第三节 函数的单调性与值域(二)(知识梳理)

第3讲 函数的单调性与奇偶性一、知识梳理1．奇偶性（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数．设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数．（2）如果函数)(x f 不具有上述性质，则)(x f 不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则)(x f 既是奇函数，又是偶函数．函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定在定义域内．即定义域是关于原点的对称点集．（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y 轴对称．（5）奇偶函数的运算性质：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． （6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-； 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-． 2．单调性（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为A ，区间A M ⊆． 如果取区间M 上的任意两个值x 1 , x 2，改变量12x x x -=∆＞0，则 当)()(12x f x f y -=∆＞0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数； 当)()(12x f x f y -=∆＜0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性（区间M 称为单调区间）．（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．（3）设复合函数))((x g f y =，其中)(x g u =，A 是))((x g f y =定义域的某个区间，B 是映射g :x →)(x g u = 的象集．①若)(x g u =在 A 上是增（或减）函数，)(u f y =在B 上也是增（或减）函数，则函数))((x g f y =在A 上是增函数；②若)(x g u =在A 上是增（或减）函数，而)(u f y =在B 上是减（或增）函数，则函数))((x g f y =在A 上是减函数．（4）奇偶函数的单调性①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反． ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数．3．最值（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M ，那么，称M 是函数y ＝)(x f 的最大值．设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≥m ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝m ，那么，称m 是函数y ＝)(x f 的最小值．（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M （m ）；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M （)(x f ≥m ）．二、方法归纳1．利用定义判断函数奇偶性的方法（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； （2）确定)(x f -与)(x f 的关系； （3）作出相应结论：若)(x f -＝)(x f 或)(x f -－)(x f ＝ 0，则)(x f 是偶函数； 若)(x f -＝－)(x f 或)(x f -＋)(x f ＝ 0，则)(x f 是奇函数．2．利用定义证明或判断函数单调性的步骤（1）任取1x ，2x ∈D ，且1x ＜2x ； （2）作差)()(21x f x f y -=∆； （3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差)()(21x f x f y -=∆的正负）；（5）下结论（即指出函数)(x f 在给定的区间D 上的单调性）． 3．求函数最大（小）值的 一般方法（1）求值域进而得到最大（小）值．求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等．（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值． （3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；三、典型例题精讲【例1】判断下列函数的奇偶性．（1）x x x x f -+-=11)1()(； （2）22)1lg()(2---=x x x f ．【错解分析】（1）∵x x x x f -+-=11)1()(xxx -+⋅-=11)1(2 1)1)(1(2-=+-=x x x ．显然有)(x f -＝)(x f∴)(x f 为偶函数．（2）∵22)1lg(22)1lg()(22-+-=----=-x x x x x f ， 于是)(x f -≠)(x f 且)(x f -≠－)(x f ． ∴)(x f 为非奇非偶函数． 解析：（1）∵)(x f 的定义域为xx-+11≥０，即－1≤x ＜1． 定义域不是关于原点对称的数集，∴)(x f 为非奇非偶函数． （2）∵)(x f 的定义域为012>-x 且22--x ≠０，即－1＜x ＜1且x ≠0，此时02<-x ．∴xx x x x f --=---=)1lg(22)1lg()(22 ∴)(x f 为奇函数．【技巧提示】正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域． 又例:判断下列函数的奇偶性．（1）551)(2-+-=x x x f ； （2）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ； （3）33)(22-+-=x x x f ．解析：（1）∵ 21x -≥0，即－1≤x ≤1．此时x x =-+55，∴xx x f 21)(-=，为奇函数．（2）当x ＞0，－x ＜0时，)(x f ＝x x +-2，)(x f -＝x x x x -=-+-22)()()(x f ＝－)(x f -；当x ＜0，－x ＞0时，)(x f ＝x x +2，)(x f -＝x x x x --=-+--22)()()(x f ＝－)(x f -； ∴ )(x f 为奇函数． （3）∵33)(22-+-=x x x f的定义域为{|x x =．此时函数化为)(x f ＝0，{|x x =． ∴ )(x f 既是奇函数又是偶函数．【例2】讨论函数xxx x f 22116)(++=的奇偶性． 