平面向量基础练习题

6.1平面向量的概念（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（）A．质量B．功C．温度D．力2．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个-，，则向量AB的长度是（）3．（2022·山东菏泽·高一期中）数轴上点A，B分别对应11A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（）A．向量CD与向量DC长度相等B．单位向量都相等C．0的长度为0，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动5．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（）A．单位向量均相等B．单位向量1e=C．零向量与任意向量平行D．若向量a，b满足||||=，则a ba b=±6．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）下列关于零向量的说法正确的是（）A．零向量没有大小B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线7．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（）A．向量AB与向量BA的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．零向量没有方向D．向量的模是一个正实数8．（2022·山东聊城一中高一期中）下列命题中正确的个数是（）①起点相同的单位向量，终点必相同；A B C D四点必在一直线上；②已知向量AB CD∥，则,,,∥；③若,∥∥，则a ca b b c④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2022·山东东营·高一期中）设点O是正三角形ABC的中心，则向量AO，BO，CO是（）A ．相同的向量B ．模相等的向量C ．共起点的向量D ．共线向量二、多选题10．（2022·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ） A ．a 与b 是否相等与a ，b 的方向无关 B ．零向量相等，零向量的相反向量是零向量 C ．若a ，b 都是单位向量，则a b =D ．向量AB 与BA 相等11．（2022·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ） A ．若a b =，则a b = B ．若,a b b c ==，则a c =C ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件D ．“a b =”的充要条件是“a b =且a b ∥” 三、填空题12．（2022·全国·高一课时练习）下列各量中，是向量的是___________.（填序号） ①密度；②体积；③重力；④质量.13．（2022·全国·高一课时练习）已知圆O 的周长是2π，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，π,6BAC CD AB ∠=⊥于点D ，则CD =___________. 14．（2022·全国·高一课时练习）已知O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO OB CO OD 是___________.（填序号）①平行向量；②相等向量；③有相同终点的向量；④模都相等的向量.15．（2022·全国·高一课时练习）“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的________条件． 16．（2022·北京市第十二中学高一期末）已知向量()1,a k =，()2,4b =，且a 与b 共线，则实数k =______.17．（2022·江苏·南京航空航天大学附属高级中学高一期中）已知()3,4a =，()4,2b =-，若2a b -与2ka b +为共线向量，则实数k ＝__________．18．（2022·全国·高一课时练习）设空间中有四个互异的点A ､B ､C ､D ，若()()20DB DC DA AB AC +-⋅-=，则ABC 的形状是___________.19．（2022·全国·高一专题练习）已知1e ，2e 是两个不共线的向量，而2125(1)2a k e k e =+-，1223b e e =+是两个共线向量，则实数k =________．20．（2022·山东菏泽·高一期中）已知A 、B 、C 是不共线的三点，向量m 与向量AB 是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________. 四、解答题21．（2022·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD 、BC 的中点，如图．(1)写出与向量FC 共线的向量； (2)求证：BE FD =．22．（2022·全国·高一专题练习）在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b a =；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使5c =，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？23．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，2,,3AE AD AB a AC b ===.(1)用,a b 表示,,,,AD AE AF BE BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．24．（2022·全国·高一课前预习）如图，设O 是▱ABCD 对角线的交点，则(1)与OA 的模相等的向量有多少个？ (2)与OA 的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与AB 共线的向量．【能力提升】一、单选题 1．（2022·吉林·白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习）已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）A ．、、ABC B ．B CD 、、 C ．A B D 、、 D ．A C D 、、2．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a 与b 同向，且a b >，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．43．（2022·全国·高一单元测试）已知I 为ABC 所在平面上的一点，且,,AB c AC b BC a ===.若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC 的（ ） A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心4．（2022·陕西渭南·高一期末）设e 是单位向量，3AB e =，3CD e =-，3AD =，则四边形ABCD 是（ ） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 5．（2022·浙江丽水·高一期末）若,a b 为非零向量，则“a a bb =”是“,a b 共线”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2022·全国·高一课时练习）在ABC 中，若BC a CA b AB c ===，，，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．以上都不对7．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心二、多选题8．（2022·广西贺州·高一期末）以下选项中，能使//a b 成立的条件有（ ） A ．a b = B ．0a =或0b = C ．2a b =-D ．a 与b 都是单位向量9．（2022·全国·高一单元测试）下列叙述中错误的是（ ） A ．若a b =，则32a b >B ．若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反C ．若//a b ，//b c ，则//a cD ．对任一非零向量a ，||aa 是一个单位向量 三、填空题10．（2022·上海市向明中学高一期末）P 在线段12PP 的反向延长线上（不包括端点），且12PP PP λ=，则实数λ的取值范围是___________. 11．（2022·全国·高一课时练习）已知G 为ABC 内一点，且满足0AG BG CG ++=，则G 为ABC 的________心．12．（2022·陕西渭南·高一期末）若a 为任一非零向量，b 为单位向量，给出下列说法： ①a b >； ②a b ∥； ③0a >； ④1b =±；⑤若0a 是与a 同向的单位向量，则0a b =. 其中正确的说法有______个.13．（2022·全国·高一课时练习）如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若12MN AM BN λλ=+，12,R λλ∈，则12λλ+的值为___________.14．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知ABC 的面积为214cm ，D E ，分别为边AB ，BC 上的点，且::2:1AD DB BE EC ==，AE CD ，交于点P ，则APC △的面积为 _____2cm .四、解答题15．（2022·全国·高一课时练习）设1e ，2e 是两个不共线的向量，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定λ的值，使122e e λ+和12e e λ+共线；(3)若12e e λ+与12e e λ+不共线，试求λ的取值范围.16．（2022·全国·高一课时练习）情境 我们应该熟悉如下结论：已知A ，B ，C ，O 为平面内不同在一条直线上的四点，则A ，B ，C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m ，n ，使OC mOA nOB =+，且1m n +=． 问题：怎样证明上述的结论呢？17．（2022·全国·高一课时练习）已知向量13(3,1),,22a b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设()23,x a t b y k ta b =++=-⋅+，若存在[0,2]t ∈，使得x y ⊥成立，求k 的取值范围.。

第六章 6.3 6.3.2 6.3.3 6.3.4A 级——基础过关练1．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C 【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．2．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2)B ．(7,6)C ．(5,0)D ．(11,8)【答案】D 【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)，所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 3．(2020年重庆月考)若向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，－1)，则与a ＋b 共线的向量是( ) A ．(－1,1) B ．(－3，－4) C ．(－4,3)D ．(2，－3)【答案】C 【解析】向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，－1)，则a ＋b ＝(4，－3)，所以与a ＋b 共线的向量是λ(4，－3)，其中λ∈R .当λ＝－1时，共线向量是(－4,3)．故选C ．4．(2020年宁波月考)已知A (－1,2)，B (2，－1)，若点C 满足AC →＋AB →＝0，则点C 坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫12，12B ．(－3,3)C ．(3，－3)D ．(－4,5)D 【解析】设C (x ，y )，由A (－1,2)，B (2，－1)，得AC →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，－3)．又AC →＋AB →＝0，∴AC →＝－AB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－3，y －2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝5.∴点C 坐标为(－4,5)．故选D ．5．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A ．15B ．13C ．25D ．23【答案】C 【解析】如图所示，因为∠AOC ＝45°，所以设C (x ，－x )，则OC →＝(x ，－x )．又因为A (－3,0)，B (0,2)，所以λOA →＋(1－λ)OB →＝(－3λ，2－2λ)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ，－x ＝2－2λ⇒λ＝25.6．(2020年道里区校级期中)我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称作“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB →＝a ，AD →＝b ，E 为BF 的中点，则AE →＝( )A ．45a ＋25bB ．25a ＋45bC ．43a ＋23bD ．23a ＋43b【答案】A 【解析】如图所示，建立直角坐标系．设AB ＝1，BE ＝x ，则AE ＝2x .∴x 2＋4x 2＝1，解得x ＝55.设∠BAE ＝θ，则sin θ＝55，cos θ＝255.∴x E ＝255cos θ＝45，y E ＝255sin θ＝25.设AE →＝mAB →＋nAD →，则⎝⎛⎭⎫45，25＝m (1,0)＋n (0,1)．∴m ＝45，n ＝25.∴AE →＝45a ＋25b .故选A ．7．(2020年苏州期末)已知A (2，－3)，B (8,3)，若AC →＝2CB →，则点C 的坐标为________． 【答案】(6,1) 【解析】设C (x ，y )，∵A (2，－3)，B (8,3)，AC →＝2CB →，∴(x －2，y ＋3)＝2(8－x,3－y )＝(16－2x,6－2y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝16－2x ，y ＋3＝6－2y ，解得x ＝6，y ＝1.∴点C 的坐标为(6,1)．8．(2020年广州模拟)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(m,1)．若向量(a －2b )∥b ，则m ＝________. 【答案】－32 【解析】∵向量a ＝(3，－2)，b ＝(m,1)，∴a －2b ＝(3－2m ，－4)．∵(a －2b )∥b ，∴－4m ＝3－2m .∴m ＝－32.9．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°. (1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23，y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．10．如图，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．解：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．连接OC ，则AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)．由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34.所以OP →＝34OB →＝(3,3)．所以点P 的坐标为(3,3)．B 级——能力提升练11．已知向量a ＝(1＋λ，2)，b ＝(3,4)，若a ∥b ，则实数λ＝( ) A ．－113B ．－52C ．12D ．53【答案】C 【解析】a ∥b ，∴4(1＋λ)＝6，即λ＝12.12．已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)【答案】B 【解析】∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)．易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)．故选B ．13．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)【答案】D 【解析】由题意，得4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，则d ＝－4a －4b ＋2c －2(a －c )＝－6a －4b ＋4c ＝(－2，－6)．14．向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(1,2)，则|a|＝________；若向量a ，b 不能作为一组基底，则tan θ＝________.【答案】1 12【解析】∵a ＝(sin θ，cos θ)，∴|a |＝sin 2θ＋cos 2θ＝1.∵向量a ，b 不能作为一组基底，∴a ∥b ，则2sin θ－cos θ＝0，得tan θ＝12.15．设向量OA →绕点O 逆时针旋转π2得向量OB →，且2OA →＋OB →＝(7,9)，则向量OB →＝________.【答案】⎝⎛⎭⎫－115，235 【解析】设OA →＝(m ，n )，则OB →＝(－n ，m )，所以2OA →＋OB →＝(2m －n,2n ＋m )＝(7,9)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝7，m ＋2n ＝9，解得⎩⎨⎧m ＝235，n ＝115.因此，OB →＝⎝⎛⎭⎫－115，235. 16．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)及AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )． (1)λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？(2)四边形ABCP 能成为平行四边形吗？若能，求出相应的λ的值；若不能，请说明理由．解：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)，AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)．∵AP →＝AB →＋λAC →，∴(x －2，y －3)＝(3,1)＋λ(5,7)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5λ＋5，y ＝7λ＋4，∴P (5λ＋5,7λ＋4)．(1)当点P 在第一、三象限的角平分线上时，由5λ＋5＝7λ＋4得λ＝12.(2)AB →＝(3,1)，PC →＝(2－5λ，6－7λ)．若四边形ABCP 为平行四边形，需AB →＝PC →，于是⎩⎪⎨⎪⎧2－5λ＝3，6－7λ＝1.方程组无解，故四边形ABCP 不能成为平行四边形． 17．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a ，b 表示c.解：如图，以O 为原点，向量OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a |＝2，所以a ＝(2,0)．设b ＝(x 1，y 1)，所以x 1＝|b |·cos 150°＝1×⎝⎛⎭⎫－32＝－32，y 1＝|b |sin 150°＝1×12＝12 .所以b ＝⎝⎛⎭⎫－32，12 .同理可得c ＝⎝⎛⎭⎫－32，－332 .设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，所以⎝⎛⎭⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝⎛⎭⎫－32，12＝⎝⎛⎭⎫2λ1－32λ2，12λ2.所以⎩⎨⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－3，λ2＝－3 3.所以c ＝－3a －33b.C 级——探索创新练18．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点．若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为________．【答案】32＋2 【解析】AB →＝OB →－OA →＝(2－a ，－2)，AC →＝OC →－OA →＝(b ＋2，－4)．由A ，B ，C 三点共线，得2(2－a )＝b ＋2，即2a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1.所以1a ＋1b ＝a ＋b 2a ＋a ＋b 2b ＝32＋b 2a ＋a b ≥32＋212＝32＋2，当且仅当b 2a ＝a b ，即a ＝12，b ＝22时等号成立，所以最小值为32＋ 2. 19．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示． (1)求证：对任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立； (2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )及f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 是常数)的向量c 的坐标． (1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2,2a 2－a 1)＋n (b 2,2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)， ∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立． (2)解：f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)解：设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，∴y＝p,2y－x＝q，∴x＝2p－q，即向量c＝(2p－q，p)．。

