云南昆明一中2013届高中新课程高三第二次双基检测 数学理

2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学质量分析报告一、抽样统计分析1．抽样全卷基本情况2．抽样分数段3．各小题抽样情况（1）选择题（2）填空题（3）解答题（4）第II卷选考题数据统计二、各题质量分析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第1题：已知集合{}21，=S ，集合{}a T =，Φ表示空集，如果S T S ⋃=，那么a 的值是 （A ）Φ （B ）1（C ）2（D ）1或2本题考查集合的概念和运算.解:∵{}21，=S ，{}a T =，S T S ⋃=， ∴S a ∈.所以1=a 或2=a . 故选D .答题分析：下列解法是错误的：因为S T S ⋃=，所以T S ⊆，从而T 可以是空集Φ，因此选 A.原因在于没有注意到{}a T =，从而T 是单元素集合.实际上{}1T =或{}2T =. 第2题：在92)1(xx -的二项式展开式中，常数项是 （A ）504 （B ）84（C ）84-（D ）504-本题考查二项式定理. 解:在92)1(x x -的二项式展开式中，通项公式r r r r xx C T )1(21891-=-+ rr r xC 3189)1(--=. ∵0318=-r ,∴6=r ,84)1(39696==-C C .∴在92)1(xx -的二项式展开式中，常数项是84. 故选B.答题分析：解题时应记住二项展开通项公式：1r n r rr n T C a b -+=．第3题：一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为 （A ）2 （B ）3（C ）21（D ）31本题考查等比数列的性质及相关计算.解法一: 设此数列的公比为q ，根据题意得qq a q q a --=--1)1(91)1(3161，解得2=q .故选A.解法二: 依题意得639S S =，故33339S q S S +=. ∴319q +=，解得2=q . 故选A.第4题：已知a r 、b r 是平面向量，若(2)a a b ⊥-r r r，)2(-⊥，则a r 与b r 的夹 角是（A ）6π （B ）3π （C ）32π （D ）65π 本题考查向量的概念及其与运算．考查向量垂直、两个向量夹角的求法.解：∵(2)a a b ⊥-r r r, ∴22.0a ab -=r r r . ∵)2(a b b -⊥, ∴022=-.设a r 与b r的夹角为θ, θcos =,则0222=-=-θ, 0222=-=-θ.∴θ2a =，θ2b =.0=0==0=，此时，（A ）、（B ）、（C ）、（D ）都正确.0≠0≠，解方程组得到21cos =θ. ∴3πθ=.故选B.第5题：如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于（A ）34π （B ）38π （C ）316π（D ）332π本题以半球为载体，考查由三视图还原几何体的能力. 解: 由三视图知几何体是半径为2的半球，所以其体积等于316234213ππ=⨯⨯. 故选C ．第6题：已知常数a 、b 、c 都是实数，34)(23-++=x c x b x a x f 的导函数为)(x f '，0)(≤'x f 的解集为{}32≤≤-x x ，若)(x f 的极小值等于115-，则a 的值是 （A ）2281- （B ）31（C ）2（D ）5本题考查函数与导数．考查函数极值、方程的思想方法. 解: ∵34)(23-++=x c x b x a x f ，∴c bx ax x f ++='23)(2.∵不等式0)(≤'x f 的解集为{}32≤≤-x x ， ∴不等式0232≤++c bx ax 的解集为{}32≤≤-x x .∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯--=+->,332,3232,0a c a b a 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=>.18,23,0a c a b a ∴341823)(23---=ax x a x a x f . 根据已知得当2-=x 时，)(x f 取得极大值，当时3=x 时，)(x f 取得极小值.正视图俯视图侧视图∴115345422727)3(-=---=a aa f ，解得2=a . 故选C.答题分析：1.一些考生不能把条件“不等式0)(≤'x f 的解集为{}32≤≤-x x ”正确地进行等价转化.2.本题通过求a 的问题设置，引导考思考使用待定系数法，从而想到联立方程组．进而联想到题设条件，用原函数与导函数关系，列出方程组求解．3．本题较好地体现了高考类似设题思想，体现知识与方法的交汇．第7题：已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，如果i z z 48-=+，那么z 等于 （A ）i 43-- （B ）i 43+-（C ）i 34+（D ）i 43+本题考查复数、共轭复数的概念．考查复数的基本运算、方程的思想方法. 解:设yi x z +=，x 、y 都是实数，则yi x y x z -++=+22，∵i z z 48-=+，∴⎩⎨⎧=++-=-8422x y x y ，解方程组得⎩⎨⎧==34x y . ∴=z i 43+. 故选D ．答题分析：本题解题方法是利用复数相等条件来列等式，求出未知数．复数 不能比较大小，但复数可以相等．本题体现了这一思想．第8题：已知⊙P 的半径等于6，圆心是抛物线x y 82=的焦点，经过点)2,1(-M 的直线l 将⊙P 分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线l 的方程为 （A ）032=++y x （B ）052=--y x（C ）02=+y x（D ）052=--y x本题考查直线和圆的基本知识.解:∵⊙P 的半径等于6，圆心是抛物线x y 82=的焦点，∴⊙P 的方程为16)2(22=+-y x .∵过点)2,1(-M 的直线l 将圆16)2(22=+-y x 分成两段弧，当优弧与 劣弧之差最大时，劣弧最短， ∴点)2,1(-M 是直线l 的中点.∵圆16)2(22=+-y x 的圆心为)0,2(P ，∴211-=-=PMl k k .