第二讲(二)圆锥曲线的参数方程(优秀经典公开课比赛课件).

是椭圆的参
数方程.
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半
轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在X
轴
x
y
a cos, b sin .
焦点在Y轴xy
bcos, asin.
知识归纳
椭圆的标准方程: x2 y2 1 a2 b2
，
3
。
b
22
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵ 双曲线的参数方程可以由方程x2 y2 1 与三角恒等式
sec2 1 tan2 相比较而得到a2，所b2以双曲线的参数
方程
的实质是三角代换.
例2、如图，设M
为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同y,
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.
A
而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
B O
M
Nx
设∠XOA=φ
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b ＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆 的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作 BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时 点M的轨迹参数方程.
0)任意一点，O为原点，
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,
y
则直线MA的方程为：y b tan b (x a sec).
x2 y2
(1)
1 49
(2)
x2 y2 1 16
(1)
x 2 cos y 3sin
(2)
x cos y 4sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x y
3 cos 5 sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x
y
8 cos 10 sin
(4)
x2 64
y2 100
1
练习2：已知椭圆的参数方程为xy2scions
所以M的轨迹方程是
x
y
a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得 x2 - y2 =1, a2 b2
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
y
a
A B' • M
x
y
a sec b tan
(为参数)
通常规定 [o,2 )且
设中点M (x, y) x2 y2 2 y=3cosθ+3sinθ 49
D. 线段
双曲线的参数方程 设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB' || OB | •tan b • tan.
( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为（ ），
短轴4长为（ ），焦点2）。
2
），
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到 直线
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1：设P( 8 8y2 , y),
则d | 8 8y2 y 4 | 2
分析2：设P(2 2 cos ,sin),
解积: 椭最圆参大数.方程
设点P(3cos,2sin )
S ABC面积一定,需求 S ABP最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
线AB的方程为
x 3
y 2
1
2x
3y
6
0
d | 6 cos 6sin 6 | 6 2 sin( )
22 32
13
4
所以当
=
4
时,
d
有最大值,
面积最大
这时点P的坐标为(
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
同设理A可aOx得=，,x点则A =Bta2（的ans横ec坐b标.为taxnB=）a2（. sec tan）.
①
A
M
O B
x
所以MAOB的面积为
a S
MAOB
=|OA|•|OB|sin2
3
2 2
,
2)
练习4
1、动点P(x,y)在曲线
x2 y2 1上变化 ，求2x+3y
的最大值和最小值 9 4
最大值6 2,最小值 6 2.
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(4cosθ, 6sinθ)两点的线段的中点轨迹 是B .
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 x=2sinθ-2cosθ
二、圆锥曲线的 参数方程
1.椭圆的参数方程 2.双曲线的参数方程 3.抛物线的参数方程
椭圆的参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b ＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆 的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作 BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时 点M的轨迹参数方程.
AD 20cos, AB 16sin
S 2016sin cos
A1
160sin 2
所以, 矩形ABCD最大面积为160
有一内接矩形ABCD
Yy
D
B2 A
F1
O F2 A2 XX
C
B
B1
练习3:已知A,B两点是椭圆x92
y2 4
1
与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限
的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面
解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则
y
A: (acosφ, a sinφ),
A
B: (bcosφ, bsinφ),
BM
由已知:yx
acos bsin
(为参数)
O
即为点M的轨迹参数方程.
Nx
消去参数得:x2 y2 1, 即为点M的轨迹普通方
a2 b2
程.
1
.参数方程xy
a cos b sin
椭圆的参数方程: yx
a cos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
圆的参数方程:yx
r r
cos sin
(为参数)
θ的几何意义是 ∠AOP=θ
y
Aφ
BM
O Nx
y P
θ
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
O
x
P
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
分小析结3：：平借移助直椭线圆l 的至参首数次方与程椭，圆可相以切将，椭切圆点上即的为
任意一点的坐标用三角函数所表求示. ，利用三角知 识加以解决。
例3、已知椭圆x2
y2
1
100 64
求矩形ABCD的最大面积。
解: 设A10cos,8sin