苏教版数学高二-北京四中数学选修【知识讲解】导数的综合应用题(基础)

高二数学理导数的应用苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：导数的应用二. 本周教学目标：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2. 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题.三. 本周知识要点：（一）基本知识1. 极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点。

2. 极小值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点。

3. 极大值与极小值统称为极值。

4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值。

5. 求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )。

（2）求方程f ′(x )=0的根。

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值。

6. 函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值。

（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值。

高二数学导数及其应用苏教版知识精讲【本讲教育信息】一. 教学内容：导数及其应用二. 重点、难点：教学重点：1. 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念．2. 熟记基本导数公式：x m（m为有理数）、sinx、cosx、e x、a x、lnx、log a x的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．教学难点：导数的定义和导数的几何意义的理解与运用，理解导数的工具性．三. 主要知识点：1. 知识网络2. 方法分析有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明．本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的． 3. 方法总结（1）导数的概念实质是函数值相对于自变量的变化率，是变量的变化速度在数学上的一种抽象；（2）在导数的定义中“比值xy∆∆叫做函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率”；（3）用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对于定义法解决单调性问题是十分简捷的；（4）函数极值的确定，实际是建立在对函数单调性的认识基础上的；（5）在实际问题中，若函数只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较；（6）理解和掌握导数及其有关概念是本章学习的基础；会对简单的初等函数进行求导是本章的重点；会求一些实际问题的最大值与最小值是培养能力的关键． 4. 概念与公式（1）导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0'x x y =．（2）导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))((')(000x x x f x f y -=-．（3）导函数（导数）：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)('x f ，从而构成了一个新的函数)('x f ，称这个函数)('x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．（4）可导：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导．（5）求函数)(x f y =的导数的一般方法： ①求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆．②求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(．③令0→∆x ，得导数'y ＝()f x ' （6）常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=对数函数的导数： x x 1)'(ln =e xx a a log 1)'(log = 指数函数的导数： x x e e =)'( a a a x x ln )'(= （7）法则1 )(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+，[()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭（8）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ） 在某个区间内有导数，如果在这个区间内'y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内'y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数．（9）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．（10）极大值：一般地，设函数f （x ）在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f （x ）＜f （x 0），就说f （x 0）是函数f （x ）的一个极大值，记作y 极大值＝f （x 0），x 0是极大值点．极小值：一般地，设函数f （x ）在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f （x ）＞f （x 0）.