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第六章简单的超静定问题

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第6章简单的超静定问题

第6章简单的超静定问题
T1l 1 GI P1 T2l 2 GI P 2
材料力学 任课教师：金晓勤
21
φ
代入变形几何条件得：
φ1 φ2
T1l T1l Tl GI P1 GI P 2 GI P 2

I P1T 32 T1 T2 I P1 I P 2 D 4 d 4 D 4 d 4 1 1 2 2 32 32 1004 904 2 1.165kNm 4 4 4 4 100 90 90 80
代入数据，得
FW 0.717 F Fst 0.283F
根据角钢许用应力，确定F
F
st
0.283F st Ast
F 698kN
根据木柱许用应力，确定F
0.717 F W W AW
许可载荷
F 1046kN
250 250
F 698kN
材料力学
将平衡方程与补充方程联立，求解，可得：
RA RB P RAl1 RB l2 E A E A 0 2 2 1 1
P RA E2 A2l1 1 E1 A1l2
P RB E1 A1l2 1 E2 A2l1
材料力学 任课教师：金晓勤
9
例题 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst 变形协调关系: l st l w （1）
b
⑶物理方程
FN 1l1 FN 1l l1 E1 A1 E1 A1 cos FN 2l2 FN 2l l2 E2 A2 E2 A2

第六章简单的超静定问题

第六章简单的超静定问题

第六章简单的超静定问题知识要点1．超静定问题的概念（1）静定问题结构或结构的约束反力或内力均能通过静力学平衡方程求解的问题。

（2）超静定问题结构或构件的约束反力或内力不能仅凭静力学平衡方程全部求解的问题。

（3）超静定次数未知力(约束反力或内力)数超过独立的静力平衡方程书的数目。

（4）多余约束力超静定问题中，多余维持静力平衡所必需的约束（支座或杆件）。

（5）多余未知力与多余（支座或杆件）相应的支座反力或内力。

（6）基本静定系在求解静定结构时，解除多余约束，并代之以多余未知力，从而得到一个作用有荷载和多余未知力的静定结构，称之为原超静定结构的基本体静定系。

2．静不定问题的解题步骤（1） 静力平衡条件——利用静力学平衡条件，列出平衡方程。

（2） 变形相容条件——根据结构或杆间变形后应保持连续的变形相容条件，作出位移图，由位移图的几何关系列出变形间的关系方程。

（3） 物理关系——应用胡克定律列出力与变形间的关系方程。

（4） 将物理关系代入变形相容条件，得补充方程 。

补充方程和静力平衡方程，二者方程数之和正好等于未知数的个数，联立平衡方程和补充方程，求解全部未知数。

习题详解6-1 试作题6-1图（a ）所示等直杆的轴力图。

解 解除题6-1图（a ）所示等直杆的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-1图（b ）所示。

由静力学平衡条件,03,0=-+=∑F F F FB A Y和变形协调条件0=∆+∆+∆DB CD AC 并将()EAa F EA a F F EA a F B DB A CD A AC -=∆-=∆=∆,22,代入式②，可得 联立式①，③，解得45,47F F F F B A == 轴力如图6-1图（c ）所示6-2 题6-2图（a ）所示支架承受荷载F=10 kN,1,2,3各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为232221200,150,100mm A mm A mm A ===。

