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Hilbert空间中C-耗散算子的性质杨延涛【摘要】研究了Hilbert空间中C-耗散算子的性质,并给出此类算子成为压缩C半群无穷小生成元的一些条件.%The properties of C-dissipative operators in Hilbert space are studied,and some conditions that these C-dissipative operators can be the infinitesimal generator of contracions C-semigrous are obtained.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2017(035)008【总页数】4页(P1189-1192)【关键词】Hilbert空间;C-耗散算子;无穷小生成元;压缩C半群【作者】杨延涛【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000【正文语种】中文【中图分类】O177.2线性算子半群理论研究近年来取得了长足的发展，已涉及多类半群［1-6］.C-耗散算子是Banach空间中一类特殊的线性算子，此类算子在半群理论研究中占有十分重要的地位，并在众多实际问题中具有广泛的应用.因此，国内外许多研究者对此也作了大量的研究工作，并取得一些相应的成果［7-16］.然而，在部分实际问题中，我们遇到的抽象空间不是Banach空间，而是Hilbert空间，Hilbert空间是完备的内积空间，它在数学物理、量子物理理论、微分方程论及概率论中有着重要而且广泛的应用，这是一般Banach空间所不具备的.另外，C-耗散算子是压缩C 半群无穷小生成元的固有属性，众多实际问题所对应的线性算子具有耗散特性.基于此，研究Hilbert空间中C-耗散算子的性质，并讨论无穷小生成元的条件，具有一定的理论意义和实用价值，所得结论也可视为Hille-Yasida定理和Lumer-Phillips定理的有机补充［17-22］，且具有更广的应用范围.设X为Banach空间，X*为X的共轭空间，A*为线性算子A的共轭算子，B(X)表示X中有界线性算子全体所构成的空间.I∈B(X)为恒等算子，L(X)表示所有X到自身的线性算子构成的空间.定义1［1］设A:D(A)⊂X→X是线性算子.，则称A是稠定算子.定义2［1］设A:D(A)⊂X→X是稠定算子.若A⊂A*，则称A是对称算子.定义3［1］设A:D(A)⊂X→X是稠定算子.若A=A*，则称A是自伴算子.定义4［2］设A:D(A)⊂X→X是线性算子.若对任意{xn}⊂D(A)，当xn→0，Axn→y(n→∞)时，总有y=0，则称A是可闭算子.定义5［3］线性算子A成为C-耗散算子，若满足：（Ⅰ）x∈D(A)，存在x∗∈F(Cx),使得（Ⅱ）CA⊆AC.在此，表示x∗∈X∗在x∈X上的值.定义6［3］若‖T(t) x‖≤‖Cx‖,t≥0,x∈X，则称{T(t)}t≥0为压缩C半群.引理1［3］线性算子A是C耗散算子充要条件为，‖(λ-A) Cx‖≥λ‖Cx‖，x∈D(A)，λ＞0.定理1设X是Hilbert空间，线性算子A成为C-耗散算子的充要条件为Re≤0，x∈D(A).证明充分性.若对任给的x∈D(A)，式Re≤0成立，则对λ＞0有即由引理1知，算子A是C耗散.必要性.若算子A是C耗散，则对任给的x∈D(A)，λ＞0有从而即若不成立，则存在某x0∈D(A)，使得取代入式中可得，与假设相矛盾，因此，对任何x∈D(A)，若算子A是C耗散的成立.推论1设X是Hilbert空间，若算子A为X上的对称算子，则A成为C-耗散算子的充要条件为定理2设A为C-耗散算子，若A为稠定的，则A是可闭算子.证明假设A不是可闭算子，由定义4，则存在{xn}⊂D(A)，当xn→0时，有Axn→y(n→∞)，但y≠0.又因A为C-耗散算子，则对任意x∈D(A)，κ＞0，由引理1有当n→∞,k→0时，可得这与A为稠定且y≠0矛盾，所以，A是可闭算子.定理3设X是Hilbert空间，A为X上的闭线性算子，则A生成压缩C半群的充要条件为①A=C-1AC；②A为C-耗散算子，且(0,+∞)⊆ρ(A)；③C(D(A))在R(C)中稠密.证明充分性.在t≥0时，定义W(t):X→X,W(t)=etAλC，即{W(t)}t≥0是C半群.由即C是可交换.则有因此，W(t) x∈D(A)且AW(t) x=W(t) Ax，即W(t)是A生成的，其生成元为A.由②及C半群的指数公式，有由定义6知，{W(t)}t≥0是A生成的压缩C半群.必要性.A为压缩C半群{T(t)}t≥0的生成元，‖T(t)‖≤Mewt，则有A=C-1AC成立；设x∈D(A)，且x∗∈F(Cx)，则有即A为C-耗散算子，且(0,+∞)⊆ρ(A)；令λ∈ρ(A)，对任意x∈X，有可得因此，③式得证.【相关文献】［1］陶有德，任鹏，于景元.Hilbert空间中耗散算子的性质研究［J］.数学理论与应用，2010，30（2）：5-8.［2］陶有德，于景元，朱广田.Banach空间中可闭化线性算子与无穷小生成元［J］.淮北煤炭师范学院学报（自然科学版），2009，30（1）：15-17.［3］LI Miao，HUANG Falun.Characterizations of contraction C-semigroups［J］.American Mathematical Society，1998，126（4）：1063-1069.［4］LEE Y S.Approximation theorem for contraction C-semigroups［J］.Korean J Math，2010，18（3）：253-259.［5］陶有德，于景元，朱广田.Banach空间中具有耗散特征的无穷小生成元［J］.四川师范大学学报（自然科学版），2012：35（2）：177-179.［6］李扬荣.C-半群的Lumer-Phillips定理与C-Hermitian算子［J］.数学学报，1997，40（1）：43-52.［7］GUBREEV G M，OLEFIR E I，TARASENKO A A.Linear combinations of the volterra dissipative operator and its adjoint operator［J］. Ukrainian Mathematical Journal，2013，65（5）：780-786.［8］MOSKALEVA Y P.Multiplicity characteristic of the continuum spectrum of a class ofdissipative operators［J］.Journal of Mathe⁃matical Sciences，2001，107（6）：4464-4466.［9］PETROV A M.The spectral projections of dissipative operators［J］.Journal of Soviet Mathematics，1991，57（5）：3440-3443.