2023年中考数学一轮专题练习 ——图形的相似3一、单选题（本大题共11小题）1. （云南省2022年）如图，在ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点，设ABC的面积为S 1，EBD 的面积为S 2．则21S S =（ ）A ．12 B ．14 C ．34 D ．782. （广西百色市2022年）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1 3. （广西贺州市2022年）如图，在ABC 中，25DE BC DE BC ==∥，，，则:ADE ABC S S 的值是（ ）A ．325B ．425C ．25D ．35 4. （广西贺州市2022年）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm5. （广西梧州市2022年）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形''''A B C D ﹐已知'13OAOA ，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形''''A B C D 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．186. （贵州省毕节市2022年）矩形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，将ABE △沿AE 折叠得到AFE △，连接CF ．若4AB =，6BC =，则CF 的长是（ ）A ．3B ．175C ．72D ．1857. （贵州省贵阳市2022年）如图，在ABC 中，D 是边上的点，，，则与的周长比是（）AB B ACD ∠=∠:1:2AC AB =ADC ACB △A ．B ．C ． D．8. （海南省2022年）如图，点(0,3)(1,0)A B 、，将线段AB 平移得到线段DC ，若90,2ABCBC AB ∠=︒=，则点D 的坐标是（ ）A ．(7,2)B ．(7,5)C ．(5,6)D ．(6,5)9. （浙江省金华市2022年）如图是一张矩形纸片ABCD ，点E 为AD 中点，点F 在BC 上，把该纸片沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A B A E '''，，与BC 相交于点G ，B A ''的延长线过点C ．若23BF GC =，则AD AB的值为（ ）A ．B ．C ．207D ．8310. （黑龙江省哈尔滨市2022年）如图，相交于点E ，，则的长为（ ）A ．32B ．4C ．D ．611. （黑龙江省省龙东地区2022年）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -=；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ） 1:21:31:4,,AB CD AC BD ∥1,2,3AE EC DE ===BD 92A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤二、填空题（本大题共11小题）12. （浙江省湖州市2022年）如图，已知在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE BC ∥，13AD AB =．若DE ＝2，则BC 的长是 ．13. （浙江省温州市2022年）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片,OA OB ，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ，测得8.5m,13m MC CD ==，垂直于地面的木棒EF 与影子FG 的比为2∶3，则点O ，M 之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．14. （北京市2022年）如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为 ．15. （江苏省泰州市2022年）如图上，Δ,90,8,6,ABC C AC BC ∠===中O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB 相交于D 、E ，若DE=CD+BE ，则线段CD 的长为 .16. （山东省潍坊市2022年）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ''''，若:2:1A B AB =''，则四边形A B C D ''''的外接圆的周长为 ．17. （陕西省2022年）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即2BE AE AB =⋅．已知AB 为2米，则线段BE 的长为 米．18. （浙江省丽水市2022年）一副三角板按图1放置，O 是边()BC DF 的中点，12cm BC =．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60︒，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是 cm ．ABCD19. （浙江省杭州市2022年）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆DE 直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC =8.72m ，EF =2.18m ．已知B ，C ，E ，F 在同一直线上，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，DE =2.47m ，则AB = m ．20. （黑龙江省省龙东地区2022年）在矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点E 在边CD 上，且4CE =，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE 是直角三角形，则BP 的长为 ．