就说f （x 0）是函数f （x ）的一个极小值，记作y 极小值＝f （x 0），x 0是极小值点．（11）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．（12）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ） ②求方程f ′（x ）＝0的根．③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值．（13）函数的最大值和最小值：在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．①在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．②函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．③函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．④函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．（14）利用导数求函数的最值步骤：①求)(x f 在(,)a b 内的极值；②将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．【典型例题】例1. （2003年烟台统考）已知函数f （x ）＝x 3＋3ax 2＋3（a ＋2）x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．目的：考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力．解：∵f ′（x ）＝3x 2＋6ax ＋3a ＋6，令f ′（x ）＝0，则x 2＋2ax ＋a ＋2＝0 又∵f （x ）既有极大值又有极小值∴f ′（x ）＝0必有两解，即△＝4a 2－4a －8＞0 解得a ＜－1或a ＞2．点评：本题通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略．变式：已知f （x ）＝x 3＋3ax 2＋3（a ＋2）x ＋1，试讨论函数y ＝f （x ）的单调性 提示：分△＞O ，△＝O ，△<O 三种情况分别就a 的不同取值进行讨论．例2. 过曲线C ：y ＝x 2－1（x>0）上的点P 作C 的切线L 与坐标轴交于M ，N 两点，试求P 点的坐标，使∆OMN 的面积最小．点拨：1、设点P （x 0，x 20－1），求出y'|0x x =＝2x 0，即切线斜率．写出切线方程：y －（x 20－1）＝2x 0（x －x 0）2、分别令x ＝0，y ＝0求出M ，N 点的坐标，则S OMN ∆可表示．3、通过求导求S OMN ∆的最小值及P 点坐标．答案：P （32,33-） 思考：若P 点不在曲线上，如何求切线方程？已知曲线C ：y ＝x 2－1（x>0），过点P （2，1）作C 的切线L 与坐标轴交于M ，N 两点，试求∆OMN 的面积．易错点：学生往往会把过P 点的切线斜率算成y'|2=x ＝2·2＝4．点拨：设切点Q （x 0，x 02－1），过Q 点的切线斜率为y'|0x x =＝2x 0，得切线方程y －（x 02－1）＝2x 0（x － x 0），P 点代入，得x 0＝22+±，代回得切线方程，下略．例3. 设函数f （x ）＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d （a 、b 、c 、d ∈R ）的图象关于原点对称，且x ＝1时，f （x ）取极小值－32． （1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）当x ∈[－1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若x 1，x 2∈[－1，1]时，求证：|f （x 1）－f （x 2）|≤34． 目的：本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力．解（1）：∵函数f （x ）图象关于原点对称，∴对任意实数x ，都有f （－x ）＝－ f （x ）. ∴－ax 3－2bx 2－cx ＋4d ＝－ax 3＋2bx 2－cx －4d ，即bx 2－2d ＝0恒成立． ∴b ＝0，d ＝0，即f （x ）＝ax 3＋cx. ∴f ′（x ）＝3ax 2＋c ．∵x ＝1时，f （x ）取极小值－32． ∴f ′（1）＝0且f （1）＝－ 32， 即3a ＋c ＝0且a ＋c ＝－32． 解得a ＝31，c ＝－1.（2）证明：当x ∈[－1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A （x 1，y 1）、B （x 2＋y 2），使得过这两点的切线互相垂直，则由f ′（x ）＝x 2－1，知两点处的切线斜率分别为k 1＝x 12－1，k 2＝x 22－1， 且（x 12－1）（x 22－1）＝－1． （*）∵x 1、x 2∈[－1，1]， ∴x 12－1≤0，x 22－1≤0 ∴（x 12－1）（x 22－1）≥0，这与（*）相矛盾，故假设不成立． （3）证明：∵f ′（x ）＝x 2－1，由f ′（x ）＝0，得x ＝±1． 当x ∈（－∞，－1）或（1，＋∞）时，f ′（x ）＞0; 当 x ∈（－1，1）时，f ′（x ）＜0．∴f （x ）在[－1，1]上是减函数，且f max （x ）＝f （－1）＝32， f min （x ）＝f （1）＝ －32． ∴在[－1，1]上，|f （x ）|≤32．于是x 1，x 2∈[－1，1]时，|f （x 1）－f （x 2）|≤|f （x 1）|＋|f （x 2）|≤32＋32＝34． 故x 1，x 2∈[－1，1]时，|f （x 1）－f （x 2）|≤34． 探究：①若x 0点是y ＝f （x ）的极值点，则f ′（x 0）＝0，反之不一定成立；②在讨论存在性问题时常用反证法；③利用导数得到y ＝f （x ）在[－1，1]上递减是解第（3）问的关键．例4. 