k 和f （x ）有3个交点，即方程f （x ）=k 有三个不同的实根，故答案为（0，1）．【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．三、解答题19．【答案】（1）()f x 在1(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在1(,0)e -，1(0,)e 上单调递减；（2）1[,)2+∞. 【解析】试题解析：（1）由条件可得221'(1)1f e e a=-=-，∴1a =， 由21()f x e x x=+，可得2222211'()e x f x e x x -=-=， 由'()0f x >，可得2210,0,e x x ⎧->⎨≠⎩解得1x e >或1x e <-；由'()0f x <，可得2210,0,e x x ⎧-<⎨≠⎩解得10x e -<<或10x e <<． 所以()f x 在1(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在1(,0)e -，1(0,)e上单调递减． （2）令()ln g t t t =，当(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈时，()0f s >，()ln 0g t t t =>，由()ln kf s t t ≥，可得ln ()t t k f s ≥在(0,)x ∈+∞，(1,]t e ∈时恒成立， 即max ln ()t t k f s ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦max()()g t f s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故只需求出()f s 的最小值和()g t 的最大值． 由（1）可知，()f s 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增， 故()f s 的最小值为1()2f e e=， 由()ln g t t t =可得'()ln 10g t t =+>在区间(1,]e 上恒成立，所以()g t 在(1,]e 上的最大值为()ln g e e e e ==， 所以只需122e k e ≥=， 所以实数的取值范围是1[,)2+∞.考点：1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.20．【答案】（1）n a n 2=；（2）=n T )1(2+n n .考点：1．一元二次方程；2．裂项相消法求和．21．【答案】【解析】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…=…∴∠BDA=60°…（2）∵AD⊥CD，∴∠BDC=30°…在△ABC中，由正弦定理得，…∴．…22．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．故tan2a n+1==1+tan2a n，∴数列{tan2a n}是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差．∴=．∴数列{tan2a n}的前n项和=+=．（Ⅱ）解：∵cosa n＞0，∴tana n+1＞0，．∴tana n=，，∴sina1•sina2•…•sina m=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tana m•cosa m）=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tana m•cosa m﹣1）•（tana1•cosa m）=（tana1•cosa m）==，由，得m=40．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．23．【答案】【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．24．【答案】【解析】解：函数f（x）=，不等式f（x）＜4，当x≥﹣1时，2x+4＜4，解得﹣1≤x＜0；当x＜﹣1时，﹣x+1＜4解得﹣3＜x＜﹣1．综上x∈（﹣3，0）．不等式的解集为：（﹣3，0）．。

数学人教版A4-5第四讲数学归纳法证明不等式单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为()A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3＋4 D．1＋2＋22＋23＋242．从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是() A．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3) B．f(n)＝2f(n－1)(n≥2) C．f(n)＝2f(n－1)－1(n≥2) D．f(n)＝f(n－1)f(n－2)(n≥3)3．用数学归纳法证恒等式1－12＋13－14＋…＋121n-－12n＝11n+＋12n+＋…＋12n，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边应同时加上()A.121k+B．121k-+C.12(1)k+D.112122k k-++4．凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n ＋1)为()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－25．下列说法中正确的是()A．若一个命题当n＝1,2时为真，则此命题为真命题B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则这个命题为真命题C．若一个命题当n＝1,2时为真，则当n＝3时这个命题也为真D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则此命题为真命题6．若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时成立，则有() A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到() A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－18．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y 整除”时，第二步正确的证明方法是()A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)时成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)时成立，证明n ＝2k ＋3时命题也成立D ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时成立，证明n ＝2k ＋1时命题也成立 9．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N ＋)时，从k 到k ＋1，左边需要增加的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.211k k ++ D.231k k ++ 10．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋112n -＞12764成立时，起始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n ，总有2n ＞n 3时”，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n 0应当是__________．12．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，那么a ＝______，b ＝____，c ＝______.13．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 2”时，验证的第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．14．