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几何图形的旋转对称性质一、定义与性质1.旋转对称图形：在平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转一个角度后，能够与另一个图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形。
2.旋转中心：旋转对称图形时，图形绕着旋转的点叫做旋转中心。
3.旋转角：图形旋转的角度叫做旋转角。
4.旋转对称性质：（1）旋转对称图形具有轴对称性质。
（2）旋转对称图形的边长、角度、面积等都不变。
（3）旋转对称图形的对应点、对应线段、对应角相等且共线。
二、常见旋转对称图形1.正多边形：正n边形（n为正整数）绕着中心旋转一个角度后，能够与另一个正n边形重合。
2.圆：圆绕着圆心旋转任意角度后，能够与另一个圆重合。
3.线段：线段绕着中点旋转一个角度后，能够与另一个线段重合。
4.等腰三角形：等腰三角形绕着底边中点旋转一个角度后，能够与另一个等腰三角形重合。
5.等边三角形：等边三角形绕着重心旋转一个角度后，能够与另一个等边三角形重合。
6.矩形、正方形、菱形：这些四边形绕着对角线交点旋转一个角度后，能够与另一个矩形、正方形、菱形重合。
三、旋转对称性质的应用1.构造图形：利用旋转对称性质，可以构造出各种几何图形。
2.证明定理：在证明几何定理时，可以利用旋转对称性质简化证明过程。
3.计算面积：利用旋转对称性质，可以简化计算几何图形面积的过程。
4.设计图案：在设计图案时，可以利用旋转对称性质创造出各种美丽的图案。
四、注意事项1.旋转对称图形与轴对称图形的区别：旋转对称图形是绕着某一点旋转，而轴对称图形是绕着某一条直线折叠。
2.旋转角的选择：在进行图形旋转时，旋转角的选择应尽量便于观察和计算。
3.注意旋转对称性质的应用范围：旋转对称性质适用于大部分平面几何图形，但并非所有图形都具有旋转对称性质。
习题及方法：1.习题：判断下列图形中，哪些是旋转对称图形。
（1）正三角形（3）五角星对于每个图形，想象将其绕着某一点旋转，看是否能与原来的图形重合。
（1）正三角形：可以绕着其中心旋转120度，与原来的图形重合，所以是旋转对称图形。
旋转对称图形的定义一个平面图形L绕平面上某点O旋转α(0<α<360)后得到的新图形L*如果与L完全重合，则称L是平面旋转对称图形，并称L具有旋转对称性。
称点O为平面旋转图形L的旋转中心，称α为平面旋转图形L 的旋转角。
如果α是平面旋转图形L的旋转角，那么α的正整数倍nα(0<nα<360)也一定是平面旋转图形L的旋转角。
通常被称为平面旋转图形L的旋转角α是指最小旋转角，即对于任何一个在0到α之间的角度β都不是这个平面旋转图形L的旋转角。
圆是旋转对称图形中唯一没有确定正实数值α(0<α<360)为其旋转角的旋转对称图形。
如果平面旋转图形L的不是圆，α是平面旋转图形L的旋转角，那么α/360必是小于1的正有理数R。
如果这里的可以表示为既约分数m/n，则β=α/m=2π/n是平面旋转图形L的指最小旋转角。
（1）若函数f（θ）（θ∈R）满足f（θ+α）=f（θ）（0<α<360），则极坐标系中曲线L：ρ=f（θ）是旋转对称图形，α是平面旋转图形L 的旋转角。
（2）若函数f（θ）（θ∈R）满足f（θ+α）=﹣f（θ）（0<α<π），则极坐标系中曲线L：ρ=f（θ）是旋转对称图形，2α是平面旋转图形L 的旋转角。
例如：当f（θ）=sin3θ（θ∈R）满足f（θ+π/3）=﹣f（θ）。
极坐标系中曲线L：ρ=sin3θ是以2π/3为旋转角的旋转对称图形（三叶玫瑰线）。
定义（2）中的旋转角2α未必是平面旋转图形L的最小旋转角，例如：当f（θ）=sin2θ（θ∈R）满足f（θ+π/2）=﹣f（θ）。
极坐标系中曲线L：ρ=sin2θ是以π为旋转角的旋转对称图形，但是实际上π/2才是平面旋转图形L（四叶玫瑰线）的最小旋转角。
以上判定条件均是充分条件。
15.2.3旋转对称图形教学目标：1.知道什么叫旋转对称图形；2.能找出图形的旋转中心和旋转角；3.知道旋转对称图形是具有旋转特征的特殊图形。
复习导学:回忆旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心按 旋转方向旋转了 大的角度，对应点到旋转中心的距离 ，对应线段 ，对应角 ，图形的 与 都没有发生变化。
创设情景：观察下面图形旋转的特点：这两个图形绕着某一定点旋转一定的角度后都能与自身重合，这样的图形就是旋转对称图形，你能说说定义吗？ 概括：一个图形绕着某一 旋转一定的 后能与自身重合，这个图形就叫做旋转对称图形。
这个点就叫做 。
旋转的角度就叫 。
探索发现：无论ΔABC 顺时针旋转还是逆时针旋转3600，都能与自身重合。