解析：函数定义域为R ，且11161222116)(++=++=----xxx x x x f ＝)(22116141612x f xxx x x x=++=++⋅． ∴)(x f 为偶函数．【技巧提示】判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）．如本题亦可先化简：14412116)(++=++=-xx xx x f ，显然)(x f 为偶函数．从这可以 看出，化简后再解决要容易得多．又例：证明函数)1(1)(22x x og x f ++=为奇函数． 解析：∵)(x f ＋)(x f -＝)1(122x x og ++＋)1(122x x og -+＝)]1)(1[(1222x x x x og -+++ ＝112og ＝0∴)(x f 为奇函数．再例：讨论函数aa x x a x f -+-=||)(22 （a ≠0）的奇偶性．解析： ∵ 2x ≤2a ，∴ 要分a ＞0与a ＜0两类讨论． （i ）当a ＞0时，由⎩⎨⎧≠+≤≤-aa x ax a ||，函数的定义域为 ],0()0,[a a -，∵a x +≥0， ∴xx a x f 22)(-=，)(x f 为奇函数；（ii ）当a ＜0时，由⎩⎨⎧≠+-≤≤aa x ax a ||，函数的定义域为[][],00,a a -，∵a x +≤0， ∴ax x a x f 2)(22---=，)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．【例3】求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间．【错解分析】设41)23(23)(22--=+-=x x x x t ，∴)23,(-∞为函数)(x t 的单调递减区间；),23(+∞为函数)(x t 的单调递增区间． 又t x x y 7.027.0log )23(log =+-=为t 的减函数，∴)23,(-∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递增区间；),23(+∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递减区间．解析：设23)(2+-=x x x t ， 由0232>+-x x 得函数的定义域为),2()1,(+∞-∞ ，区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数23)(2+-=x x x t 的单调递减区间和单调递增区间． 又t y 7.0log =，根据复合函数的单调性的规则，得区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数t y 7.0log =的单调递增区间和单调递减区间．【技巧提示】函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间，因此，求函数的单调区间必须考虑函数的定义域．运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时，要考虑各个基本函数都要有意义．又例：设函数)(x f ＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性．解析：在定义域内任取1x ＜2x ， ∴)()(21x f x f -＝1212x a x ax b x b++-++ ))(())(())((212121b x b x a x b x b x a x ++++-++=))(())((2121b x b x x x a b ++--=， ∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，1x －2x ＜0，只有当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时函数才单调． 当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时)()(21x f x f -＞0．∴（－b ，＋∞）和（－∞，－b ）都是函数)(x f 的单调减函数区间．【例4】设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数． （1） 求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数． 解析：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x xx x e a ae ae a e+=+． ∴11()()xx a e ae--0= 对一切x R ∈成立，则10a a-=，即1a =±． ∵0a >，∴1a =．（2）设120x x <<，则12121211()()x xx x f x f x e e e e -=-+- 2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e ee e+-++-=--=-，由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x x x x e -+>->，2110x x e +-<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴)(x f 在(0,)+∞上为增函数．【技巧提示】两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难．两小题中变形的都是因式分解，第（2）小题的变形以容易判别符号为目标．又例：已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为减函数，若)12()2(2->--a f a a f ，求实数a 的取值范围．解析：)(x f 是R 上的偶函数且在),0[+∞上为减函数．∴由)12()2(2->--a f a a f ，有|12||2|2-<--a a a ，⎩⎨⎧-<--≥--222)12(202a a a a a ，解得a ≤－1或a ≥2．再例：二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________．解析：由二次函数)(x f 的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线， 由)2(x f +＝)2(x f -，知x ＝2为对称轴，于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小． ∴22122122--+<--x x x 即22)1(12-<+x x ,22)1(12-<+x x ∴－2＜x ＜0． 答案：－2＜x ＜0．【例5】已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)5(f ＝1，设)(x F ＝)(x f ＋)(1x f ，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论．