已知平面向量a ＝（3，－1）.b ＝（21，23）． （1）证明a ⊥b ；（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x ＝a ＋（t 2－3） b ，y ＝－k a ＋t b ，x ⊥y ，试求函数关系式k ＝f （t ）； （3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f （t ）－k ＝0的解的情况．【考查目的】本题考查向量的性质与计算、函数的导数与函数的图象、函数的图象与方程根的个数间的关系以及综合应用能力．解：（1）∵a b ⋅＝3×21＋（－1）×23＝0 ∴a ⊥b ． （2）∵x ⊥y ，∴x y ⋅＝0 即[a ＋（t 2－3） b ]·（－k a ＋t b ）＝0． 整理后得－k 2a ＋[t －k （t 2－3）] ab ⋅＋ （t 2－3）·2b ＝0 ∵a b ⋅＝0，2a ＝4，2b ＝1，∴上式化为－4k ＋t （t 2－3）＝0，即k ＝41t （t 2－3） （3）讨论方程41t （t 2－3）－k ＝0的解的情况，可以看作曲线f （t ）＝ 41t （t 2－3）与直线y ＝k 的交点个数．于是f ′（t ）＝41（t 2－1）＝ 43t （t ＋1）（t －1）． 令f ′（t ）＝0，解得t当t ＝－1时，f （t ）有极大值，f （t ）极大值＝2． 当t ＝－1时，f （t ）有极小值，f （t ）极小值＝－21．函数f （t ）＝41t （t 2－3）的图象如图所示，可观察出：（1）当k ＞21或k ＜－21时，方程f （t ）－k ＝0有且只有一解； （2）当k ＝21或k ＝－21时，方程f （t ）－k ＝0有两解；（3）当－21＜k ＜21时，方程f （t ）－k ＝0有三解．探究：导数的应用为函数的作图提供了新途径．例5. （2004·温州市一模∙21）已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *，都有4S n ＝（a n ＋1）2（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若2n ≥tS n 对于任意的n ∈N *成立，求实数t 的最大值．分析：利用S n －S n －1＝a n （n ≥2）易得a n ＝2n －1，从而S n ＝n 2则问（2）转化为t ≤22nn恒成立，故只需求出数列22n n n b =的最小项，有以下求法：法一：研究数列{b n }的单调性．法二：数列作为一类特殊的函数，欲求22{}n n 的最小项可先研究连续函数22(0)xy x x =>的单调性，求导得42(ln 22)x x x y x ⋅-'=，易得2ln 2x =为函数22x y x =的极小值也是最小值点，又22ln ln 2e <<，所以2[]3ln 2=而334223b b =<，故389t b ≤= （注：不能直接对22(*)ny n N n=∈求导，为什么？）探究：导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数列作为一类特殊函数其本质所在．特别提示：例2、例3、例4充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，例4还说明了一点：欲用导数，得先构造函数．例6. 已知双曲线:(0)mC y m x=<与点M （1，1），如图所示．（1）求证：过点M 可作两条直线，分别与双曲线C 两支相切；（2）设（1）中的两切点分别为A 、B ，其△MAB 是正三角形，求m 的值及切点坐标． 【考查目的】本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用，使代数与几何实现了和谐的沟通．（1）证明：设(,)mQ t C t∈，要证命题成立只需要证明关于t 的方程|x t MQ y k ='=有两个符号相反的实根．|x t MQy k ='=221201m m t t mt m t t -⇔-=⇔-+=-，且t ≠0，t ≠1．设方程220t mt m -+=的两根分别为t 1与t 2，则由t 1t 2＝m<0，知t 1，t 2是符号相反的实数，且t 1，t 2均不等于0与1，命题获证．（2）设1212(,),(,)m mA tB t t t ，由（1）知，t 1＋t 2＝2m ，t 1t 2＝m ，从而 2121212121()2,()2222t t m m m t t m m m t t t t m++=+===，即线段AB 的中点在直线y x =上． 又1221212121()1()ABm mm t t t t k t t t t t t --===---，∴AB 与直线y x =垂直． 故A 与B 关于y x =对称， 设(,)(0)m A t t t <，则(,)m B t t有t 2－2mt ＋m ＝0 ① 由22,,60MAMB m m k k AMB t k=-=-∠=︒及夹角公式知2222tan 601t mm t t m m t-+︒=+⋅，即22m tt m -= ②由①得221t m t =- ③从而2214(1)(21)02121m t t t t t m t t --=--=>--由②知2222m t m t m t -==，代入③知t =因此，1,(2m A B =-． 探究：求切线方程的常见方法有：1、数形结合．2、将直线方程代入曲线方程利用判别式．3、利用导数的几何意义．小结：深刻理解导数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的途径，成为沟通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导数还具有方法程序化，易掌握的显著特点．【模拟试题】一、选择题1.函数32cos y x x =，则y '等于 （ ）A. 26sin x xB. 22sin x x +-C. 26sin x x ++D. 26sin x x -2. 已知曲线23123,,2sin y x y x y x ===，这三条曲线与x ＝1的交点分别为A 、B 、C ，又设k 1、k 2、k 3分别为经过A 、B 、C 且分别与这三条曲线相切的直线的斜率，则（ ） A. k 1<k 2<k 3 B. k 3<k 2<k 1 C. k 1<k 3<k 2 D. k 3<k 1<k 23. 