［10］NAKAZATO H.On left invariant dissipative operators［J］.Archiv Der Mathematik，1985，45（5）：458-462.［11］UĜURLU E，BAIRAMOV E.Krein’s theorem for the dissipative operators with finite impulsive effects［J］.Numer Func Anal Optim，2015，36（2）：256-270.［12］MUSTAFAYEV H.Dissipative operators on Banach spaces［J］.Journal of Functional Analysis，2007，248（2）：428-447.［13］LUMER G，PHILLIPS R S.Dissipative operators in a Banach spaces［J］.Pacific Journal of Mathematics，1961，11（2）：679-698.［14］MARINOV C A，NEITTAANMÄKI P.Dissipative op erators and differential equations on Banach spaces［J］.Mathematics and Its Applications，1991，66（6）：1-33. ［15］DRISSI D.On a generalization of Lumer-Phillips’theorem for dissipative operators in a Banach space［J］.Studia Mathematica，1998，130（1）：1-7.［16］王蓉，贾云锋.Banach空间上一类二阶偏微分系统解的存在性［J］.西北大学学报（自然科学版），2014，44（2）：183-187.［17］Pazy A.Semigroups of linear operators and application to partial differential equations［M］.New York：Spring-Verlag，1983.［18］周鸿兴，王连文.线性算子半群理论及其应用［M］.济南：山东科学技术出版社，1994. ［19］杨延涛，薛双，赵华新.压缩C半群生成元的扰动［J］.甘肃科学学报，2017（2）：1-3. ［20］杨延涛，薛双.局部有界双连续n次积分算子C群的生成元及性质［J］.河南科学，2016，34（5）：648-651.［21］SHKALIKOV A A.Dissipative operators in the Krein space.Invariant subspaces and properties of restrictions［J］.Function⁃al Analysis and Its Applications，2007，41（2）：154-167.［22］TAO Y D，REN P，YU J Y.Studies on the properties of dissipative operators in a Hilbert space［J］.Math Theory Appl，2010，30（2）：5-8.。
完全连续的广义C-半群的概念和性质薛风风;赵华新;薛双;杨延涛【摘要】研究了Banach空间上的完全连续的广义C-半群，给出了完全连续的广义C-半群及其生成元的定义。
利用经典算子理论的方法，将完全连续的广义C0-半群及生成元的性质，推广到了完全连续的广义C-半群，最后得到了完全连续广义C-半群及生成元的性质。
%Studing fully continuous generalized C-semigroup on banach space which is giVen completely continuous generalized C-semigroup defined and generators. Using of classical operator theory method to the fully continuous generalized C0 semigroup,and the nature of production elements promote the completely continuous generalized C-semigroups,getting completely continuous generalized semigroup and generator properties.【期刊名称】《延安大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(035)001【总页数】3页(P21-23)【关键词】完全连续广义C-半群;广义C-半群;生成元【作者】薛风风;赵华新;薛双;杨延涛【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安 71600;延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安 71600;延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安 71600;延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安 71600【正文语种】中文定义1[1] 设为X的线性算子，X为任意Banach空间，{T(t)}t≥0被称为广义C-半群，如果满足以下条件：(1)T(0)=C；(2)CT(t+s)=T(t)T(s)，∀t,s≥0；是强连续算子，即。
ｄｏｉ:１０ １１９２０/ｘｎｍｄｚｋ ２０２４ ０２ ０１２指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式贺凯丽ꎬ赵华新ꎬ刘娟娟(延安大学数学与计算机科学学院ꎬ陕西延安７１６０００)摘㊀要:利用经典算子半群理论中的研究方法ꎬ基于指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群和预解式的定义ꎬ给出指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群与其预解式间积分的表示关系ꎬ得到指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式ꎬ从而推广了ｎ阶ｍ次积分Ｃ半群的相关结果ꎬ丰富了算子半群理论的研究内容.关键词:双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群ꎻ指数公式ꎻ指数有界ꎻ预解式中图分类号:Ｏ１５２.