第6章测量误差基本知识
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第6章 测量误差的基本知识
研究测量误差的目的： 研究测量误差的目的：
分析误差产生的原因和性质；正确处理观测结果，求 分析误差产生的原因和性质；正确处理观测结果， 出最可靠值；评定测量结果的精度； 出最可靠值；评定测量结果的精度；通过研究误差发生的 规律，为选择合理的测量方法提供理论依据。 规律，为选择合理的测量方法提供理论依据。
′ + 3′′,−2′′,−4′′,+2′′,0′′,−4′′,+3′′,+2′′,−3′′,−1′ ′ ′ ′ ′ 0′′,−1′,−7′′,+2′′,+1′,+1′,−8′′,0′′,+3′′,−1′
试计算甲、乙两组各自的观测精度。 试计算甲、乙两组各自的观测精度。 解:
m =± 甲
(+3′′)2 +(−2′′)2 +(−4′′)2 +(+2′′)2 +(0′′)2 +(−4′′)2 +(+3′′)2 +(+2′′)2 +(−3′′)2 +(−1′′)2
10Biblioteka = ±2.7′′m =± 乙
(0′′)2 +(−1′′)2 +(−7′′)2 +(+2′′)2 +(+1′′)2 +(+1′′)2 +(−8′′)2 +(0′′)2 +(+3′′)2 +(−1′′)2
10
′ = ±3.6′
比较m 可知， 比较 甲和m乙可知，甲组的观测精度比乙组 高。 中误差所代表的是某一组观测值的精度。 中误差所代表的是某一组观测值的精度。 二、相对中误差 相对中误差是中误差的绝对值与相应观测 结果之比，并化为分子为1的分数式 的分数式， 结果之比，并化为分子为 的分数式，即
测量学第六章 测量误差及数据处理的基本
6．3 偶然误差的特性及其概率密度函数
偶然误差单个出现时不具有规律性，但在相同条件 下重复观测某一量时，所出现的大量的偶然误差却具一 定的规律性。 例如，在相同条件下对某一个平面三角形的三个内角重 复观测了358次按下式算得三角形各次观测的误差(称三角 形闭合差)： ⊿i=a i +b i +c i -180
再考虑到其他因素的影响，可以认为视距精度约1/300。
(2)测量高差的精度分析 1 h= K l sin 2α 2 Mh=±K l cos2α m α / ρ” Mh= ±D m α / ρ” 当 D=100m Mh= ±3cm Mh极限= ±9cm
6.6 同精度直接观测平差
6.6.1 求最或是值 设对某量进行了n次同精度观测，其真值为X，观测值为 ll，l2，…，ln，相应的真误差为， Δl， Δ 2，…， Δ n则 Δ l= ll –X Δ 2= l2 -X
④在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平 均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即
图中所有矩形面积的总和等于1， 而每个长方条的面积等于 k/0.2n×0．2＝k/n， 即为偶然误差出现在该区间内的频 率。 若使观测次数n→∞，并将 区间d⊿分得无限小，此 时各组内的频率趋于稳定 而成为概率．直方图顶端 连续格变成一个光滑的对 称曲线
c
a
S
b
A hAP
hPB B
P
“多余观测”导致的差异事实上就是测量误差。测量误差 正是通过“多余观测”产生的差异反映出来的。
3．测量误差的来源 测量仪器 观测者 外界环境
观测条件：测量仪器、观测者和外界环境统称为观测条件。 一个观测工作的观测条件是决定观测精度的决定因素。 6．2 测量误差的种类
08结63-测量学-章6-测量误差及数据处理的基本知识
加权算术平均值 相应观测值的权
三、最可靠值（最或是值）的精度评定 单位权中误差
权为1的观测值 中误差
m0
pvv
n 1
vi=li-x
测回数
最可靠值的中误差
Mx
加权平均值 的中误差
m0 p
pvv p n 1
举例
在水准测量中，已知从三个已知高程点A、B、C 出发，测得E点的三个高程观测值及各水准路线
偶然误差 – 在一定的观测条件下，单个误差的出现没有一定的规律性， 其数值大小和符号都不固定，大量的误差有统计规律的误差 – 偶然误差决定了观测结果的精密度； – 研究测量误差主要是针对偶然误差而言
二、研究目的
（1） 求取最可靠值（最或是值） （2） 衡量精度（结果的可靠性） 三、研究误差的出发点或原则： （1）根据不同的测量目的，允许在测量结果中含有一定程度 的测量误差 （2）目标并不是简单地使测量误差越小越好，而是要设法将 误差限制在与测量目的相适应的范围内 （3）分析测量误差，制定出衡量观测成果质量的标准，并求 得未知量的最合理最可靠的结果
等精度直接观测值的最可靠值
观测值
一、求最可靠值（最或是值）
最可靠值 证明
l1 l2 ln l x n n
观测次数
∵
△1=l1－X △2=l2－X
0 lin
n l X n
Hale Waihona Puke n ……… … △n=ln－X
l nX
n n n
§6.2
举例 ： b a c
偶然误差特性
一、偶然误差的四个特性
△i=ai+bi+ci-180°
（i=1,2, ··· ··· ··358）
