江苏省高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2.1对数的概念学案苏教版

幂函数（1）
一、教学重、难点
幂函数的图象和性质 二、新课导航
1.经调查，一种商品的价格和需求如下表所
根据此表，我们可以把价格x 与需求量y 之间近似地满足关系：38.082.114-=x y ，这个关系式与函数38..0-=x y 是相关联的.函数38..0-=x y 是指数函数吗？
2．幂函数的定义：
3．根据活动2填写表中几个幂函数的性质
单调性
三、合作探究
活动1、（1）下列函数中，是幂函数的有 ．
①x y 2=； ②2x y -=； ③4
3
y x =； ④2
1-
=x
y ； ⑤y x =．
（2）已知函数2
2
()(1)m
f x m x -=-是幂函数，则m = ．
（3）已知点在幂函数()f x 的图象上，则函数()f x 的解析式为 ．
活动2、分别作出下列幂函数的示意图
（1）3
x y =； （2）2
1
x y =； （3）2-=x y ； （4）y x =； （5）0y x =．
四、提高拓展 1．（1）12
+=
x y ；
（2）32-
=x y ；（3）12
1-=x y ；（4）22x y -=中是幂函数的有 ____． 2．（1）x y =；（2）x
y -=2；（3）12
1
-=x y ；（4）2-=x y 中在()+∞,0上是减函数的有________．
3．函数2
1
-=x
y 的定义域是 ．
4．函数3
1
x y =的图象关于 对称．
5．函数1-=x y 在)0,(-∞上是 函数（填“增”或“减”）．
五、知识网点。

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3.1.1分数指数幂（2）（预习部分）一、教学目标1．能熟练地进行分数指数幂与根式的互化；2．熟练地掌握有理指数幂的运算法则,并能进行运算和化简;3．会对根式、分数指数幂进行互化；4．培养学生用联系观点看问题．二、教学重点1.分数指数幂含义和运算性质的理解；2。

有理数指数幂的运算和化简。

三、教学难点有理数指数幂的运算和化简 四、教学过程（一）创设情境，引入新课情境：上节课研究了根式的意义和性质，那么根式与指数幂有什么关系？整数指数幂有那些运算性质？（二）推进新课1．正数的分数指数幂的意义：（1）正数的正分数指数幂的意义是m n a = ()0,,,1a m n N n *>∈>；（2）正数的负分数指数幂的意义m n a-= ()0,,,1a m n N n *>∈>． 2．分数指数幂的运算性质：即()1r s a a = ()0,,a r s Q >∈，()()2s r a = ()0,,a r s Q >∈，()()3rab = ()0,0,a b r Q >>∈．3. 有理数指数幂的运算性质对 指数幂同样适用。

第3章指数函数、对数函数和幂函数3．1指数函数3．1.1 分数指数幂(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解根式、分数指数幂的概念；(2)掌握分数指数幂和根式之间的互化；(2)掌握分数指数幂的运算性质．2．过程与方法(1)通过与初中所学的知识(平方根、立方根)进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质．(2)通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念和指数幂的性质．3．情感、态度与价值观(1)培养学生观察、分析、抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；(2)通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；(3)让学生体验数学的简洁美和统一美．●重点、难点重点：根式、分数指数幂的概念及运算性质．难点：运用分数指数幂运算性质化简求值．(教师用书独具)●教学建议1．关于分数指数幂概念的引入的教学 建议教师由初中学习的a ，3a 入手引入．2．分数指数、无理数指数是指数概念的又一次扩充，也是学生学习的重点所在． 建议教师在教学中要让学生反复理解有理数指数幂的意义，分数指数不同于因式的乘积，而是根式的一种新写法，教学中可以通过根式和分数指数的互化来巩固加深对这一概念的理解．关于负分数指数幂和有理数指数幂的意义可以在正分数指数幂的基础上引导学生自己得出．对于无理数指数幂的理解是个难点，可以充分借助科学计算器等计算工具初步理解无限趋近这一重要数学思想．3．正分数指数幂、负分数指数幂以及根式定义(1)必须抓好定义中的底数a >0，并解释清楚a 为什么必须大于0，并不是所有的a <0都无意义，不要使学生进入一个误区，误认为a <0时以上定义均无意义．(2)根式的概念是教学的难点，在教材的基础上，可以再举几个实例加深理解，n 次方根的性质实质是平方根、立方根性质的推广，教学时可以以平方根、立方根为基础加以说明．(3)使学生明确三个概念之间的联系，分数指数幂与根式只是形式不同，它们之间是可以互化的，a －m n ＝1a mn＝1n a m(a >0，m ，n 均为正整数)．(4)关于有理数指数幂的运算性质的教学建议教师先复习幂的推广过程，同时要强调限制条件的变化，建议让学生用自己的语言叙述指数运算的三条性质．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正1．4的平方根是什么？8的立方根是什么？ 【提示】 ±2,22．我们知道x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，试想x 3＝a ，x 4＝a ，x 5＝a …，x 如何定义？ 【提示】 x 分别叫做a 的立方根，四次方根、五次方根…3．因(±2)4＝16，则±2都是16的四次方根吗？16的平方根是多少？正数偶次方根都是两个吗？【提示】 是，±4，是． 4．一个数的奇次方根有几个？ 【提示】 一个． 1．n 次实数方根一般地，如果一个实数x 满足x n＝a (n >1，n ↔N *)，那么称x 为a 的n 次实数方根．需要注意的是，0的n 次实数方根等于0.2．根式的定义式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．1．计算a 4和5a 10(a >0)． 【提示】a 4＝ a 2 2＝a 2＝a 42；5a 10＝5a 2 5＝a 2＝a 105.2．根据a －n＝1a n ，计算m －43.【提示】 m －43＝1m 43.一般地，我们规定(1)a m n＝na m(a >0，m ，n 均为正整数)．(2)a －m n ＝1a m n(a >0，m ，n 均为正整数)．(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．1．计算33×3－5和33＋(－5)，它们之间有什么关系？【提示】 33×3－5＝19，33＋(－5)＝19，相等．2．计算(22)12和22×12，它们之间有什么关系？【提示】 (22)12＝412＝2,22×12＝21，相等．有理数指数幂的运算性质 (1)a s a t＝as ＋t，(2)(a s )t ＝a st， (3)(ab )t＝a tb t，其中s ，t ↔Q ，a >0，b >0.(1)5 －3 5；(2)4 －3 2；(3)4 π－4 2；(4) a －b 2.【思路探究】 根据根式的定义，注意偶次根式与奇次根式的不同，用根式的性质解题． 【自主解答】 (1)5 －3 5＝－3； (2)4 －3 2＝432＝3； (3)4 π－4 2＝4－π；(4) a －b 2＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b a >b ，0 a ＝b ，b －a a <b .1．求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个．2．根式运算中，经常会遇到开方与乘方并存情况，应注意两者运算顺序是否可换，如对ma n仅当a ≥0时，恒有ma n＝(ma )n，若a <0，则不一定．3．根式的性质，n 为奇数时na n＝a ，n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0 ，－a a <0 .计算下列各式的值(1)3 －8 3＝________；(2) －10 2＝________； (3)4 3－π 4＝________；(4) m －n 2(m >n )＝________. 【解析】 3－8 3＝－8； －10 2＝102＝10；43－π 4＝|3－π|＝π－3； m －n 2＝m －n .【答案】 (1)－8 (2)10 (3)π－3 (4)m －n(1)13x 5x 2 2；(2)(4b －23)－23(b >0)；(3)a 3a 4a (a >0)．【思路探究】 各小题中均含有根式，可将根式化为分数指数幂形式，根据分数指数幂的运算性质求解．【自主解答】 (1)原式＝13x x 252＝13xx 45＝13x95＝1 x 95 13＝1x 35＝x －35. (2)原式＝[(b －23)14]－23＝b －23×14×(－23)＝b 19.(3)法一 原式＝ a 3aa 14＝a a 54 13＝(a 1＋512)12＝a 1724. 法二 原式＝(a3a 4a )12＝a 12(3a 4a )12＝a 12[(a 4a )13]12＝a 12a 16(a 14)16＝a 12＋16＋124 ＝a 1724.1．此类问题应熟练应用a m n＝na m (a >0，m ，n ↔N*，且n >1)求解．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．2．一般来说，应化根式为分数指数幂，利用幂的运算性质运算．用分数指数幂的形式表示下列各式(a >0 ，b >0)：(1)38－4；(2)4 －2 60；(3)a 33a 2；(4)a a ；(5) ab 3ab 5. 【解】 (1) 38－4＝8－43＝(23)－43＝2－4；(2)4 －2 60＝2604＝215；(3)a33a 2＝a 3a 23＝a 113；(4)a a ＝aa 12＝a 32＝a 34；(5) ab 3ab 5＝ ab 3a 12b 52＝ a 32b 112＝a 34b 114.求值计算下列各式：(1)(0.064)－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)3a92a －3÷ 3a －73a 13(a >0)．【思路探究】 先化简各个分数指数幂，然后再进行四则运算，注意一般先将小数化为分数．【自主解答】 (1)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[a 13×92a 13×(－32)]÷[a 12×(－73)a 12×133]＝a 96－36＋76－136＝a 0＝1.进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用，一般地进行分数指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．化简求值：(1)a 23b 12(－3a 12b 13)÷(13a 16b 56)(a >0，b >0)；(2)(0.064)－13－(－78)0＋(8116)14＋|－0.01|12.【解】 (1)原式＝(－3÷13)a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a .(2)原式＝(0.43)－13－1＋[(32)4]14＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3.1.已知a 2＋a －2＝4，求下列各式的值．(1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2； (3)a 32－a －32a 12－a －12.【思路探究】 从已知式子和所求式子的特征可以看出，将已知条件式变形平方后可得a ＋a －1，而由a ＋a －1平方后又可得a 2＋a －2，因此可利用整体代换法求解．【自主解答】 (1)∵a 12＋a －12＝a ＋1a ＝4，∴(a ＋1a)2＝a ＋1a＋2＝16.∴原式＝a ＋1a＝14.(2)∵(a ＋1a )2＝a 2＋1a2＋2＝196，∴原式＝a 2＋1a2＝194.(3)∵a 32－a －32＝(a 12)3－(a －12)3，∴a 32－a －32a 12－a －12＝ a 12－a －12 a ＋a －1＋a 12·a －12a 12－a －12＝a ＋a －1＋1＝15.条件等式的求值是代数式中的常见题型．对该类问题一定要分析已知条件，通过将已知条件变形(如平方、因式分解等)寻找已知式和待求式的关系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”的思想方法去求值，可以简化解题过程．已知x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32－3x 2＋x －2－2的值． 【解】 ∵x 12＋x －12＝3，∴两边平方，得(x 12＋x －12)2＝9，∴x ＋x －1＝7.对x ＋x －1＝7两边平方， 得x 2＋x －2＝47.将x 12＋x －12＝3两边立方，得x 32＋x －32＋3(x 12＋x －12)＝27，即x 32＋x －32＝18.∴原式＝18－347－2＝13.不理解na (n 为偶数，a >0)的意义致误求481的值． 【错解】481＝±3.【错因分析】 认为481表示81的4次方根，81的4次方根应表示为±481，而481是其中之一．【防范措施】 当n 为偶数时．正数a 的n 次方根表示为±n a ，而na 只是其中之一． 【正解】 481＝3.1．分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算．