平面向量基础知识

高中数学第六章平面向量及其应用基础知识手册单选题1、设λ为实数，已知向量m →=(-1，2)，n →=(1，λ).若m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则向量m →+2n →与m →之间的夹角为（ ） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4答案：A解析：根据向量垂直的坐标运算解得λ=12，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.因为向量m →=(−1,2),n →=(1,λ)，若m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则m →⋅n →=−1×1+2λ=0，解得λ=12，所以m →+2n →=(1,3)，所以(m →+2n →)⋅m →=1×(−1)+3×2=5，|m →+2n →|=√12+32=√10，|m →|=√(−1)2+22=√5，设向量m ⃗⃗ +2n →与m ⃗⃗ 之间的夹角θ ，则0≤θ≤π， ∴cosθ=(m →+2n →)⋅m →|m →+2n →|×|m →|=√10×√5=√22， 所以向量m ⃗⃗ +2n →与m ⃗⃗ 之间的夹角为π4. 故选：A.2、已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，t )，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = A ．-3B ．-2 C ．2D ．3 答案：C分析：根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(t −3)2=1，得t =3，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)(1,0)=2×1+3×0=2．故选C ．小提示：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 3、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ） A ．14B ．C ．√24D ．√23答案：B34分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.故选：B4、设在△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b,c ， 若bcosC +ccosB =asinA ， 则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．钝角三角形 答案：A分析：根据两角和的正弦公式和正弦定理求得，得到sinA =1，求得A =π2，即可求解.因为，由正弦定理可得，即sin (B +C )=sin 2A ，即，所以sinA =1，又因为A ∈(0,π)，所以A =π2，所以是直角三角形.故选：A.5、已知在△ABC 中，a =x ，b =2，B =30°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．x >2B ．0<x <2C ．2<x <3D ．2<x <4 答案：D分析：根据三角形有两个解，转化为以C 为圆心，以2为半径的圆与BA 有两个交点，再结合正弦定理求解. 如图所示：因为AC =b =2，若三角形有两个解，2sin sin A A =cos cos sin b C c B a A +=2sin cos sin cos sin B C C B A +=2sin sin A A=则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，当∠A=90∘时，圆与BA相切，不合题意；当∠A=30∘时，圆与BA交于B点，不合题意；所以30∘<∠A<150∘，且∠A≠90∘，所以12<sinA<1由正弦定理得：sinA=asinBb =14x，则12<14x<1，解得2<x<4，故选：D6、已知向量a与b⃗的夹角为π6，且|a |=2|b⃗|=2，则a⋅b⃗=（）A．√3B．1C．2√3D．2答案：A解析：利用向量数量积的定义即可求解.由|a |=2|b⃗|=2，则|a|=2，|b⃗|=1，又向量a与b⃗的夹角为π6，所以a⋅b⃗=|a||b⃗|cos〈a ,b⃗〉=2×1×√32=√3.故选：A小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7、已知向量a=(−1,m)，b⃗=(2,4)，若a与b⃗共线，则m=（）A．−1B．1C．−2D．2答案：C分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案.由题意得2m=−4，即m=−2.故选：C8、在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若A=45°,B=60°,b=2√3，则c等于（）A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°． 由正弦定理可知csinC=b sinB，所以c sin75°=2√3sin60°， 故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D. 多选题9、下列说法中错误．．的为（ ）． A ．已知a →=(1,2)，b →=(1,1)且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞) B ．向量e →1=(2,−3)，e →2=(12,−34)不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．非零向量a →，b →，满足|a →|>|b →|且a →与b →同向，则a →>b →D ．非零向量a →和b →，满足|a →|=|b →|=|a →−b →|，则a →与a →+b →的夹角为30° 答案：AC分析：由向量的数量积，向量的夹角，判断A ；向量的基本定理判断B ；向量的定义判断C ；平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识判断D ．解：对于A ，∵a →=(1,2),b →=(1,1),a →与a →+λb →的夹角为锐角， ∴a →(a →+λb →)=(1,2)(1+λ,2+λ)=1+λ+4+2λ=3λ+5>0， 且λ≠0(λ=0时a →与a →+λb →的夹角为0)，所以λ>−53且λ≠0，故A 错误；对于B ，向量e →1=4e →2，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确； 向量是有方向的量，不能比较大小，故C 错误； 对于D ．因为|a →|=|a →−b →|，两边平方得，|b →|2=2a →·b →，则a →(a →+b →)=|a →|2+a →b →=32|a →|2，|a →+b →|=√(a →+b →)2=√|a →|2+2a →b →+|b →|2=√3|a →|，故cos <a →,a →+b →>=a →(a →+b →)|a →||a →+b →|=32|a →|2|a →|√3|a →|=√32， 而向量的夹角范围为[0°，180°]， 得a →与a →+b →的夹角为30°，故D 项正确． 故错误的选项为AC ． 故选：AC ．10、已知O 是△ABC 内一点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，点M 在△OBC 内（不含边界），若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+2μ的值可能为（ ） A ．97B ．117C ．137D ．157 答案：ABC分析：根据OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 可知O 为△ABC 的重心；根据点M 在△OBC 内，判断出当M 与O 重合时，λ+2μ最小；当M 与C 重合时，λ+2μ的值最大，因不含边界，所以取开区间即可． 因为O 是△ABC 内一点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 所以O 为△ABC 的重心M 在△OBC 内（不含边界），且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×[12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以λ=13,μ=13，即λ+2μ=1当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时 AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2 因为M 在△OBC 内且不含边界 所以取开区间，即λ+2μ∈(1,2)， 结合选项可知ABC 符合，D 不符合 故选：ABC11、在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ） A ．b sinB=a+b+c sinA+sinB+sinCB ．若A >B ，则sin2A >sin2BC ．a =bcosC +ccosBD ．若(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则△ABC 为等边三角形 答案：ACD分析：A 由正弦定理及等比的性质可说明；B 令A =π3,B =π6可得反例；C 由和角正弦公式及三角形内角和的性质有sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理即可证；D 若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△ABC 的形状. A ：由asinA =bsinB =csinC ，根据等比的性质有bsinB =a+b+csinA+sinB+sinC ，正确； B ：当A =π3,B =π6时，有sin2A =sin2B ，错误；C ：sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)，而B +C =π−A ，即sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理易得a =bcosC +ccosB ，正确；D ：如下图，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |是单位向量，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0、AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且AG 平分∠BAC ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π3， 易知△ABC 为等边三角形，正确.