高等数学初等函数

高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。

这些函数在数学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。

一、常数函数常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。

这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。

常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。

二、幂函数幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。

幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。

幂函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如人口增长、放射性衰变等。

三、指数函数指数函数是指函数f(x)=a^x，其中a为常数。

指数函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。

指数函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如利息的复利计算、细胞的增长等。

四、对数函数对数函数是指函数f(x)=loga(x)，其中a为常数。

对数函数的图像是一条上升的曲线，它的斜率在x=1处为1。

对数函数在实际应用中常用于描述一些量的倍数关系，如声音的强度、地震的震级等。

五、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数和余弦函数的图像都是周期性波动的曲线，它们的周期为2π。

正切函数的图像则是一条无限延伸的曲线。

三角函数在实际应用中常用于描述周期性变化的现象，如天体运动、电流的交流等。

六、反三角函数反三角函数是指正弦函数的反函数、余弦函数的反函数和正切函数的反函数。

反三角函数的图像是一条上升或下降的曲线，它们的定义域和值域与对应的三角函数相反。

反三角函数在实际应用中常用于求解三角函数的反函数值，如角度的计算、电路的分析等。

七、双曲函数双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。

高等数学公式与定理（第六版上册）第一章 函数与极限第一节：初等函数幂函数：a x y =(是常数）R a ∈ 指数函数：x a y =（a >0且)1≠a对数函数：y=x a log (a>0且a ≠1，特别当a=e 时，记为y=lnx) 三角函数: 如y=x sin 等 反三角函数：如y=arctan x 等第二节：数列的极限收敛数列的性质：定理1 (极限的唯一性)如果数列{x n }收敛，那么它的极限唯一。

定理2 (收敛数列的有界性)如果数列{x n }收敛，那么数列{x n }一定有界。

定理3 (收敛数列的保号性)如果,lima x n n =∞→且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0，当n>N 时，都有.n x >0(.n x <0)定理 4 (收敛数列与其子数列的关系)如果数列{.n x }收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节 函数的极限函数极限的性质定理1 (函数极限的唯一性) 如果)(limx f xx →存在，那么这极限唯一.定理2 （函数极限的局部有界性）如果)(limx f xx →=A 存在，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<{0x x - }<δ时，有)(x f M≤.定理 3 （函数极限的局部保号性）如果)(limx f xx →=A ，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0，使得δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）定理3′ 如果)0()(lim 0≠=→A A x f xx ,那么就存在着n x 的某一去心邻域),(00x U 当)(00x U x ∈时，就有2)(0A x f >.推论 如果在0x 的某去心邻域内)0)x 0)(0≤≥（或（f x f ，而且A x f x x =→)(lim 0，那么）或（00≤≥A A定理4 （函数极限与数列极限的关系） 如果极限)(limx f xx →存在，{n x }为函数)(x f 的定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足：)(*0N n x x n ∈≠,那么相应的函数数列)(n x f 必收敛，且).(lim )(lim 0x f x f x x n →∞→=第四节 无穷小与无穷大定理 1 在自变量的同义一变化过程0x x →)x (∞→或中，函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是,)(a A x f +=其中a是无穷小。