利用分数指数幂进行根式的运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算，最后的结果再用根式表示．2．应用公式进行根式的变形时，应注意公式成立的条件，以减少运算的失误．三条运算性质必须记准、记熟、会用、用活．3．条件代数式化简的方法：条件代数式灵活化简很重要，在解化简求值问题时常用的方法有：有“求值后代换”或“整体代换”.1．16的4次方根是________． 【解析】 ∵(±2)4＝16， ∴16的4次方根是±2. 【答案】 ±22．化简 π－4 2＋3 π－4 3的结果为________． 【解析】 原式＝|π－4|＋(π－4)＝4－π＋π－4＝0. 【答案】 03．已知a >0且a ＋a －1＝2，则a 2＋a －2＝________. 【解析】 a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝4－2＝2. 【答案】 24．化简： a 23b －1 －12a －12b 136ab5(其中各字母均为正数)．【解】 原式＝ a 23b －1 －12a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16b 12＋13－56＝a－1＝1a.一、填空题1．求下列各式的值： (1)5－32＝________； (2) －3 4＝________；(3) 2－3 2＝________.【解析】 (1)5－32＝5－25＝－2； (2) －3 4＝34＝9；(3) 2－3 2＝|2－3|＝3－ 2. 【答案】 (1)－2 (2)9 (3)3－ 2 2．计算23×31.5×612的结果是________． 【解析】 原式＝2×312×(32)13×(3×4)16＝2(1－13＋13)×3(12＋13＋16)＝2×3 ＝6. 【答案】 63．如果x －23＝4，则x 的值是________．【解析】 ∵x －23＝4，∴x ＝(14)32＝18.【答案】 184．(2013·南通高一检测)化简3a92a －3(a >0)＝________. 【解析】 ∵a >0，∴原式＝3a 92a －32＝3a 3＝a .【答案】 a5．若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.【解析】 原式＝(2x 14)2－(332)2－4x －12＋1＋4x －12＋12＝4x 12－27－4x 12＋4＝－23.【答案】 －236．计算：4－23＋4＋23＝________.【解析】 原式＝ 3－1 2＋ 3＋1 2＝(3－1)＋(3＋1)＝2 3. 【答案】 2 37．已知10m ＝2,10n＝3，则103m －n 2的值是________．【解析】 由于10m ＝2,10n＝3， 所以103m －n 2＝(103m －n )12＝[(10m )3÷10n ]12＝(23÷3)12＝(83)12＝263. 【答案】2638．化简：a 3b 23ab 2a 14b 12 4a －13b 13(a >0，b >0)＝________.【解析】 原式＝ a 3b 2a 13b 23 12ab 2a －13b 13＝a 53b43a 23b73＝ab －1＝a b .【答案】 ab二、解答题9．(1)化简3xy 2xy －1xy (xy )－1；(2)计算2－12＋ －4 02＋12－1－ 1－5 0－823.【解】 (1)原式＝[xy 2(xy －1)12]13(xy )12－1＝x 13y 23|x |16|y |－16|x |－12|y |－12＝x 13|x |－13＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0.(2)原式＝12＋12＋2＋1－1－382＝2＋2－4＝22－4.10．(2013·天门高一检测)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值．【解】a －b a ＋b ＝ a －b 2a ＋b a －b＝a ＋b －2aba －b .∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴a ＋b ＝6，ab ＝4.(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝62－4×4＝20. 又a >b >0，∴a －b ＝2 5. ∴原式＝6－2×225＝55.11．已知函数f (x )＝2x ＋2－x 2，g (x )＝2x －2－x2.(1)求证：[f (x )]2－[g (x )]2＝1；(2)求证：f (2x )＝[f (x )]2＋[g (x )]2，g (2x )＝2f (x )g (x )．【证明】 (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )]＝2x ·2－x＝1. (2)由f (x )＋g (x )＝2x ，f (x )－g (x )＝2－x， 平方相加得2{[f (x )]2＋[g (x )]2}＝22x＋2－2x＝2f (2x )，即f (2x )＝[f (x )]2＋[g (x )]2； 平方相减得4f (x )g (x )＝22x－2－2x＝2g (2x )，即g (2x )＝2f (x )g (x ).(教师用书独具)已知pa 3＝qb 3＝rc 3，且1a ＋1b ＋1c ＝1.求证：(pa 2＋qb 2＋rc 2)13＝p 13＋q 13＋r 13.【思路探究】 令pa 3＝qb 3＝rc 3＝k ，用等量代换分别表示出所证等式左、右两边的量，最后化简判断．【自主解答】 令pa 3＝qb 3＝rc 3＝k ，则pa 2＝ka，qb 2＝k b，rc 2＝k c，∴所证等式左边＝(k a ＋k b ＋k c )13＝[k (1a ＋1b ＋1c )]13＝k 13，所证等式右边＝(k a 3)13＋(k b 3)13＋(k c 3)13＝k 13(1a ＋1b ＋1c )＝k 13， ∴(pa 2＋qb 2＋rc 2)13＝p 13＋q 13＋r 13.对于“恒等式”，如本例，我们往往令它等于一个常数k ，然后以k 为“媒介”化简，这样可以使问题很容易解决．已知3a·2b＝3c·2d＝6，求证(a －1)(d －1)＝(b －1)·(c －1)． 【证明】 ∵3a·2b＝3×2，∴3a －1·2b －1＝1，∴(3a －1·2b －1)d －1＝1，即3(a －1)(d －1)·2(b －1)(d －1)＝1.①又3c ·2d＝3×2， ∴3c －1·2d －1＝1， ∴(3c －1·2d －1)b －1＝1，即3(c －1)(b －1)·2(d －1)(b －1)＝1.②由①②可知3(a －1)(d －1)＝3(c －1)(b －1)，∴(a －1)(d －1)＝(c －1)(b －1).3.1.2 指数函数第1课时 指数函数的概念、图象与性质(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质． (2)体会数形结合的思想． 2．过程与方法(1)能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征． (2)展示函数的图象，让学生观察，进而研究指数函数的性质．3．情感、态度与价值观(1)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．(2)培养学生观察问题，分析问题的能力． ●重点、难点重点：指数函数的概念及性质．难点：指数函数性质的归纳、概括及应用．(教师用书独具)●教学建议1．关于指数函数的概念的教学建议教师先复习正整数指数函数的定义，类比此定义，引出此概念，并分析其定义的特点，以加深认识层次．2．关于指数函数的图象与性质的教学建议教师从实例y ＝2x，y ＝(12)x 出发，让学生画出其图象，引导学生对比观察，类比正整数指数函数图象性质，再得出一般指数函数的图象及性质，在教学过程中要注意多运用现代教学工具，直观教学．3．关于函数图象变换的教学建议教师结合具体函数如y ＝2x，y ＝(12)x 的图象让学生观察总结规律，并给予相应的训练，强调注意点，以强化记忆．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!错误!课标解读1.理解指数函数的定义(重点)．已知y ＝2x，y ＝(13)x .1．上面两个关系式是函数式吗？ 【提示】 是．2．这两个函数在形式上有何共同特点？ 【提示】 底数为常数，指数为自变量．一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，它的定义域是R .1．试作出函数y ＝2x(x ↔R )和y ＝(12)x (x ↔R )的图象．【提示】2．两函数图象有无交点？【提示】 有交点，其坐标为(0,1).3.两函数的图象与x 轴有交点吗？ 【提示】 没有交点，图象在x 轴上方．4．两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？【提示】 定义域都是R ；值域是(0，＋∞)；函数y ＝2x是增函数，函数y ＝(12)x 是减函数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝10x ＋1；(3)y ＝－4x；(4)y ＝x x；(5)y ＝x α(α是常数)； (6)y ＝(2a －1)x(a >12，a ≠1)．【思路探究】 依据是否符合y ＝a x(a >0，a ≠1)的形式逐一给出判断． 【自主解答】 (1)y ＝10x符合定义，是指数函数； (2)y ＝10x ＋1中指数是x ＋1而非x ，不是指数函数；(3)y ＝－4x中4x的系数为－1而非1，不是指数函数；(4)y ＝x x中底数和指数均是自变量x ，不符合指数函数定义，不是指数函数． (5)y ＝x α中底数是自变量，不是指数函数． (6)∵a >12且a ≠1，∴2a －1>0且2a －1≠1.∴y ＝(2a －1)x(a >12，a ≠1)符合指数函数的定义，是指数函数．判断一个函数是否为指数函数，只需判定其解析式是否符合y ＝a x(a >0，a ≠1)这一结构形式，其具备的特点为：指数函数⇒底数a 是一个常数，不含自变量x ，a >0，a ≠1a x的系数为1指数位置是x 且它的系数为1函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，求a 的值． 【解】 ∵函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1，a >0，a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a >0，a ≠1，∴a ＝2.(1)(56)－0.24与(56)－14；(2)(1π)－π与1；(3)(0.8)－2与(54)－12.【思路探究】 因为是两个指数幂比较大小，故解答本题可利用指数函数的图象与性质或通过寻求第三个数，将两数进行比较．【自主解答】 (1)考察函数y ＝(56)x .∵0<56<1，∴函数y ＝(56)x在(－∞，＋∞)上是减函数．又－0.24>－14，∴(56)－0.24<(56)－14. (2)考察函数y ＝(1π)x ，∵0<1π<1，∴函数y ＝(1π)x在(－∞，＋∞)上是减函数．又－π<0，∴(1π)－π>(1π)0＝1.(3)先考察函数y ＝0.8x. ∵0<0.8<1，∴函数y ＝0.8x在(－∞，＋∞)上是减函数． 又－2<0，∴0.8－2>0.80＝1. 再考察函数y ＝(54)x.∵54>1，∴函数y ＝(54)x在(－∞，＋∞)上是增函数． 又－12<0，∴(54)－12<(54)0＝1.综上可知0.8－2>(54)－12.比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．比较下列各组数的大小 (1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,1.250.2；(3)1.70.3,0.93.1.【解】 (1)由于底数1.7>1，所以指数函数y ＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数． 又因为2.5<3，所以1.72.5<1.73. (2)1.250.2＝0.8－0.2，由于0<0.8<1，所以指数函数y ＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.8－0.1<1.250.2.(3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90<1，所以1.70.3>0.93.1.【思路探究】 分a >1和0<a <1两种情况，并结合指数函数的单调性求解． 【自主解答】 (1)当0<a <1时，由a 2x ＋1≤ax －5，知2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. (2)当a >1时，由a2x ＋1≤ax －5，知2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6. 综上所述，x 的取值范围是： 当0<a <1时，{x |x ≥－6}； 当a >1时，{x |x ≤－6}．解指数不等式问题，需注意三点：(1)形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解；(3)形如a x >b x的形式，利用图象求解．把题设条件“a2x ＋1≤ax －5”换成“a2x ＋1≤1”，其余条件不变，求相应问题．【解】 (1)当0<a <1时，由a 2x ＋1≤1＝a 0，得2x ＋1≥0，解得x ≥－12.(2)当a >1时，由a2x ＋1≤1＝a 0，得2x ＋1≤0，解得x ≤－12.综上所述，当0<a <1时，x 的取值范围是{x |x ≥－12}；当a >1时，x 的取值范围是{x |x ≤－12}.