已知a>0，函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知32()26f x x x m =-+（m 为常数），在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在 [－2，2]上的最小值为 （ ）A. －37B. －29C. －5D. －115. （2004年浙江高考）设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）二、填空题6. 某汽车启动阶段的路程函数为S （t ）＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的速度和加速度分别为7. 曲线21y x =与曲线y =在交点处的切线的夹角为 ． 8. 已知()sin 2,,f x x x x R =+∈且(1)(2)0f a f a -+<，则a 的取值范围是 ．三、解答题9. 已知曲线2212::(2)C y x C y x ==--与，求与C 1、C 2均相切的直线l 的方程．10. 函数32()f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点(1,())P f x 的切线方程为y ＝3x ＋1（1）若()2y f x x ==-在时有极值，求()f x 的表达式； （2）在（1）的条件下，求()y f x =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围．11. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线．（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f （t ）；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效． ①求服药一次治疗疾病有效的时间？②当t ＝5时，第二次服药，问t 1[5,5]16时，药效是否连续？[参考答案]http//1. D2. D3. D4. A5. C6. 4，37. 90°8. （－∞，－1）9. 解答：由2y x =得2y x '=，由2(2)y x =-- ，得2(2)y x '=--； 设直线l 与2y x =的切点为211(,),(2)P x y y x =--与的切点为22(,)Q x y①＋②整理得121212(2)(2)y y x x x x +=+--+ 由③得1220x x +-=120y y ∴+=即21y y =-，代入④与①联立可解得x 1＝0或x 1＝2当x 1＝0时，x 2＝2；当x 1＝2时，x 2＝0 ∴直线l 过（0，0）、（2，0）点，或直线过（2，4）、（0，－4）点因此所求直线方程为y ＝0或y ＝4x －4．10. 解：（1）由32()f x x ax bx c =+++求导数得2()32f x x ax b '=++过()y f x =上点(1,(1))P f 的切线方程为：(1)(1)(1),(1)(32)(1)y f f x y a b c a b x '-=--+++=++-即，而过()y f x =上，(1,(1))P f 的切线方程为31y x =+ 故32321a b a b c ++=⎧⎨++-=⎩ 即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩()y f x =在x ＝－2时有极值，故(2)f '-＝0 412a b ∴-+=- ③由①②③式联立解得2,4,5a b c ==-=，32()245f x x x x ∴=+-+ （2）22()32344(32)(2)f x x ax b x x x x '=++=+-=-+ ①②32()(2)(2)2(2)4(2)513f x f =-=-+---+=极大，3(1)1214154f =+⨯-⨯+=，()f x ∴在[－3，1]上最大值为13．（3）()y f x =在区间 [－2，1]上单调递增，又2()32f x x ax b '=++， 由（1）知20a b +=，2()3f x x bx b '∴=-+依题意()f x '在[－2，1]上恒有2()0,30f x x bx b '≥-+≥即在[－2，1]上恒成立．①当16bx =≥时，()(1)30f x f b b ''==-+>小，6b ∴≥ ②当26bx =≤-时，()(2)1220f x f b b ''=-=++≥小，b ∴∈∅③当216b -≤≤时，212()012b b f x -'=≥小，∴0≤b ≤6 综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：b ≥0．11. 解答：（1）当0≤t ≤1时，y ＝4t ， 当t ≥1时，1()2t ay -=，此时M （1，4）在曲线上，114(),32a a -∴=∴=，这时31()2t y -= 所以＝＝)(t f y 34(01)()1()(1)2t tt y f x t -≤≤⎧⎪==⎨≥⎪⎩（2）①340.25()0.25,1()0.252t t f t -≥⎧⎪≥⎨≥⎪⎩即 解得1165t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩1516t ∴≤≤∴服药一次治疗疾病有效的时间为115541616-=个小时． ②设1[5,5]16t ∈，5小时第二次服药后，血液中含药量g （t ）为：第二次产生的含药量4（t －5）毫克以及第一次的剩余量31()2t -毫克，即g （t ）＝4（t －5）＋ 31()2t -只要证明，当1[5,5]16t ∈时,g （t ）≥0.25即可33111()4()ln 4()ln 2222t t g t --'=+=-，()g t '∴在R 上是增函数，1()[5,5]16g t '∴在上有21()(5)4()ln 202g t g ''≥=->， 1()[5,5]16g t ∴在上是增函数，故g （t ）≥g （5）＝0.25，∴当t ＝5时，第二次服药，1[5,5]16t ∈时，药效连续．。

