当前位置：文档之家 › 一级倒立摆

一级倒立摆

  • 格式：doc
  • 大小：210.00 KB
  • 文档页数：16

内蒙古科技大学Matlab课程设计说明书题目：直线一级倒立摆系统建模仿真姓名：XX学号：XX专业：测控技术与仪器班级：XX指导教师：XX倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强藕合和快速运动的自然不稳定系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

其控制方法也广泛用在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。

倒立摆的控制方法很多，这里主要介绍PID控制和LQR控制算法两种控制方法，并在控制过程中用Simulink对系统进行仿真。

关键词：一级倒立摆；PID；LDQ；MATLAB仿真第一章前言 (1)第二章直线一级倒立摆数学模型 (2)2.1 直线一级倒立摆系统的物理模型 (2)第三章直线一级倒立摆系统的PID 控制及仿真 (7)3.1 PID控制的原理和特点 (7)3.2PID控制器参数整定方法 (7)3.3 一级倒立摆系统的Simulink的模型 (8)3.4 仿真结果 (8)第四章直线一级倒立摆系统的线性二次最优控制及仿真 (10)4.1 线性二次最优控制简介 (10)4.2 直线一级倒立摆 LQR 控制算法及仿真 (10)第五章总结 (13)第一章前言二十世纪九十年代以来，多种更加复杂化形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点，倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。

在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，从而广泛应用于控制领域。

倒立摆主要应用在以下几个方面: (1)机器人的站立与行走类似于双倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术--机器人的行走控制至今仍未能很好解决;(2)在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态，要不断进行实时控制;(3)通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳;(4)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动;(5)为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)，其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究等等。

因此，对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义，同时倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。

第二章直线一级倒立摆数学模型建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的前提。

系统建模可以分为机理建模和实验建模。

机理建模是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的基本定律，如电学中的克希霍大定律，力学中的牛顿定律，热力学中的热力学定律等，即利用各个专门学科领域提出的物质和能量的守恒性和连续性原理，以及系统设备的结构数据推导出模型，这种方法得出的数学模型称之为理论模型或解析模型，这种建立模型的方法称之为解析法；实验建模是根据系统的输入输出数据所提供的信息，进行数据的统计处理，并用适当的数学模型去逼近，从而得到关于系统模型的参数，这种方法是实验方法或称统计建模法，也称系统辨识。

由于倒立摆系统是自然不稳定的系统，实验肆模存在一定的困难。

在分析它的运动规律基础上，经过一定的假设，忽略一些次要的因素后，可通过机理建模方式建立其数学模型。

2.1 直线一级倒立摆系统的物理模型倒立摆系统是是一个具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合特性的不稳定系统。

在控制过程中，为了简化直线一级倒立摆系统分析，在建立实际数学模型过程中，忽略了空气阻力和各种摩擦之后，将直线一级倒立摆系统直接抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2-1所示。

图2-1 直线一级倒立摆模型M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）其中，N——小车与摆杆相互作用力的水平方向的分量，P——小车与摆杆相互作用力的垂直方向的分量。

以下是应用牛顿法建立直线一级倒立摆系统的动力学方程过程：通过受力分析可知，由小车水平方向所受的合力，可得如下方程：M*d2x/dt2=F –b*dx/dt- N （2-1）由摆杆水平方向所受的合力，可得如下方程：N=m*d2/dt2(x+lsinθ)即：N=m*d2x/dt2+m*l*d2θ/ dt2*cosθ- m* l* d2θ/ dt2*sinθ（2-2）把式（2-2）带入式（2-1）中，则得到系统的第一个运动方程：(M+m)*d2x/dt2+b*dx/dt + m*l*d2θ/ dt2*cosθ- m* l* d2θ/ dt2*sinθ=F (2-3)对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可得如下方程:P-mg=m*d2 (l cosθ)/dt2即：P-mg=- m*l*（dθ/ dt）2 * cosθ- m* l* d2θ/ dt2*sinθ（2-4）系统力矩平衡方程如下：-P*l* sinθ-N*l *cosθ=I* d2θ/ dt2（2-5）合并式（2-4）和式（2-5），消去P 和N，则得到系统的第二个运动方程：（I+ml2）d2θ/ dt2+mgl sinθ=-ml d2x/dt2 cosθ（2-6）由于θ=π+φ，cosφ=- cosθ，sinφ=- sinθ，所以由式（2-3）和式（2-6）可得系统的数学模型为如下方程组：（M+m）d2x/dt2+b*dx/dt- m*l*d2φ/ dt2*cosφ+ m* l* d2φ/ dt2*sinφ=F (2-7)（I+ml 2）d 2φ/ dt 2+mgl sin φ=-ml d 2x/dt 2 cos φ (2-7)由方程组（2-7）知该系统是明显的非线性系统。