对指数函数的概念理解不深刻致误判断下列函数是否为指数函数．①y ＝2x＋2；②y ＝x 12；③y ＝(13)－x .【错解】 ①②是指数函数，③不是指数函数．【错因分析】 忽略了指数函数的解析式是单项式，误认为①是指数函数；忽略了自变量在指数位置，误认为②是指数函数；没有将y ＝(13)－x 变形为y ＝3x，误认为③不是指数函数．【防范措施】 对指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的解析式，要把握如下特点：①自变量在指数位置，②底数是大于0且不等于1的常数，③解析式是单项式且系数为1.【正解】 ①②不是指数函数，③是指数函数．1．准确理解指数函数的定义在指数函数的定义表达式y ＝a x(a >0，且a ≠1)中，a x前的系数必须是1，自变量x 在指数的位置上，否则不是指数函数．2．幂的大小比较幂的大小比较常用的方法有：作差(商)法，函数单调性法，中间值法以及数形结合法． 3．解型如a f (x )>ag (x )(a >0且a ≠1)的不等式，主要依据指数函数的单调性，当a >1时，可转化为f (x )>g (x )，当0<a <1时，可转化为f (x )<g (x ).1．下列函数中是指数函数的序号是________． (1)y ＝x 4；(2)y ＝2－x；(3)y ＝－2x；(4)y ＝(－2)x ；(5)y ＝πx.【解析】 (1)(3)不满足指数函数的基本形式，即y ＝a x，故不是指数函数； (4)中a ＝－2<0，不是指数函数；函数y ＝2－x＝(12)x ，则(2)中函数是指数函数，(5)显然也是指数函数，故(2)(5)是指数函数．【答案】 (2)(5)2．函数f (x )＝5x＋1的值域为________．【解析】 ∵5x>0，∴5x＋1>1，即函数的值域为(1，＋∞)． 【答案】 (1，＋∞)3．(2013·宿迁高一检测)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．【解析】 ∵0<5－12<1， ∴f (x )＝a x在R 上单调递减，又f (m )>f (n )，∴m <n . 【答案】 m <n4．比较下列各组数的大小． (1)(23)－1.8与(23)－2.6；(2)(56)－23与1；(3)1.80.4与0.75.1.【解】 (1)考察函数y ＝(23)x，它在R 上是单调减函数．∵－1.8>－2.6， ∴(23)－1.8<(23)－2.6. (2)考察函数y ＝(56)x，它在R 上是单调减函数．∵－23<0，∴(56)－23>(56)0＝1，∴(56)－23>1.(3)由指数函数性质知 1.80.4>1.8＝1,0.75.1<0.7＝1，故1.80.4>0.75.1.一、填空题1．函数y ＝(a －2)x是指数函数，则a 的取值范围是________． 【解析】 由题意，得a －2>0且a －2≠1， ∴a >2且a ≠3. 【答案】 a >2且a ≠32．若指数函数f (x )的图象经过点(2,9)，则f (1)＝________. 【解析】 设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)， 由a 2＝9得a ＝3， ∴f (x )＝3x，则f (1)＝3. 【答案】 33．函数y ＝2x－8的定义域为________， 【解析】 由2x－8≥0得x ≥3. 【答案】 [3，＋∞) 4．不等式0.52x>0.5x －1的解集为________．【解析】 由0.52x >0.5x －1，得2x <x －1，解得x <－1.∴原不等式的解集为{x |x <－1}．【答案】 {x |x <－1}5．函数y ＝16－4x的值域是________． 【解析】 ∵4x>0， ∴0≤16－4x<16， ∴y ＝16－4x↔[0,4)． 【答案】 [0,4)6．下列图中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝(ba)x的图象只可能为________．【解析】 由指数函数y ＝(b a)x的图象知0<b a<1，∴a ，b 同号，二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴是直线x ＝－b 2a ，而0>－b 2a >－12，∴②③④都不正确． 【答案】 ①7．当x >0时，(a 2－1)x<1恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 ∵x >0时，(a 2－1)x<1恒成立． ∴0<a 2－1<1，解得1<a <2或－2<a <－1. 【答案】 1<a <2或－2<a <－18．(2013·临沂高一检测)函数y ＝(13)x －3x在区间[－1，1]上的最大值为________．【解析】 因y ＝(13)x 与y ＝－3x 在[－1, 1]上为减函数，故函数y ＝(13)x －3x在[－1,1]上单调递减，∴y max ＝(13)－1－3－1＝83.【答案】 83二、解答题9．设f (x )＝3x，g (x )＝(13)x .(1)在同一坐标系中作出f (x )、g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？【解】 (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝(13)－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝(13)－π＝3π； f (m )＝3m ，g (－m )＝(13)－m ＝3m .从计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a ＞0，a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域； (3)比较f (2)与f (b 2＋2)的大小． 【解】 (1)函数图象过点(2，12)，所以a2－1＝12，则a ＝12. (2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1， 于是0＜(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0,2]．(3)∵f (x )＝(12)x －1是减函数，且b 2＋2≥2，∴f (b 2＋2)≤f (2)．11．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．【解】 (1)若a >1，则f (x )是增函数，由题意可得f (2)－f (1)＝a2，即a 2－a ＝a 2，解得a ＝32.(2)若0<a <1，则f (x )是减函数，故f (1)－f (2)＝a2，即a －a 2＝a2，解得a ＝12.综上所述，a ＝12或a ＝32.(教师用书独具)求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝21x －1； (2)y ＝52x －1；(3)y ＝(12)2x －x 2；(4)y ＝9x＋2×3x－1.【思路探究】 本题主要考查指数型函数的定义域与值域，求值域时，关键由定义域、单调性和指数函数的值域求解．【自主解答】 (1)要使函数有意义，则x －1≠0，即x ≠1，∴函数的定义域为{x |x ≠1，且x ↔R }．∵x ≠1，1x －1≠0，∴21x －1≠1. ∴函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)由2x －1≥0，得函数的定义域为{x |x ≥12}．∵2x －1≥0，∴2x －1≥0，∴y ＝52x －1≥1.∴函数的值域为{y |y ≥1}． (3)函数的定义域为R .∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴y ＝(12)2x －x 2≥12.∴函数的值域为{y |y ≥12}．(4)函数的定义域为R .令t ＝3x ，则t >0，y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为－1. 当t >0时，函数y ＝(t ＋1)2－2为单调增函数， ∴当t >0时，y ＝(t ＋1)2－2>1－2＝－1. ∴函数的值域为{y |y >－1}．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A ，再由函数的定义域A 求内函数的值域B ，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如第(4)小题是由函数y ＝t 2＋2t －1和函数t ＝3x复合而成，先求得原函数的定义域为R ，再由x ↔R ，得t >0(即得到内函数的值域B )，然后由t >0，得到原函数的值域为{y |y >－1}．(1)函数y ＝21x －3的定义域是________，值域是________． (2)函数y ＝(23)－|x |的值域是________，【解析】 (1)由x －3≠0，得x ≠3， ∴定义域为{x |x ≠3}． 又1x －3≠0，∴21x －3≠1， ∴y ＝21x －3的值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)定义域为x ↔R ， ∵|x |≥0，∴－|x |≤0， ∴y ＝(23)－|x |的值域为{y |y ≥1}．【答案】 (1){x |x ≠3} {y |y >0且y ≠1} (2){y |y ≥1}第2课时 指数函数的图象与性质的应用(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)掌握函数图象的平移变换与对称变换．(2)熟练掌握指数形式的函数定义域、值域的求法以及单调性、奇偶性判断． (3)会解指数函数型的应用题．2．过程与方法(1)让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．(2)培养学生观察问题，分析问题能力．3．情感、态度与价值观(1)认识从特殊到一般的研究方法．(2)了解数学在生产实际中的应用．●重点、难点重点：指数形式的函数图象、性质的应用．难点：判断单调性．(教师用书独具)●教学建议1．关于函数图象变换的教学建议教师结合教材例3总结基本函数图象的变换规律，即y＝f(x)的图象通过平移得到y＝f(x＋a)与y＝f(x)＋a的图象，通过对称可得到y＝f(－x)，y＝－f(x)与y＝－f(－x)的图象，并比较它们变换的不同之处．2．关于指数函数单调性应用的教学建议教师在教学时，对学生特别强调底数a的范围对于单调性的影响，以便利用单调性进行数的大小比较以解不等式，对于含有参数的不等式要注意分类讨论．3．关于指数函数型模型的应用题的教学建议教师在加强学生对函数概念的理解和指数函数性质的运用时，同时要强调面对具体的问题，对其中蕴含的一些数学模型进行思考和作出判断，建立合理的数学模型，通过数学的方式解决实际应用题．●教学流程通过例1及其变式训练，使学生掌握与指数函数有关的几种党风函数的变换方法⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握运用指数函数解决实际应用问题的方法⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握综合运用指数函数的性质解决有关问题的方法⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正利用函数f (x )＝(2)x的图象，作出下列各函数的图象．(1)f (x －1)；(2)f (x ＋1)；(3)－f (x )； (4)f (－x )；(5)f (x )－1.【思路探究】 解答本题的关键在于分清楚变换过程，先画出y ＝(12)x的图象，再画出所要作的图象．【自主解答】 图象如图所示：函数图象变换的规律：(1)对于左右平移变换，可以简单记作：左加右减，它只变其中的x ，如y ＝3x 2――→左移2个单位y ＝3(x ＋2)2；(2)对于上下平移变换，可简单记作：上加下减，它是作用于解析式整体上的，如y ＝3x 2――→上移2个单位y ＝3x 2＋2；(3)对于对称变换的特点：关于x 轴对称：“y ”变为“－y ”；关于y 轴对称：“x ”变为“－x ”．可简单记作关于哪个轴对称，哪个轴对应的变量不变，即对称变换只分别作用于x 和y ，与它们的系数无关．已知函数y ＝(12)|x |，作出函数图象，求定义域、值域，并探讨y ＝(12)x (x ≥0)与y ＝(12)|x |的图象的关系．【解】 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x ，x <0的图象如图所示，定义域为R ，值域为(0,1]．图象间的关系：将y ＝(12)x(x ≥0)的图象翻折到y 轴左侧(右侧的图象不动)，得到y ＝(12)|x |的图象.(1)试写出x 年后该城市人口总数y 万人与x 之间的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．【思路探究】本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为P，则对于x年后的人口总数y，可以用y＝N(1＋P)x表示．【自主解答】(1)1年后城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3，…故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．答：(1)x年后该城市人口总数y万人与x之间的函数关系式为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤：(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木．