故选：ACD小提示：关键点点睛：D 选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.12、已知向量a ，b ⃗ ，c 满足a +b ⃗ =(1,−1)，a −3b ⃗ =(−7,−1)，c =(1,1)，设a ，b⃗ 的夹角为θ，则（ ）A．|a|=|b⃗|B．a //c C．θ=135°D．b⃗⊥c答案：BC分析：由已知求解方程组可得a与b⃗，求模判断A；由a=−c判断B；由数量积求夹角判断C；由数量积不为0判断D．解：∵a+b⃗=(1,−1)，a−3b⃗=(−7,−1)，∴a=(−1,−1)，b⃗=(2,0)，得|a|=√(−1)2+(−1)2=√2，|b⃗|=2，故A错误；又c=(1,1)，则a=−c，则a //c，故B正确；cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=2√2=−√22，又θ∈[0°,180°]，∴θ=135°，故C正确；∵b⃗⋅c=2×1+0×1=2≠0，∴b⃗与c不垂直，故D错误.故选：BC．13、已知实数m、n和向量a、b⃗，下列结论中正确的是（）A．m(a−b⃗)=ma−mb⃗B．(m−n)a=ma−naC．若ma=mb⃗，则a=b⃗D．若ma=na (a≠0⃗ )，则m=n答案：ABD分析：利用平面向量的线性运算可判断ABCD选项.对于A选项，m(a−b⃗)=ma−mb⃗，A对；对于B选项，(m−n)a=ma−na，B对；对于C选项，若ma=mb⃗，则m(a−b⃗)=0⃗ ，所以，m=0或a=b⃗，C错；对于D选项，若ma=na (a≠0⃗ )，则(m−n)a=0⃗ ，所以，m−n=0，即m=n，D对.故选：ABD.填空题14、如图所示，在平面四边形ABCD中，AB⊥BD,AB=BD,BC=CD,AD=2，在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若c2=2abcosC，则△ACD的面积为__________．答案：√22分析：依题意可得AC ⊥CD ，作CF ⊥BD 分别交BD,AD 于点F ，E ，则S △ACD =2S △ECD ，再利用面积公式计算可得；解：∵AB =BD,AB ⊥BD ，∴在等腰直角△ABD 中AD =√2AB =√2c ，在△ABC 中，由余弦定理得a 2+b 2−2abcosC =c 2，又已知c 2=2abcosC ，∴a 2+b 2=2c 2，又∵a =BC =CD,b =AC,AD =√2c ，∴AC 2+CD 2=AD 2，∴AC ⊥CD ，作CF ⊥BD 分别交BD,AD 于点F ，E ，∵BC =CD ，E ，F 分别为线段AD,BD 的中点，∴∠CED =45°,CE =ED =1， ∴S △ACD =2S △ECD =2×12×EC ×ED ×sin45°=√22． 所以答案是：√2215、已知A (2,3)，B (4,−3)，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 的坐标为___________. 答案：(103,−1)分析：设P(x,y)，根据向量的坐标表示求出AP⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由向量的数量关系列方程组求出P 的坐标即可. 设P(x,y)，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −4,y +3)， 又AP⃗⃗⃗⃗⃗ =−2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，有{，可得{， 所以P 的坐标为(103,−1).所以答案是：(103,−1)16、已知|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，若存在m,n ∈R ，使得mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与nAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为60∘，且|(mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )−(nAB⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|=12，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为___________. 答案：√132分析：设a =OAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =OBʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =nAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得A,Aʹ,B,Bʹ共线，又|a −b⃗ |=|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，当|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12为最小时|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |最小，而此时Aʹ、Bʹ关于y 轴对称，结合已知即可求|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值. 由题意，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴令a =OAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−m)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +mOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =OBʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =nAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+n)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −nOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故有A,Aʹ,B,Bʹ共线，∵|a →−b →|=|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，故当且仅当|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12为最小时，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小， ∴有Aʹ、Bʹ关于y 轴对称时，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |最小，此时O 到AB 的距离为√3⋅|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=√34， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√1−316=√134，即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√132.所以答案是：√132. 小提示：关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知a =OAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =OBʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =nAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的终点共线，且|a −b⃗ |=|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12可分析得Aʹ、Bʹ关于y 轴对称时，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小，进而求最小值即可. 解答题17、在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝12，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小. 答案：B =30°，C =90∘，b =√3，分析：由三角函数值、三角形内角和性质确定B 、C 的大小，应用正弦定理求b,c 即可. 由且A =60°，即0<B <120°，可知：B =30°.∴C =90°， 由正弦定理b sinB=c sinC=a sinA，∴b =asinB sinA =3sin30°sin60°=√3，c =asinC sinA =3sin90°sin60°=2√3.18、已知a →与b →､c →的夹角都是π3，b →⊥c →，|a →|=1，|b →|=2，|c →|=3，计算： (1)(2a →+b →)⋅(2c →−b →)； (2)|a →+b →+c →|. 答案：(1)0； (2)√19.c =1sin 2B =分析：（1）利用向量的数量积运算即可求出答案；（2）利用向量的模长等于所对应向量平方再开方，即可得到答案.（1）(2a →+b →)⋅(2c →−b →)=4a →⋅c →−2a →⋅b →+2b →⋅c →−b →2=4|a →|⋅|c →|cos π3−2|a →|⋅|b →|cos π3+0−|b →|2=4×1×3×12−2×1×2×12−4 =6−2−4=0.（2）|a →+b →+c →|2=(a →+b →+c →)2=|a →|2+|b →|2+|c →|2+2a →⋅b →+2b →⋅c →+2a →⋅c →=1+4+9+2+3=19∴|a →+b →+c →|=√19.。