第六章 6.4 6.4.1 6.4.2A 级——基础过关练1．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N【答案】B 【解析】|F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102，当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N.2．(2020年北京期末)已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c|等于( )A ．0B ．2C ．2D ．22【答案】C 【解析】如图，a ＋b ＝c ，则|a －b ＋c|＝|2a|.又|a|＝1，∴|a －b ＋c|＝2.故选C ．3．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点【答案】D 【解析】∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴(OA →－OC →)·OB →＝0.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为三条高的交点．4．(2020年深圳期中)已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N【答案】A 【解析】由题意可知对应向量如图．由于α＝60°，∴F 2的大小为|F 合|·sin60°＝10×32＝5 3 N ．故选A ．5．已知直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，DC ＝1，AB ∥DC ，则当AC ⊥BC 时，AD ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系，如图所示．设AD ＝t (t ＞0)，则A (0,0)，C (1，t )，B (2,0)，则AC →＝(1，t )，BC →＝(－1，t )．由AC ⊥BC 知AC →·BC →＝－1＋t 2＝0，解得t ＝1，故AD ＝1.6．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________J.【答案】1 5003 【解析】所做的功W ＝60×50×cos 30°＝1 5003(J)．7．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则y 与x 的函数关系式为________．【答案】y ＝－12x ＋2 【解析】OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，∴x ＋2y －4＝0，则y＝－12x ＋2.8．在四边形ABCD 中，已知AB →＝(4，－2)，AC →＝(7,4)，AD →＝(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________．【答案】30 【解析】BC →＝AC →－AB →＝(3,6)＝AD →，又因为AB →·BC →＝(4，－2)·(3,6)＝0，所以四边形ABCD 为矩形．又|AB →|＝42＋(－2)2＝25，|BC →|＝32＋62＝35，所以S ＝|AB→||BC →|＝25×35＝30.9．如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b|＝a 2－2a·b ＋b 2＝1＋4－2a·b ＝5－2a·b ＝2，所以5－2a·b ＝4.所以a·b ＝12.又|AC →|2＝|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋4＋2a·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝ 6.10．质量m ＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力|F|＝10 N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离(g 取9.8 N/kg)．(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？解：(1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示．拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F·s ＝|F|·|s |cos 0°＝20(J)．支持力F N 的方向与位移方向垂直，不做功，所以W N ＝F N ·s ＝0.重力G 对物体所做的功为W G ＝G·s ＝|G||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)．B 级——能力提升练11．△ABC 中，若动点D 满足CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝0，则点D 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心【答案】A 【解析】取AB 的中点E ，则CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＋2AB →·CD →＝2CE →·BA →＋2AB →·CD →＝2AB →·(CD →－CE →)＝2AB →·ED →＝0，∴AB ⊥ED ，即点D 在AB 的垂直平分线上．∴点D 的轨迹一定通过△ABC 的外心．12．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，绳子的重量忽略不计，则A 处所受力的大小为( )A ．1202－50 6 NB ．1502－50 6 NC ．1203－50 2 ND ．1503－50 2 N【答案】B 【解析】如图，由已知条件可知AG 与垂直方向成45°角，BG 与垂直方向成60°角．设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ，∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°，则有|F a |·cos 45°＋|F b |cos 60°＝G ＝100①，且|F a |·sin 45°＝|F b |sin 60°②.由①②解得|F a |＝1502－50 6.故选B ．13．(2020年太原月考)在△ABC 中，若AD →＝13AB →＋12AC →，记S 1＝S △ABD ，S 2＝S △ACD ，S 3＝S △BCD ，则下列结论正确的是( )A ．S 3S 1＝23B ．S 2S 3＝12C ．S 2S 1＝23D ．S 1＋S 2S 3＝163【答案】C 【解析】如图，作AE →＝13AB →，AF →＝12AC →，则AD →＝AE →＋AF →，∴四边形AEDF是平行四边形．∴S △ADE ＝S △ADF .设△ABD 的边AB 上的高为h 1，△ACD 的边AC 上的高为h 2，则12|AE →|h 1＝12|AF →|h 2，∴13·⎝⎛⎭⎫12|AB →|h 1＝12·⎝⎛⎭⎫12|AC →|h 2.∴13S 1＝12S 2.∴S 2S 1＝1312＝23.故选C ．14．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2，6)，则AC 和OB 的交点P 的坐标为________．(3,3) 【解析】设P (x ，y )，OB →＝(4,4)，OP →＝(x ，y )，由于OB →∥OP →，所以x －y ＝0.AC →＝(－2,6)，AP →＝(x －4，y )，由于AP →∥AC →，所以6(x －4)＋2y ＝0.可得x ＝3，y ＝3，故P 的坐标是(3,3)．15．已知P ，Q 为△ABC 内的两点，且AQ →＝14AC →＋12AB →，AP →＝12AC →＋14AB →，则△APQ 的面积与△ABC 的面积之比为________．【答案】316 【解析】如图，根据题意，P ，Q 为△ABC 中位线DE ，DF 的中点，PQ ＝12EF ＝14BC ，而A 到PQ 的距离是到BC 距离的34，根据三角形的面积公式可知，S △APQ ＝316S △ABC ．16．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)t 为何值时，共起点的三个向量a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上？(2)若|a|＝|b|且a 与b 的夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |最小？解：(1)由题意得a －t b 与a －13(a ＋b )共线，则设a －t b ＝m ⎣⎡⎦⎤a －13(a ＋b )，m ∈R ，化简得⎝⎛⎭⎫23m －1a ＝⎝⎛⎭⎫m 3－t b .因为a 与b 不共线，所以⎩⎨⎧23m －1＝0，m 3－t ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝32，t ＝12.所以当t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上．(2)因为|a|＝|b|，所以|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a||b |cos 60°＝(1＋t 2－t )|a |2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫t －122＋34·|a |2.所以当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.17．某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解：设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a .设实际风速为v ，那么此时人感到风速为v －a ，设OA →＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v .因为PO →＋OA →＝P A →，所以P A →＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速．因为PO →＋OB →＝PB →，所以PB →＝v －2a .于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB →.由题意∠PBO ＝45°，P A ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a .所以实际风速是每小时2a 千米的西北风．C 级——探索创新练18．在△ABC 中，AC ＝BC ＝33AB ＝1，且CE →＝xCA →，CF →＝yCB →，其中x ，y ∈(0,1)，且x ＋4y ＝1.若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，则线段MN 的最小值为________．【答案】77【解析】如图，连接CM ，CN ，∵等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝3，∴∠ACB ＝120°.∴CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos 120°＝－12.又CM 是△CEF 的中线，∴CM →＝12(CE→＋CF →)＝12(xCA →＋yCB →)．同理可得CN →＝12(CA →＋CB →)，∴MN →＝CN →－CM →＝1－x 2CA →＋1－y 2CB →.∴MN→2＝(1－x )24＋(1－x )(1－y )2×⎝⎛⎭⎫－12＋(1－y )24.由x ＋4y ＝1，得1－x ＝4y ，代入上式得MN →2＝214y 2－32y ＋14.又x ，y ∈(0,1)，∴当y ＝17时，MN →2取得最小值17，此时|MN →|的最小值为77，即线段MN 的最小值为77.。