试求各杆的轴力。

7第六章简单的超静定问题

7第六章简单的超静定问题

E3 A3
FN 1
FN 2
2COS
F E3 A3
EACOS
2
解超静定问题的步骤
（1）列 静力平衡方程 确定超静定次数； （2）根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的
个数与超静定次数相等； （3）将 物理方程 （胡克定律）代入变形几何方程得补充方程； （4）联立补充方程与静力平衡方程求解。
第六章
简单的超静定问题
• 超静定问题及其解法 • 拉压超静定问题 • 扭转超静定问题 • 简单超静定梁
§6—1 超静定问题及其解法
1，静定问题 约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这种情 况称作静定问题。
2，超静定问题
只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超 静定问题。
F
A
C
2
3
1
A
B
C
P 40
80
FN1
FN2
80
FN3
P
几何方程
2 l2 l1 l3
物理方程
l1
F N1l1 EA
l 2
F N2l2 EA
l3
F N3l3 EA
2
3
1
A
B
C
l1
P l2
l3
4080807575补充方程
2 F N 2 l2 F N1l1 F N 3 l3 EA EA EA
2
3
1
A
B
2
A
F
B
D
C
3 1
2
A
FN1
FN3
FN2
αα
A
F
F
解：列静力平衡方程
F N1 F N2

6-简单超静定问题

6-简单超静定问题
4、补充方程
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ

32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。

第六章简单的超静定问题

第六章简单的超静定问题

2 . 1 F 2 8 F 1 2 4 0 1 . 5 1 2 . 5 4 6 . 2 1 2 N 0
L1
F138.52kN
F 2 1.1 2k9 6N

计算1，2杆的正应力

L2
1
F1 A1
33188.0.550M 2m01mP023Na
1 F1
F
2m
列静力平衡方程 MA0
F12F2F
变形协调方程2 m F F L1 1 24 mm F 2 L24m
2m A
L2 2L1
4m
F2
1m 2
L1

F1L1 E1A!
gTL1
F2L2 E2A2
L2tTEFL222LA222(EFt11LA1T! L2gTL1)
B 变形协调方程
a
aF
FN1
FN 2
A
B
C L1
L2
a
aF
2L1L2
2 FN1L FN2L E1A1 E2A2
FN1

2F
14E2A2
E1A1
FN2
4F 4E1A1 E2A2
L
1.8L LDB
2.拉压超静定问题 图示刚性梁AB受均布载荷作用，梁在A端铰支，在B点和C
例题
6.2
作折杆的剪力和弯矩图
14.14
14.14
A
1
14.14
2
14.14
14.14kN
14.14kN
F
14.14
F s ( kN )
M ( kNm )
例题
求图示简单钢架自由端C的水平位移和垂直位移，设EI为 常数

材料力学土木类第六章简单的超静定问题

材料力学土木类第六章简单的超静定问题
§6.1 超静定问题及其解法
第6章 简单的超静定问题
静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的约束反力或内力
超静定结构(静不定结构): 静力学平衡方程不能求解 超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数
分析：画出受力及变形简图
写出独立平衡方程
一次超静定问题。
l
变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在一起，故内、外杆的扭转变形相同。即变形协调条件为
代入物理关系(胡克定理)，与平衡方程联立，即可求得Ma和Mb。
并可进一步求得杆中切应力如图（内、外两杆材料不同），一般在两杆交界处的切应力是不同的。
按叠加原理：
BB、BM分别为MB、Me引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
代入上式可解得
MA可平衡方程求得 。
例 图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时，试求分别作用在内、外杆上的扭转力偶矩。
根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程；
建立变形协调条件，求补充方程
利用胡克定律，得到补充方程；
联立求解
归纳起来，求解超静定问题的步骤是：
例 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量均分别相同，用A、l、E 表示。设AC为一刚性横梁，试求在荷载F 作用下各杆的轴力
解: (1)受力分析--平衡方程
例 设l，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截面面积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2 =A ， E1= E2=E；3杆长度为l3 ，横截面面积为A3，弹性模量为E3 ,试求各杆的轴力。