那这个图形是不是旋转对称图形呢？你有何发现呢？是不是任意的图形旋转3600都能与自身重合呢？如：下面的图形旋转3600都能与自身重合吗？1Ａ由此可见，旋转对称图形是具有旋转特征的特殊图形。
旋转角应00<旋转角<3600旋转对称图形有何特征呢？图形中的每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大的角度。
试一试：1、这个图形是不是旋转对称图形？如果是，这个图形旋转多少度能与自身重合呢？想一想它的旋转中心在哪？2、找出下列图形的旋转中心和旋转角。
3、下列图形哪些不是旋转对称图形。
（）4、你能设计一个旋转300后能与自身重合的图形吗？5、如图,在纸上画∆ABC和经过点Ｐ的两条直线ＰＱ、ＰＲ。
画出∆ABC 关于直线ＰＱ对称的∆A′B′C ′ ,再画出∆A′B′C ′ 关于直线ＰＲ对称的∆A′′B′′C′′ .观察∆ABC和∆A′′B′′C′′,你能发现这两个三角形有什么关系吗?课堂作业：1.设计出一幅经过600旋转重合的图案.2.课本78页，习题15.2第1题；79页第4题课后反思：。
第15章平移与旋转§15.1平移1. 图形的平移2. 平移的特征§15.2旋转1. 图形的旋转2. 旋转的特征3. 旋转对称图形§15.3中心对称§15.4图形的全等阅读材料古建筑中的旋转对称——从敦煌洞窟到欧洲教堂小结复习题课题学习图案设计第15章平移与旋转世界充满着运动，从天体、星球的运行，到原子、粒子的作用，其中最基本的是平移、旋转及对称等运动．平移、旋转及对称等合成了大千世界许许多多千姿百态的运动．§15.1 平移1. 图形的平移在日常生活中，我们经常可以看到如图15.1.1所示的一些现象：滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑翔，大楼电梯上上下下地迎送来客，火车在笔直的铁轨上飞驰而过，飞机起飞前在跑道上加速滑行，这些都给我们带来物体平行移动的形象．图15.1.1我们还可以注意到图15.1.2中一幅幅美丽的图案，它们都可以看成是某一基本的平面图形沿着一定的方向移动而产生的结果．图15.1.2这种图形的平行移动，简称为平移（translation）．它由移动的方向和距离所决定．图15.1.3当我们如图15.1.3所示的那样使用直尺与三角尺画平行线时，△ＡＢＣ沿着直尺PQ平移到△A′B′C′，就可以画出ＡＢ的平行线A′B′了．我们把点A与点A′叫做对应点，把线段ＡＢ与线段A′B′叫做对应线段，∠A与∠A′叫做对应角．此时：点B的对应点是点；点C的对应点是点；线段AC的对应线段是线段；线段ＢＣ的对应线段是线段；∠B的对应角是；∠C的对应角是．△ＡＢＣ平移的方向就是由点B到点B′的方向，平移的距离就是线段BB′的长度．试一试图15.1.4在图15.1.4中，△ＡＢＣ沿着由点A到点A′的方向，平移到△A′B′C′的位置．你知道线段 CA的中点M以及线段ＢＣ上的点N 平移到什么地方去了吗?请在图上标出它们的对应点M′和N′的位置．练习1. 举出现实生活中平移的一些实例．2. 如图所示的△ＡＢＣ和△DEF都是等边三角形，其中一个等边三角形经过平移后成为另一个等边三角形．指出点A、 B、 C的对应点，并指出线段ＡＢ、ＢＣ、 CA的对应线段，∠A、∠B、∠C的对应角．(第2题)3. 如图，小船经过平移到了新的位置，你发现缺少什么了吗?请补上．(第3题)2. 平移的特征如图15.1.5，在画平行线的时候，有时为了需要，将直尺与三角尺放在倾斜的位置上．但不管怎样，我们总可以推得A′B′∥ＡＢ， A′B′＝ＡＢ，∠B′＝∠B．同时也有A′C′∥， A′C′＝，∠C′＝．这就告诉我们，平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化．图15.1.5注意在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上(如图15.1.5中的B′C′与ＢＣ)．探索观察图15.1.6，△ＡＢＣ沿着PQ的方向平移到△A′B′C′的位置，除了对应线段平行并且相等以外，你还发现了什么现象?图15.1.6我们可以看到，△ＡＢＣ上的每一点都作了相同的平移：A→A′， B→B′， C→C′．不难发现AA′∥∥；AA′＝＝．即平移后对应点所连的线段平行并且相等．试一试将图15.1.6中的△A′B′C′沿RS方向平移到△A″B″C″的位置，其平移的距离为线段RS的长度．注意如图15.1.7所示，在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上．图15.1.7例如图15.1.8(1)，△ＡＢＣ经过平移到△A′B′C′的位置．指出平移的方向，并量出平移的距离．