21. （江苏省宿迁市2022年）如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，某一时刻，动点E 从点M 出发，沿MA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时，动点F 从点N 出发，沿NC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF ，过点B 作EF 的垂线，垂足为H ．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 ．22. （安徽省2022年）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 在边AD 上，△BEF 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，EF ，BF 分别交CD 于点M ，N ，过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点G ．连接DF ，请完成下列问题：H（1）FDG ∠= °；（2）若1DE =，DF =MN = ．三、解答题（本大题共8小题）23. （湖南省常德市2022年）在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．(1)当四边形ABCD 是矩形时，如图，求证：①GE GD =；②BO GD GO FC ⋅=⋅．(2)当四边形ABCD 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．24. （湖北省武汉市2022年）问题提出：如图（1），ABC 中，AB AC =，D 是AC 的中点，延长BC 至点E ，使DE DB =，延长ED 交AB 于点F ，探究AF AB的值．(1)先将问题特殊化．如图（2），当60BAC ∠=︒时，直接写出AF AB的值； (2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在ABC 中，AB AC =，D 是AC 的中点，G 是边BC 上一点，()12CG n BC n=<，延长BC 至点E ，使DE DG =，延长ED 交AB 于点F ．直接写出AF AB的值（用含n 的式子表示）． 25. （甘肃省金昌市2022年）如图，AB 是O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，过O 上一点E 作直线DC ，分别交AM 、BN 于点D 、C ，且DA ＝DE ．（1）求证：直线CD 是O 的切线；（2）求证：2OA DE CE =⋅26. （湖北省宜昌市2022年）已知菱形ABCD 中，E 是边AB 的中点，F 是边AD 上一点．(1)如图1，连接CE ，CF ．CE AB ⊥，CF AD ⊥．①求证：CE CF =；②若2AE =，求CE 的长；(2)如图2，连接CE ，EF ．若3AE =，24EF AF ==，求CE 的长．27. （浙江省温州市2022年）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE CD ⊥，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知5,3BC BE ==．点P ，Q 分别在线段AB BE ,上（不与端点重合），且满足54AP BQ =．设,BQ x CP y ==．(1)求半圆O 的半径．(2)求y 关于x 的函数表达式．(3)如图2，过点P 作PR CE ⊥于点R ，连结,PQ RQ ．①当PQR 为直角三角形时，求x 的值．②作点F 关于QR 的对称点F '，当点F '落在BC 上时，求CF BF ''的值． 28. （江苏省泰州市2022年）已知：△ABC 中，D 为BC 边上的一点.(1)如图①，过点D 作DE ∥AB 交AC 边于点E ，若AB =5，BD =9，DC =6，求DE 的长；(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC 边上做点F ，使∠DFA =∠A ；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图③，点F 在AC 边上，连接BF 、DF ，若∠DFA =∠A ，△FBC 的面积等于12CD AB •，以FD 为半径作⊙F ，试判断直线BC 与⊙F 的位置关系，并说明理由. 29. （江苏省苏州市2022年）（1）如图1，在△ABC 中，2ACB B ∠=∠，CD 平分ACB ∠，交AB 于点D ，DE //AC ，交BC 于点E ．①若1DE =，32BD =，求BC 的长； ②试探究AB BE AD DE-是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，CBG ∠和BCF ∠是△ABC 的2个外角，2BCF CBG ∠=∠，CD 平分BCF ∠，交AB 的延长线于点D ，DE //AC ，交CB 的延长线于点E ．记△ACD 的面积为1S ，△CDE 的面积为2S ，△BDE 的面积为3S ．若2132916S S S ⋅=，求cos CBD ∠的值．30. （浙江省湖州市2022年）已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a ，b 分别表示∠A ，∠B 的对边，a b >．记△ABC 的面积为S ．(1)如图1，分别以AC ，CB 为边向形外作正方形ACDE 和正方形BGF C ．记正方形ACDE 的面积为1S ，正方形BGFC 的面积为2S ．①若19S =，216S =，求S 的值；②延长EA 交GB 的延长线于点N ，连结FN ，交BC 于点M ，交AB 于点H ．若FH ⊥AB （如图2所示），求证：212S S S -=．(2)如图3，分别以AC ，CB 为边向形外作等边三角形ACD 和等边三角形CBE ，记等边三角形ACD 的面积为1S ，等边三角形CBE 的面积为2S ．以AB 为边向上作等边三角形ABF （点C 在△ABF 内），连结EF ，CF ．若EF ⊥CF ，试探索21S S 与S 之间的等量关系，并说明理由．参考答案1. 【答案】B【分析】先判定EBD ABC ，得到相似比为12，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可．【详解】解：∵D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点， ∴12BE BD AB BC ==， 又∵B B ∠=∠， ∴EBD ABC ，相似比为12， ∴22114S BE S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故选：B ．