向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。

第六章平面向量及其应用6.1 平面向量的概念课后篇巩固提升必备知识基础练1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是( )A.1B.2C.3D.4,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.2.在同一平面上,把向量所在直线平行于某一直线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一条直线C.圆上一群孤立的点D.一个半径为1的圆,而向量所在直线平行于同一直线,所以随着向量模的变化,向量的终点构成的是一条直线.3.如图所示,在正三角形ABC 中,P ,Q ,R 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则与向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗B.AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC⃗⃗⃗⃗⃗ C.RA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CR ⃗⃗⃗⃗⃗ D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗,方向相同,因此AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是和PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量. 4.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状为 ( )A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 知,AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形.又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形.5.(多选题)(2021福建福清期中)下列说法正确的是( )A.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是菱形B.在平行四边形ABCD 中,一定有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗C.若a =b ,b =c ,则a =cD.若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cA,由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形,又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形,故A 正确;对于B,在平行四边形ABCD 中,对边平行且相等,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确;对于C,由向量相等的定义知,当a =b ,b =c 时,有a =c ,故C 正确;对于D,当b =0时不成立,故D 错误.故选ABC .6.(多选题)设点O 是正方形ABCD 的中心,则下列结论正确的是( ) A.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 D.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO⃗⃗⃗⃗⃗图,∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同,长度相等,∴选项A 正确; ∵BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相反, ∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,选项B 正确; ∵AB ∥CD ,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, ∴选项C 正确; ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BO⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴选项D 错误. 7.如图,四边形ABCD ,CEFG ,CGHD 都是全等的菱形,HE 与CG 相交于点M ,则下列关系不一定成立的是( )A.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线D.DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,直线BD 与EH 不一定平行,因此BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,C 项错误. 8.如图所示,4×3的矩形(每个小方格的边长均为1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问: (1)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有几个? (2)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有几个? (3)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有几个?与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有5个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身). (2)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有24个. (3)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有2个. 关键能力提升练9.已知a 为单位向量,下列说法正确的是( ) A.a 的长度为一个单位长度 B.a 与0不平行C.与a 共线的单位向量只有一个(不包括a 本身)D.a 与0不是平行向量已知a 为单位向量,∴a 的长度为一个单位长度,故A 正确;a 与0平行,故B 错误;与a 共线的单位向量有无数个,故C 错误;零向量与任何向量都是平行向量,故D 错误. 10.(多选题)如图,在菱形ABCD 中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是( )A.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有一个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) B.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量有9个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 模的√3倍 D.CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线项,由相等向量的定义知,与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确;B 项,因为AB=BC=CD=DA=AC ,所以与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量除AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 外有9个,故B 正确;C 项,在Rt △ADO 中,∠DAO=60°,则DO=√32DA ,所以BD=√3DA ,故C 正确;D 项,因为四边形ABCD 是菱形,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故D 错误.11.给出下列四个条件:①a =b ;②|a |=|b |;③a 与b 方向相反;④|a |=0或|b |=0.其中能使a ∥b 成立的条件是 .(填序号)a =b ,则a 与b 大小相等且方向相同,所以a ∥b ;若|a |=|b |,则a 与b 的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a ∥b ;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a 与b 方向相反,则有a ∥b ;零向量与任意向量平行,所以若|a |=0或|b |=0,则a ∥b .12.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是边长为1的菱形,已知下列说法: ①AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是单位向量; ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ③与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有3个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有3个(不包括AE⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ⑤与向量DC⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等、方向相反的向量为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中正确的是 .(填序号)由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故③错误;④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量是EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故④正确;⑤正确.13.已知在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,tan D=√3,判断四边形ABCD 的形状.在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB DC ,∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵tan D=√3,∴∠B=∠D=60°.又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴△ABC 是等边三角形. ∴AB=BC ,故四边形ABCD 是菱形.学科素养创新练14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A ,B ,点C 为小正方形的顶点,且|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5.(1)画出所有的向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ ;⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值与最小值.(2)求|BC⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示.(2)由(1)所画的图知,⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值√12+22=√5;①当点C位于点C1或C2时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值√42+52=√41.②当点C位于点C5或C6时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为√41,最小值为√5.∴|BC。

（数学4必修）第二章 平面向量练习题A[基础训练A 组] 一、选择题1．化简AC - BD + CD - AB得（ ）A ．AB B ．C ．D ．0 2．设00,a b 分别是与,a b向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A ．00a b =B ．001a b ⋅=C ．00||||2a b +=D ．00||2a b +=3．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列命题中正确的是（ ）A ．若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a ⋅b ＝0，则a ∥bC ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D ．若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)25．已知平面向量(3,1)a = ，(,3)b x =- ，且a b ⊥，则x =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0二、填空题1．若=)8,2(，=)2,7(-，则31=_________2．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-=1，且5a b ⋅= ，则向量=____。

3．若3a = ,2b = ，且与的夹角为060，则a b -= 。

4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。

5．已知)1,2(=a与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。

三、解答题1．如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a，=b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．2．已知向量 a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,求向量a 的模。

初中平面向量练习题及答案典例精析题型一向量的有关概念下列命题：①向量AB的长度与BA的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.下列各式：①|a|＝a?a；② ?c＝a? ；③OA－OB＝BA；④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋＝2；⑤a＝，b＝，且a与b不共线，则⊥.其中正确的个数为A.1B.C.D.4选D.| a|＝a?a正确； ?c≠a? ； OA－OB＝BA正确；如下图所示，MN=++且MN=++，两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b 为菱形的两条对角线，即得⊥.所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段DO上，且=，点N在线段OC上,且=,设=a, =b,试用a、b 表示，，1313.在?ABCD中，AC，BD交于点O， 111所以＝＝a－b)，22＝2＝2＝2.11又＝，＝，31所以＝AD＋＝b＋1115＝b＝a，266111＝＋＝＋4412＝＝a＋b). 323所以＝－1511＝－＋)＝a.6626向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP＝1OA＋λ，若λ＝2时，则PA?的值为 .由已知得－＝λ，11即AP＝λ，当λ＝时，得AP＝，2所以2AP＝AB ＋AC，即AP－AB＝AC－AP，所以BP＝PC，所以PB＋PC＝PB＋BP＝0，所以? ＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题设两个非零向量a与b不共线.若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，求证：A，B，D三点共线；试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，所以BD＝BC ＋CD＝2a＋8b＋3＝5＝5AB，所以AB， BD共线.又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线.因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ，所以a＝b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.已知O是正三角形BAC内部一点，+2+3=0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是如图，在三角形ABC中， OA＋2OB＋3OC＝0，整理可得OA＋OC＋2＝0.1令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，则点O在点F与点E连线的处，即OE＝2OF.1hh1设三角形ABC中AB边上的高为h，则S△OAC＝S△OAE＋S△OEC?OE? 的情形，而向量平行则包括共线的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用如图?ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知AM=a,=b,试用a，b表示，AD与AC易知AM＝AD＋DM 1＝＋，1AN＝AB＋BN＝AB2AD， 1a,??2即? ??1?b.?2? 22所以＝b－a)，＝2a－b).32所以＝＋＝a＋b).运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0等于 1B.C.1 D.1A.由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB＋PC＝2PD，因此结合PA＋BP＋CP＝0即得PA＝2PD，因此易得P，A，D三点共线且D是PA＝1，即选C.题型二向量的坐标运算已知a＝，b＝，u＝a＋2b，v＝2a－b.若u＝3v，求x；若u∥v，求x.因为a＝，b＝，所以u＝＋2＝＋＝，v＝2－＝.u＝3v?＝3＝，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.u∥v ?＝λ2x1,－3＝0?x＝1.对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.nπnπ已知向量an＝sinn∈N*)，|b|＝1.则函数y ＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋ (77)＋|a141＋b|2的最大值为.π设b＝，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝2＋b2＋2＋…＋2＋b2＋2＝282＋2cos，所以y的最大7777值为284.题型三平行向量的坐标运算已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝，n＝，p＝.若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；π若m⊥p，边长c＝2，角CABC的面积.证明：因为m∥n，所以asin A＝bsin B.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.因为m⊥p，所以m²p＝0，即a＋b＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝2－3ab，所以2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1.113所以S△ABC＝absin C3.22设m＝，n＝，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝，n＝.若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为A.10－3C.10－23B.10＋5D.10＋231由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－cos C＝2，所以c2＝a2＋b2－2abcos平面向量一、选择题1、已知向量OM?,ON?,则12MN等于 A．B．C．D．、已知向量a?,b?,则?3a?2b的坐标是 A． B．C．D．3、已知?,?,且∥，则x等于 A．3B．?3C．1D．?1334、若?,?,则与的夹角的余弦值为 A．633365B．65C．?3365D．?6365546，与的夹角是135?，则?等于 A．12B．2C．?2D．?126、点关于点B的对称点是 A．B．C．D．7、下列向量中，与垂直的向量是 A．B．C．D．8、已知A、B、C三点共线，且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A分所成的比是 A．?38B．38C．?83D．839、在平行四边形ABCDA．? B．?或? C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形10、已知点C在线段AB的延长线上，且?BC??CA,则?等于A．3B．13C．?3D．?1311、已知平面内三点A,B,C满足BA?AC，则x的值为A．3B．6C．7D．912、已知?ABC的三个顶点分别是A，B，C，重心G，则x、y的值分别是 A．x?2,y?5B．x?1,y??52C．x?1,y??1D．x?2,y??5216、设两个非零向量a,b不共线，且ka?b与a?kb 共线，则k的值为 A．1B．?1C．?1 D．017、已知A,B,?23，则点M的坐标是 A．B．C．D．18、将向量y?sin2x按向量?平移后的函数解析式是A．y?sin?1B．y?sin?1C．y?sin?1D．y?sin?1二、填空题20、已知??2?3,且3?2与??垂直，则?等于1、已知等边三角形ABC的边长为1，则??22、设e?1、e2是两个单位向量，它们的夹角是60，则??3、已知A、B,?三、解答题24、已知A，AB?，求线段AB的中点C的坐标。

第1课时 平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模 且方向 的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（ ）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示 ； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（ ） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时 向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时 平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6． 已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7． 已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8． 已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9． 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10． 化简++++.第7课时 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（ ） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（ ）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时 平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（ ） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=， 求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ， 求D 点坐标第9课时 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时 平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒， 求点B 和向量的坐标.第11课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值..第12课时 平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时 向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。