图15.1.8解由于点A与点A′是一对对应点，因此，如图15.1.8(2)，连结AA′，平移的方向就是点A到点A′的方向，且平移的距离就是线段AA′的长度，约2.４厘米．试一试图15.1.9在如图15.1.9的方格纸中，画出将图中的△ＡＢＣ向右平移5格后的△A′B′C′，然后再画出将△A′B′C′向上平移2格后的△A″B″C″．△A″B″C″是否可以看成是△ＡＢＣ经过一次平移而得到的呢?如果是，那么平移的方向和距离分别是什么呢?做一做如图15.1.10，在纸上画△ＡＢＣ和两条平行的对称轴m、 n.画出△ＡＢＣ关于直线m对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于直线n对称的△A″B″C″．图15.1.10观察△ＡＢＣ和△A″B″C″，你能发现这两个三角形有什么关系吗?练习1. 如图，在长方形ＡＢCD中，对角线AC与BD相交于点O，画出△AOB平移后的三角形，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长．(第1题) （第2题)2. 先将方格纸中的图形向左平移5格，然后再向下平移3格．3. 将所给图形沿着PQ方向平移，平移的距离为线段PQ的长．画出平移后的新图形．(第3题)习题15.11. 在纸上任意画一个三角形，然后将此三角形沿着北偏东60°的方向平移2.8厘米，画出平移后的三角形．2. 平移方格纸中的图形(如图)，使点A平移到点A′处，画出平移后的图形．(第2题) (第3题)3. 如图，ＡＢ＝DC，画出线段ＡＢ平移后的线段DE，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长．平移后所得的线段DE 与线段DC相等吗?连结EC，∠DEC与∠DCE相等吗?试说明理由．4. 利用如图所示的图形，通过平移设计图案．(第4题)§15.2 旋转1. 图形的旋转在日常生活中，除了物体的平行移动外，我们还可以看到许多如图15.2.1所示的物体的旋转现象：时钟上的秒针在不停地转动，大风车的转动给人们带来快乐，飞速转动的电风扇叶片给人们带来一丝丝的凉意．图15.2.1图15.2.2中的两个图形都可以看成是由一个或几个基本的平面图形转动而产生的奇妙画面．图15.2.2这些图形有什么共同特征呢?图15.2.3如图15.2.3，单摆上小球的转动，由位置P转到位置P′，显然它是绕上面的悬挂点转动．像这样的运动，就叫做旋转(rotation)．这一悬挂点就叫做小球旋转的旋转中心(centre of rotation)．显然，旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定．试一试用一张半透明的薄纸，覆盖在画有任意△AOB的纸上，在薄纸上画出与△AOB重合的一个三角形．然后用一枚图钉在点O处固定，将薄纸绕着图钉(即点O)逆时针转动45°，薄纸上的三角形就旋转到了新的位置，标上A′、O、B′，我们可以认为△AOB逆时针旋转45°后变成△A′OB′（如图15.2.4）．在这样的旋转过程中，你发现了什么?图15.2.4从图15.2.4中，可以看到点A旋转到点A′， OA旋转到OA′，∠AOB旋转到∠A′OB′，这些都是互相对应的点、线段与角．此时：点B的对应点是点；线段OB的对应线段是线段；线段ＡＢ的对应线段是线段；∠A的对应角是；∠B的对应角是；旋转中心是点；旋转的角度是．做一做图15.2.5如图15.2.5，如果旋转中心在△ＡＢＣ的外面点O处，逆时针转动60°，将整个△ＡＢＣ旋转到△A′B′C′的位置．那么这两个三角形的顶点、边与角是如何对应的呢?例1如图15.2.6，△ＡＢＣ是等边三角形，D是ＢＣ上一点，△ＡＢD经过逆时针旋转后到达△ACE的位置．(1) 旋转中心是哪一点?(2) 旋转了多少度?(3) 如果M是ＡＢ的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置?图15.2.6解(1) 旋转中心是点A．(2) 旋转了60°．(3) 点M转到了AC的中点位置上．例2如图15.2.7(1)，点M是线段ＡＢ上一点，将线段ＡＢ绕着点M 顺时针方向旋转90°，旋转后的线段与原线段的位置有何关系?如果逆时针方向旋转 90°呢?图15.2.7解顺时针方向旋转90°，如图15.2.7(2)所示，A′B′与ＡＢ互相垂直．逆时针方向旋转90°，如图15 2 7(3)所示，A″B″与ＡＢ互相垂直．练习1. 举出现实生活中旋转的一些实例．2. 如图，△ＡＢＣ按逆时针方向转动一个角后成为△ＡＢ′C′，图中哪一点是旋转中心?旋转了多少度?(第2题) (第3题)3. 如图，△ＡＢＣ与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在ＡＢ上，如果△ＡＢＣ经逆时针旋转后能与△ADE重合，那么哪一点是旋转中心?