解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(1x f ＜)(2x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)5(f ＝1，∴当x ＜5时0＜)(x f ＜1，而当x ＞5时)(x f ＞1； ① 若1x ＜2x ＜5，则0＜)(1x f ＜)(2x f ＜1， ∴0＜)(1x f )(2x f ＜1， ∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；②若2x ＞1x ＞5，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ， ∴)(1x f )(2x f ＞1, ∴)()(1121x f x f -＞0，∴)(2x F ＞)(1x F ．综上，)(x F 在（－∞，5）为减函数，在（5，＋∞）为增函数．【技巧提示】该题属于判断抽象函数的单调性问题．抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点．又例：已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：（1）)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+⋅=-；（2）存在正常数a ，使)(a f ＝1．求证：（Ⅰ）)(x f 是奇函数；（Ⅱ）)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a ．解析：（Ⅰ）设21x x t -=，则)()()()(1)()()()(1)()()()(211221211212t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t f -=--=-+⋅-=-+⋅=-=-所以函数)(x f 是奇函数．（Ⅱ）令a x a x ==212，，则)2()(1)()2()(a f a f a f a f a f -+⋅=即)2(11)2(1a f a f -+=，解得：)2(a f ＝0．于是有 )()2(1)2()()2(x f a f a f x f a x f --+-⋅=+)(1)()2(1)]2([)(x f x f a f a f x f -=--+-⋅=．所以)()(11)2(1)4(x f x f a x f a x f =--=+-=+． 因此，函数)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a ．【例6】设函数)(x f ＝xx 1-．对任意),1[+∞∈x ，有0)()(<+x mf mx f 恒成立， 则实数m 的取值范围是 ．解析：方法一 显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0．当m ＜0时，函数)()()(x mf mx f x h +=在),1[+∞∈x 上是减函数， 因此，当1=x 时，)(x h 取得最大值mm h 1)1(-=， 于是，0)()()(<+=x mf mx f x h 恒成立等价于)(x h 在),1[+∞∈x 上的最大值小于零，即01)1(<-=m m h ，解⎪⎩⎪⎨⎧<<-01m m m ，得m ＜－1． 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞． 方法二 显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数，则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立， 因此m ＜0．若xm mx mx mx x mf mx f -+-=+1)()( ＝mx m mx 212+-＝mxm x m 22212--＜0恒成立，因为),1[+∞∈x ，m ＜0，则需22212m x m --＞0恒成立， 设函数22212)(m x m x g --=，则)(x g 在),1[+∞∈x 时为增函数， 于是1=x 时，)(x g 取得最小值1)1(2-=m g ．解 ⎩⎨⎧<>-012m m ，得m ＜－1．于是实数m 的取值范围是)1,(--∞．方法三 显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0． 因为对任意),1[+∞∈x ，0)()(<+x mf mx f 恒成立， 所以对1=x ，不等式0)()(<+x mf mx f 也成立，于是0)1()(<+mf m f ，即01<-mm ， 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-001m m m ，得m ＜－1． 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞． 【技巧提示】函数)(x f ＝xx 1-在)0,(-∞和),0(+∞上都是增函数．在)1,(-∞和)1,0(上小于零；在)0,1(-和),1(+∞上大于零． 又例：已知函数)(x f ＝xax +2),0(R a x ∈≠， （1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）若)(x f 在区间),2[+∞是增函数，求实数a 的取值范围。

高考数学总复习之函数的单调性一、知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或都有f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y =f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f （x ）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. 2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f （x ），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f （x ），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. 3. 函数单调性的判定方法：（1）定义法；设元→作差→变形→判断符号→给出结论； （2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；①增（或减）函数)(x f 的倒数)(1x f 是减（或增）函数； ②增（或减）函数)(x f 的相反数)(x f -是减（或增）函数；③增（或减）函数)(x f 、)(x g 的和是)()(x g x f +是增（或减）函数；④增（或减）函数)(x f 与减（或增）函数)(x g 的差)()(x g x f -是增（或减）函数； ⑤若0>c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是增（或减）函数； 若0<c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是减（或增）函数；； （4）复合函数的单调性：即“同增异减”法。