第六章 6.2 6.2.2A 级——基础过关练1．(多选)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD → D ．AD →＋CB →＝0【答案】ABD 【解析】A 项显然正确；由平行四边形法则知B 正确；C 项中AB →－AD →＝DB →，故C 错误；D 项中AD →＋CB →＝AD →＋DA →＝0.故选ABD ．2．化简以下各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →－AC →＋BD →－CD →；③OA →－OD →＋AD →；④NQ →＋QP →＋MN →－MP →.结果为零向量的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】①AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝AC →－AC →＝0； ②AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③OA →－OD →＋AD →＝(OA →＋AD →)－OD →＝OD →－OD →＝0； ④NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PM →＋MN →＝NM →－NM →＝0. 3．(2020年北京期末)如图，向量a －b 等于( )A ．3e 1－e 2B ．e 1－3e 2C ．－3e 1＋e 2D ．－e 1＋3e 2【答案】B 【解析】如图，设a －b ＝AB →＝e 1－3e 2，∴a －b ＝e 1－3e 2.故选B ．4．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB →＝BC →；②|AB →|＝|BC →|；③|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|；④|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C 【解析】由菱形的图形，可知向量AB →与BC →的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB →－CD →|＝|AB →＋DC →|＝2|AB →|，|AD →＋BC →|＝2|BC →|，且|AB →|＝|BC →|，所以|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|，即③正确；因为|AD →＋CD →|＝|BC →＋CD →|＝|BD →|，|CD →－CB →|＝|CD →＋BC →|＝|BD →|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3.故选C ．5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13)【答案】C 【解析】由于BC →＝AC →－AB →，则有|AB →|－|AC →|≤|BC →|≤|AB →|＋|AC →|，即3≤|BC →|≤13.6．若非零向量a 与b 互为相反向量，给出下列结论：①a ∥b ；②a ≠b ；③|a|≠|b|；④b ＝－a.其中所有正确命题的序号为________．【答案】①②④ 【解析】非零向量a ，b 互为相反向量时，模一定相等，因此③不正确．7．若a ，b 为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a ＋b|＝________，|a －b|＝________. 【答案】0 2 【解析】若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b|＝0.又a ＝－b ，所以|a|＝|－b|＝1.因为a 与－b 共线，所以|a －b|＝2.8．如图，已知向量a 和向量b ，用三角形法则作出a －b ＋a .解：如图所示，作向量OA →＝a ，向量OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ；作向量AC →＝a ，则BC →＝a －b ＋a .9．如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：AC →，AD →，AD →－AB →，AB →＋CF →，BF →－BD →. 解：AC →＝OC →－OA →＝c －a . AD →＝AO →＋OD →＝OD →－OA →＝d －a . AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .AB →＋CF →＝OB →－OA →＋OF →－OC →＝b －a ＋f －c . BF →－BD →＝OF →－OB →－(OD →－OB →)＝OF →－OD →＝f －d .10．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且|AB →|＝|AD →|＝1，OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，cos ∠DAB ＝12，求|DC →＋BC →|与|CD →＋BC →|.解：∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0， ∴OA →＝CO →，OB →＝DO →.∴四边形ABCD 为平行四边形．又|AB →|＝|AD →|＝1，∴▱ABCD 为菱形． ∵cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)，∴∠DAB ＝π3，∴△ABD 为正三角形．∴|DC →＋BC →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|＝2|AO →|＝3，|CD →＋BC →|＝|BD →|＝|AB →|＝1.B 级——能力提升练11．在平面上有A ，B ，C 三点，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m 与n 的长度恰好相等，则有( )A ．A ，B ，C 三点必在一条直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角D ．△ABC 必为等腰直角三角形【答案】C 【解析】以BA →，BC →为邻边作平行四边形ABCD ，则m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →，由m ，n 的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C ．12．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形【答案】B 【解析】因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →.所以AB CD ．故四边形ABCD 是平行四边形．13．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .又OA →，BC →的中点分别为D ，E ，则向量DE →等于( )A ．12(a ＋b ＋c )B ．12(－a ＋b ＋c )C ．12(a －b ＋c )D ．12(a ＋b －c )【答案】B 【解析】DE →＝DO →＋OE →＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(－a ＋b ＋c )．14．如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．①CF →；②AD →；③DA →；④BE →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →.【答案】① 【解析】OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →；CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →≠CF →；CA →－CD →＝DA →≠CF →；AB →＋AE →＝AD →≠CF →.15．已知|a|＝7，|b|＝2，且a ∥b ，则|a －b|的值为________．【答案】5或9 【解析】当a 与b 方向相同时，|a －b|＝||a|－|b||＝7－2＝5；当a 与b 方向相反时，|a －b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9.16．如图所示，点O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a ，b ，c ，d 的方向(用箭头表示)，使a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，并画出b －c 和a ＋d .解：因为a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，所以a ＝OA →，b ＝BO →，c ＝OC →，d ＝OD →.如图所示，作平行四边形OBEC ，平行四边形ODF A ．根据平行四边形法则可得，b －c ＝EO →，a ＋d ＝OF →.17．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，试证明：b ＋c －a ＝OA →.证明：(方法一)因为b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →，OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，所以b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.(方法二)OA →＝OC →＋CA →＝OC →＋CB →＋CD →＝c ＋DA →＋BA →＝b ＋c －AB →＝b ＋c －a .(方法三)因为c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →＝OA →＋AD →＝OA →－DA →＝OA →－b ，所以b ＋c －a ＝OA →.C 级——探索创新练18．已知|a |＝8，|b |＝15. (1)求|a －b |的取值范围；(2)若|a －b |＝17，则表示a ，b 的有向线段所在的直线所成的角是多少？ 解：(1)由向量三角不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |，得7≤|a －b |≤23. 当a ，b 同向时，不等式左边取等号， 当a ，b 反向时，不等式右边取等号． (2)易知|a |2＋|b |2＝82＋152＝172＝|a －b |2. 作OA →＝a ，OB →＝b ，则|BA →|＝|a －b |＝17， 所以△OAB 是直角三角形，其中∠AOB ＝90°. 所以表示a ，b 的有向线段所在的直线成90°角．。

平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法1定义已知非零向量,a b ,在平面内任取一点A,作AB ＝a ,BC ＝b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a b +,即a b +＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算,叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时,要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量.②两个向量的和仍然是一个向量,其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．2向量加法的平行四边形法则以点O 为起点作向量a OA = ,OB b =,以OA,OB 为邻边作OACB ,则以O 为起点的对角线所在向量OC 就是,a b 的和,记作a b +=OC ;说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和,而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和,但两共线向量求和时,则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=，3特殊位置关系的两向量的和①当向量a 与b 不共线时,a +b 的方向不同向,且|a +b |<|a |+|b |；②当a 与b 同向时,则a +b 、a 、b 同向,且|a +b |=|a |+|b |,③当a 与b 反向时,若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同,且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同,且|a +b|=|b |-|a |.4向量加法的运算律①向量加法的交换律：a +b =b +a②向量加法的结合律：a +b +c =a + b +c知识点二：向量的减法1相反向量：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a ;2①向量a 和-a 互为相反向量,即 –-a .②零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a ＋-a ＝-a ＋a ＝0．④如果向量,a b 互为相反向量,那么a ＝-b ,b ＝-a ,a ＋b ＝0．3向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与b 的差.即： a - b = a + - b 求两个向量差的运算叫做向量的减法.4向量减法的几何作法在平面内任取一点O,作,OA a OB b ==,则BA a b =-．即a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量,这就是向量减法的几何意义． 说明：①AB 表示a b -.强调：差向量“箭头”指向被减数②用“相反向量”定义法作差向量,a - b = a + - b , 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一.知识点三：向量数乘的定义1定义：一般地,我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa ,它的长度与方向规定如下：⑴|λa |＝|λ||a |⑵当0λ>时,λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时,λa 的方向与a 的方向相反． 当0λ=时,λa ＝02 向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律：设λ、μ为实数,λμa ；λ＋μa ＝λa a ；λa ＋b ＝λa ＋λb ．知识点四：向量共线的条件向量a a ≠0与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b ＝λa ．学习结论1两个向量的和仍然是向量,它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法则确定,这两种法则本质上是一致的．共线向量加法的几何意义,为共线向量首尾相连接,第一个向量的起点与第二个向量的终点连接所得到的有向线段所表示的向量．2a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量3实数与向量不能相加减,但实数与向量可以相乘．向量数乘的几何意义就是几个相等向量相加．4向量a a ≠0与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b ＝λa ;练习例1．已知任意两个非零向量,a b ,作,2,3OA a b OB a b OC a b =+=+=+,试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系． 解：∵ AB ＝OB －OA ＝a+2b －a+b ＝b, 且 AC ＝OC －OA ＝a+3b －a+b ＝2 b,∴ AC ＝2AB ．所以,A 、B 、C 三点共线．例2.如图,平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB ＝a ,AD ＝b ,试用a ,b 表示向量,,,MA MB MC MD ．解析：AM MC ==1()2a b +,所以1()2MA a b =-+,DM MB =MA AB =+1()2a b =-所以1()2MD b a =- 例3.一艘船从长江南岸A 点出发以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的流速为向东2 km/h ．⑴试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度保留两个有效数字；⑵求船实际航行速度的大小与方向用与江水速度间的夹角表示,精确到度.分析：速度是一个既有大小又有方向的量,所以可以用向量表示,速度的合成也就是向量的加法.解析：⑴如图,设AD 表示船向垂直于对岸行驶的速度,AB 表示水流的速度,以AD 、AB 作邻边作平行四边形ABCD,则AC 就是船实际航行的速度.⑵在Rt △ABC 中,|AB |＝2,|BC |＝5,∴ |AC |＝22222529 5.4AB BC +=+=≈ ∵ tan ∠CAB ＝52,∴ 68CAB ∠≈︒答：船实际航行速度的大小约为 km/h,方向与水的流速间的夹角为约为68°.1.2006上海理如图,在平行四边形ABCD 中,下列结论中错误的是A →--AB ＝→--DC ； B →--AD ＋→--AB ＝→--AC ；C →--AB －→--AD ＝→--BD ； D →--AD ＋→--CB ＝→0． 2．2007湖南文若O 、E 、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是A ．EF OF OE =+ B. EF OF OE =-C. EF OF OE =-+D. EF OF OE =--3．2003辽宁已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上不包括端点A 、C,则=AP A ．)1,0(),(∈+λλAD AB B ．)22,0(),(∈+λλBC AB C ．)1,0(),(∈-λλAD AB D ．)22,0(),(∈-λλBC AB 4.2008辽宁理已知O ,A ,B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足20AC CB +=,则OC =A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+ 5．2003江苏；天津文、理O 是平面上一定点,A B C 、、是平面上不共线的三个点,动点P满足[)(),0,,AB AC OP OA P AB AC λλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心6．2005全国卷Ⅱ理、文已知点(3,1)A ,(0,0)B ,(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC相交于E ,那么有BC CE λ=,其中λ等于A ２B 12C －３D －137．设b a ,是两个不共线的非零向量,若向量b a k 2+与b k a +8的方向相反,则k=__________.8.2007江西理．如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N,若AB ＝ m AM ,AC ＝n AN ,则m ＋n 的值为 ．9．2005全国卷Ⅰ理ABC ∆的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=,则实数m =10.2007陕西文、理如图,平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且OA ＝OB ＝1,OC ＝22.若OC ＝μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 .例1. B ． 例2．Ａ． 例3．B.三基础训练：1. C ； 2．B. 3．A ． 4. A ． 5．B 6．C ； 7．_—4__；8. 2 ．9． 1 ；10. 62.AB C D四拓展与探究：11、D ．； 12. (,0)-∞,13(,)22.平面向量的线性运算复习课复习目标：• 1、掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义.• 2、掌握向量数乘运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.• 3、了解向量的线性运算性质及其几何意义.重点:向量加、减、数乘运算及其几何意义.难点:应用向量线性运算的定义、性质灵活解决相应的问题.一、学案导学 自主建构复习1:向量的加法 复习2:向量的减法已知向量a 和向量b ,作向量a +b . 已知向量a 和向量b ,作向量a -b .复习3：向量的数乘 复习4：平面向量共线定理 已知向量 a ,作向量3a 和-3a .二、合作共享 交流提升1、填空： ------ ----- --------(4)___ABCD AB AD AB AD BAD +=-∠=在平行四边形中，若则2、判断题：1相反向量就是方向相反的向量 (1)AD CA +=(2)AB CB DC --=(3)AB AC BD CD -+-=2 3AB OA OB =-4 在△ABC 中,必有0AB BC CA ++=5若0AB BC CA ++=,则A 、B 、C 三点必是一个三角形的三个顶点;32,,,OA OB OC A B C =-若则三3、点是否共线三、案例剖析 总结规律例1:根据条件判断下列四边形的形状(1)AD BC = 1(2)3AD BC = (3),AD BC AB AD ==且 (4);(OA OC OB OD O +=+是四边形所在平面内一点） (5)AC AB AD =+(6),ABCD AC BD O AO OC DO OB ==四边形的对角线与相交于点，并且例2、如图,在 OAB ∆ 中,延长BA 到C,使AC=BA,在OB 上取点D,使BD=与OA 交于E,设OA a OB b ==，，请用 a b OC DC ，表示向量， .例3、设▱ABCD 一边AB 的四等分点中最靠近B 的一点为E,对角线BD 的五等分点中靠近B 的一点为F,求证：E 、F 、C 三点在一条直线上．AB BA +=四、反馈矫正 形成能力跟踪训练：1、有一边长为１的正方形ABCD,设,BC b AC c ==求：()1a b c ++ ()2a b c +- ()3a b c -+2、已知A 、B 、C 是不共线的三点,O 是△ABC 内的一点,若OA OB OC ++ = 0,则O 是△ABC 的——————填内心、重心、垂心、外心等.。

