2016数学高考一轮复习《两角和与差的三角函数》

两角和、差及倍角公式的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·成都模拟)下列各式中,值为错误！未找到引用源。

的是( )A.2sin 15°cos 15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos215°【解析】选B.cos215°-sin215°=cos30°=错误！未找到引用源。

.2.(2016·宁德模拟)已知sinα=错误！未找到引用源。

,α∈错误！未找到引用源。

,则tan2α= ( )A.-错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.-错误！未找到引用源。

D.2【解析】选A.因为sinα=错误！未找到引用源。

,α∈错误！未找到引用源。

,所以cosα=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,tanα=错误！未找到引用源。

=2,所以tan2α=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=-错误！未找到引用源。

.3.(2016·上饶模拟)已知α∈(0,π),且sinα+cosα=错误！未找到引用源。

,则cos2α的值为( )A.错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。

C.±错误！未找到引用源。

D.-错误！未找到引用源。

【解析】选B.将sinα+cosα=错误！未找到引用源。

两边平方,得1+sin2α=错误！未找到引用源。

,所以sin2α=-错误！未找到引用源。

,所以sinα>0,cosα<0,可知错误！未找到引用源。

<α<π.又因为sinα>|cosα|,所以错误！未找到引用源。

<α<错误！未找到引用源。

,即π<2α<错误！未找到引用源。

,所以cos2α=-错误！未找到引用源。

.4.已知α∈R,sinα+2cosα=错误！未找到引用源。

第三节 两角和与差及二倍角三角函数公式 题号1 2 3 4 5 6 答案1.计算1－2sin 222.5°的结果等于( )A.12B.22C.33D.32解析：原式＝cos 45°＝22.故选B. 答案：B2．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.318 B.322 C.1318 D ．－1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32答案：D4．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14C.13D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴si n 2θ＝12.故选D.答案：D5.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （17°＋30°）－sin 17°cos 30°cos 17° ＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C. 答案：C6．已知α，β都是锐角，cos 2α＝－725，cos(α＋β)＝513，则sin β＝( ) A.1665 B.1365 C.5665 D.3365解析：∵cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝－725，又α为锐角， ∴cos α＝35， sin α＝45. ∵cos(α＋β)＝513，∴(α＋β)为锐角，sin(α＋β)＝1213. ∴sin β＝sin []（α＋β）－α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝1213×35－513×45＝1665.故选A. 答案：A7．(2013·上海卷)若cos xcos y ＋sin xsin y ＝13，则cos(2x －2y)＝________． 解析：cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13， 所以cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79. 答案：－798．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝______.解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos β＝35， ∴cos α＝45，sin β＝45. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π，故α＋β＝π2. 答案：π29．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________． 解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134. 答案：13410．已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则sin α＝__________． 解析：因为α为锐角，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， 则sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210. 答案：21011．已知函数f(x)＝cos 2x ＋sin xcos x ，x ∈R.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. 解析：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x ) ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α·12＋cos α·32. 因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫35×12－45×32＝10＋32－4620. 12．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12α＋π6＝35，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12β＋5π12＝－1213，求sin(α＋β)的值． 解析：(1)∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π，且ω＞0，∴2πω＝π， ∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12α＋π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝35. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin α＝1－cos 2α＝45. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12β＋5π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12β＋5π12＋π6＝sin(π＋β)＝－sin β＝－1213， ∴sin β＝1213. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos β＝－1－sin 2β＝－513， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋35×1213＝1665.。