第1章 导数及其应用（苏教版选修2-2）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数()2π2)(x x f =的导数是 .2.函数xx x f -⋅=e)(的一个单调递增区间是 .3.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =4．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为 .5.曲线y =－2－4x +2在点（1，－3）处的切线方程是 .6.函数y =x +2cos x 在[0,上取得最大值时，x 的值为 .7．函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则= .8．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大. 9．函数f (x )的定义域为开区间（a ,b ），导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ,b )内的极值点的个数是 .10．已知sin (ππ)1cos xy x x=∈-+，，，当2y '=时，x = .11．对正整数n ，设曲线)1(x x y n-=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的n 12.已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，不等式恒成立. 若，，，则a 、b 、c 的大小关系 是 .13. 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，，且 g (－3)＝0，则不等式的解集是 . 14.已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为 . 二、解答题（共90分）15．（14分）求下列函数的导数： (1)y =5－4；(2)y =3+x cos x ；(3)y =tan x ；(4)y =x ；第1章导数及其应用（苏教版选修2-2）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．8． 9． 10． 11． 12． 13．14．二、解答题15.16．17.18.19.20.第1章 导数及其应用（苏教版选修2-2）答案一、填空题1.x x f 2π8)(=' 解析：()∴==,π4π2)(222x x x f =⨯='x x f 2π42)(x 2π8;或()()=⋅='⋅⋅='π2π4π2π22)(x x x x f x 2π8. 2．（ 解析：∴=⋅=-.e e)(x xx x x f []2e e e 1)(x x x x x f ⋅-⋅='，()[]1,0e e 12<∴>⋅-x x x x. 或().1 ,0e .0e )1(1e e 1)(<∴>>⋅-=-⋅⋅+⋅='----x x x x f x x x x Θ ∴ 函数xx x f -⋅=e )(的单调递增区间是（.3.41解析：设切点),(00y x P .因为错误!未指定书签。