为便于控制器的设计，需要将系统在工作点（φ= 0）进行线性化处理。

当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与 1（单位为弧度）之比很小时，则可以进行近似处理：cos φ=-1，sin θ=-φ，（d φ/ dt ）2=0。

用 u 表示被控对象的输入力 F ，经线性化处理后系统的数学模型成为如下微分方程表达式：（I+ml 2）d 2θ/ dt 2+mgl sin θ=-ml d 2x/dt 2 （2-8）(M+m)*d 2x/dt 2+b*dx/dt- m*l* m*l*d 2φ/ dt 2=u （2-8）1.系统传递函数模型：对方程组（2-8）进行拉普拉斯变换，得到如下方程组：()()()()()()()()()⎩⎨⎧=Φ-++=Φ-Φ+s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I 22222（2-9）由方程组（2-9）第二个方程可得到：()()s s g ml ml I s X Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=22)( （2-10）将式（2-10）带入方程组（2-9）第一个方程，得到：()()()()()()()s U s s ml s s s gml ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++22222经整理后得到以输入力 u 为输入力，以摆杆摆角为输入量的传递函数：()()()()sq bmgls q mgl m M s q ml I b s sq ml s U s -+-++=Φ23242（2-11）式（2-11）中，[()()()]22ml ml I M m q -++=。

2.系统状态空间数学模型：由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式： X ’=AX+Bu （2-12）Y=CX+Du （2-12）式（2-12）中，u 表示系统控制输入向量，x 表示系统状态变量，y 表示系统输出向量，A 表示系统的状态矩阵，B 表示系统控制输入矩阵，C 表示系统输出观测矩阵，D 表示系统输入输出矩阵。

方程组（2-8）对d2x/dt2,φ,解代数方程，得到如下解：[dx/dt,d2x/dt2,dφ/ dt, d2φ/ dt2]=[0,1,0,0;0,{-(I+ml2)b/[I(m+M)+Mml2]},{m2gl2/[I(M+m)+Mml2]},0;0,0,0,1;0,{-mlb/[I(M+m)+Mml2]},mgl(M+m)/{[I(M+m)+Mml2]},0][x,;dx/dt; φ;dφ/ dt]+[0;(I+ml2)/[I(M+m)Mml2];0;ml/[I(m+M)+mMl2]]u （2-13）y=[x; φ]=[1,0,0,0;0,0,1,0][x; dx/dt; φ; dφ/ dt]+[0;0] (2-14)只要将直线一级倒立摆的实际结构参数带入式（2-13）和（2-14）中，便可得到矩阵A、B、C、D。

A =[0 1 0 031.1818 0 0 -0.45450 0 0 12.6727 0 0 -0.1818]B =[4.54551.8182]C =[1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1] D =[]第三章直线一级倒立摆系统的PID 控制及仿真3.1 PID控制的原理和特点在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制，又称PID调节. 它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。