三、最可靠值（最或是值）的精度评定 单位权中误差
权为1的观测值 中误差
m0
pvv
n 1
vi=li-x
测回数
最可靠值的中误差
Mx
加权平均值 的中误差
m0 p
pvv p n 1
举例
在水准测量中，已知从三个已知高程点A、B、C 出发，测得E点的三个高程观测值及各水准路线
偶然误差 – 在一定的观测条件下，单个误差的出现没有一定的规律性， 其数值大小和符号都不固定，大量的误差有统计规律的误差 – 偶然误差决定了观测结果的精密度； – 研究测量误差主要是针对偶然误差而言
二、研究目的
（1） 求取最可靠值（最或是值） （2） 衡量精度（结果的可靠性） 三、研究误差的出发点或原则： （1）根据不同的测量目的，允许在测量结果中含有一定程度 的测量误差 （2）目标并不是简单地使测量误差越小越好，而是要设法将 误差限制在与测量目的相适应的范围内 （3）分析测量误差，制定出衡量观测成果质量的标准，并求 得未知量的最合理最可靠的结果
等精度直接观测值的最可靠值
观测值
一、求最可靠值（最或是值）
最可靠值 证明
l1 l2 ln l x n n
观测次数
∵
△1=l1－X △2=l2－X
0 lin
n l X n
Hale Waihona Puke n ……… … △n=ln－X
l nX
n n n
§6.2
举例 ： b a c
偶然误差特性
一、偶然误差的四个特性
△i=ai+bi+ci-180°
（i=1,2, ··· ··· ··358）
工程测量课件第6章测量误差基础知识
DAB DAC
SinCSin61 SinBSi8n9
0.875
DAB C
DASCCinoBsC 5S0Ci8no69s 1 24.244
DAB B
DACSSiinn2C BCosB 50SSin6in218C9o8s9
0.763
利用误差传播定律公式计算
m D A B 0 .82 7 0 .0 5 2 2 2 .2 4 2 4 2 0 4 2 0 .72 6 2 0 3 2 0 .0m 1
计算结果：mA＜mB，表明A组的观测精度比B组高。
二、 相对误差
中误差是一种绝对误差，当观测误差与观测值的大小有关时， 必须用相对误差这一精度指标来衡量。
相对误差：某量观测值中误差与相应观测值的比值。即
K m 1 L
L
m
注意：经纬仪测角，不能用相对误差来衡量测角精度。
三、 极限误差 由于偶然误差的分布服从于正态分布，故它们出现的概率为：
m 2 m 半 2 1 2 1 "7"
（6）上、下半测回角值之差的容许误差
取 △容=2m
2 .4 1 7 4 0"
6.4 等精度直接观测值的最可靠值及其中误差
一、观测值的最可靠值
在相同的观测条件下，对真值为X的某量进行n次观测，其观 测值分别为l1 , l2 ，… ln ，。由真误差计算公式可得：
果误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误 差称为系统误差。 （2）特点：具有积累性，对测量结果的影响大。
（3）处理方法：
1）计算改正；
2）采用一定的观测方法（对称观测）；
3）校正仪器，将系统误差限制在允许范围内。
2.偶然误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现 符号和大小均不确定，但从大量的误差总体来看，又符合一定 的统计规律，这类误差称为偶然误差。
第六章 测量误差的基本知识(习题课key)
第六章 测量误差的基本知识1、钢尺量距中，下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号。
(1)尺长不准确 (2)尺不水平 (3)估读不准确 (4)尺垂曲(5)尺端偏离直线方向2、水准测量中，下列几种情况使得水准尺读数带有误差，试分别判定误差的性质及符号。
(1)视准轴与水准轴不平行 (2)仪器下沉 (3)读数不正确 (4)水准尺下沉 (5)水准尺倾斜3、为鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角α=45°00′00″作12次观测，结果为：45°00′06″、44°59′55″、44°59′58″、45°00′04″45°00′03″、45°00′04″、45°00′00″、44°59′58″ 44°59′59″、44°59′59″、45°00′06″、45°00′03″ 试求观测值的中误差。
解：Δ=+6、-5、-2、+4、+3、+4、0、-2、-1、-1、+6、+3[ΔΔ]=36+25+4+16+9+16+0+4+1+1+36+9=157 m=±3.62″4、已知两段距离的长度及其中误差为300.465m ±4.5cm 、660.894m ±4.5cm ，试说明这两个长度的真误差是否相等？(不一定) 它们的最大限差是否相等？(相等) 它们的精度是否相等？(相等) 它们的相对精度是否相等？(不相等)5、已知两独立观测值L 1、L 2的中误差均为m ，设x=2L 1+5，y=L 1-2L 2，Z=L 1L 2，t=x+y ，试求x 、y 、z 、t 的中误差。
6、在已知高程的两水准点A 、B 间布设新的水准点P 1、P 2(如图)。