2. 【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．【详解】∵△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为1：9，故选：C ．3. 【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADE ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：25DE BC DE BC ==∥，，∴ADE ABC ， ∴2224525ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B ．4. 【答案】B【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ，可得CD =DE ，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm 3，圆锥的体积为72πcm 3，设此时“沙漏”中液体的高度AD =x cm ，则DE =CD =（6-x ）cm ，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：如图，作圆锥的高AC ，在BC 上取点E ，过点E 作DE ⊥AC 于点D ，则AB =6cm ，AC =6cm ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴△CDE 为等腰直角三角形，∴CD =DE ，圆柱体内液体的体积为：圆锥的体积为， 设此时“沙漏”中液体的高度AD =x cm ，则DE =CD =（6-x ）cm ，∴， ∴，解得：x =3，即此时“沙漏”中液体的高度3cm ．故选：B ．5. 【答案】D【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：由题意可知，四边形与四边形相似，由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：， 又四边形的面积是2，∴四边形的面积为18，故选：D ．6. 【答案】D【分析】 连接BF 交AE 于点G ，根据对称的性质，可得AE 垂直平分BF ，BE =FE ，BG =FG =12BF ，根据E 为BC 中点，可证BE =CE =EF ，通过等边对等角可证明∠BFC =90°，利233763cm ππ⨯⨯=2316672cm 3ππ⨯⨯=21(6)(6)72633x x πππ⋅-⋅-=-3(6)27x -=ABCD ''''A B C D ''''22'1139ABCD A B C D S OA S OA ABCD ''''A B C D用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据FC=算即可．【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将ABE△沿AE折叠得到AFE△∴ABE△与AFE△关于AE对称∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12 BF∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=13 2BC=∴5 AE=∵sinBE BG BAEAE AB ∠==∴341255BE ABBGAE⋅⨯===∴1224 2225 BF BG==⨯=∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=18090 2︒=︒∴185FC故选 D7. 【答案】B【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解．【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，12AC AD CDAB AC BC===12AC AD CDAB AC BC++=++AC AD CDAB AC BC==∵， ∴， ∴， ∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．8. 【答案】D【分析】先过点C 做出轴垂线段CE ，根据相似三角形找出点C 的坐标，再根据平移的性质计算出对应D 点的坐标．【详解】如图过点C 作轴垂线，垂足为点E ，∵∴∵∴在和BCE ∆中，90ABO BCE AOB BEC =⎧⎨==︒⎩∠∠∠∠ ， ∴ABO BCE ∆∆∽，∴ ， 则 ,22EC OB ==∵点C 是由点B 向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∴点D 同样是由点A 向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∵点A 坐标为(0，3)，∴点D 坐标为(6，5)，选项D 符合题意，故答案选D9. 【答案】A【分析】12AC AB =12AC AD CD AB AC BC ===12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++x x 90ABC ∠=︒90ABO CBE ∠+∠=︒90CBE BCE +=︒∠ABO BCE ABO ∆12AB AO OB BC BE EC ===26BE AO ==令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，易证CGA CFB ''△∽△，得出CG A G CF B F'='，进而得出y =3x ，则AE =4x ，AD =8x ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，根据勾股定理得出EH=，最后求出AD AB的值． 【详解】解：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，又四边形ABCD 为矩形，∴∠A =∠B =∠D =∠BCD =90°，AD =BC ，∴四边形ABHE 和四边形CDEH 为矩形，∴AB =EH ，ED =CH ， ∵23BF GC =， ∴令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，则CF =3x +y ，2B F x '=，52x y A G -'=， 由题意，得==90CA G CB F ''︒∠∠，又为公共角，∴，∴， 则，整理，得，解得x =-y （舍去），y =3x ，∴AD =BC =5x +y =8x ，EG =3x ，HG =x ，在Rt △EGH 中EH 2+HG 2=EG 2，则EH 2+x 2=(3x )2，解得EH =， EH =-(舍)，∴AB =x ，∴．