比例项的作用仅是放大误差的幅值,使其输出不失真，不延迟，成比例地复现输入信号的变化，即信号的传递没有惯性。

比例系数Ki的大小决定了比例调节器调节的快慢程度，但Ki过大会使系统出现超调或震荡现象, Ki过小又起不了调节作用。

比例控制无法消除余差。

在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。

若输入突变，输出值要等时间T之后才等于输入值，故有滞后作用。

输出积累一段时间后，即使使输入为零，输出也将保持原值不变，即具有记忆功能。

只有当输入反向时，输出才反向积分而下降。

常利用积分环节来改善系统的稳态性能,消除稳态误差。

积分作用的强弱取决于积分时间常数TI ，TI 越大，积分作用越弱，TI越小，积分作用越强。

在微分控制中，其输出与输入信号对时间的微分成正比，即输出反映了输入信号的变化率，而不反映输入量本身的大小。

因此，可由微分环节的输出来反映输入信号的变化趋势，加速系统控制作用的实现。

常利用微分环节来改善系统的动态性能。

3.2PID控制器参数整定方法PID控制器由比例单元(P)、积分单元(I)和微分单元(D)组成。

合集下载

一级倒立摆

一级倒立摆

摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强藕合和快速运动的自然不稳定系统。

因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。

本文围绕一级倒立摆系统，采用模糊控制理论研究倒立摆的控制，先是理论上的计算，然后建模，最后在MATLAB/Simulink下仿真，验证了可行性。

关键词：倒立摆，模糊控制，MATLAB仿真第一章绪论1．1 倒立摆系统的重要意义倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点，是一个具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合特性的不稳定系统。

在控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。

迄今人们已经利用经典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制理论实现了多种倒立摆系统的控制稳定。

倒立摆主要有：有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数有一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，也可以是倾斜的：倒立摆系统己成为控制领域中不可或缺的研究设备和验证各种控制策略有效性的实验平台。

同时倒立摆研究也具有重要的工程背景：如机器人的站立与行走类似双倒立摆系统；火箭等飞行器的飞行过程中，其姿态的调整类似于倒立摆的平衡等等。

因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。

1．2 倒立摆系统的控制方法自从倒立摆产生以后，国内外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在下面两个方面：（1）倒立摆系统的稳定控制的研究（2）倒立摆系统的自起摆控制研究而就这两方面而言，从目前的研究情况来看，大部分研究成果又都集中在第一方面即倒立摆系统的稳定控制的研究。

目前，倒立摆的控制方法可分如下几类： (1)线性理论控制方法将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法得到期望的控制器。

(完整版)一级倒立摆系统分析

(完整版)一级倒立摆系统分析

一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型图1-1 一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

图1-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：M ẍ＝Ｆ-ｂẋ-Ｎ (1-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：N =md 2dt 2(x +l sin θ) (1-2)即： N =mẍ+mlθcos θ−mlθ2sin θ (1-3)将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )ẍ+bẋ+mlθcos θ−mlθ2sin θ=F (1-4)为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P −mg =md 2dt 2(l cos θ) (1-5)P −mg =− mlθsin θ−mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：−Pl sinθ−Nl cosθ=Iθ (1-7)注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=−cosθ，sinɸ=−sinθ，所以等式前面含有负号。

合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程：(I+ml2)θ+mgl sinθ=−mlẍcosθ (1-8)设θ=π+ɸ，假设ɸ与1（单位是弧度）相比很小，即ɸ＜＜1，则可以进行近似处理：cosθ=−1，sinθ=−ɸ，（dθdt ）2=0。