高差观测值及其中误差为mm m h mm m h P P AP 2.5246.17.3783.3211±-=±=，，若已知点的高程无误差，试求： (1)由A 点计算P 2点高程的中误差 (2)由B 点计算P 2点高程的中误差±6.38mm7、在高级水准点A 、B(其高程无误差)间布设水准路线(如图)，路线长度为S 1=2km ，S 2=6km ，S 3=4km ，设每公里高差观测值的中误差为±1mm ，试求：(1)将闭合差按距离分配之后的P 1、P 2点间高差中误差 (2)分配闭合差后P 1点的高程中误差mm m H H h h h H h h h H h f h h mm m H H h h h H h h h H h f h h mmm mmm mmm H h h h H f h BA B A h h BA B A h h h h B A h 3/54361636123625)(61616165)(61122ˆ3441641241)(21212121)(21126ˆ46212321ˆ321321111ˆ321321222321±=⨯+⨯+⨯±=----=-+++-=-=±=⨯+⨯+⨯±=---+-=-+++-=-=±±=±=-+++=8、在水准测量中，每站观测高差中误差均为±1cm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于±5cm ，问可以设多少站？(最多25站)9、在水准测量中，已知每100m 观测高差中误差为±3mm ，求下图中AB 、BC 、AC 间观测高差的中误差。
第六章 测量误差
倾斜角度α＝15°00„00“，其中误差m
求相应水平距离和中误差。
D s cos＝48.296 m
D D dD ds d s
f f f dZ dx1 dx2 ...... dxn x1 x2 xn
函数的真误差和独立观测值的真误差之 间的关系式。
f f f Z x1 x2 ...... xn x1 x2 xn
f fi xi
Z f1x1 f 2 x2 ...... f n xn
特点：符号、大小相同或按一定规律变化；
重复观测难以发现。 尽可能消除或限制到最小程度。
处理方法：
1、检校仪器；
2、加改正数； 3、 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消 或减弱。
2、偶然误差：
定义：在相同的观测条件下进行一系列观测， 如果误差出现的符号和数值大小都表现出偶 然性，即从单个误差来看，该误差的大小及 符号没有规律，但从大量误差的总体来看， 具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误 差或随机误差。
2
2
2
求任意函数中误差的方法和步骤：
1、列出独立观测值的函数式：
z f ( x1 , x2 ,... xn )
2、写出真误差关系式，对函数进行全微分：
f f f dz dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
3、写出中误差的关系式：
f f f 2 2 m xn 2 mx1 mx2 ... mz x x x 1 2 n
2 2 2 2
几种简单函数的中误差计算式
1、倍函数：
z kx
z x1 x2
mz kmx
mz mx 1 mx 2
求相应水平距离和中误差。
D s cos＝48.296 m
D D dD ds d s
f f f dZ dx1 dx2 ...... dxn x1 x2 xn
函数的真误差和独立观测值的真误差之 间的关系式。
f f f Z x1 x2 ...... xn x1 x2 xn
f fi xi
Z f1x1 f 2 x2 ...... f n xn
特点：符号、大小相同或按一定规律变化；
重复观测难以发现。 尽可能消除或限制到最小程度。
处理方法：
1、检校仪器；
2、加改正数； 3、 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消 或减弱。
2、偶然误差：
定义：在相同的观测条件下进行一系列观测， 如果误差出现的符号和数值大小都表现出偶 然性，即从单个误差来看，该误差的大小及 符号没有规律，但从大量误差的总体来看， 具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误 差或随机误差。
2
2
2
求任意函数中误差的方法和步骤：
1、列出独立观测值的函数式：
z f ( x1 , x2 ,... xn )
2、写出真误差关系式，对函数进行全微分：
f f f dz dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
3、写出中误差的关系式：
f f f 2 2 m xn 2 mx1 mx2 ... mz x x x 1 2 n
2 2 2 2
几种简单函数的中误差计算式
1、倍函数：
z kx
z x1 x2
mz kmx
mz mx 1 mx 2
测量-第六章 测量误差的基本知识 (1)
lim
n→ ∞
∆1 + ∆ 2 +L ∆ n n
= lim
[∆ ]
n
n→ ∞
=0