故选：A ．GCA '∠CGA CFB ''△∽△CG AG CF B F'='53232x yx x y x-=+()()30x y x y +-=AD AB ==10. 【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE 的长，即可求得BD 的长．【详解】∵∴∴ ∵， ∴∵∴ 故选：C ．11. 【答案】B【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明得到EC =FD ，再证明得到∠EAC =∠FBD ，从而证明∠BPQ =∠AOQ =90°，即；②通过等弦对等角可证明；③通过正切定义得，利用合比性质变形得到，再通过证明AOP AEC ∽得到OP AE CE AO ⋅=，代入前式得OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅，最后根据三角形面积公式得到AE BP AB BE ⋅=⋅，整体代入即可证得结论正确；④作EG ⊥AC 于点G 可得EG ∥BO ，根据tan EG EG CAE AG AC CG∠==-，设正方形边长为5a ，分别求出EG 、AC 、CG 的长，可求出3tan 7CAE ∠=，结论错误；⑤将四边形OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用()DOF COE ASA ≌，可证明S 四边形OECF =S △COE +S △COF = S △DOF +S △COF =S △COD 即可证明结论正确．【详解】①∵四边形ABCD 是正方形，O 是对角线AC 、BD 的交点，∴OC =OD ，OC ⊥OD ，∠ODF =∠OCE =45°∵OE OF ⊥∴∠DOF +∠FOC =∠FOC +∠EOC =90°∴∠DOF =∠EOC在△DOF 与△COE 中//AB CD ABE CDE ∽AE BE EC DE=1,2,3AE EC DE ===32BE =BD BE ED =+92BD =()DOF COE ASA ≌()EAC FBD SAS ≌AE BF ⊥45OPA OBA ∠=∠=︒tan BE BP BAE AB AP ∠==CE BP AP BP BE ⋅-=ODF OCE OC ODDOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DOF COE ASA ≌∴EC =FD∵在△EAC 与△FBD 中45EC FD ECA FDB AC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()EAC FBD SAS ≌∴∠EAC =∠FBD又∵∠BQP =∠AQO∴∠BPQ =∠AOQ =90°∴AE ⊥BF所以①正确；②∵∠AOB =∠APB =90°∴点P 、O 在以AB 为直径的圆上 ∴AO 是该圆的弦∴45OPA OBA ∠=∠=︒所以②正确； ③∵tan BE BP BAE AB AP ∠== ∴AB AP BE BP = ∴AB BE AP BP BE BP --= ∴AP BP CE BP BE-= ∴CE BP AP BP BE⋅-= ∵,45EAC OAP OPA ACE ∠=∠∠=∠=︒ ∴∴ ∴ ∴ ∵1122ABE AE BP AB BE S⋅=⋅= ∴AE BP AB BE ⋅=⋅∴OP AB BE AB AP BP OP AO BE AO⋅⋅-==⋅ 所以③正确；AOP AEC ∽OP AO CE AE =OP AE CE AO⋅=OP AE BP AP BP AO BE ⋅⋅-=⋅④作EG ⊥AC 于点G ，则EG ∥BO ， ∴EG CE CG OB BC OC== 设正方形边长为5a ，则BC =5a ，OB =OC， 若:2:3BE CE =，则23BE CE =， ∴233BE CE CE ++= ∴35CE BC =∴35CE EG OB BC =⋅= ∵EG ⊥AC ，∠ACB =45°，∴∠GEC =45°∴CG =EG∴3tan 7EG EG CAE AG AC CG ∠===- 所以④错误；⑤∵()DOF COE ASA ≌，S 四边形OECF =S △COE +S △COF ∴S 四边形OECF = S △DOF +S △COF = S △COD ∵S △COD =∴S 四边形OECF =所以⑤正确；综上，①②③⑤正确，④错误， 故选 B12. 【答案】6【分析】根据相似三角形的性质可得，再根据DE =2，进而得到BC 长． 【详解】 14ABCD S 正方形14ABCD S正方形13DE AD BC AB ==解：根据题意，∵，∴△ADE ∽△ABC ，∴， ∵DE ＝2， ∴， ∴；故答案为：6．13. 【答案】 10 ；10【分析】过点O 作AC 、BD 的平行线，交CD 于H ，过点O 作水平线OJ 交BD 于点J ，过点B 作BI ⊥OJ ，垂足为I ，延长MO ，使得OK ＝OB ，求出CH 的长度，根据23EF OM FG MH ==，求出OM 的长度，证明BIO JIB ∽，得出23BI IJ =，49OI IJ =，求出IJ 、BI 、OI 的长度，用勾股定理求出OB 的长，即可算出所求长度．【详解】如图，过点O 作AC 、BD 的平行线，交CD 于H ，过点O 作水平线OJ 交BD 于点J ，过点B 作BI ⊥OJ ，垂足为I ，延长MO ，使得OK ＝OB ，由题意可知，点O 是AB 的中点，∵OH AC BD ，∴点H 是CD 的中点，∵13m CD =， ∴1 6.5m 2CH HD CD ===， ∴8.5 6.515m MH MC CH =+=+=，又∵由题意可知：23EF OM FG MH ==， ∴2153OM =，解得10m =OM ， ∴点O 、M 之间的距离等于10m ，∵BI ⊥OJ ，∴90BIO BIJ ∠=∠=︒，∵由题意可知：90OBJ OBI JBI ∠=∠+∠=︒，又∵90BOI OBI ∠+∠=︒，∴BOI JBI ∠=∠，∴BIO JIB ∽，DE BC ∥13DE AD BC AB ==213BC =6BC =∴23BI OI IJ BI ==， ∴，， ∵， ∴四边形IHDJ 是平行四边形，∴，∵， ∴，，，∵在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴叶片外端离地面的最大高度等于，故答案为：10，14. 