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最新同济大学高数试卷 大一下学期 期末考试

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同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案）1、下列微分方程为一阶线性方程的是： 【 D 】 :A '1yy =； :B 'e 1yy +=； :C 2'y y y +=； :D 2'y y x =+。

2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=，且()0a b c ⨯⋅=，则k = 【 B 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。

3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-，则k = 【 C 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。

4、设e cos x x z x y y =+-，则zy∂=∂ 【 A 】 :A 2e sin x x y y -+； :B 21e sin x x y y -+； :C 21e sin x y y -+； :D 2e sin x x y y-。

5、交换二次积分的次序：()2220d ,d yy yf x y x =⎰⎰【 A 】()42:d ,d x A x f x y y ⎰⎰； ()4:d ,d xB x f x y y ⎰；()2220:d ,d x xC x f x y y ⎰⎰； ()2:d ,d xD x f x y y ⎰。

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =()12e cos sin x c x c x +.7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-，若,x a x b ⊥⊥，且7x =。

则向量x =()3,2,6±。

8、空间直线240329x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩在xoy 面上的投影直线方程为：7990x y z -=⎧⎨=⎩。

9、设函数()2z f x y =-，其中函数f 具有二阶导数，则2zx y∂=∂∂()2"2f x y --。

三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出具体解题过程） 10、求微分方程：2d 1d yxy x-= 的通解。

[2d d 1y x y x =+⎰⎰()tan ln y x c ⇒=+] 11、一平面过原点及点()6,3,2-，且与另一平面428x y z -+=垂直，求平面方程。

[()()()6,3,24,1,24,4,6n =-⨯-=--2230x y z ⇒+-=]12、已知函数(),z z x y =由()()ln 1sin z z xy =++所确定，求d z 。

[()()()1cos d d d z xy z y x x y z+=+]13、求函数()()22,4f x y x y x y =---的极值点。

[420420x yf x f y =-=⎧⎨=--=⎩22x y =⎧⇒⎨=-⎩,20,0,2;0A B C =-<==-∆<,(2,2)-为极大值点] 14、计算二重积分：sin d d DyI x x y x =⎰⎰，其中D 由直线,0y x y ==和1x =所围。

[10d sin d xy I x x y x =⎰⎰1200cos d xy x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰()1201cos1d x x =-⎰()11cos13=-]15、计算二重积分：d d DI x x y =⎰⎰，其中(){}()222,,00D x y xy a y a =+≤≥>。

[π202d cos d aI θρθρρ=⋅⎰⎰π3202cos d 3a θθ=⎰323a =] 四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出具体解题过程） 16、求微分方程：()()21d 2cos d 0x y xy x x -+-= 满足初始条件：01x y == 的特解。

[222cos '11x x y y x x +=--()21'cos x y x ⎡⎤⇒-=⎣⎦,2sin 1x c y x +=-,1c =-,2sin 11x y x -=-] 17、求函数：2z x y =+ 在椭圆 2212x y += 上的最值。

[222(1)2x L x y y λ=+++-,222012022x y x y λλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,41(,)33,41(,)33--,max min 3;3z z ==-]18、球面2222x y z a ++=含在柱面()2220x y b b a +=<<内部分的面积恰为全球面积的一半，求 b 。

[2222d x y b S x y +≤=⎰⎰(4πa a =22πa=2b a ⇒=]2009—2010学年第二学期《高等数学C 》(下) 重修一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案） 1、微分方程'y y =的通解为： 【 C 】:A e x y =； :B e xy c =+； :C e xy c =； :D e cxy =。

2、若向量()()1,2,3,2,,6a b k ==，且a b ⊥，则k = 【 D 】 :0A ； :4B ； :6C -； :10D -。

3、计算向量：()()23a b a b -⨯+= 【 B 】 ():5A a b ⨯； ():7B a b ⨯； ():5C b a ⨯； ():7D b a ⨯。

4、设e lnxyx z y =+，则zx∂=∂ 【 A 】 :A 1e xyy x +； :B 1e xy y x -； :C 11e xy x y +-； :D e xyy y x+。

5、二重积分：()222213d d x y xy x y +≤+=⎰⎰ 【 A 】:πA ； :2πB ； :3πC ； :4πD 。

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"0y y -=的通解为y =12e e x xc c -+.7、到平面1z =和到原点的距离相等的点的轨迹方程为：2221x y z ++=。

8、曲面：()2222220a z x a y --= 在点()(),,0a a a a ≠处的切平面方程为：0x y z a --+=。

9、设函数(),y xz f x y=，其中函数(),f u v 可微，则z y∂=∂112ln ''y x x y f xy f -⋅+。

三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出解题过程） 10、求微分方程：d 1d y yx x=+ 的通解。

解： '1y y x -= 1'y x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ ln y x c x =+ ()ln y x x c =+11、已知三点()()()2,3,1,2,1,1,6,3,1A B C --，求点A 到直线BC 的距离。

解： ()()0,2,2,4,2,0BA BC == BA BC d BC⨯===12、已知函数(),z z x y =由e 3zz xy -+=所确定，求,z z x y∂∂∂∂。