７ꎻＯ１７７㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:２０９５￣４２７１(２０２４)０２￣０１９９￣０７收稿日期:２０２３￣０７￣１４通信作者:赵华新(１９６４￣)ꎬ男ꎬ教授ꎬ研究方向:泛函分析 Ｅ￣ｍａｉｌ:ｙｄｚｈｈｘ８１５＠１２６ ｃｏｍ基金项目:国家自然科学基金项目(７１９６１０３０)ꎻ延安大学研究生教改项目(ＹＧＹＪＧ２０１９０３３)Ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｆｏｒｍｕｌａｏｆｂｉ￣ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ￣ｔｈｏｒｄｅｒ￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ￣ｇｒｏｕｐｓｗｉｔｈｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓＨＥＫａｉ￣ｌｉꎬＺＨＡＯＨｕａ￣ｘｉｎꎬＬＩＵＪｕａｎ￣ｊｕａｎ(ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅꎬＹａｎ ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＹａｎ ａｎ７１６０００ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｕｓｉｎｇｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｍｅｔｈｏｄｏｆｃｌａｓｓｉｃａｌｏｐｅｒａｔｏｒｓｅｍｉｇｒｏｕｐｔｈｅｏｒｙꎬｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆｂｉ￣ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｎ￣ｔｈｏｒｄｅｒｍ￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ￣ｇｒｏｕｐｓｗｉｔｈｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓａｎｄｒｅｓｏｌｖｅｎｔꎬｔｈｉｓｐａｐｅｒｇａｖｅｔｈｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｂｉ￣ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｎ￣ｔｈｏｒｄｅｒｍ￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ￣ｇｒｏｕｐｓｗｉｔｈｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓａｎｄｉｔｓｒｅｓｏｌｖｅｎｔ Ｔｈｅｎｔｈｅｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｆｏｒ￣ｍｕｌａｏｆｂｉ￣ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｎ￣ｔｈｏｒｄｅｒｍ￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ￣ｇｒｏｕｐｓｗｉｔｈｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄ Ｔｈｕｓｔｈｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｎ￣ｔｈｏｒｄｅｒｍ￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ￣ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓｗｅｒｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄａｎｄｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｃｏｎｔｅｎｔｏｆｔｈｅｏｐｅｒａｔｏｒｓｅｍｉｇｒｏｕｐｔｈｅｏｒｙｗａｓｅｎｒｉｃｈｅｄ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｂｉ￣ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｎ￣ｔｈｏｒｄｅｒｍ￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ￣ｇｒｏｕｐꎻｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｆｏｒｍｕｌａꎻｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓꎻｒｅｓｏｌｖｅｎｔ㊀㊀算子半群理论在泛函分析和实际问题中有着广泛的应用ꎬ经过多年的持续发展ꎬ算子半群种类不断丰实ꎬ许多学者对此作了大量研究工作[１￣３] 一方面ꎬ文献[４]中提出了双连续半群ꎬ王文娟等人在文献[５￣７]中提出双连续Ｃ半群ꎬ双连续ｎ次积分Ｃ半群和双连续α次积分Ｃ半群 在此基础上ꎬ张明翠等人在文献[８]中提出ｎ阶α次积分Ｃ半群ꎬ在文献[９￣１２]中周阳等人将Ｃ半群推广到Ｃ群ꎬ给出指数有界双连续ｎ阶α次积分Ｃ群和指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ群的定义和其次生成元 另一方面ꎬ文献[１３￣１６]分别讨论了广义Ｃ半群ꎬＣ半群ꎬ双参数Ｃ半群ꎬｎ阶ｍ次积分Ｃ半群和双参数ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式ꎬ对于指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式还尚未被研究 本文在此理论基础上ꎬ将给出指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的定义和预解式ꎬ并得到指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式ꎬ从而进一步完善了双连续ｎ阶次积分Ｃ群的相关理论.１㊀预备知识西南民族大学学报(自然科学版)第５０卷㊀㊀文中假设为无限维的复Ｂａｎａｃｈ空间ꎬ是上的有界线性算子全体所组成的代数ꎬ为线性算子的定义域ꎬ是的共轭空间ꎬ是上的局部凸拓扑并具有以下性质:(ｉ)￣拓扑比￣拓扑粗且是Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ拓扑ꎻ(ｉｉ)空间在￣有界集上序列完备ꎬ即对每个￣有界的柯西列在中收敛ꎻ(ｉｉｉ)空间中的范数可以由空间定义即对于ꎬ有:.记ꎬ不失一般性ꎬ假设ꎬꎬ.设ꎬꎬꎬ当且仅当存在使ꎬ.２㊀基本概念和引理㊀㊀定义１[６]㊀设ꎬ若对每个范数有界序列ꎬ当ꎬ有ꎬ则算子称为双连续的.定义２[６]㊀设ꎬ若存在ꎬ使ꎬ成立ꎬ则算子族称为指数有界的.