_1.2导数的运算1.2.1 常见函数的导数已知函数(1)f (x )＝c ，(2)f (x )＝x ，(3)f (x )＝x 2， (4)f (x )＝1x，(5)f (x )＝x .问题1：函数f (x )＝x 的导数是什么？ 提示：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝x ＋Δx －xΔx ＝1，∴当Δx →0时，ΔyΔx →1，即x ′＝1.问题2：函数f (x )＝1x 的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋Δx －1xΔx＝x －(x ＋Δx )x (x ＋Δx )Δx ＝－1x 2＋x ·Δx，∴当Δx →0时，Δy Δx→－1x 2，即⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2.1．(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2．C ′＝0(C 为常数)； 3．(x )′＝1； 4．(x 2)′＝2x ； 5．(x 3)′＝3x 2； 6.⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； 7．(x )′＝12x.1．(x α)′＝αx α－1(α为常数)；2．(a x )′＝a x ln_a (a >0，且a ≠1)；3．(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；4．(e x )′＝e x ； 5．(ln x )′＝1x ；6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a ，当a ＝e 时，上述公式就变形为(ln x )′＝1x ，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x与f (x )＝e x .[对应学生用书P7][例1] (1)y ＝x 8； (2)y ＝1x 3；(3)y ＝x x ； (4)y ＝log 2x .[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 8)′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3·x －4＝－3x 4； (3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32·x 12＝3x2；(4)y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 的导数是________． 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x2．下列结论中不正确的是________． ①若y ＝3，则y ′＝0； ②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3； ③⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x； ④若y ＝x ，则y ′＝1.解析：①正确；②sin π3＝32，而(32)′＝0，不正确；对于③，⎝⎛⎭⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x，正确；④正确． 答案：②3．求下列函数的导函数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝log 12x ；(3)y ＝4x 3；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. 解：(1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10； (2)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2；(3)∵y ＝4x 3＝x 34，∴y ′＝(x 34)′＝34x －14＝344x ；(4)∵y ＝(sin x 2＋cos x2)2－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .[例2] 求函数f (x )＝16x 5在x ＝1处的导数．[思路点拨] 先求导函数，再求导数值．[精解详析] ∵f (x )＝16x 5＝x －56，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －56′＝⎝⎛⎭⎫－56x －116， ∴f ′(1)＝－56.[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．4．若函数f (x )＝3x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23，∴f ′(1)＝13.答案：135．若函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x . ∴f ′(6π)＝cos 6π＝1. 答案：1 6．已知f (x )＝1nx 且f ′(1)＝－12，求n .解：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1n x －n ＋1n ，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－12得－1n ＝－12，得n ＝2.[例3] (1)曲线在点A (1,1)处的切线方程； (2)过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路点拨] (1)点A 在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B 点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[精解详析] (1)y ′＝2x ，当x ＝1时，y ′＝2，故过点A (1,1)的切线方程为y －1＝2(x－1)，即2x －y －1＝0.(2)∵B (3,5)不在曲线y ＝x 2上，∴可设过B (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线与曲线的切点为(x 0，y 0)． ∵y ′＝2x ，∴当x ＝x 0时，y ′＝2x 0.故切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 又∵直线过B (3,5)点， ∴5－x 20＝2x 0(3－x 0)． 即x 20－6x 0＋5＝0. 解得x 0＝1或x 0＝5.故切线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0. [一点通](1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： ①求曲线在点P 处的切线方程，P 为切点，在曲线上；②求过点P 与曲线相切的直线方程，P 不一定为切点，不一定在曲线上． (2)求曲线上某点(x 0，y 0)处的切线方程的步骤： ①求出f ′(x 0)，即切线斜率； ②写出切线的点斜式方程； ③化简切线方程．(3)求过点P 与曲线相切的直线方程的步骤： ①设出切点坐标为(x 0，y 0)；②写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； ③代入点P 的坐标，求出方程．7．已知直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切，则a 的值为________．解析：设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，由题意得1x 0＝1，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,0)，把点P 的坐标代入直线y ＝x ＋a ，得a ＝－1.答案：－18．求曲线y ＝2x 2－1的斜率为4的切线的方程．解：设切点为P (x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意知，当x ＝x 0时，y ′＝4x 0＝4， 所以x 0＝1.当x 0＝1时， y 0＝1，∴切点P 的坐标为(1,1)． 故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.1．对公式y ＝x n 的理解：(1)y ＝x n 中，x 为自变量，n 为常数；(2)它的导数等于指数n 与自变量的(n －1)次幂的乘积．公式中n ∈Q ，对n ∈R 也成立． 2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化．(2)对于公式(ln x )′＝1x 和(e x )′＝e x 很好记，但对于公式(log a x )′＝1x log a e 和(a x )′＝a x lna 的记忆就较难，特别是两个常数log a e 与ln a 很容易混淆．[对应课时跟踪训练(三)]一、填空题1．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是________． 解析：∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4.∴α＝4. 答案：42．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1x 20＝－4.所以x 0＝±12，所以P ⎝⎛⎭⎫12，2或P ⎝⎛⎭⎫－12，－2. 答案：⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数公式可知f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解之得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－134．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a＝－1.∴ln a ＝－1，即a ＝1e .答案：1e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，知x 0＝e.∴k ＝1e .答案：1e二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝lg 2； (2)y ＝2x ； (3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝(lg 2)′＝0； (2)y ′＝(2x )′＝2x ln 2； (3)y ′＝(x 32)′＝32x 12；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .7．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则当x ＝x 0时，y ′＝2x 0. 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14， ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.8．求曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2解得交点为(1,1)．∵y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2， ∴曲线y ＝1x 在(1,1)处的切线方程为y －1＝－x ＋1，即y ＝－x ＋2. 又y ′＝(x 2)′＝2x ，∴曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.y ＝－x ＋2与y ＝2x －1和x 轴的交点分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫12，0. ∴所求面积S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.。