初等函数认识初等函数需要四个层次： (1) 基本初等函数 (2) 简单函数 (3) 复合函数 (4) 初等函数学习时，注意概念及注，注意分类，要会判断初等函数所属类型，为求导数、积分奠定基础1、基本初等函数 (1) 定义以下六类函数称为基本初等函数 ①C y =(C 为常数)② αx y =③x a y =(1,0≠>a a )，特别以e 为底，x e y =④ x y a log =，特别以e 为底，x y ln =⑤x y sin =、x y cos =、x y tan =、x y cot =、x y sec =、x y csc =⑥ x y arcsin =、x y arccos =、x y arctan =、x arc y cot = 由于经济学中不涉及三角和反三角函数，因而后面不讲解，请需要者自学 (2) 基本初等函数的性质① C y =(C 为常数)实质：看不到自变量 如：2=y ，2e y =，2ln 等常数函数的特点是：不管自变量取几，所对应的函数值都是该常数 如：已知2)(==x f y则：2)0(=f ，2)1(=f ，2)8(=-f ，……)点，平行于X 轴的一条直线②αxy=(α为常数，且0≠α)实质：底为变量，指数为实常数如：xy=，2xy=，21xxy==，331-==xxy，43431-==xxy等由于讨论的实际问题中的自变量通常＞0，故讨论0>x时幂函数特性<1> 0>α单增（左图）①1=α均匀增长；1>α越增越快；10<<α越增越慢；②α越大，增长速度越快<2> 0<α单减（右图）α越大，单减速度越快>α0<α运算性质：baba xxx+=⋅，b abaxxx-=，abba xx=)(③xay=(1,0≠>aa)，特别以71828.2≈e为底，x ey=实质：底为常量，指数为变量【注意与幂的区别】如：xy2=，xy)21(=，x ey=等注意：值域0>y指数函数的特点是：当自变量改变量相同时，因变量变化的百分比相同xxeey)1(==-，图形与x ey=关于xy=对称当底1>a时，函数单增当底10<<a时，函数单减④x y a log =，特别以71828.2≈e 为底：x y ln =——自然对数函数 特别：01ln =，1ln =e 对数函数运算性质：b a ab ln ln )ln(+=，b a b aln ln ln-=——乘除变加减 a b a b ln ln =，a ba b ln 1ln =——乘方、开方变为乘和除a e a =ln ，a e a =ln(3) 自变量的字母可以任意，但自变量出不能不是⋅1自变量1① C y =——看不到自变量② αx y =——自变量处在底③x a y =(1,0≠>a a )，特别以e 为底，x e y =——自变量处在指数④ x y a log =，特别以e 为底，x y ln =——自变量处在真数部分——对数符号后面 如：x e y =是指数函数，自变量处在指数部分，现在，自变量处为一个单独自变量11x ⋅，故为基本初等函数u e y =（u 为变量）也是指数函数，自变量处在指数部分，现在，自变量处为一个单独自变量11u ⋅，故为基本初等函数但xe y 2=，表面看上去也是指数函数，自变量处应该在指数部分，但现在自变量处为x 2，不是一个单独自变量11x ⋅，故该函数不是基本初等函数函数2x e y =，表面看上去也是指数函数，自变量处应该在指数部分，但现在自变量处为2x ，也不是一个单独自变量11x ⋅，故该函数不是基本初等函数再如，函数10x y =是10次幂函数，自变量处在底，现在，自变量处为一个单独自变量11x⋅，故为基本初等函数函数10u y =（u 为变量）也是10次幂函数，因为幂函数的自变量处在底，现在，自变量处为一个单独自变量11u ⋅，故为基本初等函数而函数函数10)1(+=x y 看上去也是10次幂函数，但幂函数的自变量处在底，现在，自变量处（底）为1+x ，而不是一个单独自变量11x ⋅，故不是基本初等函数同理：x y ln =是基本初等函数中的对数函数，而)1ln(x y -=不是基本初等函数x y =是基本初等函数中的21次幂函数，而12+=x y 不是基本初等函数……【例1】判断下列函数是否为基本初等函数，若是，属于哪一类？(1) Q R =21Q R =，底为变量，指数为常数，具有幂函数的形式由于幂函数的自变量处在底，而函数自变量处（底）恰为⋅1自变量1故是基本初等函数，是21次幂函数 (2) x e y =底为常数e ；指数部分为变量，故具有指数函数的形式由于指数函数的自变量处在指数部分，而函数自变量处（指数部分）恰为⋅1自变量1故是基本初等函数，是以e 为底的指数函数 (3) 2e y =底为常数e ；指数也是常数，故整个函数没有自变量 故为基本本初等函数，是常函数 (4) ex y =底为变量，指数为常数，故整个函数具有幂的形式而幂函数的自变量处在底，而函数自变量处（底）恰为⋅1自变量1是基本初等函数，是e 次幂函数 (5) xx y =有底也有指数，但两者都变，既不是幂，也不是指数，故该函数不是基本初等函数 (6) x y 2=2=y 是基本初等函数中的常数函数，x y =为基本初等函数中的幂函数（1次幂）但整个函数为两个基本初等函数的乘积，故整个函数不是基本初等函数 (7) p Q 5100-=不是基本初等函数是由常数函数100，5和幂函数1p 经乘和减形成的函数，故不是基本初等函数 (8) x e y -=底为常数e ；指数部分为变量，故具有指数函数的形式由于指数函数自变量处在指数，该函数自变量处（指数部分）为x -，不是⋅1自变量1故不是基本初等函数2、简单函数例1中的x y 2=和p Q 5100-=两个函数，都是由基本初等函数做加、减、乘、除四则运算得到的函数，称为简单函数，定义如下(1) 定义——由基本初等函数经有限次四则运算（加、减、乘、除）得到的函数如Q R 2=，p Q 5100-=都是简单函数(2) 注意：简单函数中的四则运算，不能发生在自变量处如函数22x y =为简单函数，它是常数函数2=y 与幂函数2x y =的乘积，乘发生在了基本初等函数与基本初等函数间了，因而为简单函数而函数2)2(x y =不是简单函数，虽然他也有一个乘的运算，但乘发生在了幂函数2u y =的自变量处（底）了，故不是简单函数 同样：xey -=，因为底为常数，指数部分发生变化，故可看成指数函数的形式，但指数函数的自变量处在指数部分，现在乘的运算x ⋅-1恰恰发生在指数部分，故函数不是基本初等函数，也不是简单函数【例2】判断下列函数是否为简单函数，若是，最后运算是什么？