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高等代数第五套

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南京晓庄学院高等代数课程考试试卷 卷（E ）2011–2012学年度第1学期 教育科学学院 11级 共 6 页 教研室主任审核签名： 院（系）领导审核签名： 命题教师： 赵东金 校对人： 刘娟娟班级 姓名 学号得分一、选择题（每小题2分，共20分）00001200001030000n----. 行列式的值为 ( ) A. -n ! B. n ! C. ()()1121!n n n -- D. ()()1121!n n n +-2. 设A 、B 是n 阶方阵，O 是n 阶零矩阵. 若AB = O ，则 （ ） A. A= 0或B = 0 B. 0,0A B ≠≠ C. A 和B 中至少有一个奇异 D. A 和B 都不可逆3. 设A 是m n ⨯矩阵，则A A '是 （ ） A. 可逆矩阵 B. 对称矩阵 C. 对角形矩阵 D. m 阶方阵4. 下列各式中不正确的是 （ ） A ． ()aA aA ''= B. ()A B A B '''+=+ C ． ()11A A ---=- D. ()111A B A B ---+=+5. 下列各式中正确的是 （ ） A ． ()()22A B A B A B +-=- B. ()()AB C AC B = C ． *AA A I = D. AA I '=6. 矩阵A kI =是非零数乘矩阵，则A—1= （ ）A ． 1k I - B 、1k - C 、k I D 、I7.()()()12323232132342x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩方程组有无穷多解，λ的取值是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 48. n 阶行列式D=∣ij a ∣中第i 行第j 列交点处元素ij a 的余子式M ij 与代数余子式A ij 之间的关系是 ( ) A. M ij = (-1)ji + A ij B. M ij = (-1)nA ijC. M ij = A ijD. M ij = - A ij9. A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则下列结论成立的是 （ ）A. ()111()A B A B '''－－－＝ B. ()1-1-1()A B B A '''－＝C. ()()11[]A B AB '''－－＝D. ()()11A B AB ⎡⎤'''⎢⎥⎣⎦－－＝ 10. 下列推理中正确的是 （ ） A. u(x)f (x)＋v (x)g (x)＝d(x) ⇒ (f (x)，g(x))＝d(x) B . u(x)f (x)＋v (x)g (x)＝1⇒ (f (x)，g(x ))＝1C. ()()f x g x ⇒(f (x)，g(x))＝f (x)D.()()f x g x ，()()g x f x ⇒ f (x)＝g(x) 二、填空题（每小题3分，共30分）11．若22()5()(2)(1)(2)f x x g x a x b x c x x =-=-+++-+与相等，则a= , b= ,c= .12.设f (x )＝x n ＋x n －1＋…＋x ＋a 的根是α1，α2，…，αn ， 则α1α2…αn ＝ .13.设5000031206252100,,0123301002145001A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则乘积AB = . 14.若11-1110022021,1-10203X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则X= .15.如果1a25b4897成奇数列，则a= ，b= .16.12nλλλ= .17.设有4阶行列式D 4的展开式是 次多项式，其中最高幂的系数是 ．421345252123142x xx D x x x x ---=- ()4323218.()343,()31023,(),()=f x x x x x g x x x x f x g x =+---=++-设则 . 19.设211123124-12114565182-6-10-2610A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则()r A = .20. 已知矩阵A 行列式||A =1，则AA *= I .三、计算题（每小题8分，共32分）21.求单根为-1、1与二重根为2的4次多项式.[]22123321231231,,=3+21111,1,1223x x P x x x x x x x ααααβββ===+=+=+=++22. 已知是的一个基，试求向量在另一个新基 下的坐标（y ,y ,y ）.23.计算行列式112112222121111---=n nn n n nn a a a a a a a a a D24.试求通过点（0,1），（1,0），（0，-1），（-1,0）与（1,1）的二次曲线方程.四、证明题（共18分）q是A中划去第i列剩下的（n-1）×（n-1）矩25.设A是齐次线性方程组的系数矩阵，而i阵所构成的行列式，证明是齐次线性方程组的一个解向量. （8分）26.证明任一n阶矩阵都可以表成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和，并且这种表示法是唯一的.（10分）南京晓庄学院高等代数课程考试试卷卷（E ）参考答案及评分标准一、选择题题（每小题2分，共20分） A C B D C A C A A B二、填空题（每小题3分，共30分） 11．65-,135-,6512. (－1n )a13. 015510436252312327214⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 14. X=5130361503614133⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 15. 3 ， 6 . 16. (1)212(1).n n n λλλ--17.4次多项式，系数是-120．18. 3.x + 19.()r A =3.20. I三、计算题（每小题8分，共32分）21.求单根为-1、1与二重根为2的4次多项式. 解：[]43212341234432(),(1122)4(1)1(1)2(1)2121222351(1)12(1)12(1)221224(1)1224,()434 4.f x x a x a x a x a a a a a f x x x x x =++++=--+++=-⎧⎪=-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=⎪⎨=--⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯=⎪⎪=-⨯⨯⨯=-⎩=-++-设则（分）因此所求的多项式为（8分） 22.[]22123321231231,,=3+21111,1,1223x x P x x x x x x x ααααβββ===+=+=+=++已知是的一个基，试求向量在另一个新基 下的坐标（y ,y ,y ）.()()()11221223123123123112123 =1+,11 1,2211111232311111,,,1,2210031111201112232200310033=3+2,,1x x x x A x x βααβααβαααβββααααααα--⎧⎪=+⎪⎪=+=+⎨⎪⎪=++=++⎪⎩⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭+=解由有，与1123123,2312031122312,200326,y y A y αβββ-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4分）所以，即关于基，的坐标为（-1,-2,6）. (8分)23. 22．计算行列式112112222121111---=n nn n n nn a a a a a a a a a D解：从最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘a ，得：)()()(0)()()(0011111213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n ---------=---=)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n ------------=213111()()()n n a a a a a a D ---- (4分)2224231)())((-----=n n n D D a a a a a D这样继续下去最后得)())((11312a a a a a a D n n ---= )()(223a a a a n --………………)(1--n n a a （8分）24.试求通过点（0,1），（1,0），（0，-1），（-1,0）与（1,1）的二次曲线方程. 解 设通过已知点的二次曲线方程为220,ax bxy cy dx ey f +++++= 把已知点坐标分别代入方程中便得到a,b,c,d,e 与f 为未知量的的线性方程组0000c e f ad f cef a d f a b c d e f ++=⎧⎪++=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪+++++=⎪⎩齐次线性方程组系数矩阵00101100101110010110010100101100001010010100000011111101000110000110101(4)001000000100000010()56A r A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=<分，线性方程组有无穷多个解。