本章此处及以后“ 表示取括号中下标变量的代数和， 本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和， 表示取括号中下标变量的代数和 即∑∆i=[∆]
பைடு நூலகம்
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
土木工程测量
第六章 测量误差的基本知识
1
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.1 观测及观测误差
对未知量进行测量的过程，称为观测。 对未知量进行测量的过程，称为观测。 观测 测量所获得的数值称为观测值。 测量所获得的数值称为观测值。 观测值 进行多次测量时， 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 观测值与其真实值(简称为真值) 质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种 差异称为测量误差 观测误差。 差异称为测量误差 或 观测误差。 代表观测值， 代表真值， 用Li代表观测值，X代表真值，则有 Δi=Li-X (6-1) 式中Δ 就是观测误差， 真误差，简称误差 误差。 式中Δi就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
根据性质不同， 根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化。 1、系统误差——符号和大小保持不变或按一定规律变化。 系统误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施， ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系 统误差的影响。 统误差的影响。 ②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差 找出产生系统误差的原因和规律， 的改正。 的改正。 ③将系统误差限制在允许范围内。 将系统误差限制在允许范围内。 经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 不垂直于仪器竖轴 如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。
测量学第6章测量误差及数据处理的基本知识
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.5 P(||3m)=0.997=99.7
3.算术平均值的中误差式
函数式 全微分
x
l
n
1 n
l1
1 n
l2
1 n
ln
dx
1 n
dl1
1 n
dl2
1 n
dln
中误差式 mx
1 n2
m12
1 n2
m22
1 n2
mn2
由于等精度观测时，m1 m2 mn m ，代入上式：
(g)
由偶然误差的抵偿性知：
i j
lim xix j 0
n
n
(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：
2
K
f12
x12 K
f22
x22 K
f
2 n
xn2 K
即
mz2
f12mx21
f
2 2
mx22
安徽工业大学
土木工程系
23
2020年1月9日星期四
二 .几种常用函数的中误差
1.倍数函数的中误差 设有函数式 Z Kx
(x为观测值，K为x的系数)
测量学 习题和答案 第六章 测量误差的基本理论
第六章测量误差的基本理论1、在角度测量中采用正倒镜观测、水准测量中前后视距相等，这些规定都是为了消除什么误差？答：在角度测量中采用正倒镜观测、水准测量中前后视距相等，这些规定都是为了消除仪器误差以及外界环境的影响。
2、在水准测量中，有下列各种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质：①视准轴与水准管轴不平行；②仪器下沉；③读数不正确；④水准尺下沉。
答：①视准轴与水准管轴不平行；仪器误差。
②仪器下沉；外界条件的影响。
③读数不正确；人为误差。
④水准尺下沉。
外界条件的影响。
3、偶然误差和系统误差有什么不同？偶然误差具有哪些特性？答：系统误差是指：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差。
偶然误差是指：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性的误差。
偶然误差具有以下统计特性（1）有界性（2）单峰性（3）对称性（4）补偿性4、什么是中误差？为什么中误差能作为衡量精度的指标？答：中误差是指同一组中的每一个观测值都具有这个值的精度5、函数z=z1+z2，其中z1=x+2y，z2=2x-y，x和y相互独立，其m x=m y=m，求m z。
m m m m yx y x y x z z z y x z 1093222221=+±=+=-++=+=6、进行三角高程测量，按h=Dtan α计算高差，已知α=20°，m α=±1′，D=250m ，m D =±0.13m ，求高差中误差m h 。