该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为18%，以后每年的木材增长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满，问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？(参考数据：1.15≈1.61)【解】不妨设新树苗的木材量为Q，若连续生长10年，则木材量为N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；若生长5年重栽新树苗，则木材量为M＝2Q(1＋18%)5，则M N ＝2Q 1＋18% 5Q 1＋18% 5 1＋10% 5＝21.15≈21.61>1.所以M>N，即生长5年重栽新树苗可获得较多的成材木材量.若函数y ＝2x－1为奇函数．(1)确定a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域； (4)讨论函数的单调性．【思路探究】 先由f (－x )＝－f (x )求出a 的值，再分别解决其他问题． 【自主解答】 先将函数y ＝a ·2x －1－a2x－1化简为y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0， 即a －12－x－1＋a －12x －1＝0. ∴2a ＋1－2x1－2x ＝0.∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x－1≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴2x－1>－1.又∵2x－1≠0，∴0>2x－1>－1或2x－1>0. ∴－12－12x －1>12或－12－12x －1<－12，即函数的值域为{y |y >12或y <－12}．(4)当x >0时，设0<x 1<x 2， 则y 1－y 2＝12x 2－1－12x 1－1＝2x 1－2x 22x 2－1 2x 1－1. ∵0<x 1<x 2， ∴1<2x 1<2x 2.∴2x 1－2x 2<0,2x 1－1>0,2x 2－1>0. ∴y 1－y 2<0.因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上递增．由于y ＝f (x )是奇函数，从而y ＝－12－12x －1在(－∞，0)上也是递增的．1．在解答第(3)问时注意应用指数函数y ＝2x的值域．在解答第(4)问时注意作差变形是解题的关键．2．与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解.将本题中函数改为f (x )＝a －22x＋1(x ↔R )试解答下面问题： (1)证明：对于任意a ，f (x )在R 上为增函数； (2)试确定a 的值，使f (x )为奇函数． 【解】 (1)设x 1、x 2↔R ，x 1<x 2， ∴f (x 2)－f (x 1)＝a －22x 2＋1－(a －22x 1＋1) ＝2 2x 2－2x 12x 2＋1 2x 1＋1.由于指数函数y ＝2x在R 上是增函数，且x 1<x 2， ∴2x 1<2x 2，2x 2－2x 1>0.又由2x>0，得2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)． ∵此结论与a 取值无关，∴对于任意实数a ，f (x )在R 上为增函数． (2)若f (x )为奇函数， 则f (－x )＝－f (x )， 即a －22－x ＋1＝－a ＋22x＋1， 变形，得2a ＝22x ＋1＋22－x ＋1＝2＋2·2x2x ＋1＝2，解得a ＝1.∴当a ＝1时，f (x )为奇函数.忽略指数函数的值域致误已知方程9x －2·3x＋3k －1＝0有两个实数解，试求实数k 的取值范围． 【错解】 令t ＝3x ，则原方程可化为t 2－2t ＋3k －1＝0， 要使方程有两个实数解，则Δ＝(－2)2－4(3k －1)≥0， 解得k ≤23.【错因分析】 换元后t ＝3x >0.Δ≥0只能保证方程t 2－2t ＋3k －1＝0有两个实数解，不能保证原方程有两个实数解．【防范措施】 用换元法解题时，一定要利用原变量的范围确定中间变量的范围，这样才可达到等价变换的效果．【正解】 令t ＝3x，则t >0.原方程有两个实数解，即方程t 2－2t ＋3k －1＝0有两个正实数解， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝ －2 2－4 3k －1 ≥0，t 1＋t 2＝2>0，t 1t 2＝3k －1>0，解得13<k ≤23.1．图象变换法作图的一般步骤是：选取函数；写变换过程；画图象． 2．利用函数的单调性规律判断y ＝f (a x)型或y ＝a f (x )型函数的单调性，是一种重要的题目类型，解决该问题的主要方法是“换元法”．3．本节知识在日常生活、生产中应用广泛，可涉及增长率、销售、税收等各个方面，在解决各类问题时，要细心分析，联系已学的知识及方法，将实际问题解决.1．函数y ＝2x ＋1的图象是图中的________．(填序号)【解析】 y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x的图象向左平移一个单位得到的，故②正确．【答案】 ②2．某工厂一月份产值为a 万元，这一年内的月平均增长率为x ，则该工厂十二月份的产值为________万元．【解析】 由题意，二月份的产值为a (1＋x )， 三月份的产值为a (1＋x )(1＋x )＝a (1＋x )2， ⋮十二月份的产值为a (1＋x )11. 【答案】 a (1＋x )113．函数f (x )＝1－23x ＋1在R 上是________函数(填“奇”或“偶”)．【解析】 因为f (x )＝1－23x ＋1＝3x－13x ＋1，所以f (－x )＝3－x－13－x ＋1＝13x －113x ＋1＝1－3x1＋3x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝1－23x＋1在R 上是奇函数． 【答案】 奇4．求函数y ＝4－x －2－x＋1，x ↔[－3,2]的最大值和最小值． 【解】 令2－x＝t ，由x ↔[－3,2]知，t ↔[14，8]，∴y ＝4－x－2－x＋1＝(2－x )2－2－x＋1＝t 2－t ＋1＝(t －12)2＋34，∴当t ＝12时，y min ＝34，当t ＝8时，y max ＝57. 综上函数的最大值为57，最小值为34.一、填空题1．函数y ＝4x－1的图象是由函数y ＝4x的图象向________平移________个单位长度得到的．【解析】 将函数y ＝4x的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝4x－1的图象． 【答案】 下 12．定义域为R 的函数y ＝f (x )的值域为[1,2]，则函数y ＝f (x ＋2)的值域为________． 【解析】 ∵函数y ＝f (x ＋2)的图象可由y ＝f (x )的图象向左平移两个单位得到，故f (x )与f (x ＋2)的值域相同．【答案】 [1,2]3．某种细菌在培养的过程中，每20 min 分裂一次(一个分裂为两个)，经过3 h ，这样的细菌由一个分裂为________个．【解析】 由题意可知，经过3 h ，细菌共分裂了9次，这时这样的细菌由一个分裂为29＝512个．【答案】 5124．(2013·南通高一检测)已知f (x )＝e x －e －x2，则下列正确说法的序号是________．①奇函数，在R 上为增函数 ②偶函数，在R 上为增函数 ③奇函数，在R 上为减函数 ④偶函数，在R 上为减函数【解析】 f (x )＝e x －e －x2＝12e x －12(1e )x，由f (－x )＝e －x－e x 2＝－e x －e－x2＝－f (x )，。

第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数对数A 级| 根底稳固1．假设log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0 ,那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由log 2(log 3x )＝0 ,得log 3x ＝1 ,那么x ＝3. 同理y ＝4 ,zx ＋y ＋z ＝3＋4＋2＝9. 答案：A2．log 2x ＝3 ,那么x －12等于( ) A.13 B.123 C.133 D.24 解析：因为log 2x ＝3 ,所以x ＝23＝8. 那么x －12＝8－12＝18＝24. 答案：D3．log 242＋log 243＋log 244等于( ) A ．1 B ．2 C ．24 D.12解析：log 242＋log 243＋log 244＝log 24(2×3×4)＝log 2424＝1. 答案：A4．计算log 916·log 881的值为( ) A ．18 B.118 C.83 D.38解析：log 916·log 881＝lg 24lg 32·lg 34lg 23＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.答案：C5．假设lg x ＝a ,lg y ＝b ,那么lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值为( )A.12a －2b －2 B.12a －2b ＋1 C.12a －2b －1 D.12a －2b ＋2 解析：原式＝12lg x －2lg y 10＝12lg x －2(lg y －1)＝12a －2(b －1)＝12a－2b ＋2.答案：D6．对数式lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18的化简结果为( )A ．1B ．2C ．0D ．3解析：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0. 答案：C7．方程log 2(1－2x )＝1的解x ＝________． 解析：因为log 2(1－2x )＝1＝log 22 , 所以1－2xx ＝－12.经检验满足1－2x ＞0. 答案：－128．假设x ＞0 ,且x 2＝916 ,那么x log 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝________． 解析：由x ＞0 ,且x 2＝916.所以x ＝34.从而x log 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝34log 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝43.答案：439．m ＞0 ,且10x＝lg(10m )＋lg 1m,那么x ＝________．解析：因为lg(10m )＋lg 1m ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10m ·1m ＝lg 10＝1 ,所以10x ＝1 ,得x ＝0. 答案：010．假设log a b ·log 3a ＝4 ,那么b ＝________． 解析：因为log a b ·log 3a ＝log 3blog 3a ·log 3a ＝log 3b ,所以log 3b ＝4 ,b ＝34＝81. 答案：8111．设log a 3＝m ,log a 5＝n .求a 2m ＋n 的值． 解：由log a 3＝m ,得a m ＝3 , 由log a 5＝n ,得a n ＝5 ,所以a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.12．计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋lg22；(2)lg23－lg 9＋1 (lg 27＋lg 8－lg 1 000 )·lg 1.2.解：(1)原式＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5)＋lg22＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.(2)原式＝lg23－2lg 3＋1⎝⎛⎭⎪⎫32 lg 3＋3lg 2－32 (lg 3－1 )· (lg 3＋2lg 2－1 )＝ (1－lg 3 )·32 (lg 3＋2lg 2－1 ) (lg 3－1 )· (lg 3＋2lg 2－1 )＝－32.B级|能力提升13．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③假设10＝lg x,那么x＝10；④假设e＝ln x,那么x＝e2.其中正确的选项是()A．①③B．②④C．①②D．③④解析：因为lg 10＝1 ,ln e＝1, 所以①②正确．由10＝lg x得x＝1010 ,故③错；由e＝ln x得x＝e e ,故④错．答案：C14．2x＝3 ,log483＝y ,那么x＋2y等于()A．3 B．8 C．4 D．log48 解析：由2x＝3 ,得x＝log23 ,所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2×log 283log 24＝log 23＋log 283＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫3×83＝log 28＝3.答案：A15．地震的震级|R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．A ,B ,那么A 地地震的能量是B 地地震能量的________倍．解析：由R ＝23(lg E －11.4) ,得32R ＋11.4＝lg E ,故E ＝1032R ＋11.4. 设A 地和B 地地震能量分别为E 1 ,E 2 ,那么E 1E 2＝1032×91032×＝1032＝1010.即A 地地震的能量是B 地地震能量的1010倍． 答案：101016．log 2(log 3(log 4x ))＝0 ,且log 4(log 2y )＝1 ,求x ·y 34的值． 解：因为log 2(log 3(log 4x ))＝0 ,所以log 3(log 4x )＝1. 所以log 4xx ＝43＝64.由于log 4(log 2y )＝1 ,知log 4y ＝4 ,所以y ＝24＝16.因此x ·y 34＝64×1634＝8×8＝64.17．一台机器原价20万元 ,由于磨损 ,% ,问经过多少年这台机器的价值为8万元(lg 2≈≈0.960 2)?解：设经过x 年 ,这台机器的价值为8万元 ,那么8＝20(1－0.087 5)x ,即0.912 5x ＝0.4.两边取以10为底的对数 , 得x ＝错误!＝错误!＝错误!≈10(年)．所以约经过10年这台机器的价值为8万元．18．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c log x 2＝0 ,甲写错了常数b ,得两根14 ,18；乙写错了常数c ,得两根12 ,64.求这个方程的真正根．解：原方程变形为(log 2x )2＋b log 2x ＋c ＝0.① 由于甲写错了常数b ,得到的根为14和18.所以c ＝log 214·log 218＝6.由于乙写错了常数c ,得到的根为12和64 ,所以b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212＋log 264＝－5. 故方程①为(log 2x )2－5log 2x ＋6＝0 , 解得log 2x ＝2或log 2x ＝3 , 所以x ＝22或x ＝23.所以 ,这个方程的真正根为x ＝4或x ＝8.。