【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，∴14AE AF BC FC ==，4BC ==， ∴144AE =， ∴1AE =，故答案为：1．15. 【答案】2或##或2 23BI IJ =49OI IJ =,OJCD OH DJ 6.5m OJ HD ==4 6.5m 9OJ OI IJ IJ IJ =+=+=4.5m IJ =3m BI =2m OI =Rt OBI △222OB OI BI =+OB =OB OK ==(10m MK MO OK =+=(10m 101212【分析】分析判断出符合题意的DE 的情况，并求解即可；【详解】解：①如图，作，，连接OB ，则OD ⊥AC ，∵，∴∵O 为的内心，∴，∴∴，同理，，∴DE=CD+BE ，∵O 为的内心，∴，∴∴∴②如图，作，由①知，，，∵∴ ∴ ∴1061582AB AE AD AC ⋅⨯=== //DE BC OF BC OG AB ⊥⊥，//DE BC OBF BOE ∠=∠ABC ∆OBF OBE ∠=∠BOE OBE ∠=∠BE OE =CD OD=10AB =ABC ∆OF OD OG CD ===BF BG AD AG ==，6810AB BG AG BC CD AC CD CD CD =+=-+-=-+-=2CD =DE AB⊥4BE =6AE =ACB AED CAB EAD ∠=∠∠=∠，ABCADE ∆∆AB AD AC AE=∴151822CD AC AD =-=-=∵92DE == ∴19422DE BE CD =+=+= ∴12CD = 故答案为：2或12．16. 【答案】【分析】根据正方形ABCD 的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；【详解】解：正方形ABCD 的面积为4，，，，所求周长；故答案为：．17. 【答案】##【分析】根据点E 是AB 的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E 是AB 的黄金分割点，∴． ∵AB=2米，∴米．）．18. 【答案】3【分析】BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，根据锐角三角函数即可得DE ，FE ，根据旋转的性质得ONF △是直角三角形，根据直角三角形的性质得3ON =，即3NC =，根据角之间2AB =4A B ''=∴2AB =:2:1A B AB ''=∴4A B ''=∴A C ''==1)15AE BE BE AB ==AE BE BE AB ==1BE =）1的关系得CNG △是等腰直角三角形，即3NG NC ==cm ，根据90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒得FON FED △∽△，即ON FN DE DF=，解得FN = 【详解】解：如图所示，BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，在Rt EDF 中，12tan tan 60DF DE EDF ===∠︒12sin sin 60DF EF EDF ===∠︒∵△ABC 绕点O 顺时针旋转60°，∴60BOD NOF ∠=∠=︒，∴90NOF F ∠+∠=︒，∴18090FNO NOF F ∠=︒-∠-∠=︒，∴ONF △是直角三角形， ∴132ON OF ==（cm ）， ∴3NC OC ON =-=（cm ），∵90FNO ∠=︒，∴18090GNC FNO ∠=︒-∠=︒，∴NGC 是直角三角形，∴18045NGC GNC ACB ∠=-∠-∠=︒，∴CNG △是等腰直角三角形，∴3NG NC ==cm ，∵90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒，∴FON FED △∽△， 即ON FN DE DF=，12FN =，FN =∴3FG FN NG =-=（cm ），故答案为：3．19. 【答案】9.88【分析】根据平行投影得AC ∥DE ，可得∠ACB =∠DFE ，证明Rt △ABC ∽△Rt △DEF ，然后利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC =8.72m ，EF =2.18m ． ∴AC ∥DE ，∴∠ACB =∠DFE ，∵AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，∴∠ABC =∠DEF =90°，∴Rt △ABC ∽△Rt △DEF ，∴，即， 解得AB =9.88，∴旗杆的高度为9.88m ．故答案为：9.88．20. 【答案】313或154或6 【分析】分三种情况讨论：当∠APE =90°时，当∠AEP =90°时，当∠PAE =90°时，过点P 作PF ⊥DA 交DA 延长线于点F ，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，9AB CD ==，12AD BC ==，∠BAD =∠B =∠BCD =∠ADC =90°，如图，当∠APE =90°时，∴∠APB +∠CPE =90°，∵∠BAP +∠APB =90°，∴∠BAP =∠CPE ，∵∠B =∠C =90°，∴△ABP ∽△PCE ， ∴AB BP PC CE =，即9124BP BP =-， 解得：BP =6；如图，当∠AEP =90°时，AB BC DE EF =8.722.47 2.18AB=∴∠AED +∠PEC =90°，∵∠DAE +∠AED =90°，∴∠DAE =∠PEC ，∵∠C =∠D =90°，∴△ADE ∽△ECP ， ∴AD DE CE PC =，即12944PC-=， 解得：53PC =， ∴313BP BC PC =-=； 如图，当∠PAE =90°时，过点P 作PF ⊥DA 交DA 延长线于点F ，根据题意得∠BAF =∠ABP =∠F =90°，∴四边形ABPF 为矩形，∴PF =AB =9，AF =PB ，∵∠PAF +∠DAE =90°，∠PAF +∠APF =90°，∴∠DAE =∠APF ，∵∠F =∠D =90°，∴△APF ∽△EAD ， ∴AF PF DE AD =，即99412AF =-， 解得：154=AF ，即154PB =； 综上所述，BP 的长为313或154或6． 