∴直线l 的方程为)1(212--=+x y ，即032=++y x ．故选A ．答题分析：本题的难点在于理解条件“当优弧与劣弧之差最大时”，实际上，由于优弧和劣弧之和是定值圆周长，所以两弧之差最大劣弧最短．另外从几何的角度来看当直线l PM ⊥时，过点P 垂直于直线的弦长最长，从而劣弧最短． 第9题：在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，若2212+-=++n n n a a a ，则n a 等于 （A ）5652513+-n n（B ）49523-+-n n n（C ）222+-n n（D ）4522+-n n本题考查递推数列通项公式的求法.解法一（直接求通项公式）:∵11=a ，22=a ，2212+-=++n n n a a a ， ∴112=-a a ，2)()(112=---+++n n n n a a a a .∴{}n n a a -+1是首项为1，公差为2的等差数列. 所以121-=-+n a a n n . ∵2213211()()()22n n n a a a a a a a a n n -=-+-++-+=-+L . ∴222+-=n n a n ．故选C ．解法二（特值排除法）:因为11=a ，22=a ，2212+-=++n n n a a a ，∴35a =，410a =，代入验证，可以排除A 、B 、D ， 故选C.答题分析：若采用下列解法：∵2212+-=++n n n a a a ，不妨设()211n n n n a xa y z a xa y +++--=--， 则()21n n n a x z a xza y yz ++=+-+-，∴212x z xz y yz +=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得1102x z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾.说明这个数列并不能配凑成上述样子. 事实上，可以配凑成2)()(112=---+++n n n n a a a a ，但这需要一定配凑意识、观察能力和思维的灵活，而这正是解决本题的难点所在.第10题：已知)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，01≥∀x ，02≥∀x ，若21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ．如果43)31(=f ，3)log (481>x f ，那么x 的取值范围为（A ）)21,0(（B ）)2,21(（C ）1(,1](2,)2⋃+∞（D ）11(0,)(,2)82⋃本题综合考查函数的奇偶性、单调性. 解:∵01≥∀x ，02≥∀x ，21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ,∴定义在实数集R 上的偶函数)(x f 在),0[∞+上是减函数.∵3)log (481>x f , ∴43)log (81>x f , 即)31()log (81f x f >. ∴ ,31log ,0log 8181⎪⎩⎪⎨⎧<≥x x 或 ,31log ,0log 8181⎪⎩⎪⎨⎧-><x x 解得121≤<x 或21<<x . ∴221<<x . 故选B ．答题分析：1.本题首先要看出函数)(x f 在),0[∞+上是减函数.2.根据函数的单调性“去f ”：∵3)log (481>x f , ∴43)log (81>x f , 即)31()log (81f x f >，但这个不等式并不等价于181log 3x <，原因是函数)(x f 在),0[∞+上是减函数，但在(),0-∞上却是增函数.事实上，因为)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，所以上式可化为181log 3f x f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即181log 3x >，接下来分类讨论去绝对值即可.第11题：两位同学一起参加某单位的招聘面试，单位负责人对他们说：“我们 要从面试的人中招聘3人，假设每位参加面试的人被招聘的概率相等，你们俩同 时被招聘的概率是701”．根据这位负责人的话可以推断出这次参加该单位招聘 面试的人有（A ）44人（B ）42人（C ）22人（D ）21人本题考查概率、古典概型的计算以及组合数的计算.解:设参加面试的人数为n ，根据已知得701312=-nn C C ，解得21=n . 故选D ．第12题：在三棱锥ABC P -中，PC PB PA ==，底面ABC ∆是正三角形，M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点．若平面⊥AMN 平面PBC ，则平面AMN 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值等于（A ）630（B ）621（C ）66NMCAP（D ）63 本题考查空间线面位置关系及“无棱二面角”的求法.解: 设MN 的中点为D ，BC 的中点为E ，连接AD ，AE ，PE ．在平面ABC 内作BC AF //，则平面ABC ⋂平面AF AMN =.由已知得AN AM =. ∴MN AD ⊥.∵平面⊥AMN 平面PBC ，∴⊥AD 平面PBC . ∴⊥AD BC ，⊥AD PE .∵ABC ∆是等边三角形，BC 的中点为E ， ∴⊥AE BC . ∵BC AF //， ∴AF AE ⊥，AF AD ⊥.∴DAE ∠是平面AMN 与平面ABC 所成二面角（锐角）的平面角. 设等边ABC ∆的边长为a ，侧棱长为b . ∵M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点， ∴D 是PE 的中点. ∵⊥AD PE ，∴AE PA =. ∴a b 23=. ∴a BE PB PE DE 42212122=-==. ∴66sin ==∠AE DE DAE . ∴630sin 1cos 2=∠-=∠DAE DAE . 故选A ．答题分析：1.本题的关键在于对空间线面位置关系进行正确而有效的转化，只要哪一步思维卡壳，就很难做下去了.C2.首先要找到平面AMN 与平面ABC 所成二面角（锐角）的平面角DAE ∠． 