高二数学导数大题
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高二数学 导数
一、填空题：（每题5分，共40分）
1、若函数12)(2
-=x x f 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x,1+△y ）,则x
y
∆∆==_______ 2、 曲线0x
y e x ==在在处的切线方程为
3、与直线2
240x y y x --==平行且与曲线相切的直线方程为_____________ 4、物体的运动方程是32
1253
s t t =-+-,则物体在t=3时的瞬时速度为 5、求2
1()ln 2
f x x x =
-的单调增区间是__________________ 6、已知抛物线2
y x bx c =++在点（1，2）处的切线方程为1y x =+，则 b c ==， 7、如果函数3
2
()5(,)f x ax x x =-+--∞+∞在上单调递增，则a 的取值范围为 8、曲线1y x
=
和2
y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 二、简答题：（共60分） 9、求下列直线的方程：（本小题20分）
（1）曲线12
3++=x x y 在P(-1,1)处的切线；
（2）曲线2
x y =过点P(3,5) 的切线。
10、求下列函数的最大值、最小值：（本小题20分） （1）
3223125[0,3]y x x x x =--+∈,；
[](2)sin ,0,2y x x x π=+∈
1．已知函数3
2
()3f x x ax x =-+．（1）若)(x f 在∈x [1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若x ＝3是)(x f 的极值点，求)(x f 在∈x [1，a ]上的最小值和最大值．
1．解：（1）2()3230f x x ax '=-+>． ∵ x ≥1． ∴ 31
()2a x x
<
+， min 31()32a x x ∴<+=
（当x =1时，取最小值）． ∴ a ＜3（a ＝3时也符合题意）． ∴ a ≤3．
（2）0)3(='f ，即27-6a +3＝0， ∴ a ＝5，32
()53f x x x x =-+.
令2
()31030f x x x '=-+=得 3=x ，或 1
3
x =
(舍去) 当13x <<时,()0f x '<; 当35x <<时,()0f x '>
即当3x =时,()f x 有极小值(3)9f =-．又(1)1,(5)15f f =-= ∴ f （x ）在1[∈x ，5]上的最小值是(3)9f =-，最大值是(5)15f =.
2、设函数2
()ln()f x x a x =++，当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；
解：（Ⅰ）1
()2f x x x a
'=
++，依题意有(1)0f '-=，故32a =．
从而2231(21)(1)()3322
x x x x f x x x ++++'==++．()f x 的定义域为32⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭，
∞， 当312x -
<<-时，()0f x '>；当112
x -<<-时，()0f x '<；当1
2x >-时，()0f x '>．
从而，()f x 分别在区间3
112
2
⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，
∞单调增加，在区间112⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
，单调减少． 3、设函数2
()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当1
2
b >
时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点； 解：（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，322()211
b x x b f x x x x ++'=+=++ 设2
()22g x x x b =-+，其图象的对称轴为1(1)2x =-
∈-+∞，，max 11()22g x g b ⎛⎫
∴=-=-+ ⎪⎝⎭
． 当12b >
时，max 1()02
g x b =-+>，即2
()230g x x x b =+->在(1
)-+∞，上恒成立， ∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>， ∴当1
2
b >
时，函数()f x 在定义域(1
)-+∞，上单调递增． （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当1
2
b >时，函数()f x 无极值点．
②12b =时，3
122()01
x f x x ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭'==+有两个相同的解12x =-，
112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭
，时，()0f x '>，
1
2
b ∴=
时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点． ③当1
2
b <
时，()0f x '=
有两个不同解，1x =
2x =，
0b <
时，1112x -=
<-
，2102
x --=>，
即1(1)x ∈-+∞，，[)21x ∈-+∞，．0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
x
1(1)x -， 1x 2()x +∞，
()f x ' -
+
()f x
极小值
由此表可知：0b <时，()f x
有惟一极小值点112
x --=
，
当1
02
b <<
时，11x =
>-，12(1)x x ∴∈-+∞，， 此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
x
1(1)x -，
1x 12()x x ， 1x 1()x -∞， ()f x ' +
-
+
()f x
极大值
极小值
由此表可知：1
02
b <<
时，()f x 有一个极大
值112x -=和一个极小值点
212
x -=
；
综上所述：0b <时，()f x 有惟一最小值点12
x -+=
1
02
b <<
时，()f x 有一个极大值点x =x =
1
2
b ≥时，()f x 无极值点．
（Ⅲ）当1b =-时，函数2
()ln(1)f x x x =-+，令函数2
2
2
()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，
则22
2
13(1)()3211
x x h x x x x x +-'=-+=++． ∴当[)0x ∈+∞，时，()0f x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，
上单调递增， 又(0)0h =．(0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即2
3
ln(1)x x x >-+恒成立． 故当(0)x ∈+∞，时，有2
3
ln(1)x x x +>-． 对任意正整数n 取1(0)x n =∈+∞，，则有23111ln 1n n n
⎛⎫+>- ⎪⎝⎭．所以结论成立．。