故答案为：313或154或621.【分析】根据题意知EF 在运动中始终与MN 交于点Q ，且 点H 在以BQ 为直径的上运动，运动路径长为的长，求出BQ 及的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．【详解】解：∵点、分别是边、的中点，连接MN ，则四边形ABNM 是矩形，∴MN =AB =6，AM =BN =AD ==4，根据题意知EF 在运动中始终与MN 交于点Q ，如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，∴ ∴ ∴ 当点E 与点A 重合时，则NF =， ∴BF =BN +NF =4+2=6，∴AB =BF =6∴是等腰直角三角形，∴∵BP ⊥AF ，∴由题意得，点H 在以BQ 为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ 中点O ，连接PO ，NO ，∴∠PON =90°，又∴， AQM FQN ∆∆，:1:2,NQ MQ =PN PN PN M N AD BC 12AQMFQN ∆∆，12NF NQ EM MQ ==123NQ MN ==122AM =ABF ∆45,AFB ∠=︒45PBF ∠=︒PN PN 90,BNQ ∠=︒BQ ===∴， ∴故答案为： 22. 【答案】 45 ；2615【分析】 （1）先证△ABE ≌△GEF ，得FG =AE =DG ，可知△DFG 是等腰直角三角形即可知FDG ∠度数．（2）先作FH ⊥CD 于H ，利用平行线分线段成比例求得MH ；再作MP ⊥DF 于P ，证△MPF ∽△NHF ,即可求得NH 的长度，MN =MH +NH 即可得解．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =90°，AB =AD ，∴∠ABE +∠AEB =90°，∵FG ⊥AG ，∴∠G =∠A =90°，∵△BEF 是等腰直角三角形，∴BE =FE ，∠BEF =90°，∴∠AEB +∠FEG =90°，∴∠FEG =∠EBA ，在△ABE 和△GEF 中，A G ABE GEF BE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△GEF （AAS ），∴AE =FG ，AB =GE ，在正方形ABCD 中，AB =ADAD GE ∴=∵AD =AE +DE ，EG =DE +DG ，∴AE =DG =FG ，∴∠FDG =∠DFG =45°．故填：45°．（2）如图，作FH ⊥CD 于H ，12ON OP OQ BQ ===PN∴∠FHD =90°∴四边形DGFH 是正方形，∴DH =FH =DG =2，∴AG FH , ∴=DE DM FH MH， ∴DM =23，MH =43， 作MP ⊥DF 于P ，∵∠MDP =∠DMP =45°，∴DP =MP ，∵DP 2+MP 2=DM 2，∴DP =MP=∴PF∵∠MFP +∠MFH =∠MFH +∠NFH =45°，∴∠MFP =∠NFH ，∵∠MPF =∠NHF =90°，∴△MPF ∽△NHF , ∴=MP PF NH HF，即=NH 332， ∴NH =25， ∴MN =MH +NH =43+25=2615． 故填： 2615． 23. 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）①证明ADG AEG ≌△即可；②连接BG ，CG ，证明ADG BCG ≌△，BOE GOC ∽△△即可证明；（2）①的结论和（1）中证明一样，证明ADG AEG ≌△即可；②的结论，作DM BC GM ⊥，连接，证明BOE GOM ∽△△即可．(1)证明：①证明过程：四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒AF 平分BAD ∠45BAF DAF ∴∠=∠=︒ABF ∴为等腰直角三角形AB BF ∴=BE FC =AB BE BF CF AE BC AD ∴+=+==，即AG AG =∴ADG AEG ≌△∴GE GD =②证明：连接BG ，CG ，G 为AF 的中点，四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD AD BC ∴∠=∠=︒=，BG AG FG ∴==AF 平分BAD ABF ∠，为等腰直角三角形，45BAF DAF ABG CBG ∴∠=∠=︒=∠=∠∴ADG BCG ≌△∴ADG BCG ∠=∠ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠E BCG ∴∠=∠BOE GOC ∠=∠BOE GOC ∴∽△△BO GO GO BO BE GC GD CF∴=== ∴BO GD GO FC ⋅=⋅ (2)作DM BC BC M GM GN DM DM N ⊥⊥交于，连接，作交于点，如图所示90DMB GNM GND DMC ∴∠=︒=∠=∠=∠由（1）同理可证：ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠四边形ABCD 为平行四边形AD BC ∴∥90ADM DMC ∴∠=∠=︒BC GN AD ∴∥∥G 为AF 的中点，由平行线分线段成比例可得DN MN =DG MG ∴=，,GDM GMDADG BMG EBOE GOM ∠=∠BOE GOM ∴∽△△BO GO GO BO BE GM GD CF∴=== ∴BO GD GO FC ⋅=⋅ 24. 【答案】(1)[问题提出]（1）14；（2）见解析 (2)[问题拓展]24n - 【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得30ADF ADB ∠=∠=︒，90AFD ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，可得111,222AF AD AD AC AB ===，即可求解； （2）取BC 的中点H ，连接DH ．证明DBH DEC △≌△，可得BH EC =，根据DH AB ∥，证明EDH EFB △∽△，根据相似三角形的性质可得32FB EB DH EH ==，进而可得14AF AB =；[问题拓展]方法同（2）证明DBH DEC△≌△，得出，GH EC，证明EDH EFB△∽△，得到2+2FB EB nDH EH==，进而可得AFAB=24n-．