接下来要逆用等腰三角形的性质，得出AE PA =，从而找到底面正三角形边长a 和侧棱长b 之间的等量关系，再计算平面角DAE ∠的余弦值．3.本题的难点在于：首先要找出所求的二面角的平面角，其次如何根据条件找到底面边长a 和侧棱长b 的等量关系．4.本题也可用建立空间直角坐标系的方法来求解．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．第13题：如果执行下列程序框图，那么输出的S = ．本题考查程序框图，考查等差数列前n 项和的求法.解:根据程序框图的意义，得()212202021420S =⨯+++=⨯=L ． 第14题：一次射击训练，某小组的成绩只有7环、8环、9环三种情况，且该小 组的平均成绩为15.8环，设该小组成绩为7环的有x 人，成绩为8环、9环的人 数情况见下表：那么=x ．本题考查统计，考查方程的思想方法. 解: 根据题意得)87(15.872567++=++x x ，解得5=x ．第15题：已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，若bc c b a -+=222，12c b =+B tan 的值等于 ． 本题考查解三角形，涉及正余弦定理、三角变换.解:根据余弦定理得：212cos 222=-+=bc a c b A . ∵A 是三角形的内角，∴3π=A . 在ABC ∆中，B B AC -=--=32ππ. ∴B B C sin 21cos 23sin +=. 根据正弦定理和已知得：321sin sin 21cos 23sin sin +=+=B BB BC . ∴B B cos 23sin 3=. ∴21tan =B . 答题分析：1.解答本题的一个关键是要从bc c b a -+=222看出这是关于角A 的余弦定理，可得出3π=A .2.由于()s i n 120s i n s i n s i nB cC b B B ︒-===+，这个式子展开后，得1122+=+.第16题：已知1F 、2F 是双曲线1222=-y ax 的两个焦点，点P 在此双曲线上，021=⋅PF ，如果点P 到x 轴的距离等于55，那么该双曲线的离心率等于 ．本题考查双曲线，考查离心率的求法. 解法一: ∵021=⋅PF PF , ∴21PF ⊥.∴21PF PF⊥. ∵点P 在双曲线1222=-y ax 上，∴22214)(a PF PF =-.∴221222142a PF PF PF PF =-+.∴221242)1(4a PF PF a =-+⨯.∴221=PF PF . ∴2125512PF PF a =⨯+，解得42=a . ∴1422=-y x 的离心率等于25. 解法二（方程思想）:∵1222=-y a x ，∴()1,0F c -，()2,0F c .设,5P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则22115m a -=…… ①由021=⋅PF PF 得221,,0555c m c m m c ⎛⎛---⋅--=-+= ⎝⎭⎝⎭…… ② 又221a c +=…… ③解得c =2a =，∴1422=-y x 的离心率等于25.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 第17题：（本小题满分12分）已知21cos cos sin 3)(2+-=x x x x f . （Ⅰ）写出)(x f 的最小正周期T ；（Ⅱ） 求由)(x f y =)650(π≤≤x ，)650(0π≤≤=x y ，)01(65≤≤-=y x π，以及)021(0≤≤-=y x 围成的平面图形的面积． 本题考查三角函数的化简计算、定积分的应用.解:（Ⅰ）∵21cos 2cos sin 3)(2--=x x x x f)62sin(2cos 212sin 23π-=-=x x x , ∴ππ==22T . ∴)(x f 的最小正周期为π. （Ⅱ）设由)(x f y =)650(π≤≤x ，)650(0π≤≤=x y ，)01(65≤≤-=y x π，以及)021(0≤≤-=y x 围成的平面图形的面积为S ，∵)62sin()(π-=x x f ，∴123012sin(2)3sin (2)66S x dx x dx πππππ=--+-⎰⎰.∵)62sin(2)62cos(ππ-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--x x ，∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯--⨯+-⨯--⨯=2)632cos()6122cos(32)602(cos )6122(cos πππππππS 432-=. ∴由)(x f y =)650(π≤≤x ，)650(0π≤≤=x y ，)01(65≤≤-=y x π以及 )021(0≤≤-=y x 围成的平面图形的面积为432-.答题分析：1.解答第（Ⅱ）问，首先要正确画出示意图．2.要注意的是，当面积在x 轴上方的时候，定积分算出来是正数；当面积在x 轴下方的时候，定积分算出来是负数.很多考生没有注意到这一点而导致出错：123012sin(2)3sin(2)66S x dx x dx πππππ=-+-⎰⎰.3.充分运用对称性，否则就要计算三个定积分了．第18题：（本小题满分12分）一次高中数学期末考试，选择题共有12个，每个选择题给出了四个选项，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 评分标准规定：对于每个选择题，不选或多选或错选得0分，选对得5分．在这次考试的选择题部分，某考生比较熟悉其中的8个题，该考生做对了这8个题．其余4个题，有一个题，因全然不理解题意，该考生在给出的四个选项中，随机选了一个；有一个题给出的四个选项，可判断有一个选项不符合题目要求，该考生在剩下的三个选项中，随机选了一个；还有两个题，每个题给出的四个选项，可判断有两个选项不符合题目要求，对于这两个题，该考生都是在剩下的两个选项中，随机选了一个选项．请你根据上述信息，解决下列问题：（Ⅰ）在这次考试中，求该考生选择题部分得60分的概率；（Ⅱ）在这次考试中，设该考生选择题部分的得分为X ，求X 的数学期望． 本题考查概率．考查随机变量分布列、数学期望的计算.