一、多选题1．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→=，则a b →→= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B bC a c=-，4ABC S =△，且b = ）A ．1cos 2B =B ．cos 2B =C ．a c +=D ．a c +=3．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)4．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为25．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°D ．()//2a a b +6．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CE ⋅=- B ．0OE OC +=C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为767．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB += D ．0PA PB PC ++=8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）A ．B ．C ．8D ．839．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥B ．2a b +=C ．2a b -=D ．,60a b =︒10．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 11．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=12．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=B ．a d b +=C ．b d a +=D ．a b c +=13．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C处,,那么x 的值为( )A B ．23C ．D ．314．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+-C ．OA OD AD -+D ．NQ QP MN MP ++-15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形17．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形18．若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形19．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心20．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．4321．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒22．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，则12S S = A ．310 B ．38C ．25D ．421 23．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13- D ．34-24．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）A ．a 与b 的夹角为αβ-B ．a b ⋅的最大值为1C ．2a b +≤D ．()()a b a b +⊥-25．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（ ）A ．500米B ．1500米C ．1200米D ．1000米26．题目文件丢失！27．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a =（ ）A ．12-B ．12C．-2 D ．228．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．429．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n +的最大值为 A ．5B ．10C ．4D ．530．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，47AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-431．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（ ）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=B ．cos cos cos 0A OA B OBC OC ⋅+⋅+⋅= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=32．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()20c a c b ⋅--=，则b c ⋅的最大值为（ ）A ．54B ．2C ．174D ．433．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．332C ．33D ．334．已知ABC 中，1,3,30a b A ︒===，则B 等于（ ）A ．60°B ．120°C ．30°或150°D ．60°或120°35．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（ ）A 23B 3C 33D 43【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．2．AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，整理可得：， 可得，∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确解析：AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简cos cos 2B bC a c=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2B =，结合范围()0,B π∈，可求3B π=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得a c += 【详解】 ∵cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==，∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1cos 2B =，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3B π=，∵ABC S =△3b =，∴11sin 42224ac B a c ac ==⨯⨯⨯=， 解得3ac =，由余弦定理得()()2222939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．ABC 【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析：ABC 【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确.选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确 故选：ABC 【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.4．CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(解析：CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=(2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.5．AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；解析：AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量()1,0a =，()2,2b =，则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；222b =+=，故B 错误；2cos ,1a b a b a b⋅<>===⋅+又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.6．BCD 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，解析：BCD 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -， 设123(0,),3),(1,),(,33O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ， 所以2313y y =-，解得：3y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；322OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；123(3ED =，(1,3)BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确.故选：BCD 【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.7．CD 【分析】转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.解析：CD 【分析】转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.8．AC 【分析】利用余弦定理：即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC 【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.9．AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确； ，可得，故B 错误； ，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】解析：AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A正确；()22222a b a b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确；由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误; 故选：AC 【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.10．C 【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简；对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A解析：C 【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简a b a b +=+； 对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=， 则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.11．AD 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误； 对于选项B ，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确； 对于选项C ，两个非零向量解析：AD 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD 【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.12．ABD 【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】由向量加法的平行四边形法则，知成立，故也成立；由向量加法的三角形法则，知成立，不成立. 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查解析：ABD 【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.13．AB 【分析】由余弦定理得，化简即得解. 【详解】由题意得,由余弦定理得, 解得或. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.解析：AB 【分析】由余弦定理得293cos306x x︒+-=，化简即得解.【详解】由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x︒+-=,解得x =x 故选：AB. 【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】 ; ; ; .故选：ABCD 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.解析：ABCD 【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】0AB BC CA AC CA ++=+=;()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=; ()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=; 0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.故选：ABCD 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.15．无二、平面向量及其应用选择题16．D 【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．17．C 【分析】由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+， 所以()0BC AB AC ⋅+=，取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥， 故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 18．A 【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】ABC ∆中，sin()sin A B C +=，∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），0A π<< 90A ∴=︒，则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 19．B 【分析】先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅， 则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥， 则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ． 【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---， 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 21．C 【分析】首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得12a b ⋅=，进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=，所以2()7a b +=，即22447a a b b +⋅+=， 因为221a b ==，所以12a b ⋅=， 所以1cos ,2a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒， 所以向量a ，b 夹角的范围为60︒， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目. 22．A 【解析】∵2350OA OB OC ++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+． 设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-, ∵MN 为ABC 的中位线，且32OM ON=， ∴36132255410OACOMCCMNABC ABC SSSS S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭，即12310S S =．选A ． 23．B 【分析】选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ， 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 24．D 【分析】由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ⋅，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算()()a b a b +⋅-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得1b =，a 与b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈.对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，()cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-，B 选项错误；对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误； 对于D 选项，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以，()()a b a b +⊥-，D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 25．D 【分析】作出图形，过点S 作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，依题意可求得SE 在BDS ∆中利用正弦定理可求BD 的长，从而可得山顶高BC ． 【详解】解：依题意，过S 点作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，30SAE ∠=︒，1000AS =米，sin30500CD SE AS ∴==︒=米，依题意，在Rt HAS ∆中，453015HAS ∠=︒-︒=︒，sin15HS AS ∴=︒， 在Rt BHS ∆中，30HBS ∠=︒，22000sin15BS HS ∴==︒， 在Rt BSD ∆中，sin75BD BS =︒2000sin15sin75=︒︒2000sin15cos15=︒︒1000sin30=⨯︒500=米， 1000BC BD CD ∴=+=米，故选：D ． 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．26．无27．A 【分析】根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点， 根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则OA OC OB OC OCOC⋅⋅=,即OA OC OB OC ⋅=⋅，可得4152415a +⨯=⨯-⨯，解得12a =-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 28．D 【分析】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】①如图可知AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋12CB ＝－CA －12BC ＝－b －12a ，故①正确． ②BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋12AB ＝b ＋12(－a －b ) ＝－12a ＋12b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF＝－(12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，故④正确． 故选D.【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．29．B【分析】先根据向量的模将||+||m n n +转化为关于||n 的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.【详解】()22224419||=1||3m m n m nn m n =+∴+=+⋅+=，，,22n m n +⋅=,()2222=52-m n m m n n n ∴+=++⋅,25||+||m n n n n ∴+=-+， 令()2(05),5x x f x x x n =<≤=-,则()2'125f x x =-，令()'0f x =，得102x =∴当1002x <<时， ()'0f x >，当1052x << ()'0f x <， ∴当10x =时， ()f x取得最大值1010f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B. 【点睛】 向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 30．D 【分析】将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +=，可得到3m OC OD =且,,A B D 共线；由AOB ABC O S S D CD∆∆=和,OC OD 反向共线，可构造关于m 的方程，求解得到结果. 【详解】 由2OA OB mOC +=得：12333m OA OB OC += 设3m OC OD =，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：OC 与OD 反向共线 3ODm m CD ∴=- 734AOB ABC OD m m C S S D ∆∆∴==-= 4m ⇒=- 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.31．C【分析】利用已知条件得到O 为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到AOB C π∠=-，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，进而求出::A B C S S S 的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.【详解】如图，因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，所以()00OB OA OC OB CA ⋅-=⇒⋅=，同理0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=， 所以O 为ABC ∆的垂心。