令f=-1,得a=1,b=-1,c=1,d=0,e=0,故所2210.(8)xy y -+-=求二次曲线方程为x 分四、证明题（共18分）25.设A 是齐次线性方程组的系数矩阵，而i q 是A 中划去第i 列剩下的（n-1）×（n-1）矩阵所构成的行列式，证明是齐次线性方程组的一个解向量. （8分）证明：作新的n 阶行列式(1,2,,1),k p k n =-它是把A 的第k 行放在第一行，而其余n-1行由A 的n-1行组成，即 12111211211121(1,2,,1).k k kn n k j j jn n n n n a a a a a a p k n a a a a a a ---==-（4行）因k p 中有两行元素相同，故0k p =.另一方面，按k p 第一行展开得11122(1)0n k k kn n a q a q a q +-++-=因而结论成立.（8分）26.证明任一n 阶矩阵都可以表成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和，并且这种表示法是唯一的.（10分）1111111111111111(),(),2211(),(),22.,,,=,11(),().22,,.(10)A A C A A B A A B C A A C B C A B C A B C B B C C A B C B C B A A C A A B B C C ''+=-''''=+==-=-=+''=+=='''=+-''=+=-==证明 设A 为任一n 阶阶矩阵，B=则即为对称矩阵，为反对称矩阵，且（5分）设另有其中则 于是因此，这就证明了唯一性分。