解:设选对“全然不理解题意”的试题的选项为事件A ，选对“可判断有一个 选项不符合题目要求”试题的选项为事件B ，选对“可判断有两个选项不符合题目要求”试题的选项为事件C ，根据题意得41)(=A P ，31)(=B P ，21)(=C P . （Ⅰ）在这次考试中，该考生选择题得60分的概率48121213141=⨯⨯⨯=P ； （Ⅱ）随机变量X 可能的取值为40，45，50，55，60，根据题意得8121213243)40(=⨯⨯⨯==X P ， 4817212132432121314321213241)45(12=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==C X P ， 21213243212131432121324121213141)50(1212⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==C C X P 4817=， 487212131432121324121213141)55(12=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==C X P ， 48121213141)60(=⨯⨯⨯==X P . ∴X 的数学期望48160487554817504817458140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX 12575=.答题分析： 1.本题以学生熟悉的背景设题，将得分与选择对、选错联系起来，感受随机事件与概率．因此，解题首先是要读懂题意.善于在熟悉的情境中理解题意，这是解概率题的关键．2.概率问题往往涉及到分类计算，这是由于分布列的特点需要分类进行计算．另由于选择各题时相对独立，独立事件也需要分类计算．3．概率题要求计算要准确，全功尽弃. 第19题：（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD D C B A -1111中，4==CD AD ，51=AD ，M 是线段11D B 的中点．（Ⅰ）求证：//BM 平面AC D 1；（Ⅱ）求直线1DD 与平面AC D 1所成角的正弦值．本题考查空间线面位置关系、线面平行、线面角的求法. （Ⅰ）证明：在长方体ABCD D C B A -1111中，∵4=AD ，51=AD ，∴32211=-=AD AD DD .建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，设AC 的中点为N ，连接1ND ，根据题意得)0,0,4(A ，)0,4,4(B ，)0,4,0(C ，)0,0,0(D ，)3,4,4(1B ，,0(1D AC 的中点为)0,2,2(N .∴)3,2,2(--=， D 1C 1B 1A 1ABCDMAD 1C 1B 1A 1 A CDM NO)3,2,2(1--=ND . ∴1//ND . ∵⊄BM 平面AC D 1，⊂1ND 平面AC D 1， ∴1//ND BM . ∴//BM 平面AC D 1.（Ⅱ）解：)3,0,0(1=DD ，)0,4,4(-=，)3,0,4(1-=AD ，设平面AC D 1的一个法向量为),,z y x （=，根据已知得⎩⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅，034,0441z x AD y x 取1=x ，得⎪⎩⎪⎨⎧==.34,1z y ∴)34,1,1（=n 是平面AC D 1的一个法向量. ∴17342,cos 1==><DD . ∴直线1DD 与平面AC D 1所成角的正弦值等于17342. 答题分析：1.本题的模型是长方体，因此采用坐标法不失为一个好的选择.2.本题也可以采用几何法的方式进行求解. （Ⅰ）如图，连接BD ，交AC 于N ， 可以证明四边形1BND M 是平行四边形， 从而1//BM ND ，进而可以证明//BM 平面AC D 1.（Ⅱ）过D 作1DO ND ⊥于O ，因为底面ABCD 是正方形，可以证明DO ⊥平面1ACD ，从而1DD O ∠即为所求角.接下来解之即可.第（Ⅱ）问也可以用等积的办法来求解． 设点D 到平面1D AC 的距离为d ．在1D AC ∆中，115D A D C ==，AC =，可得AC 边上的高等于，∴112D AC S ∆=⨯= ∵11D ADC D AD C V V --=，∴111443323d ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭，解得d =设直线1DD 与平面AC D 1所成角的大小为θ，则1434s i n d D D θ====． ∴直线1DD 与平面AC D 1所成角的正弦值等于17342.第20题：（本小题满分12分）已知22)1(ln 2)(+--=x x x x f ． （Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数a x x x f x F ++-=3)()(2在]2,21[-上只有一个零点，求实数a 的取值范围．本题通过导函数考查函数的单调性、极值、零点、比较大小等知识. 解: （Ⅰ）)(x f 的定义域为{}1-≠x x ． ∵22)1(ln 2)(+--=x x x x f∴1)2(21222)(2+-=+--='x x x x x f . 解1,()0,x f x ≠-⎧⎨'>⎩得1x <<-或x > ∴)(x f的单调递增区间是(1)-和+∞　). （Ⅱ）由已知得a x x x F ++-=2)1ln()(，且1-≠x .∴11121)(+-=+-='x x x x F . ∴当1-<x 或1>x 时，0)(>'x F ；当11<<-x 时，0)(<'x F . ∴当121<<-x 时，0)(<'x F ，此时，)(x F 单调递减； 当21<<x 时，0)(>'x F ，此时，)(x F 单调递增.∵a a F >++-=-2ln 221)21(，a a F <+-=3ln 22)2(， ∴)2()21(F F >-.∴)(x F 在]2,21[-上只有一个零点⎪⎩⎪⎨⎧<≥-⇔,0)2(,0)21(F F 或0)1(=F . 由⎪⎩⎪⎨⎧<≥-,0)2(,0)21(F F 得23ln 22ln 221-<≤-a ； 由0)1(=F ，得12ln 2-=a . ∴实数a 的取值范围为23ln 22ln 221-<≤-a 或12ln 2-=a . 答题分析：1.本题要注意函数的定义域{}1-≠x x .2.