(1)[问题探究]：（1）如图，ABC中，AB AC=，D是AC的中点，60BAC∠=︒，ABC∴是等边三角形，12AD AB=30ABD DBE∴∠=∠=︒，60A∠=︒，DB DE∴=，30E DBE∴∠=∠=︒，180120DCE ACB∠=︒-∠=︒，18030ADF CDE E DCE∴∠=∠=︒-∠-∠=︒，60A∠=︒，90AFD∴∠=︒，12AF AD∴=，1124ADAFAB AB∴==．（2）证明：取BC的中点H，连接DH．∵D是AC的中点，∴DH AB∥，12DH AB=．∵AB AC=，∴DH DC=，∴DHC DCH ∠=∠．∵BD DE =，∴DBH DEC ∠=∠．∴BDH EDC ∠=∠．∴DBH DEC △≌△．∴BH EC =． ∴32EB EH =． ∵DH AB ∥，∴EDH EFB △∽△． ∴32FB EB DH EH ==． ∴34FB AB =． ∴14AF AB =． (2)[问题拓展]如图，取BC 的中点H ，连接DH ．∵D 是AC 的中点，∴DH AB ∥，12DH AB =． ∵AB AC =，∴DH DC =，∴DHC DCH ∠=∠．∵DE DG =，∴DGH DEC ∠=∠．∴GDH EDC ∠=∠．∴DGH DEC ≌．∴GH EC ． HE CG ∴=()12CG nBC n=<BC nCG ∴=()1BG n CG ∴=-，()1111222n CE GH BC BG nCG n CG CG ⎛⎫==-=--=- ⎪⎝⎭∴1221+22nCG EB BC CE n n EH EH n C CG G ⎛⎫-+++==== ⎪⎝⎭． ∵DH AB ∥，∴EDH EFB △∽△． ∴2+2FB EB n DH EH ==． ∴24FB n AB +=． ∴42244AF n n AB ---==． ∴AF AB =24n -． 25. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OD ，OE ，证明△OAD ≌△OED ，得∠OAD=∠OED=90°，进而得CD 是切线；（2）连接OC ，得AM ∥BN ，得,DEOOEC ∆∆，再证明2.OE DE CE =•，进而得出结论2.OA DE CE =•．【详解】解(1)如图,连接,OE OD 、 DA 是O 的切线，90OAD ︒∠= 在AOD ∆和EOD ∆中, , ,,OA OE DA DE OD OD ===()AOD EOD SSS ∴∆∆≌90,OAD OED ︒∴∠=∠=,OE CD ∴⊥CD ∴是O 的切线.(2)连接,OC AM BN DC 、、是O 的切线，90OAD OBC DEO OEC ︒∴∠=∠=∠=∠=//,AM BN ∴180ADE BCE ︒∴∠+∠=又AM BN DC 、、是O 的切线，CE CB ∴=,OD 平分,ADE OC ∠平分, .BCE ∠()111809022ODE OCE ADE BCE ︒︒∴∠+∠=∠+∠=⨯=又90ODE DOE ︒∠+∠=,OCE DOE ∴∠=∠又90DEO OEC ︒∠=∠=,,DEO OEC ∴∆∆OE DE CE OE∴= 2.OE DE CE ∴=•又,OA OE =2.OA DE CE ∴=•26. 【答案】(1)①见解析；②CE =(2)6EC =【分析】（1）①根据AAS 可证得：BEC DFC ≌△△，即可得出结论； ②连接AC ，可证得ABC是等边三角形，即可求出CE =（2）延长FE 交的延长线于点，根据可证得，可得出，，，则，即可证得，即可得出的长． (1)（1）①∵，，∴，∵四边形是菱形，∴，，∴()BEC DFC AAS ≌，∴CE CF =.②如图，连接AC .∵E 是边AB 的中点，CE AB ⊥，∴BC AC =，又由菱形ABCD ，得BC AB =，∴ABC 是等边三角形，∴60EAC ∠=︒，CB M AAS AEF BEM ≌4ME =2BM =8MC =MB ME =12ME MC =MEB MCE △∽△EC CE AB ⊥CF AD ⊥90BEC DFC ∠=∠=︒ABCD B D ∠=∠BC CD =在Rt AEC 中，2AE =，∴tan 60EC AE =︒=∴CE =(2)如图，延长FE 交CB 的延长线于点M ，由菱形ABCD ，得AD BC ∥，AB BC =，∴AFE M ∠=∠，A EBM ∠=∠，∵E 是边AB 的中点，∴AE BE =，∴()AEF BEM AAS △≌△，∴=ME EF ，MB AF =，∵3AE =，24EF AF ==，∴4ME =，2BM =，3BE =，∴26BC AB AE ===，∴8MC =， ∴2142MB ME ==，4182ME MC ==， ∴MB ME ME MC=，而M ∠为公共角. ∴MEB MCE △∽△， ∴24BE MB EC ME ==， 又∵3BE =，∴6EC =.27. 【答案】(1)(2) (3)①或；② 【分析】 （1）连接OD ，设半径为r ，利用，得，代入计算即可； （2）根据CP =AP 十AC ，用含x 的代数式表示 AP 的长，再由（1）计算求AC 的长即可；（3）①显然，所以分两种情形，当 时，则四边形RPQE 是矩形，当 ∠PQR ＝90°时，过点P 作PH ⊥BE 于点H ， 则四边形PHER 是矩形，分别根据图形可得答案；②连接，由对称可知，利用三角函数表示出和BF 的长度，从而解决问题．(1)解：如图1，连结．设半圆O 的半径为r ．∵切半圆O 于点D ，∴．∵，∴，∴，∴， 即， ∴，即半圆O 的半径是． (2) 由（1）得：． 1585544y x =+972111199△∽△COD CBE OD CO BE CB =90PRQ ∠<︒90RPQ ∠=︒,AF QF ',45QF QF F QR EQR ∠∠'=='=︒BF 'OD CD OD CD ⊥BE CD ⊥OD BE ∥△∽△COD CBE OD CO BE CB =535r r -=158r =1581555284CA CB AB =-=-⨯=∵， ∴． ∵，∴． (3)①显然，所以分两种情况． ⅰ）当时，如图2．∵，∴．∵，∴四边形为矩形，∴．∵， ∴， ∴． ⅱ）当时，过点P 作于点H ，如图3，则四边形是矩形，∴．∵，∴．5,4AP BQ x BQ ==54AP x =CP AP AC =+5544y x =+90PRQ ∠<︒90RPQ ∠=︒PR CE ⊥90ERP ∠=︒90E ∠=︒RPQE PR QE =333sin 544PR PC C y x =⋅==+33344x x +=-97x =90PQR ∠=︒PH BE⊥PHER ,PH RE EH PR ==5,3CB BE ==4CE ==∵， ∴3PH RE x EQ ==-=， ∴45EQR ERQ ∠=∠=︒， ∴45PQH QPH ∠=︒=∠， ∴3HQ HP x ==-， 由EH PR =得：33(3)(3)44x x x -+-=+， ∴2111x =． 