m m D m m D h 094.0)20626560()20sec 250(13.0)20(tan )sec ()(tan 2222222222±=⨯⨯+⨯±=+±=ααα 7、用经纬仪观测某角共8个测回，结果如下：56°32′13″，56°32′21″，56°32′17″，56°32′14″，56°32′19″，56°32′23″，56°32′21″，56°32′18″，试求该角最或是值及其中误差。
第6章-测量误差理论
解：设各观测值的中误 差分别为 m1,m2 ,m3。若观测一次的中误差 为m,则
m1
m n1
, m2
m n2
, m3
m n3
相应的权为： pi
mi2
m2
m2
ni
ni
令c
m2
,则pi
c ni
若取c 1,则pi ni
例6-9
• 用同样观测方法，经由长度为L1,L2,L3的三条不同路线， 测量两点间的高差，分别得出高差为h1,h2,h3。已知每 公里的高差中误差为mkm,求三个高差的权。
例4
4.丈量倾斜距离 s 50.00m,其中误差 ms 0.05m 并测得倾斜角 150000，其中误差 m 30,
求相应水平距离 D及其中误差。
解：D s cos
D cos cos15 0.9659
s
D s sin 50 sin15 12.9410
mD
D s
中误差的几何意义
• 可以证明中误差是正态分布曲线上两个 拐点的横坐标值。
由f ()
1
2
(22
1)
e
2 2 2
0
得
2
2
1
0
故
容许误差
• 容许误差定义为：
容 3m或2m
相对误差
• 相对误差定义为
相对误差
误差的绝对值 关测值
1 T
误差传播定律（1）
设独立观测值的函数为
Z f ( x1, x2 ,..., xn)
n
0.130 0.117 0.093 0.056 0.056 0.031 0.006 0.006
0 0.495
vi
nd
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0.031 0.017 0 1.000
偶然误差频率直方图
第6章测量误差基本知识
偶然误差具有统计规律：
（1）偶然误差有界,或者说在一定观测条件下的有限次 观测中,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值 （2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多 （3）绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等 （4）偶然误差算术平均值随观测次数增加而趋近于零
f 2 m2 x n
2
2 mn
2
一般函数中误差的平方等于该函数对每个观测值所求 的偏导数与相应观测值中误差乘积的平方和
举例
[例题] 测量斜边S=163.563m,中误差mS=±0.006m,测量 角度α=32°15′26″,中误差mα=±6″,边长与角度 观测误差独立,求初算高差h’的中误差mh’ 解： 函数式h’=Ssinα 求全微分
§6-2评定真误差精度的标准
二、相对误差 例如,丈量100m和200m两段距离,其中误差均为0.01m,但 两者的观测精度并不相同,显然,后者精度高于前者。 因此,当观测值与误差本身大小有关时,引用相对误差来 评定精度。 相对误差是绝对误差的绝对值与观测值之比,是一个无名 数,通常以分子为1的分数形式表示。即
lim [] 0 n n
§6-2评定真误差精度的标准
§6-2评定真误差精度的标准
精度是衡量观测成果精确程度的指标,表明对某一量 的多次观测值之间的离散程度。 若观测值非常集中,精度就高；反之,精度就低。 实际上，精度是通过误差来表达的，可以把在相同 观测条件下得到的一组观测误差排列比较，以确定 观测精度的高低。 衡量精度标准指标:中误差、相对误差和极限误差
dh h h d d dS sin dS S cos S dS cos d S sin S sin S sin h h cot dS d f1dS f 2 d S
D ＝500× d ＝19.6m 中误差为 m D＝500× md ＝±0.1m
则
D＝19.6m±0.1m
一、线性函数的误差传播定律
2.和差函数的中误差 设有函数
Z x y
式中 Z 为观测值函数， x、 y 为直接观测值,其中误差
分别为 m x 和 m y，求 Z 的中误差 m Z。
用 x 、 y 和 Z 分别表示
1 K D D m m
K1 0.01 1 100 10000
0.01 1 K2 200 20000
§6-2评定真误差精度的标准
三、极限误差
根据偶然误差的第一个特性,偶然误差的绝对值不会超过 某一限度,如果某个观测值超过了这个限度,就认为不 符合要求,应舍去重测,这个限度称为极限误差或限差 通常取2或3倍中误差作为偶然误差的极限误差,即
第6章测量误差基本知识
三、测量误差的分类