用数学归纳法证明“n 3＋5n (n ∈N ＋)能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________．15．用数学归纳法证明212＋213＋214＋…＋21(1)n +＞12－12n +，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标是__________．三、解答题(本大题共6小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(8分)求数列：113⨯，135⨯，157⨯，…，1(21)(21)n n -+，…的前n 项和S n .17．(8分)设{x n }是由x 1＝2，x n ＋1＝12n nx x +(n ∈N ＋)定义的数列，求证：x n1n.18.(8分)若n ∈N ＋，求证：2！·4！·6！·…·(2n )！≥[(n ＋1)！]n . 19．(10分)若不等式11n +＋12n +＋13n +＋…＋131n +＞24a 对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．20.(8分)证明等差数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .21．(8分)用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n ∈N ＋.参考答案1. 答案：D 左边＝1＋2＋22＋…＋25n －1，所以n ＝1时，应为1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24.2. 答案：A 分别取n ＝1,2,3,4验证，得f (n )＝,1,2,(1)(2), 3.n n f n f n n =⎧⎨-+-⎩≥ 3．答案：D4. 答案：C 由题意易知增加的对角线条数为(n －1)条．5. 答案：D 由完全归纳法可知，只有当n 的初始取值成立且由n ＝k 成立能推得n ＝k ＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A ，B ，C 项均不全面．6. 答案：C 数学归纳法证明的结论只是对n 的初始值及后面的正整数成立，而对于初始值前的正整数不一定成立．7. 答案：D 由条件知，左边是从20,21一直到2n －1都是连续的，因此当n ＝k ＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ，而右边应为2k ＋1－1.8. 答案：D 假设的n 的取值必须取到初始值1，且后面的n 的值比前面的值大2.9. 答案：B 当n ＝k 时左边的最后一项是2k ，n ＝k ＋1时左边的最后一项是2k ＋2，而左边各项都是连续的，所以n ＝k ＋1时比n ＝k 时左边少了(k ＋1)，而多了(2k ＋1)(2k ＋2)．因此增加的代数式是(21)(22)1k k k +++＝2(2k ＋1)．10．答案：B 原不等式可化为11()2112n--＞12764，即12(1)2n -＞12764， 即2－112n -＞12764，所以2－12764＞112n -，即164＞112n -，即612＞112n -. 故26＜2n －1，即n －1＞6，故n ＞7，所以起始值最小取8. 11. 答案：10 当n ＝1时，21＞13，成立； 当n ＝2时，22＞23，不成立； 当n ＝3时，23＞33，不成立； 当n ＝4时，24＞43，不成立； 当n ＝5时，25＞53，不成立； 当n ＝6时，26＞63，不成立； …当n ＝9时，29＝512＞93，不成立； 当n ＝10时，210＝1 024＞103，成立．12. 答案：1214 14取n ＝1,2,3，得 122313(),1233(2),123333(3).a b c a b c a b c ⎧=-+⎪+⨯=-+⎨⎪+⨯+⨯=-+⎩解得a ＝12，b ＝14，c ＝14.13. 答案：5 将n ＝2,3,4,5分别代入验证，可得n ＝2,3,4时，2n ≤n 2，而n ＝5时，25＞52.14．答案：(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6 首先必须应用归纳假设，然后采用配凑法．15. 答案：212＋213＋214＋…＋21(2)k +＞12－13k + 注意不等式两边含变量“n ”的式子，因此当n ＝k ＋1时，应该是含“n ”的式子发生变化，所以n ＝k ＋1时，应为212＋213＋…＋21(1)k +＋21(2)k +＞12－1(1)2k ++.16. 解：S 1＝113⨯＝13＝1211⨯+； S 2＝113⨯＋135⨯＝25＝2221⨯+；S 3＝113⨯＋135⨯＋157⨯＝37＝3231⨯+；…由以上计算可猜想数列的前n 项和S n ＝113⨯＋135⨯＋157⨯＋…＋1(21)(21)n n -+＝21n n +. 下面用数学归纳法证明此等式对任何n ∈N ＋都成立． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝113⨯＝13，右边＝1211⨯+＝13，等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即113⨯＋135⨯＋…＋1(21)(21)k k -+＝21k k +. 当n ＝k ＋1时，113⨯＋135⨯＋…＋1(21)(21)k k -+＋1[2(1)1][2(1)1]k k +-++＝21k k +＋1[2(1)1][2(1)1]k k +-++＝21k k +＋1(21)(23)k k ++＝2231(21)(23)k k k k ++++＝123k k ++＝12(1)1k k +++，这就是说，当n ＝k＋1时，等式成立，即S n ＝113⨯＋135⨯＋…＋1(21)(21)n n -+＝21n n +. 根据(1)(2)知，等式对于任何n ∈N ＋都成立． 17. 提示：x k ＋1＝2k x ＋1kx＞2x n证明：(1)当n ＝1时，x 1＝2＜1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即x k1k，那么，当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝2k x ＋1kx . 由归纳假设，x k1k，则2k x＜2＋12k ， 1kx＞11k.∵x k1k x＜2. ∴x k ＋1＝2k x ＋1k x＋12k＋12k11k +. 即x k ＋111k +. ∴当n ＝k ＋1时，不等式x n1n成立． 综上，得x n1n(n ∈N ＋)．18. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝2！＝2，右边＝(2！)1＝2，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，不等式成立，即 2！·4！·6！·…·(2k )！≥[(k ＋1)！]k 成立， 则n ＝k ＋1时，2！·4！·6！·…·(2k)！·(2k＋2)！≥[(k＋1)！]k·(2k＋2)！，其中(2k＋2)！＝(2k＋2)(2k＋1)…(k＋3)[(k＋2)！]，∵k＋3＞k＋2，k＋4＞k＋2，…，2k＋2＞k＋2，∴(2k＋2)！＞(k＋2)k·(k＋2)！.上面不等式对k≥1都成立，∴2！·4！·6！·…·(2k)！·(2k＋2)！≥[(k＋1)！]k·(2k＋2)!＞[(k＋1)！]k·(k＋2)k·(k＋2)！＝[(k＋2)！]k·(k＋2)！＝[(k＋2)！]k ＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，所证不等式对一切n∈N＋都成立．19.证明：当n＝1时，111+＋112+＋1311⨯+＞24a，即2624＞24a，∴a＜26.而a∈N＋，∴取a＝25.下面用数学归纳法证明11n+＋12n+＋…＋131n+＞2524.(1)n＝1时，已证．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，11k+＋12k+＋…＋131k+＞2524.则当n＝k＋1时，有1 (1)1 k++＋1(1)2k++＋…＋131k+＋132k+＋133k+＋13(1)1k++＝(11 k+＋12k+＋…＋131k+)＋(132k+＋133k+＋134k+－11k+)＞2524＋[132k+＋134k+－23(1)k+]．∵132k+＋134k+＝26(1)9188kk k+++＞23(1)k+，∴132k+＋134k+－23(1)k+＞0.∴1(1)1k++＋1(1)2k++＋…＋13(1)1k++＞2524也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，都有11n+＋12n+＋…＋131n+＞2524，∴a的最大值为25.20.证明：(1)当n＝1时等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即a k＝a1＋(k－1)d，则a k＋1＝a k＋d ＝a1＋[(k＋1)－1]d，即n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d对一切n∈N＋都成立．21.证明：(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除；(2)假设当n＝k时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，∴当n＝k＋1时也成立．由(1)(2)知，当n∈N＋时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．。