导数的应用要点讲解导数的在函数中的应用主要包含两方面：一是在求函数的极值、最值中的应用；二是在解最优化问题中的应用。

下面针对这两个要点分别进行讲解。

一、在求函数的极值、最值中的应用若函数在0x x =处取得极值，则0()0f x '=；而在导数值为零处可求出极值点.对于闭区间上的连续函数则一定存在着最大值和最小值，可通过对极值点处和端点处的函数值进行比较得到函数的最值，以于开区间若函数有且仅有一个极值点（单峰函数），此极值即为函数的最值.因此一般利用导数求函数的极值或最值要经过三步，一．函数求导数，二．求极值点，三．求极值或最值.例题：已知函数32()(1)7f x x ax a x =+--+有极大值和极小值，求a 的取值范围.分析：这是一个导数在求函数极值．最值中的应用问题，这类问题一般分两个方面，一是直接求极值．最值，另一类是已知极值、最值求函数或变量的范围，本题属于第二类问题.破解的方法其实是一样的三步，即求导、求极值、求最值.解析：对函数求导得，2()32(1),()0,f x x ax a f x ''=+--=令则232(1)0x ax a +--=，要使函数有极大值和极小值，则导函数与x 轴有两个交点，因此2412(1)0a a ∆=+->，整理可得2330,a a a a +-><>即，因此a 的取值范围为33,22⎛⎛⎫--+-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点评：这在问题在学习时要做到举一反三，加强训练，既要学会从正面求极值．最值，又要学会从反面求函数或变量的范围，做到以不变应万变.二、最优化问题导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、最有效的工具，它也给出了我们生活中很多问题的答案，诸如用料最省、容量最大、亮度最强等，本文将介绍用导数求解生活中几个常见问题，供参考．1．用料最省问题例1 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为3500m ，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？解析：欲使材料最省，实际上是使表面积最小，设直径为d ，高为h ，表面积为S ，由2π5002d h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得22000πh d =． 又22π2000ππ24d d S d h d ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，而2π20002d S d '=-．令0S '=，即2π200002d d-=，得d =h =350002πd <<∵时，0S '<；35002πd >时，0S '>， 所以，当35002πd =，3500πh =时，用料最省． 点评：用料最省、造价最低一般都是与表面积有关，此类问题的求解思路是找到变量之间的关系，再借助关系列出函数式，然后通过导数予以求解．2．流量最大问题例2 用宽为a 、长为b 的三块木板，做成一个断面为梯形的水槽（如图）．问斜角?兹多大时，水槽的流量最大？最大流量是多少？解析：槽的流量与槽的横截面面积有关，横截面面积越大，槽的流量就越大，因此，求槽的流量最大，其实就是求横截面面积的最大值．设横截面面积为S ，则1()2S AB ED CD =+·． 由于2cos AB a a θ=+，sin CD a θ=，因此21π[(2cos )sin ]sin (1cos )022S a a a a a θθθθθ⎛⎫=++=+<< ⎪⎝⎭·． 又22(2cos cos 1)S a θθ'=+-，令0S '=，即22(2cos cos 1)0a θθ+-=，得1cos 2θ=或cos 1θ=-． 由于π02θ<<，得cos 1θ≠-， 那么1cos 2θ=，此时π3θ=． ∵当π03θ<<时，0S '>；当ππ32θ<<时，0S '<， 所以，当π3θ=时，横截面的面积最大；此时，槽的流量最大． 点评：流量最大、横梁的强度最大等都与横截面的面积有关，而面积又往往与三角联系在一起，根据题目条件找出各量之间的关系是求解此类问题的关键．。