在比较11()2ln 222F a -=-++与(2)22ln3F a =-+的大小时，如果直接采用作差的方式进行比较：11()(2)2ln 222ln322F F --=-++-+552ln62ln624⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，则很难得出答案.实际上，因为a a F >++-=-2ln 221)21(，a a F <+-=3ln 22)2(，所以)2()21(F F >-.这提示我们处理问题的时候思维要相当灵活，要眼观六路，耳听八方，怎么好做就怎么做.3. 很多考生误认为)(x F 在]2,21[-上只有一个零点⎪⎩⎪⎨⎧<≥-⇔,0)2(,0)21(F F 事实上漏了0)1(=F .第21题：（本小题满分12分）已知1F 、2F 分别是椭圆E : )0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点)3,2(P 在直线ba x 2=上，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ．直线m x k y +=与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且椭圆E 上存在点M ，使λ=+，其中O 是坐标原点，λ是实数．（Ⅰ）求λ的取值范围；（Ⅱ）当λ取何值时，ABO ∆的面积最大？最大面积等于多少？ 本题综合考查直线和椭圆的相关问题，综合考查考生的运算求解能力. 解:（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，根据题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+-====,,3)2()2(,222222222212c b a c PF c F F b a 解方程组得⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,1a b c ∴椭圆E 的方程为1222=+y x ． 由⎩⎨⎧=++=22,22y x m kx y ，得0224)21(222=-+++m kmx x k ． 根据已知得关于x 的方程0224)21(222=-+++m kmx x k 有两个不相等的实数根.∴0)21(8)22)(21(416222222>-+=-+-=∆m k m k m k ， 化简得：2221m k >+．设),(11y x A 、),(22y x B ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+.2122,2142221221k m x x kkm x x 221212122)(k mm x x k y y +=++=+．（1）当0=λ时，点A 、B 关于原点对称，0=m ，满足题意； （2）当0≠λ时，点A 、B 关于原点不对称，0≠m .由OA OB OM λ+=u u r u u u r u u u r ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=),(1),(12121y y y x x x M M λλ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.)21(2,)21(422k m y k km x M M λλ ∵M 在椭圆E 上，∴1])21(2[])21(4[212222=+++-k m k km λλ， 化简得：)21(4222k m +=λ． ∵2221m k >+，∴2224m m λ>． ∵0≠m ，∴42<λ，即22<<-λ且0≠λ．综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是)2,2-（．（Ⅱ）当0=λ时，0=m ，此时，A 、B 、O 三点在一条直线上，不构成ABO ∆.∴为使ABO ∆的面积最大，0≠λ.∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+，22212212122,214k m x x k km x x ∴2122124)(1x x x x kAB -++=22222121122km k k +-++=. ∵原点O 到直线m x k y +=的距离21km d +=，∴AOB ∆的面积d AB S ⋅=2122221212k m k m +-+=．∵)21(4222k m +=λ，0≠λ， ∴222421λm k =+.∴4424142442422222222λλλλλλ-=-=-=m m m mS )4(4222λλ-=． ∵224)4(2222=-+≤-λλλλ，∴22≤S ． “=” 成立⇔224λλ-=，即2±=λ．∴当2±=λ时，ABO ∆的面积最大，最大面积为22． 答题分析：1.由于题目较长，一些考生不能识别有效信息，未能救出椭圆E 的方程求.2. 第（Ⅰ）问，求λ的取值范围.其主要步骤与方法为：由0∆>，得关于k 、m 的不等式2221m k >+…… ①.由根与系数的关系、λ=+，M 在椭圆E 上，可以得到关于k 、m 、λ的等式)21(4222k m +=λ…… ②．把等式②代入①，可以达到消元的目的，但问题是这里一共有三个变量，就是消了m ，那还有关于k 和λ的不等式，如何求出λ的取值范围呢？这将会成为难点.事实上，在把等式②代入①的过程中，k 和m 一起被消掉，得到了关于λ的不等式.解之即可.3.第（Ⅱ）问要把ABO ∆的面积函数先求出来.用弦长公式求底，用点到直线的距离公式求高，得到AOB ∆的面积d AB S ⋅=2122221212km k m +-+=，函数中有两个自变量k 和m ，如何求函数的最大值呢？这又成为难点.这里很难想到把②代入面积函数中，因为②中含有三个变量，即使代入消掉一个后，面积函数依然有两个自变量.但这里很巧合的是：代入消掉k 后，事实上，m 也自动地消除了，于是得到了面积S 和自变量λ的函数关系S )4(4222λλ-=，再由第（Ⅰ）中所得到的λ的取值范围)2,2-（，利用均值不等式，即可求出面积的最大值了.4.解析几何的难点在于运算的繁杂，本题较好地体现了解解析几何题设题要求.对此，考生要有足够的心理准备.5.解答本题给我们的启示：不能死抱一些“结论”，比如两个未知数需要两个方程才能解出来等等.事实上，当那方程比较特殊的时候，即便是有多个未知数，也是可以把所有未知数都解出来的.