定义３㊀设为单射ꎬꎬꎬ若存在闭线性算子ꎬ满足:(ｉ)ꎬꎬꎻ(ｉｉ)存在闭线性算子ꎬ使得:ꎬꎬꎬꎻꎬꎬꎻ(ｉｉｉ)￣连续ꎬ即对映射:￣连续ꎻ(ｉｖ)等度双连续ꎬ即对任意ꎬ若对每个范数有界序列且ꎬ则有一致成立ꎻ(ｖ)存在ꎬꎬ使得ꎬ.００２第２期贺凯丽ꎬ等:指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式㊀称是指数有界双连续ｎ阶次积分Ｃ群ꎬ其中为其次生成元.定义４㊀若为定义在Ｂａｎａｃｈ空间上的有界线性算子ꎬ则称为指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的次生成元的正则点ꎬ是的预解式的正则点的全体称为的Ｃ预解集ꎬ记做.引理１[６]㊀.引理２[６]㊀设是一￣连续函数ꎬ且ꎬꎬ且为整数ꎬ则有:.３㊀主要结果㊀㊀定理１㊀设ꎬ为单射ꎬ次生成指数有界双连续ｎ阶次积分Ｃ群ꎬ则当时ꎬ有:.证明㊀由于指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的次生成元为ꎬꎬꎬ是￣连续的ꎬ所以有:.用同时作用于等式两端ꎬ对于ꎬ由定义３可得:＝＝.即:.对于ꎬ得:.则:１０２西南民族大学学报(自然科学版)第５０卷ꎬ.因此ꎬ根据定义４有:ꎬ.定理２㊀设次生成指数有界双连续ｎ阶次积分Ｃ群ꎬ存在ꎬꎬ使得ꎬ若对ꎬꎬ则有:ꎬ其中.证明㊀因为为指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的次生成元ꎬ所以由定理１可得:.下面对上式右端进行分部积分ꎬ当时:＝㊀.由指数有界性及双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的性质有:.其中:ꎬ.即:.因此有:.假设当时ꎬꎬ成立.则当时ꎬ＝２０２第２期贺凯丽ꎬ等:指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式㊀.类似于的情形ꎬ由指数有界性及双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的性质有:ꎬ因此有:ꎬ也成立.因此原命题对成立.定理３㊀(指数公式)设为闭线性算子ꎬ次生成指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群ꎬ存在ꎬꎬ使得ꎬ则对ꎬ有:ꎬ且等式中的极限对在任意有界区间上是一致的.证明㊀由定理２可得ꎬ对于ꎬꎬ有:㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(１)将(１)式右端对连续求次导数ꎬ可得:(２)且有:＝＝＝.＝＝＝＝３０２西南民族大学学报(自然科学版)第５０卷.再由:＝＝＝.即有:.对关于求次导数ꎬ可得:㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(３)由(２)式和(３)式可得:.令ꎬꎬ代入上式可得:ꎬ.由引理１可得:＝㊀.再由引理２可得:.故:４０２第２期贺凯丽ꎬ等:指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式㊀.推论１㊀设为闭线性算子ꎬ次生成指数有界双连续ｎ阶ｍ次积分Ｃ群ꎬ存在ꎬꎬ使得ꎬ则对ꎬ有:＝ꎬ且等式中的极限对在任意有界区间上是一致的.证明㊀由定理３可得:.对上式两端同时取次积分ꎬ可得:＝＝.参考文献[１]ＰＡＺＹＡ Ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓｏｆｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｍ].ＮｅｗＹｏｒｋ:ＳｐｒｉｎｇＶｅｒｌａｇꎬ１９８３.[２]宋晓秋 应用泛函分析[Ｍ].江苏徐州:中国矿业大学出版社ꎬ２０１３.[３]黄永忠 算子半群与应用[Ｍ].湖北武汉:华中科技大学出版社ꎬ２０１１.[４]ＫＵＨＮＥＭＵＮＤＦ ＡＨｉｌｌｅ￣ＹｏｓｉｄａｔｈｅｏｒｅｍｆｏｒＢｉ￣ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ[Ｊ].ＳｅｍｉｇｒｏｕｐＦｏｒｕｍꎬ２００３ꎬ６７(２):２０５￣２２５.[５]王文娟 双连续Ｃ￣半群[Ｄ].安徽芜湖:安徽师范大学ꎬ２００５.[６]常胜伟 双连续ｎ次积分Ｃ￣半群[Ｄ].陕西延安:延安大学ꎬ２００８.[７]卢娜 双连续α次积分Ｃ￣半群[Ｄ].陕西延安:延安大学ꎬ２０１０.[８]张明翠ꎬ宋晓秋ꎬ黄翠 ｎ阶α次积分Ｃ半群[Ｊ].常熟理工学院学报(自然科学)ꎬ２０１４ꎬ２８(４):３３￣３７.[９]周裕然ꎬ赵华新ꎬ周阳 指数有界双连续ｎ阶α次积分Ｃ半群的生成定理[Ｊ].河南科学ꎬ２０２０ꎬ３８(６):８６１￣８６４.[１０]周阳ꎬ赵华新ꎬ周裕然 指数有界双连续ｎ阶α次积分Ｃ群的次生成元及其性质[Ｊ].延安大学学报(自然科学版)ꎬ２０２０ꎬ３９(４):８４￣８６.[１１]赵丹丹ꎬ赵华新 双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群的预解集[Ｊ].河南科学ꎬ２０１９ꎬ３７(５):６８９￣６９２.[１２]周阳ꎬ赵华新ꎬ周裕然 指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ群的次生成元及其性质[Ｊ].延安大学学报(自然科学版)ꎬ２０２０ꎬ３９(３):９￣１２＋１５.[１３]刘嫚ꎬ宋晓秋ꎬ廖大庆 广义Ｃ半群的指数公式与逼近[Ｊ].徐州师范大学学报(自然科学版)ꎬ２００７(３):３２￣３４＋３９.[１４]赵拓ꎬ赵华新ꎬ徐敏 Ｃ半群和双参数Ｃ半群的指数公式[Ｊ].天津师范大学学报(自然科学版)ꎬ２０１３ꎬ３３(４):１３￣１５.[１５]刘乔乔ꎬ赵华新 ｎ阶ｍ次积分Ｃ半群的指数公式[Ｊ].江西科学ꎬ２０２１ꎬ３９(３):４３６￣４３８＋４７３.[１６]白洋ꎬ赵华新 双参数ｎ阶ｍ次积分Ｃ群的指数公式[Ｊ].数学的实践与认识ꎬ２０２３ꎬ５３(３):２２９￣２３５.(责任编辑:张阳ꎬ付强ꎬ和力新ꎬ肖丽ꎻ英文编辑:周序林ꎬ郑玉才)５０２。
ｄｏｉ:１０ １１９２０/ｘｎｍｄｚｋ ２０２３ ０３ ０１４指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群的逼近白㊀洋ꎬ赵华新(延安大学数学与计算机科学学院ꎬ陕西延安㊀７１６０００)摘㊀要:逼近是算子半群理论中重要的组成部分之一.利用经典算子半群理论中的方法ꎬ并结合指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群的概念和Ｌａｐｌａｃｅ型逆变换的表达式得到了指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群的逼近:在一定条件下ꎬ当Ｔｎ(ｔꎬｓ)ｘ逼近于Ｔ(ｔꎬｓ)ｘꎬ则有Ｒｃλꎬ(Ａｎ１ꎬＡｎ２)ａｂ()()ｘ逼近于Ｒｃλꎬ(Ａ１ꎬＡ２)ａｂ()()ｘꎬ反之也成立.关键词:指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群ꎻ次生成元ꎻＬａｐｌａｃｅ变换ꎻ逼近中图分类号:Ｏ１５２.７㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:２０９５￣４２７１(２０２３)０３￣０３３４￣０７收稿日期:２０２２￣１０￣２７通信作者:赵华新(１９６４－)ꎬ男ꎬ教授ꎬ研究方向:泛函分析.Ｅ－ｍａｉｌ:ｙｄｚｈｈｘ８１５＠１２６.ｃｏｍ基金项目:国家自然科学基金项目(７１９６１０３０)ꎻ延安大学研究生教改项目(ＹＤＹＪＧ２０１９０３３)Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｏｆｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙｂｏｕｎｄｅｄｔｗｏ￣ｐａｒａｍｅｔｅｒｎ￣ｔｈｏｒｄｅｒα￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ￣ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓＢＡＩＹａｎｇꎬＺＨＡＯＨｕａ￣ｘｉｎ(ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅꎬＹａｎ ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＹａｎ ａｎ７１６０００ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓｏｆｏｐｅｒａｔｏｒｓｅｍｉｇｒｏｕｐｔｈｅｏｒｙ.Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒꎬｔｈｅｍｅｔｈｏｄｉｎｔｈｅｃｌａｓ￣ｓｉｃａｌｏｐｅｒａｔｏｒｓｅｍｉｇｒｏｕｐｔｈｅｏｒｙꎬｃｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｂｏｕｎｄｅｄｔｗｏ￣ｐａｒａｍｅｔｅｒｎ－ｔｈｏｒｄｅｒα－ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔ￣ｅｄＣ－ｓｅｍｉｇｒｏｕｐａｎｄｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆＬａｐｌａｃｅ￣ｔｙｐｅｉｎｖｅｒｓｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎꎬｏｂｔａｉｎｓｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｏｆｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｂｏｕｎｄｅｄｔｗｏ￣ｐａｒａｍｅｔｅｒｎ－ｔｈｏｒｄｅｒα－ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ－ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ:ｕｎｄｅｒｃｅｒｔａｉｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓꎬｗｈｅｎＴｎ(ｔꎬｓ)ｘａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓＴ(ｔꎬｓ)ｘꎬｔｈｅｎＲｃλꎬ(Ａｎ１ꎬＡｎ２)ａｂ()()ｘａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓＲｃλꎬ(Ａ１ꎬＡ２)ａｂ()()ｘꎬｗｈｉｃｈｉｓｔｒｕｅｖｉｃｅｖｅｒｓａ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｂｏｕｎｄｅｄｔｗｏ￣ｐａｒａｍｅｔｅｒｎ￣ｔｈｏｒｄｅｒα￣ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ￣ｓｅｍｉｇｒｏｕｐꎻｓｕｂ￣ｇｅｎｅｒａｔｏｒꎻＬａｐｌａｃｅｔｒａｎｓｆｏｒｍꎻａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ㊀㊀线性算子半群理论中的逼近定理一直是各类学者研究的重要内容ꎬ对此众多学者对此做了大量的研究.文献[１－４]讨论了Ｃ半群的概率型逼近问题ꎮ文献[５－６]分别讨论了双连续Ｃ半群的逼近定理和概率型逼近.文献[７－８]分别给出了双参数Ｃ半群的逼近定理和Ｙｏｓｉｄａ逼近.文献[９]讨论了双连续α次积分Ｃ半群的概率型逼近.文献[１０]给出了α次积分Ｃ半群的Ｔｒｏｔｔｅｒ－Ｋａｔｏ逼近.文献[１１]讨论了ｎ次积分Ｃ半群的概率型逼近.文献[１２]讨论了ｎ阶α次积分Ｃ半群的次生成元㊁Ｃａｕｃｈｙ问题㊁Ｌａｐｌａｃｅ变换.文献[１３－１４]给出了ｎ阶α次积分Ｃ半群的逼近定理和普映射定理.文献[１５－１６]给出了双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群的逼近定理和扰动定理.本文通过借助算子半群理论的相关知识给出了指数有界双参数的Ｌａｐｌａｃｅ变换和逼近定理ꎬ丰富了双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群的研究内容.第３期白洋ꎬ等:指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群的逼近㊀在本文中ꎬＸ为无限维的复Βａｎａｃｈ空间ꎬＢＸ()是Ｘ上的有界线性算子全体所构成的Ｂａｎａｃｈ代数ꎻＤＡ()为线性算子Ａ的定义域ꎬ设ｎɪＮꎬα⩾０ＪｎＴｔꎬｓ()＝ʏｔ０ʏｓ０ｅλｔ－ｕ()ｎ＋μｓ－ｖ()ｎΓｎ＋１()Ｔｕꎬｖ()ｄｕｄｖꎬＴ＝０当且仅当存在ｎ⩾０ꎬ使ＪｎΤｔꎬｓ()＝０ꎬ㊀ｔꎬｓ⩾０.１㊀基本概念㊀㊀定义１[１５]㊀设ｎɪＮꎬα⩾０ꎬＣɪＢＸ()是单射ꎬ有界线性算子族Ｔｔꎬｓ():ｔꎬｓ⩾０{}⊂ＢＸ()称为指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群ꎬ若有以下条件成立:Ｔ(０ꎬ０)＝Ｃꎬα＝００ꎬα⩾０{ꎬＣＴｔꎬｓ()＝Ｔｔꎬｓ()Ｃꎬ㊀ｔꎬｓ⩾０ꎬ(１)存在闭线性算子Ａ＝Ａ１ꎬＡ２()满足Ｔｔꎬｓ()ｘ－ｔα＋ｓαΓα＋１()Ｃｘ＝ＡＪｎｔꎬｓ()ｘꎻ㊀㊀ｘɪＸ㊀ｔꎬｓ⩾０ꎬ(２)Ｔｔꎬｓ():ｔꎬｓɪＲ{}⊆ＢＸ()强连续ꎬ即对每一个ｘɪＸ映射ｔꎬｓ()ңＴｔꎬｓ()ｘꎬ(３)强连续.存在Ｍ⩾０ꎬωɪＲ使得∀ｔꎬｓ⩾０有｜｜Ｔｔꎬｓ()｜｜£｜｜Ｃ－１｜｜Ｍｅωｔ＋ｓ()ꎬ(４)称Ａ＝Ａ１ꎬＡ２()是Ｔｔꎬｓ(){:ｔꎬｓ⩾０}的次生成元.把ＧＭꎬωꎬＣꎬｔꎬｓ()记为Ｘ内的所有满足｜｜Ｔｔꎬｓ()｜｜£｜｜Ｃ－１｜｜Ｍｅωｔ＋ｓ()的指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群构成的集合.