【关键字】数学1.3.1单调性明目标、知重点1．结合实例，探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．导数与函数单调性的关系(1)在区间(a，b)内，由导数的正、负判断函数的单调性导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0单调递减f′(x)≤0常数函数f′(x)＝0[情境导学]以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．答(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递加；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递加，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答(1)不能用“∪”连结，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．例1 已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递加；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．反思与感悟 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y ＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f ′(x)图象的大致形状．解 f ′(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一． 例 2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x ＋1； (2)f(x)＝sin x －x(0<x<π)； (3)f(x)＝3x2－2ln x ； (4)f (x )＝3tx －x 3.解 (1)f ′(x )＝6x 2＋6x －36. 由f ′(x )>0解得x <－3，或x >2， 由f ′(x )<0解得－3<x <2，故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 单调递减区间是(－3,2)． (2)f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π)，无单调递增区间． (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0，解得x <－33或0<x <33.又∵x >0，∴0<x <33. ∴函数f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33)． (4)f ′(x )＝3t －3x 2.令f ′(x )≥0时，得3t －3x 2≥0，即t ≥x 2， ∴当t ≤0时，无解；当t >0时，函数f (x )的单调递增区间是[－t ，t ]． 令f ′(x )≤0时，得3t －3x 2≤0，即t ≤x 2， 当t ≤0时，f ′(x )≤0恒成立，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数f (x )的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数f (x )的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x . 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x .由f ′(x )>0得－22<x <0或x >22， 又∵x >0，∴x >22， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞；由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22， 又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22. (2)f ′(x )＝3x 2－2x －1 ＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图所示，函数y ＝f (x )在(0，b )或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b ，＋∞)或(－∞，a )内的图象“平缓”．例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．解 (1)→B ，(2)→A ，(3)→D ，(4)→C.反思与感悟 通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之亦可行．跟踪训练3 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是________．(填图象对应的序号)答案 ④解析 从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内，导数递增；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数递减．即函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓．所以④比较符合．1．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是________．(填图象对应的序号)答案 ④解析 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知④正确． 2．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，1a 解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， 由f ′(x )＝1x －a >0，得0<x <1a.3．函数f (x )＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为________． 答案 (－∞，－1)解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )<0得x <－1或12<x <2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故单调递减区间为(－∞，－1)．4．函数y ＝x 2－4x ＋a 的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 答案 (2，＋∞) (－∞，2)解析 y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2； 令y ′<0，得x <2，所以y ＝x 2－4x ＋a 的单调递增区间为(2，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，2)． [呈重点、现规律]1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.一、基础过关1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的________条件． 答案 充分不必要解析 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________．答案 (0,1)解析 ∵y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴y ′＝x －1x ，令y ′<0，即x －1x <0，解得0<x <1或x <－1. 又∵x >0，∴0<x <1.3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f (2)、f (e)、f (3)的大小关系为________________． 答案 f (2)<f (e)<f (3)解析 因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f (2)<f (e)<f (3)．4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是________． ①y ＝sin x ；②y ＝x e 2； ③y ＝x 3－x ；④y ＝ln x －x . 答案 ②解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数； 对于③，y ′＝3x 2－1＝3(x ＋33)(x －33)， 故函数在(－∞，－33)，(33，＋∞)上为增函数， 在(－33，33)上为减函数； 对于④，y ′＝1x －1 (x >0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数， 在(0,1)上为增函数． 故只有②符合．5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) 6．若三次函数f (x )＝ax 3＋x 在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，∵f (x )在R 上为增函数，∴3ax2＋1≥0在R上恒成立．又a≠0，∴a>0.7.已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，试画出函数y＝f(x)的大致图象．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：当x<－2或x>2时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数；当－2<x<2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；f′(－2)＝0，f′(2)＝0.故原函数y＝f(x)的图象大致如图：二、能力提升8．如果函数f (x )的图象如图，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是________．(填序号)答案 ①解析 由f (x )与f ′(x )关系可知①符合．9．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1，2]，则b ＝________，c ＝________.答案 －32－6 解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∵函数f (x )的单调减区间为[－1,2]∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0，x ∈[－1,2]．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根．∴由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ －2b 3＝(－1)＋2，c 3＝(－1)×2.∴b ＝－32，c ＝－6. 10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)内是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立，又f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立， 分离参数得a ≥1x 2－2x ， 若满足题意，需a ≥⎝⎛⎭⎫1x 2－2x max .令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 因为h ′(x )＝－2x 3－2， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，恒有h ′(x )＜0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以h (x )＜h ⎝⎛⎭⎫12＝3，故a ≥3.11．求下列函数的单调区间：(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x， 由y ′>0，得x >1；由y ′<0，得0<x <1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为(－32，＋∞)． ∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3. 当y ′>0，即－32<x <－1或x >－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增；当y ′<0，即－1<x <－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为(－32，－1)和(－12，＋∞)，单调递减区间为(－1，－12)． 12.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．三、探究与拓展13.已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2 (m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ；(2)求函数f (x )的单调增区间．解 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，又f ′(2)＝0，∴3m ＋n ＝0，故n ＝－3m .(2)∵n ＝－3m ，∴f (x )＝mx 3－3mx 2，∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0，当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)．综上，当m>0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

【巩固练习】一、选择题1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能2． 已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (A)[0,4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ 3.32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）A -2B 0C 2D 44．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．95．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件D ．7万件6．曲线4()2f x x 上的点到直线1yx 的距离的最小值为( )A. 2B.22 C. 23 D. 52167．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( )A ．有最大值152 B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152二、填空题8．函数()ln xf x x=的单调递减区间是_ _____． 9．曲线3()3f x x x 在0p 处的切线平行于直线41yx ，则0p 点的坐标为_ _____． 10. 函数32()3f x x a x a =-+（0a >）的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围 。

11、某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=________吨． 三、解答题12．设函数3()1f x ax bx =++在1x =处取得极值1-(Ⅰ)求a b 、的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间. 13.（2010安徽文数）设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值。