向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。

平面向量知识点总结基本知识回首：1. 向量的观点： 既有大小又有方向的量叫向量 , 有二个因素：大小、方向 .2. 向量的表示方法：uuur①用有向线段表示 -----AB ( 几何表示法 ) ；r r②用字母 a 、 b 等表示 ( 字母表示法 ) ；③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与 x 轴、 y 轴方向同样的两个单位向量r ri 、 j 作为基底。

任作一个向量 a ，由平x 、 y ，使得 ar r面向量基本定理知，有且只有一对实数xi yj ， ( x, y) 叫做向量 a 的（直r轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，角）坐标，记作 a (x, y) ，此中 x 叫做 a 在 x rrr (0,0) rx 2y 2；若 A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ，特别地， i(1,0) ， j(0,1) ， 0 。

a则 AB x 2x 1 , y 2 y 1 ， AB( x 2x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 23. 零向量、单位向量：①长度为 0 的向量叫零向量，记为 0 ；②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量. （注：a就是单位向量）| a |4. 平行向量：①方向同样或相反的非零向量叫平行向量；rr r r r r r ②我们规定 0 与任一直量平行 . 向量 a 、 b 、 c 平行，记作 a ∥ b ∥ c . 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量 .0, ur与 rb 同向r ur rr r r方向 --- (ur r性质： a // b (b0)ab 是独一）r 0, b 与 a 反向长度 ---r| a |br ur r r x yx y 0 （此中rur ( x , y ) ）a //b (b0) 2a ( x , y ), b12111225. 相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向同样的向量叫相等向量.②垂直向量——两向量的夹角为2性质：raurbr ragbrurrura bx 1x 2 y 1 y 2 0（此中a ( x 1 , y 1 ),b ( x 2 , y 2 )）6. 向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。

平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。

一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。

2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。

平行向量的模长相等。

3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。

零向量的模长为0。

4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。

二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。

向量加法满足交换律和结合律。

2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。

向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。

3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。

4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。

内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。

5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。

外积的结果是一个向量。

三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。

2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。

3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。

4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。

5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。

四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。

2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。