定义２㊀指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群的次生成元是线性变换Ｌ:Ｒ２ңＬＸ()定义为Ｌａꎬｂ()ｘ＝Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷ｘ＝ａＡ１ｘ＋ｂＡ２ｘꎬ㊀∀ｘɪＤＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ꎬ∀ａꎬｂ()ɪＲ２ꎬ其中Ａ１ꎬＡ２分别是指数有界单参数ｎ阶α次积分Ｃ半群Ｔｔꎬ０(){}ｔ⩾０和Ｔ０ꎬｓ(){}ｓ⩾０的次生成元ꎬ即ＤＡ１()＝∀ｘɪＸꎬｔɪＲꎬ满足Ｔｔꎬ０()ｘ－ｔαΓα＋１()＝Ａ１ＪｎＴｔ()ｘ{}ꎬＤＡ２()＝∀ｘɪＸꎬｓɪＲꎬ满足Ｔ０ꎬｓ()ｘ－ｓαΓα＋１()＝Ａ２ＪｎＴｓ()ｘ{}.定义３㊀设Ｔｔꎬｓ(){:ｔꎬｓ⩾０}为指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群ꎬＡ＝Ａ１ꎬＡ２()是其次生成元ꎬ若ＲＣλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷＝λｎ－１λｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃꎬ为定义在Ｂａｎａｃｈ空间Ｘ上的有界线性算子ꎬ则称λ为Ａ＝Ａ１ꎬＡ２()的正则点.ＲＣλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷为Ａ＝Ａ１ꎬＡ２()的预解式.全体正则点所构成的集合称为Ａ＝Ａ１ꎬＡ２()的预解集ꎬ记为ρｃＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷.５３３西南民族大学学报(自然科学版)第４９卷２㊀主要结论㊀㊀引理１[１３]:令ω>０ꎬ设Ｆ(ｕ)满足Ｌａｐｌａｃｅ型表达式:且则(５)式(５)中右端在上一致收敛.定理１㊀令指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群Ｔｔꎬｓ(){}ｔꎬｓ⩾０的次生成元为Ａ＝Ａ１ꎬＡ２()ꎬ并且ꎬ则对ꎬ有ʏｔ０Ｔａｔꎬｂｔ()ｘｄｔ＝１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅλｔλｎ－１λｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘλα＋１ｄλꎬ(６)ｒ>λꎬ对∀ｘɪＤＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ꎬ有Ｔａｔꎬｂｔ()ｘ＝ａ＋ｂ()ʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅλｔλα＋１λｎ－Ａ＋ａ＋ｂ()－１Ａ()λｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘｄλꎬ特别的ꎬ当(ａ＋ｂ)＝１ꎬＴａｔꎬｂｔ()ｘ＝１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅλｔλｎ－１λｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘλαｄλꎬλ>ω.(７)而且(６)㊁(７)式的右端积分在关于ｔ的有限范围内是一致收敛的.证明㊀根据ꎬ故｜｜Ｔａｔꎬｂｔ()｜｜£Ｍｅω(ｔ＋ｓ)ꎬ设ａｔ()＝ʏｔ０Ｔａｓꎬｂｓ()ｘｄｓ∀ｘɪＸꎬ㊀Ｆλ()＝λｎ－１λｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘλα.显然ａｔ()满足引理１ꎬ又有Ｆλ()＝λｎ－１λｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘλα＝ʏ＋¥０ｅ－λｔＴａｔꎬｂｔ()ｘｄｔ＝ʏ＋¥０ｅ－λｔʏｔ０Ｔａｓꎬｂｓ()ｘｄｓ＝λʏ＋¥０ｅ－λｔʏｔ０Ｔａｓꎬｂｓ()ｄｓ()ｄｔꎬＲｅλ>ω.Ｆλ()满足引理１ꎬ由引理１知:ａｔ()＝１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅ－λｔＦλ()λ＝１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅ－λｔλｎ－１λｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘλαｄλλ.即得(６)式对(６)式两边同时作用Ａꎬ得６３３第３期白洋ꎬ等:指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群的逼近㊀Ａʏｔ０Ｔａｔꎬｂｔ()ｘｄｔ＝１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥Ａｅ－λｔλｎ－１λｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘλαｄλλ.(８)在(８)式中对ｔ求ｎ－１()次积分ꎬ得ＡＪｎａｔꎬｂｔ()ｘ＝１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥Ａｅλｔλｎ－１λｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘλαｄλλ.由定义得ＡＪｎａｔꎬｂｔ()ｘ＝１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥Ａｅλｔλｎ－１λｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘλαｄλλ.Ｔａｔꎬｂｔ()ｘ－ａｔα＋ｂｔαΓα＋１()Ｃｘ＝１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥Ａｅλｔλｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘλαｄλλ.因为１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅλｔＣｘλα＋１ｄλ＝ｔαΓα＋１()Ｃｘꎬａ＋ｂ()２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅλｔＣｘλα＋１ｄλ＝ａｔα＋ｂｔαΓα＋１()Ｃｘ.得Ｔａｔꎬｂｔ()ｘ＝ʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥Ａｅλｔλｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘλα＋１ｄλ＋ａ＋ｂ()２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅλｔＣｘλα＋１ｄλ＝ʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥Ａ－ｅλｔｅλｔλα＋１Ａλｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１＋ａ＋ｂ()[]Ｃｘｄλ＝ａ＋ｂ()ʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅλｔλα＋１λｎ－Ａ＋ａ＋ｂ()－１Ａ()λｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘｄλ.令ａ＋ｂ()＝１ꎬ上式转换为:ʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅλｔλα＋１λｎλｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘｄλ＝１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅλｔλｎ－１λｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘλαｄλ.定理２㊀设Ａ＝Ａ１ꎬＡ２()ꎬＡｎ＝Ａｎ１ꎬＡｎ２()ɪＧＭꎬωꎬＣꎬｔꎬｓ()ꎬＴｔꎬｓ()}ｔꎬｓ⩾０ꎬＴｎｔꎬｓ()}ｔꎬｓ⩾０{{分别是由Ａ＝Ａ１ꎬＡ２()ꎬＡｎ＝Ａｎ１ꎬＡｎ２()次生成的双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群ꎬ若∀ｘɪＸꎬｔꎬｓ⩾０ꎬＴｎｔꎬｓ()ｘңＴｔꎬｓ()ｘｎң¥()ꎬ则对∀ｘɪＸꎬ有Ｒｅλ>ωꎬＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘңＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘｎң¥().证明㊀设∀ｘɪＸꎬｔꎬｓ⩾０ꎬＴｎｔꎬｓ()ｘңＴｔꎬｓ()ｘｎң¥().根据预解式的定义ꎬ对Ｒｅλ>ω有｜｜ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ－ＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ｜｜＝７３３西南民族大学学报(自然科学版)第４９卷｜｜λαʏ＋¥０ｅ－λｔＴｎａｔꎬｂｔ()ｘｄｔ－λαʏ＋¥０ｅ－λｔＴａｔꎬｂｔ()ｘｄｔ｜｜£｜λα｜ʏ＋¥０ｅ－ｔＲｅλ｜｜Ｔｎｔ()ｘ－Ｔｔ()ｘ｜｜ｄｔ.对上式两边取极限得ꎬ£ｌｉｍｎң¥｜｜ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ－ＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ｜｜£ｌｉｍｔң¥｜λα｜ʏ＋¥０ｅ－ｔＲｅλ｜｜Ｔｎｔꎬｓ()ｘ－Ｔｔꎬｓ()ｘ｜｜ｄｔ＝０.即∀ｘɪＸꎬＲｅλ>ωꎬ有ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘңＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘｎң¥().定理３㊀设ＡꎬＡｎɪＧＭꎬωꎬｔꎬｓ()ꎬＴｔꎬｓ()}ｔꎬｓ⩾０{ꎬＴｎｔꎬｓ()}ｔꎬｓ⩾０{分别是由Ａ１ꎬＡ２()ꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()次生成的双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群ꎬ若∀ｘɪＸꎬＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘңＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ꎬｎң¥()ꎬ则对∀ｘɪＸꎬｔ⩾０ꎬ有Ｔｎｔꎬｓ()ｘңＴｔꎬｓ()ｘｎң¥().证明㊀∀ｘɪＸꎬ在固定区间ｔꎬｓɪ０ꎬＴ[]上有｜｜Ｔｎｔꎬｓ()－Ｔｔꎬｓ()()ＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ｜｜£｜｜Ｔｎｔꎬｓ()ＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ－ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘæèçöø÷｜｜＋｜｜Ｔｎｔꎬｓ()－Ｔｔꎬｓ()ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ｜｜＋｜｜ＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ－ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘæèçöø÷Ｔｔꎬｓ()｜｜＝Ｄ１＋Ｄ２＋Ｄ３.其中Ｄ１＝｜｜Ｔｎｔꎬｓ()ＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ－ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘæèçöø÷｜｜ꎻＤ２＝｜｜Ｔｎｔꎬｓ()－Ｔｔꎬｓ()ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ｜｜ꎻＤ３＝｜｜ＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ－ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘæèçöø÷Ｔｔꎬｓ()｜｜.关于Ｄ１ꎬ由于｜｜Ｔｎｔꎬｓ()｜｜£Ｍｅωｔ＋ｓ()£ＭｅωＴ＋Ｓ()ꎬ∀ｘɪＸꎬＲｅλ>ωꎬＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘңＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘｎң¥()ꎬ有Ｄ１＝｜｜Ｔｎｔꎬｓ()ＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷æèçöø÷｜｜£｜｜Ｔｎｔꎬｓ()｜｜ＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷｜｜ң０ｎң¥().即Ｄ１ң０.关于Ｄ３ꎬ因为Ｔｔꎬｓ()ｘ关于ｔꎬｓ是连续的所以ꎬ所以Ｔｔꎬｓ()ｘ将紧集[０ꎬＴ]映成紧集ꎬＴｔꎬｓ()ｘ:０£ｔꎬｓ£Ｔ}{ꎬ又由于∀ｘɪＸꎬＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘңＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘｎң¥()ꎬ８３３第３期白洋ꎬ等:指数有界双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群的逼近㊀则对Ｔｔꎬｓ()ｘɪＴｔꎬｓ()ｘ:０£ｔꎬｓ£Ｔ}{有ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷Ｔｔꎬｓ()ｘңＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷Ｔｔꎬｓ()ｘｎң¥()ꎬ即Ｄ３ң０.