抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义知识讲解1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|＝＝＝，∴当x＝，即P（）时，|PQ|取最小值．故答案为：．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．例题精讲抛物线的定义例1.'已知动圆过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，求动圆圆心C的轨迹．'例2.'平面内哪些点到直线l：x=-2和到点P（2，0）距离之比小于1．'例3.'点M到点F（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离，点M运动的轨迹是什么图形？你能写出它的方程吗？能画出草图吗？'抛物线的标准方程知识讲解1．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y 2＝2px ，焦点在x 轴上，焦点坐标为F（，0），（p 可为正负）（2）x 2＝2py ，焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，），（p 可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y 2＝2px （p ＞0），焦点在x 轴上x 2＝2py （p ＞0），焦点在y 轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x 轴焦点在x 轴长上y 轴焦点在y 轴长上焦点（，0）（0，）焦距无无离心率e ＝1e ＝1准线x ＝﹣y ＝﹣例题精讲抛物线的标准方程例1.'已知Q（1，1）是抛物线x2=2py（p>0）上一点，过抛物线焦点F作一条直线l与抛物线交于不同两点A，B．在点A处作抛物线的切线l1，在点B处作抛物线的切线l2，直线l1、l2交于P 点．（Ⅰ）求p的值及焦点F的坐标；（Ⅱ）求证PA⊥PB．'例2.'根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）；（2）焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5。
(,0)M m ，则DN 过定点2(,0)a P m .特别地，当P 为焦点(,0)c ±时，M 2(,0)a c±在准线上.三、抛物线1.抛物线的直径抛物线的平行弦的中点在一条直线上，这条直线叫做抛物线的直径，如图，AB 即为直径.抛物线的直径有若干条，它们与对称轴平行.设平行弦斜率为k ，则直径方程为p y k=，其中抛物线为22(0)y px p =>.2.抛物线的切线（1）如图，M 是弦CD 的中点，AB 是直径，若AB BM =，则AC 、AD 是抛物线的切线.反之，若AC 、AD 是抛物线的切线，则AB BM =.（2）如图，M 是弦CD 的中点，AB 是直径，若BK CD ，则BK 是抛物线的切线.反之，若BK 是抛物线的切线，则BK CD .404（3）如图，EA 、EB 、GH 是三条切线，则AH EG HC HE GB CG==.另外，GH 在准线上的射影为定值；E 、G 、H 、F （焦点）四点共圆；2ABC EGH S S ∆∆=.（4）如图，抛物线的焦点弦AB 交y 轴于M ，直线TH AB 交y 轴于N ，则0MF NF TH ⋅=⇔ 与抛物线相切；0MF NF TH ⋅>⇔ 与抛物线相交；0MF NF TH ⋅<⇔ 与抛物线相离.（5）如图，抛物线焦点为F ，PM y ⊥轴，则MPF ∆的内角平分线PT 就是抛物线在P 点的切线，外角平分线PN 就是抛物线在P 点的法线.405（6）如图，过抛物线焦点F 作切线PT 的垂线，则垂足H 在y 轴上.（7）如图，抛物线的切线PT 、QT 交于T ，F 是焦点，则PTF TQF ∠=∠、TPF QTF ∠=∠.推广：抛物线任意两条切线的夹角等于过两切点的焦半径的夹角的一半.如图抛物线的切线PT 、QT 交于T ，F 是焦点，则12PTQ PFQ ∠=∠.（8）如图，抛物线22(0)y px p =>,设点(,)M x y ，切线AB 平行于弦MN ，d 是AB 到MN 的距离，则弧OM 的长为2222[(1)ln(1)]2p x x x x l p p p p =++++；弓形MON 的面积为23MON S MN d =⋅弓形，特别地，当MN x ⊥轴时，43MON S xy =弓形.4063.抛物线的一组性质如图，抛物线22(0)y px p =>，F 是焦点，O 是顶点，AB 是焦点弦，1AA 、1BB 垂直于准线11A B 交纵轴于R 、Q ，M 是AB 的中点，1M 是11A B的中点，则（1）以AB 为直径的圆与准线11A B 相切,且切点是11A B 的中点1M ；以11A B 为直径的圆与AB 相切，且切点是焦点F ；以AF 为直径的圆与纵轴相切,且切点是OR 的中点S ；以BF 为直径的圆与纵轴相切,且切点是OQ 的中点T ；以OQ 、OR 为直径的圆均与AB 相切.（2）图中有六组三点共线：A 、O 、1B ；1A 、O 、B ；A 、S 、1M ；1A 、S 、F ；B 、T 、1M ；1B 、T 、F .（3）1111112AA BB OD OF p+===.（4）1AM 、1BM 分别是1BAA ∆、1ABB ∆的角平分线，也是抛物线的切线.（5）抛物线的焦点弦AB 端点处的切线1AM 、1BM 交的点在准线上，反之，过准线上一点作抛物线的切线，则切点的连线（即极线）过焦点.（6）1M F 是1Rt AM B ∆斜边上的高；DF 是11Rt A FB ∆斜边上的高.四、二次曲线的几个结论1.结论（一）过一点的斜率之和为零的两条直线交椭圆于四点，则这四点共圆.反之，若圆与椭圆交于四点，则两对对边及对角线斜率之和分别为零.如图，过点M （或P 或Q ）且斜率之和为零的直线MA 、MB （或PA 、PC ，或QA 、407。
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
圆锥曲线抛物线的基本知识点一、什么是抛物线？抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它是由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）确定的所有点到焦点距离等于该点到准线距离的轨迹。
二、抛物线的基本性质1. 抛物线的对称轴是准线，焦点在对称轴上；2. 抛物线上任意一点与其对称轴的距离相等；3. 焦点到抛物线上任意一点的距离与该点到准线的距离相等；4. 抛物线在对称轴上有最小值，即顶点；5. 抛物线开口方向由焦点和准线位置决定。
三、抛物线方程1. 标准式：y = ax^2 （a>0）其中 a 为常数，表示开口方向和开口大小。
2. 顶点式：y - k = a(x - h)^2其中 (h, k) 为顶点坐标。
3. 参数式：x = at^2, y = 2at其中 t 为参数。
四、抛物线应用1. 物理学中，抛物运动就是指在重力作用下，以一定初速度沿着一个确定角度投掷出去后，运动轨迹为抛物线的运动方式。
2. 工程学中，抛物线常用于设计拱形桥、天桥、高架桥等建筑结构。
3. 数学中，抛物线是圆锥曲线中最简单的一种，也是研究圆锥曲线的基础。
五、抛物线相关概念1. 焦距：焦点到顶点的距离。
2. 焦直线：过焦点且与准线垂直的直线。
3. 焦半径：从焦点到抛物线上任意一点的距离。
4. 垂直平分线：过顶点且与对称轴垂直的直线。
六、抛物线相关定理1. 抛物定理：从焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线距离的一半。
2. 切角定理：从焦点引一条切线，该切线与准线之间的夹角等于该切点处法向量与准线方向向量之间夹角（即反射角等于入射角）。
3. 两个相交抛物面交于一条直母线。