很多时候的巧，会给我们山重水复疑无路，柳暗花明又一村的惊喜！第22题：（本小题满分10分）选修14-：几何证明选讲如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，EA 是⊙O 的切线，CB 的延长线与EA 相交于点E ，AD AB =．求证：CD BE AB ⋅=2．本题考查平面几何中的三角形相似以及圆的相关知识，考查推理论证能力 证明:连结AC ．∵EA 是⊙O 的切线， ∴ACB EAB ∠=∠．∵AD AB =，∴ACB ACD ∠=∠． ∴EAB ACD ∠=∠．∵⊙O 是四边形ABCD 的外接圆， ∴ABE D ∠=∠．∴CDA ∆∽ABE ∆． ∴BEDAAB CD =，即CD BE DA AB ⋅=⋅. ∵AD AB =， ∴CD BE AB ⋅=2．答题分析：作辅助线往往是解答平面几何证明的关键，本题也不例外. 第23题：（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为35cos ,5sin , x y θθ=+⎧⎨=⎩θ(是参数)，P 是曲线C 与y 轴正半轴的交点．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点P 与曲线C 只有一个公共点的直线l 的极坐标方程．本题考查圆的参数方程和普通方程，考查直线的直角坐标方程和极坐标方程的互化.解:把曲线C的参数方程35cos ,5sin , x y θθ=+⎧⎨=⎩θ(是参数)化为普通方程得25)3(22=+-y x .∴曲线C 是圆心为)0,3(1P ，半径等于5的圆. ∵P 是曲线C 与y 轴正半轴的交点， ∴)4,0(P .根据已知得直线l 是圆C 经过点P 的切线.∵341-=PP k ,∴直线l 的斜率43=k . ∴直线l 的方程为01643=+-y x .∴直线l 的极坐标方程为016sin 4cos 3=+-θρθρ. 第24题：（本小题满分10分）选修54-：不等式选讲已知13-≥x ，关于x 的不等式0132151023≥+-+++--a x x x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．本题考查绝对值不等式，考查绝对值函数最大值的求法，考查绝对值不等式恒成立问题.解:设=)(x f 151023+++--x x x (13-≥x )，则228,135,()28,53,2, 3.x x f x x x x +-≤≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪>⎩∴当513-≤≤-x 时，18)(2≤≤x f ； 当35≤<-x 时，18)(2<≤x f ； 当3>x 时，2)(=x f .∴=)(x f 151023+++--x x x (13-≥x )的最大值为18.∵关于x 的不等式0132151023≥+-+++--a x x x 的解集不是空集的充要条件是)(x f 132+≥a 的解集不是空集，而)(x f 132+≥a 的解集不是空集的充要条件是)(x f 的最大值132+≥a ，即13218+≥a .解13218+≥a ，得422-≤≤-a . ∴实数a 的取值范围为422-≤≤-a .答题分析：1.本题解法是采用分离变量的方法进行的，分离之后，可以求出()f x 的最大值.2.一些考生对不等式的解集不是空集理解有误，有的甚至求成了()f x 的最小值.实际上)(x f 132+≥a 的解集不是空集，所以)(x f 的最大值132+≥a ，即13218+≥a ，解之即可.三、复习建议1．回归基础 ：掌握基本知识、基本方法和基本题型在最后的复习阶段，考生要回归课本，理清数学的知识主线，构建思想方法体系，熟记数学概念、公理、定理、性质、法则、公式．考生应该把课本上的基本知识、基本方法和基本题型系统全面地再梳理一遍，并针对盲区和易错点及时查缺补漏．2.高度重视运算能力近年来的高考数学试题，对运算能力的要求都有所加强，在云南省第二次统一测试中也得到了较好地反映，比如第20题解析几何中的复杂运算，第21题函数中的代数变形，第18题概率大题中的繁杂数字计算等．因此要高度重视运算能力的培养．然而由于运算能力的培养并非一日之功，因此要坚持长期训练培养，在平时的学习中，凡是复杂计算，都必须认真演算完毕，而不能是懂算理算法后就停止了，平时不训练有素，考场上肯定是快不起来的，考试也一定是要吃大亏的.3．整理反思已做过的题临近高考，一味地做新题、难题将得不偿失．事实上，学生已经做过很多试题了（试卷已经有厚厚的一打），但是否真正掌握吃透了呢？你应该拿出你以前做过的习题来进行归纳总结：拿到一道题必须立即判断其题型、考点 ( 知识背景 ) ，常用解法及特殊解法，解法的具体步骤，解法的关键步，解法的易错步，此题的常见变式及其解决办法等，以上几点如果你在一两分钟内无法回答出来，则说明你还未真正掌握此类问题．在高三最后的冲刺阶段，这样的整理和反思训练远比埋头做题来得重要．具体可如下实施：(1)应把过去做过的题目分类梳理、整理．做这项工作时最好按照知识点的板块进行，同时兼顾按题型划分．(2)做好分类后，找出自己在基础知识方面的薄弱环节，同时应做专项练习，提高熟练程度．(3)最基础的定理、公式要熟记．此时的复习应做到回归课本，但回归课本不是简单地拿着书本翻阅，而是带着自己在梳理知识中遇到的问题去有重点地看课本．(4)找出自己做错的地方，认真反思错误原因，并记忆错误原因，争取做到在高考中不犯同样的错误．错误有很多种，有知识不足的问题，有概念不清的问题、有题型模式认识不清的问题、也有分类不清的问题，当然还有做题马虎的问题等等．考生要在前进中反思，在反思中前进．4.关注考试心理和考试技巧.数学难题、怪题千千万万，高考考场上遇到一些新题是再正常不过的，考场上需要保持一个平和的心态.比如本次省统测，选做题每题都只有一个问，这跟往常所见的很不一样，此时不能因为这种“新颖”就把自己给搞紧张了.要树立一个心态：考场上见到什么都是可能的！再比如，第9题，求递推数列的通项公式，由于一下子没能把等比数列或等差数列给配凑出来，会不会自己就紧张到连取特殊值排除验证的方法都抛到九霄云外了呢？5．答题时一般来说应该是先易后难，从前往后．有的考生喜欢先做大题，再做选择、填空题．我们认为这是不妥当的．通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后，由易到难的．因此，解题顺序也宜按试卷题号从小到大，从前至后依次解答．当然，中间有难题出现时，可以先跳过去，总之，总的原则是要先把容易得到的分数拿到手，先易后难，先选择、填空题，后解答题．6．字迹清晰，合理规划．这对任何一科考试都很重要，尤其是对“精确度”较高的数学，若字迹不清、较难辨认，极易造成阅卷教师的误判．例如写得较快时，数字1和7极易混淆等等．若不清晰就可能使本来正确的失了分．另外，答题卡上书写的位置和大小要计划好，尽量让卷面安排做到合理整洁，特别地，要在指定区域作答．总之，对于解答题，书写要规范，布局要合理，论述既要简明，又不能跳跃过大.只有这样才能避免“自己做对了”，但阅卷却被扣了分这种现象.。