3.2.1单调性与最大（小）值【知识梳理】知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．知识点三函数的最大(小)值及其几何意义知识点四求函数最值的常用方法1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．【基础自测】1．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( ) A ．0 B ．32C ．2D ．32．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( ) A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2)3．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________．5．函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．【例题详解】一、定义法判断或证明函数的单调性例1 (1)根据定义证明函数9()f x x x=+在区间[3,)+∞上单调递增.(2)已知函数()21ax f x x =-(a 为常数且0a ≠)，试判断函数()f x 在(－1，1)上的单调性．跟踪训练1 (1)已知函数()1f x ax x=-，且()322f -=- . (i)求函数()f x 的解析式；(ii)判断函数在区间()0,∞+上的单调性并用定义法加以证明.(2)判断并证明()221x f x x =+在()0,∞+的单调性.二、求函数的单调区间例2 (1)函数1()f x x=的单调递减区间是（ ） A ．(,0),(0,)-∞+∞ B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,0)-∞(2)函数()|2|f x x =--的单调递减区间为（ ）A ．（–∞，2]B ．[2，+∞）C ．[0，2]D ．[0，+∞）跟踪训练2 (1)函数y ＝|x 2－2x －3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．(2)函数()268f x x x =-+的单调减区间是______．三、单调性的应用命题点1 已知单调区间求参数例3 (1)函数()12ax f x x +=+在区间()2,-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,-+∞D ．()(),11,-∞+∞(2)已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围为________．(3)已知函数2()31f x mx x =-++在区间()1,-+∞上是增函数，求实数m 的取值范围．跟踪训练3 (1)（多选）已知函数()2bx a f x x +=+在区间()2,-+∞上单调递增，则a ，b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32b > B ．4a >，2b =C ．1a =-，2b =D ．2a =，1b =-(2)函数223y x mx =-+在区间[]1,3上具有单调性，则m 的取值范围为_______.(3)若函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则实数m 的取值范围为________．命题点2 与分段函数有关的单调性问题例4 (1)（多选）已知函数223,1(),1x ax x f x a x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调递减，则a 不可能等于（ ） A ．12 B ．1 C ．52D ．2(2)已知函数24,1()(23)45,1x ax x f x a x a x ⎧-+≤=⎨+-+>⎩，若()f x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是___________.跟踪训练4 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x －1，x ≤1.若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数()21,12,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩满足12,R x x ∀∈且12x x ≠，有1212()()0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是__________．（用集合或区间表示）命题点3 根据函数的单调性解不等式例5 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)(2)已知()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（-2，1）C ．（0） D ．（0，2）(3)已知2()||1f x x x =++，若(21)(3)f m f -<，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(2,1)-D ．(2,2)-跟踪训练5 (1)已知()f x 是定义在[)0,∞+单调递减函数，若()1213f a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是__________.(2)已知函数()y f x =是定义在R 上的增函数，且(32)(2)+<f a f ，那么实数a 的取值范围为________．(3)已知定义在[1,4]上的函数()f x 是减函数，则满足不等式(12)(3)0f a f a --->的实数a 的取值范围为____.四、图像法求函数的最值例6 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值．(2)求函数()22104103x x f x x x x +<⎧=⎨-+≤≤⎩，，在－14x <≤的最值.(3)已知函数()()1f x x x =+.完成下面两个问题：(i)画出函数()f x 的图象，并写出其单调增区间：(ii)求函数()f x 在区间11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.(4)已知函数2()a f x x x=+，()0a >的图象如图所示，请回答：(i)当1a =，(0,)x ∈+∞时，求此函数()f x 的值域；(ii)当2a =，[1,3]x ∈时，求此函数()f x 的值域.跟踪训练6 画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：（1）2()1f x x =--；（2）2()21f x x x =--，[1,1]x ∈-；（3）()||f x x x =；（4）()f x =-（5）2,0()2,0x x f x x x -⎧=⎨--<⎩； （6）2221,[0,)()21,(,0)x x x f x x x x ⎧+-∈+∞=⎨-+-∈-∞⎩.