专题22两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).基础知识融会贯通1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 【知识拓展】1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.重点难点突破【题型一】和差公式的直接应用【典型例题】求值：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°等于（）A．B．C．D．【解答】解：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°＝sin（24°﹣54°）＝sin（﹣30°）＝﹣sin30°，故选：C．【再练一题】若sinα，α∈（），则cos（）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinα，α∈（），∴cosα，∴cos（）（cosα﹣sinα）．故选：A．思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．【题型二】和差公式的灵活应用命题点1 角的变换【典型例题】已知tan（α）＝﹣2，则tan（）＝（）A．B．C．﹣3 D．3【解答】解：∵tan（α）＝﹣2，则tan（）＝tan[（α）]，故选：A．【再练一题】若sin（）＝2cos，则（）A．B．C．2 D．4【解答】解：∵sin（）＝2cos，∴sinαcos cosαsin2cos，即 sinαcos3cosαsin，∴tanα＝3tan，则，故选：B．命题点2 三角函数式的变换【典型例题】若，且，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵α，∴π＜2α，又，∴cos2α．∴，解得cosα，则sinα．∴．故选：D．【再练一题】已知sinα+3cosα，则tan（α）＝（）A．﹣2 B．2 C．D．【解答】解：∵（sinα+3cosα）2＝sin2α+6sinαcosα+9cos2α＝10（sin2α+cos2α），∴9sin2α﹣6sinαcosα+cos2α＝0，则（3tanα﹣1）2＝0，即．则tan（α）．故选：B．思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．基础知识训练1．【辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模】已知α∈（22ππ-，），tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sin α＝（ ）A B ． C D ． 【答案】A 【解析】解：由tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin （76°﹣46°）＝sin30°12=， 且α∈（22ππ-，），∴α∈（0，2π），联立，解得sin α=． 故选：A ．2．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(3,4)P .若角β满足，则tan β=（ ）A ．-2B ．211 C ．613D ．12【答案】B 【解析】因为角α的终边过点()3,4P ，所以4tan 3α=，又，所以，即，解得2tan 11β=. 故选B3．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，故选：B4．【河南名校联盟2018-2019学年高三下学期2月联考】已知，则=（ ）A ．35B ．45C D 【答案】D 【解析】∵，∴12tan θ=．∴．故选D ．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟考试】已知，则sin α= ( )A B C ．45D ．35【答案】A 【解析】因为，所以，所以，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭解得，故选A.6．若，则tan α= ( )A ．17 B ．17-C ．1D ．1-【答案】D 【解析】tan （α-β）＝3，tan β＝2， 可得3，∴，解得tan α1=-． 故选：D ．7．【福建省三明市2019的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 解：选项A ：；选项B ：；选项C ：； 选项D ：，经过化简后，可以得出每一个选项都具有的形式，， 故只需要sin α接近于sin 45︒，根据三角函数图像可以得出sin 46︒最接近sin 45︒，故选D.8．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题得.当在第一象限时，.当在第三象限时，.故选：C9．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)】已知为锐角，则()sin αβ+的值为（ ）A ．12B ．312- C ．12D ．312+ 【答案】D 【解析】 因为为锐角因为()cos 2β=所以2αβ+大于90°由同角三角函数关系，可得所以 =所以选D10．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试】若，且α是钝角，则（ ）A ．46B ．46- C ．46D ．46-【答案】D 【解析】 因为α是钝角，且，所以，故，故选:D11．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】________．【答案】2 【解析】 因为，又，所以，所以.故答案为212．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)】函数的最大值为_______【答案】1【解析】,所以，因此()f x的最大值为1.13．【吉林省2019届高三第一次联合模拟考试】已知，则m=______．【答案】【解析】由得：整理得：m=本题正确结果：14．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】已知,则＝_____．【答案】1 7 -【解析】，则3cos5α=-，所以4tan3α=-，则：，故答案为：17-． 15．【江西省新八校2019届高三第二次联考】在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则的最小值是_______．【答案】12 【解析】 由正弦定理可得：得：，即又令，得：ABC ∆为锐角三角形得：，即1t > 10t ∴->当且仅当，即时取等号本题正确结果：1216．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知函数，若对任意实数x ，恒有，则______．【答案】14- 【解析】对任意实数x ，恒有，则()1fα为最小值，()2f α为最大值.因为，而，所以当sin =1x -时，()f x 取得最小值；当1sin 4x =时，()f x 取得最大值. 所以.所以1cos 0α=.所以.17．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】在ABC ∆中，已知3AC =，cos B =，3A π=.（1）求AB 的长； （2）求的值.【答案】（1）2AB =（2）【解析】（1）在ABC ∆中，因为cos B =，所以02B π<<，所以，又因为，所以，由正弦定理，，所以.（2）因为，所以，所以.18．【天津市北辰区2019届高考模拟考试】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45B =，b =cos C =． （1）求边a ；（2）求()sin 2A B -．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得：cos C =，，0C π<<，∴，∵45B =︒，，∴，∴由正弦定理，得a =．（2）由（1）得，，∴，，∴.19．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，.（1）求ABC △的面积； （2）若2c =，求的值.【答案】（1）4；（2） 【解析】 解：，，，，易得sin 0A ≠，3cos 5A ∴=，，又，可得，10bc =，可得ABC △的面积；（2），5b ∴=，由余弦定理可得，，a ∴=，，20．【天津市河北区2019届高三一模】已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足，.（1）求cos A 的值； （2）求的值。