(1) 12+=x y ：是，最后运算为“加” (2) xe y 2=：是，最后运算为“乘” (3) x y ln 1-=：是，最后运算为“减”(4) xx e xx e y +-=1ln 2：是，最后运算为“除”(5) 2)12(+=x y ：不是，因为四则运算发生在了幂函数的自变量处——底处了 (6) )1ln(x y -=：不是，因为四则运算发生在了对数函数的自变量处——真数部分了3、复合函数(1) 复合函数引例已知销售收入R 是随着销售量Q 的变化而变化的，是销售量的函数)0()(≥==Q e Q f R Q 而销售量Q 又是随着时间t 的变化而变化的，是时间t 的函数)0(30)(≥==t t t Q ϕ将)0(30)(≥==t t t Q ϕ代入函数)0()(≥==Q e Q f R Q 中，有)0())((30≥==t e t f R t ϕ 于是销售收入R 随时间t 的变化而变化的，是时间t 的函数称)0(30≥=t e R t 是由函数)0()(≥==Q e Q f R Q 和)0(30)(≥==t t t Q ϕ复合而成的复合函数，记作：))((t f R ϕ=其中称)(Q f R =为外层函数，)(t Q ϕ=为内层函数，Q 为中间变量，或称)(t ϕ为中间变量 (2) 复合函数概念设)(u f y =，)(x u ϕ=，当Φ≠)()(ϕZ f D 时，称))((x f y ϕ=为复合函数x ：自变量，y ：因变量，)(x u ϕ=：中间变量 ϕ为内层函数，f 为外层函数即：在复合函数))((x f y ϕ=中，给出x ，按一定顺序求出y 值，先做的叫内，后做的叫外 如函数)0(30≥=t eR t中，给出自变量t ，求因变量R 的值先求t 30，再求e 的若干次方，故先做的t 30称为内层函数，后做的e 的若干次方称为外层函数 可见，复合函数可以看作，以函数)(x u ϕ=为自变量的函数，称为函数的函数，为复合函数 (3) 复合函数的实质复合函数是函数的函数，函数套函数 (4) 复合函数的判断方法自变量处不是单独自变量，而是函数，整个函数就构成复合函数 (5) 复合函数的分解复合函数分解的原则：① 求函数值时，先做的运算为内，后做的运算为外，先分出来)；② 注1：分解出的函数不能再有复合，且只可能最内层为简单函数，外层都是基本初等函数 如teR 30=，由于自变量处（指数部分）不是单独自变量，而是函数，故函数为复合函数内层函数为t 30，外层为e 的若干次方，故先将指数函数e 的若干次方分解出来，且按照分解的第②条原则，要想使其称为基本初等函数，自变量处必须只能为一个单独自变量，用u ，故有：u e R =，u 是t 30，由于t 30为简单函数，复合分解原则，故不用分解故复合函数teR 30=由ue R =和t u 30=两个函数复合而成【例3】判断下列函数是否为复合函数？若是，将其分解(1) 5)23(+=x y 可看成由5u y =，23+=x u 复合而成的复合函数； (2) )12ln(+=x y 可以看成u y ln =，12+=x u 复合而成的复合函数； (3) 2x e y =可以看成u e y =，2x u =复合而成的复合函数；(4) 22)(ln ln x x y ==可看成2u y =, x u ln =复合而成的复合函数；(5) 2ln x y =可以看成u y ln =，2x u =复合而成的复合函数；(6) x y ln ln =可看成u y ln =, x u ln =复合而成的复合函数； (7) 12+=x y 可以看成21u u y ==，12+=x u 复合而成的复合函数；(8) xey -=可以看成u e y =，x u -=复合而成的复合函数；(9) )23(ln 2x y -=可看成2u y =，v u ln =，x v 23-=复合而成的复合函数；(10) 10)12(+=x ey 可以看成ue y =，10v u =，12+=x v 复合而成的复合函数．【练习】判断下列函数是否为复合函数？若是，将其分解(1) )1ln(x y -=； u y ln =，x u -=1．(2) xe y 1=； u e y =，11-==x xu ． (3) )21ln(x y +=； u y =，v u ln =，x v 21+=．(4) 121ln2-=x y ． 2u y =，v u ln =，121-=x v ．4、初等函数(1) 初等函数的定义由基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合得到的，并可由一个解析式表示的函数 如：p pe R 2-= (2) 初等函数的分类基本初等函数、简单函数、复合函数都是初等函数，但根据后面求导及积分的需要，有必要将初等函数进一步划分到小类中初等函数除包含基本初等函数、简单函数、复合函数外，还包含象函数p pe R 2-=一样的，将四则运算与复合运算穿叉进行的初等函数——穿叉型初等函数【例4】判断下列初等函数是基本初等函数、简单函数、复合函数还是穿叉型初等函数？若为基本初等函数指明属于哪一类，若为复合函数将其分解．简单函数和穿叉型初等函数说明其最后运算． (1) 5x y =：基本初等函数中，幂函数(2) 235+=x y ：简单函数，最后运算为“加”(3) 5)23(+=x y ：复合函数，由5u y =，23+=x u 复合而成的复合函数； (4) 5)23(+=x e y x：穿叉型初等函数，最后运算为“乘”。