1.系统误差 在相同观测条件下,对某量进行一系列观测,如误差出现的 符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系 统误差。 系统误差具有积累性,对测量结果的影响很大,但因为其符 号和大小都有一定的规律,可用一定的观测方法加以消除或 减弱。 例如,丈量距离中加尺长、温度等改正数等消除量距误差 例如,测角（水平角和竖直角）中采用正倒镜观测，取中数 法以消除某些仪器误差 例如,水准测量,采用前.后视距相同消除i角及两差的影响
一、线性函数的误差传播定律
3.线性函数的中误差 设有函数
Z K1 x1 K 2 x2 K n xn
式中 Z 为观测值函数， K i 为常数，x i 为独立观测值,中误 差为 mi ，求 Z 的中误差 m Z 。 根据倍数及和差函数中误差公式可得
2 mZ (K1m1 ) 2 (K 2 m2 ) 2 (K n mn ) 2
Z Z K (L L )
一、线性函数的误差传播定律
用该式减去上式得：
Z K L
即函数真误差与观测值真误差之间的关系式。若对进行n 次观测，则有： Z i K L i （i ＝1，2，…，n） 将上式平方后求和并除以n得
[ z z ] K 2 [ L L ] n n
描述直接观测值中误差与观测值函数中误差之 间关系的定律，称为误差传播定律。
线性函数的误差传播定律 一般函数的误差传播定律
一、线性函数的误差传播定律
1.倍数函数的中误差
设有函数
Z KL
式中 Z 为观测值函数， L 为直接观测值。 K 为常数， 设 L 的中误差为 m L ，求 Z 的中误差m Z 。用 L 和 Z 分别表示 L 和 Z 的真误差，则由上式可得：
一、线性函数的误差传播定律
根据中误差的定义，上式可写成：
2 2 mZ K 2 mL
或
mZ Km L
即观测值与常数乘积的中误差,等于观测值中误差 乘常数
举例
例6-4,在1：500比例尺地形图上，量得两点间距离 d＝ 39.2mm，其中误差 md＝±0.2mm，试求两点间的实地 长度及其中误差。 解：实地长度
组
真误差Δ 0 -1 +7 +2
真误差Δ
Δ2
0 1 49 4
5
6 7 8
180
180 180 179
00
00 00 59
01
00 04 57
+1
0 +4 -3
1
0 16 9
5
6 7 8
180
179 179 180
00
59 59 00
01
59 52 00
+1
-1 -8 0
1
1 64 0
9
10 小计
179
180
59
00
58
03
-2
+3
4
9 72
9
10 小计
179
180
59
00
57
01
-3
+1
9
1 130
32 2 2 2 2 4 2 12 4 2 32 2 2 32 72 m1 2.7 10 10
12 7 2 2 2 12 12 8 2 32 12 130 m2 3.6 10 10
即和差函数中误差等于各观测值中误差平方和的平方根
一、线性函数的误差传播定律
例6-5,对某三角形观测了其中两个内角 和 ，测角 中误ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分别为 m＝±3.5″，m ＝±5.8″，试求第三个 内角 的中误差 m 。
解：因为
180
由公式得
2 2 m m m 3.5 2 5.8 2 6.8
即线性函数中误差平方等于各观测值中误差与相应系数 乘积的平方和。
举例
例题,设函数 Z 2 x1 3x2 0.5x3 ,相应观测值中误差分 别为：m1=±1.05mm，m2=±0.83mm，m3=±0.52mm， 求Z的中误差。
2 解： mZ (2 m1 ) 2 (3 m2 ) 2 (0.5 m3 ) 2
f f f dz dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
二、一般函数的中误差
由于测量中的真误差很小,故可用真误差代替式中相 应的微分,得
z f f f 1 2 n x1 x2 xn
2
f 2 f mz x m1 x 1 2
§6-2评定真误差精度的标准
一、中误差 在相同观测条件下,对某量进行n次观测,其观测值分别为 L1，L2，…，Ln,设该观测值的真值为X,得相应的真 误差为△1，△2，…，△n ，则
[] m n
称为该观测值的中误差.
i Li X
21 22 2n
四、偶然误差的统计规律
误差大小范围 d△( ″) 正误差 个数k 比例k/n 负误差 个数k 比例k/n 小 计 个数k 比例k/n
0～3 3～6 6～9 9～12 12～15
45 40 33 23 17
0.126 0.112 0.092 0.064 0.047
46 41 33 21 16
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045
第6章测量误差的基本知识
第6章测量误差基本知识
一、观测的概念 观测,是对某个未知量进行测定的过程,称为观测
直接观测,是对未知量进行直接测定的观测,称为直接 观测,其结果称为做直接观测值
间接观测,是通过对某个未知量进行直接观测,按一定 的函数关系推算出另一个未知量值的工作,称为间 接观测,其结果称为做间接观测值 真误差,是指观测值与真值之差
(2 1.05) 2 (3 0.83) 2 (0.5 0.52) 2 10.678m m2
mZ 3.27mm
§6-3 误差传播定律
二、一般函数的中误差
设有一般函数