昆明市第一中学2017届摸底考试 参考答案（理科数学）命题、审题组教师 杨昆华 顾先成 刘皖明 易孝荣 李文清 张宇甜 莫利琴 蔺书琴一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBABACCADCBD1. 解析：集合，，所以，选C ．2. 解析：因为，所以，选B ．3. 解析：由已知，所以B ，D 正确；由面面平行的性质知C 正确；对于A ，，则与相交或平行都有可能，选A ． 4. 解析：()()()44411111x xx a x x a +++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中的系数为0463424=+=+⋅a C C a ，选B ．5. 解析：因为2222123410s =-+-+=，选A ．6. 解析：因为等差数列中，，，成等比数列，所以()()()2111429a d a d a d +=++，所以，而()()41411102233dS a a a a d =+=++=，故，且，选C ． 7. 解析：取中点，连接，由正视图和侧视图得平面，平面，则，且，所以，选C ． 8. 解析：因为，30.3101044641b ===>，所以，而，所以，选A ．9. 解析：作出可行域得到点，，，由于的最大值为，则目标函数的图像必经过点，当时，由图可知只有经过点的直线符合条件，选D ．10. 解析：xax x a x x x f 11)(2+-=-+=' ，当时，恒大于零，所以，故单调递增，无极值，A 正确；当时，令，解得，，可知在和单调递增，在单调递减，在处取得极小值，而，所以023)1()(2<-=<a f x f ，B 正确； 当时，0)1(1221)(22≥-=+-=-+='xx x x x x x x f ，单调递增，无极值，C 错误； 又当时，，当时，，而且的图像连续，所以必有零点，D 正确，选C ．11. 解析：由双曲线的对称性可知是等腰三角形，且是钝角，所以2121422AF F AF B ππ<∠=∠<，所以, 即，又，所以，即，化简得，解出，选B.12. 解析：设直线，即代入得，则，，所以.设的中点为，则，所以，，又点在直线上，所以， 选D ． 二、填空题13. 解析：以点为坐标原点，以的方向为轴的正方向，以的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，得，，所以183214AC BD ⋅=-=-．14. 解析：要求事件的概率为2426128033243C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 15. 解析：依题意，得，因为，所以不妨设，22222x m πϕπ+=-+，所以12()2x x k m πϕπ-=++-，又因为，且，所以，所以．16. 解析：由已知得，，，， …，；累加得2341012222a a -=-+-+ …()()9892122234212⎡⎤--⎣⎦-+==--，所以.三、解答题17. （Ⅰ）证明：由及正弦定理得，因为中，， 所以，即； 由为钝角，所以，故，即. ………5分 （Ⅱ）解：因为，所以(2)2022C B B πππ=-+=->，故；所以()2sin 2sin sin 2cos 2sin 212sin B C B B B B +=+=+-21334sin 816B ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，由得2133334sin 281616B ⎛⎫<--+≤ ⎪⎝⎭，所以的取值范围.是33 16⎤⎥⎝⎦. ………12分 18. 解：（Ⅰ）证明：连接，因为四边形是菱形，为中点，所以为中点．又因为为中点，所以，又平面，平面，，设平面的一个法向量为，由0,0,n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得30,2210,22x z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此可取， 又因为平面的法向量， 又313cos ,n OP n OP n OP⋅<>==⋅，故， 即二面角的正弦值为． ………12分19. 解：（Ⅰ）设事件为“甲同学选中丽江景点”、 事件为“乙同学选中丽江景点”，则, ． ……… 3分因为事件与事件相互独立，故甲同学选中丽江景点且乙同学未选中丽江景点的概率为()()()2243515P AB P A P B ==⨯=． ……… 5分（Ⅱ）设事件为“丙同学选中丽江景点”则．的所有可能取值为, , , ． ………7分()()1224035575P X P ABC ===⨯⨯=．()()()()22213212320135535535575P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． ()()()()23222313333235535535575P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．()()23318335575P X P ABC ===⨯⨯=． ………9分 的分布列为：的数学期望为：()42033182801237575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………12分 20. 解：（Ⅰ）由已知得 ①又 ② 联立①、②解出， 所以椭圆的方程是 分（Ⅱ）当的斜率不存在时，11(),()22C D -，此时；当的斜率存在时，设，设，联立直线方程与椭圆方程消得2222(41)(124)0k x x k +++-=，所以，.所以12121222S S y y y y -=-=+122()k x x =++，由于，所以4k k=≤=+，所以分.21. 