第六章简单超静定问题


yc = 0
去掉多余约束而成为形式上 去掉多余约束而成为形式上 基本静定基。 的静定结构 — 基本静定基。
q A
l 2
q
C
l 2
B
AA
L/2
C
Rc
B
L/2
静力、几何、物理条件) 解超静定的步骤 —— (静力、几何、物理条件) 用多余约束反力代替多余约束（ 静定基，原则：便于计算） 1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算） 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 分析—— ω
A
l 2
1)研究对象，AB梁 研究对象 B 解：1)研究对象，AB梁， 受力分析： 受力分析：R A , RB , RC , ql
∑ Y = 0, R A + RB + RC − ql = 0
∑ M A = 0, RB l + 0.5RC l − 0.5ql 2 = 0
q A
RC
B
２)选用静定基，去Ｃ支座 选用静定基， 静定基 ３)变形协调方程
C 2 δ
1
3 α
α
A
由温度引起杆变形而产生的应力（ 1）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。 温度应力 由温度引起杆变形而产生的应力 热应力）。 温度引起的变形量 —
∆L = α∆tL
1、静定问题无温度应力。 静定问题无温度应力。 超静定问题存在温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。
F
B 1
D 3 α α A 2
C
超静定结构的特征：内力按照刚度分配
∆l3
∆l2
A2
∆l1
A3

第六章简单的超静定问题


例1 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和 木材的许用应力分别为[]1=160M Fa和[]2=12MFa，弹性模
量分别为E1=200GFa 和 E2 =10GFa；求许可载荷P。 P 解：平衡方程: y Y 4F F P 0

N1
N2
4FN1
FN2
几何方程
2 FN1 FN3
X F
Y F
FN2
N1
N1
sin FN 2 sin 0

A P
cos FN 2 cos FN 3 P 0

A P
B 3
D
1

A
2
C 几何方程——变形协调方程： L1 L3 cos
物理方程——弹性定律：
L1 FN 1 L1 E1 A1 L3 FN 3 L3 E3 A3
(a)
Tb Ta
(b)
解: 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 ── 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程
Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。
2. 位移相容条件为
Ba Bb
Tb Ta
(b)
3. 利用物理关系得补充方程为
Ga I pa Tal Tbl ，即 Ta Tb Ga I pa Gb I pb Gb I pb
P1 A11 / 0.07 308.6 160/ 0.07 705.4kN
FN 2 0.72P A2 2
P2 A2 2 / 0.72 2502 12 / 0.72 1042kN
求结构的许可载荷： 方法2:
1 L1 / E1 0.8mm 2 L 2 / E2 1.2mm

第六章——简单的超静定问题

(2)根据变形协调条件列变形几何方程
(3)将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几ห้องสมุดไป่ตู้方程得补充方程
(4)联立补充方程与静力平衡方程求解
杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题。
2、超静定问题
只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。
二、超静定问题求解方法
1、超静定的次数
未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数.
n=未知力的个数-独立平衡方程的数目
2、求解超静定问题的步骤
(1)确定静不定次数；列静力平衡方程
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束。
未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数。
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面。
§6—2拉压超静定问题
一、静定与超静定问题
1、静定问题
章节
名称
学时
备注
第六章
简单的超静定问题
1教学目标：
2教学内容：
3重点、难点分析及解决策略
4教学方法：
5教学进程：
§6—1超静定问题及其解法
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静定结构。
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构。

第六章简单的超静定问题

第 六 章 简单的超静定问题
• 超静定问题及其解法 • 拉压超静定问题 • 扭转超静定问题 • 简单超静定梁
§6—1 超静定问题及其解法
1，静定问题 约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出， 约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这种情 况称作静定问题。 况称作静定问题。 2，超静定问题 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力， 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超 静定问题。 静定问题。
Δl1
A'
变形几何方程为 物理方程为
∆l1 = ∆l3 cos α
N1l ∆l1 = EA
N3l cosα ∆l3 = E3 A3
1
3 α α
2
B
1
D
3 α α 2
C
A
A
A'
Δl 3
αα
Δl1
A'
补充方程为
N1 = N3
EA E3 A3
cos2 α
1
3 α α
2
B
1
D
3 α α 2
C
A
A
A'
Δl 3
B 1 α
D 3 α 2
C
l
A′
∆l 3
∆
∆l 1
A
δ
∆l3 代表杆3 的伸长 代表杆3 ∆l1 代表杆1或杆2 的缩短 代表杆1或杆2
∆代表装配后 A 点的位移
(1) 变形几何方程
B 1 α
D 3 α 2
C
∆l3 + ∆ = δ
∆ = ∆l1 cos α
l
A′
∆l 3
+ ∆l1 = δ ∆l3 cos α
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A