旋转了多少度?2. 旋转的特征探索观察图15.2.4与图15.2.5，你能发现有哪些线段相等?有哪些角相等?我们可以看到，图15.2.4中，线段OA、 OB都是绕点O逆时针旋转45°角到对应线段OA′、 OB′，而且OA＝OA′， OB＝OB′，ＡＢ＝A′B′；∠AOB＝∠A′OB′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．在图15.2.5中，旋转中心是点O，点A、 B、 C都是绕点O逆时针旋转60°角到对应点A′、 B′、 C′，而且OA＝， OB＝， OC＝；ＡＢ＝，ＢＣ＝， CA＝；∠CAＢ＝，∠ＡＢＣ＝，∠ＢCA＝．这就是图形旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化．练习1. 确定图形中的旋转中心，指出这一图形可以看成是由哪个基本图形旋转而生成的，旋转几次，每一次旋转多少度．(不计颜色)(第1题) (第2题) (第3题)2. 画出△ＡＢＣ绕点C逆时针旋转90°后的图形．3. 画出所给图形绕点O顺时针旋转90°后的图形．旋转几次后可以与原图形重合?3. 旋转对称图形在日常生活中，我们经常可以看到，一些图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身重合．如图15 2 8所示，电扇的叶片旋转120°、螺旋桨旋转180°后，都能与自身重合．你能再举出一些这样的实例吗?图15.2.8试一试用一张半透明的薄纸，覆盖在如图15.2.9所示的图形上，在薄纸上画这个图形，使它与如图15.2.9所示的图形重合．然后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，观察旋转多少度(小于周角)后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合．图15.2.9 图15.2.10 图15.2.11 由上述操作可知，该图形绕圆心旋转60°后，能与自身重合，且绕圆心旋转120°或180°后，都能与自身重合．这种图形就称为旋转对称图形(a figure of rotation symmetry)．用类似上述的操作方法对如图15.2.10所示的图形进行探索，看看它是不是旋转对称图形?想一想旋转中心在何处?该图形需要旋转多少度后，能与自身重合?该图形是轴对称图形吗?图15.2.11所示的图形是轴对称图形．用类似上述的操作方法对图15.2.11所示的图形进行探索，它能通过旋转与自身重合吗?你能设计一个旋转30°后能与自身重合的图形吗?做一做如图15.2.12，在纸上画△ＡＢＣ和过点P的两条直线PQ、 PR．画出△ＡＢＣ关于PQ对称的三角形A′B′C′，再画出△A′B′C′关于PR对称的三角形A″B″C″．观察△ＡＢＣ和△A″B″C″，你能发现这两个三角形有什么关系吗?图15.2.12练习1. 举出日常生活中旋转对称图形的几个实例．2. 找找看，下面图形中有几匹马?它们的位置关系大致如何?(第2题)3. 如图所示的图形绕哪一点旋转多少度后能与自身重合?(第3题)4. 在纸上任意画一个△ＡＢＣ，再任意画一个点P，然后画出△ＡＢＣ绕点P逆时针方向旋转60°后的三角形．习题15.21. 如图所示的五角星绕哪一点旋转多少度后能与自身重合?(第1题) (第2题)2. 如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EＡＢ＝90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针方向旋转90°后的三角形．3. 如图，四边形ＡＢCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ＡＢF 重合．(第3题)(1) 旋转中心是哪一点?(2) 旋转了多少度?(3) 如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形?4. △ＡＢＣ是等边三角形，点O是三条中线的交点，△ＡＢＣ以点O为旋转中心，旋转多少度后能与原来的图形重合?(第4题) (第5题)5. 仿照第７６页“试一试”的方法，分两种情况：考虑颜色和不考虑颜色，看看如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合?§15.3 中心对称在上一节，我们已经看到有不少图形绕某一中心点旋转一定角度后，可以与自身重合．如图15.3.1所示的三个图形都是这样的旋转对称图形．图15.3.1图15.3.1的中间一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形(a figure of central symmetry)，这个中心点叫做对称中心(centre of symmetry)．