解: (Ⅰ) 函数的定义域为 ………1分因为221ln 2(1)()(1)x xf x f x x x +-''=++， ………2分所以，即，所以，221ln 1()(1)x xx f x x x +-'=-+， ………4分令，得， 所以函数在点处的切线方程为,即. ………5分(Ⅱ) 因为22ln 11()(2ln )11x x f x x x x x --=+--, ………6分 令，则222221(1)()x x x g x x x -+--'==-，因为，所以，所以在，上为减函数,………8分又因为，所以，当时，，此时，； 当时，，此时，， ………10分 假设2ln 2ln 1()()11x x h x f x x x x=-=+--有最小值，则， 即. 若，当时，；若，当时，，所以，不存在正数，使. 所以，当，且时，，所以，，解得： . ………12分 第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

云南省2013届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第1卷（选择题）和第1I 卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x=3π的倾斜角等于A ．0B ．3πC ．2πD ．π2．已知i 是虚数单位，复数11i i-=+A ．iB ．-iC ．-1+iD ．-1－i3．已知(1－3x)3 =a o +a l x+a 2x 2 +a 3x 3, 则213o a a a a +=+A ．2B ．12C ．97-D ．79-4．要得到函数3sin(2)3y x π=+的图像，只需要将函数3cos 2y x =的图像A ．向右平行移动12π个单位 B ．向左平行移动12πC ．向右平行移动6π个单位D ．向左平行移动6π5．某程序框图如图所示，现输入下列四个函数：1()f x x=， 23()log (1)f x x =+，()22xxf x -=+，()22xxf x -=-则输出的函数是 A ．1()f x x=B ．23()log (1)f x x =+C ．()22x x f x -=+D ．()22x x f x -=-6．已知平面向量22(sin ,cos )a x x = ，22(sin ,cos )b x x =-，R 是实数集，2()4cos cos f x a b x x x =⋅++．如果,m R x R ∃∈∀∈，()()f x f m ≥，那么()f m ＝A．2+ B ．3 C ．0 D．2-7．已知()f x 的定义域为(2,2)-，且222ln ,21,32()245,12,3x x x xf x x x x -⎧+-<≤⎪⎪++=⎨⎪--+<<⎪⎩如果2[(1)]3f x x +<，那么x 的取值范围是A ．21x -<<-或01x <<B ．1x <-或0x >C ．524x -<<-D ． 10x -<<8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为4的正三角形，俯视图是半径为2的圆，则这个几何体的体积为A．B．C．3D．39．如图，A 、B 两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为l ，2，3，4．从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和等于5或6的概率是 A ．56 B ．12C ．13D ．1610．若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于3π，||2a = ，||3b = ，则2a b - 与2a b + 的夹角的余弦值等于 A ．126B ．-126C ．112D ．-11211．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线Sx 2－y 2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为 A ．24y x =B ．24x y =C ．28y x =D ．28x y =12．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，b =，12C π=，则内角A 的值为A ．6πB ．3πC ．6π和56π D ．3π和23π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

可得 平面 ， 平面 ，
可知 ， ，
又 ， 平面ABC，所以 平 ， 平面 ，
所以， 平面 .
（2）如图,设 与 相交于点M，连接 ,
在正方形 中，
由已知 ，可得 ，
在 中, ，则有 ， 平面 ,
又 平面 ，
所以 平面 .
【点睛】本题主要考查证明面面垂直，考查证明线面平行，熟记判定定理即可,属于常考题型。
12. 记函数 的定义域为 ，函数 ，若不等式 对 恒成立，则 的取值范围为( ）
A. B. C。 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数解析式，先求出 ;令 ，根据函数奇偶性的定义，判定 是奇函数;根据导数的方法判定 是增函数；化所求不等式为 ，进而可求出结果。
【详解】由 解得 ，即 ，
令 ，
则 ，
【详解】分三类情况,第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为 ， ， , ， ， ，有6种分法；
第二类2,3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为 ， ， ， ， ， ，有6种分法;
第三类3,4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为 ， , , ， ， ，有6种分法；
共有18种分法，
【详解】画出 的图像如下，
因为 有且只有两个不等实根，
即函数 与 有两个不同交点，
由图像可得, ，
所以 ， ，关于直线 对称，
则 。
故答案为： .
【点睛】本题主要考查求方程根的和，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
13. 向量 ， ，若 ，则 _________。