A
几何相容条件：
l3
l1 A l2
l3
l1 cos

例2 图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）刚度 均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装到横梁 后，求两杆内力。 解: 装配后各杆变形 1杆伸长 2杆缩短
l1 l 2
A
1

2
l1 l 2
几何相容条件
FA FB 0
lt l F
lt l t
FB l L t EA
FB EAt
FB E t A
温度应力：
Q235低碳钢线膨胀系数为
1 2 .5 1 0
6
C
1
E 200 GPa
s 235 M Pa
FA 85kN
A
60kN 2.4m 40kN 1.2m
FB 15kN
C
B
1.2m

温度应力：超静定结构中，由于温度变 化，使构件膨胀或收缩而产生的附加应力。
温度应力的计算：
B l
温度由 t1 t 2 , t t 2 t1
FA FB
A
A
l
l t
平衡方程 变形相容条件 物理方程
170 M Pa

2.5 t M Pa
t 80 C, 200 M Pa
伸缩节
伸缩缝
§6-3 扭转超静定问题
例3 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力 偶矩Me作用，求杆两端的支座反力偶矩。
Me
A C B
a
b
解：
A
Me
ɑ
MA 静力平衡方程为： 几何相容条件为：
5 ql 768 EI 48 EI
FB 2l 48 EI
3
相当系统 q A B FB P=ql C
在FB单独作用下
wB 3 FB l 3 6 EI
根据B点的实际挠度为0
11ql 4 5ql 4 FB l 3 0 96 EI 48 EI 6 EI
21 FB ql 16
A
4
q
B FB
解法二：将支座A对截面 转动的约束看成多余约 束，几何相容条件为：
A
q
B l
A 0
M Al ql 0 3 EI 24 EI ql MA 8
2 3
MA A
q
B
例5 为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短 梁CD加固。设二梁EI相同，求 (1) 二梁接触处的作用力； (2)加固前后B点挠度的比值； (3)加固前后AB梁最大弯矩的比值。
P
B C D A
a
a
解：(1)基本静定系如图 解： P
A
X1
D1 B
C
D
X1
几何相容条件为：
w D w D1
C D
X 1a wD 3 EI
3
P
A
X1
D1 B
A
X1
D1 B
A D1
P
B
X 1a 3 5 Pa 3 wD1 3EI 6 EI
w D w D1
X 1a wD 3 EI
多余约束并不“多余”，通过增加多余约束， 有效降低结构的内力及变形，可提高安全度。
2、超静定结构的类型 外力超静定结构 仅在结构外部存在多余约束，即支座反 力不能全由静力平衡方程求出。
2、超静定结构的类型 内力超静定结构 仅在结构内部存在多余约束，即结构内力 不能全由静力平衡方程求出。
2、超静定结构的类型 混合超静定结构 内、外超静定兼而有之的结构。
§6-2 拉压超静定问题
D C B
如图所示，求三杆的轴力 问题: 这个结构是静定的？超静定的？
A F
超静定次数?
对A点分析：三杆的轴力与外力F构 成平面汇交力系。
2 3
平面汇交力系的独立平衡方程数是 未知力个数是 因此这个结构是 1 次超静定。
例1 已知: 1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚度为 E3A3, F，求各杆内力。 解: 分析A结点 FN1
M Bl ql 3 16 EI 3EI
q A A l
MB
P=ql C l/2 l/2
B
相当系统
MB
几何相容方程为: B1 B 2
M Bl M Bl ql ql 24 EI 3EI 16 EI 3EI
3 3
B
MB
P=ql C
3 ql 2 ql 2 5ql 2 MB 2 24 16 32
第六章 简单的超静定问题
(Simple Statically Indeterminate Problems)
§6-1 超静定问题及其解法
结构按静力学特性可以分成静定结构和超静定结构两类。
F A a B
如图所示，求固定端的约束反力 平面任意力系，通过静力学平衡方 程可以解出全部的三个约束反力。 若在C处增加一个约束 则无法仅通过静力学平衡方程求出 全部的四个未知力。
加固前B点挠度为：
3
2
3
wB0
8 Pa 3 EI
3
加固前后B点挠度的比值
w B1 w B 0 w B 39 wB0 wB0 64
(3)加固前后AB梁最大弯矩的比值 加固前AB梁最大负弯矩 加固后AB梁最大弯矩 P
A
M 0 max 2 Pa
X1
D1 B
最大负弯矩
M1max M D1 Pa
3
X 1a 5 Pa w D1 3 EI 6 EI
3
3
5 X1 P 4
(2) 加固前后B点挠度变化值（变小）
25 Pa X 1a X 1a w B a 3 EI 2 EI 24 EI
3
2
3
(2) 加固后B点挠度的变化值（变小）
25 Pa X 1a X 1a w B a 3 EI 2 EI 24 EI
B
2
P
例7 如图所示双跨简支梁受集中力F作用，求约束 反力，并画出剪力图和弯矩图。
q A l B l/2 l/2 P=ql C
解一： 以支座B为多余约束 在P单独作用下
wB1 11ql 96 EI
4
q A B l l/2
P=ql C l/2