第2课时 对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么： 指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________． 解析：由等式得(x －2y )2＝xy ， 从而(x －y )(x －4y )＝0， 因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ， 因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )， 即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2，从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数， 所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。

3．2.1对数第1课时对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念思考解指数方程：3x＝ 3.可化为3x＝123，所以x＝12.那么你会解3x＝2吗？★★答案★★不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．梳理对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数．log10N可简记为lg_N，log e N简记为ln_N.知识点二对数与指数的关系思考log a1(a>0，且a≠1)等于？★★答案★★设log a1＝t，化为指数式a t＝1，则不难求得t＝0，即log a1＝0.梳理(1)对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.对数恒等式：log a Na＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1)．(2)对数的性质①1的对数为零；②底的对数为1；③零和负数没有对数．类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________． ★★答案★★ 2<b <5且b ≠4 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0. 跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域．解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域为(0,1)．类型二 应用对数的基本性质求值 例2 求下列各式中x 的值． (1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1. 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为________． ★★答案★★ 9解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9. 类型三 对数式与指数式的互化 命题角度1 指数式化为对数式 例3 将下列指数式写成对数式．(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解 (1)log 5625＝4.(2)log 2164＝－6.(3)log 327＝a .(4)13log 5.73＝m .反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式．(2)解方程：⎝⎛⎭⎫13m＝5.解 (1)3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝⎛⎭⎫126＝164可化为12log 164＝6.(2)m ＝13log 5.命题角度2 对数式化为指数式 例4 求下列各式中x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ；(4)－lne 2＝x ；(5)21)log 13＋22＝x .解 (1)x ＝2364-＝233(4)-＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以x ＝166()x ＝168＝136(2)＝122＝ 2.(3)因为10x ＝100＝102，所以x ＝2. (4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2，即e －x ＝e 2. 所以x ＝－2. (5)因为21)log -)13＋22＝x ，所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1.反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)43log 81；(3)345log 625.解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.(2)设x ＝43log 81，则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,43x＝34，∴x ＝16.(3)令x ＝345log 625，则⎝⎛⎭⎫354x＝625,435x ＝54，∴x ＝3.命题角度3 对数恒等式log a Na＝N 的应用例5 (1)求＝2中x 的值； (2)求的值(a，b ，c ∈(0，＋∞)且不等于1，N ＞0)． 解 (1)∵＝33·＝27x ＝2，∴x ＝227. (2)＝＝＝N . 反思与感悟 应用对数恒等式时应注意 (1)底数相同．(2)当N >0时才成立，例如y ＝x 与y ＝log a xa 并非相等的函数．跟踪训练5 设5log (21)25x -＝9，则x ＝________.★★答案★★ 2 解析 ∵5log (21)25x -＝()5log (21)25x -＝5log (21)2(5)x -＝(2x －1)2＝9.∴2x －1＝±3，又∵2x －1>0，∴2x －1＝3. ∴x ＝2.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是________． ★★答案★★ b a ＝N2．若log a x ＝1，则x ＝________. ★★答案★★ a3．下列指数式与对数式互化不正确的一组的序号是________． ①e 0＝1与ln1＝0； ②138-＝12与log 812＝－13； ③log 39＝2与129＝3； ④log 77＝1与71＝7. ★★答案★★ ③33log 3x+log log log a b c b c Na ⋅⋅33log 3x +3log 3x log loglog a b c b c N a ⋅⋅log log log ()a b c b c Na⋅log c Nc4．已知log x 16＝2，则x ＝________. ★★答案★★ 45．设10lg x ＝100，则x 的值等于________． ★★答案★★ 1001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a Na＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．课时作业一、填空题 1．有下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的序号为________． ★★答案★★ ①③④解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式． 2．已知log 2(1－2x )＝1的解x ＝________. ★★答案★★ －12解析 ∵log 2(1－2x )＝1， ∴2＝1－2x ， ∴x ＝－12.3．3log＝________.★★答案★★ 8 解析 设3log＝t ，则(3)t＝81,32t＝34，t 2＝4，t ＝8. 4．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2. 其中正确等式的序号是________．★★答案★★ ①②解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0； ③若lg x ＝10，则x ＝1010；④若ln x ＝e ，则x ＝e e . 5．(12)－1＋log 0.54的值为________．★★答案★★ 0解析 (12)－1＋log 0.54＝(12)－1＋log 124＝2－2＝0.6．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是________．★★答案★★ 45解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.7．已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝________.★★答案★★2解析 令log 2x ＝12，则x ＝212＝2，即f (12)＝f (log 22)＝ 2.8．方程3log 2x＝14的解是________． ★★答案★★ x ＝19解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.9．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.★★答案★★24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x . ∴x12-＝(23)12-＝18＝122＝24. 10．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝________. ★★答案★★107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b ＝7，∴3a －b＝3a 3b ＝107. 11．22log 32+＋32log 93-＝________.★★答案★★ 13 解析22log 32+＋32log 33-＝22×2log 32＋32log 933＝4×3＋99＝12＋1＝13. 二、解答题12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值． ①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式． ①log 68；②log 62；③log 26.解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝225-＝582.②因为log x 3＝－13，所以x 13-＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a . ②由6a ＝8，得6a＝23，即63a ＝2，所以log 62＝a3.③由63a ＝2，得23a＝6，所以log 26＝3a.13．设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a ，a,11－a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}? 解 不存在a 的值，使M ∩N ＝{1}成立．若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾； 若2a ＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义； 若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0,1}，与条件不符；若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾． 所以不存在a ，使M ∩N ＝{1}． 三、探究与拓展14．log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝________.★★答案★★－1解析由题意，知log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝log(n＋1－n)(n＋1－n)－1＝－1.15．若集合{x，xy，lg(xy)}＝{0，|x|，y}，求log2(x2＋y2)的值．解根据集合中元素的互异性可知，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，y≠0，∴第一个集合中的元素xy≠0，只有lg(xy)＝0，可得xy＝1.①然后，还有两种可能：x＝y，②或xy＝y.③由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，若x＝y＝1，则xy＝1，违背集合中元素的互异性；若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两集合中的元素相同．∴x＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．因此，log2(x2＋y2)＝log22＝1.。