第六章 6.4 6.4.3 第1课时A 级——基础过关练1．(2019年合肥调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝13，则b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．13【答案】A 【解析】由余弦定理知(13)2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b ＝1.故选A ．2．(2020年重庆月考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )2－c 2＝ab ，则角C ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C 【解析】∵(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又∵0<C <180°，∴C ＝120°.故选C ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形【答案】C 【解析】由c 2－a 2－b 22ab >0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A ．43B ．8－43C ．1D ．23【答案】A 【解析】由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.5．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．1<a <5 C ．3<a <5D ．不确定【答案】C 【解析】若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a < 5.若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2，即a 2>3，∴a > 3.故3<a < 5.6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.【答案】0 【解析】∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ，∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.7．(2020年上海月考)在△ABC 中，边a ，b ，c 满足a ＋b ＝6，∠C ＝120°，则边c 的最小值为________．【答案】33 【解析】a ＋b ＝6，∠C ＝120°，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b 时取等号．由余弦定理可得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝36－ab ≥36－9＝27，∴c ≥33，则边c 的最小值为3 3.8．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.【答案】4 【解析】因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4. 9．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解：由余弦定理的推论得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23.设所求的中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.所以所求中线长为7.10．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状． 解：因为b cos A ＝a cos B ， 所以b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac .所以b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2.所以a 2＝b 2，即a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形．B 级——能力提升练11．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是( ) A ．a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A B ．cos B ＝a 2＋c 2－b 22acC ．a ＝b cos C ＋c cos BD ．a cos B ＋b cos A ＝sin C【答案】ABC 【解析】在A 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故A 正确；在B 中，由余弦定理的推论得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，故B 正确；在C 中，a ＝b cos C ＋c cos B ⇔a＝b ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×a 2＋c 2－b 22ac ⇔2a 2＝2a 2，故C 正确；在D 中，a cos B ＋b cos A ＝a ×a 2＋c 2－b 22ac ＋b ×b 2＋c 2－a 22bc＝c ≠sin C ，故D 错误．故选ABC ．12．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,7)B ．(1,5)C ．(7，5)D ．(3，5)【答案】C 【解析】∵b ＝3，c ＝4，且△ABC 是锐角三角形，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，且cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0.∴7<a 2<25，∴7<a <5.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．不能确定【答案】A 【解析】在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .因为c ＝2a ，所以2a 2＝a 2＋b 2＋ab .所以a 2－b 2＝ab >0.所以a 2>b 2，所以a >b .14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，且b 2＋c 2＝3＋bc ，则角A 的大小为________．【答案】60° 【解析】∵a ＝3，且b 2＋c 2＝3＋bc .∴b 2＋c 2＝a 2＋bc .∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°.15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2<c 2，且sin C ＝32，则C ＝________.【答案】2π3 【解析】因为a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C >π2.又因为sinC ＝32，所以C ＝2π3. 16．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1,2cos C ＋c ＝2b ，则角A ＝________，△ABC 的周长的取值范围是________．【答案】π3 (2,3] 【解析】a ＝1,2cos C ＋c ＝2b ，∴2×1＋b 2－c 22b ＋c ＝2b ，整理可得，b 2＋c 2－1＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵b 2＋c 2－1＝bc ，∴(b ＋c )2＝3bc ＋1≤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＋1.∴b ＋c ≤2.∵b ＋c ＞a ＝1，∴2<a ＋b ＋c ≤3，即周长范围为(2,3]．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A ·cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －122＋14.又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b <1. 18．如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝120°，CD ∥AO ，OD ＝100，CD ＝150，求该扇形的半径．解：连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°，因此由余弦定理，得OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ×CD ×cos ∠ODC ，即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507.所以该扇形的半径为507.C 级——探索创新练19．如图，角A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角． (1)求证：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝π，AB ＝6，AD ＝5，CD ＝4，BC ＝3，求tan A 2＋tan C2的值．(1)证明：tan A2＝sinA 2cos A 2＝sin A 2sin A 2cos A 2sin A 2＝2sin 2A2sin A ＝1－cos A sin A.(2)解：连接BD ，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝61－60cos A ．在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝25－24cos C ． ∵A ＋C ＝π，∴cos A ＝－cos C ，sin A ＝sin C ． ∴61－60cos A ＝25＋24cos A ，解得cos A ＝37.∴sin A ＝1－cos 2A ＝2107. 由(1)结论可知tan A 2＋tan C 2＝1－cos A sin A ＋1－cos C sin C ＝2sin A ＝71010.。

高中数学平面向量习题五篇篇一：高中数学平面向量练习题一．填空题。

1． +++等于________．2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v=（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。

1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角； （3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a=(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b=(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 （2）求|a －b|的取值范围3．已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb(t∈R)的模取最小值时，（1）求t的值（2）已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直4. 设向量)2,11,3(-=，向量垂直于向量，向量平行于，=(),试求OD=时+的坐标.OAOCOD,5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使.,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且 （1）试求函数关系式k=f （t ） （2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案1.2.（－3，－4）3.74.90°（21，321）．6.73．7.（－3，2）． 8.－2 9.1210.3111.0 12. 90° 13.2-14.51--或（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）． ∴ |2AB ＋|＝227)1(+-＝50．（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26，·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ②由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线∴33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -=∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a+tb)18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y OB OC OB OC y x OC ①又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y hx x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x .由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y . 解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即（2）由f(t)>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即篇二：高中数学平面向量习题及答案第二章 平面向量 一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．与共线 B ．与共线 C ．与相等 D ．与相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若＝，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C 满足，其中R 1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是( )．A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C)，则＝( )．(第1题)A ．λ(＋)，λ∈(0，1)B ．λ(＋)，λ∈(0，22) C ．λ(－)，λ∈(0，1)D ．λ(－BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋D ．＋7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，则向量a 的模为( )． A ．2B ．4C ．6D ．128．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，则点O 是△ABC 的( )． A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点9．在四边形ABCD 中，＝a ＋2b ，＝－4a －b ，C ＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )． A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形10．如图，梯形ABCD 中，|AD |＝|BC |，EF ∥AB ∥CD 则相等向量是( )． A ．AD 与BC B ．OA 与OB C ．AC 与BD D ．EO 与OF二、填空题11．已知向量OA ＝(k ，12)，OB ＝(4，5)，OC ＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点(第10题)共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，||＝4，||＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a ＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE(利用向量证明)．20．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b|的最大值．(第19题)参考答案 一、选择题 1．B解析：如图，与，与不平行，与共线反向． 2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若＝，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对． 3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)OA ＝(3)OB ＝(3)OAOB ＝(33)，∴ (x ，y)＝(33)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x1，由此得到答案为D ． 4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b2－2a ·b ＝0，∴ a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴ a 与b 的夹角是3π．(第1题)5．A解析：由平行四边形法则，＋＝，又＋＝，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵＝，∴＝＋＝＋．(第6题)7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴ |a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA,即OA·(OC－OB)＝0，故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，∴ O是△ABC的三条高的交点．9．C解析：∵AD＝＋＋C＝－8a－2b＝2BC，∴∥BC且||≠|BC|．∴四边形ABCD为梯形．10．D解析：AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量．二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k)＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32．12．－1．解析：∵ M(－1，3)，N(1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或 ∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ 3＝4，5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即⊥，∴·＝0， ∴ ·BC ＋BC ·CA ＋CA · ＝·＋· ＝CA ·(BC ＋) ＝－(CA )2＝－25．思路2：∵3＝4＝5，∴∠ABC ＝90°，∴ cos ∠CAB53，cos ∠BCA＝54．根据数积定义，结合图(右图)知·＝0，BC ·CAcos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴ ·＋·＋·＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0 m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ， ∴ ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．(第15题)D(第13题)解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)． ∵ AP ＝＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．＝(47，2)．解析：∵ A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点，∴ ＝21(＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点，(第18题)∴ F 是AD 的中点，∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． 19．证明：设＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b2－21a2＋43a ·b ．又AB ⊥，且，∴ a2＝b2，a ·b ＝0．∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos 3π－cos θsin 3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴ |2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b 终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第19题)篇三：平面向量练习题精心汇编选择题:1．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，=，=，=，则向量等于 （ ）A ．++B ．+-C ．-+D ．--2．已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a ab =+=则b等于( )（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）13．设a ，b 是两个非零向量．下列正确的是( ) A ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b|＝|a|－|b|C ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λ aD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b|＝|a|－|b|高☆考♂资♀源€网 4．已知→a ＝(sin θ，1＋cos θ)，→b ＝(1，1－cos θ)，其中θ∈(π，3π2)，则一定有 （ ）A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b | 5．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上,实数λ＝（ ） A ．52 B ．32C ．－52D ．－326. 已知∈Z k ，(,1),(2,4)==AB k AC ，若≤10AB ABC 是直角三角形的概率为（ ）A ．17B ．27C ．37D ．477.将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为( )Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭8.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足−→−=−→−PM AP 2,则()PA PB PC ⋅+等于( )（A ）49 （B ）43 （C ）43- (D) 49-9.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =10.△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b ,a= 1 ,b= 2, 则CD =（ ）（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b11．已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )A.[0,6π]B.[,]3ππC.2[,]33ππD.[,]6ππ12. 设非零向量a =)2,(x x ,)2,3(x b -=,且b a ,的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）（A ）)(0,∞- （B ）) ⎝⎛0,34 （C ）)(0,∞- ) ⎝⎛0,34（D ）⎝⎛⎪⎭⎫-∞-31, ) ⎝⎛-0,31 )⎝⎛∞+,3413.已知点O 、N 、P 在三角形ABC 所在平面内，且==,0=++NC NB NA ,则PB PA ∙=∙=∙则点O 、N 、P 依次是三角形ABC 的( )（A ）重心、外心、垂心 （B ）重心、外心、内心 （C ）外心、重心、垂心 （D ）外心、重心、内心14.设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b += 15.（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个填空题：16．四边形ABCD 中，()()()1,2,4,1,5,3AB BC CD ==--=--则四边形ABCD 的形状是17.已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____ 18.已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________19.若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA-=+-，则ABC的形状为_ ___20若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0P A B P C P ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为__21下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a bc b ⋅=⋅则a c =；⑥22a a=；⑦2a bba a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+。