4
在q单独作用下 4
wB 2 5 q 2l
Prestressed concrete Q: Let us assume that the prestressing force produces in the steel wires an initial stress 620 MPa. If the moduli of elasticity of the steel and concrete are in the ratio 12:1 and the cross-sectional areas are in ratio 1:50, what are the final stresses in the two materials? Steel: Concrete: 500MPa (tension) 10MPa (compression) P P P P
作剪力图和弯矩图
q A
11 ql 32
P=ql B l
21 ql 16
C l/2
11 ql 32
l/2
21 ql 32
21 ql 32
Fs
11 ql 32
11 ql 32
– +
5ql 2 32
M
0.06ql
2
+
11 2 ql 64
解二：以支座B阻止截面相对转 动为多余约束 q
B1
B2
M Bl ql 3 24 EI 3EI
C Me
B
b
MB
M A MB Me
AB AC CB 0
MA Me b l
M Aa MBb 即： 0 GI p GI p
MB Me a l
§6-4 简单超静定梁 用“多余未知力”代替“多余”约束，就得到 一个形式上的静定梁 该梁称为原静不定梁的相当系统,亦称基 本静定系 综合考虑变形的几何方程、力和变形关系 可求解多余未知力
（思考:为何最大负弯矩在D1处?）
例6 图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆 的抗拉刚度为EA，已知P、L、a。求CD 杆所受的拉力。
D
a
A C
L
2
L
B
2
P
解：几何相容条件为 D
wC lCD
a
C
( P FC ) L wC 48 EI
3
FC
A
lCD
C
FC L EA FC
L
2
L
2、超静定结构的类型
第一类
第二类
第三类
3、超静定次数
超静定结构的内外约束力总数或内力数要多于静力 平衡方程，其差值称为超静定次数。
超静定次数 = 未知力个数 – 独立平衡方程数
结构的超静定次数就 于它的多余约束力数
超静定问题的解法： 1、静力平衡（不足） 2、变形几何（补充） 3、物理本构（沟通） 综合考虑变形的几何相容条件、物理关系和 静力学平衡条件。 关键：几何相容条件（变形协调条件）
0 l1 1 l2 2 n-1 ln n ln+1 n+1
0 l1
1 l2
2
n-1 ln
n ln+1
n+1
如果设想将每个中间支座上的梁切开并装上铰链，将 连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基。 每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方 向相反的一对力偶矩，与其对应的几何相容条件是两侧 截面的相对转角为零。 对于连续梁的每一个中间支座都可以列出一个 补充方程——三弯矩方程。