第20讲 简单的三角恒等变换激活思维1. (人A 必一P219例4(1))sin72°cos42°－cos72°sin42°＝ 12 . 解析： sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.2. (人A 必一P217练习3)已知cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( D )A. －210 B. 7210 C. －71010D. 210解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45，因此cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45×22＝210. 3. (人A 必一P220练习5)设sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，且β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝ 10 .解析： 由sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，得sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.因为β是第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝7210.4. (人A 必一P223练习3改编)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( A )A. 17 B. 7 C. －17D. －7解析： 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，得tan α＝－34，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.5. (人A 必一P223练习5改编)(多选)下列各式的值为22的是( BD ) A. sin π12cos π12B. cos 2π8－sin 2π8C.tan π81－tan 2π8D. 2cos 222.5°－1解析： 对于A ，sin π12cos π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝12sin π6＝14，不符合题意；对于B ，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22，符合题意；对于C ，tan π81－tan 2π8＝12tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＝12tan π4＝12，不符合题意；对于D,2cos 222.5°－1＝cos45°＝22，符合题意．基础回归1. 两角和、差公式(1) C (α∓β)：cos(α∓β)＝ cos αcos β±sin αsin β ； (2) S (α±β)：sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β ； (3) T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝ 2sin αcos α ；cos2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ＝ 1－2sin 2α ； tan2α＝2tan α1－tan 2α.3. 辅助角公式函数y ＝a sin x ＋b cos x 可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式， a sin x ＋b cos xtan φ＝ba .4. 常用结论(1) tan α±tan β＝ tan(α±β)(1∓tan αtan β) ；(2) 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2； (3) 1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 第1课时 两角和与差的三角函数、二倍角公式举题说法和、差、倍角公式的直接应用例1 (1) tan18°＋tan12°＋33tan18°tan12°等于( D ) A. 3 B. 2 C. 22D. 33解析： 因为tan30°＝tan(18°＋12°)＝tan18°＋tan12°1－tan18°tan12°＝33，所以tan18°＋tan12°＝33(1－tan18°tan12°)，所以原式＝33.(2) (2022·湛江一模)已知cos α＝45，0<α<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( B )A. 210 B. 7210 C. －210D. －7210解析： 由cos α＝45，0<α<π2，得sin α＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝22×35＋22×45＝7210.解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的．此类题的解题方法可总结为“对照公式，缺什么求什么”．1. (2022·岳阳三模)1－2cos 267.5°等于( D ) A. －12 B. －22 C. －32D. 22解析： 由余弦的倍角公式可得1－2cos 267.5°＝－cos(2×67.5°)＝－cos135°＝22.2. (2022·扬州模拟)1－tan75°1＋tan75°＝ －3 .解析： 1－tan75°1＋tan75°＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝－tan(75°－45°)＝－tan30°＝－33.3. (2022·海南模拟)若sin α＝55，则cos(π－2α)等于( A ) A. －35 B. －25 C. 25D. 35解析： cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝－35.4. 若tan α＝－23，tan β＝13，则sin(2α＋2β)等于( C ) A. －7130130 B. 11130130C. －3365D. 9130解析： 由tan α＝－23，知sin α＝－213，cos α＝313或sin α＝213，cos α＝－313，则sin2α＝2sin αcos α＝－2×213×313＝－1213，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±2132＝513.由tan β＝13，知sin β＝110，cos β＝310或sin β＝－110，cos β＝－310，则sin2β＝2sin βcos β＝2×110×310＝35，cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±1102＝45，则sin(2α＋2β)＝sin2αcos2β＋cos2αsin2β＝－1213×45＋513×35＝－3365.拆、配角问题例2 (1) (2022·烟台期末)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，则cos α的值为5 .解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α＋π4<3π4.又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝31010，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1010＋31010＝255. (2) 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α等于( B )A. 43＋310 B. 43－310 C.33＋410D. 33－410解析： 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35(α为锐角)，所以α＋π6为锐角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.1. 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．1. (2022·济南模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，则sin2α的值为( A ) A. 12 B. －12 C. 32D. －32解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，所以sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－1＝12.2. (2022·株洲一模)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝55，则tan θ等于( C )A. 2B. 12 C. 3D. 13解析： 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则－π4<θ－π4<π4，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝255，所以sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋π4＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝31010，故cos θ＝1－sin 2θ＝1010，因此tan θ＝sin θcos θ＝3.3. 已知α，β为锐角，且cos (α＋β)＝1213，cos (2α＋β)＝35，那么cos α＝ 5665 . 解析： 因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，2α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π2.又cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.4. (2022·淄博期末)cos10°2sin10°－2cos 10°等于( A ) A. 32 B. 2 C. 3D. 2解析： cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－4sin10°cos10°2sin10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10°＝cos10°－(cos10°－3sin10°)2sin10°＝32.随堂内化1. (2022·潮州期末)已知cos x ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 等于( A )A. －79 B. 79 C. －89D. 89解析： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos2x ＝2cos 2x －1＝2×19－1＝－79.2. (2022·惠州三模)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，63是角α的终边与单位圆的交点，则sin2α等于( C )A. 13 B. －13 C. －223D. 63解析： 由题知，由任意角三角函数的定义可得sin α＝63，cos α＝－33，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×63×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－223.3. (2022·衡阳一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，则cos2α等于( D )A. －79 B. －13 C. 13D. 79解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13，即sin α＝13，从而得cos2α＝1－2sin 2α＝79.4. 已知sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝ －2 .解析： 因为sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos β＝－45.由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，得25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.5. 计算：3cos15°－4sin 215°cos15°解析：3cos15°－4sin 215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°·cos15°＝3cos15°－2sin15°sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝ 2.练案❶ 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(分基础和提高两个版本)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考保分增效天天练》，成书可向当地发行咨询购买．。