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点．如图15.3.2所示，△ＡＢＣ与△ADE是成中心对称的两个三角形，点A是对称中心，点B的对称点为点，点C的对称点为点，点A的对称点为点．点B绕着点A旋转180°到达点D处，因此，B、 A、 D三点在同一条直线上，并且ＡＢ＝AD.图15.3.2探索在图15.3.3中，△A′B′C′与△ＡＢＣ关于点O是成中心对称的，你能从图中找到哪些等量关系?图15.3.3我们可以发现，点A绕中心点O旋转180°后到点A′，于是A、O、 A′三点在一直线上，并且ＡＯ＝ＯＡ′，另外分别在一直线上的三点还有、；并且BO＝， CO＝．归纳在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．例如图15.3.4，已知△ＡＢＣ和点O，画出△DEF，使△DEF和△ＡＢＣ关于点O成中心对称．图15.3.4解(1) 连结AO并延长AO到D，使OD＝OA，于是得到点A关于点O的对称点D；(2) 同样画出点B和点C关于点O的对称点E和F；(3) 顺次连结DE、 EF、 FD．如图15.3.５，△DEF即为所求的三角形．图15.3.5练习1. 仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下页表中适当的空格内．(第1题)2. 如图(1)所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图(2)所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过．你能吗?(第2题)读一读对弈策略两个人轮流在一张桌面(长方形或正方形或圆形)上摆放同样大小的硬币，规则是： 每人每次摆一个，硬币不能相互重叠，也不能有一部分在桌面边沿之外，摆好以后不准移动，这样经过多次摆放，直到谁最先摆不下硬币，谁就认输．按照这个规则，你用什么办法才能取胜?初看起来，只能碰运气，其实不然．只要你先摆，并且采取中心对称策略，你就一定能取胜．取胜的秘诀是：你先把一枚硬币放在桌面的对称中心上，以后根据对方所放硬币的位置，在它关于中心对称的位置上放下一枚硬币．这样，由于对称性，只要对方能放下一枚硬币，你就能在其对称的位置上放下一枚硬币．你不妨试一试．试一试如图15.3.６所示的两个图形成中心对称，你能找到对称中心吗?图15.3.６做一做如图15.3.７，在纸上画△ＡＢＣ、点P，以及与△ＡＢＣ关于点P成中心对称的三角形A″B″C″．过点P任意画一条直线，画出△ＡＢＣ关于此直线对称的△A′B′C′，如图15.3.８．图15.3.７图15.3.８观察△A′B′C′和△A″B″C″，你发现了什么?练习1. 如图，已知四边形ＡＢCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ＡＢCD关于点O成中心对称．(第1题)2. 如图，已知△ＡＢＣ和过点O的两条互相垂直的直线x、 y，画出△ＡＢＣ关于直线x对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于直线y对称的△A″B″C″，△A″B″C″与△ＡＢＣ是否关于点O成中心对称?(第2题)习题15.31. 关于某一点成中心对称的两个图形，对称点所连的线段通过，被平分，对应线段与对应角都．2. 如图所示的图形是不是轴对称图形?是不是中心对称图形?(第2题) (第3题)3. 如图，已知AD是△ＡＢＣ的中线，画出以点D为对称中心、与△ＡＢD成中心对称的三角形．4. 如图所示的图形是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形．(第4题)§15.4 图形的全等我们已经认识了图形的翻折、平移和旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，位置发生了改变，但变换前后的图形对应线段相等，对应角相等，它们的形状和大小并没有改变．要想知道两个图形的形状和大小是否完全相同，可以通过翻折、平移和旋转等图形的变换，把两个图形叠合在一起，观察它们是否完全重合．能够完全重合的两个图形叫做全等图形(congruent figures)，图15.4.1中的图形(2)与(4)就是全等图形．图15.4.1一个图形经过翻折、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合．思考观察图15.4.2中的两对多边形，其中的一个可以经过怎样的变换和另一个图形重合?图15.4.2上面的两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形．