五、利用函数的单调性求最值例7 (1)函数y =_______________．(2)已知()11f x x =-，[]2,6x ∈，求函数()f x 的最大值和最小值．(3)求()f x x =(4)已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (i )判断函数f (x )的单调性并证明；(ii)求函数f (x )的最大值和最小值．跟踪训练7 已知函数2()x a f x x+=，且(1)2f = (1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，并用定义证明；(3)求函数()f x 在[)1,3上的值域．【课堂巩固】1．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( )A ．10,5B ．10,1C ．5,1D ．以上都不对2．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．03．已知函数()f x 对()12x x ∀∈-∞+∞，，，都有()()12120f x f x x x -<-，且()()221f m f m ->+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭4．已知函数(3)51()21a x x f x a x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，，若对R 上的任意实数1212()x x x x ≠，，恒有()()2112()0x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．(]0,3C ．()0,2D ．(]0,25．设函数2()2x f x x =-在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m 则M m +=（ ） A ．4 B ．6 C ．10 D ．246．函数y ＝1x －1的单调递减区间是________．7．“1a =”是“函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为严格增函数”的______条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）8．已知[3,1]x ∈--，则函数42y xx =++的最大值为___________，最小值为___________.9．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．10．（1）若函数()()2212f x x a x =+-+的单调递减区间是(],4-∞，则实数a 的取值范围是______.（2）若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______.11．检验下列函数的增减性，并说明是否有最大（小）值．如果有，指出最大（小）值和对应的最大（小）值点．(1)()()()2,0f x x x=-∈-∞； (2)()[]()36,12x f x x =-∈-； (3)()[]()2672,4f x x x x =-+∈-；(4)()[]()0,31x f x x x=∈+．12．已知函数()4f x x x =-(1)把()f x 写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数()f x 大致图像；(2)写出函数()f x 的递减区间．13．已知函数212()21f x x x =+-，求函数()f x 在区间[]3,1--上的最值.14．已知()4f x x x =+． (1)证明：()f x 在（2，+∞）单调递增；(2)解不等式：2(24)(7)f x x f -+≤．【课时作业】1．“函数2()318f x x mx =-+在区间(0,3)上不单调”是“02m <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知()2224y x a x -+=+ 在[)4,+∞上为增函数，则（ ）A ．2a ≥-B ．2a =-C ．6a ≥-D ．6a =-3．若对于任意的0x >，不等式231x x a x++≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)5,∞+B ．()5,∞+C ．(],5-∞D ．(),5-∞4．已知函数2()()()()32,()2,()()()()g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ≥⎧=-=-=⎨>⎩，则（ ）A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x 的最大值为227，无最小值C ．()F x的最大值为7-D ．()F x 的最大值为3，最小值为1-5．已知()(),11331,1a x g x x a x x ⎧-≤-⎪=-⎨⎪-+>-⎩是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．()0,1 C ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．()1,+∞6．已知函数()222,193,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩的最小值为(1)f ，则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,3B ．[)3,+∞C ．(]0,3D ．(][),13,-∞⋃+∞7．函数()|1||2|f x x x =-+-的单调递增区间是（ ）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．[]1,2D ．[2,)+∞8．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，若对任意的22(4,)x t t ∈-，不等式()4()f x t f x +<恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．⎝⎭D ．⎣⎦9．（多选）若二次函数2()(2)1f x x a x =+-+在区间[]1,2-上是增函数，则a 可以是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．210．（多选）下列函数中，在(,0)-∞上为增函数的是（ ）A ．||1y x =+B ．||x y x =C ．2||x y x =-D ．||x y x x =+ 11．（多选）设函数21,()21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，当()f x 为增函数时，实数a 的值可能是（ ） A ．2B ．1-C ．12D ．112．（多选）已知函数，关于函数()22,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，f (x )的结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为3B ．