关于Ｄ２ꎬ由定理２知Ｔａｔꎬｂｔ()＝１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅμｔμｎ－１μｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘμαｄμ.Ｔｎａｔꎬｂｔ()＝１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅμｔμｎ－１μｎ－Ａｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１Ｃｘμαｄμ.则有｜｜Ｔｎａｔꎬｂｔ()－Ｔａｔꎬｂｔ()()ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ｜｜＝｜｜１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅμｔμｎ－１μｎ－Ａｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１ＣＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘμαｄμ－１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅμｔμｎ－１μｎ－Ａ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－１ＣＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘμαｄμ｜｜＝｜｜１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅμｔＲｃμꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘμαｄμ－１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅμｔＲｃμꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘμαｄμ｜｜£｜｜１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅμｔＲｃμꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－ＲｃμꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷μαＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｄμ｜｜£１２πｉʏｒ＋ｉ¥ｒ－ｉ¥ｅμｔ｜｜ＲｃμꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－ＲｃμꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷｜｜μα｜｜ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｄμ｜｜.由已知条件知当ｎң¥时｜｜ＲｃμꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷－ＲｃμꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷｜｜ң０且｜｜ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷｜｜ңＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷｜｜.从而有｜｜Ｔｎｔꎬｓ()－Ｔｔꎬｓ()ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ｜｜ң０(ｎң¥)ꎬ即Ｄ２ң０.９３３西南民族大学学报(自然科学版)第４９卷从而对∀ｘɪＸꎬ当ｎң¥时ꎬ｜｜Ｔｎｔꎬｓ()－Ｔｔꎬｓ()ＲｃλꎬＡｎ１ꎬＡｎ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｘ｜｜ң０ꎬ∀ｘɪＤＡ()ꎬ可以表示成ｘ＝ＲｃλꎬＡ１ꎬＡ２()ａｂæèçöø÷æèçöø÷ｚ的形式ꎬ其中ｚɪＸ.所以∀ｘɪＸꎬ｜｜Ｔｎｔꎬｓ()ｘ－Ｔｔꎬｓ()ｘ｜｜ң０ｎң¥()ꎬ即Ｔｎｔꎬｓ()ｘңＴｔꎬｓ()ｘｎң¥().参考文献[１]郭玲利ꎬ荣嵘ꎬ刘曼.Ｃ半群的概率逼近问题[Ｊ].延安大学学报(自然科学版)ꎬ２００５(０１):１２－１３＋１６.[２]刘均文ꎬ张清芳.关于指数有界Ｃ半群的概率型逼近问题[Ｊ].徐州工程学院学报ꎬ２００６(０３):５－１１.[３]黄岭ꎬ王宇吉ꎬ宋晓秋.Ｃ半群的两种概率型逼近[Ｊ].徐州工程学院学报ꎬ２００７(０８):１２－１５.[４]林乾.Ｃ半群的概率逼近问题[Ｊ].数学的实践与认识ꎬ２００８(０３):１２３－１２９.[５]李慧敏ꎬ宋晓秋.双连续Ｃ半群的逼近定理[Ｊ].内江师范学院学报ꎬ２００９ꎬ２４(１２):２７－２９.[６]赵月英ꎬ宋晓秋ꎬ李慧敏ꎬ等.双连续Ｃ半群的概率逼近[Ｊ].中国矿业大学学报ꎬ２０１０ꎬ３９(０６):９４１－９４６.[７]岳田ꎬ宋晓秋.指数有界双参数Ｃ半群的逼近[Ｊ].湖南师范大学自然科学学报ꎬ２０１３ꎬ３６(０４):７－１０.[８]徐敏ꎬ赵华新ꎬ赵拓.双参数Ｃ半群Ｙｏｓｉｄａ逼近的应用[Ｊ].江西科学ꎬ２０１３ꎬ３１(０５):５８０－５８１＋６０５.[９]任灿ꎬ宋晓秋.双连续α次积分Ｃ－半群的概率逼近问题[Ｊ].黑龙江科技学院学报ꎬ２０１２ꎬ２２(０１):１０２－１０６.[１０]李晓敏ꎬ林乾ꎬ荣嵘.α次积分Ｃ半群Ｔｒｏｔｔｅｒ－Ｋａｔｏ逼近定理[Ｊ].黑龙江科技学院学报ꎬ２００７(０５):３７７－３８０.[１１]王宇吉ꎬ宋晓秋ꎬ黄岭.ｎ次积分Ｃ半群的概率逼近问题[Ｊ].徐州师范大学学报(自然科学版)ꎬ２００７(０４):２７－３０.[１２]张明翠.ｎ阶α次积分Ｃ半群的性质研究及应用[Ｄ].中国矿业大学ꎬ２０１４.[１３]刘乔乔ꎬ赵华新.ｎ阶α次积分Ｃ半群的逼近[Ｊ].延安大学学报(自然科学版)ꎬ２０２２ꎬ４１(０１):９１－９３＋９７.[１４]周裕然ꎬ赵华新ꎬ周阳.ｎ阶α次积分Ｃ半群的谱映射定理[Ｊ].江西科学ꎬ２０２１ꎬ３９(０５):７６９－７７２.[１５]赵丹丹ꎬ赵华新.双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群的逼近[Ｊ].云南师范大学学报(自然科学版)ꎬ２０１９ꎬ３９(０４):２９－３２.[１６]周裕然ꎬ赵华新ꎬ周阳.双参数ｎ阶α次积分Ｃ半群的扰动定理[Ｊ].延安大学学报(自然科学版)ꎬ２０２０ꎬ３９(０２):５－７.(责任编辑:张阳ꎬ付强ꎬ和力新ꎬ肖丽ꎬ罗敏ꎻ英文编辑:周序林ꎬ郑玉才)０４３。