3.2.1 对数的概念课堂导学三点剖析一、对数的定义【例1】 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式：(1)3x =271;(2)215=51;(3)x=log 2791. 答案：(1)log 3271=x;(2)log 551=-21;(3)27x = 91. 温馨提示(1)由对数定义，指数式a x =N 与log a N=x(a>0且a ≠1)可相互转化，因此本题容易完成转化.但是要注意两种表示形式中a 、x 、N 的相应位置.(2)x=log a N 实质上是N=a x 的另一种表示形式.二、对数概念的应用【例2】 求下列各式中的x 值： (1)x=161log 21; (2)21log x=-4;(3)log x 8=-3.解析：(1)把x=21log 161化成(21)x =161, 即(21)x =(21)4, ∴x=4. (2)把21log x=-4化为x=(21)-4=16. (3)把log x 8=-3化为x -3=8，即x=318 =21. 温馨提示对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可利用对数式和指数式的互化求出另外一个.三、对数的实际应用【例3】 一种放射性元素，最初质量为500 g ，按每年10%衰减.（1）求t 年后，这种放射性元素质量s 的表达式；（2）根据求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期.（精确到十分位）解析：（1）最初的质量为500 g.经过1年，s=500（1-10%）=500×0.9,经过2年，s=500×0.92,由此类推，t 年后，s=500×0.9t .(2)解方程：500×0.9t =250. 0.9t =0.5.lg0.9t =lg0.5,tlg0.9=lg0.5,t=9.0lg 5.0lg ≈6.6. 即这种放射性元素的半衰期为6.6年.温馨提示利用对数的定义解决有关的实际问题，有一定的能力要求，在解题过程中，要领会在什么时候取对数，怎样取对数，取了对数以后又怎样运算这些常见的问题.各个击破类题演练 1将下列指数形式化成对数形式：（1）54=625；（2）3-2=91. 解析：（1）∵54=625，∴log 5625=4.(2)∵3-2=91,∴log 391=-2. 变式提升 1将下列对数式化为指数式：（1）log 216=4；(2)log x 64=-6.答案：（1）24=16.（2）x -6=64.类题演练 2求下列各式中的x.（1）log 8x=-32; (2)log x 27=43. 答案：（1）由log 8x=-32,得x=328-=323)2(-=2-2,即x=21. (2)由log x 27=43,得43x =27,即43x =33,故x=343)3(=34=81. 变式提升 2(1)求log 84的值.（2）已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m +n 的值.解析：（1）设log 84=x,根据对数的定义有8x =4.即23x =22,∴x=32,即log 84=32.(2)∵log a 2=m,log a 3=n,∴a m =2,a n=3,则a 2m+n =(a m )2·a n =22×3=12.类题演练 3 生物死亡后，体内的碳-14含量P 的衰变规律是P=5730)21(t .湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳-14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代.解析：由对数与指数的关系，指数式P=5730)21(t 可写成对数式t=5 73021log P. 湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳-14的残留量约占原始含量的76.7%，即P=0.767,那么t=5 73021log 0.767.由计算器可得t ≈2 193.所以，马王堆古墓约是2 100多年前的遗址.变式提升 3某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）.解析：（1）x 年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x .(2)10年后人口数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).。

“对数的概念”教学设计无锡市第一女子中学 授课教师：惠宇1 教学目标（1）理解对数的概念，熟练掌握指数式与对数式的相互转化关系，会将对数问题转化为指数问题进行研究；（2）经历对数的形成过程，在解决具体问题中体会引入对数的必要性，学会用联系的观点辩证地看问题；体会数形结合，特殊到一般，转化与化归的数学思想，培养学生分析、解决问题的能力，归纳总结的能力和探究意识；（3）了解对数的作用和对数的发现史，体会数学的魅力，提高数学人文素养和学习兴趣； 2 教学重点、难点重点：对数的概念，对数式与指数式的互化；难点：对数概念的理解3 教学方法与教学手段本节课采用启发式教学的方法，创设一个有利于概念生成的现实背景，提供学生参与主动探究的问题情境．在教师引领下，以学生已有知识区为起点，使学生能积极参与，充分体会概念的生成，建构新的知识结构并使之纳入已有的知识网络，形成技能．4 教学过程创设情境，引入课题升入高一，同学们都已经长大了．有一天，爸爸告诉小明：在你出生时给你存入了一笔学习资金（设学习资金的总额为单位1），这笔钱在不断增加，并且总额每年增加10%．在指数函数的学习中我们知道，经过年这笔钱的总额）（01.1>=x y x ．结合背景材料，提一个你最想提的问题？生：经过15年，这笔钱是原来的多少倍？（N =151.1）．师：学习资金经过多久变成原来的两倍？（21.1=x ，求的值）．突破困境，引出对数师：你的学习资金有没有可能变成原来的两倍，方程21.1=x 是否有解？（学生可从指数函数图像的角度探索指数的存在性和唯一性）生：可以由指数函数x y 1.1=的图象，它与=2的图象有且只有一个交点，交点所对应的横坐标的值就是方程的根．师：看来的确是有可能实现资金翻番的，那么如何表示的值呢？追溯数字运算的学习历程，以前我们也遇到过类似的困境．腰长为1的等腰直角三角形斜边长a 满足22=a ，为了表示这个数，引进新的符号——根号，得到一个新形式的数——根式．无理数的发现在当时引起了很大的轰动，引发了第一次数学危机．师：我们同样可以用一个新的数学符号来表示，记作2log 1.1=x ，读作以为底2的对数，其中为底数写在下方，2叫做真数（引进新的符号——og ，得到一个新形式的数——对数 ） 师：新符号表示什么？它的含义是什么？生：新符号2log 1.1表示的是一个数，使21.1=x 成立的数．师：有了这个符号，就可以解决我们刚才的问题了，2log 21.11.1=⇔=x x ． 再比如：8log 82121=⇔=x x ）（．你能再列举一些这样的对数吗？ 生：；5log 533=⇔=b b 7log 722=⇔=b b ．．．思考：一般的，对于指数式），（10≠>=a a N a b ，已知底数a 和幂值N 如何表示指数呢？师生互动，建构概念定义：如果a （a >0，a ≠ 1）的b 次幂等于N ，即N a b =，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．（板书）a >0，a ≠ 1，b N N a a b =⇔=log ．b 叫做以a 为底N 的对数，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．师：对于这个新的符号，书写起来也有讲究，注意底数的位置．师：对数其实两式中的名称吗？（完成下图）师：对数式中10≠>a a ，，那么b 和N 的范围各是多少呢？（引导学生回忆指数函数的图象与性质）生：0>∈N R b ，．师：（在图中标明字母的范围）可见真数一定是正数，负数和0没有对数．（板书结论）师：由对数的定义可知，两个等式表示的是a ，b ，N 这3个量之间的同一个关系，两种写法可以相互转化．比如：24212log 29log 9321432=⇔==⇔=；． 概念内化，灵活应用例1、将下列指数式改写成对数式：45.021420532713216213-4=⎪⎭⎫ ⎝⎛===ba ）；（）；（）；（）（ 例2、将下列对数式改写成指数式：699.1log 323log 23125log 110315-=-==a ）；（）；（）（口答：根据对数的定义，写出下列各对数的值（a >0，a ≠1）：；）；（）（；）；（）；（）；（）（_____log 6_____1log 5____1log 4_____1log 3____54log 2_____3log 12158.03======a a a 师：你能归纳得到出什么结论吗？生：）（；1,01log 01log ≠>==a a a a a （板书结论） 练习：；，）；（，）（______0log 2______13log 13====x x a a 例3、求下列各式的值：27log 264log 192）；（）（此题由学生交流解法，（1）可由指数式6426=，直接得到664log 2=，也可以设x =64log 2，将对数式改写成指数式；（2）直接得到对数式对应的指数式并不容易，因此可设x =27log 9，利用对数的定义求解．师：不管我们用什么方法求解，都是利用了对数的定义，将对数式化归到指数式．练习：求下列各式的值9log 481log 37log 264log 131274）；（）；（）；（）（ 将式子作如下改写，你能归纳得到什么结论吗？231log 9log 432log 81log 3217log 7log 234log 64log 1231313222177344-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-======--）（）（）（）（ 由此我们可以总结出一个什么结论？引导学生发现），，（R b a a b a b a ∈≠>=10log （板书结论） 师：如何说明这个结论？（板书结论） 师：1log 01log ==a a a ；其实就是ba b a =log ）（R b a a ∈≠>,1,0的特殊情况． 利用结论你能马上计算出下列对数值吗？.______1000log ______4log ______271log ______64log 102132====；；； 师：1000log 10是以10为底的对数，通常将以10为底的对数称为常用对数，对数N 10log 简记为N lg ，比如g2，g12等在科学技术中，常常用以e 为底的对数，这种对数称为自然对数，e =…是一个无理数．正数N 的自然对数N e log 一般简记为n N ，如15log 2log e e ，分别记为n2，n15等．思考题：；，）（________1ln log 3==x x 回顾反思，方法总结师：什么是对数？我们是如何处理对数问题的？生：对数是一个数，研究对数问题可以把它化成指数问题进行研究．这两个式子是等价的，表示a ，b ，N 这三个量之间的同一种关系．师：我们通过生活中的实例，经历了从特殊到一般的过程，得到对数的概念，在处理对数问题时，我们转化为熟悉的指数问题进行研究，体会了转化与化归的思想方法，并且通过类比归纳得到了对数的相关性质，深化了对数的概念．师：对数是由苏格兰数学家纳皮尔发明的，纳皮尔2021一日，在没有指数概念的情况下发明了对数．对数的发明直接引发了计算上的革命，法国著名科学家、天文学家拉普拉斯评价道：对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．清代康熙皇帝主编的《数理精蕴》中记载：“以借数与真数对列成表，故名对数表其法以加代乘，以减带除，…，盖为乘除之数甚繁，而以假数代之甚易也．”对数运算如何以加代乘，以减代除？同学们可以结合今天我们研究对数的方法先做思考，我们下节课再一起研究．。