两个全等的多边形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．如图15.4.3中的两个五边形是全等的，记作五边形ＡＢCDE≌五边形A′B′C′D′E′(这里，符号“≌”表示全等，读作“全等于”)．点A与A′、点B与B′、点C与C′、点D与D′、点E与E′分别是对应顶点．图15.4.3依据上面的分析，我们知道：全等多边形的对应边、对应角分别相等．这就是全等多边形的特征．实际上这也是我们识别全等多边形的方法，即边、角分别对应相等的两个多边形全等．三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等．同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等．如图15.4.4所示，△ＡＢＣ≌△DEF，且∠A＝∠D，∠B＝∠E．你能指出它们之间其他的对应顶点、对应角和对应边吗?图15.4.4练习在日常生活中，处处可以看到全等的图形．例如：同一张底片印出的同样尺寸的照片；我们使用的数学课本的封面；我们班的课桌面等等．试尽可能多地举出生活中全等图形的例子，和同学比一比，看谁举出的例子多．习题15.41. 图中所示的是两个全等的五边形，ＡＢ＝8， AE＝5， DE＝11， HI ＝12， IJ＝10，∠C＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出它们之间其他的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a、 b、 c、 d、 e、α、β各字母所表示的值．2. 在下列方格图中画出两个全等的四边形．阅读材料古建筑中的旋转对称——从敦煌洞窟到欧洲教堂敦煌的佛教洞窟与欧洲的基督教堂相距数千里，文化和宗教背景截然不同，然而，在相距几百年的时间里，两地先后出现了完全相同的一种图案：三只兔子相互追逐形成一环．大英博物馆《国际敦煌学项目》(IDP News)披露了这一新发现．敦煌407窟窟顶上的图案，隋朝．16世纪早期，德国帕德波恩大教堂的玻璃镶花图案．敦煌佛教洞窟中，至少有16个洞窟出现了这一图案：三只兔子位于莲花的中心，朝着不同方向奔跑，有的是顺时针(如305窟)，有的是逆时针(如407窟)．这些洞窟建于隋朝和晚唐时期．但是，敦煌学文献中从来没有对这一图案的相关研究记录．19世纪欧洲一本谜语书中的图案．而到了13世纪，欧洲的德国、法国和英国基督教堂的屋顶浮雕等处，都发现了相同或相似的图案．这三只兔子是如何从中国传到欧洲的，一时成为敦煌学界的一大研究热点．有专家指出，这一图案是通过中国的纺织品经由丝绸之路传到欧洲的，但目前还没有确切的证据证实这一观点．专家们正在加紧研究，以期解开“三只兔子之谜”．小结一、知识结构二、概括本章从日常生活中常见的一些图形的位置关系，得出图形的平移与旋转以及旋转对称、中心对称的概念．通过动手操作，探索图形在平移、旋转的过程中有关点、线段、角的变化．平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，在这些变换下，线段的长度与角的大小都没有改变，图形的形状与大小都没有发生变化，变换前后的两个图形是全等图形，这是最主要的特征，是将来进一步研究图形全等及其有关性质的基础．复习题A组1. 观察下列图形，将其中的轴对称图形、旋转对称图形和中心对称图形所对应的编号填入相应的圈内．(1) (2)(3) (4) (5) (6)CX〖〗轴对称图形〖〗旋转对称图形〖〗中心对称图形2. 如图，△ＡＢＣ经过平移后成为△A′B′C′，画出平移的方向、量出平移的距离．(第2题)3. 在纸上画一个边长为1厘米的正方形，然后分别画出将该正方形向北偏东30°方向平移2厘米，以及将该正方形向正东方向平移2厘米后的图形．4 如图，钟摆的摆动是旋转，图中的旋转中心是哪一点?试用量角器测量旋转的角度．(第4题)5. 如图，半圆O绕着点P顺时针旋转后成为半圆O′，试量出旋转角度的大小．(第5题)6. 如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对称．(第6题)7. 如图，已知△ＡＢＣ≌△CDA，指出它们的对应顶点、对应边和对应角．(第7题)8. 如图，已知△ＡＢＣ≌△ADC，∠BAC＝60°，∠ACD＝23°，那么∠D＝度．(第8题)B组9. 画出三角形绕点O逆时针旋转90°后的三角形．(第9题)10. 如图，不用量角器，将方格纸中的四边形绕着点O逆时针方向旋转90°，画出旋转后的四边形．(第10题)11. 如图所示的两个图形是不是轴对称图形?如果是，请画出对称轴．这两个图形能不能经过旋转与自身重合?如果能，分别需要旋转多少度?