第24课时平面向量数量积的物理背景及其含义1.理解平面向量数量积的含义；了解平面向量数量积与投影的关系；掌握数量积的性质．2．掌握平面向量数量积的几何意义；掌握平面向量数量积的运算律．1a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a|·|b|cosθ.规定零向量与任一向量的数量积为零，其中θ是a与b的夹角．2．|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做b在a方向上的投影．3．两个非零向量互相垂直的等价条件是a·b＝0.4．a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．5．向量数量积的运算律为：(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.一、选择题1．给出以下五个结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c ＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3 D．4答案：C解析：①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；a·b是一个实数，应该有|a·b|≥a·b，故⑤错误．2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案：C解析：由题意，知a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ⊥b ，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为( )A ．1 B.77C ．－1 D.277 答案：A解析：设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为|a －2b |cos θ.又cos θ＝(a －2b )·a |a －2b |·|a |＝a 2－2a ·b |a －2b |·|a |＝1|a －2b |，故|a －2b |cos θ＝|a －2b |·1|a －2b |＝1. 4．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝0，则a 与b 的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案：D 解析：设向量a 与b 的夹角为θ，则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a |·|b |·cos θ＝1＋1×2×cos θ＝1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°，选D.5．若|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k ＝( ) A ．－6 B ．6 C ．3 D ．－3 答案：B解析：由题意，得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，由于a ⊥b ，故a ·b ＝0，又|a |＝|b |＝1，于是2k －12＝0，解得k ＝6.6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC→等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 答案：D解析：AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝|AC →|2＝16 二、填空题7．一物体在力F 的作用下沿水平方向由A 运动至B ，已知AB ＝10米，F 与水平方向的夹角为60°，|F |＝5牛顿，物体从A 至B 力F 所做的功W ＝__________.答案：25焦耳解析：由物理知识知W ＝F·s ＝|F|·|s|cos θ＝5×10×cos60°＝25(焦耳)．8．如果a ，b ，a －b 的模分别为2,3，7，则a 与b 的夹角为________．答案：π3 解析：设a 与b 的夹角为θ，由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2，得7＝13－12cos θ，即cos θ＝12.又0≤θ≤π，故θ＝π3.9．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．答案：等边三角形解析：AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．三、解答题10．已知e 1与e 2是两个夹角为60°的单位向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝2e 2－3e 1，求a 与b 的夹角．解：因为|e 1|＝|e 2|＝1，所以e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12， |a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7，故|a |＝7， |b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e 1·e 2＝7，故|b |＝7，且a ·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12，所以a 与b 的夹角为120°.11．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ，b 的夹角为60°. (1)若(2a －b )·(a ＋b )；(2)若(a ＋b )⊥(λa －2b )，求实数λ的值．解：(1)由题意，得a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1×4×12＝2. ∴(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝2＋2－16＝－12. (2)∵(a ＋b )⊥(λa －2b )，∴(a ＋b )·(λa －2b )＝0， ∴λa 2＋(λ－2)a ·b －2b 2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0， ∴λ＝12.12．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 13．设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos60°＝1.∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7<0，得－7<t <－12. 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14.即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.。