高数重点总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 1031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。

例如：||x y =连续但不可导。

6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df ∙= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y x y yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ∙∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），xy 1=（x=0是函数的无穷间断点） 12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→ 斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

高等数学中的基本初等函数数学历来都是科学研究的主要工具，数学函数也可以将研究物理、化学、经济、工程等方面的问题分析和求解。

其中，初等数学函数又是数学函数中的重要内容。

初等数学函数是指由若干种变量的运算表达式组成的函数，它以常见的幂、对数、三角、双曲等函数体系为基础，经过一定变换形成了一个完整的函数系统。

这些函数在学科研究中都有广泛的应用。

初等数学函数是指一些基本的函数，如常见的幂函数、对数函数、三角函数、双曲函数等。

常见的幂函数是指将变量x记作一个数字的函数，将x的数字改变乘以一个常数，并称之为幂函数。

例如，f(x)=x^2表示x的平方，f(x)=x^3表示x的立方。

对数函数是指将变量x记作一个数字的函数，将x的数字改变求以一个常数为底的对数，称之为对数函数。

例如，f(x)=log2x表示以2为底的x的对数，f(x)=logax表示以a为底的x的对数。

三角函数是由经典三角几何中的三角大小关系推出的函数，并在广泛的数学研究中得到了广泛的应用。

例如，sin(x)表示x弧度的正弦值，cos(x)表示x弧度的余弦值，tan(x)表示x弧度的正切值，cot(x)表示x弧度的余切值，sec(x)表示x弧度的正割值，和csc(x)表示x 弧度的余割值。

双曲函数是双曲线在数学研究中极为重要的初等函数，用以表示椭圆形、双曲线形势场和椎体形等几何体的曲率、旋转、延长等形态变化。

例如，sinh(x)表示x的双曲正弦值，cosh(x)表示x的双曲余弦值，tanh(x)表示x的双曲正切值，coth(x)表示x的双曲余切值，sech(x)表示x的双曲正割值，和csch(x)表示x的双曲余割值。