(第11题)12. 点D是等边三角形ＡＢＣ内的一点，将△BDC绕点C顺时针旋转60°，试画出旋转后的三角形，并指出图中的全等图形以及它们的对应顶点、对应边和对应角．(第12题)C组13. 这是在万花筒里所能看到的一些镜像，观察一下，这都是些什么样的对称图形，你能不能再想像一两个同样对称和谐的图形?万花筒里的镜像（第１３题）1４. 用硬纸板剪出两个全等的△ＡＢＣ和△A′B′C′，按照下列两种情况将△ＡＢＣ和△A′B′C′放在桌面上．(1)(2)(第1４题)动手试一试，如何通过平移、旋转与轴对称等变换将△ＡＢＣ运动到△A′B′C′上，使两者互相重合．与你的伙伴们交流一下，看看谁的方法多．课题学习图案设计我们已经认识了图形的三种基本变换：轴对称、平移和旋转．利用图形的这三种基本变换，可以设计出各种各样的漂亮图案．现有如图所示的６种瓷砖:１. 请用其中的４块瓷砖（允许有相同的），设计出美丽的图案．例如：２. 利用你设计的图案，通过平移、或轴对称、或旋转，设计出更加美丽、更加大型的图案．例如：（１）通过平移得：（２）通过轴对称得：。
《旋转对称图形》完整版优质课件一、教学内容1. 旋转对称图形的定义及性质；2. 旋转对称图形在实际中的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握旋转对称图形的定义和性质，能够识别和绘制常见的旋转对称图形；2. 培养学生的空间想象能力和审美观念，激发他们对几何学的兴趣；3. 培养学生运用旋转对称图形解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：旋转对称图形的性质及运用；2. 教学重点：旋转对称图形的定义、识别和绘制。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、旋转对称图形模型、挂图等；2. 学具：练习本、铅笔、直尺、量角器等。
五、教学过程1. 导入：（1）通过展示一组美丽的旋转对称图形，引导学生关注和欣赏，激发他们的学习兴趣；（2）提出问题：“你们觉得这些图形有什么共同的特点？”引发学生思考。
2. 基本概念：（2）讲解旋转对称图形的性质，如轴对称、中心对称、旋转角度等。
3. 实践操作：（1）让学生动手绘制简单的旋转对称图形，如正方形、圆形等；4. 例题讲解：（1）选取具有代表性的例题，讲解旋转对称图形的识别和应用；（2）引导学生通过观察、分析，找出解题的关键。
5. 随堂练习：（1）布置一些旋转对称图形的练习题，让学生独立完成；（2）针对学生的疑问，进行解答和指导。
（2）强调旋转对称图形在实际生活中的重要性。
六、板书设计1. 《旋转对称图形》2. 内容：（1）旋转对称图形的定义；（2）旋转对称图形的性质；（3）旋转对称图形的应用；（4）例题及解答。
七、作业设计1. 作业题目：（2）找出生活中的旋转对称图形，并简要说明其特点；b. 旋转对称图形的旋转角度是多少？c. 旋转对称图形的性质有哪些？2. 答案：（1）见练习本；（2）见学生自己的观察和描述；（3）a. 是；b. 旋转角度为90°；c. 轴对称、中心对称等。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：（1）学生对旋转对称图形的定义和性质是否掌握到位？（2）学生对旋转对称图形的应用是否熟练？（3）教学过程中，是否注重培养学生的空间想象能力和审美观念？2. 拓展延伸：（1）引导学生探索更多旋转对称图形的性质和应用；（2）让学生尝试设计具有创意的旋转对称图形；（3）结合其他学科，如艺术、建筑等，让学生深入了解旋转对称图形在实际中的运用。
旋转对称图形优秀教案一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解旋转对称图形的概念，识别不同图形的旋转对称性，并能够绘制简单的旋转对称图形。
2.过程与方法：通过操作、观察、分析等活动，培养学生空间想象力和图形变换的思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对几何图形的兴趣，培养审美能力和创造力，让学生感受数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点和难点重点：理解旋转对称图形的概念，掌握识别旋转对称图形的方法。
难点：能够准确判断图形的旋转对称中心，绘制旋转对称图形。
三、教学过程●导入新课●展示生活中常见的旋转对称图形，如风扇叶片、旋转木马等，激发学生兴趣。
●提问学生：“这些图形有什么共同特点？”引导学生思考旋转对称图形的概念。
探究学习●讲解旋转对称图形的定义和性质，强调旋转对称中心的重要性。
●通过小组合作，让学生使用图形工具自主绘制旋转对称图形，并交流绘制经验。