用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下：{(I+ml2)ɸ−mglɸ=mlẍ(M+m)ẍ+bẋ−mlɸ=u(1-9)假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到：{(I+ml2)Φ(s)s2−mglΦ(s)=mlX(s)s2(M+m)X(s)s2+bX(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度ɸ，求解方程组的第一个方程，可以得到：X(s)=[(I+ml2)ml −gs2]Φ(s) (1-11)或改写为：Φ(s)X(s)=mls2(I+ml2)s2−mgl(1-12)如果令v=ẍ,则有：Φ(s)V（s）=ml(I+ml2)s2−mgl(1-13)如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到：(M+m)[(I+ml2)ml −gs]Φ(s)s2+b[(I+ml2)ml+gs2]Φ(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-14) 整理后可得传递函数：Φ(s) U(s)=mlqs2s4+b(I+ml2)qs3−(M+m)mglqs2−bmglqs(1-15)其中q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]假设系统状态空间方程为：X=AX+Buy=CX+Du (1-16) 方程组对ẍ,ɸ解代数方程，可以得到解如下：{ẋ=ẋẍ=−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2ẋ+m2gl2I(M+m)+Mml2ɸ+(I+ml2)I(M+m)+Mml2uɸ=ɸɸ=−mlbI(M+m)+Mml2ẋ+mgl(M+m)I(M+m)+Mml2ɸ+mlI(M+m)+Mml2u(1-17)整理后可以得到系统状态空间方程：[ẋẍɸɸ]=[01000−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2m2gl2I(M+m)+Mml200010−mlbI(M+m)+Mml2mgl(M+m)I(M+m)+Mml20][xẋɸɸ]+[(I+ml2)I(M+m)+Mml2mlI(M+m)+Mml2]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-18)由（1-9）的第一个方程为：(I+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ对于质量均匀分布的摆杆可以有：I=13ml2于是可以得到：(13ml2+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ化简可以得到：ɸ=3g4l ɸ+34lẍ(1-19)设X={x, ẋ, ɸ , ɸ}，u=ẍ则有：[ẋẍɸɸ]=[010000000001003g4l0][xẋɸɸ]+[134l]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-20)以上公式推理是根据牛顿力学的微分方程验证的。

一级倒立摆系统

一级倒立摆系统

直线一级倒立摆建模与性能分析直线一级倒立摆建模及性能分析一、数学模型建立在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。

u 为外界作用力；x 为小车位移； 为摆杆与铅垂方向的夹角；O 、G 分别为摆杆与小车的链接点、摆杆质心的位置；M 为小车的质量；m 为摆杆的质量；J 为摆杆绕G 的转动惯量；l 为O 到摆杆质心的距离,L 为摆杆的长度；0f 为小车与导轨间的滑动摩擦系数，1f 为摆杆绕 O 转动的摩擦阻力矩系数。

对于上图的物理模型我们做以下假设： M ：小车质量 m ：摆杆质量 b ：小车摩擦系数l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I ：摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律。

因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。

应用牛顿力学来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F xM --= 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：22(sin )d N m x l dtθ=+即：2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2（1-1） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：22(cos )d P mg m l dtθ-=-即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+力矩平衡方程如下：θθθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：θθθcos sin )(2xml mgl ml I -=++ （1-2） 1.1 微分方程模型设φπθ+=，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小，即 1<<φ 时，则可以进行近似处理：1cos -=θ，φθ-=sin ，0)(2=dt d θ。

2020年终稿一级倒立摆精品版

2020年终稿一级倒立摆精品版

目录1实验设备简介 (2)1.1倒立摆介绍 (2)1.2 研究倒立摆稳定性的意义 (3)1.3直线一级倒立摆 (3)2 倒立摆建模 (3)2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导 (3)2.1.1受力分析 (4)2.1.2微分方程建模 (5)2.1.3传递函数建模 (6)2.1.4状态空间数学模型 (6)2.2 实际系统模型建立 (8)3系统定性、定量分析 (9)3.1系统开环阶跃响应 (9)3.2系统稳定性与可控性分析 (11)3.2.1稳定性分析 (11)3.2.2能控性分析 (12)4 设计状态观测器 (12)4.1状态空间分析 (12)4.2 极点配置的设计步骤 (13)4.3极点配置的Matlab计算 (14)4.4极点配置的simulink电路仿真 (20)4.4.1无状态反馈仿真 (20)4.4.2有状态反馈的仿真 (21)4.5极点配置的综合分析 (22)5小结 (23)1实验设备简介1.1倒立摆介绍倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。

如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂，多变量，存在严重非线性，非自制不稳定系统。

常见的倒立摆一般由小车和摆杆两部分组成，其中摆杆可能是一级，二级或多级，在复杂的倒立摆系统中，摆杆的长度和质量均可变化。

系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。

光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相小车皮带电机摆杆图1：一级倒立摆结构图滑轨图2：一级倒立摆系统组成框图应的控制量，使电机转动，通过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。

1.2 研究倒立摆稳定性的意义倒立摆的研究具有重要的工程背景。

机器人行走就类似倒立摆系统从日常生活中所见到的任何重心在上、也是支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性，故对其稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制等。