3.2 对数函数互动课堂疏导引导2.3.1 对数1.对数定义：一般地，当a >0且a ≠1时，假设a b =N ，那么b 叫以a 为底N 对数,记作log a N =b ，其中a 叫对数底数，N 叫真数.2.对数式与指数式互化：a b =N log a N =b (a >0，a ≠1).3.三条对数性质：log a a =1；log a 1=0；零与负数没有对数(即真数必须大于零).对数恒等式：a log a N =N (a >0,a ≠1,N >0).4.常用对数：以10为底对数称为常用对数，对数log 10N 简记为lg N .自然对数：以e 为底对数称为自然对数，log e N 记为l nN ,其中e=2.718 28….●案例1对于对数，除了对数定义，还有对数性质，你能说说这些相关内容吗？【探究】对数局部，我们首先应当掌握对数意义，即对数式与指数式之间对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用性质：如(1)log a 1=0(1对数是0)；(2)log a a =1(底数对数是1);(3)a log a N =N (对数恒等式)；(4)log a N = (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N =log a M N ；(6)log a M-log a N = ；(7)n log a N =log a N n ；(8)mnlog a N =log a m N n .以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.【溯源】这些常用性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有性质可以用口诀来帮助记忆，比方，性质(5)(6)(7)可以这样来记：积对数变为加，商对数变为减，幂乘方取对数，要把指数提到前.●案例2试计算lg4+lg5lg20+lg25值.【探究】利用lg2与lg5之间特殊关系lg2+lg5=lg10=1，或利用lg5与lg20关系lg20+lg5=lg100=2求解.【答案】】原式=lg4+lg5(lg20+lg5)=lg4+lg5lg100=lg4+2lg5=2lg2+2lg5=2(lg2+ lg5)=2.【溯源】求几个对数式加减运算，假设每个对数式是同底，可以利用同底数对数运算法那么化为一个对数式；也可反其道而行之，即把每个对数真数写成积或商形式，再利用积或商对数运算法那么化为同底对数与与差，然后进展合并约简.2.3.2 对数函数一般地，函数y=log a x(a>0,a≠1)叫做对数函数，它定义域是(0,+∞).疑难疏引由对数定义，容易知道对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)是指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)反函数.利用反函数性质，由指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)定义域x∈R，值域y＞0，容易得到对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)定义域为x＞0，值域为R.对数函数性质如下：(1)定义域(0，＋∞)，值域(-∞，＋∞)；(2)当a ＞1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上为增函数；(3)当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数；(4)当x ＝1时，y ＝0；(5)当x ＞1，假设a 1、a 2＞1时，底大图低；假设0＜a 1、a 2＜1时，那么底大图高.当0＜x ＜1时与以上情况正好相反.(1)作对数函数图象一般有两种方法：一是描点法，即通过列表、描点、连线方法作出对数函数图象；二是通过观察它与指数函数图象之间关系，并利用它们之间关系作图.比拟大小是对数函数性质应用常见题型.比拟两个对数式大小，底一样时，可利用对数性质进展比拟.不同类函数值大小常借助中间量0、1等进展比拟.图象平移在教材中是通过例题引出，并由这个特殊例子得出了一般结论：一般地，当a ＞0时，将y =log 2x 图象向左平移a 个单位长度便得到了函数y =log 2(x +a )图象；当a ＞0时，将函数y =log 2x 图象向右平移a 个单位长度便可得到函数y =log 2(x -a )图象.对数函数y =log a x (a ＞0且a ≠1)与指数函数y =a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，这两个函数图象关于直线y =x 对称.●案例3 右图是对数函数y =log a x 当底数a 值分别取3，34，53，101时所对应图象，那么相应于C 1，C 2，C 3，C 4a 值依次是( )A. 3，34，53，101B. 3，34，101，53C.34，3，53，101 D. 34，3，101，53【探究】因为底数a 大于1时，对数函数图象自左向右呈上升趋势，且a 越大，图象就越靠近x 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数图象自左向右呈下降趋势，且a 越小，图象就越靠近x 轴.【答案】】 A【溯源】由对数函数图象间相对位置关系判断底数ay =a x 中，底数a 越接近1，相应图象就越接近直线y =1，对数函数与指数函数是一对反函数，其图象是关于直线y =x 对称，直线y =1关于直线y =x 对称直线是x =1，所以我们有结论：对数函数y =log a x ，底数a 越接近1，其图象就越接近直线x =1.●案例4 比拟大小：(1)log7与log9； (2)log 35与log 65；(3)(lg m )与(lg m )(m ＞1)； (4)log 85与lg4.【探究】 (1)log7与log9可看作是函数y =log x ，当x =7与x =9时对应两函数值，由y =log x 在(0，+∞)上单调递减，得log7＞log9.(2)考察函数y =log a x 底数a ＞1底数变化规律，函数y =log 3x (x ＞1)图象在函数y =log 6x (x ＞1)上方，故log 35＞log 65.(3)把lg m 看作指数函数底数，要比拟两数大小，关键是比拟底数lg mm ＞1即m ＞10，那么(lg m )x 在R 上单调递增，故(lg m )＜(lg m ).假设0＜lg m ＜1即1＜m ＜10，那么(lg m )x 在R 上单调递减，故(lg m )＞(lg m ).假设lg m =1即m =10，那么(lg m )＝(lg m ).(4)因为底数8、10均大于1，且10＞8，所以log 85＞lg5＞lg4，即log 85＞lg4.【溯源】两数(式)大小比拟主要是找出适当函数，把要比拟两数作为此函数函数值，然后利用函数单调性等来比拟两数大小，一般采用方法有：(1)直接法：由函数单调性直接作答；(2)作差法：把两数作差变形，然后判断其大于、等于、小于零来确定；(3)作商法：假设两数同号，把两数作商变形，判断其大于、等于、小于1来确定；(4)转化法：把要比拟两数适当转化成两个新数大小比拟；(5)媒介法：选取适当“媒介〞数，分别与要比拟两数比拟大小，从而间接地求得两数大小.●案例5函数y =lg(12+x -x )，求其定义域，并判断其奇偶性、单调性.【探究】因为对任意实数x ,都有12+x >x ,所以函数定义域为R .注意到12+x +x =，即有lg(x x -+12)=-lg(x x ++12)，从而f (-x )=lg x x ++12=-lg x x -+12，可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称区间上单调性一样，所以我们只需研究(0，+∞)上单调性.【解】 由题意x x -+12＞0，解得x ∈R ，即定义域为R ，又f (-x )=lg ［()12+-x -(-x )］=lg(12+x +x )=lg=lg(12+x -x )-1=-lg(12+x -x )=-f (x ),∴y =lg(12+x -x )是奇函数.任取x 1、x 2∈(0，+∞)且x 1＜x 2，那么121+x ＜122+x ⇒121+x +x 1＜121+x +x 2⇒＞，即有121+x -x 1＞122+x -x 2＞0，∴lg(121+x -x 1)＞lg(122+x -x 2)，即f (x 1)＞f (x 2)成立.∴f (x )在(0，+∞f (x )是定义在R 上奇函数，故f (x )在(-∞，0)上也为减函数.【溯源】研究函数性质一定得先考虑定义域，在研究函数单调性时，注意奇偶性对函数单调性影响，即偶函数在关于原点对称区间上具有相反单调性；奇函数在关于原点对称区间上具有一样单调性.疑难疏引 画函数图象是研究函数变化规律重要手段.画函数图象通常有两种方法：列表法与变换法.变换法有如下几种：平移变换：y =f (x +a )，将y =f (x )图象向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位而得到；y =f (x )+a ，将y =f (x )图象向上(a ＞0)或向下(a ＜0)平移|a |个单位而得到.翻折变换：y =|f (x )|，将y =f (x )图象在x 轴下方局部沿x 轴翻折到x 轴上方，其他局部不变；y =f (|x |)，它是一个偶函数，当x ≥0时,其图象与y =f (x )图象完全一样；当x ≤0时，其图象与x ≥0时图象关于y 轴对称.对称变换：y =-f (x )，它图象与函数y =f (x )图象关于x 轴对称；y =f (-x )，它图象与y =f (x )图象关于y 轴对称；y =-f (-x )，它图象与y =f (x )图象关于原点成中心对称.伸缩变换：y =f (ax )(a ＞0)，将y =f (x )图象上各点横坐标压缩(a ＞1)或伸长(0＜a ＜1)到原来a 倍，纵坐标不变；y =af (x )(a ＞0)，将y =f (x )图象上各点横坐标不变，纵坐标压缩(0＜a ＜1)或伸长(a ＞1)到原来a 倍.●案例6作出以下函数图象：(1)y =|log 4x |-1；(2)y =31log |x +1|.【探究】(1)y =|log 4x |-1图象可以看成由y =log 4x 图象经过变换而得到：将函数y =log 4x 图象在x 轴下方局部以x 轴为对称轴翻折上去，得到y =|log 4x |图象，再将y =|log 4x |图象向下平移1个单位，横坐标不变，就得到y =|log 4x |-1图象.(2)y =31log |x +1|图象可以看成由y =x 31log 图象经过变换而得到：将函数y =x 31log 图象作出右边局部关于y 轴对称图象，即得到函数y =图象，再将所得图象向左平移一个单位，就得到所求函数y =log 31|x +1|图象.【溯源】因为对数函数与指数函数互为反函数，因此要根据互为反函数两个函数图象关于直线y =xy =a x 中a ＞0且a ≠1，所以对数函数y =log a x 中也必须a ＞0且a ≠1.●案例7 设a ≠0，对于函数f (x )=log 3(ax 2-x +a )，(1)假设x ∈R ，求实数a 取值范围； (2)假设f (x )∈R ，求实数a 取值范围.【探究】 f (x )定义域是R ，等价于ax 2-x +af (x )值域为R ，等价于其真数ax 2-x +a 能取遍大于0所有实数值，(1)与(2)虽略有差异，但结果却大不一样.(1)f (x )定义域为R ，那么ax 2-x +a ＞0对一切实数x恒成立，其等价条件是解得a ＞21.(2)f (x )值域为R ，那么真数ax 2-x +a 能取遍大于0所有实数，其等价条件是解得0＜a ≤21.【溯源】解对数不等式，在转化为代数不等式时，不仅要结合对数函数单调性脱去对数符号，还要注意使每个对数式都有意义.●案例8非零常数x 、y 、z ，满足2x =3y =6z ，求证：x1+y1=z1.【探究】x 、y 、z ，然后由左边推证出右边.【证法一】设2x =3y =6z =k ，那么x =log 2k ，y =log 3k ，z=log 6k.∴x1+y1=+ =log k 2+log k 3=log k 6==z1.【证法二】由2x =3y =6z ，有2x =6z ，3y =6z . ∴x =log 26z=zlog 26，y =log 36z=zlog 36. ∴x 1+y 1=+=z 1(log 62+log 63)=z 1log 66=z1.活学巧用1.将以下指数式写成对数式：(1)2-2=41;3=0.125;(3)a 0=1(a >0,a ≠1).【解】(1)log 241=-2;(2)log0.125=3;(3)log a 1=0(a >0,a ≠1). 2.将以下对数式写成指数式：(1)log 2641=-6;(2)lg3=0.477 1；(3)ln 不着3=1.098 6；(4)log37=x .【解】(1)2-6=641; (2)100.477 1=3;(3)e 1.098 6=3; (4)3x =7.3.求以下各式值：(1)log 327； (2)log 816;(3)125log 51； (4)；(5)323log 1-; (6)2lg 9lg 21100-.【解】(1)log 327=3;(2)log 816=34; (3) 125log 51=-3;(4) =-1;(5)23;(6)49.x 值：(1)log x 64=2; (2)log 5(lg x )=0.【解】 (1)x =8;(2)x =10.x 值：(1)log 27x =32;(2)log x 9=2;(3)log 2(log 2x )=0.【思路解析】利用对数定义，或对数式与指数式互化，也可化为同底对数来求解.【解】 (1)2732=x ,∴x =9;(2)x 2=9,x =±3,∵x >0,∴x =3;(3)log 2(log 2x )=log 21,log 2x =1,∴x =2.【借题发挥】假设log 2(log 3(log 21x ))=0,求x 值.【解】x =81.37+lg7-lg18.【思路解析】这是几个对数式加减运算，考虑利用对数运算性质来进展化简求值.【解法一】 原式=lg14-lg949+lg7-lg18=lg14÷949×7÷18=lg1=0.【解法二】 原式=lg2+lg7-2(lg7-lg3)+lg7-(2lg3+lg2)=0.【规律总结】 进展对数运算时，首先还是想到用对数性质进展化简求值，在化简求值过程中假设发现真数积是底数几次幂时，可以灵活运算.89×log 332.【思路解析】当对数底不一样时，考虑利用换底公式把底统一.【解】 原式=×log 332=×5log 32=310.【规律总结】 利用换底公式时，可以换成任意底数，只要利于计算，一般换成题目中有某一底数.