巩固练习●设计多种类型的练习题，如选择题、填空题和作图题，让学生逐步掌握识别旋转对称图形的方法。
●鼓励学生互相讨论，共同解决练习中遇到的问题。
拓展延伸●介绍旋转对称图形在日常生活中的应用，如建筑设计、艺术创作等。
●布置课外作业，让学生寻找生活中的旋转对称图形，并尝试用数学语言描述其特点。
课堂总结●总结旋转对称图形的概念、特点和识别方法。
●强调学习旋转对称图形的意义和价值，鼓励学生在生活中多观察、多思考。
四、教学方法和手段教学方法：采用启发式、讨论式、合作学习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和主动性。
教学手段：利用多媒体课件、实物模型、图形工具等教学手段，帮助学生直观理解旋转对称图形的概念。
五、课堂练习、作业与评价方式课堂练习：设计层次分明的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，以满足不同学生的学习需求。
作业布置：要求学生完成一定数量的练习题，并鼓励学生在生活中寻找旋转对称图形，提交相关报告。
评价方式：采用自我评价、同伴评价和教师评价相结合的方式，全面评价学生的学习效果。
第15章平移与旋转
§15.2.3 旋转对称图形
初二（）班姓名：学号： 2006年月日学习目标：
1、理解旋转对称图形和旋转对称的特征。
2、欣赏旋转的应用价值。
3、能利用旋转设计一些图案。
学习过程：
一、观察
在日常生活中，一些图形绕着某一定点转动一定的角度后能与自身重合。
电扇的叶片转动 能与自身重合；螺旋桨转动 后，能与自身重合。
你能再举出一些这样的实例吗？
二、结论
图形围绕旋转中心旋转某一个角度后的图形能与自身，这种图形称为旋转对称图形。
注意：这个旋转的角度并不是唯一的。
三、试一试
1、用一张半透明的薄纸，覆盖在如右图所示的图形上，在薄
纸上画这个图形，使它与如图所示的图形重合。
然后用一枚图
钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，观察旋转多少度（小
于周角）后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合。
2、用类似上述的操作方法对如图15.2.10所示的图形
它是不是旋转对称图形？想一想旋转中心在何处？
该图形需要旋转多少度后，能与自身重合？
该图形是轴对称图形吗？
图15.2.10
3、图15.2.11所示的图形是轴对称图形，用类似上述
的操作方法对图15.2.11所示的图形进行探索，它能
通过旋转与自身重合吗？
图15.2.11 4、请你设计一个旋转30 后能与自身重合的图形.
四、分层练习：（A组）
1、举出日常生活中旋转对称图形的几个实例。
2、找找看，下面图形中有几匹马？它们的位置关系如何
3、如图所示的图形绕哪一点旋转多少度后能与自身重合？答：
4、如图所示的五角星绕哪一点旋转多少度后能与自身重合？答：
第3题第4题
（B组）
1、某图形先绕点O顺时针旋转120°，再绕点O逆时针旋转，若要该图形回到原来的位置，应该把它绕点O 旋转度。
2. 如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EＡＢ＝90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针方向旋转90°后的三角形．
（第2题） (第3题) 3. 如图，四边形ＡＢCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
(1) 旋转中心是哪一点? 答：
(2) 旋转了多少度? 答：
(3) 如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形? 答：
4. △ABC是等边三角形，点O是三条中线的交点，
△ABC以点O为旋转中心，旋转多少度后能与原来的图形重合?
(第4题)
5. 仿照第７６页“试一试”的方法，分两种情况： 考虑颜色和不考虑颜色，看看如图所示的图形绕圆心
旋转多少度后能与自身重合?
(第5题)
6. 如图15.2.12，△ABC 和过点P 的两条直线PQ 、PR 。
画出△ABC 关于PQ 对称的三角形A ′B ′C ′，再画出△A ′B ′C ′关于PR 对称的三角形△A ″B ″C ″。
观察△ABC 和△A ″B ″C ″，你能发现这两个三角形有什么关系吗？
图15.2.12
（C 组）
如图，正方形ABCD 中,E 在BC 上,F 在AB 上且∠FDE=45º,DEC ∆按顺时针方向转动一个角度后成DGA ∆。
（1）图中哪一个点是旋转中心? （2）旋转了多少度?
（3）指出图中的对应点、对应线段和对应角。
（4）求∠GDF 的度数。
G
F
E
D
C
B
A
43
2
1。