高中数学试卷 代数——平面向量练习题一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．零向量没有方向B ．向量就是有向线段C ．只有零向量的模长等于0D ．单位向量都相等2．设D ，E 分别为 △ABC 两边 BC ， CA 的中点，则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ） A ．12AC⃗⃗⃗⃗⃗ B ．32AC⃗⃗⃗⃗⃗ C ．12AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．32AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3．平面向量a →与b →的夹角为2π3，|b →|=2，则|a →+b →|＝（ ）A ．√13B ．√37C ．7D ．34．化简 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．0⃗ C ．AC⃗⃗⃗⃗⃗ D ．DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 5．O 是锐角三角形ABC 的外心，由O 向边BC ，CA ，AB 引垂线，垂足分别是D ，E ，F ，给出下列命题：①OA →+OB →+OC →=0→； ②OD →+OE →+OF →=0→；③|OD →|：|OE →|：|OF →|=cosA ：cosB ：cosC ；④∃λ∈R ，使得AD →=λ(AB→|AB →|SINB +AC→|AC →|SINC )。

以上命题正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4；6．已知a ⃗ 和b ⃗ 为非零向量，且|2a +3b ⃗ |=|2a −3b ⃗ |，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π2D ．2π37．如图，在直三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，若 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则 A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ）A ．a ⃗ +b ⃗ −c ⃗B ．a ⃗ −b ⃗ +c ⃗C ．−a +b ⃗ +cD ．−a +b ⃗ −c8．已知向量a →=（1，﹣2），b →=（x ，2），若a →⊥b →，则|b →|=（ ）A ．√5B ．2√5C ．5D ．209．已知向量a →=(1，−1)，b →=(2，x ).若a →·b →=1，则x 的值是( )A ．1B ．12C ．−12D ．-110．已知点P 是曲线C ： x 24 ﹣y 2=1上的任意一点，直线l ：x=2与双曲线C 的渐近线交于A ，B 两点，若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μ OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，（λ，μ⊥R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A ．λ2+μ2≥ 12B ．λ2+μ2≥2C ．λ2+μ2≤ 12D ．λ2+μ2≤211．已知I 为⊥ABC 的内心，cosA= 78，若 AI ⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x+y 的最大值为（ ） A ．34B ．12C ．56D ．4512．以下四组向量能作为基底的是（ ） A ．e⃗ 1=(1,2),e ⃗ 2=(2,4) B ．e⃗ 1=(3,−1),e ⃗ 2=(−1,3) C ．e⃗ 1=(2,1),e ⃗ 2=(−2,−1) D ．e ⃗ 1=(12,0),e ⃗ 2=(3,0)13．若 a ⃗ =(x −4，x −3) ， b ⃗ =(3x −9，−3) ，且 a ⃗ ⊥b⃗ ，则 x 值为（ ） A ．3B ．5C ．3 或 5D ．−3 或 −5 14．若向量a →与b →不共线，a→·b →≠0，且c →=a →-(a →·a →a →·b→)b →，则向量a →与c →的夹角为（）A ．0B ．π6C ．π3D ．π215．棱长均为3的三棱锥 S −ABC ，若空间一点 P 满足 SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xSA ⃗⃗⃗⃗⃗ +ySB ⃗⃗⃗⃗⃗ +zSC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x +y +z =1) ，则 |SP|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ）A ．√6B ．√63C ．√36D ．116．在⊥ABC 中，⊥ABC ＝120°，AB ＝3，BC ＝1，D 是边AC 上的一点，则 BD⇀⋅AC ⇀ 的取值范围是（ ） A ．[−212,1]B ．[−52,212]C ．[0,1]D ．[−212,52]17．已知a →，b →，e →是平面向量，e →与a →是单位向量，且a →⊥e →，向量b →满足4b →2−8e →⋅b →+3=0，则|a →+b →|的最大值与最小值之和是（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4D ．2√5二、填空题18．已知点 A(1,3) ， B(4,−1) ，则与向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量的坐标为 . 19．已知向量 a →=(2，m)，b →=(1，−2) ，若 a →与 b →共线，则m = . 20．已知向量 a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为 θ ，且 (a +b ⃗ )⊥(a −b ⃗ ) ， |√3a +b ⃗ |=|2a −√3b⃗ | ，则 cosθ= .21．平面向量 a ⃗ ,b ⃗ 满足 |a |=√3 ， |b ⃗ |=√2 ， a ⃗ ⋅b ⃗ =−1 ，则 |a −2b ⃗ |= ． 22．已知 |a |=3 ， |b ⃗ |=2 ， (a +2b ⃗ )⋅(a −3b ⃗ )=−18 ，则 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为 ． 23．已知向量 a ⃗ =(2，−1，1) ， b ⃗ =(t ，2，−1) ， t ∈R ，若 a ⃗ ⊥b ⃗ ，则 t = . 24．已知向量 a ⃗ =(x ，1，−1) ， b ⃗ =(2，1，0) ， |a |=√2 ，则 a ⃗ ⋅b ⃗ = ． 25．已知过点 P （−1，1） 的直线 m 交 x 轴于点 A ，抛物线 x 2=y 上有一点 B 使 PA ⊥PB ，若 AB 是抛物线 x 2=y 的切线，则直线 m 的方程是 ．26．已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a |=3|b ⃗ |=3，若c ⇀=(2−2λ)a ⇀+3λb ⃗ (λ∈R)，且c ⃗ ⋅a ⃗⃗ |a ⃗⃗ |=c ⃗ ⋅b ⃗⃗ |b ⃗⃗ |，则cos⟨a ，3a −c ⟩的最小值为 .27．已知平面向量 a ⃗ =(1,2) ， b ⃗ =(4,2) ， c ⃗ =a ⃗ +mb⃗ (m ∈R) ，且 c ⃗ 与 a ⃗ 的夹角等于 c ⃗ 与 b ⃗ 的夹角，则 m = ．28．若向量 a ⇀，b ⇀ 满足 |a|⇀=|b ⇀|=2 ，且 a ⇀⋅(a ⇀−b ⇀)=2 ，则向量 a ⇀ 与 b ⇀ 的夹角为 . 29．各棱长都等于4的四面ABCD 中，设G 为BC 的中点，E 为⊥ACD 内的动点（含边界），且GE⊥平面ABD ，若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则| AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ．30．如图，在四棱柱 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 E 为 BD 的中点，若A 1E ⇀=xAA 1⇀+yAB ⇀+zAD ⇀ ，则 x +y +z = .31．已知向量 a ⇀ , b ⇀ 的夹角为 60° ， |a ⇀|=2 ， |b ⇀|=1 ，则 |a ⇀+3b⇀|= ． 32．在菱形ABCD 中， ∠BAD =2π3， AB =2 ，点M ，N 分别为BC ，CD 边上的点，且满足 |BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ． 33．已知平面直角坐标内定点 A(−1,0) ， B(1,0) ， M(4,0) ， N(0,4) 和动点 P(x 1,y 1) ， Q(x 2,y 2) ，若 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1 ， OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−t)OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(12+t)ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O 为坐标原点，则 |QP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值是 ．34．在⊥ABC 中，若（ CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）• AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 35 | AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则 tanA tanB= ． 三、解答题35．已知向量 a ⇀=(3,2) ， b ⇀=(−1,2) .（1）求 |a ⇀−2b⇀| 的值； （2）若 3a ⇀−b ⇀ 与 a ⇀+kb ⇀ 共线，求实数k 的值. 36．已知向量 a⃗ =(1,0) ， b ⃗ =(−1,2) . （1）求 2a +b⃗ 的坐标； （2）求 a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ ) . 37．已知向量 a ⇀ ， b ⇀ ， c ⇀ ，求作 a ⇀−b ⇀+c ⇀ 和 a ⇀−(b ⇀−c ⇀) .38．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ⃗⃗⃗ =(a ，√3b)，n ⃗ =(cosA ，sinB)，且m⃗⃗⃗ //n ⃗ ． （1）求角A ；（2）若a =2，△ABC 的面积为√3，求b 、c ．39．如图，在△OAB 中，G 为中线OM 上一点，且OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，过点G 的直线与边OA ，OB 分别交于点P ，Q .（1）用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =nOQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求n 的值. 40．在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a ⃗ =(1,−√3) ， b ⃗ =(sinx,cosx) ， x ∈(0,π2) . （1）若 a ⃗ ⊥b⃗ ，求 tan2x 的值： （2）若 a⃗ 与 b ⃗ 的夹角为 2π3 ，求 x 的值. 41．已知向量 a ⃗ =(2，1)，b⃗ =(m ，2) . （1）若 a ⃗ +3b ⃗ 与 a ⃗ −b ⃗ 共线，求实数 m 的值； （2）若 (2a +b⃗ ) 与 a ⃗ 垂直，求 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角. 42．已知在⊥ABC 中，C=2A ， cosA =34，且2 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣27． （1）求cosB 的值； （2）求AC 的长度．43．已知向量 a ⃗ =（sinx ， 32 ）， b⃗ =（cosx ，﹣1）当 a ⃗ ⊥ b ⃗ 时，求 2sinx−cosx 4sinx+3cosx 的值． 44．已知向量 a⃗ =(1,0) ， b ⃗ =(−2,1) ． （1）若 ka −b ⃗ 与 a ⃗ +3b ⃗ 平行，求 k 的值； （2）若 ka −b⃗ 与 a ⃗ +3b ⃗ 垂直，求 k 的值． 45．已知曲线E 上的任意点到点F （1，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离小1．（⊥）求曲线E 的方程；（⊥）点D 的坐标为（2，0），若P 为曲线E 上的动点，求PD →•PF →的最小值；（⊥）设点A 为y 轴上异于原点的任意一点，过点A 作曲线E 的切线l ，直线x=3分别与直线l 及x 轴交于点M ，N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点A 在y 轴上运动（点A 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？请证明你的结论．46．已知过抛物线 y 2=8x 的焦点，斜率为 2√2 的直线交抛物线于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1<x 2)两点.（1）求线段 AB 的长度；（2）O 为坐标原点, C 为抛物线上一点，若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求 λ 的值． 47．已知两个非零向量 e 1⇀,e 2⇀ 不共线，如果 AB ⇀=2e 1⇀+3e 2⇀, BC ⇀=4e 1⇀+13e 2⇀,CD ⇀=2e 1⇀−4e 2⇀ ，（1）求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若 |e 1⇀|=|e 2⇀|=1 ，且 |AB ⇀|=√13 ，求向量 e 1⇀,e 2⇀ 的夹角． 48．设函数 f(x)=a ⋅b ⃗ 其中向量a =(2cosx,1),b ⃗ =(cosx,√3sin2x),x ∈R （1）求函数f （x ）的单调减区间；（2）若 x ∈[−π4,0] ，求函数f （x ）的值域．49．如图，已知点G 是△ABC 的重心，点P 是△GBC 内一点（包括边界），设AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ .（1）试用a ⃗ ，b ⃗ 表示AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ |； （2）若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa⃗ +μb ⃗ ，求λ+μ的取值范围. 50．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆 C ：x 2a 2+y 2b2=1 经过点 (b ，2ca ) ，且 a 2=8 经过点 T(1，0) 作斜率为 k(k >0) 的直线 l 交椭圆C 与A 、B 两点(A 在x 轴下方).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆于点M 、N ，求|AT|⋅|BT||MN|2 的值； （3）记直线 l 与y 轴的交点为P ，若 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25TB ⃗⃗⃗⃗⃗，求直线 l 的斜率k 的值.51．已知椭圆 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的离心率为 √22 ，右焦点为 F(1,0) ，直线l 经过点F ，且与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程；（2）当直线l 绕点F 转动时，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数?若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】C【知识点】向量的几何表示；零向量；单位向量【解析】【解答】零向量的方向是任意的，A 选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，B 选项错误； 只有零向量的模长等于0，C 选项正确；单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，D 选项错误. 故答案为： C .【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.2．【答案】D【知识点】向量数乘的运算及其几何意义；向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】因为D ，E 分别为 BC ， CA 的中点， 所以 AD⇀+EB ⇀=AD ⇀−BE ⇀=12(AB ⇀+AC ⇀)−12(BA ⇀+BC ⇀) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32AB⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故答案为：D ．【分析】利用向量的数乘和线性运算即可求解。