以上就是高等数学中的基本初等函数的简要介绍。

无论是在理论数学方面，还是在实际应用中，这些函数都可以说是研究高等数学的重要工具。

它们不仅可以解决各种实际问题，而且可以用来帮助人们深入理解数学课题，推动高等数学的发展。

因此，学习和掌握这些函数，对于高等数学学习者来说，十分重要和必要。

高等数学中的基本初等函数高等数学是生活中最常用到和最重要的数学科目之一，它将数学与实际应用结合起来，使其能够更好地指导和解决实际问题。

它大量地使用函数概念，而基本初等函数是高等数学中最基本和最重要的函数类型之一。

基本初等函数是指一元多项式函数、根式函数、指数函数和对数函数。

一元多项式函数是最基本的初等函数，它包含有定义域和值域，其中定义域由可以实现唯一解的自变量组成，而值域是可以实现唯一解的值的集合，即由函数值组成。

一元多项式函数可以表示为指数、根式或对数函数。

根式函数是一种一元多项式函数的推广，它的定义域和值域同样由可以实现唯一解的自变量和值组成，只是在定义函数的时候把变量替换成根式，而值域仍然是可以实现唯一解的值的集合。

根式函数的结构比一元多项式函数更复杂，因此需要更多的技术手段来解决。

指数函数是一元多项式函数和根式函数的推广，它的定义域和值域也是由可以实现唯一解的自变量和值组成，只是变量替换成指数，而值域也仍然是可以实现唯一解的值的集合。

指数函数的结构比根式函数更复杂，因此需要更多的技术手段来解决。

对数函数也是一元多项式函数、根式函数和指数函数的推广，它的定义域和值域是由可以实现唯一解的自变量和值组成，只是变量替换为对数，而值域也仍然是可以实现唯一解的值的集合。

对数函数的结构比指数函数更复杂，因此需要更多的技术手段来解决。

由上可知，基本初等函数在高等数学中起着非常重要的作用，它们通过自变量和函数值的结合，可以在不同的尺度上发挥不同的作用。

他们的结构虽然复杂，但仍然可以通过正确的方法得到有用的结果，而这就是数学的魅力所在。

因此，基本初等函数有其重要的地位，是高等数学中常用现象之一，它们一直是理解和应用高等数学思想的重要组成部分。

初等函数一、基本内容1. 基本初等函数(1) 幂函数：幂函数αx y =（α是任意实数）。

（2）指数函数：x a y =（a 为常数，且0>a ，1≠a ）。

（3）对数函数：x y a log =（a 为常数，且0>a ，1≠a ）。

（4）三角函数：正弦函数x y sin = 余弦函数x y cos =正切函数x y tan = 余切函数x y cot =正割函数x y sec = 余割函数x y csc =（5）反三角函数：反正弦函数x y arcsin =，是正弦函数在区间]2,2[ππ-上的反函数。

反余弦函数x y arccos =，是余弦函数在区间],0[π上的反函数。

反正切函数x y arctan =，是正切函数在区间)2,2(ππ-上的反函数。

反余切函数x arc y cot =，是余切函数在区间),0(π上的反函数。

2. 复合函数：（1）定义：设函数)(u f y =的定义域为f D ，函数)(x u ϕ=的值域为ϕR ，若φϕ≠=M R D f ，则在M 内通过变量u 确定了一个y 是x 的函数，记作)]([x f y ϕ=，该函数称为x 的复合函数。

其中x 称为自变量，y 称为因变量，u 称为中间变量。

（2）复合函数的分解原则：把一个复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的四则运算。

3. 初等函数：常数和基本初等函数经过有限次的四则运算与复合所构成的，并可用一个式子表示的函数。

*4. 双曲函数：双曲正弦函数 2xx e e shx y --==， ),(+∞-∞∈x 双曲余弦函数 2xx e e chx y -+==， ),(+∞-∞∈x 双曲正切函数 x x xx ee e e thx y --+-==， ),(+∞-∞∈x 双曲余切函数 x x xx ee e e x y ---+==coth ，),0()0,(+∞⋃-∞∈x 二、学习要求1. 掌握基本初等函数解析式、图像及常用公式；2. 理解复合函数的概念，掌握复合函数的分解；3. 理解初等函数的概念。