解： 令e 3zF z xy =-+- ,,e 1z x y z F y F x F ===-,1e 1e z zz y z x x y ∂∂==∂-∂- 13、求函数22222(,)()2()f x y x y x y =+--的极值点。

解： 22224()404()40x y f x x y x f y x y y ⎧=+-=⎪⎨=++=⎪⎩ 驻点为：()()()0,0,1,0,10-，22221244,8,4124xx xy yy f x y f xy f x y =+-==++,有极小值点:()1,0和()1,0-14、计算积分：2220d )d x x y y +⎰。

解： π2cos 220d d I θθρρρ=⋅⎰⎰π4204cos d θθ=⎰ 3π4=15、计算二重积分：22d x y xx y +≤⎰⎰。

解：0I x y =⎰1x =⎰12204(1)d t t t =-⎰815= 四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出解题过程） 16、求微分方程："'1y y += 的通解。

解：200,1λλλ+=⇒=- *y Ax = 1A = 12e x y c c x -=++17、求抛物面22z x y =+到平面10x y z +++=的最近距离。

解： 令222(1)()L x y z x y z λ=+++++-()()()2221202120210x x x L x y z x L x y z y L x y z z x y λλλ⎧=++++=⎪=++++=⎪⎨=+++-=⎪⎪=+⎩11,22x y z ==-=min 111,,)2226d --==18、求由曲面：22z x =-与222z x y =+ 所围的立体体积。

解： (){}22,1xy D x y xy =+≤222[2(2)]d d xyD V x x y x y =--+⎰⎰2π1200d (22)d θρρρ=-⎰⎰112π2()24=⨯⨯-π=*()'2,10'y xy y x yy -==+ ()22arctan ln 0y x y x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦* 2'xy xy y +=* ()()3'321,00e 12xy y x y y x ⎡⎤=++=⇒=--⎣⎦* 22'y y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭* 'cot 3y x y +=-* "4'5cos y y y x ++= * ()()231d d 0x y y x x x ++++= * e lny xx z y =，求z x∂∂。

* ,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求22uy ∂∂。

* 设()z x yf z =+，其中f 可微，且()1'0yf z -≠，求d z 。

* 求曲线2223023540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩在点()1,1,1处的切线。

* ()0211d ,d yy f x y x --⎰⎰《应聘》-5人搞笑小品剧本（爆笑)人物：2个考官，3个应聘者 （某公司招聘推销主管）应聘者：龙民：一个农业养殖户，泰有才：一个没有社会背景的高才生，贞有权：一个官家子弟。

泰有才（背这手，度着步子，抬着头思索状）：岁月不留人，时间飞逝过，如今的市场，我也来竞争贞有权（西装革履，大步走上）：根据本人的调查，在这个竞争日益激烈的市场，要求一份好的工作的确很难，同志们呐，为了生存我也来此应聘了。

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同济大学大一高等数学期末试题精确答案

同济大学大一高等数学期末试题精确答案

课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。

课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）-1 .2．交 换ln 10(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =___I =10(,)y e e dy f x y dx ⎰⎰__________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为→→→-+-k j i 242 .4. 已知0!n xn x e n ∞==∑，则xxe -=1(1)!n n n x n +∞=-∑ . 5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 (2,2).三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=, 求z x ∂∂,zy ∂∂.解：222y x y x z +-=∂∂; (3分)99or -解：)3(31)(-+=x x f =33(1131-+⋅x , ( 2分) 因为 ∑∞=+=-011)1(n n n x x ，)1,1(-∈x ,所以∑∞=-⋅-=-+⋅033(31)1(33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ,其中1331<-<-x ，即60<<x .( 5分)当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3(31()1(n n n n x ，)6,0(∈x ， ( 7分)5．（本小题满分7分）求由方程08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值。

高等数学同济下册期末考试题及答案套

高等数学同济下册期末考试题及答案套

大学高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（。

6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小； （D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ∂∂+∂∂等于（） （A ）y x +；（B ）x ；(C)y ；(D)0。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I等于（） （A ）4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰200102sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。

同济大学大一高等数学期末试题精确答案

同济大学大一高等数学期末试题精确答案

同济大学大一高等数学期末试题精确答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。

课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy yC yydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=, 求z x ∂∂,z y∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量132l i j =+方向的方向导数。

同济大学大一高等数学期末试题精确答案

同济大学大一高等数学期末试题精确答案

课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。

课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）C 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在D 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．C 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．题 号（型）一二三四 核分人 得 分总分评卷人B 4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定A 5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z =-1 .2．交 换ln 1(,)e xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =___I =1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰__________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为→→→-+-k j i 242 .4. 已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -=1(1)!n n n x n +∞=-∑ . 5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 (2,2).三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctany z y x=, 求z x ∂∂,z y ∂∂.解：222yx y x z +-=∂∂; (3分)y z ∂∂=x y arctan +22y x xy +2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =r满足：00023232x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- ( 4分)， 法线方程分别为：112232x y z +-+==-或者112232x y z -+-==- ( 6分)3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+r r r方向的方向导数。