Z f ( x1 , x2 , xi ,, xn )
式中x1为独立的直接观测值,相应的中误差分别为mi,确 定观测值与函数值之间的中误差关系 对上式全微分得：
一、线性函数的误差传播定律
根据中误差的定义，上式可写成 或
2 2 2 mZ mx my
2 2 mZ m x my
当 Z 是n个观测值的和或差的函数时，即
Z x1 x2 xn
m m m m
2 Z 2 x1 2 x2
2 xn
2 2 2 mZ m x m m x2 xn 1
三、测量误差的分类
2.偶然误差 在相同观测条件下,对某量进行一系列观测,如误差出 现的符号时正时负、数值或大或小，从表面上看没有 任何规律，这种误差称为偶然误差。 例如,望远镜瞄准目标的误差 例如,观测时的读数误差 偶然误差是由于观测者、观测仪器和外界条件等多因 素引起的,是不可避免的,不能用计算改正或用一定的 观测方法简单地加以消除,只能通过提高仪器的精度、 选择良好的外界条件观测、改进观测方法、合理处理 观测数据等措施减少偶然误差对测量成果的影响
偶然误差频率直方图
第6章测量误差基本知识
偶然误差具有统计规律：
（1）偶然误差有界,或者说在一定观测条件下的有限次 观测中,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值 （2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多 （3）绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等 （4）偶然误差算术平均值随观测次数增加而趋近于零
f 2 m2 x n
2
2 mn
2
一般函数中误差的平方等于该函数对每个观测值所求 的偏导数与相应观测值中误差乘积的平方和
举例
[例题] 测量斜边S=163.563m,中误差mS=±0.006m,测量 角度α=32°15′26″,中误差mα=±6″,边长与角度 观测误差独立,求初算高差h’的中误差mh’ 解： 函数式h’=Ssinα 求全微分
§6-2评定真误差精度的标准
二、相对误差 例如,丈量100m和200m两段距离,其中误差均为0.01m,但 两者的观测精度并不相同,显然,后者精度高于前者。 因此,当观测值与误差本身大小有关时,引用相对误差来 评定精度。 相对误差是绝对误差的绝对值与观测值之比,是一个无名 数,通常以分子为1的分数形式表示。即
lim [] 0 n n
§6-2评定真误差精度的标准
§6-2评定真误差精度的标准
精度是衡量观测成果精确程度的指标,表明对某一量 的多次观测值之间的离散程度。 若观测值非常集中,精度就高；反之,精度就低。 实际上，精度是通过误差来表达的，可以把在相同 观测条件下得到的一组观测误差排列比较，以确定 观测精度的高低。 衡量精度标准指标:中误差、相对误差和极限误差
dh h h d d dS sin dS S cos S dS cos d S sin S sin S sin h h cot dS d f1dS f 2 d S
D ＝500× d ＝19.6m 中误差为 m D＝500× md ＝±0.1m
则
D＝19.6m±0.1m
一、线性函数的误差传播定律
2.和差函数的中误差 设有函数
Z x y
式中 Z 为观测值函数， x、 y 为直接观测值,其中误差
分别为 m x 和 m y，求 Z 的中误差 m Z。
用 x 、 y 和 Z 分别表示
1 K D D m m
K1 0.01 1 100 10000
0.01 1 K2 200 20000
§6-2评定真误差精度的标准
三、极限误差
根据偶然误差的第一个特性,偶然误差的绝对值不会超过 某一限度,如果某个观测值超过了这个限度,就认为不 符合要求,应舍去重测,这个限度称为极限误差或限差 通常取2或3倍中误差作为偶然误差的极限误差,即
第6章测量误差基本知识
三、测量误差的分类
1.系统误差 在相同观测条件下,对某量进行一系列观测,如误差出现的 符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系 统误差。 系统误差具有积累性,对测量结果的影响很大,但因为其符 号和大小都有一定的规律,可用一定的观测方法加以消除或 减弱。 例如,丈量距离中加尺长、温度等改正数等消除量距误差 例如,测角（水平角和竖直角）中采用正倒镜观测，取中数 法以消除某些仪器误差 例如,水准测量,采用前.后视距相同消除i角及两差的影响
一、线性函数的误差传播定律
3.线性函数的中误差 设有函数
Z K1 x1 K 2 x2 K n xn
式中 Z 为观测值函数， K i 为常数，x i 为独立观测值,中误 差为 mi ，求 Z 的中误差 m Z 。 根据倍数及和差函数中误差公式可得
2 mZ (K1m1 ) 2 (K 2 m2 ) 2 (K n mn ) 2
Z Z K (L L )
一、线性函数的误差传播定律
用该式减去上式得：
Z K L
即函数真误差与观测值真误差之间的关系式。若对进行n 次观测，则有： Z i K L i （i ＝1，2，…，n） 将上式平方后求和并除以n得
[ z z ] K 2 [ L L ] n n