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数学高等代数第五版

数学高等代数第五版

数学高等代数第五版
目 录
• 引言 • 线性方程组与矩阵 • 向量空间与线性变换 • 多项式与行列式 • 线性方程组的解法 • 线性变换的矩阵表示 • 二次型与矩阵的相似对角化 • 总结与展望
01 引言
课程简介
高等代数是数学的一个重要分支，主 要研究线性代数、多项式、群、环和 域等抽象代数结构及其性质和关系。
常用的解法包括高斯消元法、LU 分解法、迭代法等，可以根据具 体情况选择合适的解法。
线性方程组在各个领域都有广泛 的应用，如物理、工程、经济等。
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行和列都有 一定的数量。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有其行标和列标，表示其在 矩阵中的位置。
矩阵的维度
相似变换
如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，并且B的特征值和特征 向量与A相同，则称A经过相似变换得到B。
矩阵的特征多项式与特征值
特征多项式
对于一个给定的矩阵A，存在一个多项式$f(lambda)$，使得 $f(lambda)=0$是A的特征方程，这个多项式称为矩阵A的特征多项式。
高等代数作为大学数学专业的一门必 修课程，对于培养学生的逻辑思维、 抽象思维和数学素养具有重要意义。
学习高等代数的重要性
培养数学思维
高等代数作为数学专业的基础课程，通过学习代数结构和性质，可以培养学生的数学思维和逻辑推理 能力。
应用领域广泛
高等代数在科学、工程、经济、金融等领域有广泛应用，如线性方程组求解、矩阵计算、数据降维、 机器学习等领域都需要用到高等代数的知识。
深化数学理解
学习高等代数有助于学生深化对中学阶段数学知识的理解，如代数方程、平面几何、解析几何等，能 够更好地理解和应用这些知识。
高等代数第五版课后题答案及详解

高等代数第五版课后题答案及详解

高等代数第五版课后习题答案
【知识点】
若矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么|A|=λ1·λ2·...·λn
【解答】
|A|=1×2×...×n= n！
设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。

则Aα= λα
那么(A²-A)α= A²α- Aα= λ²α- λα= (λ²-λ)α
所以A²-A的特征值为λ²-λ，对应的特征向量为α
A²-A的特征值为0 ，2，6，...，n²-n
函数（function），名称出自数学家李善兰的著作《代数学》。

之所以如此翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

高等代数-5

高等代数-5

xi = yi + yj , xj = yi − yj , 化成含平方项的,再重复步骤(1). xk = yk , k = 1,2,L, n, k ≠ i, j,
§2
标准形
2 2 2 f = 2x1 + 4x1x2 − 4x1x3 + 5x2 − 8x2 x3 + 5x3化成 例1:将二次型 标准形,并写出相应的线性替换.
2 2 2 f ( x1, x2,L xn ) = d1 y1 + d2 y2 +L+ dn yn, ,
(*)
称(*) f 的标准形.此时 C' AC = diag(d1, d2,L, dn ) 为 定理2 数域 P 上的任意一个对称矩阵都合同于一个对 角矩阵.即对任意对称矩阵 A ,总存在可逆矩阵 C 使 得 C' AC 成对角矩阵.
C C 则 ' A = Λ.
§2
x1 = y1 + y2 解: 令 x2 = y1 − y2 , x = y 3 3
标准形
例2:将 f = x1x2 + x2x3化成标准形,并写出相应的线性替换.
x1 1 1 0 y1 X 即x2 = 1 -1 0 y2 ,记 = CY, 1 x3 0 0 1 y3 2 2 f 得 = ( y1 + y2 )( y1 − y2 ) + ( y1 − y2 ) y3 = y1 − y2 + y1 y3 − y2 y3
ì x1 = ï ï ï ï x2 = ï 令 í ï x3 = ï ï ïx = ï 4 ï î
轾 轾 1 0 0轾 x1 y1 1 犏 犏 犏 y2 犏 犏 1 0 0犏 x2 y2 0 犏 ,即 犏 = 犏 犏 犏 0 1 1犏 y3 + y4 x3 y3 0 犏 犏 犏 犏 犏 0 0 1犏 y4 x4 y4 0 臌 臌 臌 ì y1 = x1 - x2 ï ï ï ï y2 = x2 ï 2 2 此时 í ,得 f = y1 + y3 . ï y3 = x3 - x4 ï ï ïy =x ï 4 4 ï î
高等代数【北大版】2.4

高等代数【北大版】2.4

本文详细阐述了北京大学第五版高等代数教材中关于行列式的性质。首先，行列式具有行列互换不变性，即行列式中的行与列可以互换位置而行列式的值不变。其次，行列式中某一行（列）的公因子可以提取到行列式符号之外，这简化了行列式的计算。此外，如果行列式的某一行（列）元素都是两数之和则行列式可以拆分为两个行列式之和。当行列式中有两行（列）相同时，行列式的值为零。同样，如果行列式中两行（列）成比例，行列式也为零。另外，把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变。最后，对换行列式中两行（列）的位置，行列式会反号。这些性质在行列式的计算和变换中起着关键作用，有助于简化和解决复杂的行列式问题。文中还通过具体例子展示了如何应用这些性质来计算行列式的值。