f (0)＝2C ．若f (x )＝－1，则x ＝2D ．f (x )在定义域上是减函数13．已知()272,11,1x a x f x x ax x -+≥⎧=⎨-+<⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为______．14．函数221y x x =-++的单调递增区间是______．15．已知函数y ＝ax 2－2x ＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．16．已知函数f (x )＝25,1,1x mx x m x x⎧-+≤⎪⎨>⎪⎩，对任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则实数m 的取值范围是___________.17．已知函数()1ax b f x x +=+，且()14f =-，()22f =-． (1)求()f x 的解析式；(2)判断()f x 在()1,-+∞上的单调性，并用定义证明．18．已知函数()22f x x x =-.（1）在平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象；（不用列表，直接画出草图．)（2）根据图象，直接写出函数的单调区间；（3）若关于x 的方程()0f x m -=有四个解，求m 的取值范围．19．已知函数()|21|f x x x =-+.(1)根据绝对值和分段函数知识，将()f x 写成分段函数；(2)在下面的直角坐标系中画出函数()f x 的图象，根据图象，写出函数的单调区间、值域．（不要求证明）；(3)若在区间1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上，满足()(32)f a f a >-，求实数a 的取值范围.20．已知函数()372x f x x +=+，[]1,1x ∈- (1)证明：()f x 在[1,1]-上单调递减，并求出其最大值与最小值：(2)若()f x 在[1,1]-上的最大值为m ，且(0,0)a b m a b +=>>，求11a b+的最小值.。

3.2.1函数的单调性【知识梳理】1.函数的单调性和单调区间(1)函数的单调性条件一般地,设函数f (x )的定义域为D ,区间I ⊆D :如果∀x 1,x 2∈I ,当x 1<x 2时都有都有结论f (x )在区间I 上单调递增f (x )在区间I 上单调递减图示(2)函数的单调区间如果函数y =f (x )在区间I 上是单调递增或单调递减,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间I 叫做y =f (x )的.温馨提示(1)函数的递增(或递减)是针对定义域D 内的某个区间I 而言的,显然I ⊆D.(2)定义中x 1,x 2有三个特征:①x 1,x 2属于同一个区间;②任意性,x 1与x 2不能用I 上的特殊值代替;③有序性,通常规定x 1<x 2.2.增函数与减函数当函数f (x )在它的定义域上单调递增时,称它是;当函数f (x )在它的定义域上单调递减时,称它是.例1根据定义，研究函数()(0)f x kx b k =+≠的单调性．【变式1】证明函数f(x)＝x－1x在(0，＋∞)上单调递增．【变式2】求证：函数f(x)＝－1x－1在区间(－∞，0)上单调递增．题型一证明或判断函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝1x2－1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．跟踪练习：根据定义,研究函数f(x)=K1在x∈(-1,1)上的单调性.题型二利用图象确定函数的单调区间【例2】设函数f(x)2＋4x＋3，－4≤x<0，x＋3，x≥0，画出函数f(x)的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间．题型三函数单调性的应用【例3】(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝2，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小．(2)已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围．3.2.2函数的最大(小)值【知识梳理】函数的最大值与最小值.最大值最小值条件一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足∀x∈D,都有∀x∈D,都有∃x0∈D,使得结论M是函数y=f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值几何意义f(x)图象上点的f(x)图象上点的温馨提示(1)最值首先是一个函数值,即存在一个自变量x0,使得f(x0)等于最值. (2)对于定义域内的任意x,都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),“任意”两个字不可省略.例4“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为2() 4.914.718h t t t=-++，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这是距地面的高度是多少（精确到1m）？【变式1】已知函数f(x)x2，0≤x≤2，x>2，求函数f(x)的最大值、最小值．例5已知函数2()1f xx=-（[2,6]x∈），求函数的最大值和最小值．【变式2】已知函数f(x)＝32x－1.(1)证明：函数f(x)(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值．能力提升题型一利用图象求函数最值【例1】已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．题型二：利用单调性求函数的最值【例2】已知函数f(x)＝x＋16 x .(1)判断函数f(x)在(4，＋∞)上的单调性并证明；(2)求函数f(x)在[6，9]上的最值．【练】已知函数f(x)=K1r2,x∈[3,5].(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)求函数f(x)的最大值和最小值.题型三求二次函数的最值【例3】已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．【练】1.已知二次函数f(x)=x2-2x+3.(1)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值.(2)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).2.已知函数f(x)=ax2+2bx+1,x∈[1,3],且a,b为常数.(1)若a=1,求f(x)的最大值;(2)若a>0,b=-1,且f(x)的最小值为-4,求a的值.。