当然像上题也可这样计算：原式=8lg 9lg ×3lg 32lg =×=310.8.比拟以下各组数大小：(1)π2log ,log e 2log ;(2)log 20.3,31log 0.2;(3)log(x +1),log(2x +0.5).【思路解析】利用对数函数性质来比拟大小.【解】 (1)考察对数函数y =log2x π>e ，所以π2log>e 2log.(2)由对数函数性质知道log 20.3<0, 31log 0.2>0,∴log 20.3<31log 0.2.(3).4141,105.02,01-〉⇒⎪⎩⎪⎨⎧-〉-〉⇒⎩⎨⎧〉+〉+x x x x x当x >41时,log(x +1)>log(2x +0.5);当x =41时,log(x +1)=log(2x +0.5);当414115.02,41〈〈-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+〈+〉x x x x 时,log(x +1)<log(2x +0.5).【规律总结】 假设是同底对数，利用对数函数单调性；假设是不同底对数那么找一个恰当数作桥梁来比大小；假设底数或真数不定，那么要讨论. 9.求值域：(1)y =log 2(x 2+1); (2)y =31log (2x -1);(3)y =31log (-x 2+4x ).【思路解析】此题是对数函数与二次函数或一次函数结合，可以根据这两类函数性质来解.【解】 (1)［0,+∞〕;(2)R ;(3)［-2,+∞〕.【规律总结】 形如这样函数可以看成是两个函数y =log a u,u=f (x )复合,先求u=f (x )值域,再求y =log a u 值域,注意考虑定义域,真数大于0.f (x )=log 2(12+x +x )奇偶性.【思路解析】 利用函数奇偶性定义，抓住判别奇偶性两个环节，先求定义域，再求f (-x )，然后比拟f (-x )与f (x )关系.【解】定义域为R ，定义域关于原点对称.f (-x )=log 2(12+x -x )=log 2=-log 2(12+x +x )=-f (x ),所以f (x )为奇函数.【规律总结】 判别奇偶性时，也可用定义变式：偶函数f (-x )-f (x )=0；奇函数f (-x )+f (x )=0.当函数是关于对数函数时，有时利用这种方法更为简单.如上例可以：f (-x )+f (x )=log 2(12+x -x )+log 2(12+x +x )=log 2(12+x -x )(12+x +x )=log 21=0,所以f (-x )=-f (x ).y =log 2(1-x )单调区间.【思路解析】复合函数单调性，分别考察两个简单函数单调性，然后结合考虑.【解】 (1)1-x >0，x <1.设u=1-x ，那么y =log 2u,当x <1时，u=1-x 为递减函数；而y =log 2u 为递增函数，∴函数y =log 2(1-x )为递减函数.3(1-2·3x )=2x +1.【思路解析】解对数方程或对数不等式，一般转化到同底对数，或同底指数等形式，利用对数函数或指数函数性质处理.【解】 原方程可化为1-2·3x =32x +1,即3·32x +2·3x -1=0.(3x +1)(3·3x -1)=0,3x +1=0(无解)或3·3x -1=0, 3x =31,x =-1(检验符合定义域),∴原方程解为x =-1.【规律总结】 解对数方程时，注意考虑解要在定义域范围内，所以一定要检验.a >0且a ≠1，且<1，那么实数a 取值范围是( )A.0<a <1B.0<a <43C.a >43或0<a <43 D.0<a <43或a >1【思路解析】由于对数函数单调性与底数取值范围有关，所以当底数范围不定时，必须区别底在不同范围，分别讨论求解.∵log a 43<1=log a a ,当a >1时，y =log a x 是增函数,∴a >43,联立解得a >1;当0<a <1时，y =log a x 是减函数,∴a <43,联立解得0<a <43.∴0<a <43或a >1时，<1成立.∴选D.【答案】】 D【规律总结】 当底数大于1时，对数函数为递增函数；当底数小于1且大于0时，对数函数为递减函数.当底数不定时，一定要按这两种情况分类讨论.ax ＜log a (x -1)，那么a 取值范围是_______；假设log a (x 2+2x +5)＞log a 3，那么a 取值范围是_______.【答案】】 (0,1) (1,+∞)15.f (x )=x 21log ，当x ∈［a ,a 2］时，函数最大值比最小值大3，那么实数a ＝_______.【答案】】 816.如果0<a <1，那么以下不等式中正确是( ) A.()311a -<()211a - B.(1-a )1+a >1(1-a )(1+a (1+a )(1-a )<0【答案】】 D。

3．2 对数函数3．2.1 对数 第1课时 对数的概念1．理解对数的概念．(重点)2．能熟练地进行指数式与对数式的互化．(重点) 3．掌握常用对数与自然对数的定义．[基础·初探]教材整理 对数的概念阅读教材P 72～P 74，完成下列问题． 1．对数一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．常用对数通常将以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log 10N ，简记为lg_N . 3．自然对数以e 为底的对数称为自然对数．其中e ＝2.718 28…是一个无理数，正数N 的自然对数log e N ，一般简记为ln_N .4．几个特殊对数值(1)log a 1＝0，log a a ＝1，log a 1a＝－1.(其中a ＞0且a ≠1)．(2)对数恒等式：a log a N ＝N (a >0，a ≠1，N >0)． (3)零和负数没有对数．1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”) (1)因为(－2)4＝16，所以log (－2)16＝4.( ) (2)对数式log 32与log 23的意义一样．( ) (3)对数的运算实质是求幂指数．( )(4)等式log a 1＝0对于任意实数a 恒成立．( )(5)lg 10＝ln e ＝1.( )【解析】 (1)－2不能作底数；(2)log 2 3与log 3 2底和真数均不同，意义不一样；(4)a >0且a ≠1.【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ 2．计算：log 3 9＝________，2log 2 3＝________. 【解析】 log 3 9＝2,2log 2 3＝3. 【答案】 2 3[小组合作型]使对数log 2a －2(10－4a )有意义的a 的取值范围是________．【精彩点拨】 根据对数中底数和真数的取值范围求解． 【自主解答】 要使log 2a －2(10－4a )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －2>0，2a －2≠1，10－4a >0⇒1<a <32或32<a <52.【答案】 1<a <32或32<a <52根据对数的定义，应满足底数大于0且不为1，真数大于0，列不等式组即可．[再练一题]1．(1)使log a (3a －2)有意义的a 的取值范围是________． (2)使log x 2＋1 (－3x ＋6)有意义的x 的取值范围是________．【解析】 (1)令⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，3a －2>0⇒a >23且a ≠1.(2)令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1≠1，－3x ＋6>0⇒x <2，且x ≠0.【答案】 (1)a >23且a ≠1 (2)x <2且x ≠0(1)将下列各指数式改写成对数式：①24＝16；②3－3＝127；③5a＝20；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝0.45.(2)将下列各对数式改写成指数式： ①log 1216＝－4；②log 2128＝7；③lg 0.01＝－2；④ln 10＝2.303.【精彩点拨】 利用a x＝N ⇔x ＝log a N (a >0且a ≠1)进行互化． 【自主解答】 (1)①24＝16⇒log 216＝4. ②3－3＝127⇒log 3127＝－3.③5a＝20⇒log 520＝a .④⎝ ⎛⎭⎪⎫12b＝0.45⇒log 120.45＝b . (2)①⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.②27＝128. ③10－2＝0.01. ④e2.303＝10.1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a >0，a ≠1，N >0时，才有a x＝N ⇔x ＝log a N .2．对数式log a N ＝b 是由指数式a b＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：[再练一题]2．下列指数式与对数式的互化正确的序号是________． ①N ＝a 2与log N a ＝2； ②log24＝4与24＝4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14－3＝64与log 6414＝－13；④log x 7y ＝z 与x z＝y .【解析】 ①N ＝a 2⇔log a N ＝2(a >0且a ≠1)；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14－3＝64⇔log 1464＝－3.【答案】 ②④3．设a ＝log 3 7，b ＝log 3 28，则32a －b＝________.【解析】 由题知3a ＝7,3b＝28， ∴32a －b＝32a3b ＝3a 23b ＝7228＝74. 【答案】 74[探究共研型]探究1 方程x 【提示】 x ＝42＝16，x ＝33＝27， 解x ＝a b时按幂的运算法则计算即可．探究2 方程x 2＝4(x >0)，x 3＝64的解是什么？如何解x k＝b (k ∈Z )． 【提示】 x 2＝4，∴x ＝4＝2，x 3＝64，∴x ＝364＝4，x k＝b ，∴x ＝⎩⎨⎧k b±k bk 为奇数，b ∈R k 为偶数，b ≥0即可通过开方运算求解．探究3 方程2x＝8的解是什么？2x＝7呢？如何解a x＝b (a >0，a ≠1)． 【提示】 ∵23＝8，∴2x＝8的解为x ＝3， 2x＝7，∴x ＝log 2 7，a x ＝b ，x ＝log a b 即将指数式化为对数式，将问题转化为计算对数值．解方程：【精彩点拨】 利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解． 【自主解答】 (1)9x ＝27，∴(32)x ＝33，即32x ＝33， ∴2x ＝3，∴x ＝32.(2)∵e x ＝e 2，∴x ＝2. (3)5log 2x －15＝2x －1＝25，∴x ＝13.(4)∵log 2(log 3(log 4 x ))＝0，∴log 3(log 4 x )＝20＝1， ∴log 4 x ＝31＝3，∴x ＝43＝64，∴x ＝64.(5)∵x －4＝16，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝16＝24，∴1x ＝±2，∴x ＝±12.又x >0，∴x ＝12.(6)x ＝－ln e －3，∴－x ＝ln e －3，∴e －x＝e －3，∴－x ＝－3，∴x ＝3.解指数、对数方程时应注意：(1)将对数式转化为指数式，构建方程转化为指数问题． (2)利用幂的运算性质和指数函数的性质计算求解． (3)x 的取值范围是否在指对数式的互化中发生了改变．[再练一题]4．求下列各式中的x 值．【解】 (1)由题知2x 2－1＝3x 2＋2x －1，得x ＝0或－2， 当x ＝0时，2x 2－1＝－1<0，∴x ≠0，当x ＝－2时，⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1>0，3x 2＋2x －1>0，符合题意，∴x ＝－2.(2)10x＝0.001＝10－3，∴x ＝－3.(3)x 3＝8，∴x ＝38＝2. (4)2log 2 x 2＝x 2＝14，∴x ＝±12.1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为________．【解析】 ①③④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x＝N 才能化为对数式． 【答案】 32．在N ＝log (10－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________．【解析】 令⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，10－b >0，10－b ≠1，∴2<b <10且b ≠9.【答案】 (2,9)∪(9,10)3．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为________． 【解析】 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2. ∴x ＋y ＋z ＝9. 【答案】 94．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a2m ＋n＝________.【解析】 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n＝3. ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.【答案】 12 5．求值：。