综上所述，x 的值是97或2111． ②如图4，连结,AF QF '，由对称可知QF QF ='，F QR EQR ∠=∠' ∵BE ⊥CE ，PR ⊥CE ， ∴PR ∥BE ， ∴∠EQR =∠PRQ ， ∵BQ x =，5544CP x =+， ∴EQ =3-x ， ∵PR ∥BE ， ∴CPR CBE △∽△， ∴CP CB CR CE=， 即：x CR +=555444， 解得：CR =x +1， ∴ER =EC -CR =3-x ， 即：EQ = ER∴∠EQR =∠ERQ =45°， ∴45F QR EQR ∠=∠='︒ ∴90BQF ∠='︒， 4cos 15CR CP C y x =⋅==+∴4tan 3QF QF BQ B x ==⋅='． ∵AB 是半圆O 的直径，∴90AFB ∠=︒， ∴9cos 4BF AB B =⋅=， ∴4934x x +=， ∴2728x =， ∴319119CF BC BF BC BF BF BF x -==''''=-='-． 28. 【答案】(1)2(2)图见详解(3)直线BC 与⊙F 相切，理由见详解【分析】（1）由题意易得23CD BD =，则有，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；（2）作DT ∥AC 交AB 于点T ，作∠TDF =∠ATD ，射线DF 交AC 于点F ，则点F 即为所求；（3）作BR ∥CF 交FD 的延长线于点R ，连接CR ，证明四边形ABRF 是等腰梯形，推出AB =FR ，由CF ∥BR ，推出，推出CD ⊥DF ，然后问题可求解．(1)解：∵DE ∥AB ，∴，∴， ∵AB =5，BD =9，DC =6，∴， ∴；(2)解：作DT ∥AC 交AB 于点T ，作∠TDF =∠ATD ，射线DF 交AC 于点F ，则点F 即为所求；如图所示：点F 即为所求，25CD CB =1122CFB CFR SS AB CD FR CD ==⋅=⋅CDE CBA ∽DECD AB CB 6569DE =+2DE =(3)解：直线BC 与⊙F 相切，理由如下：作BR ∥CF 交FD 的延长线于点R ，连接CR ，如图，∵∠DFA =∠A ，∴四边形ABRF 是等腰梯形，∴，∵△FBC 的面积等于， ∴， ∴CD ⊥DF ，∵FD 是⊙F 的半径，∴直线BC 与⊙F 相切．29. 【答案】（1）①94BC =；②AB BE AD DE -是定值，定值为1；（2）3cos 8CBD ∠= 【分析】（1）①证明CED CDB ∽，根据相似三角形的性质求解即可；②由DE AC ∥，可得AB BC AD DE =，由①同理可得CE DE =，计算AB BE AD DE-1=； （2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得12S AC BC S DE BE==，又32S BE S CE =，则1322S S BC S CE ⋅=，可得916BC CE =，设9BC x =，则16CE x =．证明CDB CED ∽△△，可得12CD x =，过点D 作DH BC ⊥于H ．分别求得BD BH ，，进而根据余弦的定义即可求解．【详解】（1）①∵CD 平分ACB ∠，AB FR =12CD AB •1122CFB CFR S S AB CD FR CD ==⋅=⋅2∵2ACB B ∠=∠，∴ACD DCB B ∠=∠=∠． ∴32CD BD ==． ∵DE AC ∥，∴ACD EDC ∠=∠．∴EDC DCB B ∠=∠=∠．∴1CE DE ==．∴CED CDB ∽． ∴CE CD =CD CB． ∴94BC =． ②∵DE AC ∥， ∴AB BC AD CE=． 由①可得CE DE =， ∴AB BC AD DE=． ∴1AB BE BC BE CE AD DE DE DE DE-=-==． ∴AB BE AD DE -是定值，定值为1． （2）∵DE AC ∥，BDE BAC ∴∽△△BC AB AC BE BD DE ∴== ∴12S AC BC S DE BE==． ∵32S BE S CE=， ∴1322S S BC S CE⋅=． 又∵2132916S S S ⋅=， ∴916BC CE =． 设9BC x =，则16CE x =．∵CD 平分BCF ∠，2∵2BCF CBG ∠=∠，∴ECD FCD CBD ∠=∠=∠．∴BD CD =．∵DE AC ∥，∴EDC FCD ∠=∠．∴EDC CBD ECD ∠=∠=∠．∴CE DE =．∵DCB ECD ∠=∠，∴CDB CED ∽△△． ∴CD CB CE CD=． ∴22144CD CB CE x =⋅=．∴12CD x =．如图，过点D 作DH BC ⊥于H ．∵12BD CD x ==， ∴1922BH BC x ==． ∴932cos 128x BH CBD BD x ∠===． 30. 【答案】(1)①6；②见解析 (2)2114S S S -=，理由见解析 【分析】（1）①将面积用a ，b 的代数式表示出来，计算，即可②利用AN 公共边，发现△FAN ∽△AN B ，利用FA AN AN NB=，得到a ，b 的关系式，化简，变形，即可得结论（2）等边ABF 与等边CBE △共顶点B ，形成手拉手模型，△ABC ≌△FBE ，利用全等的对应边，对应角，得到：AC ＝FE ＝b ，∠FEB ＝∠ACB ＝90°，从而得到∠FEC ＝30°，再利用Rt CFE △，cos30FE b CE a ︒===，得到a 与b 的关系，从而得到结论 (1)∵19S =，216S =∴b ＝3，a ＝4∵∠ACB ＝90° ∴11S ab 34622==⨯⨯= ②由题意得：∠FAN ＝∠ANB ＝90°，∵FH ⊥AB∴∠AFN ＝90°－∠FAH ＝∠NAB∴△FAN ∽△AN B ∴FA AN AN NB = ∴a b a a b+=， 得：22ab b a +=∴122S S S +=．即212S S S -= (2)2114S S S -=，理由如下： ∵△ABF 和△BEC 都是等边三角形∴AB ＝FB ，∠ABC ＝60°－∠FBC ＝∠FBE ，CB ＝EB∴△ABC ≌△FBE （S A S ）∴AC ＝FE ＝b∠FEB ＝∠ACB ＝90°∴∠FEC ＝30°∵EF ⊥CF ，CE ＝BC ＝a∴cos30b FE a CE ==︒=∴b =∴212S ab ==由题意得：21S ，22S =∴22221S S -== ∴2114S S S -=。