描述直接观测值中误差与观测值函数中误差之 间关系的定律，称为误差传播定律。
线性函数的误差传播定律 一般函数的误差传播定律
一、线性函数的误差传播定律
1.倍数函数的中误差
设有函数
Z KL
式中 Z 为观测值函数， L 为直接观测值。 K 为常数， 设 L 的中误差为 m L ，求 Z 的中误差m Z 。用 L 和 Z 分别表示 L 和 Z 的真误差，则由上式可得：
一、线性函数的误差传播定律
根据中误差的定义，上式可写成：
2 2 mZ K 2 mL
或
mZ Km L
即观测值与常数乘积的中误差,等于观测值中误差 乘常数
举例
例6-4,在1：500比例尺地形图上，量得两点间距离 d＝ 39.2mm，其中误差 md＝±0.2mm，试求两点间的实地 长度及其中误差。 解：实地长度
组
真误差Δ 0 -1 +7 +2
真误差Δ
Δ2
0 1 49 4
5
6 7 8
180
180 180 179
00
00 00 59
01
00 04 57
+1
0 +4 -3
1
0 16 9
5
6 7 8
180
179 179 180
00
59 59 00
01
59 52 00
+1
-1 -8 0
1
1 64 0
9
10 小计
179
180
59
00
58
03
-2
+3
4
9 72
9
10 小计
179
180
59
00
57
01
-3
+1
9
1 130
32 2 2 2 2 4 2 12 4 2 32 2 2 32 72 m1 2.7 10 10
12 7 2 2 2 12 12 8 2 32 12 130 m2 3.6 10 10
即和差函数中误差等于各观测值中误差平方和的平方根
一、线性函数的误差传播定律
例6-5,对某三角形观测了其中两个内角 和 ，测角 中误ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分别为 m＝±3.5″，m ＝±5.8″，试求第三个 内角 的中误差 m 。
解：因为
180
由公式得
2 2 m m m 3.5 2 5.8 2 6.8
即线性函数中误差平方等于各观测值中误差与相应系数 乘积的平方和。
举例
例题,设函数 Z 2 x1 3x2 0.5x3 ,相应观测值中误差分 别为：m1=±1.05mm，m2=±0.83mm，m3=±0.52mm， 求Z的中误差。
2 解： mZ (2 m1 ) 2 (3 m2 ) 2 (0.5 m3 ) 2
f f f dz dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
二、一般函数的中误差
由于测量中的真误差很小,故可用真误差代替式中相 应的微分,得
z f f f 1 2 n x1 x2 xn
2
f 2 f mz x m1 x 1 2
§6-2评定真误差精度的标准
一、中误差 在相同观测条件下,对某量进行n次观测,其观测值分别为 L1，L2，…，Ln,设该观测值的真值为X,得相应的真 误差为△1，△2，…，△n ，则
[] m n
称为该观测值的中误差.
i Li X
21 22 2n
四、偶然误差的统计规律
误差大小范围 d△( ″) 正误差 个数k 比例k/n 负误差 个数k 比例k/n 小 计 个数k 比例k/n
0～3 3～6 6～9 9～12 12～15
45 40 33 23 17
0.126 0.112 0.092 0.064 0.047
46 41 33 21 16
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045
第6章测量误差的基本知识
第6章测量误差基本知识
一、观测的概念 观测,是对某个未知量进行测定的过程,称为观测
直接观测,是对未知量进行直接测定的观测,称为直接 观测,其结果称为做直接观测值
间接观测,是通过对某个未知量进行直接观测,按一定 的函数关系推算出另一个未知量值的工作,称为间 接观测,其结果称为做间接观测值 真误差,是指观测值与真值之差
(2 1.05) 2 (3 0.83) 2 (0.5 0.52) 2 10.678m m2
mZ 3.27mm
§6-3 误差传播定律
二、一般函数的中误差
设有一般函数
Z f ( x1 , x2 , xi ,, xn )
式中x1为独立的直接观测值,相应的中误差分别为mi,确 定观测值与函数值之间的中误差关系 对上式全微分得：
一、线性函数的误差传播定律
根据中误差的定义，上式可写成 或
2 2 2 mZ mx my
2 2 mZ m x my
当 Z 是n个观测值的和或差的函数时，即
Z x1 x2 xn
m m m m
2 Z 2 x1 2 x2
2 xn
2 2 2 mZ m x m m x2 xn 1
三、测量误差的分类
2.偶然误差 在相同观测条件下,对某量进行一系列观测,如误差出 现的符号时正时负、数值或大或小，从表面上看没有 任何规律，这种误差称为偶然误差。 例如,望远镜瞄准目标的误差 例如,观测时的读数误差 偶然误差是由于观测者、观测仪器和外界条件等多因 素引起的,是不可避免的,不能用计算改正或用一定的 观测方法简单地加以消除,只能通过提高仪器的精度、 选择良好的外界条件观测、改进观测方法、合理处理 观测数据等措施减少偶然误差对测量成果的影响