1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么下列说法正确的是________(填序号)． ①若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0；②空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)； ③对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内；④对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对． 答案 ①2．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 答案 0解析 因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝⎛⎭⎫－23＝0. 3．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．4．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2 θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2 θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． 答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________． 答案 (1)45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)(2)如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为________．答案 (1)－23e 1＋512e 2 (2)13解析 (1)如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.(2)易知AG →＝13AB →＋13AC →，MN →＝－xAB →＋yAC →，故MG →＝⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →.由于MG →与MN →共线，所以⎝⎛⎭⎫13－x y ＝－13x ， 即xy ＝13(x ＋y )，因此xy x ＋y ＝13.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝________. (2)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为__________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎫－133，－43 (2)⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为__________．(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________.答案 (1)(5,14) (2)(－6,21)解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.(2)BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________． 答案 (1)(－4，－8) (2)(2,4)解析 (1)由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ， 得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 命题点2 利用向量共线求参数例4 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 答案 －54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－54.命题点3 求交点坐标例5 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 答案 (3,3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)． 又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)． 方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________．答案3＋222解析 由题意得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思维点拨 可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A ，B 的坐标，用三角函数表示出点C 的坐标，最后转化为三角函数求最值． 规范解答解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[11分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]温馨提醒 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．[方法与技巧]1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值． [失误与防范]1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________． 答案 ①③解析 ①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.答案 (－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)． 3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________. 答案 12a －32b解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________. 答案 12解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.5．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________．答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn＝3. 6．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.答案 2解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.7．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．答案 (－2，－4)解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)， 从而CD →＝(－2，－4)．8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________． 答案 m ≠54解析 由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54. 9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0， 故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11．在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案 34解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →， ∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →.∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC → (0<x <1)． ∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →. ∵CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →， 且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →＝t ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →. ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34. 12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为________．答案 －12解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12. 13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________．答案 16解析 由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为OP ＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.14．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连结AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.15．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

必修4--平面向量基础练习题1．下列向量中，与向量c=(2,3)共线的一个向量p是(3,2)。

2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式①BC+CD+EC；②2BC+DC；③FE+ED；④2ED-FA中，与AC等价有2个。

4．若向量BA=(2,3)，CA=(4,7)，则BC=(-2,-4)。

5．已知a、b是两个单位向量，下列四个命题中正确的是C.a·b=1.6．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，.7．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则OA+OB+OC+OD=4OM。

8．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC=5e1，DC=3e2，则OC=(5e1+3e2)/2.9．对于菱形ABCD，给出下列各式：①BC=AB；②|BC|=|AB|；③|AB-CD|=|AD+BC|；④|AC|2+|BD|2=4|AB|2.其中正确的有3个。

10．在ABCD中，设AB=a，AD=b，AC=c，BD=d，则下列等式中不正确的是B．a-b=d。

11．已知向量a与b反向，下列等式中成立的是D．|a|+|b|=|a+b|。

12．与向量d=(12,5)平行的单位向量为(12/13,5/13)。

13．已知向量a=(1,2)，b=(3,1)，则b-a=(2,-1)。

14.已知向量$a=(x+3,x^2-3x-4)$与向量$AB$相等，其中$A(1,2),B(3,2)$，则$x=2$。

15.设$a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)$，则$b-a$的最小值是$1$。

16.在菱形$ABCD$中，$\angle DAB=120^\circ$，则以下说法错误的是：B.与$AB$的模相等的向量有$9$个（不含$AB$）。

17.已知向量$a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7)$，若$a-c\parallel b$，则$k=5$。

18.给出下列结论：①若$a\neq 0,a\cdot b=0$，则$b\perp a$；②若$a\cdot b=b\cdot c$，则$a=c$；③$a\times b\cdot c=a\cdotb\times c$；④$a\times (b\times c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c$；⑤若$a+b=a-b$，则$a\perp b$。

平面向量练习题大全及答案平面向量练习题大全及答案平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理等领域。

通过练习平面向量的题目，可以帮助我们巩固和深化对平面向量的理解。

本文将为大家提供一些平面向量的练习题，并给出详细的答案解析。

一、基础练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的和。

解析：向量的和等于对应分量相加，所以a + b = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的差。

解析：向量的差等于对应分量相减，所以a - b = (3 - 5, -2 - 1) = (-2, -3)。

3. 已知向量a = (4, 5)，求向量a的模长。

解析：向量的模长等于各分量平方和的平方根，所以|a| = √(4^2 + 5^2) =√(16 + 25) = √41。

4. 已知向量a = (3, -2)，求向量a的单位向量。

解析：向量的单位向量等于将向量除以其模长，所以a的单位向量为a/|a| = (3/√41, -2/√41)。

二、综合练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量的数量积等于对应分量相乘再相加，所以a·b = 2*(-1) + 3*4 = -2 + 12 = 10。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的向量积。

解析：向量的向量积等于两个向量的模长乘以它们夹角的正弦值，所以a×b =|a|*|b|*sinθ，其中θ为a和b的夹角。

首先计算|a|和|b|：|a| = √(3^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13，|b| = √(5^2 +1^2) = √(25 + 1) = √26。

然后计算夹角θ的正弦值：sinθ = |a×b|/(|a|*|b|)，其中|a×b|为向量a×b的模长。

平面向量与解析几何练习题解析几何是现代数学的重要分支之一，其研究对象是空间中的点、向量和几何对象的性质与关系。

而平面向量作为解析几何的基础，具有重要的应用价值。

下面将通过一些练习题，来巩固和应用平面向量与解析几何的知识。

一、证明题1. 证明平面上一点A（x1，y1）到直线Ax+By+C=0的距离为：d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)。

2. 证明向量AB与向量AC的夹角满足：cos∠BAC=(AB·AC)/(|AB|·|AC|)。

二、计算题1. 已知A(2, 1), B(5, -3)，求向量AB。

2. 已知向量a(3, 4)，b(-2, 1)和c(5, -2)，求向量a+b-c的模。

3. 设向量a=(3, -2)，b=(-1, 5)，求向量a·b和|a×b|。

4. 已知向量a=(1, 2)，b=(-3, 4)，求向量a+b和向量a-b的模。

三、综合应用题1. 已知三角形ABC，点A(1, 2), B(4, 3)，C(2, -1)，求AB和AC的单位向量。

2. 已知平面内一三角形ABC，点A(-1, 4), B(3, -2)，C(x, y)，若三角形ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标。

3. 设平面向量a与b的模分别为3和4，且∠(a, b)=π/3，求其数量积a·b。

4. 在平面内，设单位向量a、b满足a·b=0，向量c=2a-3b，求向量c 的模和c与向量a的夹角。

通过以上的练习题，我们对平面向量和解析几何的相关知识进行了巩固和应用。

解析几何在数学中具有重要的地位，通过深入学习和练习，我们可以更好地理解和应用解析几何在实际问题中的解决方法。

希望通过对这些题目的学习，能够进一步提升解析几何的能力，为今后的学习和工作打下坚实的基础。